Unidade 1 - Parte 2

Prévia do material em texto

<p>GEOMETRIA</p><p>ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Prof. Ma. Fernanda Campanha Rejani</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Equação Vetorial da Reta</p><p>Vamos considerar uma reta 𝑟 que passa pelo</p><p>ponto 𝐴 e tem direção de um vetor não-nulo Ԧ𝑣.</p><p>Para que um ponto 𝑃 do espaço pertença à reta</p><p>𝑟, devemos ter que os vetores 𝐴𝑃 e Ԧ𝑣 sejam</p><p>colineares.</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Isto quer dizer que: 𝑃 = 𝐴 + 𝑘 Ԧ𝑣.</p><p>Sendo assim, escrevendo 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐴 =</p><p>(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e Ԧ𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), obtemos:</p><p>𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 + 𝒌(𝒂, 𝒃, 𝒄).</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Equações Paramétricas da Reta</p><p>𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑘 𝑎, 𝑏, 𝑐</p><p>𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + (𝑘𝑎, 𝑘𝑏, 𝑘𝑐)</p><p>𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1 + 𝑘𝑎, 𝑦1 + 𝑘𝑏, 𝑧1 + 𝑘𝑐 .</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Assim, pela igualdade de vetores, obtemos:</p><p>ቐ</p><p>𝒙 = 𝒙𝟏 + 𝒌𝒂</p><p>𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒌𝒃</p><p>𝒛 = 𝒛𝟏 + 𝒌𝒄</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Equações Simétricas da Reta</p><p>𝑘 =</p><p>𝑥 − 𝑥1</p><p>𝑎</p><p>𝑘 =</p><p>𝑦 − 𝑦1</p><p>𝑏</p><p>𝑘 =</p><p>𝑧 − 𝑧1</p><p>𝑐</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Logo, podemos escrever:</p><p>𝒙 − 𝒙𝟏</p><p>𝒂</p><p>=</p><p>𝒚 − 𝒚𝟏</p><p>𝒃</p><p>=</p><p>𝒛 − 𝒛𝟏</p><p>𝒄</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Equações Reduzidas da Reta</p><p>𝑥 − 𝑥1</p><p>𝑎</p><p>=</p><p>𝑦 − 𝑦1</p><p>𝑏</p><p>⇒ 𝑦 − 𝑦1 =</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥 − 𝑥1 ⇒</p><p>𝑦 =</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥 −</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥1 + 𝑦1</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Equações Reduzidas da Reta</p><p>𝑥 − 𝑥1</p><p>𝑎</p><p>=</p><p>𝑧 − 𝑧1</p><p>𝑐</p><p>⇒ 𝑧 − 𝑧1 =</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>𝑥 − 𝑥1 ⇒</p><p>𝑧 =</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>𝑥 −</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>𝑥1 + 𝑧1</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>= 𝑚 −</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥1 + 𝑦1 = 𝑛</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>= 𝑝 −</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>𝑥1 + 𝑧1 = 𝑞</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>ቊ</p><p>𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏</p><p>𝒛 = 𝒑𝒙 + 𝒒</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Exemplo: Vamos estudar a reta que passa pelos</p><p>pontos A(3,-1,-2) e B(1,2,4).</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Ângulo entre Duas retas</p><p>Definição: o ângulo de duas retas 𝑟1 e 𝑟2 é o</p><p>menor ângulo formado por um vetor diretor de 𝑟1</p><p>e um vetor diretor de 𝑟2.</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Portanto, se 𝑣1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 e 𝑣2 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 são</p><p>os vetores diretores de 𝑟1 e 𝑟2, respectivamente,</p><p>então o cosseno do ângulo θ formado por 𝑣1 e 𝑣2,</p><p>com 0 ≤ 𝜃 ≤</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>é dado por:</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝜃 =</p><p>𝑣1 ∙ 𝑣2</p><p>𝑣1 𝑣2</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Exemplo: 𝑟1:</p><p>𝑥−1</p><p>2</p><p>= 𝑦 + 2 =</p><p>𝑧+3</p><p>−2</p><p>e 𝑟2: ቊ</p><p>𝑦 = −2𝑥 + 1</p><p>𝑧 = 3𝑥 + 4</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Condição de Paralelismo de Duas Retas</p><p>Definição: duas retas 𝑟1 e 𝑟2 são paralelas quando</p><p>seus vetores diretores são paralelos, isto é, se</p><p>𝑣1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 e 𝑣2 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 são os seus</p><p>vetores diretores, respectivamente, então</p><p>devemos ter: 𝑣1 = 𝑚𝑣2,</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>ou ainda,</p><p>𝑎1</p><p>𝑎2</p><p>=</p><p>𝑏1</p><p>𝑏2</p><p>=</p><p>𝑐1</p><p>𝑐2</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Exemplo: A reta 𝑟 que passa por 𝐴(−3,4,2) e 𝐵 (5,</p><p>−2,4), e a reta 𝑠, que passa por 𝑃(−1,2, −3) e</p><p>𝑄(−5,5, −4), são paralelas.</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Condição de Ortogonalidade de Duas Retas</p><p>A condição de ortogonalidade das retas 𝑟1 e</p><p>𝑟2 é a mesma condição de ortogonalidade dos</p><p>vetores 𝑣1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 e 𝑣2 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 que</p><p>definem as direções dessas retas,</p><p>respectivamente. Isto é, 𝑣1 ∙ 𝑣2 = 0.</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Exemplo:</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Posições Relativas de Duas Retas</p><p>Duas retas 𝑟1 e 𝑟2, no espaço, podem ser</p><p>coplanares, isto é, situadas no mesmo plano.</p><p>Nesse caso, as retas poderão ser:</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>• concorrentes: possuem um único ponto 𝑃 em</p><p>comum (𝑟1 ∩ 𝑟2 = 𝑃 );</p><p>• paralelas: não possuem ponto em comum (𝑟1 ∩</p><p>𝑟2 = ∅).</p><p>Ou não são situadas no mesmo plano e não</p><p>possuem ponto em comum (𝑟1 ∩ 𝑟2 = ∅), isto é,</p><p>são reversas.</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA</p><p>Exemplo: Determinar o ponto de interseção das</p><p>retas r: 2x + y – 1 = 0 e s: x – y + 2 = 0.</p>