Fenômenos Químicos e Físicos

Prévia do material em texto

<p>Conjuntos Representação de Conjuntos. Operações com Conjuntos. Resolvidos.</p><p>Nesta primeira unidade vamos estudar os Conjuntos. Começaremos por suas representações, a seguir apresentaremos seus tipos e subconjuntos, na sequência o conjunto das partes de um conjunto, finalizando com operações entre conjuntos e obtenção do número de elementos da união entre conjuntos. Objetivos da Unidade: Compreender e consolidar o conceito de conjuntos; Identificar e representar conjuntos utilizando diferentes formas, como chaves diagramas, intervalos e lei de formação; Estabelecer relações de pertinência entre elemento e um conjunto; Estabelecer relações de contingência entre conjuntos; Realizar as operações de união, interseção e diferença de conjuntos; Resolver problemas que envolvam conceitos de conjuntos. Plano da Unidade: Representação de Conjuntos. Operações com Conjuntos. Exercícios Resolvidos. Bem-vindo à primeira unidade de 18</p><p>Representação de Conjuntos Entende-se por conjunto qualquer coleção de elementos classificados a partir de certa característica. Representação de Conjuntos Enumeração de'seus elementos. 2°) Propriedade característica de seus elementos. Ex: A={x/xé um número natural ímpar} B={x/xé letra da palavra conjuntos} 3°) Diagrama. B Conjuntos Obs: Relação de pertinência: E-> pertence e não pertence; símbolos usados para relacionar elemento e conjunto. 19</p><p>Conjunto Universo É o conjunto que tem todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. Conjunto Vazio É o conjunto que não possui elementos. Conjunto Unitário É o conjunto que possui um único elemento. Subconjuntos Se todos os elementos de um conjunto A também pertencerem a um conjunto B, dizemos que A está contido em B ou, ainda, que A é subconjunto de B. Obs: Relação de inclusão: C está contido, não está contido, contém e não contém; símbolos usados para relacionar conjunto e conjunto. Conjunto das partes de um conjunto conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A é chamado conjunto das partes de A e geralmente é indicado por P(A). com nenhum elemento: ou { } com um elemento: {x},{y} com dois elementos: {x,y} Logo, 20</p><p>Considere agora o conjunto B={a,b,c} e vamos escrever P(B). P(B) b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Observe que: P(A) possui 4 elementos; ( ou A possui 4 subconjuntos, pois A possui 2 elementos). P(B) possui 8 elementos; ( ou B possui 8 subconjuntos, pois B possui 3 elementos). Logo P(C) onde P(C) terá 2n elementos ou C terá subconjuntos. Obs.: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo. Operações com Conjuntos União (reunião) de conjuntos A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A UB, formado pelos elementos que pertencem a A, a B ou a ambos. Interseção de conjuntos A interseção de dois conjuntos conjunto A C B, formado pelos elementos que pertencem a ao mesmo tempo. Obs.: Conjuntos disjuntos são aqueles cuja interseção é um conjunto vazio, ou seja, A 21</p><p>Diferença de conjuntos A diferença de dois conjuntos A conjunto - formado pelos elementos que pertencem a A que não pertencem a B, ou seja pelos elementos exclusivos de A. Geralmente ou seja, a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa. Obs.: Complementar de A em relação a B. (CBA) CBA = onde Em particular, se A é subconjunto do conjunto universo U, o complementar de A em relação a U pode ser representado por A' ou Assim = 22</p><p>Exercícios resolvidos 1) Sendo os conjuntos 2, Determine: a) b) c) d) e) A-B={1,2}. f) g) h) CBD={3}. Obs.: Em e são elementos de A, assim afirmamos que: 2) Qual dos conjuntos a seguir é infinito? a) b) c) de d) de e) f) Solução: opção D. 1, 2, 3, 4, 5}. B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8/8}. C={-4,-2,2,4} 9, 12, 15, ...}. E={2}. 23</p><p>3) Sendo A= {2, 3, 4, 5, 9}, B= {2, 3, 7, 8, 10} e C= {2, 3, 4}, faça diagrama das reuniões a seguir, hachurando as regiões correspondentes: a) AUB. b) Solução: A B a) 4 7 2 8 5 3 10 9 A b) 5 9 234 4) Dados os conjuntos: A = {0, 1, 3, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, a) {1, 3, 5}. b) {7}. c) {7, 5, 8, 9}. d) {0, 8, 9}. e) {1,5,7}. 24</p><p>Solução: opção B. AUC = {0, 1, 3, 5, 8, 9}, A B 1 5 0 7 3 8 9 C 5) Dois conjuntos A e B são tais que: - Determine o conjunto B. Solução: A B 3 1 7 8 5 2 9 B={1,2,7,8,9}. 6) Dado o conjunto P={{0}, 0, 1, 2,{1, 2}}, considere as afirmativas: (I) (II) {0} (III) {1,2} E P. (IV) {1,2} (V) 1 E P. 25</p><p>Com relação a estas afirmativas conclui-se que: a) todas são verdadeiras. b) apenas | e V são verdadeiras. c) apenas e IV são verdadeiras. d) apenas III e V são verdadeiras. e) todas são falsas. Solução: opção A. Como {0}, 0, 1, 2, {1},{1, 2} são elementos 32 subconjuntos dentre eles {0} e (1, 2}, logo todas as afirmativas são verdadeiras. Número de elementos da união (reunião) entre conjuntos n ) A B a b d f h C e g i 1) Em um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de Matemática, Física e Português foi o seguinte: Matemática, 47; Física, 32; Português, 21; Matemática e Física, 7; Matemática e Português, 5; Física e Português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias? a) 22. b) 20. c) 2. d) 4. e) 16. 26</p><p>Solução: opção E. 0 U 100 M 47 F 32 P 21 MOF 7 MOP 5 FOP 6 MOFOP 2 N ? U M F 5 37 21 2 3 4 12 P = 6 - 2 = 4. = 5 2=3. = 7-2= 5. n[M - = 47 - (2+3+5) = 37. n[P - (2+3+4) = 12. n[F - (MOP)] =32 - (4+3+5) = 21. = 37+21+12+5+3+4+2=84 - = - 27</p><p>2) Sejam A, B e C 3 conjuntos finitos. Sabendo-se que A n B tem 20 elementos, B n C tem 15 elementos e C tem 8 elementos, então o número de elementos de a) 27. b) 13. c) 28. d) 35. e) 23. Solução: opção A. A B 12 8 7 C 3) Em uma pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que: 310 pessoas compram o produto A; 220 pessoas compram o produto B; 110 pessoas compram os produtos A e B; 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos. Indique o número de consumidores entrevistados, dividido por 10. 28</p><p>Solução: 93 U A B AOB N ? 310 220 110 510 n(U) = [n(A) + n(B) - + n(N). n(U) 510. n(U) = 930. n(U) 93. 4) De acordo com o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL em uma cidade, descobriu-se sobre a população que: - - 44% têm idade superior a 30 anos; - 68% são homens; III - 37% - são homens com mais de 30 anos; IV -25% são homens solteiros; V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; VI - 45% são indivíduos solteiros; VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da população desta cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de: a) 6% b) 7% c) 8% d) 9% e) 10% Solução: opção B. i>30 i<30 T H 37% 31% 68% M 7% 25% 32% T 44% 56% 100% 29</p><p>i>30 i<30 T HS 4% 21% 25% MS 2% 18% 20% TS 6% 39% 45% HC 33% 10% 43% MC 5% 7% 12% TC 38% 17% 55% T 44% 56% 100% Legenda: i>30 = idade superior a 30 anos; i<30 = idade igual ou menor que 30 anos; H = homens; M = mulheres; S = indivíduo Solteiro; C = indivíduo casado; T = total. 5) Os 87 alunos do ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. O total de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Além disso,sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. 30</p><p>Solução: Observe a figura a seguir: B C U Y 29 V W Z A Classificando os 87 alunos segundo o diagrama, temos os seguintes dados do . (1) (2) (3) (4) (5) (6) v+29= w+29, Queremos De (2) temosz=0, o que nos dá x+y+z=x+y. Substituindo (4) em (1) e subtraindo (3), obtemos x+y+21=87-51=36. Logo, alunos. 31</p><p>Note que as equações (4) e (5) são supérfluas, ou seja, os dados n(B) = 65 são desnecessários para a solução do problema. Para ampliar e exercitar seus Conhecimentos visite os sites da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) e da Olimpíada Brasileira de Matemática das escolas públicas (OBMEP). http://www.obm.org.br/opencms/ http://www.obmep.org.br/ Nesta unidade, vimos os Conjuntos e suas representações, seus tipos e subconjuntos, o conjunto das partes de um conjunto, finalizando com operações entre conjuntos e obtenção do número de elementos da união entre conjuntos. Espero que tenham gostado desse estudo e dos objetivos propostos. Na próxima unidade estudaremos os Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais. Vamos lá. Vamos em frente! 32</p><p>Exercícios Unidade 1 1) Sejam A e B conjuntos tais que A={x/xé múltiplo de 3 natural e menor que 31 }. Se o conjunto X é tal que e X é igual a: a) {9,27}. b) {3,15,21}. c) d) 0, 6, 12, 18, 24, 27, 30 }. e) {0,1,5,6, 7, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 25, 27, 29, 30 }. 2) diagrama em que está sombreado o conjunto (AUC)-(AUB) é: A B A B a) b) A B A B c) d) 3)(Cesgranrio) Se A e B são conjuntos, A-(A-B) é igual a: a) A. b) B. c) A-B. d) e) AOB. 33</p><p>4) (UFF 99) Dado o conjunto P = {{0}, 0, {0}}, considere as afirmativas: (I) {0} e P (II) (III) P Com relação a estas afirmativas conclui-se que: a) todas são b) apenas a I é verdadeira. c) apenas a é verdadeira. d) apenas a III é verdadeira. e) todas são falsas. 5) Num colégio de Ensino Médio com 2.000 alunos, foi realizada uma pesquisa sobre o gosto dos alunos pelas disciplinas de Física e Matemática. Os resultados da pesquisa se encontram na tabela a seguir: Número de alunos Gostam de Matemática 1.000 Gostam de Física 800 Não gostam de Matemática 500 nem de Física O número de alunos que gostam de Matemática e Física, simultaneamente, é: a) 700. b) 500. c) 300. d) 200. e) 100. 6) Em uma cidade há dois candidatos para prefeito, A e B. Sabendo-se que 2.600 eleitores votaram no candidato A; 3.000 no candidato B; 210 anularam voto, votando nos dois candidatos; 1.000 votaram em branco e não havendo outra situação, conclui-se que o número de votantes foi igual a: a) 6.810. b) 4.600. c) d) 5.390. e) 34</p><p>7) Em uma sala de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances A ou B; 270, o romance B; 80, os dois romances, Ae B, e 340 não leram o romance A. O número de estudantes desse grupo é igual a: a) 380 b) 430 c) 480 d) 540 e) 610 8) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados: 28% dos funcionários são mulheres; 1/6 dos homens são menores de idade; 85% dos funcionários são maiores de idade. Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? a) 30% b) 28% c) 25% d) 23% e) 20% 9) Os anos do calendário chinês, um dos mais antigos que a história registra, começam sempre em uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calendário gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que se repetem em ciclos de doze anos. A tabela abaixo apresenta o ciclo mais recente desse calendário. Ano do calendário Chinês Início do calendário gregoriano Nome 31 - janeiro 1995 Porco 19 - fevereiro - 1996 Rato 08 - fevereiro - 1997 Boi 28 janeiro - 1998 Tigre 16 - fevereiro - 1999 Coelho 05 - fevereiro - 2000 Dragão 24 - janeiro - 2001 Serpente 12 - fevereiro 2002 Cavalo 01 - fevereiro - 2003 Cabra 22 -janeiro - 2004 Macaco 09 - fevereiro - 2005 Galo 29 - janeiro - 2006 Cão 35</p><p>Admita que, pelo calendário gregoriano, uma determinada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 d.C., ano da serpente no calendário chinês. Desde então, a cada 15 anos, seus habitantes promovem uma grande festa de comemoração. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante. Determine, no calendário gregoriano, o ano do século XXI em que a fundação dessa cidade será comemorada novamente no ano da serpente. 10) Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. 36</p><p>Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais Conjuntos dos Números Naturais. Conjuntos dos Números Inteiros. Conjuntos dos Números Racionais. Conjuntos dos Números Irracionais. dos Números Reais. Intervalos Reais.</p><p>Nesta segunda unidade, vamos estudar os Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais; Conjuntos dos números: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais. Além disso, também faremos uma revisão sobre dízima periódica e processo para obtenção de uma fração geratriz e finalizaremos com os Intervalos reais. Objetivo da Unidade: Identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais, reconhecendo suas propriedades; Identificar e representar números decimais na forma de fração e vice- versa; Identificar dízimas periódicas, seus períodos e determinar sua fração geratriz; Representar números e intervalos reais na reta numérica; Realizar operações com intervalos numéricos. Plano da Unidade: Conjuntos dos Números Naturais. Conjuntos dos Números Inteiros. Conjuntos dos Números Racionais. Conjuntos dos Números Irracionais. Conjuntos dos Números Reais. Intervalos Reais. Bem-vindo à segunda unidade de estudo. 38</p><p>Conjuntos dos números naturais (IN) ...} => não nulo. Conjuntos dos números Inteiros (Z) Vamos destacar os seguintes subconjuntos de Z: a) Não b) Não positivos: c) Negativos: d) Não e) Positivos: Conjuntos dos números Racionais (Q) É o conjunto formado por todos os números que podem ser representados na forma (p/q), com Z*, então podemos concluir que os números naturais e os inteiros, também são racionais, ou seja, IN C Z q 39</p><p>Vamos destacar os seguintes subconjuntos de Q: a) Não nulos: b) Não positivos: c) Negativos: d) Não negativos: e) Positivos: Todo número racional também pode ser escrito na forma decimal, que pode ser: Exata: quando representamos por um número finito de algarismos. Quando formada pela fração irredutível p onde q decomposto só contiver q fatores primos 2, 5 ou Ex.: 10 1 15 3 c) 0,15 = 100 20 Não exata, periódica: quando representamos por um número infinito de algarismos que se repetem periodicamente, chamados de dízima periódica. Ex.: 1 = 0,333... 0,3 (período é 3) 3 40</p><p>5 b) = 1,6 (período é 6) 3 5 c) = (período é 45) 11 13 d) = 2,16 (período é 6) 6 PI: Parte AP: Ante- Ex. número P: Período inteira período a) 0,333... 0 Não tem 3 b) 1,666 1 Não tem 6 c) 0,4545 0 Não tem 45 d) 2,1666 2 1 6 As dízimas periódicas podem ser: Simples. p Quando formada pela fração irredutível onde q decomposto contiver q fatores primos diferentes de 2 e de 5. 1 5 4 Ex.: , , ... 3 3 7 41</p><p>Composta. Quando formada pela fração irredutível p onde q decomposto contiver q fatores primos diferentes de 2 e de 5, acompanhados de 2 ou 5, ou 2 e 5. 13 8 13 Ex.: 6 , 21 22 Processo para obtenção de uma fração geratriz (FG) processo: Exemplos: a) 10x=3,333... x=0,333... = 9x =3=> 3 9 = 3 1 b) { x = 1,4545.. 144 99 16 11 100x = 145,4545... c) x=2,1666... 10x = 195 90 6 13 100x = 216,666.. processo: N - n FG = y N = número formado pela PI, AP e P. n = número formado pela PI e AP. y = número formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período seguido de tantos "zeros" quantos forem os algarismos do ante-período. 42</p><p>Conjuntos dos números Irracionais (I) Todo número decimal não exato, não periódico e raiz não exata, é irracional. Conjunto dos números Reais ( IR ) É o conjunto formado pela reunião dos números Racionais e Irracionais. Desta forma podemos concluir que todo número natural, inteiro, racional e irracional é um número real. IR=QUI Diagrama: QZ IN IN IR 43</p><p>Exercícios resolvidos. 1) (UFF 2000) Considere E IN* tais que pe q são números pares. Se p>q, pode- se afirmar que: (A) (pq + 1) é múltiplo de 4. primo. (D) é par. (E) é Solução: D Se p e q são números pares, com p>q (A) (pq + 1) é múltiplo de 4; pq também é par, então (pq + 1) é logo não é múltiplo de 4 (B) - q é A diferença entre dois números pares é par, então p - - q é par. é primo; A soma de dois números pares é par, então p+qé par. Como p, E IN*, ambos são maiores que 0 e o único primo par é 2 e esta soma será maior que 2, logo é primo. Um número par elevado ao quadrado resulta em número par e a diferença entre dois números pares é par, então é par. (E) p(q + 1) é Um número par adicionado a um resulta em número impar, q + 1 é impar, sendo multiplicado por um número par resulta em par. 44</p><p>Matemática Basica 2) (UFMG 1994) = verdadeira é a) a<c<b. c)c<a<b. e)b<c<a. Solução: E = 33 132 = = 1,32 25 100 132-1 131 1,323232... = 99 33 Assim, b<c<a 3) Nas divisões a seguir, N = ab e P = ba são números naturais formados pelos algarismos a e b. Então - P vale: N a+b P 8 6 2 15 a) 25. b) 27. c) 31. d) 43. e) 45. 45</p><p>Solução: B 1°) Pela relação fundamental da divisão, temos: então: - 2°) N = ab=10a+beP=ba= 10b + a Igualando 1° e 2°, temos: 10b + a = 15a - 15b 2 25b 14a 2 { - = - 25b - 14a = 2 6a=42=>a=7eb=4 4) Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas. Use o dispositivo prático. a) )-2,0313131... b) 5,121212. 46</p><p>Solução: 2031-20 2011 a) - 2,0313131 = 990 990 512-5 507 169 b) 5,121212 = 99 99 33 5) (Uel 96) Existem, para doação a escolas, 2000 ingressos de um espetáculo e 1575 de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, o número mínimo de escolas que poderão ser contempladas nessa doação é: a) 117 b) 123 c) 128 d) 135 e) 143 Solução: E mdc (2000, 1575) = 25 2000 - 1575 5 315 5 80 - 63 Então cada escola receberá 25 ingressos, sendo 80 escolas contempladas com ingressos do 1° espetáculo e 63 com ingressos do 2° espetáculo, totalizando 143 escolas. 47</p><p>Intervalos Reais Os intervalos reais são subconjuntos dos números reais. Serão representados por desigualdades. Intervalos Limitados Dados os números reais a e b, temos: a) Intervalo fechado. a a IR b) aberto. a a IR c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. a a IR 48</p><p>d) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. [a, a a IR Intervalos Ilimitados Sendo a um número real, também são intervalos os seguintes subconjuntos. a) a +00 IR b) a +00 IR - 00 a +00 IR - 00 a +00 IR 49</p><p>Módulo ou valor absoluto de um número real Para todo X E IR, existe (3) -X, chamado oposto ou simétrico de X tal que ou seja, o módulo indica a distância da origem ao número real X. Assim temos: = - Exercícios resolvidos. 1) (UFAL 2000) Se os conjuntos A e B são tais que A={xelR 4 20 - < }, então é verdade que: 3 3 d) e) A Solução: D A={-5,5} X = B={2,3,4,5,6} 4 20 6,666... 3 a) falsa, pois b) falsa, pois falsa, pois d) AOB = {5}, verdadeira, pois é o único elemento em comum. e) AUB=, A, falsa, pois A 6 } # A. 50</p><p>2) (PUC RJ 2006) Para e C = 7/3 temos: a)a<b<c b)b<c<a c)c<b<a d) c<a<b e) b <a<c Solução: A = então podemos concluir que 3) (Ufc 2000) Sejam X e y números reais tais que: 1/4 Então é correto afirmar que: a) 4/3 < A<5/2 b) d)-3/4<A<-1/3 Solução: D Para determinar o menor valor de A, usaremos o menor valor de X e o maior de y, assim temos: A = - - Para determinar o maior valor de A, usaremos o maior valor de xeo menor de y, assim temos: 51</p><p>- Logo os possíveis valores de A encontram-se no intervalo 4) Dados os intervalos A [2, 3], verifique se 1 pertence ao conjunto (AnB)-(C-D). Solução: A -1 4 B 1 5 C 2 4 D 1 3 AOB 1 4 52</p><p>C-D 3 4 1 3 - - = {[-1,4) C [1,5]} - {[2,4] - (1,3]} = - (3,4]= 5) Dados os conjuntos A = B = [-3, 0]. Determine An B: Solução: A -2 1 B -3 0 AOB -2 0 53</p><p>AOB 1 0 AOB = IR - (AOB) - AOB = IR - +00) Nesta unidade, vimos os Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais. Descrevendo os conjuntos dos números: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais. Além disso, também fizemos uma revisão sobre dízima periódica e processo para obtenção de uma fração geratriz e finalizaremos com os reais. Espero que tenham gostado desse estudo . Na próxima unidade estudaremos o produto cartesiano, relações e funções. Vamos lá. 54</p><p>Exercícios - Unidade 2 1) Considere as seguintes equações: III. 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade que em: a) é número irracional. b) III é número irracional. c) Il são números reais. d) le III são números não reais. e) Il e III são números racionais. 2) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir. ( ) A letra grega representa o número racional que vale 3,14159265. ( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum. ( ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional. A sequência correta é a) 55</p><p>3) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em: a) 1995. b) 1999. c) 2001. d) 2002. e) 2005. 4) valor de 0,444 é: a) 0,222... b) 0,333. c) 0,444 d) 0,555... e) 0,666.. 5) então o conjunto que 6) número - pertence ao intervalo: a) [1, 3/2] b) (1/2, 1] c) [3/2, 2] d) (-1,1) e) [-3/2, 0] 56</p><p>7) Sejam Z o conjunto dos números inteiros, 2(x+4) e 3 O número de elementos do conjunto J é: a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12. 8) histórico desempenho dos atletas brasileiros no PAN-2007 (54 de ouro, 40 de prata e 67 de bronze, total de 161 medalhas) superou os objetivos traçados pelo Comitê Olímpico Brasileiro (COB). Embora tenha superado Cuba (59 de ouro, 35 de prata e 41 de bronze, total de 135 medalhas) no total de medalhas, o Brasil terminou os Jogos em terceiro lugar no quadro, atrás de Cuba (segundo) e Estados Unidos (primeiro lugar, com 237 medalhas). Adaptado Não. satisfeita com o terceiro lugar do Brasil na competição, uma professora de matemática sugeriu que a classificação geral deveria ser feita pelo total de pontos obtido por cada equipe segundo o seguinte critério: cada medalha de bronze valeria 1 ponto, a medalha de prata q pontos e a medalha de ouro pontos, sendo q, obviamente, maior que 1. Considere, então, B conjunto que contém todos os valores reais possíveis de q, tal que, segundo o critério da professora, o Brasil ficaria na frente de Cuba no PAN-2007. 57</p><p>Assim sendo, pode-se afirmar que: (A) (B) B=0 (C) (E) 9) Determine um número inteiro, cujo produto por 9 seja um número natural composto apenas pelo algarismo 1. 10) Dados os subconjuntos de IR calcule: 58</p><p>Produto Cartesiano, Relações e Funções Produto Cartesiano. Binária.</p><p>Função Inversa Função Inversa. Propriedades das Funções Inversas.</p><p>Nesta quinta unidade vamos estudar o que é uma função Inversa e suas propriedades. Objetivo da Unidade: Compreender o que é exatamente a função Inversa e onde deve ser usada; Observar a simetria entre o gráfico de uma função bijetora f e o de sua inversa Plano da Unidade: Função Inversa. Propriedades das Funções Inversas. Bem-vindo à quinta unidade de estudo. 90</p><p>Função Inversa Dada uma função f: A B, se f é bijetora, então define-se a função inversa como sendo a função de B em A, tal Veja a representação a seguir: f y -1 A B -1 Daí podemos observar as seguintes propriedades: Propriedades das funções inversas a) para obter a função inversa, basta permutar (trocar) as variáveis X b) o domínio de igual ao conjunto imagem de f. c) o conjunto imagem de é igual ao domínio de f. d) os gráficos de f e de são curvas simétricas em relação à reta y=x, ou seja, à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. 91</p><p>Exercícios resolvidos: 1) Determine a INVERSA da função definida por y=2x+3. Solução:Permutando as variáveis xey, fica:x = 2y+3 Explicitando y em função de X, temos: que define a função inversa da função dada. gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de fe de são simétricas em relação à reta y=x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. y f y=x 1 1 X 2) A função f: IR -> IR, definida por a) é inversível e sua inversa b) é inversível e sua inversa = c) não é inversível d) é injetiva e) é bijetiva 92</p><p>Solução: Já sabemos que somente as funções bijetivas são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função definida em IR - - conjunto dos números reais - não é injetiva, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, por este motivo, a função não é bijetiva e em consequência não é inversível. Além disso, observe também que a função dada não é sobrejetiva, pois o conjunto imagem da função f(x) = é o conjunto IR+ dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a IR. A alternativa correta é a letra C. 3) Determine a função inversa de x-3 se existir. x = - - 3x-1 Nesta unidade, vimos o que é uma função Inversa e suas propriedades. Espero que tenham gostado desse estudo. Na próxima unidade estudaremos a função composta. 93</p><p>Exercícios - Unidade 5 1) Seja f a função real tal que para todo X real. A igualdade se verifica para igual a: a) 9. b) 1. c) 5. d) 3. e) 7. 2) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função f(x) = 22x , em que X é o número de residências e f(x) é o número de carteiros. Se 500 + 2x foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o número de residências desse bairro, que as receberam, é: a) 300. b) 340. c) 400. d) 420. e) 460. 3) A fórmula C = (5/9) (F - 32), onde expressa a temperatura C, em graus Celsius, como uma função da temperatura F, em graus Fahrenheit. Então, é correto afirmar: a) 160) / 5. 5. e) (90 - 160C) / 5. 94</p><p>4) Sob pressão constante, concluiu-se que o volume V, em litros, de um gás e a temperatura, em graus Celsius, estão relacionados por meio da equação = ; onde Vo denota o volume do gás a 0°C. Assim, a expressão que define a temperatura como função do volume V é: = V - 5) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretária da Saúde de um município verificaram que o custo da vacinação de por cento da população local era de, aproximadamente, 300x milhares de 400-x reais. Nessa expressão, escrevendo-se X em função de y, obtém-se X igual a 3 b) 300y 400-y - c) 300y 400+y 95</p>