2019-2

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
1a Avaliação Presencial de História da Matemática – 2019-2 
 
Questão 1 [1,5 pt] – Resolva o problema (Prob. 9 de uma tábua do período Hitita - 1650 a 
1200 a.C.). 
Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 
0,1 GAR abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente direita. A que 
distância da parede está a sua parte de baixo? 
Solução: 
Inicialmente devemos interpretar “perfeitamente direita” como perpendicular ao solo. 
A figura 1 representa a situação inicial e a figura 2 a situação em que o topo da trave deslocou 
verticalmente de 0,1 GAR. 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
Usando o Teorema de Pitágoras(*), tem-se que a parte de baixo está a 0,3 GAR da parede 
(*) Não se sabe se os egípcios tinham o conhecimento e uma demonstração do Teorema de 
Pitágoras. Entretanto, eles tinham conhecimento da existência de alguns ternos pitagóricos: 
(3,4,5) era um deles. 
 
 
 
 
Questão 2 [1,5 pt] - Multiplique, como os egípcios, 32 por 19, ou seja, tome 19 vezes o 
número 32. 
Solução: 
∖1 32 
∖2 64 
 4 128 
 8 256 
∖16 512 
1 + 2 + 16 = 19 ⇒ 32 ⨯ 19 = 32 + 64 + 512 = 608. 
 
Questão 3 [1,5 pt] - Resolva a equação 
𝑥
2
+
𝑥
5
= 49, usando o método da falsa posição. 
Solução: 
Assim como o escriba, vamos “evitar” as frações 1/2 e 1/5 simultaneamente. 
Para isso, podemos escolher como posição inicial (isto é, como uma primeira tentativa) um 
múltiplo comum de 2 e 5, por exemplo: o m.m.c.(2 , 5) = 10 . 
Substituindo na equação a posição inicial (21) temos: 
10(1/2) + 10(1/5) = 5 + 2 = 7 (*) 
Como o resultado esperado é 49 o resultado que obtivemos em (*) deve ser multiplicado por 7 
para obtermos 49. 
Sendo assim: x = 10 ∙ 7 = 70. 
 
Questão 4 [2,0 pts] – Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do lado do 
quadrado ABCD. 
 
Responda: 
a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis? Justifique sua resposta, fazendo 
uma demonstração do fato. 
b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis? 
c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior 
em relação ao menor. 
Solução: 
a) Não. Leia novamente a parte final do texto 5 da Unidade 2 do caderno 
impresso ou o texto complementar. 
Solução de b) e c) : 
Sim, os segmentos AC e AF são comensuráveis. Neste caso: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐹̅̅ ̅̅
 =
2
1
 isto é, AF̅̅̅̅ = 2 AC̅̅̅̅ . 
Questão 5 [1,5 pt] - Resolva o seguinte problema proposto por Arquimedes. 
Seja ABC um semicírculo. Pelo ponto B, traçamos 
uma perpendicular BD ao diâmetro AC. Sobre os 
segmentos AD e DC, construímos dois outros 
semicírculos AFD e DHC. A área AFDHCB (que 
Arquimedes chamava de Arbelos) é igual à área do 
círculo de diâmetro BD. 
Solução: 
A área procurada é a que se encontra dentro do semicírculo ABC e fora dos semicírculos AFD 
e DHC. Vamos aos cálculos. 
 
Questão 6 [2,0 pts]: Thabit ibn Qurra (836-901) viveu em Bagdá e 
foi um membro do grupo neo-pitagórico chamado Sabians. Escreveu 
sobre política, gramática, a República de Platão (um diálogo de 
Platão), varíola, anatomia dos pássaros, salinidade do mar, equações 
cúbicas e trigonometria esférica. Ao contrário de Aristóteles, 
acreditava em um verdadeiro infinito (atual). No seu livro “Livro 
Sobre a Determinação de Números Amigáveis” ele apresentou o 
seguinte teorema: 
 
 “Sejam 𝑛 ∈ 𝑍+, 𝑛 > 1, 𝑝 = 3 × 2
𝑛 − 1, 𝑞 = 3 × 2𝑛−1 − 1 𝑒 𝑟 = 9 × 22𝑛−1 − 1 . 
Se p, q e r são primos, então 2n pq e 2nr são números amigáveis.” 
Verifique que 220 e 284 formam um par amigável a partir do teorema acima, identificando 
os valores de n, p, q e r. 
(Obs: dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual a soma dos divisores 
próprios do outro). 
Solução: 
220 2
110 2
55 5
11 11
1
 
284 2
142 2
71 71
1
 
Temos que 220 = 22 × 5 × 11 e 284 = 22 × 71. Observemos inicialmente que, na 
decomposição em fatores primos,22 aparece para 220 e 284. Assim, n = 2. Além disso, 
observemos também 220 é da forma 2n pq e 284 é da forma 2nr. 
Vejamos agora os valores de p, q e r. Temos que: 
 𝑝 = 3 × 22 − 1 = 11 
𝑞 = 3 × 22−1 − 1 = 5 
𝑟 = 9 × 22×2−1 − 1 = 71 são primos. 
Assim, 220 e 284 são números amigáveis.