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<p>198</p><p>Unidade III</p><p>Unidade III</p><p>7 NÚMEROS‑ÍNDICES SIMPLES E COMPOSTOS</p><p>7.1Números‑índices simples</p><p>Os números‑índices caracterizam‑se por serem um importante instrumento de medidas estatísticas,</p><p>são muito utilizados para comparar variáveis econômicas relacionadas entre si e para obter uma análise</p><p>simples e resumida das mudanças ocorridas em áreas relacionadas, tais como preços, quantidades</p><p>e valores ao longo do tempo. Segundo Arkin e Colton, “O número‑índice é um processo estatístico</p><p>destinado a medir as variações em grupo de dados”. Permite apreciar o sentido dos movimentos gerais</p><p>de um complexo econômico, portanto não é senão um instrumento de análise destinado a pôr em</p><p>evidência os fatores de que depende o fenômeno em estudo. São úteis para o acompanhamento de</p><p>Inflação, Índice do Custo de Vida, Índice de Produção Industrial, Índice Geral de Preços etc.</p><p>Os números‑índices são expressos em percentuais e se caracterizam pela magnitude e pela evolução</p><p>dos dados da série.</p><p>Exemplo 93: suponhamos que o preço de um produto no ano 2000 fosse de R$ 27,00 o quilograma</p><p>e que o preço do mesmo produto no ano 2016 tenha sido R$ 89,00. Um índice da variação dos preços é</p><p>a razão dos preços nos dois momentos diferentes, conforme a seguir:</p><p>Resolução:</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>ou P ou2000 2016</p><p>2016</p><p>2000</p><p>2000 2016</p><p>89</p><p>27</p><p>3 30 330 330/ /, % .= = = =</p><p>Esse valor da razão expresso em forma de porcentagem é considerado um índice particular do preço</p><p>do produto em questão no ano 2016, tomando‑se por base o valor suposto do produto em 2000 igual a</p><p>100. Por conseguinte, 330% do preço do ano‑base com relação ao preço do ano de 2016 são:</p><p>27 330</p><p>100</p><p>8910</p><p>100</p><p>89</p><p>�</p><p>� �</p><p>Podemos também interpretar o resultado de outra forma: se o preço fictício de 100 no ano‑base se</p><p>transforma no preço 330% no ano de 2016, o aumento obtido é de 330 ‑ 100 = 230%. É evidente que,</p><p>se aumentarmos o preço do ano‑base em seus 330%, obteremos o preço no ano de 2016:</p><p>27</p><p>27 230</p><p>100</p><p>89�</p><p>�</p><p>�</p><p>199</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Convém notar que a porcentagem de aumento de 230% se obtém segundo a fórmula:</p><p>( )novo valor valor original</p><p>valor original</p><p>�</p><p>�100 , ou seja, %</p><p>( )89 27</p><p>27</p><p>100 230</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�novo valor valor original</p><p>valor originnal</p><p>�100</p><p>Assim, as porcentagens não são reversíveis, isto é, se diminuirmos o preço do ano 2016 de 230%, não</p><p>se obterá o preço do ano‑base.</p><p>Trataremos dos mais utilizados, são os que medem as variações de preços, quantidades e valores ao</p><p>longo do tempo. Portanto, os índices que serão objeto de nosso estudo são os Índices Ponderados de:</p><p>Laspeyres, Paasche e Fisher.</p><p>Os principais índices financeiros brasileiros são: Balança Comercial, BTNF, Caderneta de Poupança,</p><p>Dólar, Euro, Risco‑País, FGTS, ICV, IGP‑DI, IGP‑M, INCC‑DI, INPC, IPC‑DI, IPCA, Salário Mínimo, Taxa Selic,</p><p>TJLP, TR, entre outros.</p><p>7.1.1 Números-índices simples: relativos</p><p>Nesse caso, um período é escolhido como referência, ou base, e todos os índices são computados em</p><p>relação aos registros desse período específico. Usualmente no período‑base o índice recebe o valor 100.</p><p>Relativos são os mais simples dos números‑índices, relacionam o preço, a quantidade ou ainda o valor</p><p>de um produto numa época atual (t) com uma época‑base (0). Assim, para um determinado produto:</p><p>p0 = preço na época‑base</p><p>pt = preço na época atual</p><p>q0 = quantidade na época‑base</p><p>qt = quantidade na época atual</p><p>v0 = valor na época‑base</p><p>vt = valor na época atual</p><p>Teremos:</p><p>Relativo de Preço: p</p><p>p</p><p>pt</p><p>t</p><p>0</p><p>0</p><p>, =</p><p>Relativo de Quantidade: q</p><p>q</p><p>qt</p><p>t</p><p>0</p><p>0</p><p>, =</p><p>200</p><p>Unidade III</p><p>Relativo de Valor: v</p><p>p</p><p>p</p><p>q</p><p>qt</p><p>t t</p><p>0</p><p>0 0</p><p>, � �</p><p>Exemplo 94: em 2012, uma empresa vendeu 500 unidades de um produto ao preço unitário de</p><p>$ 40,00. Em 2015, vendeu 800 unidades do mesmo produto ao preço unitário de R$ 70,00. Determinar</p><p>os relativos de preço, quantidade e valor para o produto tomando como base 2012.</p><p>Resolução:</p><p>Relativo de Preço: , %,p</p><p>pre o em</p><p>pre o em</p><p>ou12 15</p><p>2015</p><p>2012</p><p>70</p><p>40</p><p>175 175= = =</p><p>ç</p><p>ç</p><p>Relativo de Quantidade: , %,q</p><p>quantidade em</p><p>quantidade em</p><p>ou12 15</p><p>2015</p><p>2012</p><p>800</p><p>500</p><p>16 160= = =</p><p>Relativo de Valor: , %,v</p><p>valor em</p><p>valor em</p><p>ou12 15</p><p>2015</p><p>2012</p><p>70</p><p>40</p><p>800</p><p>500</p><p>2 80 280� � � �</p><p>Os resultados indicam que em 2015 houve um aumento de 75% no preço, que a quantidade</p><p>aumentou 60% e que o valor das vendas foi 180% superior ao de 2012.</p><p>Exemplo 95: obtenha o número‑índice (aritmético) simples de 2015 para os dados na tabela a seguir:</p><p>Tabela 41</p><p>Itens</p><p>Preços</p><p>2010 2015</p><p>1 100 70</p><p>2 100 130</p><p>3 100 200</p><p>Totais 300 400</p><p>Resolução:</p><p>I</p><p>p</p><p>as</p><p>i i</p><p>_</p><p>, ( )</p><p>,2010</p><p>1</p><p>3</p><p>2010</p><p>3</p><p>70 130 200</p><p>3</p><p>133 33� �</p><p>� �</p><p>���</p><p>Isso significa que houve um acréscimo de 33,3% em relação a 2010.</p><p>Os preços de 2010 foram transformados na base = 100, e os de 2015 relacionados com 2010 = 100.</p><p>201</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Exemplo 96: determinar o índice (aritmético) ponderado de 2015 para os dados na tabela a seguir:</p><p>Tabela 42</p><p>Itens</p><p>2010 2015</p><p>Preço Quantidade Preço Quantidade</p><p>1 100 3 70 5</p><p>2 100 5 130 8</p><p>3 100 7 200 6</p><p>Totais 300 15 400 19</p><p>Resolução:</p><p>I</p><p>p q</p><p>q</p><p>ap</p><p>i i i</p><p>i i</p><p>_</p><p>, ,</p><p>,</p><p>(</p><p>2015</p><p>1</p><p>3</p><p>2015 2015</p><p>1</p><p>3</p><p>2015</p><p>70 5 130 8 200 6</p><p>� �</p><p>� � � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>))</p><p>,</p><p>19</p><p>136 32�</p><p>Exemplo 97: determinar o índice relativo de quantidade para 2015 tomando‑se como básico o</p><p>ano 2000 para a quantidade vendida de 35 e 40 quilogramas de um certo produto em 2000 e 2015,</p><p>respectivamente.</p><p>Resolução:</p><p>Relativo de Quantidade: q</p><p>q</p><p>q</p><p>qt</p><p>t</p><p>0</p><p>0</p><p>2000 2015</p><p>40</p><p>35</p><p>114, , ,= = = = ou 114% ou 114</p><p>Isso significa que houve um aumento de 14%. Se invertermos os períodos, teremos:</p><p>q</p><p>q</p><p>q</p><p>qt</p><p>t</p><p>, , ,0</p><p>0</p><p>2015 2000</p><p>35</p><p>40</p><p>0 875= = = = ou 87,50% ou 87,50</p><p>Isso significa que diminui 12,5%.</p><p>Observação</p><p>Variação percentual da variável X no momento t em relação ao momento</p><p>anterior (t ‑ 1).</p><p>Exemplo: aumento de 40 para 50 metros.</p><p>%Var.X =</p><p>X -X</p><p>X</p><p>100=</p><p>50-40</p><p>40</p><p>100=25%t/(t-1)</p><p>t t-1</p><p>t-1</p><p>× ×</p><p>202</p><p>Unidade III</p><p>Observação</p><p>Toda vez que o índice for maior que 100, a variação percentual será</p><p>positiva. No entanto, quando o índice for menor que 100, a variação</p><p>será negativa.</p><p>Exemplo 98: suponha que o preço de um produto tenha aumentado de R$ 3.700,00 para</p><p>R$ 73.000,00 entre dois períodos. Calcule a variação percentual, o número‑índice e o multiplicador</p><p>que representam essa variação.</p><p>Resolução:</p><p>� � � �P</p><p>P</p><p>P</p><p>1</p><p>0</p><p>73 000</p><p>3 700</p><p>19 73</p><p>.</p><p>.</p><p>,</p><p>Multiplicador: P</p><p>P</p><p>1</p><p>0</p><p>73 000</p><p>3 700</p><p>19 73= =</p><p>.</p><p>.</p><p>,</p><p>Variação percentual:</p><p>73 000</p><p>3 700</p><p>1 100 19 73 1 100 1 873</p><p>.</p><p>.</p><p>, . %�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �� �� �</p><p>Número‑índice: .</p><p>.</p><p>.</p><p>73 000</p><p>3 700</p><p>100 1 973� �</p><p>Exemplo 99: sabendo que um produto teve aumento de 565% entre dois períodos e que seu preço</p><p>no período inicial era R$ 930,00, calcule o preço desse produto no período final.</p><p>Resolução:</p><p>Multiplicador 565</p><p>100</p><p>1 6 65�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � ,</p><p>Preço no período final: 930,00 x 6,65 = 6.184,50</p><p>Propriedades</p><p>a) Identidade: pa,a = qa,a = va,a =1</p><p>b) Reversibilidade: pa,b pb,a = qa,b qb,a = va,b vb,a = 1</p><p>c) Cíclica ou circular: pa,b pb,c pc,a = qa,b qb,c qc,a = va,b vb,c vc,a = 1</p><p>203</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>d) Cíclica ou circular modificada: pa,b pb,c = pa,c; qa,b qb,c = qa,c e va,b vb,c = va,c. Essa propriedade é</p><p>denominada elos e cadeias relativas.</p><p>Exemplo: elos de relativos em intervalos sucessivos de tempo.</p><p>Tabela 43</p><p>Ano 2010 2011 2012 2013 2014</p><p>Preço 200 250 300 500 550</p><p>Relativos de preço</p><p>250/200 300/250 500/300 550/500</p><p>p2010, 2011 p2011,2012 p2012,2013 p2013,2014</p><p>1,25 1,20 1,667 1,10</p><p>Calcular o relativo de preço de 2014 em relação a 2010 (p2010,2014) aplicando a propriedade cíclica</p><p>modificada. O relativo assim construído é denominado índice em cadeia:</p><p>p2010,2014 = p2010, 2011 x p2011,2012 x p2012,2013 x p2013,2014 = 1,25 x 1,20 x 1,667 x 1,10 = 2,75</p><p>Relativos em cadeia: quando tivermos uma sequência de relativos de preço no qual o período</p><p>básico é fixo:</p><p>p2010, 2011 = 250/200 = 1,25</p><p>p2010, 2012 = 300/200 = 1,50</p><p>p2010, 2013 = 500/200 = 2,50</p><p>p2010, 2014 = 550/200 = 2,75</p><p>a relação que existe com o conceito econômico de elasticidade, isto é, numa abordagem</p><p>matemática da teoria econômica, interessa‑nos, neste trabalho, relacionar os benefícios da</p><p>aplicação do conceito de elasticidade;</p><p>3) Terceiro, quanto maior for a dispersão entre os valores de x, menor a variância de b, portanto se</p><p>torna mais fácil localizar o verdadeiro valor de b.</p><p>247</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Em relação ao item 3, pode‑se ver que é mais fácil localizar o verdadeiro valor de b (inclinação da</p><p>reta). A figura a seguir ilustra duas situações diferentes. Nos dois casos, o número de observações é igual.</p><p>No entanto, no caso (a), não há dispersão entre os valores de x (variável independente). Assim, haverá</p><p>maior incerteza quanto ao verdadeiro valor do coeficiente angular da reta se comparado ao caso (b).</p><p>y y</p><p>x x(a) (b)</p><p>Figura 103 – Valores da inclinação da reta</p><p>8.2.1.3 Coeficiente de elasticidade</p><p>Temos que a elasticidade pode ser definida como a razão entre a variação relativa da variável</p><p>dependente y e a variação relativa da variável independente x. Essa variação demonstra a maneira</p><p>como y responde às variações de x. Como as variações envolvidas são relativas, a elasticidade de uma</p><p>função é uma grandeza adimensional, ou seja, traduz uma grandeza escalar pura, e não quantitativa.</p><p>Portanto, elasticidade é a variação percentual em Y dada uma variação percentual em X.</p><p>� �</p><p>varia�ª o</p><p>a�ª o</p><p>%</p><p>%</p><p>em Y</p><p>vari em X</p><p>variação</p><p>variação</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>Y Y</p><p>X X</p><p>/</p><p>/</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>Y</p><p>X</p><p>X</p><p>Y</p><p>Nesse caso, o coeficiente de elasticidade pode ser definido por:</p><p>Fórmula 60</p><p>E</p><p>d Y</p><p>d X</p><p>X</p><p>Y</p><p>b</p><p>X</p><p>Yy = =</p><p>( )</p><p>( )</p><p>.</p><p>Uma vez obtida a equação da despesa de consumo, é possível agora calcular os coeficientes</p><p>de elasticidade.</p><p>248</p><p>Unidade III</p><p>Na equação da reta de regressão:</p><p>ˆ , ,y x� �393 30 0 6156</p><p>Elasticidade‑renda: usando‑se a equação estimada e os valores médios de X: renda (3.250) e Y:</p><p>despesa de consumo (2.394), obtém‑se o seguinte coeficiente:</p><p>E</p><p>d Y</p><p>d X</p><p>X</p><p>Y</p><p>b</p><p>X</p><p>Yr � � � � �</p><p>( )</p><p>( )</p><p>. ,</p><p>.</p><p>.</p><p>,0 6156</p><p>3 250</p><p>2 394</p><p>0 8357</p><p>Isso significa que, a cada aumento (ou redução) de 1% na renda, corresponderá uma elevação (ou</p><p>decréscimo) de 0,8357% na despesa de consumo, mantidos constantes os demais fatores.</p><p>Assim, o aumento de uma unidade em x aumenta y em β vezes. Se a renda crescer em R$ 100,00</p><p>reais, o consumo aumentará em média R$ 83,57.</p><p>8.2.1.4 Teste de hipótese</p><p>É importante também aplicarmos o teste de hipótese ao nosso modelo de regressão.</p><p>A hipótese nula: os valores de x não têm relacionamento com os valores de y.</p><p>H0: β = 0</p><p>H1: β ≠ 0 (teste bilateral)</p><p>A hipótese nula é confirmada pela equação Ŷ a bX ei i i� � � quando se constata que não há relação</p><p>entre x e y caso o verdadeiro valor do coeficiente angular seja zero.</p><p>Fórmula 61</p><p>Como:</p><p>t</p><p>b</p><p>y y n</p><p>x x</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>ˆ / ( )2</p><p>2</p><p>2</p><p>249</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>A equação tem distribuição t com n – 2 graus de liberdade; disso decorre que, se β = 0, a estatística será:</p><p>Fórmula 62</p><p>t</p><p>b</p><p>y y n</p><p>x x</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>ˆ / ( )2</p><p>2</p><p>2</p><p>Podemos calcular o valor dessa estatística:</p><p>Tabela 95</p><p>Obs. Renda, x Consumo, y ŷ (yi – ŷ )2 (xi – x)2</p><p>1 1.500 1.234 1.316,75 6.847,56 3.062.500</p><p>2 2.000 1.636 1.624,54 131,43 1.562.500</p><p>3 2.500 1.987 1.932,32 2.989,75 562.500</p><p>4 3.000 2.435 2.240,11 37.983,23 62.500</p><p>5 3.500 2.513 2.547,89 1.217,51 62.500</p><p>6 4.000 2.657 2.855,68 39.473,17 562.500</p><p>7 4.500 3.123 3.163,46 1.637,36 1.562.500</p><p>8 5.000 3.567 3.471,25 9.168,06 3.062.500</p><p>Σ 26.000 19.152 99.448,07 10.500.000</p><p>Portanto, a equação da reta de regressão é:</p><p>ˆ , ,y x� �393 30 0 6156</p><p>Testamos a existência do efeito de regressão entre duas variáveis em estudo. A hipótese nula é de</p><p>não existência de regressão, enquanto a hipótese alternativa é aquela que contempla a regressão.</p><p>Tabela 96 – Teste de hipótese (H0: β = 0)</p><p>Assim, o teste de hipótese será delineado:</p><p>Hipótese nula H0: β = 0</p><p>Valor da estatística de teste</p><p>t</p><p>b</p><p>y y n</p><p>x x</p><p>obs</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>ˆ / ( )2</p><p>2</p><p>2</p><p>Hipótese alternativa Intervalo de rejeição (nível α)</p><p>H1:β ≠ 0 tobs > tn–2;α/2</p><p>250</p><p>Unidade III</p><p>No teste para β, calculamos a Região Crítica (RC) ao nível de significância de 5%:</p><p>Podemos calcular o valor dessa estatística:</p><p>t</p><p>b</p><p>y y n</p><p>x x</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>ˆ / ( )</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0 6156</p><p>0 0397</p><p>15 49</p><p>Para um teste bilateral no nível de significância de 5%, o valor crítico de uma distribuição t com</p><p>6 graus de liberdade é 2,447. Como 15,49 está na região de rejeição, bem acima do valor crítico, podemos</p><p>rejeitar com segurança a hipótese nula de que o coeficiente angular seja zero.</p><p>‑2,447 2,447</p><p>– tc tc t</p><p>2</p><p>α</p><p>2</p><p>α</p><p>Figura 104 – Região crítica para o teste t</p><p>Exemplo 110: podemos usar essa equação para prever a expectativa de consumo com base na renda</p><p>a seguir: 1) R$ 3.700,00; 2) R$ 4.000,00; 3) R$ 5.250,00.</p><p>Resolução: devemos substituir cada renda em x na equação. Calculando o valor previsto ŷ :</p><p>1) ˆ , , , , . . ,y x� � � � � �393 30 0 6156 393 30 0 6156 3 700 2 67102</p><p>Quando a renda for de R$ 3.700,00, as despesas de consumo serão R$ 2.671,02.</p><p>2) ˆ , , , , . . ,y x� � � � � �393 30 0 6156 393 30 0 6156 4 000 2 855 70</p><p>Quando a renda for de R$ 6.800,00, as despesas de consumo serão R$ 2.855,70.</p><p>3) ˆ , , , , . . ,y x� � � � � �393 30 0 6156 393 30 0 6156 5 250 3 625 20</p><p>Quando a renda for de R$ 6.800,00, as despesas de consumo serão R$ 3.625,20.</p><p>Os valores previstos têm sentido somente para valores de x no intervalo de dados (1.500 a 5.000) ou</p><p>próximos a ele.</p><p>251</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>8.2.1.5 Médias de regressão e intervalos de previsão</p><p>Variação em torno de uma reta de regressão</p><p>Vamos compreender os três tipos de variação em torno de uma reta de regressão.</p><p>Tabela 97 – Tipos de variação em torno da reta</p><p>Variação total = Variação explicada + Variação inexplicada</p><p>� �� �y yi</p><p>2 = � �� �ŷ yi</p><p>2 + � �� �y yi iˆ</p><p>2</p><p>Soma do quadrado total =</p><p>Soma do quadrado</p><p>da regressão</p><p>+</p><p>Soma do quadrado</p><p>do resíduo</p><p>SQTot = SQReg + SQRes</p><p>Syy bSxy = b2Sxx + Syy – bSxy = Syy – b2Sxx</p><p>1: Variação total: é a soma dos quadrados das diferenças entre o valor y de cada par ordenado e</p><p>a média de y.</p><p>2: Variação explicada: é a soma dos quadrados das diferenças entre cada valor previsto de y e a</p><p>média de y (explicada pela relação X e Y).</p><p>3: Variação inexplicada: é a soma dos quadrados das diferenças entre cada valor de y de cada par</p><p>ordenado e cada valor de y previsto correspondente (não pode ser explicada pela relação x e y, e isso</p><p>ocorre devido ao acaso ou a outras variáveis).</p><p>y</p><p>(xi, yi)</p><p>yi – ŷ</p><p>i</p><p>(xi, ŷ i)</p><p>ŷ</p><p>i – y</p><p>yi – y</p><p>Desvio</p><p>inexplicado</p><p>Desvio</p><p>total</p><p>Desvio</p><p>explicado</p><p>(xi, yi)</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>Figura 105 – Desvios para cada par de ponto (xi, yi)</p><p>Uma propriedade importante é a de que a variabilidade total poderá ser decomposta em duas partes:</p><p>1) Uma devida aos possíveis efeitos aleatórios (não controlados) que recaiam sobre cada experimento</p><p>e será definida como variabilidade residual.</p><p>252</p><p>Unidade III</p><p>2) Variabilidade atribuída ao efeito da regressão, se este realmente existir.</p><p>Podemos conduzir a análise de variância da regressão linear simples, conforme a tabela a seguir:</p><p>Tabela 98 – Análise da variância</p><p>Causas de</p><p>variação</p><p>Graus de</p><p>liberdade Soma de quadrados Quadrados médios</p><p>Regressão 1 b . Sxy = b2 Sxx b . Sxy = b2 Sxx</p><p>Resíduo n – 2 Syy ‑ b Sxy = Syy ‑ b2Sxx</p><p>S b S</p><p>n</p><p>S b S</p><p>n</p><p>yy xy yy xx�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�2 2</p><p>2</p><p>Total n – 1 Syy</p><p>Considerando o exemplo anterior, obtemos a seguinte tabela de análise de variância:</p><p>Quadro 4 – Análise de variância</p><p>Causas de</p><p>variação</p><p>Graus de</p><p>liberdade</p><p>Soma de</p><p>quadrados</p><p>Quadrados</p><p>médios F</p><p>Regressão 1 3.978.746 3.978.746 240,0497</p><p>Resíduo 6 99.448 16.575</p><p>Total 7 4.078.194</p><p>Ao nível de significância de 5% e para 1 e 6 graus de liberdade, o valor crítico de F de Fisher é 5,99</p><p>(ver tabela de valores críticos de F). O valor de F calculado, sendo superior ao valor crítico, é significativo</p><p>ao nível de 5%. Consequentemente, rejeitamos a hipótese H0:β = 0 em favor da hipótese alternativa</p><p>H0:β ≠ 0 a esse nível de significância.</p><p>Saiba mais</p><p>Um bom programa de análise de regressão para computador, além de</p><p>calcular o valor de F, apresenta outros parâmetros de avaliação do modelo</p><p>por meio do Microsoft Excel, <opções do Excel> na barra <Suplementos>,</p><p>instalar <Ferramentas de Análise> e consultar na opção <Dados>, <Análise</p><p>de dados>, <Regressão>. Para saber mais sobre o uso de suas ferramentas,</p><p>indicamos o livro‑texto:</p><p>LEVINE, D. M. et al. Estatística: teoria e aplicações – usando Microsoft</p><p>Excel em português. Tradução: Teresa Cristina Padilha de Souza. Rio de</p><p>Janeiro: LTC, 2013.</p><p>253</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Uma forma prática de se obter o coeficiente de correlação é:</p><p>Fórmula 63</p><p>r r</p><p>b S</p><p>S</p><p>xx</p><p>yy</p><p>�� �2</p><p>2</p><p>Contudo, a definição formal do coeficiente de correlação é:</p><p>Fórmula 64</p><p>r</p><p>cov x y S</p><p>S Sx y</p><p>xy</p><p>xx yy</p><p>� �</p><p>( , )</p><p>.� �</p><p>; em que</p><p>cov X Y</p><p>x x y y</p><p>n</p><p>S</p><p>n</p><p>i i xy,� � �</p><p>�� � �� �</p><p>��</p><p>A covariância dá uma ideia da dispersão dos valores da variável bidimensional (x, y) em relação ao</p><p>ponto (E(x), E(y)).</p><p>A deficiência da covariância é que seu valor calculado depende diretamente das unidades de medida.</p><p>Para se obter uma medida admensional e de interpretação mais fácil, divide‑se a covarância pelos</p><p>desvios‑padrão, obtendo‑se o coeficiente de correlação de Pearson (‑ 1 ≤ r ≤1)</p><p>Fórmula 65</p><p>S</p><p>x x</p><p>nxx</p><p>i�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� 2</p><p>1</p><p>Fórmula 66</p><p>S</p><p>y y</p><p>nyy</p><p>i�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� 2</p><p>1</p><p>Continuando com o exemplo e considerando a reta de regressão dos dados de consumo (Y) e renda (X):</p><p>ˆ , ,y x� �393 30 0 6156</p><p>254</p><p>Unidade III</p><p>Usando o par ordenado (4.000, 2.657) podemos obter os desvios total, explicado e inexplicado,</p><p>como segue:</p><p>Desvio total = y y6 2 657 2 394 263 00� � � �. . ,</p><p>Desvio explicado = ˆ . , . ,y y6 2 855 70 2 394 46170� � � �</p><p>Desvio inexplicado = y y6 6 2 657 2 855 70 198 70� � � � �ˆ . . , ,</p><p>O coeficiente de determinação (r2)</p><p>O coeficiente de determinação r2 é a razão entre a variação explicada e a variação total. Portanto, r2</p><p>é uma medida descritiva da qualidade do ajustamento obtido.</p><p>r</p><p>y y</p><p>y y</p><p>SQR</p><p>SQRT</p><p>i</p><p>i</p><p>eg</p><p>ot</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>20 6156 10 500</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>� � �</p><p>� � ��</p><p>�</p><p>ˆ , .b S</p><p>S</p><p>2</p><p>xx</p><p>yy</p><p>..</p><p>. .</p><p>,</p><p>000</p><p>4 078 194</p><p>0 9756�</p><p>Teremos uma relação de quanto o modelo de regressão está sendo útil para explicar toda a</p><p>variabilidade que aparece em cada uma das observações (é a porcentagem da variância total de y que</p><p>é explicada pela variável x).</p><p>Anteriormente calculamos o coeficiente de correlação (r). O quadrado desse coeficiente é o</p><p>coeficiente de determinação (r2). Para um número fixo n de observações, quanto melhor for o ajuste</p><p>dos dados, tanto maior será o valor de r2. Portanto, r2 pode ser vista como uma medida descritiva da</p><p>qualidade do ajuste obtido.</p><p>Exemplo 111: se o coeficiente de correlação é r = 0,9877, então o coeficiente de determinação</p><p>r2 = (0,9877)2 = 0,9756</p><p>Isso significa que 97,56% da variação de y podem ser explicados pela relação entre x e y. Os 2,44%</p><p>(1 – 0,9756) restantes da variação são inexplicados e se devem ao acaso, a erros amostrais ou a outros fatores.</p><p>Observamos a existência de uma razoável correlação positiva entre as duas variáveis estudadas</p><p>(r = 0,9877); o modelo de regressão explica 97,56% da variabilidade total presente nas observações.</p><p>Outra maneira de dimensionar a qualidade do ajuste de uma reta aos dados observados é pelo</p><p>coeficiente de variação, definido por:</p><p>Fórmula 67</p><p>CV</p><p>y y</p><p>y</p><p>SQR</p><p>y y</p><p>i es�</p><p>�� �</p><p>� �� ˆ 2 S -b Syy</p><p>2</p><p>xx</p><p>255</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Esse cálculo compara a variação dos valores de Y em torno da reta ajustada Y com o valor médio de Y,</p><p>fornecendo uma medida relativa da reta ajustada. Esse ajuste será tanto melhor quanto menor for o</p><p>valor de CV (coeficiente de variação).</p><p>Calculando, temos:</p><p>CV �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>4 078 194 0 6156 10 500 000</p><p>2 394</p><p>314 7677</p><p>2 394</p><p>0 131</p><p>2. . , . .</p><p>.</p><p>,</p><p>.</p><p>, 55</p><p>Na figura a seguir apresentamos retas ajustadas a dois conjuntos de dados:</p><p>(a) x explica y.</p><p>(b) x não explica y.</p><p>y y</p><p>x x</p><p>(a) (b)</p><p>y y</p><p>ŷ</p><p>ŷ</p><p>Figura 106 – Retas ajustadas a dois conjuntos de dados</p><p>Para a avaliação final do modelo devemos investigar com mais detalhe o comportamento dos resíduos,</p><p>o que será feito a seguir.</p><p>O erro‑padrão da estimativa (Se)</p><p>Quando um valor de ŷ é previsto a partir de um valor de x, a previsão é uma estimativa pontual.</p><p>Pretendemos, agora, calcular uma estimativa intervalar para um valor previsto ŷ. Primeiramente devemos</p><p>calcular o erro‑padrão da estimativa Se, que é o desvio‑padrão dos valores de yi, observados em torno do</p><p>valor ŷ previsto para um dado valor de xi. O erro‑padrão da estimativa é dado por:</p><p>256</p><p>Unidade III</p><p>Fórmula 68</p><p>s</p><p>y y</p><p>ne</p><p>i i�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� ˆ 2</p><p>2</p><p>Em que n é o número de pares ordenados no conjunto de dados.</p><p>Exemplo 112:</p><p>Tabela 99</p><p>Obs. Renda (X) Consumo (Y) ŷ</p><p>i (yi – ŷ</p><p>i)</p><p>2</p><p>1 1.500 1.234 1.316,75 6.847,56</p><p>2 2.000 1.636 1.624,54 131,43</p><p>3 2.500 1.987 1.932,32 2.989,75</p><p>4 3.000 2.435 2.240,11 37.983,23</p><p>5 3.500 2.513 2.547,89 1.217,51</p><p>6 4.000 2.657 2.855,68 39.473,17</p><p>7 4.500 3.123 3.163,46 1.637,36</p><p>8 5.000 3.567 3.471,25 9.168,06</p><p>Σ 26.000 19.152 99.448,07</p><p>Usando n y yi i� �� � ��8 99 448 072e ˆ . , , o erro‑padrão da estimativa é:</p><p>s</p><p>y y</p><p>ne</p><p>i i�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� �� ˆ . ,</p><p>,</p><p>2</p><p>2</p><p>99 448 07</p><p>6</p><p>128 74</p><p>Temos como erro‑padrão da estimativa 128,74. Isso significa que o desvio‑padrão do consumo para</p><p>uma renda específica é de cerca de R$ 128,74.</p><p>Intervalos de previsão</p><p>Uma vez que as equações de regressão são determinadas usando dados amostrais e supõe‑se que</p><p>x e y tenham uma distribuição normal bivariada, podemos construir um intervalo de previsão para o</p><p>verdadeiro valor de y.</p><p>257</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Observação</p><p>Duas variáveis terão uma distribuição normal bivariada se, para cada valor</p><p>fixo de x, os valores correspondentes de y tiverem distribuição normal e, para</p><p>cada valor fixo de y, os valores correspondentes de x forem normalmente</p><p>distribuídos.</p><p>Para construir o intervalo de previsão, usa‑se uma distribuição t de Student com n – 2 graus de liberdade.</p><p>Portanto, dada uma equação de regressão linear ŷ = a + bx e x0, um valor específico de x, podemos</p><p>construir um intervalo de previsão para y:</p><p>ˆ ˆ ˆy E y y E� � � �</p><p>Em que:</p><p>Fórmula 69</p><p>E t S</p><p>n</p><p>n x x</p><p>n x x</p><p>c e� � �</p><p>�</p><p>� � �� �</p><p>1</p><p>1 0</p><p>2</p><p>2 2</p><p>( )</p><p>A estimativa pontual é ŷ e o erro máximo de estimativa é E.</p><p>Exemplo 113: construa um intervalo de previsão de 95% para as despesas de consumos das famílias</p><p>quando as rendas forem de R$ 4.000,00.</p><p>Resolução: temos que n = 8, o número de graus de liberdade é:</p><p>g.l. = n – 2 = 8 – 2 = 6</p><p>Tendo a equação de regressão e x0 = 4.000 (valor específico de x)</p><p>ˆ , ,y x� �393 30 0 6156</p><p>Então a estimativa pontual é:</p><p>ˆ , , .y � � �393 30 0 6156 4 000</p><p>ˆ . ,y = 2 855 70</p><p>258</p><p>Unidade III</p><p>Com base na Tabela t, o valor crítico é</p><p>tc = 2,447</p><p>O erro‑padrão da estimativa é</p><p>Se = 128,74</p><p>Com base nesses valores, o erro máximo da estimativa é</p><p>E t S</p><p>n</p><p>n x x</p><p>n x x</p><p>c e� � �</p><p>�</p><p>� � �� �</p><p>1</p><p>1 0</p><p>2</p><p>2 2</p><p>( )</p><p>E � � � � �</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>( , , )</p><p>( . . )</p><p>. . .</p><p>2 447 128 74 1</p><p>1</p><p>8</p><p>8 4 000 3 250</p><p>8 95 000 000 26 000</p><p>2</p><p>��2</p><p>E = 342</p><p>Utilizando ŷ = 2.855,7 e E = 342, o intervalo de confiança é:</p><p>ˆ ˆ ˆy E y y E� � � �</p><p>Limite Inferior ( ŷ – E) Limite superior ( ŷ + E)</p><p>2.855,70 – 342 = 2.513,70 2.855,70 + 342 = 3.197,70</p><p>2.513,70 < ŷ < 3.197,70</p><p>Portanto, pode‑se ter 95% de confiança de que, se as rendas forem R$ 4.000,00, as despesas com</p><p>consumo das famílias estarão entre R$ 2.513,70 e R$ 3.197,70.</p><p>Observação</p><p>Quanto maior for a diferença entre x e x , maior será o intervalo de previsão.</p><p>259</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>x = 14</p><p>ŷ=60+5x</p><p>220</p><p>200</p><p>180</p><p>160</p><p>140</p><p>120</p><p>100</p><p>80</p><p>60</p><p>40</p><p>20</p><p>0</p><p>y</p><p>Os limites do intervalo de</p><p>confiança depende de XP</p><p>Em xP = x</p><p>a amplitude</p><p>do intervalo</p><p>de confiança</p><p>é menor</p><p>limite superior</p><p>limite inferior</p><p>0</p><p>2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26</p><p>x</p><p>ŷ</p><p>Figura 107 – Intervalos de confiança da média de y para determinados valores de x</p><p>Análise de resíduos</p><p>Existem várias técnicas para analisarmos os resíduos, mas, nessa fase introdutória, iremos ressaltar</p><p>uma representação gráfica que é obtida plotando os pares (xi, êi). Obtido o gráfico dos resíduos, precisamos</p><p>saber como identificar possíveis causas que comprometem a confiabilidade do modelo. A situação ideal</p><p>para os resíduos é estarem distribuídos aleatoriamente em torno do zero, sem nenhuma observação</p><p>muito discrepante.</p><p>y – ŷ</p><p>x</p><p>0</p><p>Re</p><p>síd</p><p>uo</p><p>Bom padrão</p><p>Figura 108 – Diagrama de resíduos: situação ideal</p><p>260</p><p>Unidade III</p><p>x</p><p>0</p><p>Re</p><p>síd</p><p>uo Variância não constante</p><p>y – ŷ</p><p>A)</p><p>Re</p><p>síd</p><p>uo</p><p>x</p><p>0</p><p>A forma do modelo não é adequada</p><p>y – ŷ</p><p>B)</p><p>Figura 109 – Diagrama de resíduos: não ideal, figura (A) e (B).</p><p>A análise de resíduos nos permite:</p><p>1) Descobrir se as hipóteses do modelo de regressão linear são válidas para o caso em questão.</p><p>2) Analisar se a correlação entre as duas variáveis é ou não forte, na qual utilizamos a relação</p><p>SQR</p><p>SQT</p><p>eg ou</p><p>( )1− SQR</p><p>SQT</p><p>eg .</p><p>Exemplo 114: tomemos, pois, os resíduos das despesas de consumo em relação à renda. Podemos</p><p>analisar a evolução dos resíduos para saber se a variância σ2 é ou não constante ao longo do intervalo x,</p><p>além de apresentar distribuição normal em torno da reta de regressão.</p><p>Temos, a seguir, os resíduos para cada valor de x observado e os gráficos de resíduos para analisarmos</p><p>a consistência das hipóteses do modelo de regressão:</p><p>261</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Tabela 100</p><p>Obs. X_renda Y_consumo Y_previsto e e2</p><p>1 1.500 1.234 1.316,75 ‑82,75 6.847,56</p><p>2 2.000 1.636 1.624,54 11,46 131,43</p><p>3 2.500 1.987 1.932,32 54,68 2.989,75</p><p>4 3.000 2.435 2.240,11 194,89 37.983,23</p><p>5 3.500 2.513 2.547,89 ‑34,89 1.217,51</p><p>6 4.000 2.657 2.855,68 ‑198,68 39.473,17</p><p>7 4.500 3.123 3.163,46 ‑40,46 1.637,36</p><p>8 5.000 3.567 3.471,25 95,75 9.168,06</p><p>Σ 0,00 99.448,07</p><p>Assim:</p><p>S</p><p>SQR</p><p>n</p><p>es2</p><p>2</p><p>99 448 07</p><p>6</p><p>16 574 68�</p><p>�</p><p>� �</p><p>. ,</p><p>. ,</p><p>Observação</p><p>Podemos calcular o valor da estatística t de Student com base nos</p><p>parâmetros b, Sxx e S2:</p><p>t b</p><p>S</p><p>S</p><p>calculado</p><p>xx� � � �</p><p>2</p><p>0 6156</p><p>10 500 000</p><p>16 574 68</p><p>15 5,</p><p>. .</p><p>. ,</p><p>,</p><p>250</p><p>200</p><p>150</p><p>100</p><p>50</p><p>0</p><p>‑50</p><p>‑100</p><p>‑150</p><p>‑200</p><p>‑250</p><p>0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000</p><p>Resíduos em função da variável XErro</p><p>Renda (X)</p><p>Figura 110 – Resíduos</p><p>262</p><p>Unidade III</p><p>Exemplo 115: com base no exemplo anterior, suponhamos que a despesa de consumo deverá ser</p><p>maior que R$ 2.000,00 para renda de R$ 2.500,00 e R$ 3.000,00.</p><p>Resolução: podemos calcular estas probabilidades:</p><p>P(Y > 2.000,00 \ X = 3.000,00) e P(Y > 2.000,00 \ X = 5.000,00)</p><p>P Y X P Z P Z� �� � � �</p><p>�</p><p>�2 000 00 2 500 00</p><p>2 000 00 1 932 32</p><p>16 574 68</p><p>. , \ . , [</p><p>. , . ,</p><p>. ,</p><p>��� � �0 53 0 7019 70 19, , , %ou</p><p>P Y X P Z P Z� �� � � �</p><p>�</p><p>�2 000 00 3 000 00</p><p>2 000 00 2 240 11</p><p>16 574 68</p><p>. , \ . , [</p><p>. , . ,</p><p>. ,</p><p>�� �� � �187 0 9693 96 93, , , %ou</p><p>Exemplo 116: pensando na sustentabilidade ambiental, um pesquisador estuda a relação entre o</p><p>fluxo de tráfego (X: mil carros por dia) nas principais avenidas de uma metrópole e os níveis de chumbo</p><p>(Y: em µg/g de material) colhidos nos tecidos das árvores próximas. Os dados coletados estão na tabela:</p><p>Tabela 101</p><p>Obs. Xi Yi</p><p>1 8,3 274</p><p>2 9,3 328</p><p>3 12 387</p><p>4 14,2 523</p><p>5 17,1 640</p><p>6 18,4 684</p><p>7 19,3 723</p><p>8 24,3 945</p><p>9 25,6 765</p><p>10 27,3 759</p><p>11 32,1 1.257</p><p>Σ 207,9 7.285</p><p>Construa o modelo de regressão e teste a sua validade ao nível de 5% de significância.</p><p>263</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Resolução: construímos o diagrama de dispersão:</p><p>1400</p><p>1200</p><p>1000</p><p>800</p><p>600</p><p>400</p><p>200</p><p>0</p><p>0 5 10 15 20 25 30 35</p><p>Ch</p><p>um</p><p>bo</p><p>μ</p><p>g/</p><p>g</p><p>Mil carros por dia</p><p>"Outliers"</p><p>Figura 111 – Fluxos de carros e nível de chumbo</p><p>Observação</p><p>Nota‑se no gráfico anterior a discrepância de dois valores x9 e x10</p><p>(outliers = valores atípicos ou fora da curva).</p><p>Tabela 102</p><p>Obs. Xi Yi Xi Yi Xi</p><p>2 Yi</p><p>2</p><p>1 8,3 274 2.274,20 68,89 75.076,00</p><p>2 9,3 328 3.050,40 86,49 107.584,00</p><p>3 12 387 4.644,00 144,00 149.769,00</p><p>4 14,2 523 7.426,60 201,64 273.529,00</p><p>5 17,1 640 10.944,00 292,41 409.600,00</p><p>6 18,4 684 12.585,60 338,56 467.856,00</p><p>7 19,3 723 13.953,90 372,49 522.729,00</p><p>8 24,3 945 22.963,50 590,49 893.025,00</p><p>9 25,6 765 19.584,00 655,36 585.225,00</p><p>10 27,3 759 20.720,70 745,29 576.081,00</p><p>11 32,1 1.257 40.349,70 1.030,41 1.580.049,00</p><p>Σ 207,9 7.285,00 158.496,60 4.526,03 5.640.523,00</p><p>264</p><p>Unidade III</p><p>r</p><p>n xy x y</p><p>n x x n y y</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>� � � �</p><p>-</p><p>- -</p><p>. , - , . ,</p><p>2 2 2 2</p><p>11 158 496 6 207 9 7 285 00</p><p>11 4 526 03 207 9 11 5 640 523 0 7 285 0</p><p>228 911</p><p>2 2� � � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>. , - , . . , - . ,</p><p>. ,110</p><p>81018 2 995 752</p><p>228 91110</p><p>242 709 808</p><p>0 9431</p><p>, . ,</p><p>. ,</p><p>. ,</p><p>,</p><p>�</p><p>� �</p><p>No exemplo utilizamos onze pares de dados para obtermos r = 0,9431. Vamos testar a significância</p><p>desse coeficiente de correlação utilizando α = 0,05.</p><p>H0:ρ = 0 (não existe correlação significativa)</p><p>H0:ρ ≠ 0 (correlação significante)</p><p>A distribuição amostral para r = 0,9431 é uma distribuição t com n – 2 graus de liberdade,</p><p>temos 11 – 2 = 9. Uma vez que o teste é bicaudal, α = 0,05 e g. l. = 9, os valores críticos são ‑2,262</p><p>e 2,262, e as regiões de rejeição são t <–2,262 e t > 2,262 Com base no teste t, a estatística de</p><p>teste padronizada é:</p><p>t</p><p>r r</p><p>r</p><p>n</p><p>r</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>� 1</p><p>2</p><p>0 9431</p><p>1 0 9431</p><p>9</p><p>0 9431</p><p>0 1108</p><p>8 51</p><p>2 2</p><p>Rejeitamos a hipótese nula, visto que o t calculado está na região de rejeição. Ao nível de 5%, há</p><p>evidência suficiente para concluir que existe uma correlação linear significante.</p><p>‑2,262 2,262</p><p>– tc tc t</p><p>2</p><p>α</p><p>2</p><p>α</p><p>Figura 112 – Região crítica para o teste t</p><p>265</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Quanto à existência da causalidade, ela é confirmada, pois nós sabemos que a emissão de gases</p><p>pelos veículos causa um aumento de chumbo impregnado nos tecidos das árvores nas proximidades</p><p>de onde eles trafegam, e os tecidos das árvores impregnadas de chumbo sofrem o efeito da emissão de</p><p>gases pelos veículos.</p><p>Estabelecida uma relação de causalidade entre os dois eventos (emissão de gases pelos veículos e</p><p>níveis de chumbo nos tecidos das árvores), podemos elaborar um modelo de regressão linear.</p><p>Com base nas fórmulas a seguir, podemos calcular, então, os coeficientes de regressão a e b:</p><p>b =</p><p>S</p><p>S</p><p>xy</p><p>xx</p><p>a� � � �� �y bx</p><p>y</p><p>n</p><p>b</p><p>x</p><p>n</p><p>Em que:</p><p>S</p><p>S</p><p>xy</p><p>xy</p><p>� �</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>x y</p><p>x y</p><p>n</p><p>x</p><p>i i</p><p>i i</p><p>158 496 60</p><p>207 90 7 285 00</p><p>11</p><p>20. ,</p><p>, . ,</p><p>.8810 10,</p><p>Tabela 103</p><p>Obs. Xi Yi Xi Yi Xi</p><p>2 Yi</p><p>2</p><p>∑ 207,9 7.285,00 158.496,60 4.526,03 5.640.523,00</p><p>Sxx � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�� �</p><p>x</p><p>x</p><p>ni</p><p>i2</p><p>2 2</p><p>4 526 03</p><p>207 9</p><p>11</p><p>596 72. ,</p><p>,</p><p>,</p><p>Syy � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�� �</p><p>y</p><p>y</p><p>ni</p><p>i2</p><p>2 2</p><p>5 640 523 0</p><p>7 285 0</p><p>11</p><p>815 866 182. . ,</p><p>. ,</p><p>. ,</p><p>b �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>n xy x y</p><p>n x x2 2</p><p>11 158 496 6 207 9 7 285 0</p><p>11 4 526 0</p><p>. , , . ,</p><p>. , 33 207 9</p><p>228 91110</p><p>6 563 92</p><p>34 8741</p><p>2� � �</p><p>� �</p><p>,</p><p>. ,</p><p>. ,</p><p>,</p><p>ou b</p><p>S</p><p>S</p><p>xy</p><p>xx</p><p>= = =</p><p>20 810 10</p><p>596 72</p><p>34 8740</p><p>. ,</p><p>,</p><p>,</p><p>a� � � � � � � � � �� �y bx</p><p>y</p><p>n</p><p>b</p><p>x</p><p>n</p><p>7 285</p><p>11</p><p>34 8741</p><p>207 9</p><p>11</p><p>662 2727 659 1205</p><p>.</p><p>,</p><p>,</p><p>, . 331522,</p><p>266</p><p>Unidade III</p><p>Portanto, a equação da reta de regressão é:</p><p>ˆ , ,y x� �315 34 87</p><p>Uma vez obtida a equação da despesa de consumo, é possível agora calcular os coeficientes de</p><p>elasticidade.</p><p>Elasticidade‑fluxo de veículos: usando‑se a equação estimada e os valores médios de X: fluxo de</p><p>veículos (18,9) e Y: níveis de chumbo (622,27), obtém‑se o seguinte coeficiente:</p><p>E</p><p>d Y</p><p>d X</p><p>X</p><p>Y</p><p>b</p><p>X</p><p>Y</p><p>el sticor � � � � �</p><p>( )</p><p>( )</p><p>. ,</p><p>,</p><p>,</p><p>, ( )34 87</p><p>18 9</p><p>622 27</p><p>106 á</p><p>Isso significa que a cada aumento (ou redução) de 1% na quantidade de veículos trafegando por dia</p><p>corresponderá uma elevação (ou um decréscimo) de 1,06% nos níveis</p><p>de chumbo colhido nos tecidos</p><p>das árvores, mantidos constantes os demais fatores.</p><p>É importante também aplicarmos o teste de hipótese ao nosso modelo de regressão.</p><p>H0:β = 0 (os valores de x não têm relacionamento com os valores de y).</p><p>H1:β ≠ 0 (os valores de x têm relacionamento com os valores de y).</p><p>Como:</p><p>t</p><p>b</p><p>y y n</p><p>x x</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>ˆ / ( )2</p><p>2</p><p>2</p><p>β tem distribuição t com n – 2 graus de liberdade, decorre que, se β = 0, então a estatística será:</p><p>t</p><p>b</p><p>y y n</p><p>x x</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>ˆ / ( )2</p><p>2</p><p>2</p><p>Podemos calcular o valor dessa estatística.</p><p>267</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Tabela 104</p><p>Obs. Xi Yi ŷ</p><p>i (yi – ŷ )2 (xi – x)2</p><p>1 8,3 274 292,61 346,21 29,65</p><p>2 9,3 328 327,48 0,27 41,54</p><p>3 12 387 421,64 1.200,01 83,63</p><p>4 14,2 523 498,36 606,92 128,71</p><p>5 17,1 640 599,50 1.640,31 202,92</p><p>6 18,4 684 644,84 1.533,85 241,65</p><p>7 19,3 723 676,22 2.188,15 270,44</p><p>8 24,3 945 850,59 8.912,66 459,89</p><p>9 25,6 765 895,93 17.142,53 517,34</p><p>10 27,3 759 955,22 38.500,54 597,56</p><p>11 32,1 1.257 1.122,61 18.060,28 855,27</p><p>Σ 207,9 7.285,00 90.131,73 3.428,59</p><p>Testamos a existência do efeito de regressão entre duas variáveis em estudo. A hipótese nula é de</p><p>não existência de regressão, enquanto a hipótese alternativa é aquela que contempla a regressão.</p><p>Assim, o teste de hipótese será delineado:</p><p>Tabela 105 – Teste de hipótese (H0:β = 0)</p><p>Hipótese nula H0:β = 0</p><p>Valor da estatística de teste</p><p>t</p><p>b</p><p>y y n</p><p>x x</p><p>obs</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>ˆ / ( )2</p><p>2</p><p>2</p><p>Hipótese alternativa Intervalo de rejeição (nível α)</p><p>H1:β ≠ 0 tobs > tn–2; α</p><p>No teste para β, calculamos a Região Crítica (RC) ao nível de significância de 5%:</p><p>Podemos calcular o valor dessa estatística:</p><p>t</p><p>b</p><p>y y n</p><p>x x</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>ˆ / ( )</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>34 87</p><p>4 0967</p><p>8 51</p><p>268</p><p>Unidade III</p><p>Para um teste bilateral no nível de significância de 5%, o valor crítico de uma distribuição t com</p><p>9 graus de liberdade é 2,262. Como 20,40 está na região de rejeição, bem acima do valor crítico, podemos</p><p>rejeitar com segurança a hipótese nula de que o coeficiente angular seja zero.</p><p>‑2,262 2,262</p><p>– tc tc t</p><p>2</p><p>α</p><p>2</p><p>α</p><p>Figura 113 – Região crítica para o teste t</p><p>Assim, podemos usar essa equação para prever a expectativa do nível de chumbo colhido no tecido</p><p>da árvore com base no fluxo de veículos (mil veículos/dia) a seguir: 1) 12; 2) 18; 3) 30.</p><p>Resolução: devemos substituir cada fluxo de veículos em x na equação, calculando o valor previsto ŷ :</p><p>1) ˆ , , ,y � � � �315 34 87 12 42159</p><p>Quando o fluxo de veículos for de 12 (mil veículos/dia), o nível de chumbo é de 421,59 µg/g.</p><p>2) ˆ , , ,y � � � �315 34 87 18 630 81</p><p>Quando o fluxo de veículos for de 18 (mil veículos/dia), o nível de chumbo será de 630,81 µg/g.</p><p>3) ˆ , , . ,y � � � �315 34 87 30 1 049 25</p><p>Quando o fluxo de veículos for de 30 (mil veículos/dia), o nível de chumbo será de 1.049,25 µg/g.</p><p>Os valores previstos têm sentido somente para valores de x no intervalo de dados (8 a 32 mil veículos</p><p>por dia) ou próximos a ele.</p><p>Calculando o coeficiente de determinação</p><p>O coeficiente de determinação r2 é a razão entre a variação explicada e a variação total, ou seja, o</p><p>quanto a variável X explica a variação de Y. Portanto, r2</p><p>r</p><p>y y</p><p>y y</p><p>SQR</p><p>SQRT</p><p>i</p><p>i</p><p>eg</p><p>ot</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>234 8741 596 7</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>� � �</p><p>� � ��</p><p>�</p><p>ˆ , ,b S</p><p>S</p><p>2</p><p>xx</p><p>yy</p><p>22</p><p>815 860 182</p><p>0 8895</p><p>. ,</p><p>,�</p><p>269</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Teremos uma relação de quanto o modelo de regressão está sendo útil para explicar toda a</p><p>variabilidade que aparece em cada uma das observações (é a porcentagem da variância total de y que</p><p>é explicada pela variável x).</p><p>Anteriormente calculamos o coeficiente de correlação (r = 0,9431). O quadrado desse coeficiente é</p><p>o coeficiente de determinação r2 = (0,9431)2 = 0,8894.</p><p>Isso significa que 88,94% da variação de y pode ser explicada pela relação entre x e y. Os 11,06%</p><p>(1 ‑ 0,8894) restantes da variação são inexplicados e se devem ao acaso, a erros amostrais ou a</p><p>outros fatores.</p><p>Observamos a existência de uma razoável correlação positiva entre as duas variáveis</p><p>estudadas (r = 0,9431), e o modelo de regressão explica 88,94% da variabilidade total presente</p><p>nas observações.</p><p>Outra maneira de dimensionar a qualidade do ajuste de uma reta aos dados observados é pelo</p><p>coeficiente de variação, definido por:</p><p>CV</p><p>y y</p><p>y</p><p>SQR</p><p>y y</p><p>i es�</p><p>�� �</p><p>� �� ˆ 2 S - b Syy</p><p>2</p><p>xx</p><p>Esse cálculo compara a variação dos valores de Y em torno da reta ajustada Y com o valor médio de</p><p>Y, fornecendo uma medida relativa da reta ajustada. Esse ajuste será tanto melhor quanto menor for o</p><p>valor de CV (coeficiente de variação).</p><p>Calculando, temos:</p><p>CV �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>815 860 182 34 8741 596 72</p><p>662 2727</p><p>300 2126</p><p>662 2727</p><p>2. , , ,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>00 4533 45 33, , %ou</p><p>Não temos um bom coeficiente de variação.</p><p>O erro‑padrão da estimativa</p><p>Quando um valor de ŷ é previsto a partir de um valor de x, a previsão é uma estimativa pontual.</p><p>Pretendemos, agora, calcular uma estimativa intervalar para um valor previsto ŷ . Primeiramente,</p><p>devemos calcular o erro‑padrão da estimativa se, que é o desvio‑padrão dos valores de yi, observados</p><p>em torno do valor ŷ previsto para um dado valor de xi. O erro‑padrão da estimativa é dado por:</p><p>s</p><p>y y</p><p>ne</p><p>i i�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� ˆ 2</p><p>2</p><p>270</p><p>Unidade III</p><p>Usando n e y yi i� �� � ��11 90 131732ˆ . , , o erro‑padrão da estimativa é:</p><p>s</p><p>y y</p><p>ne</p><p>i i�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� �� ˆ . ,</p><p>,</p><p>2</p><p>2</p><p>90 13173</p><p>9</p><p>100 0732</p><p>Temos como erro‑padrão da estimativa 100,07. Isso significa que o desvio‑padrão do nível de chumbo</p><p>para um fluxo de veículo (mil carros por dia) específico é de cerca de 100,07 µg/g.</p><p>Vamos calcular um intervalo de previsão com nível de 95% de confiança para:</p><p>x0 = 18 (18 mil carros por dia).</p><p>Para construir o intervalo de previsão, usa‑se uma distribuição t de Student com n – 2 graus de liberdade:</p><p>ˆ ˆ ˆy E y y E� � � �</p><p>Em que:</p><p>E t S</p><p>n</p><p>n x x</p><p>n x x</p><p>c e� � �</p><p>�</p><p>� � �� �</p><p>1</p><p>1 0</p><p>2</p><p>2 2</p><p>( )</p><p>Resolução: temos que n = 11, o número de graus de liberdade é:</p><p>g. l. = n – 2 = 11 – 2 = 9</p><p>Tendo a equação de regressão e x0 = 18 (valor específico de x):</p><p>ˆ , ,y x� �315 34 87</p><p>Então a estimativa pontual é:</p><p>ˆ , ,y � � �315 34 87 18</p><p>ˆ ,y = 630 81</p><p>Com base na Tabela t, o valor crítico é:</p><p>tc = 2,262</p><p>O erro‑padrão da estimativa é:</p><p>Se = 100,07</p><p>271</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Com base nesses valores, o erro máximo da estimativa é:</p><p>E t S</p><p>n</p><p>n x x</p><p>n x x</p><p>c e� � �</p><p>�</p><p>� � �� �</p><p>1</p><p>1 0</p><p>2</p><p>2 2</p><p>( )</p><p>E � � � � �</p><p>� �</p><p>� � � �</p><p>( , , )</p><p>( , )</p><p>. , ,</p><p>2 262 100 07 1</p><p>1</p><p>11</p><p>11 18 18 9</p><p>11 4 526 03 207 9</p><p>2</p><p>2</p><p>E � � � � �( , , )</p><p>,</p><p>. ,</p><p>2 262 100 07 1</p><p>1</p><p>11</p><p>8 91</p><p>6 563 92</p><p>E � � �226 3583 10451 238 6043, , ,</p><p>Utilizando ŷ = 630,8 e E = 238,6, o intervalo de confiança é:</p><p>ˆ ˆ ˆy E y y E� � � �</p><p>Limite inferior ( ŷ – E) Limite superior ( ŷ + E)</p><p>630,8 – 238,6 = 392,2 630,8 + 238,6 = 869,4</p><p>392,2 < ŷ < 869,4</p><p>Portanto, pode‑se ter 95% de confiança de que, se o tráfego de veículos for de 18 mil por dia, o nível</p><p>de chumbo colhido nos tecidos das árvores próximas estará entre 392,2 e 869,4 µg/g.</p><p>Análise de resíduos</p><p>Vamos analisar a evolução dos resíduos para saber se a variância σ2 é ou não constante ao longo do</p><p>intervalo x, além de apresentar distribuição normal em torno da reta de regressão.</p><p>Temos a seguir os resíduos para cada valor de x observado e os gráficos de resíduos para analisarmos</p><p>a consistência das hipóteses do modelo de regressão.</p><p>Tabela 106</p><p>Obs. Xi Yi ŷ</p><p>i</p><p>e = (yi – ŷ i) e2 = (yi – ŷ i)</p><p>2</p><p>1 8,3 274 292,61 ‑18,607 346,21</p><p>2 9,3 328 327,48 0,519 0,27</p><p>3 12 387 421,64 ‑34,641 1.200,01</p><p>4 14,2 523 498,36 24,636 606,92</p><p>5 17,1 640 599,50 40,501 1.640,31</p><p>272</p><p>Unidade III</p><p>Obs. Xi Yi ŷ</p><p>i</p><p>e = (yi – ŷ i) e2 = (yi – ŷ i)</p><p>2</p><p>6 18,4 684 644,84 39,164 1.533,85</p><p>7 19,3 723 676,22 46,778 2.188,15</p><p>8 24,3 945 850,59 94,407 8.912,66</p><p>9 25,6 765 895,93 ‑130,930 17.142,53</p><p>10 27,3 759 955,22 ‑196,216 38.500,54</p><p>11 32,1 1.257 1.122,61 134,389 18.060,28</p><p>Σ 207,9 7.285,00 0,000 90.131,73</p><p>Assim:</p><p>S</p><p>SQR</p><p>n</p><p>es2</p><p>2</p><p>90 13173</p><p>9</p><p>10 014 64�</p><p>�</p><p>� �</p><p>. ,</p><p>. ,</p><p>Plotagem de resíduos</p><p>Re</p><p>sí</p><p>du</p><p>os</p><p>200</p><p>100</p><p>0</p><p>‑100</p><p>‑200</p><p>‑300</p><p>0 5 10 15 20 25 30 35</p><p>Figura 114 – Resíduos</p><p>Sabemos que a situação ideal para os resíduos é estarem distribuídos aleatoriamente em torno</p><p>de zero, sem nenhuma observação discrepante. Visualizando o gráfico, a percepção é de que isso</p><p>não ocorre. Nota‑se uma discrepância a partir da oitava observação e em especial na de número</p><p>dez (par ordenado: x = 27,3; y = 759), em que o valor do resíduo e = 759 – 955,22 = –196,22).</p><p>Existe  um tópico dentro dos estudos econométricos que trata especificamente da análise dos</p><p>resíduos, um conjunto de técnicas utilizadas para investigar a adequabilidade de um modelo de</p><p>regressão com base nos resíduos.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre a base introdutória da econometria, consulte:</p><p>SARTORIS, A. Estatística e introdução à econometria. 2. ed. São Paulo:</p><p>Saraiva, 2013.</p><p>273</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>8.2.2 Quadro-resumo da montagem de modelos</p><p>Por fim, apresentamos a seguir um quadro‑resumo da montagem de modelos:</p><p>Quadro 5 – Montagem dos modelos: do geral ao específico</p><p>Modelo</p><p>escolhido</p><p>Modelos</p><p>viáveis</p><p>Análises estatísticas</p><p>Coleta dos dados</p><p>Análise econômica</p><p>Teoria As teorias são continuamente testadas por meio da observação</p><p>Econometria</p><p>(mensuração como observação)</p><p>Figura 115</p><p>Observação</p><p>A função de um modelo é exibir as relações e a interdependência das</p><p>variáveis endógenas e das exógenas a fim de explicar o fenômeno em questão.</p><p>Y = a + bX</p><p>Variável endógena:</p><p>variável a ser explicada</p><p>pelo modelo</p><p>Variável exógena:</p><p>variável que explica</p><p>o modelo</p><p>Parâmetro</p><p>Constante</p><p>Figura 116 – Variáveis e parâmetros dos modelos</p><p>Assim, um modelo econômico pode ser definido como uma expressão matemática de uma determinada</p><p>teoria econômica.</p><p>274</p><p>Unidade III</p><p>Saiba mais</p><p>O texto a seguir trata da importância da metodologia na prática da</p><p>pesquisa econômica.</p><p>BARBOSA, W. N. O problema da metodologia na prática da pesquisa</p><p>social. Palestra no Programa de Pós‑graduação de História proferida em 30</p><p>abr. 1992. São Paulo: FFLCH‑USP, 1992b. Disponível em: https://shre.ink/Th7Y.</p><p>Acesso em: 17 out. 2016.</p><p>Mensuração como observação:</p><p>• inexistência de dados experimentais (experimentos controlados) em economia;</p><p>• necessidade de usar dados não experimentais (dados observados para se fazer inferências);</p><p>• testar a teoria econômica com dados da realidade.</p><p>Saiba mais</p><p>O texto a seguir trata da importância da dimensão quanti‑qualitativa</p><p>na análise econômica.</p><p>BARBOSA, W. N. Teoria e empiria. Palestra no Programa de História</p><p>Econômica do Departamento de História da FFLCH proferida em 17 set.</p><p>1992. São Paulo: FFLCH‑USP, 1992c. Disponível em: https://shre.ink/ThP6.</p><p>Acesso em: 10 out. 2016.</p><p>Passos para uma análise econométrica:</p><p>• Formulação da questão de interesse.</p><p>• Formulação das hipóteses.</p><p>• Construção do modelo econométrico (parametrização):</p><p>— definir forma funcional;</p><p>— quantificar variáveis do modelo;</p><p>— formular hipóteses sobre os parâmetros do modelo;</p><p>— aplicar.</p><p>275</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>A maioria dos modelos macroeconométricos baseia‑se em grupos de relações causais que procuram</p><p>explicar e proporcionar alguma capacidade de previsão em relação à qual se podem analisar os efeitos</p><p>de determinada política a ser avaliada.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre conceito, classificação e especificação de modelos</p><p>econométricos, consulte:</p><p>MATOS, O. C. Econometria básica: teoria e aplicações. São Paulo: Atlas,</p><p>1995. p. 15‑56.</p><p>276</p><p>Unidade III</p><p>Resumo</p><p>Como instrumento de “medição econômica”, os números‑índices</p><p>caracterizam‑se por serem um importante instrumento de medidas</p><p>estatísticas; são muito utilizados para comparar variáveis econômicas</p><p>relacionadas entre si e para obter uma análise simples e resumida das</p><p>mudanças ocorridas em áreas relacionadas, tais como preços, quantidades</p><p>e valores ao longo do tempo.</p><p>Nesta unidade, iniciamos estudando os números‑índices relativos ou</p><p>simples, a construção de índice de base fixa, móvel, as mudanças de base</p><p>de um número‑índice e os números‑índices compostos (quando envolvem</p><p>um grupo de produtos). Examinamos os principais índices compostos:</p><p>Lasperyres, Paasche e Fisher.</p><p>Muitas variáveis econômicas importantes se apresentam em forma de</p><p>séries históricas. É necessário homogeneizar os valores das séries para retirar</p><p>os efeitos corrosivos da inflação sobre os valores (os chamados índices de</p><p>preços que permitem formar os deflatores, normalmente encontrados</p><p>nas revistas especializadas: IGP – Índice Geral de Preços, IPCA – Índice de</p><p>Preços de Consumo Amplo, IGPM – Índice Geral de Preços do Mercado etc.).</p><p>O deflator implícito é uma forma possível de medir o nível geral de preços,</p><p>obtido da relação entre o valor nominal e o real (exemplo: deflator implícito</p><p>do Produto Interno Bruto).</p><p>O domínio desse instrumento de medição econômica é pré‑requisito</p><p>na preparação de séries históricas utilizadas na construção de modelos</p><p>econométricos.</p><p>Apresentamos, ainda nesta unidade, a base introdutória da econometria:</p><p>a existência das relações entre variáveis que nos conduzem à verificação</p><p>empírica de algumas das suas hipóteses, que são possíveis de ser</p><p>representadas por meio de funções matemáticas e são pré‑requisitos para</p><p>a construção de modelos econométricos.</p><p>Destacamos o sentido econômico na construção desses modelos, isto</p><p>é, a associação da Teoria Econômica com a Matemática e a Estatística</p><p>(análises teóricas e estudos empíricos frequentemente são complementares</p><p>e se reforçam mutuamente).</p><p>Mostramos os procedimentos de aplicação dos testes de significância</p><p>da relação entre duas variáveis (os pares x e y) com base no diagrama</p><p>277</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>de dispersão, pelo cálculo do coeficiente de correlação de Pearson,</p><p>testes de hipóteses, uso de tabelas de distribuição (t de Student) e uma</p><p>abordagem de existência ou não da causalidade na relação das variáveis</p><p>(correlação e causalidade).</p><p>Na etapa seguinte, após ter verificado que a correlação (e causalidade)</p><p>entre duas variáveis é significante, foi apresentado o modelo de regressão</p><p>linear simples, as terminologias da análise de regressão e o ajustamento</p><p>da reta pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Apresentamos as</p><p>opções convencionais da transformação, caso a relação das variáveis</p><p>X e Y seja não linear, para uma função linear, isto é, regressão com</p><p>variáveis transformadas (tais como logarítmica, exponencial, hiperbólica,</p><p>quadrática e logística).</p><p>Quanto à análise do parâmetro estimado no modelo de regressão</p><p>linear simples (b inclinação ou coeficiente angular da reta), três aspectos</p><p>importantes são tratados: 1) testar a hipótese de que o verdadeiro valor do</p><p>coeficiente angular é igual a zero; 2) a relação que existe com o conceito</p><p>econômico de elasticidade; e 3) a dispersão entre os valores de X, isto é,</p><p>quanto maior for a dispersão entre os valores de X, menor será a variância</p><p>de b, portanto se torna mais fácil localizar o verdadeiro valor de b.</p><p>São tratadas as medidas de regressão e intervalos de previsão:</p><p>tipos  de variação em torno da média (total, explicada e inexplicada),</p><p>tabela de análise de variância, coeficiente de determinação (R2),</p><p>erro‑padrão da estimativa (Se), intervalo de previsão (ou confiança) e</p><p>análise dos resíduos (ei).</p><p>Por fim, mas não o menos importante, um quadro‑resumo da montagem</p><p>de modelos econométricos é apresentado, bem como os passos para uma</p><p>análise econômica.</p><p>Ter a mensuração como observação na tomada de decisão é a</p><p>proposta deste curso e, de forma geral, a garantia de um bom nível de</p><p>precisão nos resultados.</p><p>278</p><p>Unidade III</p><p>Exercícios</p><p>Questão 1. A tabela a seguir oferece informações da evolução dos preços e quantidades de três produtos</p><p>(A, B e C) entre os anos de 2012 e 2013. Assinale a alternativa</p><p>que apresenta corretamente o Índice Laspeyres</p><p>de preços para esses três produtos, no período considerado, usando como base o ano de 2012.</p><p>Tabela 107</p><p>2012 2013</p><p>P Q P Q</p><p>A 5 30 7 100</p><p>B 12 60 17 100</p><p>C 26 110 32 140</p><p>A) 1,2735.</p><p>B) 1,2810.</p><p>C) 1,2884.</p><p>D) 1,4316.</p><p>E) 1,4484.</p><p>Resposta correta: alternativa A.</p><p>Análise das alternativas</p><p>A) Alternativa correta.</p><p>Justificativa: o Índice Laspeyres de preços é obtido a partir do uso da fórmula Lp=</p><p>Pt.Qi</p><p>Pt.Qi</p><p>∑</p><p>∑</p><p>.</p><p>279</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Aplicando a fórmula:</p><p>Lp=</p><p>Pt.Qi</p><p>Pt.Qi</p><p>=Lp=</p><p>7x30 + 17x60 +(32x110)</p><p>5x30 + 12x60 +(</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>� � � � 226x110)</p><p>=Lp=</p><p>4750</p><p>3730</p><p>=Lp=1,2735</p><p>B) Alternativa incorreta.</p><p>Justificativa: a resposta indicada nesta alternativa corresponde ao Índice de Fisher, que é a média</p><p>geométrica dos Índices de Laspeyres e Paasche. É obtido pela fórmula Fp</p><p>Lp Pp</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>.</p><p>Aplicando a fórmula: Fp Fp Fp�</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>, , ,</p><p>,</p><p>12735 12884</p><p>2</p><p>2 5619</p><p>2</p><p>12810 .</p><p>C) Alternativa incorreta.</p><p>Justificativa: a resposta indicada nesta alternativa remete ao Índice Paasche de preço e é obtido a</p><p>partir do uso da fórmula Pp</p><p>Pt Qt</p><p>EpiQt</p><p>�� .</p><p>.</p><p>.</p><p>Aplicando a fórmula: Pp</p><p>x x x</p><p>x x x</p><p>�</p><p>� � �� � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>7 100 17 100 32 140</p><p>5 100 12 100 26 140</p><p>, .Pp Pp� � �</p><p>6880</p><p>5340</p><p>12884</p><p>D) Alternativa incorreta.</p><p>Justificativa: a resposta indicada nesta alternativa remete ao Índice Laspeyres de quantidade, que é</p><p>obtido a partir do uso da fórmula Lq=</p><p>Pi.Qt</p><p>Pi.Qi</p><p>∑</p><p>∑</p><p>.</p><p>Aplicando a fórmula: Lq=</p><p>5x100 + 12x100 +(26x140)</p><p>5x30 + 12x60 +(26x110)</p><p>=Lq=</p><p>534� � � �</p><p>� � � �</p><p>00</p><p>3730</p><p>=Lq=1,4316</p><p>E) Alternativa incorreta.</p><p>Justificativa: a resposta indicada nesta alternativa corresponde ao Índice Paasche de quantidade,</p><p>que é obtido a partir do uso da fórmula Pq</p><p>Pt Qt</p><p>Pt Qi</p><p>��</p><p>�</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Aplicando a fórmula: Pq=</p><p>7x100 + 17x100 +(32x140)</p><p>7x30 + 17x60 +(32x110)</p><p>=Pq=</p><p>688� � � �</p><p>� � � �</p><p>00</p><p>4750</p><p>=Pq=1,4484</p><p>280</p><p>Unidade III</p><p>Questão 2. A demanda de um produto, por exemplo, um determinado modelo de carro, pode ser</p><p>escrita como:</p><p>qd = b0 + b1.p + b2.p</p><p>s + b3.p</p><p>c + b4.i</p><p>A quantidade demandada é função do preço do carro, do preço de carros substitutos, do preço de</p><p>itens complementares e do nível de renda i. Considerando as informações, assinale e alternativa correta.</p><p>A) Para o parâmetro b0 há especificação para o sinal.</p><p>B) O parâmetro b1 deve ser negativo.</p><p>C) O parâmetro b2 deve ser negativo.</p><p>D) O parâmetro b3 deve ser positivo.</p><p>E) O parâmetro b4 deve ser positivo, pois quanto menor for a renda, maior será a demanda</p><p>pelo produto.</p><p>Resposta correta: alternativa B.</p><p>Análise das alternativas</p><p>A) Alternativa incorreta.</p><p>Justificativa: para o parâmetro b0 não há especificação para o sinal nem magnitude.</p><p>B) Alternativa correta.</p><p>Justificativa: o parâmetro b1 deve ser negativo, pois pela teoria da demanda, quanto maior o preço</p><p>do produto, menor será a sua quantidade demandada.</p><p>C) Alternativa incorreta.</p><p>Justificativa: o parâmetro b2 deve ser positivo, pois quanto maior for o preço dos carros substitutos,</p><p>maior será a quantidade demandada do produto (carro).</p><p>D) Alternativa incorreta.</p><p>Justificativa: o parâmetro b3 deve ser negativo, pois quanto mais caros forem os produtos</p><p>complementares do veículo, menor será a sua quantidade demandada.</p><p>E) Alternativa incorreta.</p><p>Justificativa: o parâmetro b4 deve ser positivo, pois quanto maior for a renda, maior será a demanda</p><p>pelo produto.</p><p>281</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>Textuais</p><p>BARBOSA, W. N. Econometria na história econômica. Palestra no Curso de Pós‑Graduação em História</p><p>Econômica da USP em 25 mar. 1992. São Paulo: FFLCH‑USP, 1992a. Disponível em: https://shre.ink/Tctf.</p><p>Acesso em: 10 out. 2016.</p><p>BARBOSA, W. N. O problema da metodologia na prática da pesquisa social. Palestra no Programa de</p><p>Pós‑graduação de História proferida em 30 abr. 1992. São Paulo: FFLCH‑USP, 1992b. Disponível em:</p><p>https://shre.ink/Th7Y. Acesso em: 17 out. 2016.</p><p>BARBOSA, W. N. Teoria e empiria. Palestra no Programa de História Econômica do Departamento de História</p><p>da FFLCH proferida em 17 set. 1992. São Paulo: FFLCH‑USP, 1992c. Disponível em: https://shre.ink/ThP6.</p><p>Acesso em: 10 out. 2016.</p><p>BERQUÓ, E. S. Bioestatística. 2. ed. São Paulo: EPU, 1981.</p><p>BONINI, E. E.; BONINI, S. E. Estatística: teoria e exercícios. 2. ed. São Paulo: L&PM, 1972.</p><p>BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.</p><p>CASELLA, G.; BERGER, R. L. Inferência estatística. São Paulo: Cengage Learning, 2010.</p><p>DOWNING, D.; JEFFREY, C. Estatística aplicada. Tradução: Alfredo Alves de Farias. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 2005.</p><p>FARBER. B.; LARSON, R. Estatística aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>GIL, A. C. Técnicas de pesquisa em economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1990.</p><p>GUJARATI, D. N.; PORTER, D. Econometria básica. 5. ed. Porto Alegre: McGraw Hill/Artmed, 2011.</p><p>HOFFMAN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 1980.</p><p>HILL, R. C.; WILLIAM, E. G.; GEORGE, G. J. Econometria. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.</p><p>LARSON, R. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004.</p><p>LEVINE, D. M. et al. Estatística: teoria e aplicações: usando Microsoft Excel em português. Tradução:</p><p>Teresa Cristina Padilha de Souza. Rio de Janeiro: LTC, 2013.</p><p>MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2010.</p><p>MARTINS, G. A. Princípios de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1990.</p><p>282</p><p>MATOS, O. C. Economia básica: teoria e aplicações. São Paulo: Atlas, 1995.</p><p>McCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para administração e economia. 10. ed. São Paulo:</p><p>Pearson Prentice Hall, 2009.</p><p>MEDEIROS, E. et al. Estatística para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 2. ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 1997. v. 1.</p><p>MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Makron, 2010.</p><p>SARTORIS, A. Estatística e introdução à econometria. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 2013.</p><p>SILVA, N. N. Amostragem probabilística: um curso introdutório. 2. ed. São Paulo: USP, 2004.</p><p>SPEIGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1993.</p><p>SWEENEY, D. J. Estatística aplicada à administração e economia. 3. ed. São Paulo:</p><p>Cengage Learning, 2015.</p><p>TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.</p><p>Informações:</p><p>www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000</p><p>Os relativos de preços, quantidade ou valor são, normalmente, apresentados em sequências que</p><p>podem ser de:</p><p>a) Base fixa: P0,1; P0,2; P0,3; P0,4; ...</p><p>b) Base móvel: P0,1; P1,2; P2,3; P3,4; ...</p><p>a) Base fixa: P0,1; P0,2; P0,3; P0,4; ...</p><p>Considerem‑se os valores:</p><p>X0, X1, X2, ... ... ... ..., Xn como os preços (ou quantidades) de um artigo “A” nas épocas t = 0, 1, 2,..., n.</p><p>204</p><p>Unidade III</p><p>As razões (quocientes):</p><p>Tabela 44</p><p>Ano 0 1 2 3 n</p><p>Preço X0 X1 X2 X3 ... Xn</p><p>Relativos de preço</p><p>(base t = 0)</p><p>X0 / X0 X1 / X0 X2 / X0 X3 / X0 ... Xn / X0</p><p>‑ p 0,1 p 0,2 p 0,3 p 0,n</p><p>Exemplo: relativos de preços, de base fixa (base = 2011), expressos em valores unitários.</p><p>Tabela 45</p><p>Ano 2010 2011 2012 2013 2014</p><p>Preço 200 250 300 500 550</p><p>Relativos de preço</p><p>(base t = 2011)</p><p>200/250 250/250 300/250 500/250 550/250</p><p>p2011,2010 p2011,2011 p2011,2012 p2011,2013 p2011,2014</p><p>0,80 1,00 1,20 2,00 2,20</p><p>Observando a tabela, podemos constatar que o preço do produto em 2012 era 20% maior do que o</p><p>de 2011. O preço do mesmo artigo em 2010 era 20% menor do que em 2011 (base), pois 0,80 = 1 – 0,20.</p><p>Exemplo: relativos de quantidade, de base fixa (base = 2010), expressos em percentagem (%).</p><p>Tabela 46</p><p>Ano 2010 2011 2012 2013 2014</p><p>Quantidade 500 750 800 900 1500</p><p>Relativos de quantidade</p><p>(base t = 2010)</p><p>(500/500).100 (750/500).100 (800/500).100 (900/500).100 (1500/500).100</p><p>q 2010,2010 q 2010,2011 q 2010,2012 q 2010,2013 q 2010,2014</p><p>100 150 160 180 300</p><p>Observando a tabela podemos constatar que aquantidade do produto em 2012 era 60% maior do</p><p>que o de 2010.</p><p>b) Base móvel: P0,1; P1,2; P2,3; P3,4;</p><p>A sequência dos relativos de base móvel (também chamados de relativos em cadeia ou elos) é obtida</p><p>de modo semelhante à aplicada aos relativos de base fixa. Só que a base, nesse caso, coressponde</p><p>sucessivamente aos valores X0, X1, X3, ... ... ... ..., Xn nas épocas t = 0, 1, 2, ..., n.</p><p>Exemplo: relativos de preços, de base móvel, expressos em valores unitários.</p><p>205</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Tabela 47</p><p>Ano 2010 2011 2012 2013 2014</p><p>Preço 200 250 400 500 800</p><p>Relativos de preço</p><p>(base móvel)</p><p>‑ 250/200 400/250 500/400 800/500</p><p>‑ p 2010,2011 p 2011,2012 p 2012,2013 p 2013,2014</p><p>‑ 1,25 1,60 1,25 1,60</p><p>Observando a tabela podemos constatar que o preço do produto em 2011 apresentou um aumento</p><p>de 25% em relação a 2010 e que 2013 apresentou um aumento de 25% em relação a 2012. De forma</p><p>semelhante, conforme a tabela a seguir, pode‑se verificar que o ano de 2012 apresentou uma quantidade</p><p>do produto 12% superior ao ano de 2011 e que o ano de 2014 apresentou uma quantidade de 10%</p><p>(1 ‑ 0,90 = 0,1) menor do que 2013.</p><p>Exemplo: relativos de quantidade, de base móvel, expressos em percentagem (%).</p><p>Tabela 48</p><p>Ano 2010 2011 2012 2013 2014</p><p>Quantidade 500 750 840 1050 945</p><p>Relativos de</p><p>quantidade</p><p>(base móvel)</p><p>‑ (750/500).100 (840/750).100 (1050/840).100 (945/1050).100</p><p>‑ q 2010,2011 q 2011,2012 q 2012,2013 q 2013,2014</p><p>‑ 150 112 125 90</p><p>Para estudos em que se deseje interpretar crescimentos anuais, usa‑se o número‑índice</p><p>de base móvel.</p><p>7.1.2 Mudança de base de um número-índice</p><p>Muitas vezes, necessita‑se efetuar a mudança de base de um índice de um período para outro,</p><p>basicamente, por duas razões:</p><p>• para atualizar a base, tornando‑a mais próxima da realidade atual;</p><p>• para permitir a comparação de duas séries de índices que tenham bases diferentes.</p><p>É preciso escolher um período relativamente estável, ou seja, quando a atividade econômica estiver</p><p>em menor grau de flutuações.</p><p>Para realizar a mudança de base, o procedimento é extremamente simples: basta dividir toda a série</p><p>de números‑índices originais pelo número‑índice do período escolhido como nova base. Isso preservará</p><p>as diferenças relativas entre eles.</p><p>206</p><p>Unidade III</p><p>7.1.2.1 Mudança de relativos de uma base fixa para outra base fixa</p><p>Exemplo: relativos de preços, de base fixa (base = 2011), expressos em valores percentuais (%),</p><p>mudando para base fixa (base = 2013).</p><p>Tabela 49</p><p>Ano 2010 2011 2012 2013 2014</p><p>Preço 200 250 300 500 550</p><p>Relativos de preço</p><p>(base t = 2011)</p><p>(200/250).100 (250/250).100 (300/250).100 (500/250).100 (550/250).100</p><p>p 2011,2011 p 2011,2011 p 2011,2012 p 2011,2013 p 2011,2014</p><p>80 100 120 200 220</p><p>Relativos de preço</p><p>(base t = 2013) 40 50 60 100 110</p><p>Para o ano de 2010 teremos: novo índice (base t = 2013) = (80/200).100 = 40</p><p>Para o ano de 2011 teremos: novo índice (base t = 2013) = (100/200).100 = 50</p><p>Para o ano de 2012 teremos: novo índice (base t = 2013) = (120/200).100 = 60</p><p>Para o ano de 2013 teremos: novo índice (base t = 2013) = (200/200).100 = 100</p><p>Para o ano de 2014 teremos: novo índice (base t = 2013) = (220/200).100 = 110</p><p>7.1.2.2 Mudança de relativos de base fixa para base móvel</p><p>Exemplo: relativos de quantidade, de base fixa (base = 2010), expressos em percentagem (%),</p><p>mudando para base móvel.</p><p>Tabela 50</p><p>Ano 2010 2011 2012 2013 2014</p><p>Quantidade 500 750 800 900 1500</p><p>Relativos de</p><p>quantidade</p><p>(base t = 2010)</p><p>(500/500).100 (750/500).100 (800/500).100 (900/500).100 (1500/500).100</p><p>q 2010,2010 q 2010,2011 q 2010,2012 q 2010,2013 q 2010,2014</p><p>100 150 160 180 300</p><p>Relativos de</p><p>quantidade</p><p>(base móvel)</p><p>‑ 150,00 106,67 112,50 166,67</p><p>Para o ano de 2011 teremos: novo índice (base móvel) = (150/100).100 = 150,00</p><p>Para o ano de 2012 teremos: novo índice (base móvel) = (160/150).100 = 106,67</p><p>207</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Para o ano de 2013 teremos: novo índice (base móvel) = (180/160).100 = 112,50</p><p>Para o ano de 2014 teremos: novo índice (base móvel) = (300/180).100 = 166,67</p><p>7.1.2.3 Mudança de relativos de base móvel para base fixa</p><p>Exemplo: relativos de quantidade, de base móvel, expressos em percentagem (%), mudando para</p><p>base fixa (base = 2011).</p><p>Tabela 51</p><p>Ano 2010 2011 2012 2013 2014</p><p>Quantidade 500 750 840 1050 945</p><p>Relativos de</p><p>quantidade</p><p>(base móvel)</p><p>‑ (750/500).100 (840/750).100 (1050/840).100 (945/1050).100</p><p>‑ q 2010,2011 q 2011,2012 q 2012,2013 q 2013,2014</p><p>‑ 150 112 125 90</p><p>Relativos de</p><p>quantidade</p><p>(base t = 2011)</p><p>‑ 100 74,67 83,33 60,0</p><p>Para o ano de 2011 teremos: novo índice (base t = 2011) = (150/150).100 = 100</p><p>Para o ano de 2012 teremos: novo índice (base t = 2011) = (112/150).100 = 74,67</p><p>Para o ano de 2013 teremos: novo índice (base t = 2011) = (125/150).100 = 83,33</p><p>Para o ano de 2014 teremos: novo índice (base t = 2011) = (90/150).100 = 60,00</p><p>Preços correntes versus preços constantes</p><p>Diz‑se que os valores de uma série de dados, exemplo, Produto Interno Bruto (PIB), estão calculados</p><p>a preços correntes quando a produção de cada ano está avaliada aos preços do mesmo ano, ou seja, a</p><p>produção de 2010 a preços de 2010, a produção de 2011 a preços de 2011 etc.</p><p>Diz‑se que o PIB está calculado a preços constantes quando a produção de cada ano é avaliada aos</p><p>preços de um determinado ano, selecionado como ano‑base.</p><p>Tabela 52</p><p>Preços correntes P2010 * Q2010 P2011 * Q2011 P2012 * Q2012 P2013 * Q2013 P2014 * Q2014</p><p>Preços constantes</p><p>2013 = 100 P2013 * Q2010 P2013 * Q2011 P2013 * Q2012 P2013 * Q2013 P2013 * Q2014</p><p>208</p><p>Unidade III</p><p>2013 = 100 significa que o ano‑base é 2013, porque no ano‑base o índice de preços é igual a</p><p>100. Dividindo a série a preços correntes pela série a preços constantes obtém‑se o índice de preços</p><p>implícitos no PIB.</p><p>Exemplo 100: na tabela a seguir apresentamos a informação sobre a evolução da quantidade</p><p>vendida de um determinado produto por um estabelecimento comercial no primeiro semestre do ano</p><p>de 2015 medida em toneladas.</p><p>Tabela 53</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Toneladas 2.356,98 2.476,23 2.898,15 3.298,73 3.465,24 3.575,98</p><p>a) Calcule, para cada mês dessa série, a taxa de variação, relativamente ao mês anterior, da quantidade</p><p>vendida do produto.</p><p>Tabela 54</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Taxa mensal (%) ‑ 5,06 17,04 13,82 5,05 3,20</p><p>b) Tomando por base os valores calculados no item anterior, construa uma série de índices de base</p><p>móvel relativamente a essa variável para o período considerado.</p><p>Tabela 55</p><p>Mês jan. fev. mar.</p><p>abr. maio jun.</p><p>Índice base móvel ‑ 105,06 117,04 113,82 105,05 103,20</p><p>c) Construa, com base nos valores do quadro, uma série de índices de base fixa em janeiro de 2015.</p><p>Tabela 56</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Índice base fixa (jan = 100) 100,00 105,06 122,96 139,96 147,02 151,72</p><p>d) Tomando por base a série calculada no item c, calcule a série de índices de base fixa em abril de 2015.</p><p>Tabela 57</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Índice base fixa (abril =100) 71,45 75,06 87,85 100,00 105,04 108,40</p><p>209</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Exemplo 101: considere uma série que representa a evolução das vendas do produto do exemplo</p><p>anterior admitindo que o preço desse bem, em janeiro de 2015, fosse R$ 1.100/tonelada.</p><p>a) Calcule uma série do valor das vendas do produto admitindo que o seu preço tenha se mantido</p><p>inalterado ao longo do semestre de 2015.</p><p>Tabela 58</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Valor das vendas 2.592.678,00 2.723.853,00 3.187.965,00 3.628.603,00 3.811.764,00 3.933.578,00</p><p>b) Construa uma série de índices de base fixa em janeiro de 2015 relativa ao valor das vendas desse produto.</p><p>Tabela 59</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Índice de valor 100,00 105,06 122,96 139,96 147,02 151,72</p><p>Comparando, a série construída no item c do exemplo anterior é igual, pois como os preços são</p><p>sempre iguais, a única alteração que ocorreu nos valores das vendas foi a variação das quantidades.</p><p>c) Admitamos agora que conheçamos a evolução dos preços desse produto ao longo do semestre, e</p><p>que essa evolução possa ser descrita pela seguinte série de base fixa em janeiro de 2015.</p><p>Tabela 60</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Índice de valor 100,00 101,06 102,96 106,96 110,02 113,72</p><p>d) Construa uma nova série do valor das vendas do produto.</p><p>Tabela 61</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Valor das vendas 2.592.678,00 2.752.725,84 3.282.328,76 3.881.153,77 4.193.702,75 4.473.264,90</p><p>e) Construa uma nova série de índices de base fixa em janeiro de 2015, relativa ao valor das vendas</p><p>desse produto, tendo em conta a evolução verificada nos preços.</p><p>Tabela 62</p><p>Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.</p><p>Índice de valor 100,00 106,17 126,60 149,70 161,75 172,53</p><p>210</p><p>Unidade III</p><p>Exemplo 102: em 2012, as vendas da empresa Terra Seca atingiram o valor de R$ 257.347. Sabe‑se</p><p>que o índice de preços com base fixa em 2012 e o crescimento das vendas a preços constantes tiveram</p><p>os seguintes valores:</p><p>Tabela 63</p><p>2012 2013 2014 2015</p><p>Índice de preços (base: 2012 = 100) 100,00 103,2 109,3 112,5</p><p>Crescimento das vendas a preços constantes 0,46% ‑0,74% 0,89%</p><p>a) Determine o crescimento dos preços em 2013, 2014 e 2015.</p><p>O crescimento dos preços em cada um dos anos pode ser obtido a partir do índice móvel:</p><p>Tabela 64</p><p>2012 2013 2014 2015</p><p>Índice de preços 1,00 1,032</p><p>109 3</p><p>103 2</p><p>10591</p><p>,</p><p>,</p><p>,=</p><p>112 5</p><p>109 3</p><p>10293</p><p>,</p><p>,</p><p>,=</p><p>Variação (%) 3,2% 5,91% 2,93%</p><p>b) Determine o valor das vendas a preços constantes de 2015.</p><p>Tabela 65</p><p>2012 2013 2014 2015</p><p>Valores das vendas a preços</p><p>constantes de 2012 257.347 257.347 × 1,0046 = 258.530,80</p><p>258.530,80 ×</p><p>(1 ‑ 0,0074) =</p><p>256.617,67</p><p>256.617,67</p><p>× 1,0089 =</p><p>258.901,57</p><p>Índice de preços de 2015</p><p>(base 2012) 1,125 1,125 1,125 1,125</p><p>Valores das vendas a preços</p><p>constantes de 2015 289.515,38 290.847,15 288.694,88 291.264,27</p><p>c) Determine o valor das vendas em 2013, 2014 e 2015 a preços correntes de 2015.</p><p>Tabela 66</p><p>2012 2013 2014 2015</p><p>Valores das vendas a</p><p>preços correntes 257.347 258.530,80 × 1,032 =</p><p>266.803,79</p><p>256.617,67 × 1,093 =</p><p>280.483,11</p><p>258.901,57 × 1,125</p><p>= 291.264,27</p><p>211</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Observe que os valores das vendas de 2015 são idênticos, pois os preços de referência são os mesmos.</p><p>d) Determine a taxa média de crescimento dos preços entre 2012 e 2015.</p><p>TMCp , , , , %2015 2012</p><p>3 1125 1 0 0400 4 0� � � �</p><p>Exemplo 103: uma empresa exportadora, no período de 2012 a 2015, obteve os seguintes resultados:</p><p>Tabela 67</p><p>2010 2011 2012 2013 2014 2015</p><p>Exportações a preços correntes</p><p>(milhares de dólares) 47.068 54.445 62.098 64.322 68.156 75.567</p><p>Exportação (taxa de variação anual</p><p>dos preços) – % 3,0 3,2 2,6 2,1 1,4</p><p>a) Construir o índice de base fixa em 2010 das exportações a preços correntes.</p><p>O índice de base fixa em 2010 (2010 = 100) das exportações a preços correntes obtém‑se dividindo</p><p>todos os valores da Exportação a preços correntes pelo valor de 2010. Para 2011, o valor é dado por</p><p>(54.445 / 47.068)*100 = 115,67.</p><p>Tabela 68</p><p>2010 2011 2012 2013 2014 2015</p><p>Índice de base fixa das exportações a</p><p>preços correntes (2010 = 100) 100,00 115,67 131,93 136,66 144,80 160,55</p><p>b) Construa o índice de base fixa em 2013 da evolução dos preços das exportações.</p><p>Para calcular o índice, podemos seguir estes passos:</p><p>1) Construir o índice de base móvel (1 + taxa de variação anual).</p><p>2) Construir o índice de base fixa em 2010.</p><p>3) Mudar a base do índice para 2013, dividindo todos os valores obtidos no item 2 pelo valor de 2013.</p><p>Tabela 69</p><p>2010 2011 2012 2013 2014 2015</p><p>Índice de base móvel 103,00 103,20 102,60 102,10 101,14</p><p>Índice de base fixa em 2010 100,00 103,00 106,30 109,06 111,35 112,91</p><p>Índice de base fixa em 2013 73,18 84,64 96,54 100,00 105,96 117,48</p><p>212</p><p>Unidade III</p><p>c) Calcule a taxa anual média de crescimento dos preços das exportações entre 2010 e 2015.</p><p>TMCp , , , , %2015 2010</p><p>5 11291 1 0 0246 2 46� � � �</p><p>Ou obtida como a média geométrica das taxas anuais de crescimento dos preços dadas no enunciado:</p><p>TMCp , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2015 2010 1 0 03 1 0 032 1 0 026 1 0 021� � � � � � � � � 11 0 0145 � �, ) 0,0246 = 2,46%</p><p>Observação</p><p>É fundamental a escolha de uma época‑base que influa o mínimo</p><p>possível na variação do índice, ou seja, deve ser um período normal (sem</p><p>variações excepcionais).</p><p>7.2 Números‑índices compostos</p><p>Dividem‑se em: números‑índices simples, quando um só produto está em jogo; e números‑índices</p><p>compostos, quando envolve um grupo de artigos.</p><p>Devido às desvantagens dos índices simples, especialmente pelo fato da não existência de diferentes</p><p>pesos para cada um dos componentes, examinaremos os principais índices ponderados.</p><p>7.2.1 Índices de Laspeyres ou método do ano-base</p><p>Esse índice é uma média aritmética ponderada feita em função dos preços e quantidades do</p><p>período‑base. Por causa disso ele tende a exagerar a alta, por considerar as quantidades (ou preços)</p><p>iguais às do período‑base. As equações:</p><p>L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>tp</p><p>i</p><p>n</p><p>t i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>0</p><p>1 0</p><p>1 0 0</p><p>100,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>A ponderação = as quantidades</p><p>(ou preços) do ano‑base</p><p>Os denominadores = soma dos produtos dos preços</p><p>e quantidades de cada item no período‑base</p><p>Figura 92</p><p>Então os denominadores dos índices serão o resultado da soma dos produtos dos preços e</p><p>quantidades de cada item no período‑base (0). A ponderação utiliza‑se das quantidades (ou</p><p>preços) do ano‑base (0).</p><p>213</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Índice de preços L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>tp</p><p>i</p><p>n</p><p>t i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>0</p><p>1 0</p><p>1 0 0</p><p>100,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Índice de quantidades L</p><p>q p</p><p>q p</p><p>tq</p><p>i</p><p>n</p><p>t i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>0</p><p>1 0</p><p>1 0 0</p><p>100,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Em que:</p><p>n: é o número de itens;</p><p>pt,i: é o preço de um item qualquer no período “atual”;</p><p>po,i: é o preço de um item qualquer no período‑base;</p><p>qt,i: é a quantidade de um item qualquer no período “atual”;</p><p>qo,i: é a quantidade de um item qualquer no período‑base.</p><p>Exemplo 104: determinar o índice agregativo de Laspeyres de preço para 2015 com relação aos</p><p>dados da tabela:</p><p>Tabela 70</p><p>Produtos</p><p>2014 2015</p><p>P2014 P2015 P2015 q2014 P2014 q2014</p><p>Q2014 Q2015</p><p>A 13 17 10 12 156 130</p><p>B 16 28 17 27 432 272</p><p>C 28 34 22 28 784 616</p><p>∑ 1372 1018</p><p>L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>2014 2015</p><p>1 2015 2014</p><p>1 2014 2014</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>1372</p><p>1018</p><p>100 134 77� � � , %</p><p>Em média, os preços dos três produtos aumentaram 34,77% em 2015 comparativamente a 2014.</p><p>214</p><p>Unidade III</p><p>Exemplo 105: determinar o índice agregativo de Laspeyres de quantidade para 2014 e 2015 com</p><p>relação aos dados da tabela:</p><p>Tabela 71</p><p>Produtos</p><p>2013 2014 2015 2013</p><p>q2013 p2013 q2014 p2013 q2015 p2013q2013 q2014 q2015 p2013</p><p>A 10 20 30 5 50 100 150</p><p>B 20 30 20 6 120 180 120</p><p>C 30 40 50 10 300 400 500</p><p>∑ 470 680 770</p><p>L</p><p>q p</p><p>q p</p><p>q</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132014</p><p>1 2014 2013</p><p>1 2013 2013</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>680</p><p>470</p><p>100 144 68� � � , %</p><p>Em média, as quantidades dos três produtos aumentaram 44,68% em 2014 comparativamente a 2013.</p><p>L</p><p>q p</p><p>q p</p><p>q</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132015</p><p>1 2015 2013</p><p>1 2013 2013</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>770</p><p>470</p><p>100 163 83� � � , %</p><p>Em média, as quantidades dos três produtos aumentaram 63,83% em 2015 comparativamente a 2013.</p><p>O método de Laspeyres pode apresentar algumas variações como:</p><p>a) Média de quantidades:</p><p>q</p><p>q qt, �</p><p>�0</p><p>2</p><p>então, L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>tp</p><p>i</p><p>n</p><p>t i</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>0</p><p>1</p><p>1 0</p><p>100,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Determinar L2014, 2015p.</p><p>215</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Tabela 72</p><p>Produtos</p><p>2014 2015</p><p>q</p><p>q q, �</p><p>�2014 2015</p><p>2</p><p>p2014 p2015 p2014 q’ p2015 q’</p><p>q2014 q2015</p><p>A 13 17 15 10 12 150 180</p><p>B 16 28 22 17 27 374 594</p><p>C 28 34 31 22 28 682 868</p><p>∑ 1206 1642</p><p>L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>2014 2015</p><p>1 2015</p><p>1 2014</p><p>100</p><p>1642</p><p>120,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>� 66</p><p>100 136 15� � , %</p><p>Em média, os preços dos três produtos aumentaram 36,15% em 2015 comparativamente a 2014.</p><p>b) Média de preços:</p><p>p</p><p>p pt, �</p><p>�0</p><p>2</p><p>então, L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>tp</p><p>i</p><p>n</p><p>t i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>0</p><p>1 0</p><p>1 0</p><p>100,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Determinar L2014, 2015p</p><p>com os dados a seguir:</p><p>Tabela 73</p><p>Produtos</p><p>2014 2015</p><p>q2014 p</p><p>p p, �</p><p>�2014 2015</p><p>2</p><p>p’q2014</p><p>2014 2015</p><p>p2014 p2015 p2014 q2014 p2015 q2014</p><p>A 10 12 13 11 143 130 156</p><p>B 17 27 16 22 352 272 432</p><p>C 22 28 28 25 700 616 784</p><p>∑ 1195 1018 1372</p><p>L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>2014 2015</p><p>1 2015 2014</p><p>1 2014 2014</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>1372</p><p>1018</p><p>100 134 77� � � , %</p><p>Em média, os preços dos três produtos aumentaram 34,77% em 2015 comparativamente a 2014.</p><p>L</p><p>p q</p><p>p qp</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>2014 2015</p><p>1 2015 2014</p><p>1 2014</p><p>100</p><p>13</p><p>,</p><p>, ,</p><p>’</p><p>,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>772</p><p>1195</p><p>100 114 81� � , %</p><p>216</p><p>Unidade III</p><p>Em média, os preços dos três produtos aumentaram 14,81% em 2015 comparativamente a 2014.</p><p>c) Média de preços e quantidades:</p><p>p</p><p>p pt, �</p><p>�0</p><p>2</p><p>e q</p><p>q qt, ,�</p><p>�0</p><p>2</p><p>podendo se estender por mais do que dois períodos.</p><p>Determinar L2014, 2014p e L2014, 2015p com os dados a seguir:</p><p>Tabela 74</p><p>Produtos</p><p>2014 2015</p><p>p2014 p2015 q’ p’ p’ q’ p2014 q’ p2015 q’</p><p>q2014 q2015</p><p>A 13 17 10 12 15 11 165 150 180</p><p>B 16 28 17 27 22 22 484 374 594</p><p>C 28 34 22 28 31 25 775 682 868</p><p>∑ 1424 1206 1642</p><p>L</p><p>p q</p><p>p qp</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>n2014 2014</p><p>1 2014</p><p>1</p><p>100</p><p>1206</p><p>1424</p><p>100,</p><p>,</p><p>’</p><p>’ ’</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>� � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�� 84 69, %</p><p>Em média, os preços dos três produtos diminuíram 15,31% em 2015 comparativamente a 2014.</p><p>L</p><p>p q</p><p>p qp</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>n2015 2015</p><p>1 2015</p><p>1</p><p>100</p><p>1642</p><p>1424</p><p>100,</p><p>,</p><p>’</p><p>’ ’</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>� � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��115 31, %</p><p>Em média, os preços dos três produtos aumentaram 15,31% em 2015 comparativamente a 2014.</p><p>L</p><p>p q</p><p>p qp</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>n2014 2015</p><p>1</p><p>1</p><p>100</p><p>1424</p><p>1424</p><p>100 100,</p><p>’ ’</p><p>’ ’</p><p>,�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>� � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000%</p><p>Em média, os preços dos três produtos estabilizaram em 2015 comparativamente a 2014.</p><p>Exemplo 106: com os dados da tabela, usando 2013 como base, obtenha os Índices de Laspeyres de</p><p>preços e quantidades.</p><p>217</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Tabela 75</p><p>Produtos</p><p>2013 2014 2015</p><p>Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade</p><p>A 5 20 6 30 8 30</p><p>B 8 10 10 20 12 30</p><p>C 10 30 12 40 15 50</p><p>L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132014</p><p>1 2014 2013</p><p>1 2013 2013</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>8 20 12 10 15 30</p><p>5 20 8 10 10 30</p><p>100</p><p>730</p><p>48</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>00</p><p>100 152 08� � , %</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 52,08% (152,08 – 100) de 2013 a 2014.</p><p>L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132015</p><p>1 2015 2013</p><p>1 2013 2013</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>6 20 10 10 12 30</p><p>8 20 12 10 15 30</p><p>100</p><p>580</p><p>7</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>330</p><p>100 79 45� � , %</p><p>Os preços dos produtos diminuíram 20,55% (79,45 – 100) de 2013 a 2015.</p><p>L</p><p>q p</p><p>q p</p><p>q</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132014</p><p>1 2014 2013</p><p>1 2013 2013</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>30 5 20 8 40 10</p><p>20 5 10 8 30 10</p><p>100</p><p>710</p><p>480</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>�� �100 147 92, %</p><p>As quantidades dos produtos aumentaram 47,92% (147,92 – 100) de 2013 a 2014.</p><p>L</p><p>q p</p><p>q p</p><p>q</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132015</p><p>1 2015 2013</p><p>1 2013 2013</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>30 5 30 8 50 10</p><p>20 5 10 8 30 10</p><p>100</p><p>890</p><p>480</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>�� �100 185 42, %</p><p>As quantidades dos produtos aumentaram 185,42% (185,42 – 100) de 2013 a 2015.</p><p>218</p><p>Unidade III</p><p>7.2.2 Índices de Paasche ou método do ano determinado</p><p>No índice de Paasche a ponderação é feita em função dos preços e quantidades do período atual.</p><p>Por causa disso ele tende a exagerar a baixa, por considerar as quantidades (ou preços) iguais aos do</p><p>período atual.</p><p>P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>tp</p><p>i</p><p>n</p><p>t i t i</p><p>i</p><p>n</p><p>i t i</p><p>0</p><p>1</p><p>1 0</p><p>100,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>A ponderação = as quantidades</p><p>(ou preços) do ano atual</p><p>Os numeradores = soma dos produtos dos preços e</p><p>quantidades de cada item no período atual</p><p>Figura 93 – Índice de Paasche</p><p>Então os numeradores dos índices serão o resultado da soma dos produtos dos preços e quantidades</p><p>de cada item no período atual (t). A ponderação utiliza‑se das quantidades (ou preços) do ano atual (t).</p><p>Índice de preços: P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>tp</p><p>i</p><p>n</p><p>t i t i</p><p>i</p><p>n</p><p>i t i</p><p>0</p><p>1</p><p>1 0</p><p>100,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Índice de quantidades: P</p><p>q p</p><p>q p</p><p>tq</p><p>i</p><p>n</p><p>t i t i</p><p>i</p><p>n</p><p>i t i</p><p>0</p><p>1</p><p>1 0</p><p>100,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Em que:</p><p>n: é o número de itens;</p><p>pt.i: é o preço de um item qualquer no período “atual”;</p><p>po.i: é o preço de um item qualquer no período‑base;</p><p>qt.i: é a quantidade de um item qualquer no período “atual”;</p><p>qo.i: é a quantidade de um item qualquer no período‑base.</p><p>219</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Observação</p><p>O deflator implícito do PIB é uma forma possível de medir o nível geral</p><p>de preços, obtido a partir da relação entre o PIB nominal e o PIB real:</p><p>Deflator implícitot =</p><p>PIB nominal</p><p>PIB real</p><p>t</p><p>t</p><p>Facilmente se comprova tratar‑se de um Índice de Paasche:</p><p>Deflator implícito do PIBt = i</p><p>n</p><p>t i t i</p><p>i</p><p>n</p><p>i t i</p><p>p q</p><p>p q</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>1</p><p>1 0</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>Lembrete</p><p>Variáveis nominais representam valores a preços correntes, e variáveis</p><p>reais representam valores a preços constantes.</p><p>Exemplo: determinar 2014, 2015p para os dados a seguir:</p><p>Tabela 76</p><p>Produtos</p><p>2014 2015</p><p>P2014 P2015 P2015 q2015 P2014 q2015Q2014 Q2015</p><p>A 13 17 10 12 204 170</p><p>B 16 28 17 27 756 476</p><p>C 28 34 22 28 952 748</p><p>∑ 1912 1394</p><p>P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>2014 2015</p><p>1 2015 2015</p><p>1 2014 2015</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>1912</p><p>1394</p><p>100 137 16� � � , %</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 37,16% (137,16 – 100) de 2014 a 2015.</p><p>220</p><p>Unidade III</p><p>Exemplo: determinar P2013, 2014p e P2013, 2015p para os dados:</p><p>Tabela 77</p><p>Produtos</p><p>2013 2014 2015</p><p>P2013 P2014 P2015 P2013 Q2014 P2013 q2015 P2014 Q2014 P2015 Q2015Q2013 Q2014 Q2015</p><p>A 8 13 17 8 10 12 104 136 130 204</p><p>B 13 16 28 12 17 27 192 336 272 756</p><p>C 23 28 34 17 22 28 476 578 616 952</p><p>∑ 772 1050 1018 1912</p><p>P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132014</p><p>1 2014 2014</p><p>1 2013 2014</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>1018</p><p>772</p><p>100 13187� � � , %</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 31,87% (131,87 – 100) de 2013 a 2014.</p><p>P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132015</p><p>1 2015 2015</p><p>1 2013 2015</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>1912</p><p>1050</p><p>100 182 10� � � , %</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 82,10% (182,10 – 100) de 2013 a 2015.</p><p>Exemplo: usando 2013 como base, obtenha os Índices de Paasche de preços e quantidades.</p><p>Tabela 78</p><p>Produtos</p><p>2013 2014 2015</p><p>Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade</p><p>A 5 20 6 30 8 30</p><p>B 8 10 10 20</p><p>12 30</p><p>C 10 30 12 40 15 50</p><p>P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132014</p><p>1 2014 2014</p><p>1 2013 2014</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>6 30 10 20 12 40</p><p>5 30 8 20 10 40</p><p>100</p><p>860</p><p>71</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>00</p><p>100 12113� � , %</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 21,13% (121,13 ‑ 100) de 2013 a 2014.</p><p>221</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132015</p><p>1 2015 2015</p><p>1 2013 2015</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>8 30 12 30 15 50</p><p>5 30 8 30 10 50</p><p>100</p><p>1350</p><p>8</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>990</p><p>100 15169� � , %</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 51,69% (151,69 – 100) de 2013 a 2015.</p><p>P</p><p>q p</p><p>q p</p><p>q</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132014</p><p>1 2014 2014</p><p>1 2013 2014</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>30 6 20 10 40 12</p><p>20 6 10 10 30 12</p><p>100</p><p>860</p><p>5</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>880</p><p>100 148 28� � , %</p><p>As quantidades dos produtos aumentaram 48,28% (148,28 – 100) de 2013 a 2014.</p><p>P</p><p>q p</p><p>q p</p><p>q</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132015</p><p>1 2015 2015</p><p>1 2013 2015</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>30 8 30 12 50 15</p><p>20 8 10 12 30 15</p><p>100</p><p>1350</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>7730</p><p>100 184 93� � , %</p><p>As quantidades dos produtos aumentaram 84,93% (184,93 – 100) de 2013 a 2015.</p><p>Observe que os valores apresentam a mesma ordem de grandeza que os Índices de Laspeyres, mas</p><p>obviamente são diferentes.</p><p>Relação entre os Índices de Laspeyres e Paasche</p><p>O Índice de Paasche será maior que o de Laspeyres se os preços e as quantidades tenderem a se</p><p>mover na mesma direção entre os dois períodos (base e atual); e o Índice de Laspeyres será maior se os</p><p>preços e quantidades tenderem a se mover em direções contrárias:</p><p>• Se a correlação entre preço e quantidade for positiva, ρ > 0, então P > L.</p><p>• Se a correlação entre preço e quantidade for negativa, ρ < 0, então L > P.</p><p>222</p><p>Unidade III</p><p>7.2.3 Índices de Fisher ou ideal</p><p>Esse índice é obtido pela raiz quadrada do produto (média geométrica) dos respectivos índices</p><p>de Laspeyres e de Paasche. Sob o aspecto da ponderação, esse índice envolve os dois sistemas</p><p>anteriormente adotados.</p><p>O Índice de Fisher, também conhecido como ideal, tende a ser um número superior ao fornecido pela</p><p>Fórmula de Paasche e inferior ao apresentado pela Fórmula de Laspeyres.</p><p>IF IL IP� �</p><p>Exemplo</p><p>Índice de Laspeyres:</p><p>L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>2014 2015</p><p>1 2015 2014</p><p>1 2014 2014</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>1372</p><p>1018</p><p>100 134 77� � � , %</p><p>Em média, os preços dos três produtos aumentaram 34,77% em 2015 comparativamente a 2014.</p><p>Índice de Paasche:</p><p>P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>2014 2015</p><p>1 2015 2015</p><p>1 2014 2015</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>1912</p><p>1394</p><p>100 137 16� � � , %</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 37,16% (137,16 – 100) de 2014 a 2015.</p><p>Índice de Fisher:</p><p>IF IL IP</p><p>p2014 2015 134 71 137 16 135 93, , , , %� � � � �</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 35,93% (135,93 – 100) de 2014 a 2015.</p><p>Exemplo</p><p>Índice de Laspeyres:</p><p>L</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132014</p><p>1 2014 2013</p><p>1 2013 2013</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>6 20 10 10 12 30</p><p>5 20 8 10 10 30</p><p>100</p><p>580</p><p>48</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>00</p><p>100 120 83� � , %</p><p>223</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Em média, os preços dos três produtos aumentaram 20,83% em 2014 comparativamente a 2013.</p><p>Índice de Paasche:</p><p>P</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>20132014</p><p>1 2014 2014</p><p>1 2013 2014</p><p>1,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>000</p><p>6 30 10 20 12 40</p><p>5 30 8 20 10 40</p><p>100</p><p>860</p><p>71</p><p>�</p><p>�� � � �� � � �</p><p>�� � � �� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>00</p><p>100 12113� � , %</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 21,13% (121,13 – 100) de 2013 a 2014.</p><p>Índice de Fisher:</p><p>IF IL IP</p><p>p20132014 120 83 12113 120 98, , , , %� � � � �</p><p>Os preços dos produtos aumentaram 20,98% (120,98 – 100) de 2013 a 2014.</p><p>Há perigos inerentes nos números‑índices, em sua utilização e interpretação de tais indicadores,</p><p>pois a qualidade e a introdução frequente de novos produtos distorcem comparações durante longos</p><p>períodos de tempo.</p><p>Resumindo, a utilização e a interpretação de números‑índices exige que se compreenda os problemas</p><p>inerentes à sua construção. Entre eles, citam‑se:</p><p>• Os dados submetidos à comparação não são comparáveis.</p><p>• Os itens incluídos nos índices não são representativos para o problema em estudo.</p><p>• As cifras do período‑base podem ser atípicas, distorcendo, assim, a comparação.</p><p>• Diferentes esquemas de ponderação resultam em diferentes números‑índices.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre Números‑Índices, consulte:</p><p>HOFFMAN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira.</p><p>1980. p. 309‑331.</p><p>224</p><p>Unidade III</p><p>7.2.4 Deflação de uma série temporal</p><p>As séries históricas são conjuntos de medidas de uma mesma grandeza, relativas a vários períodos</p><p>consecutivos. Muitas variáveis econômicas importantes se apresentam em forma de séries históricas.</p><p>A maioria apresenta tendências definidas (ascendentes ou descendentes) quando acompanhadas por</p><p>longos períodos.</p><p>Em um contexto econômico inflacionário, deve‑se ficar atento para a ilusão monetária (ou valores</p><p>aparentes) ao analisar uma série de valores. É necessário homogeneizar os valores das séries para</p><p>retirar os efeitos corrosivos da inflação sobre os valores, ou seja, devem ser traduzidos a um mesmo</p><p>padrão monetário de referência em determinada época. No processo de homogeneização dos valores</p><p>monetários, são utilizados índices de preços para deflacionar ou inflacionar as séries de valores.</p><p>Índices de preços permitem formar deflatores: são operadores multiplicados pelos valores nominais</p><p>das diversas épocas que produzem valores correspondentes ao nível de preços da data de referência.</p><p>Portanto:</p><p>• Deflacionar um fluxo monetário significa reduzir todos os valores da série a uma base comum de</p><p>referência situada no início da série.</p><p>• Inflacionar um fluxo monetário significa colocar todos os valores da série em uma base comum</p><p>de referência situada no fim da série; significa transformar os valores de cada época em valores</p><p>compatíveis com a capacidade de compra verificada em uma data posterior.</p><p>Em contextos inflacionários, são muito usadas as expressões “em preços correntes” e “em preços</p><p>constantes”, assim sendo, quando a série de valores está expressa:</p><p>• em preços correntes: cada termo da série se encontra expresso em poder aquisitivo da data</p><p>respectiva do termo;</p><p>• em preços constantes: todos os termos da série estão expressos em poder aquisitivo de uma única data.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre determinação do padrão de variação estacional</p><p>em Série Temporal, consulte:</p><p>HOFFMAN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira.</p><p>1980. p. 333‑352.</p><p>225</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Para inflacionar ou deflacionar séries de valores (ou séries temporais, ou séries históricas), podemos</p><p>usar qualquer um dos seguintes deflatores, normalmente encontrados nas revistas especializadas:</p><p>• IGP: Índice Geral de Preços.</p><p>• ICV: Índice de Custo de Vida.</p><p>• IPA: Índice de Preços ao Atacado.</p><p>• IPC: Índice de Preços ao Consumidor.</p><p>• IPCA: Índice de Preços de Consumo Amplo.</p><p>Observação</p><p>Um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis</p><p>de preços de um período para outro. O índice mais geral é o IGP‑DI da FGV.</p><p>O processo de inflacionar e deflacionar uma série de valores monetários para uma determinada data</p><p>de referência deve ser interpretado como uma comparação entre a evolução dos valores monetários e o</p><p>comportamento dos preços dos produtos agrupados no índice escolhido.</p><p>Assim, se um investimento teve um rendimento de 12% real, tomando‑se como referência um</p><p>determinado índice de preços, isso significa que esse rendimento superou em 12% a evolução do índice</p><p>escolhido, ou seja, a evolução média dos preços dos bens e serviços que compõem o índice.</p><p>Para estudar a evolução real dos salários devemos usar o Índice do Custo de Vida ou Índice de Preços</p><p>ao Consumidor.</p><p>No caso de dados sobre empresas, podemos utilizar o índice Geral de Preços ou o Índice</p><p>de Preços ao Atacado.</p><p>Exemplo 107: uma empresa possui os dados relativos a seu faturamento no período de 1980 a</p><p>1985, apresentados na tabela a seguir. Dado o Índice Geral de Preços (IGP) desse período, determinar:</p><p>a) O faturamento real em termos de 1980.</p><p>b) O faturamento real em termos de 1985.</p><p>c) A variação porcentual do faturamento real ano a ano.</p><p>d) A taxa média real do faturamento no período considerado.</p><p>226</p><p>Unidade III</p><p>Tabela 79</p><p>Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985</p><p>Faturamento ($ milhões) 50.000 80.000 130.000 180.000 220.000 270.000</p><p>IGP 80 = 100 100 137 208 362 691 1.085</p><p>Resolução:</p><p>a) Para deflacionarmos ou inflacionarmos os dados deveremos tomar o inverso dos índices com</p><p>relação ao ano‑base e multiplicar pelos valores que queremos atualizar. No nosso caso, como</p><p>queremos o faturamento real em termos de 1980, vamos deflacionar os dados:</p><p>Tabela 80</p><p>Ano Inverso dos índices Taxa de desvalorização</p><p>da moeda X Valores</p><p>correntes = Valores</p><p>deflacionados</p><p>1980</p><p>1</p><p>100</p><p>100� � 1,000 X 50.000 = 50.000</p><p>1981</p><p>1</p><p>137</p><p>100� � 0,7299 X 80.000 = 58.392</p><p>1982</p><p>1</p><p>208</p><p>100� � 0,4807 X 130.000 = 62.504</p><p>1983</p><p>1</p><p>362</p><p>100� � 0,2762 X 180.000 = 49.716</p><p>1984</p><p>1</p><p>691</p><p>100� � 0,1447 X 220.000 = 31.834</p><p>1985</p><p>1</p><p>1 085</p><p>100</p><p>.</p><p>� � 0,0922 X 270.000 = 24.894</p><p>Observação</p><p>Poderíamos obter os valores deflacionados dividindo diretamente o</p><p>valor corrente pelo índice</p><p>80 000</p><p>137</p><p>.�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� x 100 ≅ 58.392, porém perderíamos o</p><p>valor da taxa de desvalorização da moeda.</p><p>Assim, temos todos os valores a preços constantes de 1980 e que, portanto, podem ser comparados,</p><p>o que não ocorria anteriormente, quando os valores estavam mascarados pela inflação. Verifica‑se que o</p><p>faturamento realmente cresceu até o ano de 1982, a partir do qual passou a decrescer continuamente.</p><p>227</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>b) Para colocarmos os dados em termos do faturamento de 1985, devemos inflacionar os dados</p><p>anteriores. Assim, inicialmente deveremos fazer uma mudança de base no IGP, que foi dado com</p><p>1980 = 100 transformando‑o em IGP 1985 = 100.</p><p>Tabela 81</p><p>Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985</p><p>IGP 80 = 100 100 137 208 362 691 1085</p><p>IGP 85 = 100 9,217 12,627 19,171 33,364 63,687 100</p><p>Em seguida, procede‑se de maneira idêntica ao caso anterior:</p><p>Tabela 82</p><p>Ano Inverso dos índices Taxa de desvalorização</p><p>da moeda X Valores</p><p>correntes = Valores</p><p>deflacionados</p><p>1980</p><p>1</p><p>9 217</p><p>100</p><p>,</p><p>� � 10,850 X 50.000 = 542.500</p><p>1981</p><p>1</p><p>12 627</p><p>100</p><p>,</p><p>� � 7,920 X 80.000 = 633.600</p><p>1982</p><p>1</p><p>19 171</p><p>100</p><p>,</p><p>� � 5,216 X 130.000 = 678.080</p><p>1983</p><p>1</p><p>33 364</p><p>100</p><p>,</p><p>� � 2,997 X 180.000 = 539.460</p><p>1984</p><p>1</p><p>63 687</p><p>100</p><p>,</p><p>� � 1,570 X 220.000 = 345.400</p><p>1985</p><p>1</p><p>100</p><p>100� � 1,000 X 270.000 = 270.000</p><p>Observação</p><p>Poderíamos obter os valores inflacionados dividindo diretamente</p><p>os valores correntes pelo índice 50 000</p><p>9 217</p><p>.</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� x 100 = 542.476 ≅ 542.500, porém</p><p>desconheceríamos a taxa de valorização da moeda.</p><p>Verifica‑se então o faturamento real a preços constantes de 1985, que nos conduz à mesma</p><p>interpretação anterior, ou seja, o faturamento cresceu até o ano de 1982, a partir do qual passou a diminuir.</p><p>c) A variação real do faturamento deve ser feita sobre o faturamento a preços constantes, podendo</p><p>ser aqui usado tanto o encontrado no item a (80 = 100) quanto no item b (85 = 100). Usando os</p><p>resultados do item b, temos:</p><p>228</p><p>Unidade III</p><p>Tabela 83</p><p>Ano Comparação móvel Variação móvel</p><p>1981</p><p>633 600</p><p>542 500</p><p>.</p><p>.</p><p>= 1,1679 ou 116,79% + 16,79%</p><p>1982</p><p>678 080</p><p>633 600</p><p>.</p><p>.</p><p>= 1,0702 ou 107,02% + 7,02%</p><p>1983</p><p>539 460</p><p>678 080</p><p>.</p><p>.</p><p>= 0,7956 ou 79,56% ‑ 20,44%</p><p>1984</p><p>345 400</p><p>539 460</p><p>.</p><p>.</p><p>= 0,6403 ou 64,03% ‑ 35,97%</p><p>1985 270 000</p><p>345 400</p><p>.</p><p>.</p><p>= 0,7817 ou 78,17% ‑ 21,83%</p><p>d) Para calcularmos a taxa média real do faturamento usamos a média geométrica dos índices da</p><p>comparação móvel.</p><p>G � � � � � �, , , , , ,11679 10702 0 7956 0 6403 0 7817 0 86985</p><p>∴ 0,8698 ‑ 1 = ‑ 0,1302 ∴ diminuição de 13,02% ao ano</p><p>Podemos obter também dividindo o último valor pelo primeiro e extraindo a média geométrica do</p><p>resultado. Assim:</p><p>270 000</p><p>542 500</p><p>0 4977</p><p>0 4977 0 86975</p><p>.</p><p>.</p><p>,</p><p>, ,</p><p>=</p><p>= =G</p><p>∴ 0,8697 ‑ 1 = ‑ 0,1302 ∴ diminuição de 13,03% ao ano</p><p>Exemplo 108: um grupo empresarial X‑TAL que fabrica e vende produtos agrícolas e industriais</p><p>possui os dados relativos a seu faturamento no período de 2012 a 2015, apresentados na tabela a seguir.</p><p>Dado o Índice Geral de Preços (IGP‑DI) desse período:</p><p>a) Calcular a taxa de crescimento aparente (ou nominal);</p><p>b) Deflacionar a série de vendas com o IGP‑DI e calcular a taxa real de crescimento para cada ano.</p><p>229</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Tabela 84</p><p>Ano 2012 2013 2014 2015</p><p>Vendas correntes</p><p>(R$ milhões) 237 789 1.046 1.983</p><p>IGP‑DI 8,1121 5,5278 3,7800 10,6786</p><p>Tabela 85</p><p>Ano Vendas correntes</p><p>(R$ milhões)</p><p>2012 237</p><p>2013 789</p><p>2014 1.046</p><p>2015 1.983</p><p>Como os produtos são agrícolas e industriais, resolveu‑se usar o IGP‑DI, que teve a evolução seguinte:</p><p>Tabela 86</p><p>Ano IGP‑DI</p><p>2012 8,1121</p><p>2013 5,5278</p><p>2014 3,7800</p><p>2015 10,6786</p><p>Resolução: crescimento aparente: o crescimento das vendas, em termos nominais, é obtido</p><p>dividindo‑se o valor de um ano pelo valor do ano anterior e depois subtraindo‑se 1.</p><p>Tabela 87</p><p>Ano Vendas correntes</p><p>(R$ milhões) % de acréscimo</p><p>2012 237 ‑</p><p>2013 789 232,91</p><p>2014 1.046 32,57</p><p>2015 1.983 89,58</p><p>Assim, de 2012 para 2015, obtemos:</p><p>• 1 + crescimento aparente = 1.983 / 237 = 8,3671</p><p>• crescimento aparente = 8,3671 – 1 = 7,3671</p><p>• crescimento aparente (%) = 7,3671 x 100 = 736,71%</p><p>230</p><p>Unidade III</p><p>Podemos verificar que, em valor nominal, as vendas cresceram 232,91% de 2012 para 2013 e 89,58%</p><p>de 2014 para 2015.</p><p>Para deflacionar a série de vendas, construímos o índice‑base 100 em 2012, simplesmente dividindo</p><p>os valores do índice em cada ano pelo valor do índice em 2012.</p><p>Tabela 88</p><p>Ano IGP‑DI IGP‑DI com base</p><p>100 em 2012</p><p>2012 8,1121 1,0000</p><p>2013 5,5278 0,6814</p><p>2014 3,7800 0,4660</p><p>2015 10,6786 1,3164</p><p>O cálculo foi feito do seguinte modo:</p><p>Por exemplo, em 2014: 3,7800 / 8,1121 = 0,4660</p><p>A seguir, calcula‑se a série deflacionada de vendas e a taxa de crescimento real:</p><p>Tabela 89</p><p>Ano Vendas nominais</p><p>(R$ milhões) (1)</p><p>IGP‑DI</p><p>(2)</p><p>Vendas deflacionadas</p><p>(preços de 2012)</p><p>(1) x (2)</p><p>Taxa de crescimento</p><p>real (% a.a.)</p><p>2012 237 1,0000 237,00 ‑</p><p>2013 789 0,6814 537,62 126,84</p><p>2014 1.046 0,4660 487,44 ‑ 9,33</p><p>2015 1.983 1,3164 2.610,42 435,54</p><p>Para calcular as vendas deflacionadas, por exemplo em 2013, fazemos:</p><p>1 + taxa real = 537,62 / 237,00 = 2,2684</p><p>Logo:</p><p>Taxa real = 2,2684 – 1 = 1,2684</p><p>Portanto:</p><p>Taxa real (%): 126,84%</p><p>Podemos concluir que, em 2014, as vendas decresceram 9,33% em relação a 2013. Em 2015 as</p><p>vendas apresentaram um crescimento real de 435,54% em relação a 2014. Finalmente, se compararmos</p><p>as vendas de 2015 com as de 2012 deflacionadas (basta dividir 2.610,42 por 237,00 e subtrair 1),</p><p>verificamos um crescimento de 1.001,44% em três anos.</p><p>231</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>3000</p><p>2500</p><p>2000</p><p>1500</p><p>1000</p><p>500</p><p>0</p><p>vendas deflacionadas</p><p>(base 2012)</p><p>vendas nominais</p><p>2011 2015201420132012</p><p>1.983</p><p>2.610</p><p>1.046</p><p>789</p><p>237</p><p>538 487</p><p>anos</p><p>R$ milhões</p><p>Figura 94 – Vendas do grupo empresarial X‑TAL entre 2012 e 2015</p><p>Observe como as duas linhas, na figura anterior, têm inclinações diferentes: percebemos claramente</p><p>que os valores após a deflação estão substancialmente abaixo dos valores originais (nominais ou</p><p>correntes), indicando que o aumento nas vendas anuais de 2013 para 2014, com base nos valores</p><p>nominais, representa apenas um aumento “aparente”. Após a aplicação do índice de deflação é que</p><p>obtemos o valor real das vendas anuais de 2013 para 2014, ou seja, houve de fato uma queda nas</p><p>vendas de 2014 em relação a 2013 e uma recuperação expressiva em 2015.</p><p>8 INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA E ANÁLISE DE REGRESSÃO SIMPLES</p><p>8.1 Introdução à econometria</p><p>O interesse na aprendizagem dos métodos estatísticos se deve, em grande parte,</p><p>ao uso que deles</p><p>se faz em pesquisas sociais e econômicas. Na economia a existência das relações entre variáveis nos</p><p>conduz à verificação empírica de algumas das suas hipóteses, que são possíveis de serem representadas</p><p>por meio de funções matemáticas e são os pré‑requisitos para a construção de modelos econométricos.</p><p>Assim, o trabalho empírico se propõe a duas tarefas básicas: a) conhecer o tipo de relação funcional</p><p>existente entre variáveis; e b) determinar os parâmetros que fazem parte dessa relação.</p><p>Na verdade, estudos empíricos e análises teóricas frequentemente são complementares e se reforçam</p><p>mutuamente. Por um lado, a validade das teorias tem de ser testada em relação a dados empíricos antes</p><p>que elas possam ser aplicadas com confiança. Por outro lado, o trabalho estatístico necessita da teoria</p><p>econômica como guia para determinar a direção mais relevante e proveitosa da pesquisa.</p><p>8.1.1 Construção de modelos econométricos</p><p>Um modelo só deverá ser adotado se tiver um sentido econômico, não apenas no que respeita aos sinais</p><p>dos seus parâmetros, mas também no que respeita à grandeza desses parâmetros. Portanto, a investigação</p><p>empírica inicia‑se na formulação de uma relação econômica em conformidade com a teoria.</p><p>232</p><p>Unidade III</p><p>Qualquer teoria econômica é, necessariamente, uma abstração do mundo real. Uma razão é que a</p><p>imensa complexidade da economia real faz com que seja impossível entender todas as inter‑relações</p><p>de uma vez só, e, a propósito, nem todas essas inter‑relações têm a mesma importância para o</p><p>entendimento do fenômeno econômico específico em estudo. Neste contexto, é sensato escolher</p><p>as relações relevantes para o problema em questão e somente concentrar nossa atenção neles. Essa</p><p>estrutura analítica construída de forma simplificada é denominada modelo econômico, já que é apenas</p><p>uma representação esquemática e aproximada da economia real.</p><p>Importante destacar que a associação da Teoria Econômica com a Matemática e a Estatística</p><p>imprime, certamente, duas características fundamentais à econometria:</p><p>• a primeira, que é inevitavelmente quantitativa;</p><p>• a segunda, que está em estreito contato com a realidade.</p><p>Portanto, podemos dizer que a econometria é aquele ramo da ciência econômica que trata de</p><p>quantificar, isto é, de representar numericamente as relações econômicas, o que se realiza mediante</p><p>uma combinação adequada da Teoria Econômica, da Matemática e da Estatística.</p><p>8.1.2 Correlação</p><p>Vamos descrever e testar a significância da relação entre duas variáveis quando os dados são</p><p>apresentados como pares ordenados, onde x é a variável independente ou explanatória e y a variável</p><p>dependente ou resposta. O gráfico de pares ordenados (x, y) é chamado de diagrama de dispersão, que</p><p>pode ser usado para determinar se existe uma correlação linear (uma reta) entre as duas variáveis.</p><p>Os diagramas de dispersão a seguir mostram alguns tipos de correlação.</p><p>À medida que x</p><p>cresce, y tende a</p><p>decrescer</p><p>À medida que x</p><p>cresce, y tende a</p><p>crescer</p><p>Correlação linear negativa</p><p>Não há correlação</p><p>Correlação linear positiva</p><p>Correlação não linear</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>Figura 95 – Tipos de correlação</p><p>233</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Exemplo 109: com base na tabela a seguir, construímos um diagrama de dispersão entre a variável</p><p>renda (X) e despesa de consumo (Y):</p><p>Tabela 90 – Consumo versus renda</p><p>OBS. Renda (X) Consumo (Y)</p><p>1 1.500 1.234</p><p>2 2.000 1.636</p><p>3 2.500 1.987</p><p>4 3.000 2.435</p><p>5 3.500 2.513</p><p>6 4.000 2.657</p><p>7 4.500 3.123</p><p>8 5.000 3.567</p><p>4.000</p><p>3.500</p><p>3.000</p><p>2.500</p><p>2.000</p><p>1.500</p><p>1.000</p><p>500</p><p>0</p><p>5.5004.5003.5002.5001.500500</p><p>Renda (R$)</p><p>De</p><p>sp</p><p>es</p><p>a</p><p>de</p><p>c</p><p>on</p><p>su</p><p>m</p><p>o</p><p>(R</p><p>$)</p><p>Renda e despesa de consumo</p><p>Figura 96 – Renda e despesa de consumo</p><p>O que se espera é que os gastos de consumo das famílias estejam diretamente relacionados com seus</p><p>rendimentos. Os dados estão apresentados no gráfico anterior, o que aparenta, de modo razoável, supor</p><p>a existência de uma “relação linear” entre essas duas variáveis.</p><p>8.1.2.1 Coeficiente de correlação de Pearson</p><p>Com base no diagrama de dispersão, temos uma interpretação subjetiva ou aparente da existência</p><p>de correlação entre duas variáveis, mas, pelo cálculo do coeficiente de correlação (r), temos uma maneira</p><p>mais precisa de mensuração, conforme a fórmula a seguir:</p><p>234</p><p>Unidade III</p><p>Fórmula 50</p><p>r</p><p>n xy x y</p><p>n x x n y y</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � �</p><p>� � �</p><p>� � � �2 2 2 2</p><p>em que n é o número de pares dados, e centrando as variáveis X e Y, temos: x’ = x – x e y’ = y – y,</p><p>Fórmula 51</p><p>r</p><p>x y</p><p>x y</p><p>�</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>’ ’</p><p>’ ’2 2 , –1 < r < + 1</p><p>O coeficiente de correlação populacional é representado por ρ (pronuncia‑se rô). O intervalo de</p><p>variação do coeficiente de correlação varia de ‑1 a 1. Se x e y tiverem forte correlação positiva, r</p><p>estará próxima de 1. Se x e y tiverem forte correlação negativa, r estará próximo de ‑1. Se não existir</p><p>correlação linear ou, ainda, se a correlação linear for fraca, r estará próximo de zero. Alguns exemplos</p><p>são dados a seguir.</p><p>Para facilitar o cálculo do coeficiente de correlação, podemos utilizar uma tabela:</p><p>Tabela 91</p><p>Obs. Renda, X Consumo, Y xy x2 y2</p><p>1 1.500 1.234 1.851.000 2.250.000 1.522.756</p><p>2 2.000 1.636 3.272.000 4.000.000 2.676.496</p><p>3 2.500 1.987 4.967.500 6.250.000 3.948.169</p><p>4 3.000 2.435 7.305.000 9.000.000 5.929.225</p><p>5 3.500 2.513 8.795.500 12.250.000 6.315.169</p><p>6 4.000 2.657 10.628.000 16.000.000 7.059.649</p><p>7 4.500 3.123 14.053.500 20.250.000 9.753.129</p><p>8 5.000 3.567 17.835.000 25.000.000 12.723.489</p><p>∑ 26.000 19.152 68.707.500 95.000.000 49.928.082</p><p>r</p><p>n xy x y</p><p>n x x n y y</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � �</p><p>�</p><p>� � �� � �</p><p>� � � �2 2 2 2</p><p>8 68 707 500 26 000 19 152. . . .</p><p>88 95 000 000 26 000 8 49 928 082 19 152</p><p>51 708 000</p><p>2 2� � � � � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>. . . . . .</p><p>. .</p><p>99 165 15 5 71188</p><p>51 708 000</p><p>52350 236 98</p><p>0 9877</p><p>. , . ,</p><p>. .</p><p>. ,</p><p>,</p><p>�</p><p>� �</p><p>235</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Existe uma forte correlação positiva entre renda (X) e consumo (Y). À medida que aumenta a renda,</p><p>crescem as despesas de consumo.</p><p>Observação</p><p>Em estudo de correlação, as variáveis X e Y são medidas ou observadas</p><p>simultaneamente para uma mesma unidade de informação. Exemplo:</p><p>correlação entre peso e altura medidas simultaneamente para cada uma</p><p>das unidades de informação.</p><p>8.1.2.2 Uso da tabela para testar um coeficiente de correlação populacional</p><p>Uma vez calculado r, o coeficiente de correlação amostral, precisamos determinar se existe evidência</p><p>suficiente para decidir que o coeficiente de correlação populacional ρ é representativo em um nível</p><p>especificado de significância α.</p><p>Lembrete</p><p>Estamos usando dados amostrais para tomar uma decisão sobre</p><p>dados populacionais.</p><p>Para o teste devemos usar os valores críticos obtidos na tabela a seguir. Ao examiná‑la, podemos</p><p>observar que a primeira coluna representa o número n de pares de dados na amostra, enquanto a segunda</p><p>e a terceira coluna representam os valores críticos para um nível de significância α = 0,05 e α = 0,01,</p><p>respectivamente.</p><p>Se |r| for maior do que o valor crítico, haverá evidência suficiente para decidir que a correlação é</p><p>significante. Caso contrário, não haverá evidência suficiente para afirmar que a correlação é significante.</p><p>Para determinar, por exemplo, se ρ é significante para 8 pares de dados (n = 8) a um nível de significância</p><p>de α = 0,01, precisamos comparar |r| com um valor crítico de 0,834, conforme sugere a tabela.</p><p>Se |r| > 0,834, a correlação será significante. Caso contrário, não haverá evidência suficiente para</p><p>confirmar que a correlação é significante.</p><p>Tabela 92</p><p>n α = 0,05 α = 0,01</p><p>4 0,950 0,990</p><p>5 0,878 0,959</p><p>6 0,811 0,917</p><p>7 0,754 0,875</p><p>236</p><p>Unidade III</p><p>n α = 0,05 α = 0,01</p><p>8 0,707 0,834</p><p>9 0,666 0,798</p><p>10 0,632 0,765</p><p>11 0,602 0,735</p><p>12 0,576 0,708</p><p>13 0,553 0,684</p><p>14 0,532 0,661</p><p>Portanto, se |r| = 0,9877 (calculado) > 0,834 (tabela), a correlação será significante.</p><p>8.1.2.3 Teste de hipótese para um coeficiente de correlação populacional</p><p>Precisamos determinar se existe evidência</p><p>suficiente para decidir que o coeficiente de correlação</p><p>populacional ρ é representativo em um nível especificado de significância α (por exemplo α = 0,01</p><p>significa que em 1% das vezes podemos dizer que o coeficiente de correlação populacional é significante</p><p>quando ele realmente não é, isto é, o erro que podemos cometer).</p><p>Utiliza‑se o teste de hipótese para ρ podendo ser mono ou bicaudal. O nosso interesse é no teste</p><p>bicaudal, a seguir especificado:</p><p>H</p><p>H</p><p>n o existe correla o significativa</p><p>correla o si</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>:</p><p>:</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>ã çã</p><p>çã ggnificante� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>A estatística de teste padronizada é:</p><p>Fórmula 52</p><p>t</p><p>r r</p><p>r</p><p>n</p><p>r</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� 1</p><p>2</p><p>2</p><p>A distribuição amostral para r é uma distribuição t de Student com n – 2 graus de liberdade.</p><p>No exemplo que envolve as duas variáveis (X: renda e Y: consumo), utilizamos oito pares de dados para</p><p>obtermos r = 0,9877, vamos testar a significância desse coeficiente de correlação utilizando α = 0,01.</p><p>H0: ρ = 0 (não existe correlação significativa)</p><p>H0: ρ ≠ 0 (correlação significante)</p><p>237</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>A distribuição amostral para r = 0,9877 é uma distribuição t com n – 2 graus de liberdade, temos</p><p>8 – 2 = 6. Uma vez que o teste é bicaudal, α = 0,01 e g. l. = 6, os valores críticos são ‑3,707 e 3,707, e as</p><p>regiões de rejeição são t <–3,707 e t > 3,707 Com base no teste t, a estatística de teste padronizada é:</p><p>t</p><p>r r</p><p>r</p><p>n</p><p>r</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>� 1</p><p>2</p><p>0 9877</p><p>1 0 9877</p><p>6</p><p>0 9877</p><p>0 0638</p><p>15 47</p><p>2 2</p><p>O gráfico a seguir mostra a posição das regiões de rejeição e a estatística de teste padronizada.</p><p>‑3,707 3,707</p><p>– tc tc t</p><p>2</p><p>α</p><p>Figura 97 – Região crítica para o teste t</p><p>Rejeitamos a hipótese nula, visto que t calculado está na região de rejeição. Ao nível de 1%, há</p><p>evidência suficiente para concluir que existe uma correlação linear significante entre a renda e as</p><p>despesas de consumo.</p><p>8.1.2.4 Correlação e causalidade</p><p>O fato de duas variáveis estarem fortemente correlacionadas por si só não implica uma relação de</p><p>causa e efeito entre elas. Um estudo mais profundo geralmente é necessário para determinar se há uma</p><p>relação causal entre as variáveis.</p><p>Porém, é possível que a relação das variáveis tenha sido causada por uma terceira variável, ou por</p><p>uma combinação de muitas outras variáveis ou, até mesmo, que essa relação seja uma coincidência.</p><p>Temos dificuldade em lidar com problemas probabilísticos; um dos motivos é que nosso cérebro parece</p><p>ser desenhado para reconhecer padrões. Subconscientemente sempre estamos procurando correlações</p><p>entre eventos; uma vez encontradas, ficamos tentando estabelecer uma relação de causalidade entre</p><p>eles. Mas confundir correlação com causalidade pode acabar gerando vários problemas na nossa</p><p>interpretação dos fatos.</p><p>Correlação e causalidade são duas coisas diferentes; vamos nos certificar por meio de alguns</p><p>exemplos nos quais as relações causais não existem:</p><p>• O aumento do número de pneus furados nos automóveis é acompanhado por um aumento no</p><p>número de homicídios.</p><p>238</p><p>Unidade III</p><p>• A quantidade de pessoas que comparecem aos jogos de futebol anda junto com a taxa de</p><p>mortalidade infantil (correlação de 0,98, lembrando que a correlação varia de ‑1 a +1).</p><p>Causalidade é uma relação entre dois eventos, A e B, que estabelecem o evento A como causa do</p><p>evento B, e o evento B como efeito do evento A. Por exemplo, nós sabemos que uma planta precisa de</p><p>água para se desenvolver. Logo, um pequeno agricultor, que depende das chuvas para que sua plantação</p><p>cresça, estabelece a seguinte relação: chuva é a causa de a plantação crescer, e plantação crescer é o</p><p>efeito da chuva.</p><p>Observação</p><p>Estabelecer relações entre variáveis não é suficiente para a análise</p><p>econômica. O interesse está na causalidade entre variáveis: “se aumenta a</p><p>taxa de juros, o crescimento econômico cai?”.</p><p>Para encontrarmos o efeito causal, outra variável deve estar constante – o chamado “efeito ceteris paribus”.</p><p>Estabelecer relações causais entre eventos é uma atividade delicada e requer muita atenção e</p><p>reflexão. O grande problema com o conceito de causalidade é que não podemos medi‑la.</p><p>Estudos empíricos não medem causalidade, eles apenas medem correlação. Nas ciências</p><p>sociais e, em particular, na economia, as questões são ainda piores, porque não podemos fazer</p><p>experimentos.</p><p>Saiba mais</p><p>O pesquisador está em constante busca de causas que expliquem o</p><p>acontecimento de fenômenos observáveis. Para saber mais sobre a relação</p><p>causa‑efeito, consulte:</p><p>BERQUÓ, E. S. Bioestatística. 2. ed. São Paulo: EPU, 1981. p. 147‑153.</p><p>8.2 Análise de regressão simples</p><p>Após ter verificado que a correlação entre duas variáveis é significante, a próxima etapa consiste em</p><p>definir a equação da reta que melhor se ajuste aos dados, o que propicia, em determinados aspectos,</p><p>elementos consistentes para a tomada de decisão. A ideia geral da análise de regressão é possibilitar o</p><p>equacionamento do comportamento, em período passado, da relação entre as variáveis estudadas e,</p><p>com isso, estimar seu comportamento futuro. A análise de regressão é utilizada principalmente com</p><p>o objetivo de fornecer previsões com um maior nível de rigor e  de sistematização na tentativa de</p><p>antecipação do futuro, bem como uma ampliação do uso de recursos para a construção e a análise</p><p>de cenários.</p><p>239</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Nesse enfoque estamos interessados em obter dos dados a maior quantidade possível de informação</p><p>que indique possíveis modelos a serem utilizados. Quando se procede a uma análise de dados, busca‑se</p><p>alguma forma de regularidade, ou modelo, presente nas observações.</p><p>Lembrete</p><p>A forma da função deve ser definida pelo pesquisador em função do</p><p>grau de conhecimento teórico que ele tem do fenômeno sob estudo.</p><p>Nesta unidade, que compõe a base introdutória de econometria, consideraremos o tipo mais simples</p><p>de análise de regressão (Regressão Linear Simples) que envolve somente uma variável independente.</p><p>Saiba mais</p><p>O texto a seguir trata da importância da dimensão quantitativa ao</p><p>analisar dados, estimar possíveis cenários (análise/prospectiva) e utilizar</p><p>modelos econométricos como instrumento de medição de relações</p><p>econômicas (análise econométrica).</p><p>BARBOSA, W. N. Econometria na história econômica. Palestra no</p><p>Curso de Pós‑Graduação em História Econômica da USP em 25 mar.</p><p>1992. São Paulo: FFLCH‑USP, 1992a. Disponivel em: https://shre.ink/Tctf.</p><p>Acesso em: 10 out. 2016.</p><p>8.2.1 Modelo de regressão linear simples</p><p>A mais simples relação matemática entre duas variáveis x e y é a linear (reta). A equação que</p><p>descreve como y está relacionado com x e com uma parcela de erro é chamada modelo de regressão,</p><p>segundo o modelo:</p><p>Fórmula 53</p><p>y = α + βx + ∈ ∈~N(0, σ)</p><p>Interpretação: reta de regressão: valores esperados.</p><p>µY.X = α + βx σ2</p><p>Y. X = σ2</p><p>α e β referem‑se aos parâmetros do modelo e ∈ é uma variável aleatória que se denomina erro</p><p>aleatório ou parcela de erro. A parcela de erro é responsável pela variabilidade em y que não pode ser</p><p>explicada pela relação linear entre x e y.</p><p>240</p><p>Unidade III</p><p>O gráfico da equação de regressão linear simples é uma linha reta: α é o ponto em que a linha</p><p>(ou reta) de regressão intercepta o eixo y, β é a inclinação e µY.X é a média ou valor esperado de y para</p><p>determinado valor de x.</p><p>Relação linear positiva Relação linear negativa Sem relação</p><p>Reta de</p><p>regressão</p><p>Reta de regressão</p><p>Reta de regressão</p><p>y = α + βx + ∈ y = α ‑ βx + ∈ y = α</p><p>Intercepto</p><p>Intercepto</p><p>Intercepto</p><p>E(y) E(y) E(y)</p><p>x x x</p><p>α</p><p>α</p><p>αA inclinação</p><p>β é positiva</p><p>A inclinação</p><p>β é negativa A inclinação β1 é 0</p><p>Figura (a) Figura (b) Figura (c)</p><p>Figura 98 – Possíveis retas de regressão linear simples</p><p>Na terminologia da análise de regressão, a variável que é prevista é dita variável dependente.</p><p>A variável ou variáveis usadas para prever o valor da variável dependente são denominadas variáveis</p><p>independentes. Por exemplo, ao analisarmos o efeito da renda sobre os</p><p>gastos familiares, o nosso</p><p>desejo é prever o consumo das famílias, o que sugere torná‑la a variável dependente. As rendas das</p><p>famílias seriam a variável independente usada para ajudar a prever o consumo. Na notação estatística,</p><p>y seria a variável dependente, e x, a variável independente.</p><p>A equação de uma reta de regressão para uma variável independente x e uma variável</p><p>dependente y é:</p><p>ŷ a bx� �</p><p>Observação</p><p>Operacionalmente, para efeitos práticos, X é chamada de variável</p><p>independente e Y de variável dependente, sendo X antecedente e Y</p><p>consequente no tempo. É importante ter em mente que a simples presença</p><p>inicial de X com aparecimento posterior de Y não é razão suficiente para se</p><p>concluir que X é a causa de Y.</p><p>241</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Modelo de regressão</p><p>y= α + βx + ∈</p><p>Equação de regressão</p><p>µY.X = α + βx</p><p>Parâmetros desconhecidos</p><p>α e β</p><p>Equação de regressão</p><p>estimada</p><p>ŷ = a + bx</p><p>Estatísticas amostrais</p><p>a e b</p><p>a e b</p><p>são estimativas</p><p>de</p><p>α e β</p><p>Modelo</p><p>Dados amostrais</p><p>X Y</p><p>X1 Y1</p><p>X2 Y2</p><p>. .</p><p>Xn Y n</p><p>Figura 99 – Modelo de regressão linear simples</p><p>x = 30</p><p>y</p><p>x</p><p>Nota: as distribuições de y têm a</p><p>mesma forma em cada valor de x.</p><p>x = 20</p><p>x = 10</p><p>β0</p><p>x = 0</p><p>E(y) quando</p><p>x = 0</p><p>E(y) quando</p><p>x = 20</p><p>E(y) quando</p><p>x = 30</p><p>E(y) = β0 + β1x</p><p>E(y) quando</p><p>x = 10</p><p>Distribuição de</p><p>y em x = 20</p><p>Distribuição de</p><p>y em x = 30</p><p>Distribuição de</p><p>y em x = 10</p><p>Figura 100 – Representação do modelo estatístico de uma regressão linear simples: distribuição de y em x</p><p>242</p><p>Unidade III</p><p>Construímos a tabela a seguir com o objetivo de calcular os parâmetros da regressão:</p><p>Tabela 93</p><p>Obs. Renda (X) Consumo (Y) xy X2 y2</p><p>1 1.500 1.234 1.851.000 2.250.000 1.522.756</p><p>2 2.000 1.636 3.272.000 4.000.000 2.676.496</p><p>3 2.500 1.987 4.967.500 6.250.000 3.948.169</p><p>4 3.000 2.435 7.305.000 9.000.000 5.929.225</p><p>5 3.500 2.513 8.795.500 12.250.000 6.315.169</p><p>6 4.000 2.657 10.628.000 16.000.000 7.059.649</p><p>7 4.500 3.123 14.053.500 20.250.000 9.753.129</p><p>8 5.000 3.567 17.835.000 25.000.000 12.723.489</p><p>∑ 26.000 19.152 68.707.500 95.000.000 49.928.082</p><p>8.2.1.1 Ajustamento da reta pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)</p><p>Na análise de regressão, nosso propósito é o desenvolvimento de um modelo estatístico que</p><p>possa ser utilizado para prever os valores de uma variável dependente Y com base nos valores de</p><p>uma variável independente X (função linear simples: ŷ a bx ei i i� � � ). Modelo que se justifica caso</p><p>a relação entre as variáveis seja consistente, ou seja, pressupõe que o grau de associação seja forte</p><p>e que a declividade (sinal do parâmetro “b”) esteja de acordo com a expectativa teórica. Estamos</p><p>supondo que x seja a influência dominante sobre y e que a representação possa ser representada por</p><p>uma linha reta. Se a verdadeira equação fosse Ŷ a bX ei i i� � � , então x seria o fator determinante</p><p>a afetar o valor de y. Na equação dada, e é uma variável aleatória que representa todos os outros</p><p>fatores que não são de grande importância.</p><p>Na função linear simples ŷ a bx ei i i� � � , em que os coeficientes a e b são denominados parâmetros</p><p>do modelo (estimadores de mínimos quadrados):</p><p>• o parâmetro b é denominado coeficiente angular (inclinação da reta de regressão), representa</p><p>quanto varia a média de Y para um aumento de uma unidade da variável x;</p><p>• o parâmetro a é denominado intercepto, representa o ponto no qual a reta corta o eixo das</p><p>ordenadas (eixo Y);</p><p>• x e y são as variáveis do modelo, de tal modo que y é função de x.</p><p>243</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Observação</p><p>Aqui, x é conhecido e não aleatório, e y também é conhecido, mas</p><p>aleatório com distribuição normal.</p><p>Esses parâmetros estão representados na figura.</p><p>E(Y|x) = α + βx</p><p>α + βx + βα + βx</p><p>α</p><p>β</p><p>β</p><p>y</p><p>x</p><p>xx x + 1</p><p>1</p><p>Figura 101 – Representação do modelo E(Y\x) = α + βx</p><p>Lembrete</p><p>O parâmetro b da reta de regressão denominado coeficiente angular</p><p>(inclinação da reta) nos remete ao conceito econômico da elasticidade.</p><p>Deve‑se construir o diagrama de dispersão marcando a variável x na abscissa (eixo horizontal) e a</p><p>variável y na ordenada (eixo vertical) a fim de avaliar se o conjunto de coordenadas marcadas no plano</p><p>sugere uma relação linear (reta). Caso a relação sugerida seja não linear, deve‑se optar por modelos</p><p>transformados, isto é, regressão com variáveis transformadas.</p><p>Existem alguns fenômenos que podem ser representados por um modelo linear depois de sofrer</p><p>alguma transformação de variáveis. A utilização do diagrama de dispersão pode nos auxiliar a decidir</p><p>qual a melhor transformação indicada para cada fenômeno em estudo.</p><p>O quadro a seguir apresenta um resumo das funções linearizáveis mais comuns com as equações</p><p>originais e transformadas, além das restrições sobre as variáveis.</p><p>244</p><p>Unidade III</p><p>Quadro das formas funcionais convencionais:</p><p>Tabela 94 – Formas funcionais (funções linearizáveis)</p><p>Tipo de função Forma original Forma linearizada por</p><p>transformação</p><p>Restrições das variáveis</p><p>na forma transformada</p><p>Linear Y = a + bX Nenhuma Nenhuma</p><p>Logarítmica ou potencial Y = a . Xb ln Y = ln a + b ln X Y > 0 e X > 0</p><p>Exponencial ou semilogarítmica I Y = a . bX ln Y = ln a + X . ln b Y > 0</p><p>Semilogarítmica II eY = a . Xb Y = ln a + b . ln X X > 0</p><p>Hiperbólicas ou recíprocas I Y = a + b . 1/X Usa‑se 1/X X ≠ 0</p><p>Hiperbólicas ou recíprocas II Y = 1/(a + bX) 1/Y = a + bX Y ≠ 0</p><p>Quadrática Y = a + bX + cX2 Usa‑se X2 além de X Nenhuma</p><p>Logística Y = M/(1 + b . e‑mX) ln (M/Y – 1) = ln b – mX M é dado, M > Y e M > 0</p><p>ln = logaritmo neperiano (base e = 2,71828... – número de Euler)</p><p>Entre alguns métodos que existem para estimar os parâmetros a e b, o mais refinado é o Método dos</p><p>Mínimos Quadrados (MMQ), que consiste em tornar mínima a soma dos desvios em torno da reta estimada.</p><p>Designando‑se por ei o desvio entre um valor observado yi e um valor ajustado ŷi , isto é, e y yi i i� �� �ˆ ,</p><p>a e b são os valores que minimizam a soma de quadrados:</p><p>Fórmula 54</p><p>Minimizar Y Y Y a bx</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>n</p><p>i i( )ˆ</p><p>� �</p><p>� ��� � � � �� �</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>Com base nas fórmulas, podemos calcular, então, os coeficientes de regressão:</p><p>Fórmula 55</p><p>b</p><p>n xy x y</p><p>n x x</p><p>ou b</p><p>S</p><p>S</p><p>xy</p><p>xx</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�� ��</p><p>� �2 2</p><p>Fórmula 56</p><p>a y bx</p><p>y</p><p>n</p><p>b</p><p>x</p><p>n</p><p>� � � �� �</p><p>em que, com base nos dados da tabela 83, calculamos:</p><p>� � �� � �x y x yi i i i26 000 19 152 68 707 500. . . .</p><p>� �� �x yi i</p><p>2 295 000 000 49 928 082. . . .</p><p>245</p><p>ESTATÍSTICA ECONÔMICA — INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA</p><p>Fórmula 57</p><p>S x y</p><p>x y</p><p>nxy i i</p><p>i i� �</p><p>� �� �</p><p>� � �</p><p>Sxy � �</p><p>�� �</p><p>�68 707 500</p><p>26 000 19 152</p><p>8</p><p>6 463 500. .</p><p>. .</p><p>. .</p><p>Fórmula 58</p><p>S x</p><p>x</p><p>nxx i</p><p>i� �</p><p>� �</p><p>�� �2</p><p>2</p><p>Sxx � �</p><p>� �</p><p>�95 000 000</p><p>26 000</p><p>8</p><p>10 500 000</p><p>2</p><p>. .</p><p>.</p><p>. .</p><p>Fórmula 59</p><p>Syy � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>y</p><p>y</p><p>ni</p><p>i2</p><p>2</p><p>Syy � �</p><p>� �</p><p>�49 928 082</p><p>19 152</p><p>8</p><p>4 078 194</p><p>2</p><p>. .</p><p>.</p><p>. .</p><p>Ŷ</p><p>Ŷ</p><p>Ŷ</p><p>Linha dos mínimos quadrados</p><p>Valores ajustados</p><p>X</p><p>Y</p><p>Desvio: Yi ‑ i</p><p>i</p><p>ŶXi</p><p>Yi</p><p>= a + bX</p><p>Figura 102 – Plano cartesiano</p><p>246</p><p>Unidade III</p><p>b �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>���</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>n xy x y</p><p>n x x2 2</p><p>8 68 707 500 26 000 19 152</p><p>8 95 000 0</p><p>. . . .</p><p>. . 000 26 000</p><p>51 708 000</p><p>84 000 000</p><p>0 6156</p><p>2�</p><p>� �</p><p>( . )</p><p>. .</p><p>. .</p><p>,</p><p>a=y bx</p><p>y</p><p>n</p><p>b</p><p>x</p><p>n</p><p>� � � � � � �</p><p>� � �</p><p>� � 19 152</p><p>8</p><p>0 6156</p><p>26 000</p><p>8</p><p>2 394 00 2 000 70</p><p>.</p><p>,</p><p>.</p><p>. , . , 3393 30,</p><p>Portanto a equação da reta de regressão é:</p><p>ˆ , ,y x� �393 30 0 6156</p><p>Observação</p><p>As quantidades S medem a dispersão dos dados; são variabilidades.</p><p>Sxx: variabilidadade dos x, Sxx = (n ‑ 1) . S x</p><p>2</p><p>Syy: variabilidadade dos y, Syy = (n ‑ 1) . S y</p><p>2</p><p>Sxy: variabilidadade cruzada, proporcional a cov(x, y), covariância entre</p><p>x e y: Sxy = (n) . cov(x, y)</p><p>S2: estimativa da variância dos erros E em torno da reta estimada.</p><p>8.2.1.2 Coeficiente de elasticidade e teste de hipótese</p><p>No mínimo três aspectos importantes devem ser tratados quanto ao parâmetro estimado na reta de</p><p>regressão b (inclinação ou coeficiente angular da reta):</p><p>1) Primeiro, testar a hipótese de que o verdadeiro valor do coeficiente angular seja igual a zero,</p><p>calculando a estatística;</p><p>2) Segundo,</p>