Matrizes e Transformações Geométricas

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<p>Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício quantas vezes quiser.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>1</p><p>Um grupo de cientistas está estudando transformações geométricas no espaço tridimensional. Eles utilizam</p><p>matrizes para representar essas transformações. Durante suas pesquisas, eles descobriram um tipo especial</p><p>de matriz chamada de matriz ortogonal. Qual é a definição correta de uma matriz ortogonal?</p><p>É uma matriz que possui apenas números positivos em suas entradas</p><p>É uma matriz que possui determinante igual a zero</p><p>É uma matriz que possui elementos simétricos em relação à sua diagonal principal</p><p>É uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas</p><p>É uma matriz cuja inversa é igual à sua transposta</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!</p><p>Uma matriz ortogonal é aquela em que sua inversa é igual à sua transposta. Isso implica que, ao</p><p>multiplicarmos a matriz por sua inversa, obtemos a matriz identidade. Essa propriedade é fundamental</p><p>para uma matriz ser considerada ortogonal.</p><p>Matrizes e Determinantes</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>1 of 9 26/04/2024, 09:23</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>2</p><p>A matriz P � MN . Sabe-se que a matriz N tem tamanho 3 � 2 e que a matriz P   tem número de colunas igual</p><p>a 7. Determine o tamanho da matriz M.</p><p>T T</p><p>7 � 3</p><p>3 � 7</p><p>7 � 5</p><p>2 � 7</p><p>7 � 2</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!</p><p>A matriz P é o produto de duas matrizes M e N. Sabemos que a matriz N tem dimensões 3 � 2 e que a</p><p>matriz P tem 7 colunas. Quando multiplicamos duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz</p><p>deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Portanto, a matriz M deve ter 7 linhas para que</p><p>possamos multiplicá-la pela matriz N. Além disso, o número de colunas da matriz M deve ser igual ao</p><p>número de linhas da matriz N, que é 2. Portanto, a matriz M tem dimensões 7 � 2.</p><p>3</p><p>Um grupo de estudantes está estudando matrizes em um curso de matemática aplicada. Durante uma aula, o</p><p>professor explica a definição de matriz como um agrupamento ordenado de elementos em uma forma</p><p>retangular com linhas e colunas. Ele também destaca a notação para representar os elementos individuais da</p><p>matriz. Considerando a definição de matriz e sua notação, qual das seguintes alternativas corretamente</p><p>descreve a representação de um elemento específico (a ) da matriz M?ij</p><p>O elemento (a ) é o resultado da multiplicação entre a linha i e a coluna j da matriz M.ij</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>2 of 9 26/04/2024, 09:23</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>O elemento (a ) é a soma dos elementos das linhas i e j da matriz M.ij</p><p>O elemento (a ) é o resultado da divisão entre a linha i e a coluna j da matriz M.ij</p><p>O elemento (a ) é igual à matriz M na posição (i+j).ij</p><p>O elemento (aij) é o elemento da matriz M na posição i, j representado por �M)ij = aij.</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!</p><p>De acordo com a definição apresentada, o elemento (aij) da matriz M é representado por �M)ij = aij. Isso</p><p>significa que o elemento na posição i, j da matriz M é exatamente igual a aij.</p><p>4</p><p>Determine o produto da matriz  A � � 1 0 2 4 �1 �1 � com a matriz B � � 0 1 1 0 2 �1 � .</p><p>� 4 � 1 � 3 5 �</p><p>[ �4 1 3 � 5 �</p><p>� 8 1 � 7 0 �</p><p>� 1 3 8 4 � 1 0 �</p><p>� 1 0 3 1 2 � 1 �</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>3 of 9 26/04/2024, 09:23</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A resposta correta é: � 4 � 1 � 3 5 �</p><p>5</p><p>Um departamento de engenharia está desenvolvendo um software para realizar cálculos e operações com</p><p>matrizes. Durante o processo de desenvolvimento, a equipe precisa garantir que as operações de adição e</p><p>subtração de matrizes sejam realizadas corretamente, levando em consideração o tamanho das matrizes</p><p>envolvidas. Considerando a definição de adição e subtração de matrizes, qual das seguintes alternativas</p><p>corretamente descreve as condições necessárias para realizar essas operações?</p><p>A adição e subtração de matrizes são definidas independentemente do tamanho das matrizes</p><p>envolvidas</p><p>A adição de matrizes é definida apenas se elas tiverem o mesmo número de linhas, mas o número de</p><p>colunas pode ser diferente</p><p>A adição de matrizes é definida apenas se elas tiverem o mesmo número de colunas, mas o número</p><p>de linhas pode ser diferente</p><p>A adição e subtração de matrizes são definidas apenas se elas tiverem o mesmo número de linhas e</p><p>colunas</p><p>A adição e subtração de matrizes são definidas apenas se elas tiverem o mesmo número de</p><p>elementos</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!</p><p>Para que as operações de adição e subtração sejam realizadas entre duas matrizes, é necessário que elas</p><p>tenham o mesmo número de linhas e colunas. A adição de matrizes é feita somando os elementos</p><p>correspondentes de cada matriz para obter a matriz resultante, enquanto a subtração é feita subtraindo</p><p>os elementos correspondentes. Essas operações requerem que os elementos a serem somados ou</p><p>subtraídos estejam em posições correspondentes nas matrizes envolvidas.</p><p>6</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>4 of 9 26/04/2024, 09:23</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>Durante uma aula, o professor destaca que as matrizes podem receber diferentes denominações com base</p><p>em seu tamanho e/ou valores dos elementos. Ele menciona alguns exemplos comuns, como matriz (ou vetor)</p><p>linha, matriz (ou vetor) coluna e matriz quadrada. Considerando as denominações das matrizes com base em</p><p>seu tamanho e/ou valores dos elementos, qual das seguintes alternativas corretamente descreve uma matriz</p><p>quadrada?</p><p>Uma matriz quadrada é aquela que possui apenas um elemento</p><p>Uma matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas.</p><p>Uma matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é sempre maior que o número de colunas</p><p>Uma matriz quadrada é aquela em que todos os seus elementos possuem o mesmo valor.</p><p>Uma matriz quadrada é aquela que possui mais colunas do que linhas</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!</p><p>Uma matriz quadrada é definida como uma matriz em que o número de linhas é igual ao número de</p><p>colunas. Isso significa que ela possui a mesma quantidade de linhas e colunas. Por exemplo, uma matriz</p><p>3�3, onde possui 3 linhas e 3 colunas, é uma matriz quadrada. As matrizes quadradas são importantes</p><p>em muitos aspectos da álgebra linear e têm propriedades distintas.</p><p>7</p><p>Uma aplicaçăo comum para o uso de matrizes é na resolução de sistemas lineares. Os sistemas lineares são</p><p>utilizados para modelar uma variedade de problemas em diversas áreas, como engenharia, física, economia,</p><p>entre outras. Considere as matrizes e valor da</p><p>expressằo é:</p><p>A = [ 5 2</p><p>2 −1</p><p>] , B = [ 14 −2</p><p>3 −1</p><p>] C = [ √6 √33</p><p>√2 −1</p><p>] , 0</p><p>y =</p><p>det(Λ)x det(B)</p><p>det(C)</p><p>5(√6−√66)</p><p>6</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>5 of 9 26/04/2024, 09:23</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>3(√6−√66)</p><p>5</p><p>6(√6−√66)</p><p>5</p><p>6(√6−√66)</p><p>5</p><p>6(√2−√6)</p><p>5</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Calculando os determinantes das matrizes:</p><p>Resolvendo a expressão:</p><p>A = [ 5 2</p><p>2 −1</p><p>] → det(A) = 5 ⋅ (−1) − 2 ⋅ 2 = −9</p><p>B = [ 14 −2</p><p>3 −1</p><p>] → det(B) = 14 ⋅ (−1) − 3 ⋅ (−2) = −8</p><p>C = [ √6 √33</p><p>√2 −1</p><p>] → det(C) = √6 ⋅ (−1) − √2 ⋅ √33 = −√6 − √66</p><p>= = ⋅ =</p><p>= =</p><p>det(A)x det(B)</p><p>det(C)</p><p>−9 ⋅ (−8)</p><p>(−√6 − √66)</p><p>−9 ⋅ (−8)</p><p>(−√6 − √66)</p><p>(√6 − √66)</p><p>(√6 − √66)</p><p>−9 ⋅ (−8) ⋅ (√6 − √66)</p><p>−6 + 66</p><p>det(A)x det(B)</p><p>det(C)</p><p>−9 ⋅ (−8) ⋅ (√6 − √66)</p><p>60</p><p>6(√6 − √66)</p><p>5</p><p>8</p><p>Marque a alternativa que apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3.</p><p>� 3 � 333 � 33 �</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>6 of 9 26/04/2024, 09:23</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>� 3 � 33 � 33 � 3 �</p><p>� 3 1 0 1 3 2 0 2 3 �</p><p>� 0 � 1 � 4 1 0 2 4 � 2 0 �</p><p>� 3 � 1 4 0 3 2 0 0 3 �</p><p>Opa! A</p><p>alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!</p><p>A resposta correta é: � 0 � 1 � 4 1 0 2 4 � 2 0 �</p><p>9</p><p>Marque a alternativa que apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3.</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>3 −3 3</p><p>3 −3 3</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>3 −3 3</p><p>−3 3 −3</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>3 1 0</p><p>1 3 2</p><p>0 2 3</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>0 −1 −4</p><p>1 0 2</p><p>4 −2 0</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>3 −1 4</p><p>0 3 2</p><p>0 0 3</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>7 of 9 26/04/2024, 09:23</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!</p><p>Uma matriz é considerada antissimétrica se, e somente se, sua transposta é igual à sua negativa. Ou seja,</p><p>se a matriz A é antissimétrica, então A^T � �A. Ao realizar a transposta da matriz e</p><p>compará-la com a negativa da matriz original, podemos observar que ambas são iguais, confirmando que</p><p>a matriz é antissimétrica.</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>0 −1 −4</p><p>1 0 2</p><p>4 −2 0</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>10</p><p>Sabe-se que P � 2M . Calcule o determinante de P, sabendo que a matriz M � :�1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>2 1</p><p>1 −2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>4</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>− 4</p><p>5</p><p>− 2</p><p>5</p><p>− 1</p><p>5</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!</p><p>Para resolver essa questão, primeiro precisamos calcular a matriz inversa de M. A matriz inversa de M é:</p><p>Em seguida, multiplicamos essa matriz por 2, conforme a equação P � 2M , obtendo:</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>2/5 1/5</p><p>1/5 −2/5</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>�1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>4/5 2/5</p><p>2/5 −4/5</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>8 of 9 26/04/2024, 09:23</p><p>Por fim, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante é o resultado da subtração do produto</p><p>dos elementos da diagonal principal pelo produto dos elementos da diagonal secundária. Nesse caso, o</p><p>determinante é �20/25, que simplificado resulta em �4/5, que corresponde à alternativa C.</p><p>Firefox https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6620e3ce257ea9c026...</p><p>9 of 9 26/04/2024, 09:23</p>