Pontes _de_Concreto_Armado_e_Protendido-05

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<p>Emil de Souza Sánchez filho</p><p>D. Sc.</p><p>Pontes</p><p>de Concreto</p><p>Estrutural</p><p>1</p><p>pontes</p><p>2</p><p>pontes</p><p>1) Forças longitudinais</p><p>1.1) temperatura e retração;</p><p>1.2) frenação e aceleração;</p><p>1.3) empuxo de solo nas cortinas;</p><p>1.4) empuxo do aterro sobre os pilares extremos.</p><p>2) Forças transversais</p><p>2.1) vento;</p><p>2.2) força centrífuga (em pontes curvas);</p><p>2.3) força lateral nas pontes ferroviárias (impacto</p><p>lateral);</p><p>2.4) impacto de material sólido sobre os pilares;</p><p>2.5) empuxo das águas.</p><p>3</p><p>Forças atuantes na mesoestrutura</p><p>pontes</p><p>4</p><p>Pré-dimensionamento dos pilares</p><p>Reação máxima no pilar:</p><p>QGmáx RRR </p><p>RG= reação devida às cargas de peso próprio;</p><p>RQ= reação de apoio devido às cargas móveis (obtida</p><p>por meio do trem-tipo carregando as linhas de</p><p>influência);</p><p>φ= coeficiente de impacto.</p><p>Dimensões do aparelho de apoio de neoprene:</p><p>adm</p><p>máxR</p><p>A</p><p></p><p></p><p>MPaMPa adm 1512 </p><p>pontes</p><p>5</p><p>Esbelteza dos pilares</p><p>mín</p><p>fb</p><p>i</p><p>l</p><p></p><p>lfl= comprimento de flambagem;</p><p>imín=raio de giração mínimo da seção transversal do pilar.</p><p>Índice de esbelteza:</p><p>A</p><p>I</p><p>i mín</p><p>mín </p><p>mín= momento de inércia mínimo;</p><p>A=área da seção transversal.</p><p>pontes</p><p>6</p><p>Esbelteza dos pilares</p><p>b</p><p>l</p><p>,</p><p>,</p><p>b</p><p>i</p><p>fb</p><p>mín 463</p><p>463</p><p> </p><p>Seção retangular:</p><p>b= menor dimensão da seção transversal.</p><p>d</p><p>ld</p><p>i</p><p>fb</p><p>mín 4</p><p>4</p><p> </p><p>Seção circular:</p><p>d= diâmetro da seção transversal.</p><p>d</p><p>l</p><p>,</p><p>,</p><p>d</p><p>i</p><p>fb</p><p>mín 883</p><p>883</p><p> </p><p>Seção octogonal:</p><p>d= diâmetro do círculo inscrito na seção transversal.</p><p>NOTA: no pré-dimensionamento adotar λlim=90.</p><p>pontes</p><p>7</p><p>Comprimento de flambagem dos pilares</p><p>ifb l,l 710</p><p>1) Direção longitudinal:</p><p>Para pontes com encontros os topos dos pilares podem</p><p>ser considerados indeslocáveis.</p><p>AM</p><p>Viga longitudinal</p><p>AF AF AF AM</p><p>Encontro Encontro</p><p>Pilar Pilar</p><p>Pilar</p><p>Engaste</p><p>AM= apoio móvel.</p><p>AF= apoio fixo.</p><p>Li= comprimento do pilar genérico.</p><p>pontes</p><p>8</p><p>Comprimento de flambagem dos pilares</p><p>ifb ll 2</p><p>1) Direção longitudinal:</p><p>Para pontes sem encontros os topos dos pilares são</p><p>considerados deslocáveis.</p><p>Viga longitudinal</p><p>AF AF AF</p><p>Pilar Pilar</p><p>Pilar</p><p>Engaste</p><p>AF= apoio fixo.</p><p>Li= comprimento do pilar genérico.</p><p>pontes</p><p>9</p><p>Comprimento de flambagem dos pilares</p><p>fbll </p><p>2) Direção transversal:</p><p>Adotar vigas de contraventamento para diminuir o</p><p>comprimento de flambagem, em geral com 20 cm por</p><p>100 cm.</p><p>Viga de contraventamento</p><p>A favor da</p><p>segurança (eixo da</p><p>viga).</p><p>Pilar</p><p>Pilar</p><p>Fundação</p><p>rígida</p><p>Fundação</p><p>rígida</p><p>hpilar</p><p>bviga</p><p>Pilar Pilar</p><p>Se hpilar>bviga deve ser</p><p>colocada mais uma viga</p><p>de contraventamento.</p><p>pontes</p><p>10</p><p>Exemplo</p><p>As vigas principais de uma ponte são apoiadas em</p><p>aparelhos de neoprene situados nos topos dos pilares,</p><p>cujas cargas são: P1=P3=2.600 kN; P2=4.200 kN.</p><p>Calcular as dimensões dos pilares.</p><p>Viga longitudinal</p><p>P1</p><p>15,00 m</p><p>P2</p><p>20,00 m</p><p>P3</p><p>10,00 m</p><p>Engaste</p><p>pontes</p><p>11</p><p>Exemplo</p><p>2</p><p>23</p><p>2</p><p>2</p><p>23</p><p>31 2800</p><p>15</p><p>10104200</p><p>1733</p><p>15</p><p>10102600</p><p>cmAcmAA </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Aparelhos de apoio:</p><p>Pilar P1:</p><p>a) direção longitudinal</p><p>cmbb</p><p>b</p><p>,</p><p>m,,ll LL</p><p>L</p><p>limfb 12011590</p><p>3000463</p><p>0030001522 </p><p></p><p> </p><p>b) direção transversal: Vc=20X100</p><p>cmbb</p><p>b</p><p>,</p><p>m,</p><p>,</p><p>,l LL</p><p>L</p><p>limfb 605690</p><p>1450463</p><p>5014</p><p>2</p><p>001</p><p>0015 </p><p></p><p> </p><p>2</p><p>1 1733cmA  Adotando para o neoprene cmb;cmb 2570 21 </p><p>Dimensões do pilar: 70 cm X 120 cm.</p><p>pontes</p><p>12</p><p>Exemplo</p><p>Pilar P2:</p><p>a) direção longitudinal</p><p>cmbb</p><p>b</p><p>,</p><p>m,ll LL</p><p>L</p><p>limfb 16015490</p><p>4000463</p><p>00402 </p><p></p><p> </p><p>b) direção transversal: Vc=20X100</p><p>cmbb</p><p>b</p><p>,</p><p>m,</p><p>,</p><p>,l LL</p><p>L</p><p>limfb 807590</p><p>1950463</p><p>5019</p><p>2</p><p>001</p><p>0020 </p><p></p><p> </p><p>2</p><p>2 2800cmA  Adotando para o neoprene cmb;cmb 30100 21 </p><p>Dimensões do pilar: 80 cm X 160 cm.</p><p>pontes</p><p>13</p><p>Exemplo</p><p>Pilar P3:</p><p>a) direção longitudinal</p><p>cmbb</p><p>b</p><p>,</p><p>m,ll LL</p><p>L</p><p>limfb 807790</p><p>2000463</p><p>00202 </p><p></p><p> </p><p>b) direção transversal: Vc=20X100</p><p>cmbb</p><p>b</p><p>,</p><p>m,</p><p>,</p><p>,l LL</p><p>L</p><p>limfb 403890</p><p>950463</p><p>509</p><p>2</p><p>001</p><p>0010 </p><p></p><p> </p><p>2</p><p>2 1733cmA  Adotando para o neoprene cmb;cmb 3550 21 </p><p>Dimensões do pilar: 50 cm X 80 cm.</p><p>A dimensão 35 cm está muito próxima de 40 cm;</p><p>adotaremos bT=50 cm.</p><p>pontes</p><p>A distribuição das forças horizontais atuantes na</p><p>superestrutura é realizada admitindo-se a hipótese da</p><p>proporcionalidade entre os deslocamentos horizontais e</p><p>as reações.</p><p>O fator de proporcionalidade é a constante elástica do</p><p>apoio.</p><p>Isso é válido para pequenos deslocamentos, ou seja,</p><p>trata-se de uma teoria de 1a ordem, e não são</p><p>consideradas as forças normais de compressão nos</p><p>pilares. Essa teoria é válida para pilares de pequena e</p><p>média altura no Estado Limite de Utilização.</p><p>Para pilares altos deve ser considerados os efeitos de 2a</p><p>ordem.</p><p>14</p><p>Rigidez e flexibilidade dos pilares</p><p>pontes</p><p>Rigidez e flexibilidade dos pilares</p><p>Para o pilar com inércia constante, engastado na base e</p><p>livre na extremidade superior.</p><p>15</p><p>δ</p><p>F=1</p><p>hP</p><p>Flexibilidade: deslocamento no topo do pilar quando</p><p>submetido a uma força unitária.</p><p>hP=comprimento do pilar;</p><p>δ=deslocamento do topo do pilar.</p><p>δ é o coeficiente de flexibilidade.</p><p>pontes</p><p>Pilar com inércia constante, engastado na base e livre na</p><p>extremidade superior.</p><p>16</p><p></p><p></p><p>  FF.1</p><p>Rigidez é a força que produz um deslocamento unitário.</p><p>Δ=1</p><p>F</p><p>hP</p><p>Δ</p><p>hP</p><p>O deslocamento do pilar é dado</p><p>por:</p><p>F=1</p><p>.kF </p><p>Então se tem a rigidez</p><p></p><p>1</p><p>k</p><p>Rigidez e flexibilidade dos pilares</p><p>pontes</p><p>Para o pilar com inércia constante, engastado na base e</p><p>livre na extremidade superior onde se tem uma força</p><p>unitária aplicada seguem-se:</p><p>17</p><p>δ</p><p> ds</p><p>EI</p><p>MM</p><p>WW IntExt </p><p>Princípio dos Trabalhos Virtuais</p><p>PFh</p><p>F</p><p>M M</p><p>1F</p><p>   3</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>PPP FhhFhEI </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>3</p><p>Ph</p><p>EI</p><p>F</p><p>EI</p><p>FhP</p><p>3</p><p>3</p><p></p><p>F</p><p>hP</p><p>3</p><p>3</p><p>Ph</p><p>EI</p><p>k </p><p>EI</p><p>h</p><p>k</p><p>P</p><p>3</p><p>1 3</p><p> Flexibilidade Rigidez</p><p>Rigidez e flexibilidade dos pilares</p><p>Ph</p><p>pontes</p><p>A substituição dos parelhos de apoio devem ser previstas</p><p>no projeto estrutural.</p><p>18</p><p>Rigidez e flexibilidade dos pilares</p><p>hP</p><p>F</p><p>δ</p><p>F</p><p>M</p><p>M</p><p>1F</p><p>Fx x  xfI </p><p> </p><p>PPP hhh</p><p>dx</p><p>I</p><p>x</p><p>E</p><p>F</p><p>dx</p><p>EI</p><p>x.Fx</p><p>dx</p><p>EI</p><p>MM</p><p>0</p><p>2</p><p>00</p><p></p><p></p><p></p><p>Ph</p><p>dx</p><p>I</p><p>x</p><p>E</p><p>k</p><p>0</p><p>2</p><p>Rigidez a se calculada por</p><p>meio de método numérico.</p><p>pontes</p><p>Calcular a rigidez de um pilar cuja seção transversal varia</p><p>segundo uma parábola do 2o grau, sendo Ec=30 GPa.</p><p>19</p><p>Exemplo</p><p>m,</p><p>,</p><p>x 501</p><p>10</p><p>0015</p><p>Com n=10 divisões tem-se:</p><p>Seção genérica i distante xi do topo:</p><p>2</p><p>2</p><p>111</p><p>1 ii x</p><p>l</p><p>hh</p><p>hh </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>Admitindo-se o momento de inércia constante</p><p>em cada trecho ao longo da altura, adota-se a</p><p>altura média do trecho:</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>ii</p><p>i,i</p><p>hh</p><p>h</p><p></p><p> </p><p></p><p>3</p><p>11</p><p>2</p><p>1</p><p>i,ii,i bhI  </p><p>Rigidez</p><p></p><p> </p><p></p><p>10</p><p>1 1</p><p>2</p><p>n i,i</p><p>i</p><p>c</p><p>x</p><p>I</p><p>x</p><p>E</p><p>k</p><p></p><p>pontes</p><p>20</p><p>Exemplo</p><p>Seção</p><p>1 2,000</p><p>2,010</p><p>0,75</p><p>1,3534</p><p>0,6234 2 2,020</p><p>2,050</p><p>2,25</p><p>1,4359</p><p>5,2885</p><p>3 2,080</p><p>2,130</p><p>3,75</p><p>1,6106</p><p>13,0968</p><p>4 2,180</p><p>2,250</p><p>5,25</p><p>1,8984</p><p>21,7782</p><p>5 2,320</p><p>2,410</p><p>6,75</p><p>2,3329</p><p>29,2956</p><p>6 2,500</p><p>2,610</p><p>8,25</p><p>2,9633</p><p>34,4527</p><p>7 2,720</p><p>2,850</p><p>9,75</p><p>3,8582</p><p>36,9586</p><p>8 2,980</p><p>3,130</p><p>11,25</p><p>5,1107</p><p>37,1463</p><p>9 3,280</p><p>3,450</p><p>12,75</p><p>6,8439</p><p>35,6294</p><p>10 3,620</p><p>3,830</p><p>14,25</p><p>9,2177</p><p>33,0444</p><p>11 4,000</p><p>Σ=247,3139</p><p>ih 1ih i,ix 1 i,iI 1</p><p>x</p><p>I</p><p>x</p><p>i,i</p><p>i </p><p>1</p><p>2</p><p></p><p>Unidades em metros.</p><p>m/kN..</p><p>,</p><p>k</p><p>x</p><p>I</p><p>x</p><p>E</p><p>k</p><p>n i,i</p><p>i</p><p>c</p><p>3032111</p><p>3139247</p><p>1030 6</p><p>10</p><p>1 1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>pontes</p><p>21</p><p>Rigidez e flexibilidade do neoprene</p><p>Articulação fixa: k=∞; δ=0</p><p>Articulação móvel: k=0; δ= ∞</p><p>Aparelho de apoio de neoprene:</p><p>Δ</p><p>F</p><p>h γ</p><p>h  G</p><p></p><p> </p><p>A</p><p>F</p><p></p><p>A= área do apoio de neoprene. NN</p><p>N</p><p>N</p><p>h</p><p>GA</p><p>k</p><p>h</p><p>GA</p><p>F</p><p>h</p><p>GAF</p><p>GA</p><p>Fh</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>pontes</p><p>Pilar com apoio em neoprene.</p><p>22</p><p>Rigidez e flexibilidade dos pilares</p><p>hP</p><p>F</p><p>δN</p><p>hN</p><p>δP</p><p>NP  </p><p>GA</p><p>Fh</p><p>EI</p><p>Fh N</p><p>N</p><p>P</p><p>P </p><p></p><p>3</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>GA</p><p>h</p><p>EI</p><p>h</p><p>F NP</p><p>3</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>EI</p><p>h</p><p>GA</p><p>h</p><p>k</p><p>PNNP</p><p>3</p><p>111</p><p>3</p><p>Para F=1:</p><p>Rigidez do</p><p>conjunto</p><p>23</p><p>JT</p><p>JP</p><p>pontes</p><p>Conjunto pilar-neoprene-tubulão.</p><p>Rigidez e flexibilidade dos pilares</p><p>JN</p><p> </p><p>T</p><p>P</p><p>TTPTP</p><p>P</p><p>PN</p><p>N</p><p>TPN</p><p>J</p><p>J</p><p>hhhhh</p><p>h</p><p>.</p><p>EJGA</p><p>h</p><p>k</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>11</p><p>22</p><p>3</p><p></p><p>LT</p><p>64</p><p>4</p><p>f</p><p>T</p><p>D</p><p>J</p><p></p><p></p><p>pontes</p><p>Para pontes simétricas esse centro se encontra no eixo</p><p>de simetria da ponte.</p><p>Todos os pilares têm as mesmas dimensões transversais.</p><p>24</p><p>Centro de dilatação térmica (CDT)</p><p>L2 L1 L3 L1 L2</p><p>H1 H2 H3=H2</p><p>H4=H1</p><p>P1 P2 P3</p><p>P4</p><p>CDT</p><p>pontes</p><p>Quando não se tem simetria o CDT é determinado</p><p>admitindo-se que as forças nos topos dos pilares devido</p><p>à variação térmica e retração tenham resultante nula.</p><p>25</p><p>Centro de dilatação térmica (CDT)</p><p>L1 L2</p><p>EI1 EI2</p><p>EI3</p><p>EI4</p><p>P1</p><p>P2</p><p>P3</p><p>P4</p><p>O</p><p>F1 F2 F3 F4</p><p>δ1 δ2 δ4</p><p>L4</p><p>δ3</p><p>Condição:F1+F2=F3+F4</p><p>x</p><p>pontes</p><p>Arbitrando o CDT a uma distância x do pilar P2 tem-se</p><p>para as deformações:</p><p>26</p><p>Centro de dilatação térmica (CDT)</p><p>Tl </p><p> </p><p> </p><p>  Txll</p><p>Txl</p><p>Tx</p><p>Txl</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>324</p><p>23</p><p>2</p><p>11</p><p>(1)</p><p>Deformações térmicas</p><p>C/ 0510</p><p>pontes</p><p>Força nos topos dos pilares:</p><p>27</p><p>Centro de dilatação térmica (CDT)</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>43</p><p>3</p><p>3</p><p>33</p><p>2</p><p>2</p><p>23</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>3333</p><p>H</p><p>EI</p><p>F</p><p>H</p><p>EI</p><p>F</p><p>H</p><p>EI</p><p>F</p><p>H</p><p>EI</p><p>F </p><p>Condição de resultante nula:F1+F2=F3+F4</p><p>     </p><p>3</p><p>4</p><p>321</p><p>3</p><p>3</p><p>21</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>11</p><p>H</p><p>xllI</p><p>H</p><p>xlI</p><p>H</p><p>xI</p><p>H</p><p>xlI </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Determinado o valor de x calculam-se as deformações</p><p>δ1, δ2, δ3, δ4 por meio das expressões (1), e depois as</p><p>forças F1, F2, F3, F4 usando-se as expressões (2).</p><p>(2)</p><p>pontes</p><p>28</p><p>Forças nos pilares</p><p>Força longitudinais</p><p>Os pilares são considerados elásticos, isto é,</p><p>articulados à viga.</p><p>Temperatura e retração</p><p>Admite-se uma variação de temperatura uniforme na</p><p>estrutura.</p><p>α=10-5 / 0C coeficiente de dilatação térmica do concreto.</p><p>A retração do concreto corresponde a uma variação de</p><p>volume, e de modo simplificado tem-se um método</p><p>prático e imediato que admite que essa diminuição</p><p>ocorre como se houvesse uma variação de temperatura</p><p>de -15 0C.</p><p>pontes</p><p>29</p><p>Temperatura -10 0C +10 0C</p><p>Retração -15 0C –</p><p>Total -25 0C +10 0C</p><p>Então se admite-se uma variação de temperatura</p><p>uniforme para os pilares ΔT=±25 0C.</p><p>A forma mais precisa de se considerar a retração é</p><p>aplicando-se as expressões da NBR 6118:2014 para</p><p>cálculo da deformação específica de retração.</p><p>Gradiente térmico para os pilares</p><p>Temperatura e retração</p><p>30</p><p>Concreto</p><p>Retração</p><p>A NBR 6118:2014 prescreve para a deformação específica</p><p>de retração (shrinkage):</p><p>      00, tttt sscscs   </p><p>21 cscscs  </p><p>Retração no instante ∞ (final do processo):</p><p>1590484</p><p>16,610</p><p>2</p><p>4</p><p>1</p><p>UU</p><p>cs </p><p>fic</p><p>fic</p><p>cs</p><p>h</p><p>h</p><p>38,20</p><p>233</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>parcela dependente da</p><p>umidade relativa do ar.</p><p>parcela função da espessura</p><p>fictícia.</p><p>pontes</p><p>31</p><p>Concreto</p><p>Retração</p><p> Ue 1,08,71 </p><p>Coeficiente adimensional que estabelece a influência da</p><p>umidade relativa do ambiente, depende da área de</p><p>concreto e do perímetro da seção em contato com o ar:</p><p>Para t≥3 dias os coeficientes βs(t0) e βs(t) tem-se:</p><p> </p><p>E</p><p>t</p><p>D</p><p>t</p><p>C</p><p>t</p><p>t</p><p>B</p><p>t</p><p>A</p><p>t</p><p>ts</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>100100100</p><p>100100100</p><p>23</p><p>23</p><p></p><p>pontes</p><p>32</p><p>Concreto</p><p>Retração</p><p>8,03958488169</p><p>8,649658575</p><p>7,408,85,2</p><p>8,4220282116</p><p>40</p><p>234</p><p>23</p><p>3</p><p>23</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>hhhhE</p><p>hhhD</p><p>hhC</p><p>hhhB</p><p>A</p><p>A espessura fictícia deve estar situada no intervalo</p><p>0,05 m≤h≤1,60 m; para valores fora desse intervalo</p><p>devem ser adotados os extremos correspondentes.</p><p>pontes</p><p>33</p><p>Retração</p><p>NBR 6118:2014: variação de βs(t).</p><p>pontes</p><p>34</p><p>Concreto</p><p>Retração</p><p>De acordo com as prescrições da NBR 6118:2014 nos</p><p>cálculos da deformação específica de retração a idade a</p><p>ser considerada é a idade fictícia α.tef, expressa em dias,</p><p>cuja expressão é a mesma apresentada no estudo da</p><p>fluência.</p><p>Apenas o coeficiente α varia.</p><p> </p><p></p><p></p><p>i</p><p>ief</p><p>i t</p><p>T</p><p>t ,</p><p>30</p><p>10</p><p></p><p>pontes</p><p>Espessura fictícia do elemento estrutural</p><p>ar</p><p>c</p><p>fic</p><p>u</p><p>A</p><p>h</p><p>2</p><p></p><p>Ac =área do elemento estrutural;</p><p>uar = perímetro em contato com o ar.</p><p>pontes</p><p>35</p><p>Concreto</p><p>Retração</p><p>pontes</p><p>36</p><p>Tabuleiro ortogonal contínuo</p><p>A distribuição das forças longitudinais e transversais</p><p>no tabuleiro são distribuídas para os topos dos pilares</p><p>de acordo com as rigidezes desses elementos.</p><p>A análise dessa distribuição é análoga ao estudo da</p><p>flexão simples, onde se assume as seções planas e o</p><p>postulado dos pequenos deslocamentos, daí admitir-se</p><p>a superposição dos efeitos por se tratar de sistema</p><p>elástico linear.</p><p>Os parâmetros a serem analisados têm analogia com os</p><p>parâmetros da teoria da flexão simples.</p><p>pontes</p><p>37</p><p>Tabuleiro ortogonal contínuo</p><p>Flexão simples Distribuição de ações</p><p>transversais horizontais</p><p>nos pilares</p><p>Área da seção</p><p>transversal: A</p><p>Rigidez de cada pilar: ki</p><p>Centro de</p><p>gravidade: CG</p><p>Centro elástico CE devido</p><p>às rigidezes de cada pilar</p><p>As seções</p><p>permanecem</p><p>planas após as</p><p>deformações</p><p>O tabuleiro é rígido</p><p>y distância do</p><p>CG até uma</p><p>fibra da seção</p><p>transversal</p><p>x distância da rigidez ki</p><p>ao centro elástico</p><p>pontes</p><p>38</p><p>Tabuleiro ortogonal contínuo</p><p>Para uma força atuante no tabuleiro, admitido como</p><p>rígido, ocorre uma translação ao longo do eixo</p><p>longitudinal da ponte.</p><p>Os deslocamentos horizontais nos topos de todos os</p><p>apoios serão iguais, e as reações serão proporcionais à</p><p>rigidez de cada apoio</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>R</p><p>k</p><p></p><p></p><p>onde δi=δ para todos os apoios</p><p>iii kR  reação horizontal no pilar i.</p><p>Efeito de uma força horizontal longitudinal</p><p>pontes</p><p>39</p><p>Tabuleiro ortogonal contínuo</p><p>Equilíbrio:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> i</p><p>i</p><p>iii</p><p>k</p><p>k</p><p>FkR </p><p></p><p> </p><p>i</p><p>ii</p><p>k</p><p>F</p><p>k.FRF </p><p>EI1 EI2</p><p>EI3</p><p>EI4</p><p>P3</p><p>P4</p><p>R1 R2 R3 R4</p><p>δ4 δ3</p><p>P1</p><p>δ1 δ2</p><p>P2</p><p>Efeito de uma força horizontal longitudinal</p><p>F</p><p>pontes</p><p>40</p><p>Centro elástico transversal</p><p>A determinação é análoga a do efeito de uma força</p><p>horizontal longitudinal, mas neste caso ocorre uma</p><p>translação e uma rotação do tabuleiro.</p><p>A rotação ocorrerá em torno de um ponto denominado</p><p>centro elástico transversal (CET), que é o baricentro</p><p>das rigidezes dos apoios na direção transversal.</p><p>Efeito de uma força horizontal transversal</p><p>Definição de baricentro</p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>TiTi xk</p><p>1</p><p>0</p><p>pontes</p><p>41</p><p>Tii x </p><p>kTi = rigidez do apoio na direção transversal;</p><p>xTi= distância do apoio ao CET.</p><p>Os deslocamentos Δi dos apoios são divididos em duas</p><p>parcelas, uma proveniente da translação α e a outra da</p><p>rotação β.xTi, assim:</p><p>  TiTiTiiTi kxkR  </p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>TiRF</p><p>1</p><p>Equilíbrio das forças</p><p>Centro elástico transversal</p><p>Efeito de uma força horizontal transversal</p><p>pontes</p><p>42</p><p>    TiTiTiTiTi xkkkxF </p><p>Condição de ser baricentro:</p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>TiTi xk</p><p>1</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p>Ti</p><p>Ti</p><p>k</p><p>F</p><p>kF </p><p>Equilíbrio de momentos:</p><p></p><p> </p><p></p><p>F</p><p>xR</p><p>xxRxF</p><p>TiTi</p><p>TiTi</p><p>X= distância da força F ao CET.</p><p>Centro elástico transversal</p><p>Efeito de uma força horizontal transversal</p><p>pontes</p><p>43</p><p>Centro elástico transversal</p><p>Efeito de uma força horizontal transversal</p><p>Equilíbrio de momentos:</p><p>     2</p><p>TiTiTiTiTiTiTi xkxkxkxxF </p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>TiTi xk</p><p>1</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>TiTi</p><p>TiTi</p><p>xk</p><p>xF</p><p>xkxF </p><p>Pondo-se:</p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>Ti Kk</p><p>1</p><p>Jxk TiTi  2</p><p>TiTiTi Fkx</p><p>J</p><p>x</p><p>K</p><p>R </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>pontes</p><p>44</p><p>Essa formulação é análoga à teoria da flexão composta</p><p>de materiais homogêneos e isótropos.</p><p>No caso estudado se tem uma resultante aplicada com</p><p>uma excentricidade em relação ao centro elástico,</p><p>gerando um momento.</p><p>As expressões a seguir são análogas:</p><p>Centro elástico transversal</p><p>Fx</p><p>J</p><p>e</p><p>A</p><p>x </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p> TiTiTi Fkx</p><p>J</p><p>x</p><p>K</p><p>R </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>Nessas formulações se admitiu</p><p>a força aplicada num dos</p><p>eixos principais centrais de inércia do pilar, daí se ter</p><p>sempre flexão reta.</p><p>pontes</p><p>45</p><p>Tabuleiro ortogonal contínuo</p><p>Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro</p><p>A retração e fluência do concreto, os efeitos térmicos e</p><p>força de protensão provocam deformações do tabuleiro, e</p><p>os apoios que têm articulações fixas ou elásticas se</p><p>opõem à essas deformações, gerando reações e</p><p>deslocamentos horizontais no topo dos apoios.</p><p>Os deslocamentos dos pontos do tabuleiro ocorrem nos</p><p>dois sentidos da direção longitudinal, na qual se terá um</p><p>ponto com deslocamento nulo, isto é o baricentro das</p><p>rigidezes, denominado centro elástico longitudinal (CEL).</p><p>pontes</p><p>46</p><p>Tabuleiro ortogonal contínuo</p><p>Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro</p><p>A determinação do CEL é análoga à do CET.</p><p>P3</p><p>P4</p><p>P1 P2</p><p>CEL</p><p>X0</p><p>X4 X1</p><p>X2 X3</p><p>pontes</p><p>47</p><p>Tabuleiro ortogonal contínuo</p><p>Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro</p><p>Baricentro:</p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>TiTi xk</p><p>1</p><p>0</p><p>ki = rigidez do apoio na direção longitudinal;</p><p>xi= distância do apoio ao CEL.</p><p>Os deslocamentos Δi nos apoios são proporcionais às</p><p>distâncias xi:</p><p>ii x </p><p>εi = deformação específica do tabuleiro.</p><p>iiiii kxkR   Força no topo do pilar.</p><p>pontes</p><p>Força de frenação e aceleração</p><p>Força de aceleração.</p><p>48</p><p>maFR </p><p>mgP  Peso do veículo-tipo</p><p>g</p><p>P</p><p>m </p><p>então</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>g</p><p>a</p><p>PFR</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>g</p><p>a Fator de proporcionalidade entre a</p><p>força de aceleração e o peso do</p><p>veículo-tipo.</p><p>2a lei de Newton:</p><p>Cargas em pontes rodoviárias</p><p>pontes</p><p>Para:</p><p>49</p><p>  9020501</p><p>135250</p><p>,n,CNF</p><p>kNCNFLB,H f</p><p></p><p></p><p>Força de frenação e aceleração</p><p>250050 s/m,a,</p><p>g</p><p>a</p><p></p><p>203300 s/m,a,</p><p>g</p><p>a</p><p></p><p>O valor característico da força de frenação ou de</p><p>aceleração é considerado como uma parcela das cargas</p><p>móveis admitidas sem impacto:</p><p>B= largura efetiva em expressa em m da carga distribuída</p><p>de 5 kN/m2);</p><p>L= comprimento concomitante, expresso em m;</p><p>n= número inteiro de faixas de tráfego rodoviário a serem</p><p>carregadas sobre um tabuleiro transversal contínuo.</p><p>Cargas em pontes rodoviárias</p><p>pontes</p><p>Frenação e aceleração</p><p>50</p><p>Para pontes ferroviárias uma força longitudinal deve ser</p><p>aplicada no topo dos trilhos e igual ou maior do que 15%</p><p>da carga móvel para frenação, ou 25% do peso dos eixos</p><p>motores para a aceleração.</p><p>Para o caso de mais de uma linha:</p><p>1) considerar a força longitudinal em apenas duas linhas;</p><p>2) numa linha a força de frenação e na outra linha a força</p><p>de aceleração ou metade da força de frenação;</p><p>3) adotar o maior valor obtido.</p><p>Essas duas forças são consideradas no mesmo sentido</p><p>nas duas linhas que correspondam à situação mais</p><p>desfavorável.</p><p>Cargas em pontes rodoviárias</p><p>pontes</p><p>Força centrífuga</p><p>Pontes rodoviárias em curva</p><p>A força centrífuga normal ao eixo é considerada atuando na</p><p>superfície de rolamento como uma fração do peso do</p><p>veículo tipo na posição mais desfavorável:</p><p>– raio de curvatura inferior a 200 m, Hfc=2,4P;</p><p>– raio de curvatura no intervalo 200 m<R<1500 m,</p><p>Hfc=(480/R).P;</p><p>R= raio de curva horizontal no eixo da obra em m.</p><p>51</p><p>Cargas em pontes rodoviárias</p><p>Cargas em pontes rodoviárias</p><p>pontes</p><p>Força centrífuga</p><p>Pontes ferroviárias em curva</p><p>A força centrífuga é considerada atuando no centro de</p><p>gravidade do trem, suposto 1,00 m acima da superfície do</p><p>topo do trilho sendo o valor característico admitido como</p><p>uma fração C da carga móvel, daí:</p><p>a) linhas de bitola larga (1,60 m)</p><p>C=0,15 se R≤200 m ;</p><p>C=180/R se R>1.200 m;</p><p>b) linhas de bitola estreita (1,00 m)</p><p>C=0,10 se R ≤ 750 m, C=75/R ;</p><p>C=75/R se R>750 m.</p><p>52</p><p>Cargas em pontes ferroviárias</p><p>pontes</p><p>53</p><p>Força centrífuga</p><p>Cargas em pontes ferroviárias</p><p>Pontes ferroviárias em curva</p><p>O efeito da força centrífuga aumentará a solicitação</p><p>nas vigas à direita da seção transversal e uma</p><p>diminuição nas vigas situadas à esquerda.</p><p>A solicitação horizontal requer contraventamento</p><p>lateral dado pela ou tabuleiro.</p><p>pontes</p><p>Força de protensão, fluência, retração</p><p>Adotar as prescrições da NBR 6118:2014.</p><p>Deslocamentos das fundações</p><p>Caso o solo e o tipo de fundações levem à ocorrência de</p><p>deslocamentos que produzam efeitos apreciáveis na</p><p>estrutura, as deformações assim produzidas devem ser</p><p>consideradas no projeto.</p><p>Cargas de construção</p><p>As solicitações possíveis de ocorrer durante a</p><p>construção, principalmente as devidas ao peso do</p><p>equipamentos e estruturas auxiliares de montagem e de</p><p>lançamento de peças estruturais.</p><p>Devem ser calculadas em cada etapa executiva.</p><p>54</p><p>Cargas em pontes</p><p>pontes</p><p>Carga de vento</p><p>Deve ser seguida a NBR 6123:2013.</p><p>55</p><p>Ponte rodoviária descarregada.</p><p>Ponte rodoviária carregada.</p><p>Adotar o maior dos dois valores.</p><p>  pontedaocompriment,hS</p><p>Sm/kN,SPF vv</p><p></p><p></p><p>002</p><p>01</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>111</p><p>pontedaocomprimenthS</p><p>Sm/kN,SPF vv</p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>222 51</p><p>h</p><p>h</p><p>pontes</p><p>56</p><p>Ponte ferroviária</p><p>descarregada.</p><p>Carga de vento</p><p>Ponte ferroviária carregada.</p><p>pontes</p><p>57</p><p>Carga de vento</p><p>Passarela de pedestres.</p><p>Em passarelas esbeltas, leves, sensíveis a vento e à</p><p>ação dinâmica dos pedestres, principalmente em</p><p>estruturas de aço, mista pênseis ou estaiadas, a</p><p>estabilidade global dos seus elementos deve ser</p><p>examinada por meio de modelos dinâmicos e realizada</p><p>a verificação à fadiga.</p><p>pontes</p><p>58</p><p>Exemplo</p><p>Calcular as forças longitudinais na ponte com duas</p><p>longarinas apoiadas sobre aparelhos de apoio de</p><p>neoprene fretado. Concreto C25. Classe 45.</p><p>pontes</p><p>59</p><p>Exemplo</p><p>Seção transversal; as transversinas não estão indicadas.</p><p>pontes</p><p>60</p><p>Exemplo</p><p>Coeficiente de impacto vertical para pontes rodoviárias:</p><p>331</p><p>5015</p><p>20</p><p>0611</p><p>50</p><p>20</p><p>0611 ,.,</p><p>Liv</p><p>.,CIV </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10 m<Liv≤200 m</p><p>    90122050120501 ,,n,CNF </p><p>Adotar CIV=1,35.</p><p>kNP,,CIACNFCIVPQ 126251135175 </p><p>2485 m/kN,CIACNFCIVq </p><p>kN,,,CNFL.B,H f 13512310060208250250 </p><p>Força de frenação:</p><p>Adotar Hf=135 kN.</p><p>pontes</p><p>61</p><p>Exemplo</p><p>Carga de vento:</p><p>Ponte rodoviária descarregada.</p><p>Ponte rodoviária carregada</p><p>  kN,,,Fv 25280000260511 </p><p>  kN,,,Fv 24000200260012 </p><p>Adotar Fv=252 kN.</p><p>pontes</p><p>62</p><p>Pressão da água nos pilares</p><p>v=velocidade da água; k=coeficiente adimensional.</p><p>K=0,92</p><p>450</p><p>K=0,54</p><p>Se não houver medição da velocidade adotar v=2m/s.</p><p> 22 m/kNvkp </p><p>K=0,34</p><p>2361 m/kN,p </p><p>Para v=2m/s tem-se:</p><p>2683 m/kN,p  2162 m/kN,p </p><p>pontes</p><p>63</p><p>Exemplo</p><p>7,00</p><p>0,20X1,00</p><p>0,75 0,75</p><p>6,557</p><p>P1 P1A</p><p>Calcular a ação da correnteza no pilar do pórtico:</p><p>NA</p><p>4,00</p><p>6,057</p><p>4,00</p><p>Adotar v=2m/s.</p><p>p</p><p>p</p><p>pontes</p><p>64</p><p>Exemplo</p><p>Carregamento equivalente aplicado no topo do pilar.</p><p>222 6832920 m/kN,,vkp </p><p>6,057</p><p>F</p><p>h.b.pF </p><p>Para o nível máximo da</p><p>água tem-se a força da</p><p>correnteza:</p><p>m,b 750Dimensão do pilar normal à correnteza:</p><p>Nível máximo da água: m,h 004</p><p>kN,,,,F 0411004750683 </p><p>pontes</p><p>65</p><p>Impacto de sólidos nos pilares</p><p>F=força de impacto.</p><p>h</p><p>δ</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>mvEc </p><p>Para uma massa m (embarcação ou tora de madeira)</p><p>transportada pela correnteza, com velocidade v tem-se a</p><p>energia cinética:</p><p>x</p><p>NA F</p><p>Energia potencial de</p><p>deformação:</p><p> dx</p><p>EJ</p><p>M</p><p>Ed</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>Momento na seção genérica:</p><p>x.FM </p><p>pontes</p><p>66</p><p>Impacto de sólidos nos pilares</p><p> </p><p>  dxx</p><p>EJ</p><p>F</p><p>dx</p><p>EJ</p><p>x.F</p><p>dx</p><p>EJ</p><p>M</p><p>Ed</p><p>2</p><p>222</p><p>22</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>J=momento de inércia do pilar suposto constante.</p><p> dxx</p><p>EJ</p><p>F</p><p>mvEE Cd</p><p>22</p><p>22</p><p>1</p><p>Essa energia deve ser igual, quando do impacto, à</p><p>energia cinética:</p><p>3</p><p>23</p><p>h</p><p>mv.EJ</p><p>F  Na falta de dados adotar v=2 m/s.</p><p>pontes</p><p>67</p><p>Para pilares em aterro considerar o empuxo atuando</p><p>numa largura igual a três vezes a largura do pilar,</p><p>limitando-se essa largura à largura da plataforma de</p><p>aterro.</p><p>Esse acréscimo de pressão deve-se ao efeito de arco do</p><p>solo que ocorre porque o pilar é menos deformável que o</p><p>solo.</p><p>Empuxo do solo no pilar</p><p>extremo</p><p>pontes</p><p>68</p><p>Para grupo de pilares alinhados transversalmente se a</p><p>largura fictícia for superior à distância transversal entre os</p><p>eixos dos pilares, deve-se adotar:</p><p>a) para os pilares extremos a semidistância entre os eixos</p><p>acrescida de uma vez e meia largura do pilar;</p><p>b) para os pilares intermediários a distância entre os eixos.</p><p>O empuxo devido ao solo é desconsiderado quando:</p><p>1) os terraplenos são horizontais;</p><p>2) quando são adotadas precauções, tais como, inclinações</p><p>adequadas dos taludes, compactação adequada do solo,</p><p>distâncias mínimas dos elementos em relação às bordas</p><p>do aterro, solo de fundação com grande capacidade</p><p>resistente, etc.</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>pontes</p><p>69</p><p>Nesse caso não haverá empuxo</p><p>no pilar devido ao aterro.</p><p>2:3</p><p>h</p><p>Admite-se que o solo não tenha coesão.</p><p>O peso específico do solo úmido deverá ser</p><p>considerado igual a 18 kN/m3, e o ângulo de atrito</p><p>máximo do solo será φ=300.</p><p>Somente considerar a</p><p>ação favorável do empuxo</p><p>passivo quando de sua</p><p>ocorrência durante toda a</p><p>vida da obra.</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>pontes</p><p>70</p><p>γkah</p><p>h=altura da</p><p>cortina</p><p>030 =ângulo de atrito interno do solo.</p><p>ak = coeficiente de empuxo ativo</p><p>do solo.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>4502 </p><p>tgka</p><p>3330</p><p>2</p><p>30</p><p>45</p><p>0</p><p>02 ,tgka </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =peso específico do solo 18 kN/m3.</p><p>A favor da segurança considera-se ka =0,5.</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>pontes</p><p>71</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>2:3</p><p>p=γkah</p><p>E</p><p>p</p><p>h</p><p>ka=0,5</p><p>p=18x0,5h=9h</p><p>E=0,5x9h2x3b=13,5.bh2</p><p>Não considerar simultaneamente</p><p>os dois empuxos nas cabeceiras</p><p>da ponte.</p><p>pontes</p><p>72</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>P3</p><p>P1 P2</p><p>F</p><p>Apoio</p><p>fictício</p><p>Reação</p><p>Indeslocável</p><p>Sistema estrutural</p><p>A hipótese da existência de uma apoio no eixo</p><p>longitudinal do tabuleiro gera uma reação horizontal F.</p><p>pontes</p><p>73</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>E</p><p>1a etapa</p><p>F</p><p>Considerar o tabuleiro indeslocável.</p><p>a</p><p>b</p><p>hP1</p><p>M</p><p> </p><p> ba</p><p>ba</p><p>Eab</p><p>M </p><p></p><p> 2</p><p>2</p><p>2</p><p>ba</p><p>M</p><p>ba</p><p>Eb</p><p>F</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Reação do tabuleiro</p><p>à força de empuxo.</p><p>P1</p><p>pontes</p><p>74</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>2a etapa A força F gera uma deslocabilidade</p><p>na estrutura.</p><p>F1</p><p>E</p><p>F</p><p>F2</p><p>F3</p><p>321 FFFF </p><p>F</p><p>k</p><p>k</p><p>F</p><p></p><p> 1</p><p>1</p><p>F</p><p>k</p><p>k</p><p>F</p><p></p><p> 2</p><p>2 F</p><p>k</p><p>k</p><p>F</p><p></p><p> 3</p><p>3</p><p>pontes</p><p>75</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>2a etapa</p><p>M</p><p>+</p><p>F1hP1</p><p>=</p><p>M+F1hP1</p><p>P1</p><p>hP1</p><p>pontes</p><p>76</p><p>Empuxo do solo no pilar extremo</p><p>2a etapa</p><p>F2hP2</p><p>P2</p><p>hP2</p><p>F3hP3</p><p>hP3</p><p>P3</p><p>OBS.: as mesmas considerações devem ser</p><p>realizadas para a outra cabeceira.</p><p>pontes</p><p>77</p><p>Empuxo do solo</p><p>Nas cabeceiras (encontros ou cortinas) atuam dois</p><p>tipos de empuxos:</p><p>1) empuxo devido ao aterro;</p><p>2) empuxo devido às cargas móveis.</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>pontes</p><p>78</p><p>Nas pontes retas os</p><p>empuxos de solos nas</p><p>cabeceiras se equilibram.</p><p>Nas pontes esconsas os</p><p>empuxos de solos nas</p><p>cabeceiras não se</p><p>equilibram, pois surge</p><p>um binário (torção no</p><p>tabuleiro).</p><p>Empuxo do solo</p><p>pontes</p><p>Para estrutura que funciona como arrimo dos aterros de</p><p>acesso o empuxo pode ser considerado dos dois lados da</p><p>ponte, caso não haja juntas intermediárias no tabuleiro, e</p><p>desde que seja realizada a verificação para a hipótese de</p><p>existir a ação em apenas uma das extremidades.</p><p>Para tabuleiros curvos ou esconsos os empuxos devem</p><p>ser considerados em ambas as extremidades, se esse for</p><p>o caso mais desfavorável.</p><p>A má compactação do aterro sob a ponte leva ao empuxo</p><p>nos pilares.</p><p>79</p><p>Empuxo do solo</p><p>pontes</p><p>80</p><p>O caso mais desfavorável é considerar a carga móvel</p><p>atuando apenas numa cabeceira.</p><p>Em pontes muito longas são adotadas juntas, daí se tem</p><p>trechos independentes para evitar que surjam grandes</p><p>deslocamentos provenientes da retração, temperatura e</p><p>protensão.</p><p>Desse modo as forças nos topos dos pilares são</p><p>diminuídas, sendo os pilares de cada trecho projetados</p><p>para resistirem ao empuxo total do aterro na cortina ou</p><p>encontro.</p><p>Empuxo do solo provocado por cargas móveis</p><p>pontes</p><p>81</p><p>Empuxo do solo provocado por cargas móveis</p><p>LP</p><p></p><p>q</p><p>h 0 = altura de solo equivalente.</p><p>PL = larguras das faixas+acostamentos.</p><p>q = carga móvel (multidão).</p><p> =peso específico do solo (kN/m3).</p><p>pontes</p><p>82</p><p>Empuxo do solo provocado por cargas móveis</p><p>Atualmente se usa duas sistemáticas para cálculo da</p><p>sobrecarga proveniente das cargas móveis atuando nas</p><p>cabeceiras, considerando-se a classe da ponte.</p><p>Essa sobrecarga permitirá o cálculo do empuxo atuante</p><p>nos encontros ou cortinas.</p><p>pontes</p><p>83</p><p>Empuxo do solo provocado por cargas móveis</p><p>25 kN/m2</p><p>225</p><p>006003</p><p>450</p><p>m/kN</p><p>,,</p><p>qv </p><p></p><p></p><p>Critério</p><p>Carga móvel (multidão):</p><p>m,h</p><p>q</p><p>h v 381</p><p>18</p><p>25</p><p>00 </p><p></p><p>Altura de solo equivalente:</p><p>Tabuleiro</p><p>Encontro</p><p>Quando se tem dois tipos de</p><p>carga de multidão adota-se a</p><p>média ponderada dessas</p><p>cargas.</p><p>pontes</p><p>84</p><p>A passagem de um veículo sobre um aterro, vizinho à</p><p>entrada da ponte, gera na superfície vertical dos</p><p>encontros uma pressão lateral.</p><p>Empuxo do solo provocado por cargas móveis</p><p> </p><p>bhqkE</p><p>,q,.q</p><p>q aq</p><p>p</p><p>pv</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 003003</p><p>ka=coeficiente de empuxo ativo;</p><p>qv=carga uniformemente distribuída, resultante da</p><p>divisão do peso total do veículo-tipo pela área 3,00X6,00</p><p>m2;</p><p>b.h=dimensões do cortina ou encontro;</p><p>q=carga de multidão.</p><p>pontes</p><p>85</p><p>No caso de ponte reta simétrica os empuxos do solo se</p><p>autoequilibram, mas a parcela devido às cargas móveis</p><p>deve ser considerada.</p><p>Em pontes curvas não ocorre o autoequilibro dos</p><p>empuxos.</p><p>A força horizontal devida ao empuxo deve ser divida pelo</p><p>número de linhas de pilares para se obter a parcela</p><p>referente a cada pilar da linha.</p><p>Na combinação de ações o empuxo é tratado como uma</p><p>carga permanente.</p><p>Empuxo do solo provocado por cargas móveis</p><p>pontes</p><p>86</p><p>Exemplo</p><p>11,60</p><p>0,20</p><p>0,20</p><p>2,10</p><p>Calcular a força devido ao empuxo originada pelo solo e</p><p>pela carga móvel na cortina da ponte classe 45.</p><p>Dados: γ=18 kN/m2;</p><p>φ=300; ka =0,33.</p><p>225</p><p>006003</p><p>450</p><p>m/kN</p><p>,,</p><p>qv </p><p></p><p></p><p> </p><p>  210</p><p>0012</p><p>0030012500325</p><p>003003</p><p>m/kN</p><p>,</p><p>,,.,</p><p>,q,.q</p><p>q</p><p>p</p><p>pv</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>pontes</p><p>87</p><p>Exemplo</p><p>Empuxo devido às cargas móveis:</p><p>kN,,,,,bhqkE aq 16830012102010330 </p><p>Empuxo devido ao solo:</p><p>kN,,,,bhkE asolo 17157001210218330</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 22  </p><p>Empuxo total:</p><p>kN,,,EEE soloq 33240171571683 </p><p>OBS.: o valor total do empuxo deve ser multiplicado</p><p>pelo coeficiente de distribuição das rigidezes dos</p><p>pilares, e dividido pelo número de linhas de pilares.</p><p>pontes</p><p>88</p><p>Empuxo do solo provocado por cargas móveis</p><p>N linhas</p><p>de pilares</p><p>BhhkE asolo 0</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p>Distribuição nos pilares longitudinais:</p><p>aargsobrec</p><p>i</p><p>i</p><p>i F</p><p>k</p><p>k</p><p>F</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Não considerar simultaneamente os dois empuxos nas</p><p>cabeceiras da ponte.</p><p>pontes</p><p>89</p><p>Sequência de cálculo</p><p>Cargas longitudinais</p><p>Calcular:</p><p>1) cargas de frenação e aceleração;</p><p>2) empuxo unilateral na cortina;</p><p>3) empuxo devido ao aterro no pilar extremo.</p><p>Com essas cargas se tem a resultante das forças</p><p>longitudinais ΣFi=R.</p><p>ii x </p><p>Deslocamentos nos topos dos pilares:</p><p>xi=distância do topo do pilar ao centro elástico.</p><p>pontes</p><p>90</p><p>Sequência de cálculo</p><p>Cargas longitudinais</p><p>iiiii xkkF  Forças nos topos dos pilares:</p><p>donde</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>ii</p><p>i</p><p>i x</p><p>k</p><p>F</p><p>x</p><p>k</p><p>R</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>ε=deformação específica devida à retração do concreto,</p><p>temperatura e protensão.</p><p>Deformação específica devida à protensão:</p><p>c</p><p>protensão</p><p>protensão</p><p>E</p><p></p><p>  Valor médio.</p><p>Deformação específica total:</p><p>protensãoretraçaõatemperaturtotal  </p><p>pontes</p><p>91</p><p>Sequência de cálculo</p><p>Cargas longitudinais</p><p>Kk</p><p>k</p><p>k</p><p>FR i</p><p>i</p><p>i</p><p>ii  </p><p></p><p> </p><p>Forças longitudinais nos topos dos pilares:</p><p>donde</p><p> iiiiiiiii xKRHxkRH  </p><p>hPi</p><p>Mi</p><p>Pi</p><p>Piii hHM </p><p>Momentos nos pilares:</p><p>MhHM Piii </p><p>Pilares centrais.</p><p>Pilares extremos.</p><p>M=empuxo do solo no pilar extremo.</p><p>pontes</p><p>92</p><p>Exemplo</p><p>6,00</p><p>13,00</p><p>14,00</p><p>3,00</p><p>6,00</p><p>10,00</p><p>12,00</p><p>9,00</p><p>20,00 24,00 20,00</p><p>2,00</p><p>Cotas em metros.</p><p>P1</p><p>P2</p><p>P3</p><p>P4</p><p>Croquis longitudinal.</p><p>pontes</p><p>93</p><p>Exemplo</p><p>7,00</p><p>Cotas em</p><p>metros.</p><p>0,20X1,00</p><p>Croquis transversal.</p><p>Calcular e distribuir as</p><p>forças longitudinais e</p><p>horizontais nos pilares</p><p>da ponte.</p><p>Concreto C 25.</p><p>Aparelhos de apoio de</p><p>neoprene: 0,03X0,30X0,75 m3.</p><p>G=1 MPa.</p><p>Dimensões dos pilares (cm):</p><p>P1-75X85; P2-85X145;</p><p>P3-85X155; P4-75X75.</p><p>1,60</p><p>0,30X2,00</p><p>pontes</p><p>94</p><p>Exemplo</p><p>Momentos de inércia dos pilares:</p><p>12</p><p>3bh</p><p>JP  44</p><p>1 1083383 m,JP</p><p> 44</p><p>2 102159 mJP</p><p></p><p>44</p><p>3 10742637 m,JP</p><p> 44</p><p>4 1067263 m,JP</p><p></p><p>Momentos de inércia dos tubulões:</p><p>44103217 mJT</p><p></p><p>Módulo de elasticidade do concreto:</p><p>    MPa..,f.,E ckcs 800232556008505600850 </p><p>64</p><p>4</p><p>f</p><p>T</p><p>D</p><p>J</p><p></p><p></p><p>pontes</p><p>95</p><p>Exemplo</p><p>Rigidezes do conjunto neoprene-pilar-tubulão:</p><p> </p><p>T</p><p>P</p><p>TTPTP</p><p>P</p><p>PN</p><p>NTPN</p><p>J</p><p>J</p><p>hhhhh</p><p>h</p><p>.</p><p>EJGA</p><p>h</p><p>k</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>111</p><p>22</p><p>3</p><p>Pilar P1: m/kNkm,h;m,h TP 3643</p><p>1</p><p>006006 </p><p></p><p>Pilar P2: m/kNkm,h;m,h TP 1415</p><p>1</p><p>00100013 </p><p></p><p>Pilar P3: m/kNkm,h;m,h TP 1085</p><p>1</p><p>00120014 </p><p></p><p>Pilar P4: m/kNkm,h;m,h TP 4578</p><p>1</p><p>009003 </p><p></p><p>pontes</p><p>96</p><p>Exemplo</p><p>Coeficientes de partição da rigidez do conjunto</p><p>neoprene-pilar-tubulão:</p><p>Pilar P1: 3401 ,r  Pilar P2:</p><p></p><p></p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>k</p><p>r</p><p>1302 ,r </p><p>Pilar P3: 1003 ,r  Pilar P4: 4304 ,r </p><p>001430100130340 ,,,,,ki </p><p>Esses coeficientes serão utilizados na obtenção da</p><p>parcela para cada pilar devida à força de frenação.</p><p>pontes</p><p>97</p><p>Exemplo</p><p>Calcular a força no topo de cada pilar devida à variação</p><p>de temperatura de 25 0C, admitindo-se que α=10-5 /0C.</p><p>P3</p><p>P4</p><p>P1 P2</p><p>O</p><p>L2+L3-X L 1+X</p><p>X L2-X</p><p>ii d.T. Deformação térmica:</p><p>di distância do pilar ao</p><p>ponto O.</p><p>pontes</p><p>98</p><p>Exemplo</p><p>Determinação do ponto O:</p><p>k1=3643 k4=4478 k2=1415 k3=1085</p><p>O</p><p>x</p><p>20,00+x</p><p>24,00+20,00-x</p><p>24,00-x</p><p>     </p><p>     x,,x,xx,.</p><p>x,,.T.kx,.T.kx.T.kx,.T.k</p><p></p><p></p><p>00200024457800241085141500203643</p><p>0020002400240020 4321 </p><p>20,00 20,00 24,00</p><p>m,x 4214</p><p>pontes</p><p>99</p><p>Exemplo</p><p>ii d.T. Deformações térmicas:</p><p> </p><p> </p><p>  cm,.</p><p>cm,.</p><p>cm,</p><p>cm,.</p><p>74001442200024002510</p><p>2400144224002510</p><p>361014422510</p><p>8610144220002510</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>iii kF Força no topo do pilar:</p><p>kN,,F</p><p>kN,,F</p><p>kN,,F</p><p>kN,,F</p><p>88331074004578</p><p>6021024001085</p><p>1151036101415</p><p>37311086103643</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>kN,FFFF 48364321 </p><p>pontes</p><p>100</p><p>Exemplo</p><p>Calcular a força no topo de cada pilar devida à retração</p><p>do concreto, admitindo-se que U= 75%, t0= 30 dias.</p><p>31020  ,cs</p><p>Espessura fictícia da peça:</p><p>30</p><p>200</p><p>Longarina.</p><p>  m,,,.u</p><p>m,,,A</p><p>ar</p><p>c</p><p>6040023002</p><p>600002300 2</p><p></p><p></p><p>260</p><p>604</p><p>600</p><p>2 ,</p><p>,</p><p>,</p><p>.h fict </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> Tabela</p><p>ar</p><p>c</p><p>fict</p><p>u</p><p>A</p><p>h 2</p><p>icscsi dL  </p><p>Deformações devidas à retração do concreto:</p><p>di distância do pilar ao ponto O.</p><p>pontes</p><p>101</p><p>Exemplo</p><p>Deformações devidas à retração do concreto:</p><p> </p><p> </p><p>  cm,.,L</p><p>cm,.,L</p><p>cm,,L</p><p>cm,.,L</p><p>cs</p><p>cs</p><p>cs</p><p>cs</p><p>592014422000240010200</p><p>19201442240010200</p><p>2880144210200</p><p>68801442200010200</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>iii kF </p><p>Força no topo do pilar devidas à retração do concreto:</p><p>kN,,F</p><p>kN,,F</p><p>kN,,F</p><p>kN,,F</p><p>10271059204578</p><p>0821019201085</p><p>0841028801415</p><p>06251068803643</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>kN,FF,FF 18291429 4321 </p><p>(diferença devida aos</p><p>arredondamentos.)</p><p>pontes</p><p>102</p><p>Exemplo</p><p>Calcular a força no topo de cada pilar devida à frenação.</p><p>Classe 45; 450 kN</p><p>Coeficiente de impacto vertical:</p><p>301</p><p>5020</p><p>20</p><p>0611</p><p>50</p><p>20</p><p>0611 ,.,</p><p>Liv</p><p>.,CIV </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10 m<Liv≤200 m</p><p>    90122050120501 ,,n,CNF </p><p>Adotar CIV=1,35.</p><p>kN,,,CNFL.B,H f 1351230060208250250 </p><p>Força de frenação:</p><p>Adotar Hf=135 kN que corresponde a 0,30X450 (peso</p><p>total do veículo-tipo.)</p><p>pontes</p><p>103</p><p>Exemplo</p><p>Por linha de pilar: 135/2=67,50 kN</p><p>Pilar P1:</p><p>kN,,,F,r H 9522567340340 11 </p><p>Pilar P2:</p><p>Pilar P3:</p><p>Pilar P4:</p><p>kN,,,F,r H 788567130130 22 </p><p>kN,,,F,r H 756567100100 23 </p><p>kN,,,F,r H 0329567430430 44 </p><p>pontes</p><p>104</p><p>Exemplo</p><p>2:3</p><p>E</p><p>6,00 m</p><p>h</p><p>6,00-h</p><p>0,20 5,00</p><p>0,85</p><p>6,00 m</p><p>JT</p><p>JP</p><p>9h</p><p>Pilar</p><p>P1=75x85</p><p>1,60</p><p>Calcular a força no pilar P1</p><p>devida ao empuxo do solo.</p><p>pontes</p><p>105</p><p>P3</p><p>P1 P2</p><p>Exemplo</p><p>P4</p><p>20,00 m 24,00 m 20,00 m</p><p>Rigidezes dos pilares:</p><p>k1=3643 kN/m k2=1415 kN/m</p><p>k3=1085 kN/m k4=4578 kN/m</p><p>pontes</p><p>106</p><p>Exemplo</p><p>Altura da atuação do empuxo:</p><p>m,h</p><p>,</p><p>,</p><p>h,</p><p>822</p><p>2</p><p>850</p><p>205</p><p>006</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Empuxo:</p><p>kN,,,,Ebh,E 580822750513513 22 </p><p>Comprimento elástico do tubulão:</p><p>44</p><p>4</p><p>103217</p><p>64</p><p>601</p><p>m</p><p>,</p><p>JT</p><p></p><p></p><p></p><p> 44</p><p>3</p><p>1083383</p><p>12</p><p>850750</p><p>m,</p><p>,,</p><p>JP</p><p></p><p></p><p></p><p>m,</p><p>,</p><p>,</p><p>J</p><p>J</p><p>T</p><p>T</p><p>P</p><p>TT 7160</p><p>3217</p><p>83383</p><p>006 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>pontes</p><p>107</p><p>1a etapa P1</p><p>2,82/3</p><p>0,716</p><p>2,82 m,,</p><p>,</p><p>a</p><p>h</p><p>a T</p><p>65617160</p><p>3</p><p>822</p><p>3</p><p></p><p> </p><p> </p><p>m,,,,b</p><p>h</p><p>hhb P</p><p>065822822</p><p>3</p><p>2</p><p>006</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p>E</p><p>Exemplo</p><p>pontes</p><p>108</p><p>P1</p><p>1a etapa</p><p>F</p><p>a=5,06</p><p>b=1,656</p><p>6,716</p><p>P1</p><p> </p><p> ba</p><p>ba</p><p>Eab</p><p>M </p><p></p><p> 2</p><p>2</p><p>2</p><p>ba</p><p>M</p><p>ba</p><p>Eb</p><p>F</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> 65610652</p><p>65610652</p><p>6561065580</p><p>2</p><p>,,</p><p>,,</p><p>,,,</p><p>M </p><p></p><p></p><p></p><p>m.kN,M 0588</p><p>6561065</p><p>0588</p><p>6561065</p><p>6561580</p><p>,,</p><p>,</p><p>,,</p><p>,,</p><p>F</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>kN,F 746</p><p>Exemplo</p><p>pontes</p><p>109</p><p>Exemplo</p><p>2a etapa</p><p>k1=3643 k4=4578 K2=1415 k3=1085</p><p>kN,FFFFF 7464321 </p><p>Força nos topos dos pilares devido ao empuxo:</p><p>kN,,,FrF 29274634011  kN,,,FrF 88074613022 </p><p>kN,,,FrF 67074610033  kN,,,FrF 90274643044 </p><p>3401 ,r  1302 ,r  1003 ,r  4304 ,r </p><p>pontes</p><p>110</p><p>Centro elástico transversal</p><p>Resultante das forças transversais atuantes no tabuleiro</p><p>num tabuleiro ortogonal contínuo.</p><p>Devem ser determinadas as rigidezes dos pilares na</p><p>direção transversal.</p><p>pontes</p><p>111</p><p>Centro elástico transversal</p><p>A determinação do ponto CET (centro das molas) faz-se</p><p>em função das rigidezes transversais dos pilares kTi.</p><p>Trata-se de um sistema plano de forças, daí aplica-se o</p><p>teorema de Varignon para obtenção do CET.</p><p>kT1 kT4 kT2 kT3</p><p>α</p><p>CG</p><p>V</p><p>CET</p><p>pontes</p><p>112</p><p>Centro elástico transversal</p><p>F1 F2</p><p>F3 F4</p><p>δ1</p><p>δ2</p><p>δ3</p><p>δ4</p><p>y</p><p>β</p><p>CET</p><p>x1</p><p>x2 x3</p><p>x4</p><p>V</p><p>α</p><p>V</p><p>M</p><p>Planta baixa</p><p>y=Translação β=Rotação</p><p>Reta y=a+bxi</p><p>pontes</p><p>113</p><p>Centro elástico transversal</p><p>V.M Momento da resultante:</p><p>   iiiiii xbxakxkV.M </p><p>  2</p><p>iiii xkbxkaV</p><p>No centro de massas tem-se:</p><p>  0iixk</p><p>Assim:</p><p></p><p></p><p>2</p><p>iixk</p><p>V</p><p>b</p><p></p><p>pontes</p><p>114</p><p>Centro elástico transversal</p><p>Logo o deslocamento para um pilar fica:</p><p>i</p><p>iii</p><p>ii x</p><p>xk</p><p>V</p><p>k</p><p>V</p><p>bxa</p><p></p><p></p><p>2</p><p></p><p></p><p>e para força nesse elemento tem-se</p><p>Pondo-se:</p><p> 2</p><p>iixkJ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>iii</p><p>iiii x</p><p>xk</p><p>V</p><p>k</p><p>V</p><p>kkF</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> J</p><p>xk</p><p>k</p><p>k</p><p>VF ii</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p></p><p>pontes</p><p>115</p><p>Rigidez transversal</p><p>Pilar-parede:</p><p>h</p><p>b</p><p>12</p><p>3bh</p><p>J L,P </p><p>12</p><p>3hb</p><p>J T,P </p><p>Momento de inércia</p><p>longitudinal.</p><p>Momento de inércia</p><p>transversal.</p><p>pontes</p><p>116</p><p>Rigidez transversal</p><p>Pilares sem contraventamento.</p><p>ki ki</p><p>iparalelo kk 2 Sistema em paralelo.</p><p>OBS.: podem ser desprezadas as</p><p>vigas de contraventamento no</p><p>cálculo da distribuição das</p><p>solicitações transversais, desde</p><p>que esse procedimento seja</p><p>adotado para todos os pilares.</p><p>hP</p><p>pontes</p><p>117</p><p>Rigidez transversal</p><p>Solicitações transversais finais.</p><p>ki ki</p><p>A força transversal é distribuída igualmente entre os</p><p>dois pilares transversais.</p><p>DMF</p><p>-</p><p>hP</p><p>0,5Hi 0,5Hi</p><p>0,5HihP</p><p>a) Pilares sem vigas de contraventamento: Hi</p><p>Fi</p><p>q</p><p>=</p><p>pontes</p><p>118</p><p>Rigidez transversal</p><p>JP JP</p><p>JV</p><p>hP hP</p><p>LV</p><p>kFkF  1</p><p>Admitindo-se um deslocamento unitário tem-se por</p><p>meio do sistema de mola (lei de Hooke) a rigidez do pilar</p><p>na direção transversal:</p><p>δ δ</p><p>Os momentos de flexão nos nós</p><p>do quadro</p><p>são obtidos com a</p><p>tabela de Kleinlogel, que não</p><p>considera a rigidez do aparelho</p><p>de apoio e a rigidez do tubulão.</p><p>pontes</p><p>119</p><p>Rigidez transversal</p><p>Solicitações transversais finais.</p><p>Rahmenformeln; A. Kleinlogel.</p><p>V</p><p>P</p><p>P</p><p>V</p><p>L</p><p>h</p><p>J</p><p>J</p><p>k </p><p>k</p><p>khH</p><p>MM PTi</p><p>DA</p><p>61</p><p>31</p><p>2 </p><p></p><p></p><p>k</p><p>khH</p><p>MM PTi</p><p>CB</p><p>61</p><p>3</p><p>2 </p><p></p><p>HTi</p><p>JP JP</p><p>JV</p><p>hP hP</p><p>HA=HTi-HD</p><p>HD=0,5HTi</p><p>VA VD</p><p> kL</p><p>khH</p><p>VV</p><p>V</p><p>PTi</p><p>DA</p><p>61</p><p></p><p>pontes</p><p>120</p><p>Rigidez transversal</p><p>Δi</p><p>hP</p><p>Pórtico transversal com uma viga de travamento.</p><p>PNi  </p><p>Hi</p><p>JP JP</p><p>JV</p><p>LV</p><p>LV</p><p>Viga Neoprene Neoprene</p><p>Esquema estrutural.</p><p>Deslocamento do conjunto considerando a rigidez</p><p>do aparelho de apoio:</p><p>pontes</p><p>121</p><p>Rigidez transversal</p><p>Pórtico transversal com uma viga de travamento.</p><p>Rigidez do conjunto:</p><p>PN</p><p>PNi</p><p>i</p><p>i</p><p>kk</p><p>H</p><p>k</p><p>11</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Pórtico transversal com mais de uma viga de</p><p>travamento.</p><p>Δi Hi Calcular por meio de um</p><p>programa de computador ou</p><p>método de Cross.</p><p>Ocorre no caso de pilares</p><p>muito altos.</p><p>pontes</p><p>122</p><p>Rigidez transversal</p><p>HTi</p><p>JP JP</p><p>JV</p><p>hP hP</p><p>LV</p><p>No caso geral ao se admitir também as rigidezes do</p><p>aparelho de apoio e do tubulão, faz-se uso do Método das</p><p>Forças.</p><p> dx.MMEJc 21 Deslocamento.</p><p>Com F=1 se determina o</p><p>deslocamento δ.</p><p>Com δ=1 se determina a rigidez:</p><p></p><p>1</p><p>k</p><p>pontes</p><p>123</p><p>Rigidez transversal</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>Método das Forças: combinação de diagramas de</p><p>momentos de flexão</p><p>M1</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>M2</p><p> dx.MMEJc 21</p><p>Diagrama de deformação. Diagrama de solicitação.</p><p>pontes</p><p>124</p><p>Exemplo 1</p><p>Calcular os momentos de flexão no Quadro 1 usando as</p><p>tabelas de Kleinlogel.</p><p>44</p><p>3</p><p>11 1083383</p><p>12</p><p>850750</p><p>m,</p><p>,,</p><p>JJ APP</p><p></p><p></p><p></p><p>7,00</p><p>Cotas em</p><p>metros.</p><p>0,20X1,00 0,85 0,85</p><p>HP=6,00</p><p>P1 P1A</p><p>V</p><p>P</p><p>P</p><p>V</p><p>L</p><p>h</p><p>J</p><p>J</p><p>k </p><p>12</p><p>3bh</p><p>JV </p><p>44</p><p>3</p><p>1067166</p><p>12</p><p>001200</p><p>m,</p><p>,,</p><p>JV</p><p></p><p></p><p></p><p>3720</p><p>007</p><p>006</p><p>83383</p><p>67166</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>L</p><p>h</p><p>J</p><p>J</p><p>k</p><p>V</p><p>P</p><p>P</p><p>V </p><p>pontes</p><p>125</p><p>Momentos de flexão.</p><p>MB MC</p><p>MA</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>MD</p><p>MB</p><p>HTi =1 kN</p><p>JP JP</p><p>JV</p><p>hP hP</p><p>LV</p><p>DMF</p><p>Exemplo 1</p><p>kNm,</p><p>,</p><p>,,</p><p>k</p><p>khH</p><p>MM PTi</p><p>DA 961</p><p>372061</p><p>372031</p><p>2</p><p>0061</p><p>61</p><p>31</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>kNm,</p><p>,</p><p>,,</p><p>k</p><p>khH</p><p>MM PTi</p><p>CB 041</p><p>372061</p><p>37203</p><p>2</p><p>0061</p><p>61</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>pontes</p><p>126</p><p>Exemplo 2</p><p>12</p><p>3bh</p><p>JP </p><p>44</p><p>3</p><p>11 1083383</p><p>12</p><p>850750</p><p>m,</p><p>,,</p><p>JJ APP</p><p></p><p></p><p></p><p>7,00</p><p>Cotas em</p><p>metros.</p><p>0,20X1,00 0,75 0,75</p><p>h´</p><p>P1 P1A</p><p>44103217 mJT</p><p></p><p>Comprimento elástico do</p><p>pilar:</p><p>Pc</p><p>T</p><p>c</p><p>T</p><p>P</p><p>c</p><p>P JJ</p><p>J</p><p>J</p><p>h</p><p>J</p><p>J</p><p>hh </p><p>m,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,h 5576</p><p>3217</p><p>83383</p><p>006</p><p>83383</p><p>83383</p><p>006 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Calcular a rigidez transversal no Quadro 1 usando o</p><p>Método das Forças, e considerando a rigidez do tubulão.</p><p>pontes</p><p>127</p><p>Exemplo 2</p><p>12</p><p>3bh</p><p>JVT </p><p>44</p><p>3</p><p>1067166</p><p>12</p><p>001200</p><p>m,</p><p>,,</p><p>JVT</p><p></p><p></p><p></p><p>Viga transversal:</p><p>Comprimento de flambagem do pilar (a favor da</p><p>segurança):</p><p>m,,,,Lh,hL fbVfb 057600150557650 </p><p>1 kN</p><p>JP JP</p><p>JV</p><p>Calculam-se os momentos</p><p>nos nós do quadro (Método</p><p>das Forças, Método de</p><p>Cross, tabela de Kleinlogel</p><p>ou Ftool).</p><p>Lfl Lfl</p><p>7,00</p><p>pontes</p><p>128</p><p>Exemplo 2</p><p>1,126 1,126</p><p>1,126</p><p>1,903 1,903</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>Quadro 1: DMF (kN.m).</p><p>Comprimento elástico</p><p>da viga:</p><p>VT</p><p>P</p><p>VTVT</p><p>J</p><p>J</p><p>LL </p><p>m,</p><p>,</p><p>,,</p><p>LVT 2756</p><p>67166</p><p>83298</p><p>2</p><p>007</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>44</p><p>11 1083383 m,JJ APP</p><p> 441067166 m,JVT</p><p></p><p>Rigidez:</p><p> dx.MMJE Pcs 22 Método das Forças.</p><p>2,250</p><p>3,807</p><p>pontes</p><p>129</p><p>Exemplo 2</p><p>Combinação dos diagramas para determinar o</p><p>deslocamento:</p><p>  9510250212611261</p><p>3</p><p>1</p><p>22 ,,,,dx.MM</p><p>+ 1,126 1,126</p><p>2,250 2,250</p><p>Pilar:</p><p>  5964804390319031</p><p>3</p><p>1</p><p>22 ,,,,dx.MM</p><p>+ 1,903 1,903</p><p>3,807 3,807</p><p>pontes</p><p>130</p><p>Exemplo 2</p><p>Combinação dos diagramas:</p><p>  6522275612611261</p><p>3</p><p>1</p><p>22 ,,,,dx.MM</p><p>+ 1,126 1,126</p><p>6,275 6,275</p><p>Viga: Considerou-se todo o vão</p><p>porque os momentos nos</p><p>nós são iguais.</p><p>  3981665225964951022 22 ,,,,.dx.MM </p><p>541217110832982380000 4 ,.,JE Pcs  </p><p>pontes</p><p>131</p><p>Exemplo 2</p><p>m/kN.k</p><p>,</p><p>,.</p><p>,</p><p>JE</p><p>dx.MM</p><p>Pcs</p><p>3374</p><p>1</p><p>1030562</p><p>5412171</p><p>398162</p><p>1</p><p>1</p><p>422</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p>Rigidez transversal do Quadro 1.</p><p>OBS.: a diferença entre os valores dos momentos de</p><p>flexão obtidos com a tabela de Kleinlogel (Exemplo 1) e</p><p>com o Método das Forças ocorre devido à não</p><p>consideração da rigidez do aparelho de apoio e do</p><p>tubulão no Exemplo 1.</p><p>pontes</p><p>132</p><p>Combinações das ações e solicitações</p><p>A força de vento e a força centrífuga sempre deverão</p><p>ser multiplicadas por 1,5.</p><p>Se ambas atuarem concomitantemente multiplicar a de</p><p>maior valor por 1,5 e a de menor valor por 0,5X1,5.</p><p>Estado Limite Último:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>m</p><p>j</p><p>k,qjk,qk,gk,gd F,</p><p>,</p><p>F</p><p>,</p><p>F,F</p><p>,</p><p>,</p><p>F</p><p>2</p><p>1 50</p><p>0</p><p>51</p><p>0</p><p>51</p><p>21</p><p>51</p><p>351</p><p></p><p>As deformações impostas são retração, protensão e</p><p>variação térmica.</p><p>pontes</p><p>133</p><p>Considerando apenas a ação do vento:</p><p>vento</p><p>k,Tid,Ti H,H 51</p><p>Considerando a ação do vento + empuxo em ponte</p><p>esconsa (é uma ação permanente):</p><p>vento</p><p>k,Ti</p><p>empuxo</p><p>k,Tid,Ti H,H,H 5131 </p><p>Considerando a ação do vento + força centrífuga (ambas</p><p>são ações variáveis):</p><p>1)</p><p>2)</p><p> centr</p><p>k,q</p><p>vento</p><p>k,qd,Ti F,F,H 21 5051 </p><p> vento</p><p>k,q</p><p>centr</p><p>k,qd,Ti F,F,H 21 5051 </p><p>Adotar o maior valor dessas duas combinações.</p><p>Combinações das ações e solicitações</p><p>pontes</p><p>134</p><p>Combinações das ações e solicitações</p><p>Combinações normais últimas: ELU</p><p>1) Carga móvel como carregamento principal</p><p> </p><p> </p><p>  vento,qfrenação,qmóvel,q</p><p>protensão,gatemperatur,gretração,g</p><p>defensas,gãopavimentaç,gprópriopeso,gd</p><p>F,,FF,</p><p>FFF,</p><p>FFF,F</p><p>211 505151</p><p>21</p><p>351</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2) Vento como carregamento principal</p><p> </p><p> </p><p> frenação,qmóvel,qvento,q</p><p>protensão,gatemperatur,gretração,g</p><p>defensas,gãopavimentaç,gprópriopeso,gd</p><p>FF,F,</p><p>FFF,</p><p>FFF,F</p><p>222 05151</p><p>21</p><p>351</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>pontes</p><p>135</p><p> </p><p> frenação,qmóvel,q</p><p>defensas,gãopavimentaç,gprópriopeso,gd</p><p>FF,</p><p>FFF,F</p><p>1130</p><p>001</p><p></p><p></p><p>Combinações das ações e solicitações</p><p>Combinações quase permanentes: ELS</p><p>Essas combinações devem ser analisadas para as forças</p><p>longitudinais atuantes no tabuleiro, assim como para as</p><p>forças transversais.</p><p>pontes</p><p>136</p><p>Exemplo</p><p>Seja uma ponte com quatro pilares representados por</p><p>suas rigidezes (em MN/m). Conhecidas as ações</p><p>longitudinais de frenação, empuxo (solo e carga móvel) e</p><p>de temperatura, calcular as combinações dessas ações</p><p>para cada pilar.</p><p>k1=3,815 k4=3,142 k2=3,684 k3=3,104</p><p>Frenagem: 212,80 kN.</p><p>Empuxo= 200,84 kN.</p><p>kN</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5327</p><p>1210</p><p>258</p><p>5829</p><p>Temperatura</p><p>pontes</p><p>137</p><p>Exemplo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2290</p><p>2260</p><p>2680</p><p>2780</p><p>1423</p><p>1043</p><p>6843</p><p>8153</p><p>74513</p><p>1</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,k</p><p>k</p><p>r</p><p>i</p><p>i</p><p>iRigidezes relativas:</p><p>Frenagem= kN</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,H fren,i</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>7348</p><p>0949</p><p>0357</p><p>1659</p><p>2290</p><p>2260</p><p>2680</p><p>2780</p><p>80218</p><p>pontes</p><p>138</p><p>Exemplo</p><p>Empuxo= kN</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,H emp,i</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>9945</p><p>3945</p><p>8353</p><p>8355</p><p>2290</p><p>2260</p><p>2680</p><p>2780</p><p>84200</p><p>Combinação das ações:</p><p>kN</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>.,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>.,,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>.,,H d,i</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1295</p><p>8376</p><p>3687</p><p>63111</p><p>5327</p><p>1210</p><p>258</p><p>5729</p><p>01</p><p>9945</p><p>3945</p><p>8353</p><p>8355</p><p>50351</p><p>7348</p><p>0948</p><p>0357</p><p>1659</p><p>50501</p><p>OBS. : a ação de temperatura sempre entra com o</p><p>sinal positivo.</p><p>pontes</p><p>139</p><p>pontes</p><p>140</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Esse tipo de tabuleiro é usual para as pontes</p><p>construídas com vigas pré-moldadas de concreto</p><p>protendido, assentadas sobre apoios de neoprene.</p><p>O processo de cálculo das reações de apoio se efetua</p><p>por meio do processo da propagação da ação</p><p>atuante no</p><p>tabuleiro.</p><p>Essa ação aplicada no</p><p>tabuleiro é distribuída entre</p><p>os diversos pilares por meio</p><p>do coeficiente de propagação</p><p>obtido a partir das rigidezes</p><p>dos pilares.</p><p>pontes</p><p>141</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>As juntas são deslocáveis.</p><p>Sistema usual em pontes longas com comprimento</p><p>superior a 100 m, devido à existência de juntas de</p><p>dilatação.</p><p>Nas pontes em vigas pré-moldadas as juntas são</p><p>espaçadas de 10 m a 35 m.</p><p>Para as solicitações transversais adota-se o mesmo</p><p>critério dos tabuleiros contínuos: distribuição de acordo</p><p>com as rigidezes transversais do conjunto neoprene-</p><p>pilar-tubulão.</p><p>pontes</p><p>142</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Nas pontes com trechos hiperestáticos a solicitação é</p><p>dividida por trechos.</p><p>Neoprene</p><p>F</p><p>L1 L2</p><p>pontes</p><p>143</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Os trechos são calculados separados.</p><p>Cada trecho é calculado isoladamente tal como nos</p><p>tabuleiros contínuos.</p><p>+</p><p>L1 L2</p><p>F1 F2</p><p>pontes</p><p>144</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>As solicitações são distribuídas proporcionalmente ao</p><p>as vãos.</p><p>Os fatores de distribuição da força longitudinal entre os</p><p>trechos são:</p><p>F.</p><p>L</p><p>L</p><p>F</p><p>i</p><p>i</p><p>i </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>21</p><p>2</p><p>2</p><p>21</p><p>1</p><p>1</p><p>LL</p><p>L</p><p>F</p><p>LL</p><p>L</p><p>F</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Para os tabuleiros com vãos descontínuos há um</p><p>método aproximado de distribuição das solicitações</p><p>proporcionalmente aos vãos (usado apenas para uma</p><p>avaliação inicial), e que não considera as rigidezes dos</p><p>aparelhos de apoio e dos pilares:</p><p>pontes</p><p>145</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>1 i</p><p>i-1</p><p>i+1 n</p><p>0</p><p>i-1</p><p>1</p><p>i i+1 n</p><p>Nomenclatura dos elementos da mesoestrutura.</p><p>pontes</p><p>146</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Coeficientes de rigidezes:</p><p>ki</p><p>e= rigidez do neoprene à esquerda do apoio i;</p><p>ki</p><p>d= rigidez do neoprene à direita do apoio i;</p><p>ki</p><p>P= rigidez do pilar de apoio i;</p><p>ki= rigidez global da estrutura à esquerda do apoio i+1;</p><p>Ki= rigidez global da estrutura à direita do apoio i-1.</p><p>Com essas rigidezes são obtidos os coeficientes de</p><p>propagação da ação aplicada no tabuleiro.</p><p>pontes</p><p>147</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>1</p><p>i</p><p>i-1</p><p>i+1 n</p><p>0</p><p>i-1</p><p>1 i</p><p>i+1 n</p><p>Rigidezes: do pilar e global.</p><p>ki</p><p>Ki</p><p>Ki ki</p><p>pontes</p><p>148</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Coeficientes de propagação da ação aplicada no</p><p>tabuleiro</p><p>αi, i-1= F i-1 /F i: coeficiente de propagação da ação para a</p><p>esquerda, permite determinar a força no topo de um</p><p>apoio desde que seja conhecido ao força aplicada no</p><p>topo do apoio vizinho que fica à sua direita.</p><p>αi, i+1= F i+1 /F i: coeficiente de propagação da ação para a</p><p>direita, permite determinar a força no topo de um apoio</p><p>desde que seja conhecido ao força aplicada no topo do</p><p>apoio vizinho que fica à sua esquerda.</p><p>pontes</p><p>149</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>i</p><p>i-1</p><p>i+1</p><p>i i+1</p><p>Propagação das ações no tabuleiro.</p><p>i</p><p>Fi-1 Fi Fi Fi+1</p><p>pontes</p><p>150</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>i-1 i</p><p>Análise do tabuleiro como uma cadeia cinemática.</p><p>Fi-1 Fi-1</p><p>d d</p><p>Fi</p><p>di</p><p>e di</p><p>d</p><p>di</p><p>P</p><p>Fi</p><p>P</p><p>pontes</p><p>151</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>i</p><p>i</p><p>i,i</p><p>F</p><p>F 1</p><p>1</p><p></p><p> </p><p>Coeficiente de transmissão:</p><p>dkF ii 11   e</p><p>i</p><p>P</p><p>i ddd </p><p>então</p><p> e</p><p>i</p><p>P</p><p>iii ddkF   11</p><p>Força no pilar:</p><p>P</p><p>i</p><p>P</p><p>iP</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>k</p><p>F</p><p>ddkF </p><p>e do mesmo modo</p><p>e</p><p>i</p><p>ie</p><p>i</p><p>k</p><p>F</p><p>d 1</p><p>(2)</p><p>(3)</p><p>(1)</p><p>pontes</p><p>152</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Substituindo-se as expressões (2) e (3) na expressão (1):</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> e</p><p>i</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>ii</p><p>k</p><p>F</p><p>k</p><p>F</p><p>kF 1</p><p>11 P</p><p>i</p><p>P</p><p>ii</p><p>e</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>Fk</p><p>k</p><p>k</p><p>F</p><p>11</p><p>1 1</p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>P</p><p>ie</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i F</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>F </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>(4)</p><p>Tem-se que</p><p>11   ii</p><p>P</p><p>ii</p><p>P</p><p>ii FFFFFF (5)</p><p>pontes</p><p>153</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Assim com a expressão (5) na expressão (4):</p><p>1</p><p>1</p><p>1 </p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> iie</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i FF</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>F (6)</p><p>ie</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i F</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>F </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1 1</p><p>e</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i</p><p>P</p><p>ii</p><p>i</p><p>i,i</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>kF</p><p>F</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p></p><p>n,,i</p><p>,</p><p>321</p><p>010</p><p></p><p></p><p>Coeficiente de propagação.</p><p>pontes</p><p>154</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Desse modo tem-se</p><p>(8)</p><p> 11 1   i,iiii,ii</p><p>P</p><p>i FFFF </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>d</p><p>i</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i</p><p>d</p><p>i</p><p>P</p><p>iii</p><p>k</p><p>F</p><p>k</p><p>F</p><p>kddkF</p><p>(7)</p><p>Com a expressão (8) na expressão (7):</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>d</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i,i</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>d</p><p>i</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i,ii</p><p>ii</p><p>kk</p><p>F</p><p>k</p><p>F</p><p>k</p><p>F</p><p>k</p><p>F</p><p>kF</p><p>111 11 </p><p>d</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i,i</p><p>i kkk</p><p>111 1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>pontes</p><p>155</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Seguindo-se</p><p> 1210</p><p>1</p><p>11</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n,,,i</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>kk</p><p>k</p><p>d</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i,i</p><p>P</p><p>i</p><p>i</p><p>d</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i,i</p><p>i </p><p></p><p></p><p>Por analogia:</p><p>  i,,n,ni</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>e</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i,i</p><p>P</p><p>i</p><p>i 1</p><p>1 1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>  001</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 </p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p> n,n</p><p>d</p><p>i</p><p>P</p><p>i</p><p>i</p><p>P</p><p>ii</p><p>i</p><p>i,i ,,n,ni</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>kF</p><p>F</p><p> </p><p>pontes</p><p>156</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Método dos Deslocamentos: Processo de Cross.</p><p>h i j</p><p>+2F Estrutura.</p><p>h i j</p><p>+2F</p><p>F F</p><p>+ +</p><p>Reação Reação</p><p>Tramo</p><p>carregado</p><p>Sistema principal.</p><p>Fixar os topos</p><p>dos pilares com</p><p>apoios.</p><p>pontes</p><p>157</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Método dos Deslocamentos: Processo de Cross.</p><p>kNhi</p><p>F</p><p>+ +</p><p>Sistema principal. Liberar de cada vez o topo</p><p>de um pilar redistribuindo</p><p>a força reativa do apoio</p><p>horizontal.</p><p>Calcular as rigidezes nos</p><p>aparelhos de apoios e nos</p><p>pilares.</p><p>h j i</p><p>- -</p><p>kNih kNij</p><p>kPi</p><p>kNji</p><p>Com a liberação do topo do pilar i os aparelhos de apoio</p><p>de neoprene recebem uma força negativa, e os pilares</p><p>adjacentes recebem uma força positiva de igual</p><p>magnitude.</p><p>pontes</p><p>158</p><p>Tabuleiro descontínuo</p><p>Método dos Deslocamentos: Processo de Cross.</p><p>Os coeficientes de distribuição são proporcionais às</p><p>rigidezes:</p><p>ba</p><p>ba</p><p>kk</p><p>k</p><p>k 11</p><p>11</p><p></p><p> </p><p>Pilar</p><p>3</p><p>3</p><p>P</p><p>Pc</p><p>Pi</p><p>h</p><p>JE</p><p>k </p><p>Dois aparelhos de</p><p>apoio em série (lado</p><p>esquerdo): NhiNih kk</p><p>k</p><p>11</p><p>1</p><p></p><p></p><p>Dois aparelhos de</p><p>apoio em série (lado</p><p>direito): NjiNij kk</p><p>k</p><p>11</p><p>1</p><p></p><p></p><p>O coeficiente de</p><p>propagação da força</p><p>de um apoio para</p><p>outro no mesmo</p><p>tramo é igual a -1.</p><p>pontes</p><p>159</p><p>Exemplo 1</p><p>P1 P2 P3 P4</p><p>Calcular as forças nos topos de pilares devido à frenagem</p><p>sendo dadas as rigidezes dos pilares e dos aparelhos de</p><p>apoio de neoprene.</p><p>m/MN,</p><p>h</p><p>AG</p><p>k</p><p>N</p><p>NN</p><p>N 1678</p><p>30</p><p>107503501 3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>3</p><p>P</p><p>Pc</p><p>P</p><p>h</p><p>JE</p><p>k </p><p>F=135 kN</p><p>pontes</p><p>160</p><p>P1 P2 P3 P4</p><p>Rigidezes (MN/m).</p><p>084450 ,k, N  084450 ,k, N 0844,kN </p><p>775171 ,k  83932 ,k  22223 ,k  49974 ,k </p><p>Nk,50</p><p>0844,kN </p><p>0844,kN </p><p>0844,kN  Nk,50</p><p>85921,ki </p><p>0,81 0,19</p><p>00712,ki </p><p>0,34 0,34 0,32</p><p>39010,ki </p><p>0,39 0,39 0,22</p><p>58311,ki </p><p>0,35 0,65</p><p>Coeficientes de distribuição.</p><p>Exemplo 1</p><p>pontes</p><p>161</p><p>Método de Cross.</p><p>0,81 0,19 0,34 0,34 0,32 0,39 0,39 0,22 0,35 0,65</p><p>135 135 135 135 135 135</p><p>2X0,39=0,78; Δ=135</p><p>-105 105 -105 105</p><p>Δ=135+105</p><p>-156 -84</p><p>-30</p><p>Δ=135+105</p><p>-82 -82</p><p>-176</p><p>84 82</p><p>-41 41</p><p>-77</p><p>-65 -65 -37 65 65</p><p>-34 -36 -36 36 36 -42 -23 23</p><p>-23 -23 23</p><p>82</p><p>-29 -7 7 -13</p><p>-15 -8 8 -10 -10 10 10 -10</p><p>-8</p><p>-2</p><p>0 -7 -7 -4 7</p><p>-2 -2 -2 2 3</p><p>7</p><p>-1 -1</p><p>-2 -5 2</p><p>-1</p><p>1</p><p>0 -1</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>0 0 0</p><p>-215 kN</p><p>-123</p><p>-85</p><p>-219</p><p>Exemplo 1</p><p>Δ=135+82</p><p>23</p><p>pontes</p><p>162</p><p>Exemplo 2</p><p>P2 P3 P4</p><p>F=54 kN</p><p>E1 E12</p><p>Calcular pelo processo de Cross a distribuição da força</p><p>horizontal F=54 kN aplicada no tramo P3-P4 da ponte de</p><p>concreto armado, cujos os parelhos de apoio extremos</p><p>são em neoprene sobre encontros rígidos, conhecidos os</p><p>coeficientes de distribuição dos diversos tramos.</p><p>pontes</p><p>163</p><p>Exemplo</p><p>E1</p><p>T</p><p>P2</p><p>T</p><p>P3; Δ=27 kN</p><p>T</p><p>P4; Δ=35,1 kN</p><p>T</p><p>E2</p><p>1,00 0,30 0,40 0,30 0,30 0,40 0,30 0,30 0,40 0,30 1.00</p><p>0 0 0 0 27 27 0 0</p><p>8,1 (-) -8,1 -10,8 -8,1 (-) 8,1</p><p>2,4 (-) -2,4 -3,2 -2,4 (-) 2,4 -10,5 -14,0 -10,5 (-) 10,5</p><p>-2,4 0 3,8 (-) -3,8 -5,00 -3,80 (-) 3,8 0 -10,5</p><p>1,1 (-) -1,1 -1,5 -1,1 (-) 1,1 1,1 (-) -1,1 -1,5 -1,1 (-) 1,1</p><p>-1,1 0 0,7 (-) -0,7 -0,9 -0,7 (-) 0,7 0 -1,1</p><p>0,2 (-) -0,2 -0,3 -0,2 (-) 0,2 0,2 -0,2 -0,3 -0,2 (-) 0,2</p><p>-0,2 0 0,1 (-)</p><p>-0,1 0,2 -0,1 (-) 0,1 0 -0,2</p><p>0 0 0 0 0 0</p><p>-3,7 kN -5,0 kN -16,9 kN -15,8 kN -11,8 kN</p><p>Processo de Cross.</p><p>Legenda</p><p>0,30 Coeficiente de distribuição</p><p>(-) Transmissão da força</p><p>2,4 Força transmitida</p><p>-1,5 Força assimilada pelo pilar</p><p>-3,7 kN Força no pilar</p>