NÚMEROS COMPLEXOS

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<p>1. Definição de Números Complexos</p><p>Os números complexos são uma extensão dos números reais e são representados pela forma z=a+biz = a +</p><p>biz=a+bi, onde:</p><p>● aaa é a parte real do número complexo.</p><p>● bbb é a parte imaginária.</p><p>● iii é a unidade imaginária, definida como i2=−1i^2 = -1i2=−1.</p><p>2. Forma Algébrica</p><p>Um número complexo na forma z=a+biz = a + biz=a+bi é chamado de forma algébrica.</p><p>● Exemplo: 3+4i3 + 4i3+4i, onde a parte real é 3 e a parte imaginária é 4.</p><p>3. Operações com Números Complexos</p><p>● Adição: Para somar dois números complexos z1=a+biz_1 = a + biz1 =a+bi e z2=c+diz_2 = c +</p><p>diz2 =c+di, soma-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente:</p><p>z1+z2=(a+c)+(b+d)iz_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)iz1 +z2 =(a+c)+(b+d)i</p><p>● Subtração: Para subtrair, realiza-se a subtração entre as partes reais e as partes imaginárias:</p><p>z1−z2=(a−c)+(b−d)iz_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)iz1 −z2 =(a−c)+(b−d)i</p><p>● Multiplicação: Multiplica-se usando a distributiva e substitui-se i2=−1i^2 = -1i2=−1:</p><p>z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)iz_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)iz1 ⋅z2 =(ac−bd)+(ad+bc)i</p><p>● Divisão: Para dividir dois números complexos, multiplica-se o numerador e o denominador pelo</p><p>conjugado do denominador:</p><p>z1z2=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}z2 z1 =c2+d2(a+bi)(c−di)</p><p>4. Conjugado de um Número Complexo</p><p>O conjugado de z=a+biz = a + biz=a+bi é dado por z‾=a−bi\overline{z} = a - biz=a−bi. O conjugado é útil para</p><p>simplificar divisões e encontrar o módulo dos números complexos.</p><p>5. Módulo de um Número Complexo</p><p>O módulo de um número complexo z=a+biz = a + biz=a+bi, representado por ∣z∣|z|∣z∣, é a distância do ponto</p><p>que representa o número até a origem no plano complexo e é dado por:</p><p>∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}∣z∣=a2+b2</p><p>6. Forma Polar e Forma Exponencial</p><p>● Forma Polar: Um número complexo z=a+biz = a + biz=a+bi pode ser representado na forma polar</p><p>como z=r(cos θ+isin θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)z=r(cosθ+isinθ), onde:</p><p>○ r=∣z∣r = |z|r=∣z∣ é o módulo.</p><p>○ θ\thetaθ é o argumento ou ângulo formado com o eixo real, dado por θ=tan −1(ba)\theta =</p><p>\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)θ=tan−1(ab ).</p><p>● Forma Exponencial: Utilizando a fórmula de Euler, zzz pode ser expresso como:</p><p>z=reiθz = re^{i\theta}z=reiθ</p><p>7. Aplicações dos Números Complexos</p><p>Os números complexos têm ampla aplicação em várias áreas da ciência e engenharia, como:</p><p>● Engenharia Elétrica: Para análise de circuitos de corrente alternada (CA).</p><p>● Física: Para modelar ondas e fenômenos oscilatórios.</p><p>● Matemática: Em equações diferenciais e na análise de funções complexas.</p><p>8. Conclusão</p><p>Os números complexos são uma ferramenta poderosa que estende os números reais, permitindo a solução</p><p>de problemas que não podem ser resolvidos no conjunto dos números reais, especialmente equações</p><p>polinomiais e problemas envolvendo raízes de números negativos. Sua representação no plano complexo e</p><p>as operações associadas enriquecem a compreensão de diversos conceitos matemáticos e físicos.</p>