Capítulo 4- Derivadas Parte 1

Prévia do material em texto

<p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 1</p><p>Capítulo 4 - Derivadas</p><p>1. Problemas Relacionados com Derivadas</p><p>Problema I: Coeficiente Angular de Reta tangente.</p><p>Problema II: Taxas de variação.</p><p>Problema I) Coeficiente Angular de Reta tangente</p><p>I.1) Inclinação da Reta</p><p>A Inclinação de uma reta (�) é o ângulo � formado entre o eixo das</p><p>abscissas (�) e a reta, considerado positivo se medido no sentido anti-</p><p>horário.</p><p>I.2) Coeficiente angular da Reta</p><p>O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao</p><p>eixo das abscissas é o valor real (�) obtido no cálculo da tangente</p><p>trigonométrica do ângulo �.</p><p>� = tan(�) 			���		0° ≤ � ≤ 180°</p><p>Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo � (tan(�)) como</p><p>sendo o quociente entre o cateto oposto a �	e o cateto adjacente a �.</p><p>�� �	 = �</p><p>�	�!�"	�</p><p>�</p><p>�</p><p>#$</p><p>� �</p><p>Como � = tan(�), tem-se:</p><p>Se 0° < � < 90° então � > 0 (função crescente).</p><p>Se 90° < � < 180° então � < 0 (função decrescente).</p><p>Se � = 0° ou � = 180°	então � = 0 (função constante).</p><p>Se � = 90° então � = ∄ (não é função).</p><p>0° ≤ � ≤ 180°</p><p>�</p><p>�</p><p>*</p><p>�</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 2</p><p>Muitas vezes a inclinação � da reta é desconhecida, mas podemos</p><p>determinar o valor o coeficiente angular (�) se forem conhecidas as</p><p>coordenadas de dois pontos sobre ela.</p><p>Seja �	uma função linear de equação * = �(�) cujo gráfico é uma reta no</p><p>plano �	. Considere dois pontos �+(�+, *+) e �,(�,, *,)	sobre a reta e denote por ∆� a diferença entre as coordenadas � destes pontos (∆� = �, − �+) e por ∆*</p><p>a diferença entre as coordenadas * destes pontos (∆* = *, − *+). Sabendo</p><p>que a tangente trigonométrica da inclinação � da reta é igual ao coeficiente</p><p>angular � tem-se:</p><p>� = tan(�) = ∆*</p><p>∆� = ∆�</p><p>∆� = *, − *+�, − �+</p><p>Observe que, por semelhança de triângulos, qualquer que seja o valor</p><p>de ∆�, encontraremos por correspondência da função linear � valores</p><p>para ∆* tais que a relação � = ∆/</p><p>∆0 não se altera. Fazendo ∆� = 1 tem-se</p><p>� = ∆* , assim, o coeficiente angular ou declividade da reta pode ser</p><p>representado geometricamente por um triângulo retângulo de cateto</p><p>adjacente unitário e cateto oposto igual a �.</p><p>I.3) Equação da Reta na forma reduzida:</p><p>A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo: * = �(�) + 2</p><p>Onde � é o coeficiente angular e 2 é o coeficiente linear.</p><p>A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos:</p><p>• Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular</p><p>• Dois pontos sobre a reta</p><p>�+(�+, *+)								�,(�,, *,)</p><p>*+ = �(�+)						*, = �(�,)</p><p>* = �(�)</p><p>�+</p><p>�,</p><p>�</p><p>�</p><p>*</p><p>�</p><p>∆�</p><p>∆*</p><p>�+ �,</p><p>*+</p><p>*,</p><p>1</p><p>�</p><p>* * = �(�)</p><p>�</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 3</p><p>a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular</p><p>Considere conhecidas as coordenadas de um ponto �+(�+, *+) sobre uma</p><p>reta. Imagine outro ponto qualquer �(�, *), também sobre a reta, de</p><p>forma que a coordenada � de � difere da coordenada �	de �+ por uma</p><p>quantidade ∆� e que a coordenada * de � difere da coordenada *	de �+</p><p>por uma quantidade ∆* . Então a coordenada � de � é �+ + ∆� e a</p><p>coordenada * de � é *+ + ∆*.</p><p>Considere conhecida a inclinação � da reta ou o seu coeficiente angular � = tan	(�). Então,</p><p>� = Δ*</p><p>Δ� = * − *+� − �+</p><p>* − *+ = �	(	� − �+) 				 ∴ 		* = �	� + (*+ −�	�+)</p><p>b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela</p><p>Se as coordenadas de dois pontos �+(�+, *+) e �,(�,, *,) sobre uma reta</p><p>são conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular (�). Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um</p><p>ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o</p><p>procedimento descrito anteriormente. Assim,</p><p>� = Δ*</p><p>Δ� = *, − *+�, − �+</p><p>* − *+ = �	(	� − �+) 				 ∴ 					* = �	� + (*+ −�	�+)</p><p>�+(�+, *+)</p><p>�(�, *) = �(�+ + ∆�	, *+ + ∆*)</p><p>� = �+ + ∆�			 ∴ 		 ∆� = � − �+</p><p>* = *+ + ∆*			 ∴ 		 ∆* = * − *+</p><p>�+</p><p>�</p><p>� �</p><p>*</p><p>�</p><p>∆�</p><p>∆*</p><p>�+ �+ + ∆�</p><p>*+</p><p>*+ + ∆*</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 4</p><p>I. 4) Retas Secantes e Reta Tangente</p><p>Seja � uma função cujo gráfico * = �(�) encontra-se representado na figura</p><p>abaixo. Considere �(�+	, *+) e 5(�,, *,) dois pontos sobre o gráfico da função,</p><p>de forma que a coordenada � de 5 difere da coordenada �	de � por uma</p><p>quantidade ∆�. Assim,</p><p>�, = �+ + ∆�									 ∴ 						 ∆� = �, − �+</p><p>Como os pontos � e 5 pertencem ao gráfico da função �.tem-se:</p><p>*+ = �(�+)								 								*, = �(�,) = �(�+ + ∆�)</p><p>Assim as coordenadas de � e 5 são dadas por:</p><p>�(�+, *+) = �(�+, �(�+))</p><p>5(�,	, *,) 	= 	5(�+ 	+ 	Δ�	, �(�+ 	+ 	6�)).</p><p>O segmento de reta �58888 que liga dois pontos de uma curva é chamado</p><p>secante e a linha reta 9 contendo � e 5 é chamada de reta secante. O</p><p>coeficiente angular da reta secante (�:)	é igual ao coeficiente do segmento</p><p>secante, portanto pode ser calculado por:</p><p>�: = Δ*</p><p>Δ� = *, − *+�, − �+ = �(�+ +	∆�) − 	�(�+)∆�</p><p>Considere que o ponto � esteja fixo e o que ponto 5 move-se, ao longo da</p><p>curva da função �, na direção de �. Observe na figura que, à medida que o</p><p>ponto 5 se aproxima do ponto � (pontos 5; e Q’’), a reta secante 9 se</p><p>aproxima da reta < (retas 9′ e 9′′). A reta < é uma reta que tangencia o</p><p>gráfico da função no ponto � e é chamada de reta tangente ao gráfico da</p><p>função no ponto �.</p><p>�</p><p>5</p><p>�</p><p>1</p><p>∆*</p><p>�+ �, = �+ + ∆�</p><p>*+ = �(�+)</p><p>*, = �(�+ + ∆�)</p><p>> (reta secante)</p><p>*</p><p>∆�</p><p>�:</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 5</p><p>À medida que o ponto 5 se aproxima de � a diferença ∆� entre as</p><p>coordenadas � destes pontos tende a zero (∆� → 0). Nestas condições, a reta</p><p>secante tende a coincidir com a reta tangente ao gráfico da função no ponto �. Portanto, o coeficiente angular da reta secante tende a se igualar com o</p><p>coeficiente angular da reta tangente, quando ∆� → 0. Assim, o coeficiente</p><p>angular (�@) da reta tangente ao gráfico da função no ponto � pode ser</p><p>calculado como sendo o limite do coeficiente angular (�:) da reta secante</p><p>quando 6�→0	. Então,</p><p>�@ = lim∆0→+	�: = lim	∆0→+</p><p>Δ*</p><p>Δ�</p><p>�@ = lim∆0→+</p><p>�(�+ +	∆�) − 	�(�+)∆�</p><p>Observe que o valor do coeficiente angular da reta secante que contém dois</p><p>pontos � e 5 do gráfico da função depende da posição destes pontos. O</p><p>valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto � depende da posição do ponto �.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função � dada pela</p><p>equação * = �D quando � = 1.</p><p>A equação de uma reta no plano é completamente determinada quando</p><p>sabemos o seu coeficiente angular e as coordenadas de um ponto sobre ela.</p><p>Precisamos, então, determinar as coordenadas do ponto �(�, �(�)) quando � = 1 e a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de</p><p>abscissa � = 1.</p><p>Quando � = 1 tem-se que * = �(1) = 1. Assim a reta desejada tangencia o</p><p>gráfico da função no ponto �(1,1). O coeficiente angular da reta tangente ao</p><p>gráfico da função num ponto genérico �(�, �(�)) é dado por:</p><p>�@(�) = 	 lim∆0→+</p><p>�(� +	∆�) − 	�(�)</p><p>∆� 										���										* = �(�) = �D</p><p>�</p><p>5</p><p>�</p><p>∆�</p><p>�+</p><p>*+ = �(�+)</p><p>></p><p>>′</p><p>>′′ E</p><p>5′ 5′′</p><p>*</p><p>�+ + ∆�</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 6</p><p>�@(�) = 		 lim∆0→+</p><p>(� +	∆�)D −	�D</p><p>∆�</p><p>�@(�) = 	 lim∆0→+</p><p>�D + 	2�∆� + ∆�D −	�D</p><p>∆� = lim∆0→+</p><p>2�∆� + ∆�D</p><p>∆�</p><p>�@(�) = 	 lim∆0→+ 2� + ∆� = 	 lim∆0→+ 2�</p><p>= 2�</p><p>�@(�) = 2	�</p><p>O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função quando � = 1 é:</p><p>�@(1) = 2.1 = 2</p><p>A reta desejada passa pelo ponto �(1,1), �+ = 1	 	*+ = 1, e possui coeficiente</p><p>angular � = 2 e sua equação é dada por:</p><p>* − *+ = 		�	(	� − �+)</p><p>* =	 *+ + 	�	(	� − �+) = 1 + 2(� − 1)</p><p>* = 2� − 1</p><p>Problema II) Taxas de Variação:</p><p>Seja � uma função de equação * = �(�) cujo gráfico encontra-se</p><p>representado na figura abaixo. Considere �(�+	, *+) e 5(�,, *,) dois pontos</p><p>sobre o gráfico da função de forma que a coordenada � de 5 difere da</p><p>coordenada �	de � por uma quantidade ∆�.</p><p>�</p><p>5</p><p>�</p><p>1</p><p>∆*</p><p>�+ �, = �+ + ∆�</p><p>*+ = �(�+)</p><p>*, = �(�+ + ∆�)</p><p>> (reta secante)</p><p>*</p><p>∆�</p><p>�:</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>ℎ�																				 7</p><p>Quando a coordenada � sofre uma variação ∆� de �+	para �,, * sofre uma</p><p>variação ∆* de		*+ � �	��+�		para *, � ���,� � ���+ 1 ∆��.</p><p>A taxa de variação em * para a variação em �	que é formada é chamada de</p><p>taxa de variação média de * por unidade de variação em � ou taxa de</p><p>variação média de * em relação a � e é definida por:</p><p><GH �</p><p>6*</p><p>6�</p><p>�</p><p>���,� . 	���+�</p><p>�, .	�+</p><p>Alternativamente, fazendo 	�, � �+ 1	∆�	, tem-se:</p><p><GH �</p><p>6*</p><p>6�</p><p>�</p><p>���+ 1	∆�� . 	���+�</p><p>∆�</p><p>Se a taxa de variação média de * em relação a � tende a um valor limitado</p><p>quando ∆� → 0, parece razoável nos referirmos a este valor como taxa de</p><p>variação instantânea de * em relação a	� no instante em que � � �+, a qual é</p><p>calculada como:</p><p><GI�0J� � lim</p><p>∆0→+</p><p>Δ*</p><p>Δ�</p><p>� 	 lim</p><p>∆0→+</p><p>���+ 1	∆�� . 	���+�</p><p>∆�</p><p>Exemplos:</p><p>1) Um móvel desloca-se numa estrada reta a partir de uma cidade A tendo</p><p>como destino final uma cidade C situada a 504 km. Após 2 horas de</p><p>viagem o veículo passa pela cidade B, situada a 148 km da cidade A, e</p><p>atinge o destino final 6 horas após sua partida.</p><p>Neste problema, estamos relacionando a distância percorrida �"� com o</p><p>tempo �	�, ou seja, " e uma função de 	, " � "�	�</p><p>� 0	�																																 � 2	�																																																																				 � 6	�</p><p>"�0� � 0	L�																				"�2� � 148	L�																																																"�6� � 504	L�</p><p>Com base nestas informações responda os itens abaixo:</p><p>a) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e B?</p><p>Sabe-se que velocidade é a taxa de variação da distância �∆"� em</p><p>relação à variação do tempo �∆	�, então:</p><p>GOPQ �</p><p>∆"</p><p>∆</p><p>�</p><p>148 . 0</p><p>2 . 0</p><p>�</p><p>148</p><p>2</p><p>� 74	L�/�</p><p>A B C</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 8</p><p>b) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades B e C?</p><p>GOQT �</p><p>∆"</p><p>∆</p><p>�</p><p>504 . 148</p><p>6 . 2</p><p>�</p><p>356</p><p>4</p><p>� 89	L�/�</p><p>c) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e C?</p><p>GOPT �</p><p>∆"</p><p>∆</p><p>�</p><p>504 . 0</p><p>6 . 0</p><p>�</p><p>504</p><p>6</p><p>� 84	L�/�</p><p>d) O motorista percebeu que com 3 h e com 5 h de viagem sua velocidade</p><p>foi anotada pela polícia rodoviária. Sabendo que a velocidade máxima da</p><p>estrada é de 90 km/h, deseja-se saber se motorista corre o risco de ter</p><p>sido multado.</p><p>� 0	�																																 � 2	�																				 � 3�									 � 5�																		 � 6	�</p><p>As velocidades médias calculadas não ultrapassam o limite de velocidade</p><p>média permitida na estrada. Porém, não interessa saber as velocidades</p><p>médias. Desejamos estimar as velocidades nos instantes que o móvel</p><p>passou pela polícia rodoviária, ou seja, desejamos saber as velocidades nos</p><p>instantes em que 	 � 3	�			 			 � 5	�	(velocidade instantânea).</p><p>Construindo um gráfico de dispersão distância (" ) versus tempo ( 	 ) e</p><p>utilizando um método numérico de aproximação, podemos estimar uma</p><p>equação para a função "�	�.</p><p>"�	� � 2,5		D 1 	69</p><p>GI�	� � lim</p><p>∆@→+</p><p>∆"</p><p>∆</p><p>A velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da distância em</p><p>relação ao tempo, assim para um tempo genérico 	 temos:</p><p>GI�	� � lim</p><p>∆@→+</p><p>∆"</p><p>∆</p><p>� lim</p><p>∆@→+</p><p>"�	 1	∆	� . 	"�	�</p><p>∆</p><p>���						"�	� � 2,5		D 1 	69</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 9</p><p>GI�	� � lim∆@→+</p><p>2,5(	 + ∆	)D + 69(	 + ∆	) − (2,5		D + 69		)</p><p>∆	 =</p><p>= lim∆@→+</p><p>2,5(	D + 2			∆		 + (∆	)D) + 69		 + 69	∆	 − 2,5		D − 69</p><p>∆	 =</p><p>= lim∆@→+</p><p>2,5	D + 5	∆	 + 2,5(∆	)D + 69	∆	 − 2,5		D</p><p>∆	 = lim∆@→+</p><p>5	∆	 + 2,5(∆	)D + 69∆</p><p>∆	 =</p><p>= lim∆@→+</p><p>∆	(5	 + 2,5	∆	 + 69)</p><p>∆	 = lim∆@→+( 5	 + 2,5	∆	 + 69) = 5	 + 69</p><p>GI(	) = 	5		 + 69</p><p>Desejamos saber o valor da velocidade instantânea nos instantes que o</p><p>automóvel passou pela polícia rodoviária 	 = 3	ℎ e 	 = 5	ℎ.</p><p>GI(3) = 	5. (3) + 69 = 15 + 69 = 84	L�/ℎ, pode não ter sido multado</p><p>GI(5) = 	5. (5) + 69 = 25 + 69 = 94	L�/ℎ, pode ter sido multado.</p><p>2) Uma partícula se move de modo que no final de 	 segundos, sua</p><p>distância ", em metros, do ponto de partida é dada por "(	) = 	3	D + 		.</p><p>Calcule a velocidade da partícula no instante 		 = 	2	".</p><p>A velocidade é a taxa de variação da distância (") em relação ao tempo</p><p>(	). A velocidade da partícula no instante 	 = 2 " � é a taxa de variação "</p><p>em relação a 			no instante em que 		 = 	2	" � , ou seja, é a taxa de</p><p>variação instantânea.</p><p>GI(	) = 	 lim∆@→+</p><p>∆s</p><p>∆t = 	 lim∆@→+</p><p>"(	 +	∆	) − "(	)</p><p>∆	 =</p><p>= lim∆@→+</p><p>3(	 + ∆	)D + (	 + ∆	) − (3	D + 	)</p><p>∆	 =</p><p>= lim∆@→+</p><p>3(	D + 2		∆	 + (∆	)D) + ∆	 − 3	D</p><p>∆	 = lim∆@→+</p><p>6		∆	 +	3(∆	)D +	∆</p><p>∆	 =</p><p>= 	 lim∆@→+	6	 + 	3∆	 + 1 = 	6	 + 1</p><p>GI(	) = 6		 + 1</p><p>No instante 	 = 	2	"</p><p>GI(2) = 6	(2) + 1 = 12 + 1 = 13	�/" �</p><p>No instante 	 = 2	", a velocidade da partícula é 13	�/", ou seja, para cada 1</p><p>segundo de acréscimo no tempo, a partícula percorre 13 m no sentido</p><p>positivo do percurso.</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 10</p><p>2. Definição</p><p>A derivada de uma função �, denotada por	�’, é uma função tal que seu</p><p>valor em qualquer número �	de seu domínio é dado por:</p><p>�;��� � 	 lim∆0→+</p><p>�(� +	∆�) − 	�(�)</p><p>∆� , desde	que	este	limite	exista</p><p>OBS: Quando o limite existe dizemos que � é diferenciável ou derivável em</p><p>�, ou que � tem derivada em �.</p><p>Seja � uma função definida em um intervalo aberto que contém �+, então a</p><p>derivada da função	� no ponto em que � = �+,		denota-se �;(�+), é dada por:</p><p>�;(�+) = lim∆0→+</p><p>�(�+ +	∆�) − 	�(�+)∆� 						�]				�;(�+) = lim0→0J</p><p>�(�) − 	�(�+)� − �+</p><p>� �;(�) é uma função</p><p>� �’(�+)	é o valor da derivada de �	quando � = �+.</p><p>*;; �;(�); _0(*);	_0(�);	#*#� ;</p><p>#�</p><p>#�</p><p>Outras Notações:</p><p>Seja * = �(�) uma função com derivada, denotaremos tal derivada por:</p><p>lim∆0→+</p><p>Δ*</p><p>Δ� = 	 lim∆0→+</p><p>�(�+ +	∆�) − 	�(�+)∆�</p><p>Relação entre Taxa de Variação Instantânea e Coeficiente Angular</p><p>de Reta Tangente</p><p>O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico * = �(�) num ponto</p><p>�(�+, �(�+))	e a taxa de variação instantânea de * em relação a � no instante</p><p>em que �	 = 	 �+ são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite.</p><p>Limites nesta forma aparecem com tanta frequência que é necessário uma</p><p>terminologia especial que é a DERIVADA.</p><p>A operação de calcular a derivada ( �	′) de uma função � chama-se</p><p>derivação ou diferenciação.</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 11</p><p>Exemplo:</p><p>Seja � uma função dada pela equação * � �D/2. Na figura abaixo foram</p><p>representados os valores do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico</p><p>da função em alguns pontos de seu domínio. Os valores �`���, juntamente</p><p>com os valores da função ������, encontram-se indicados na tabela.</p><p>Encontre a equação da função �; que é a derivada de �</p><p>e trace seu gráfico.</p><p>Sabe-se que o valor da derivada de uma função em um determinado ponto</p><p>de seu domínio � � �+ é igual ao valor do coeficiente angular da reta</p><p>tangente ��`� ao gráfico da função no ponto ���+, ���+��, então �;��� � �`���.</p><p>Assim, podemos construir uma tabela relacionando os valores de � e �′���.</p><p>O gráfico da função �′ é uma reta de coeficiente angular igual a 1 que passa</p><p>pela origem �+�0,0�. A equação desta reta é *; � �, então �;��� � �.</p><p>�;��� � �`���</p><p>Interpretação Geométrica da Derivada</p><p>Seja * � ���� uma função derivável.</p><p>O valor da derivada da função � em um determinado ponto de seu domínio</p><p>� � �+, denota-se �′��+�, é igual ao valor do coeficiente angular ��`� da reta</p><p>tangente ao gráfico da função no ponto ���+, ���+��.</p><p>Genericamente, para um ponto � qualquer do domínio tem-se:</p><p>�</p><p>* � ���� �</p><p>�D</p><p>2</p><p>�`���</p><p>-4 8 -4</p><p>-2 2 -2</p><p>0 0 0</p><p>1 0,5 1</p><p>3 4,5 3</p><p>� *; � �;��� � �`���</p><p>-4 -4</p><p>-2 -2</p><p>0 0</p><p>1 1</p><p>3 3</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 12</p><p>Outra forma de encontrar a equação da função �; é calcular o limite:</p><p>�;��� � 	 lim∆0→+</p><p>�(� +	∆�) − 	�(�)</p><p>∆� 							���					�(�) = �D</p><p>2</p><p>�;(�) = lim∆0→+</p><p>a(� + ∆�)D2 b − a�D2 b</p><p>∆� = lim∆0→+</p><p>(�D + 2	�	∆� + (∆�)D) − �D</p><p>2	∆� =</p><p>= lim∆0→+</p><p>2	�	∆� + (∆�)D</p><p>2	∆� = lim∆0→+� + ∆�</p><p>2 = lim∆0→+� +	 lim∆0→+</p><p>∆�</p><p>2 	= �</p><p>�;(�) = �</p><p>3. Diferenciabilidade</p><p>Exemplo:</p><p>Verificar se �(�) = |� + 1| é derivável em � = −1.</p><p>A função � pode ser descrita por duas equações equivalentes:</p><p>�(�) = |� + 1| = d								� + 1	,			" 			� + 1 ≥ 0	,			�]	" $</p><p>, " 			� ≥ 	−1</p><p>−(� + 1), " 		� + 1 < 0	,				�]	" $</p><p>, " 			� < −1</p><p>Se � é uma função diferenciável num ponto � = �+ de seu domínio,</p><p>então � é contínua em � = �+</p><p>�f′ (�+) = 	 lim0→0Jg</p><p>�(�) − 	�(�+)� − �+	 						�h′ (�+) = lim0→0Ji</p><p>�(�) − 	�(�+)� − �+</p><p>Se � é uma função contínua num ponto de seu domínio � = �+, então �;(�+)</p><p>existe, se e somente se, as derivadas à direita e à esquerda de � = �+</p><p>existirem e forem iguais.</p><p>Se �f′ (�+) 	= �h′ (�+) então �;(�+) existe.</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 13</p><p>Para ser derivável em � � �+, uma função � tem que ser contínua em � � �+</p><p>e as derivadas à direita j�f;��+�k	e à esquerda j�h;��+�k		de �+ devem ser</p><p>iguais, isto é, �f; ��+� � �h;��+�.</p><p>A função l�m� é contínua em	m � mn se:</p><p>lim</p><p>0→0J</p><p>���� � ���+�</p><p>a) Verificação da existência do limite da função quando � → .1</p><p>lim</p><p>0→h,g</p><p>���� � lim</p><p>0→h,g</p><p>� 1 1 � lim</p><p>0→h,g</p><p>� 1 lim</p><p>0→h,g</p><p>1 � .1 1 1 � 	0</p><p>lim</p><p>0→h,i</p><p>���� � lim</p><p>0→h,i</p><p>. �� 1 1� � lim</p><p>0→h,i</p><p>. � 1 lim</p><p>0→h,i</p><p>. 1 � 1 . 1 � 0</p><p>lim</p><p>0→h,g</p><p>���� � lim</p><p>0→h,i</p><p>���� � 0						 ∴ 					 lim</p><p>0→,</p><p>���� � 0</p><p>b) Cálculo do valor da função em � � .1</p><p>���� � |� 1 1	| 										 ∴ 					��.1� � |.1 1 1| � 0</p><p>Como lim</p><p>0→h,</p><p>���� � ��.1� a função é contínua em � � .1</p><p>Se função l�m� é contínua em	m � mn, 	l�m� será derivável em	m � mn se:</p><p>�f′ ��+� 	� �h′ ��+�</p><p>�f′ ��+� � 	 lim</p><p>0→0Jg</p><p>���� . 	���+�</p><p>� . �+</p><p>� lim</p><p>0→h,g</p><p>�� 1 1� . 	0</p><p>� . �.1�</p><p>� lim</p><p>0→h,g</p><p>�� 1 1�</p><p>�� 1 1�</p><p>� lim</p><p>0→h,g</p><p>1 � 1</p><p>�h′ �.1� � lim</p><p>0→0Ji</p><p>���� . ���+�</p><p>� . �+</p><p>� lim</p><p>0→h,i</p><p>.�� 1 1� . 0</p><p>� . �.1�</p><p>�</p><p>� lim</p><p>0→h,i</p><p>.�� 1 1�</p><p>�� 1 1�</p><p>� lim</p><p>0→h,i</p><p>.1 � .1</p><p>Como �f; ��+� 	o �h;��+� a função � não é derivável em � � .1, apesar de ser</p><p>contínua em � � .1.</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 14</p><p>4. Técnicas de Diferenciação</p><p>1) Regra da Constante: Derivada de uma constante é zero</p><p>Exemplos:</p><p>����� � p				 →	�;(�) = #�</p><p>#� = 0</p><p>2)	* = 3									 → 		 *; = 0</p><p>2) Regra da Função Potência: Derivada da função potência</p><p>Exemplos:</p><p>)	�(�) = �			 → 	 �;(�) = 1. �,h, = 1</p><p>2)	q(	) = 	r 			→ 	q;(�) = 3. 	rh, = 3	D</p><p>�)	* = 1</p><p>sD = shD 							→ #*</p><p>#s = −2	shDh, = −2shr = − 2</p><p>sr</p><p>#)		s = √	 = 	,/D 							→ #s</p><p>#	 = 1</p><p>2</p><p>,D 	h, = 1</p><p>2 	h</p><p>,D	 = 1</p><p>2	,/D	 =</p><p>1</p><p>2√</p><p>3) Regra da Homogeneidade: Derivada do produto de uma constante por</p><p>uma função é a constante multiplicada pela derivada da função</p><p>9 $</p><p>�		�		]�</p><p>���"</p><p>�	 	 		�(�)	]�</p><p>�]�çã�	# ���á�</p><p>" 							�(�) = �	�(�)								então										�;(�) = �. �;(�)</p><p>" 		* = �(�)			então						 ##� (�. *) = �. #*#�</p><p>9 		�		é	]�	�ú� ��	�</p><p>(� ≠ 0)		 			�(�) = �{ 			 �	ã�</p><p>�;(�) = �	�{h,; 												 ##� (�{) = �	�{h,</p><p>OBS: � pode ser um número inteiro, racional, positivo ou negativo</p><p>9 		�	é	]�</p><p>���"</p><p>�	 		 					�(�) = �				então				�′(�) = 0</p><p>#</p><p>#� (�) = 0</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 15</p><p>Exemplos:</p><p>����� � p	�				 →	�; = #</p><p>#� (	p�) = p #</p><p>#� (	�) = p</p><p>2)s = √3</p><p>|D = √3	|hD</p><p>s; = #s</p><p>#| = #</p><p>#| j	√3	|hDk = √3	 ##| (		|hD) = √3(−2)|hr = −2	√3</p><p>|r</p><p>�)	* = 1</p><p>2	√� = 1</p><p>2	�h	,D</p><p>#*</p><p>#� = #</p><p>#� a</p><p>1</p><p>2	�h,Db = 1</p><p>2</p><p>#</p><p>#� a�h,Db = 1</p><p>2	a−</p><p>1</p><p>2b	�h,Dh, =	−1</p><p>4�hrD = − 1</p><p>4√�r</p><p>4) Regra da Soma: Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma</p><p>(ou diferença) das derivadas das funções</p><p>Exemplos:</p><p>)�(�) = 4�r + 3�D − � + 5</p><p>�;(�) = #</p><p>#� (	4�r) + #</p><p>#� (	3�D) − #</p><p>#� (	�) +</p><p>#</p><p>#� (	5)</p><p>�;(�) = 4 #</p><p>#� (�r) + 3 #</p><p>#� (	�D) − 1 + 0 = 	12�D + 6� − 1</p><p>2)	* = √2	]} + ]~</p><p>p +	pD − √3</p><p>√]r = √2	]} + ]~</p><p>p +	pD − √3	]h,r</p><p>*; = #*</p><p>#] = #</p><p>#] j√2	]}k + #</p><p>#] �]~</p><p>p � + #</p><p>#]	(pD) − #</p><p>#] a√3	]h,rb</p><p>*; = √2	 ##] (]}) + 1</p><p>p</p><p>#</p><p>#] (]~) + 0 − √3	 ##] a]h,rb</p><p>*; = √2	(5	]~) + 1</p><p>p (4	]r) − √3	 a− 1</p><p>3]h~rb</p><p>*; = 5√2	]~ + 4]r</p><p>p + √3</p><p>3</p><p>1</p><p>]~/r = 5√2	]~ + 4]r</p><p>p + √3</p><p>3	√]~r</p><p>9 $</p><p>�		] = �(�)	 	* = �(�)	�]�çõ "	# ���á� �"</p><p>" 				�(�) = 	�(�) + 	�(�)					então						�′(�) = �;(�) + �;(�)</p><p>#</p><p>#� (] ± �) = #]</p><p>#� ± #�</p><p>#�</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 16</p><p>5) Regra do Produto: Derivada do produto de duas funções é a primeira</p><p>multiplicada pela derivada da segunda mais a segunda multiplicada pela</p><p>derivada da primeira</p><p>Exemplos:</p><p>�	* � ��r . ���2 − �)</p><p>*; = #*</p><p>#� = (�r − �) #</p><p>#� (2 − �) + (2 − �) #</p><p>#� (�r − �)</p><p>*; = (�r − �) � ##� (2) −</p><p>#</p><p>#� (�)� + (2 − �). � ##� (�r) − #</p><p>#� (�)�</p><p>*; = (�r − �). (−1) + (2 − �). (3�D − 1)</p><p>*; = −�r + � + 6�D − 2 − 3�r + � = 	−4�r + 6�D + 2� − 2</p><p>2)	| = (3sD + 1)(7sr + s)</p><p>|; = #|</p><p>#s = (3sD + 1)�7sr +s�; + (7sr +s)	. �3sD + 1�′</p><p>|; = (3sD + 1). (21sD + 1) + (7sr + s). (6s)</p><p>|; = 63s~ + 3sD + 21sD + 1 + 42s~ + 6sD = 105s~ + 30sD + 1</p><p>6) Regra do Quociente: Derivada da divisão de duas funções é a função</p><p>do denominador multiplicada pela derivada da função do numerador</p><p>menos a função do numerador multiplicada pela derivada da função do</p><p>denominador dividido pela função do denominador elevada ao quadrado</p><p>9 $</p><p>�		] = �(�)		 			� = �(�)				�]�çõ "	# ���á� �"</p><p>" 		�(�) = �(�)</p><p>�(�) 			���		�(�) ≠ 0					então				�;(�) = �(�). �;(�) − �(�). �;(�).</p><p>��(�)�D</p><p>#</p><p>#� �</p><p>]</p><p>�� = �. #]#� − ]. #�#��D</p><p>9 $</p><p>�	] = �(�)		e		� = �(�)				�]�çõ "	# ���á� �"</p><p>" 		�(�) = �(�).�(�)				então				�′(�) = �(�). �;(�) + �(�). �;(�)</p><p>#</p><p>#� (]. �) = ]. #�#� + 	�. #]#�</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 17</p><p>Exemplos:</p><p>�	* �</p><p>�D</p><p>�r 1 7</p><p>*; = #*</p><p>#� = (�r + 7). ##� (�D) − (�D). ##� (�r + 7)</p><p>(�r + 7)D</p><p>*; = (�r + 7). (2�) − (�D). (3�D)</p><p>(�r + 7)D = 2�~ + 14� − 3�~</p><p>(�r + 7)D = 14� − �~</p><p>(�r + 7)D</p><p>2)	q(	) = 2</p><p>D + 1</p><p>q;(	) = (	D + 1). �2		�; − (2	). �	D + 1�;</p><p>(	D + 1)D = (	D + 1). (2) − 2		. (2	)</p><p>(	D + 1)D</p><p>q;(	) = 2	D + 2− 4	D</p><p>(	D + 1)D = 2 − 2	D</p><p>(	D + 1)D</p><p>5. Aplicação das Derivadas: Taxas de Variação Instantânea e</p><p>Coeficiente Angular</p><p>1) De acordo com a Lei</p><p>de Ohm, a voltagem G (em volts), a corrente	I (em</p><p>amperes) e a resistência	� (em ohms, Ω) de um circuito elétrico estão</p><p>relacionadas pela equação:</p><p>I = G</p><p>�</p><p>Considere um circuito de voltagem G = 100	��</p><p>" e determine:</p><p>a) A taxa de variação da corrente em relação à resistência.</p><p>Desejamos calcular ���� , então estamos considerando a corrente elétrica</p><p>(I) com uma função da resistência do circuito (�), ou seja,</p><p>I(�) = G</p><p>� = 100</p><p>� = 100	�h,</p><p>#I</p><p>#� (�) = #</p><p>#� (100	�h,) = 100 #</p><p>#� (�h,) = 	−100	�hD = −100</p><p>�D 		�/Ω</p><p>b) A taxa de variação da corrente em relação à resistência, quando a</p><p>resistência é de 20Ω</p><p>#I</p><p>#��	��D+ = −100</p><p>20D = −1</p><p>4 = −0,25		�/Ω</p><p>c) Qual o significado da taxa encontrada?</p><p>Significa que num circuito elétrico de voltagem 100	��</p><p>", se a resistência</p><p>for de 20	Ω, a corrente decrescerá de 0,25	� para cada 1	Ω de acréscimo</p><p>na resistência.</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 18</p><p>2) Sabe-se que a tensão circunferencial (�	em	MPa ) de um duto de parede</p><p>fina, fechado nas extremidades e submetido à pressão interna uniforme</p><p>(� em MPa) é:</p><p>� = �	�</p><p>onde � e 	 ( �	��)	 são o raio externo e a espessura do duto,</p><p>respectivamente.</p><p>a) Qual a taxa de variação da tensão � em relação à pressão � de um</p><p>duto de raio	= 	250	�� e 	 = 10	��	? O que esta taxa significa?</p><p>Desejamos calcular ���� , então estamos considerando a tensão (�)</p><p>com uma função da pressão interna (�), ou seja,</p><p>�(�) = �	�</p><p>= � 250</p><p>10 = 25	�</p><p>�;(�) = #�</p><p>#� = #</p><p>#� (25	�) = 25 #</p><p>#� (�) = (25)(1) = 25	O�</p><p>O�</p><p>⁄</p><p>Significa que para uma duto de �	 = 	250	�� e 	 = 10	��	 a tensão</p><p>circunferencial aumenta de 25	O�</p><p>para cada 1	O�</p><p>de aumento na</p><p>pressão interna.</p><p>b) Qual a taxa de variação da pressão � em relação ao raio de um duto</p><p>de espessura 	 = 8	��	 cuja tensão circunferencial é de 600O�</p><p>? O</p><p>que esta taxa significa?</p><p>Desejamos calcular ����, então estamos considerando a pressão interna</p><p>(�) com uma função do raio do duto (�), ou seja,</p><p>�(�) = �			 1� 	= (600	.		8)	�h, = 4800	�h,</p><p>�;(�) = #�</p><p>#� = #</p><p>#� (4800	�h,) = 4800 #</p><p>#� (�h,) = −4800	�hD</p><p>�;(�) = −48000</p><p>�D 	O�</p><p>��D⁄</p><p>Neste caso, a taxa de variação instantânea também depende do valor do</p><p>raio. Por exemplo,</p><p>9 		� = 100	��			 �	ã�					�;(10) = −4800</p><p>100D = −0,48	O�</p><p>/��D</p><p>Isto significa que para uma duto de �	 = 	100	��, 	 = 8	��	e � = 600	O�</p><p>a</p><p>pressão diminui de 0,48	O�</p><p>para cada 1	��D de aumento no seu raio.</p><p>9 		� = 200	��			 �	ã�					�;(10) = −4800</p><p>200D = −0,12	O�</p><p>/��D</p><p>Isto significa que para uma duto de �	 = 	200	��, 	 = 8	��	e � = 600	O�</p><p>a</p><p>pressão diminui de 0,12	O�</p><p>para cada 1	��D de aumento no seu raio.</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 19</p><p>3) Uma flecha é atirada do nível do solo da lua para cima, com uma</p><p>velocidade inicial �+ � 58	�/" . A equação da altura ℎ (em metros)</p><p>atingida pela flecha, após 	 segundos de seu lançamento é dada pela</p><p>equação:</p><p>ℎ(	) = �+		 − 0,83		D</p><p>a) Encontre a equação da velocidade da flecha em função do tempo t.</p><p>Sabe-se que a velocidade é a variação da distância percorrida em</p><p>relação ao tempo.</p><p>�(	) = #ℎ</p><p>#	 										��# 								ℎ(	) = 58		 − 0,83		D</p><p>�(	) = #ℎ</p><p>#	 = #</p><p>#	 (58		 − 0,83		D) = 	58 − 1,66</p><p>�(	) = 58 − 1,66</p><p>b) Encontre a velocidade da flecha após 1 segundo de seu lançamento.</p><p>Queremos saber o valor da velocidade quando 	 = 1, ou seja, �(1)</p><p>�(1) = 58 − 1,66	(1) = 56,34	�/"</p><p>c) Determine o tempo após o lançamento necessário para a flecha atingir o</p><p>solo.</p><p>Quando a flecha atinge o solo, a função altura ℎ(	) deve ser nula. A</p><p>altura da flecha em relação ao solo também é nula no momento do seu</p><p>lançamento 	 = 0, mas este momento não nos interessa. Devemos ter:</p><p>ℎ(	) = 0				 				 ≠ 0</p><p>ℎ(	) = 58		 − 0,83		D = 0</p><p>58		 − 0,83		D = 0			 ∴ 					(58 − 0,83	) = 0</p><p>= 0		�]			58 − 0,83		 = 0	,			����		 ≠ 0,				 � − "</p><p>58 − 0,83		 = 0			 ∴ 	 = 58</p><p>0,83 	∴ 				 ≅ 69,88		"</p><p>Levará aproximadamente 69,88	" para a flecha atingir novamente o</p><p>solo.</p><p>d) Com que velocidade a flecha atinge o solo?</p><p>A flecha atinge o solo no instante 	 = 69,88	". Então queremos saber o</p><p>valor de �(69,88)</p><p>�(69,88) = 58 − 1,66	(69,88) ≅ 	−58	�/"</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 20</p><p>4) Seja ���� � 3�D − 12� + 8:</p><p>a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto �(3,−1)</p><p>Cálculo do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função:</p><p>�(�) = �;(�) = #</p><p>#� (3�D − 12� + 8) = 6� − 12</p><p>��	���	�	�,			� = 3 → �(3) = �;(3) = 6(3) − 12 = 6</p><p>A equação da reta que passa por um ponto �(�+, *+) de coeficiente</p><p>angular � conhecido pode ser dada como: * − *+ = �(� − �+)</p><p>�(3,−1) ∴ 			�+ = 3				 				*+ = −1		 � = 6 quando �+ = 3 portanto</p><p>* = *+ +�(� − �+) = (−1) + 6(� − 3) = −1 + 6� − 18 = 6� − 19</p><p>* = 6� − 19</p><p>b) Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto �(3,−1)</p><p>A reta normal ao gráfico de � no ponto � é a reta perpendicular à reta</p><p>tangente. Se o valor do coeficiente angular de uma determinada reta</p><p>é �,então o valor do coeficiente angular da reta normal a ela é − ,</p><p>�.</p><p>Como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no</p><p>ponto �(3,−1) é �` = 6, o coeficiente angular da reta normal (��) ao</p><p>gráfico da função no ponto �(3,−1) é:</p><p>�� = − 1</p><p>�` = −1</p><p>6</p><p>A equação da reta é:</p><p>* − *+ = �	(� − �+)</p><p>A reta desejada passa pelo ponto �(3,−1) e seu coeficiente angular</p><p>�� = − ,</p><p>� . Então,</p><p>* = *+ +��(� − �+) = (−1) − 1</p><p>6 (� − 3) = −1 − �</p><p>6 + 1</p><p>2 = −�</p><p>6 − 1</p><p>2</p><p>* = −�</p><p>6 − 1</p><p>2</p><p>c) Determine o ponto do gráfico no qual reta tangente ao gráfico é</p><p>horizontal.</p><p>Se a reta tangente é horizontal então</p><p>�(�) = � = 0, logo, �;(�+) = 0</p><p>�;(�+) = 6�+ − 12 = 0									 ∴ 					 �+ = 2						 						�(�+) = 3.2D − 12.2 + 8 = −4</p><p>Portanto, o ponto do gráfico onde a reta tangente é horizontal é</p><p>�(2,−4).</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 21</p><p>6. Derivadas das Funções Exponencial e Logarítmica</p><p>Função Exponencial: A função exponencial é uma função do tipo</p><p>* �</p><p>0 				���</p><p>( 0</p><p>o 1</p><p>0 &</p><p>& 1</p><p>( 1</p><p>Função Logarítmica: A função logarítmica é uma função do tipo</p><p>* � log�� �� 				���</p><p>( 0	,</p><p>o 1		 			� ( 0</p><p>0 &</p><p>& 1</p><p>( 1</p><p>As funções exponencial e logarítmica são funções inversas:</p><p>" 		 * � log���� 							então</p><p>/ � �</p><p>" 		* �</p><p>0 								então				 			log��*� � �</p><p>Das propriedades das funções inversas tem-se</p><p>1�</p><p>��� � 0� � �																								2�		 log��</p><p>0� � �</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 22</p><p>Lei dos Expoentes</p><p>Lei dos Logaritmos</p><p>1)</p><p>0f/ =</p><p>0 .</p><p>/</p><p>2)</p><p>0h/ =</p><p>0</p><p>/</p><p>3)	(</p><p>0)/ =</p><p>0./</p><p>4)	(</p><p>. 2)0 =</p><p>0 . 20</p><p>1)	log�(�. *) = log�(�) +	 log�(*)</p><p>2)	log�(�/*) = log�(�) −	 log�(*)</p><p>3)	log�(�¡) = !	log�(�)</p><p>4)	log� � = log¢ �log¢</p><p>Logaritmos Naturais:</p><p>Os logaritmos na base e (e = 2,71828..., número de Euler) são chamados</p><p>de logaritmos naturais e recebem uma notação especial.</p><p>log£(�) = ln(�)</p><p>1)		" 		* = ln(�) 					então					 / = �		; 		" 			* = 0 			 �	ã�		 ln(*) = �</p><p>2)	���!�� #</p><p># "	#</p><p>�]�çã�	��� �"</p><p>: 								 �¥( 0) = �	;						 ln( 0) = �</p><p>3)	O]#</p><p>�ç</p><p># 	2</p><p>" ∶ 				 log�(�) = log£(�)log£(</p><p>) 	=</p><p>ln( �)</p><p>ln(</p><p>)</p><p>9</p><p>> 0,</p><p>≠ 1, � > 0					 					�(�) = log�(�)			 �	ã�	�;(�) = 	 1</p><p>�. ln(</p><p>) #</p><p>#� (log�(�)) =</p><p>1</p><p>�. ln(</p><p>)</p><p>§�	!</p><p>�	��]</p><p>�,										�(�) = ln(�)						 �	ã�					�;(�) = 1</p><p>�</p><p>#</p><p>#� (ln(�)) =</p><p>1</p><p>�</p><p>Derivada da Função Logarítmica</p><p>9</p><p>> 0,</p><p>≠ 1				 					�(�) =</p><p>0 			 �	ã�	�′(�) =</p><p>0 . ln(</p><p>) #</p><p>#� (</p><p>0) =</p><p>0 . ln(</p><p>)</p><p>§�	!</p><p>�	��]</p><p>�,										�(�) = 0 			 �	ã�	�′(�) = 0</p><p>#</p><p>#� ( 0) = 0</p><p>Derivada da Função Exponencial</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 23</p><p>Exemplos:</p><p>Calcule a derivada das funções</p><p>1)	�(�) = 0 − �r + logD(�)</p><p>�;(�) = #</p><p>#� ( 0) − #</p><p>#� (�r) + #</p><p>#� (logD �) = 0 − 3�D + 1</p><p>�	 ln(2)</p><p>2)		s = 30 	 ln(�) + p�r + p0 + pD</p><p>#s</p><p>#� = #</p><p>#� (30 	 ln(�)) + #</p><p>#� (p�r) + #</p><p>#� (p0) + #</p><p>#� (pD)</p><p>#s</p><p>#� = �30 	. ##� (	ln(�)) + ln(�) . ##� (30)	� + p. ##� (�r) + p0 . ln(p) + 0</p><p>#s</p><p>#� = �30 	. 1� + ln(�) . 30 . ln(3)	� + p. (3�D) + p0 . ln(p)</p><p>#s</p><p>#� = 30</p><p>� + 30 ln(3) ln(�) + 3p	�D + p0 ln(p)</p><p>3)	] = 	 logD(	) @</p><p>#]</p><p>#	 = #</p><p>#	 a</p><p>logD( 	) @ b =</p><p>@. ##	 (logD(	)) − logD(	) . ##	 ( @)</p><p>( @)D</p><p>#]</p><p>#	 =</p><p>@. � 1	. ln(2)� − logD(	) . @</p><p>( @)D =</p><p>@</p><p>. ln(2) −	 @ ln(	)ln(2)</p><p>( @)D</p><p>#]</p><p>#	 =</p><p>@ − 		 @ ln(	)	 ln(2)</p><p>( @)D = @ − 		 @ ln(	)</p><p>ln(2)( @)D =	 @(1 − 		 ln(	))</p><p>ln(2)( @)D</p><p>#]</p><p>#	 =	= 	1 − 		ln(	)</p><p>ln(2) @</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 24</p><p>7. Derivadas de Funções Trigonométricas</p><p>Uma vez conhecida as derivadas das funções seno e co-seno, podemos</p><p>deduzir a derivada de outras funções trigonométricas.</p><p>a) Derivada da Função Tangente</p><p>* � tan(�)</p><p>#*</p><p>#� = #</p><p>#� (tan(�)) =</p><p>#</p><p>#� a</p><p>sen(�)</p><p>cos(�)b</p><p>#</p><p>#� (tan(�)) =</p><p>cos(�) . ##� j" �(�)k − sen(�). ##� (cos(�))�cos(�)�D</p><p>#</p><p>#� (tan(�)) =</p><p>cos(�) . cos(�) − " �(�). (−sen(�))</p><p>�cos(�)�D = cosD(�) + senD(�)</p><p>cosD(�)</p><p>#</p><p>#� (tan(�)) =</p><p>1</p><p>cosD(�) = secD(�)</p><p>b) Derivada da Função Co-Tangente</p><p>* = cot(�)</p><p>#*</p><p>#� = #</p><p>#� (cot(�)) =</p><p>#</p><p>#� a</p><p>cos(�)</p><p>sen(�)b</p><p>#</p><p>#� (cot(�)) =</p><p>sen(�) . ##� jcos(�)k − cos(�). ##� (sen(�))�sen(�)�D</p><p>#</p><p>#� (cot(�)) =</p><p>sen(�) . j−sen(�)k − cos(�) . (cos(�))</p><p>�sen(�)�D = −senD(�) − cosD(�)</p><p>senD(�)</p><p>#</p><p>#� (cot(�)) =</p><p>−1</p><p>senD(�) = −��" �D(�)</p><p>9 						�(�) = cos(�)			 �	ã�	�;(�) = −sen(�) #</p><p>#� jcos(�)k = −sen(�)</p><p>Derivada da Função Co-Seno</p><p>9 						�(�) = sen(�)			 �	ã�	�;(�) = cos(�) #</p><p>#� jsen(�)k = cos(�)</p><p>Derivada da Função Seno</p><p>Cálculo I - ����� 	��</p><p>�</p><p>��</p><p>��																				 25</p><p>c) Derivada da Função Secante</p><p>* � sec(�)</p><p>#*</p><p>#� = #</p><p>#� (sec(�)) =</p><p>#</p><p>#� a</p><p>1</p><p>cos(�)b</p><p>#</p><p>#� (sec(�)) =</p><p>cos(�) . ##� (1) − (1). ##� (cos(�))�cos(�)�D</p><p>##� (sec(�)) =</p><p>cos(x) . (0) − (−sen(�))</p><p>�cos(�)�D = sen(�)</p><p>cos(�) . cos(�) = asen(�)cos(�)b . a</p><p>1</p><p>cos(�)b</p><p>##� (sec(�)) = tan(�) . sec(�)</p><p>d) Derivada da Função Co-Secante</p><p>* = cosec(�)</p><p>#*</p><p>#� = #</p><p>#� (cosec(�)) =</p><p>#</p><p>#� a</p><p>1</p><p>sen(�)b</p><p>#</p><p>#� (cosec(�)) =</p><p>sen(�) . ##� (1) − (1). ##� (sen(�))�sen(�)�D</p><p>#</p><p>#� (cosec(�)) =</p><p>−cos(�)</p><p>�sen(�)�D = −a cos(�)</p><p>senD(�)b . a</p><p>1</p><p>sen(�)b</p><p>#</p><p>#� (cosec(�)) = −cot(�) . cosec(�)</p><p>Exemplo</p><p>Calcule a derivada da função</p><p>s = " �(	). (1 + 3 cos(t))</p><p>#s</p><p>#	 = #</p><p>#	 �sen(	). (1 + 3 cos(t))�</p><p>#s</p><p>#	 = sen(	). ##	 (1 + 3 cos(	)) + (1 + 3 cos(	)). ##	 (sen(	))</p><p>#s</p><p>#	 = sen(	). � ##	 (1) +</p><p>#</p><p>#	 (3 cos(	))� + (1 + 3 cos(	)). cos(	)</p><p>#s</p><p>#	 = sen(	). (0 − 3 sen(	)) + (1 + 3 cos(	)). cos(	)</p><p>#s</p><p>#	 = −3" �D(	) + (1 + 3 cos(	)). cos(	)</p>