Prévia do material em texto

1.1. TEOREMA DO VALOR MÉDIO ( TVM ) 
 
 
 
Nos exercícios 01 e 02, verifique que a função satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio ( TVM ) no intervalo 
dado. Então, encontre os números c que satisfaçam a conclusão do TVM. 
 
01) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 ; [ −1, 2 ] 
 
02) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
𝑥 + 2
 ; ; [ 1, 4 ] 
 
 
Nos exercícios 03 e 04, encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio ( TVM ). Esboce 
o gráfico da função, a reta secante passando pelas extremidades do intervalo, e a reta tangente em ( 𝑐 , 𝑓(𝑐)). A 
reta secante e a reta tangente são paralelas? 
 
03) 𝑓(𝑥) = √𝑥 ; [ 0, 4 ] 
 
04) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 ; [ 0, 2 ] 
 
 
Respostas: 
01) c = 
1 ± √7
3
 02) c = −2 + 3√2 
 
03) c = 1 ; Sim, as retas são paralelas porque têm o mesmo coeficiente angular. 
 
04) c = −ln (
1−𝑒−2
2
) ; Sim, as retas são paralelas porque têm o mesmo coeficiente angular. 
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS − 1º SEMESTRE 2024 
 
MAC 120 
Cálculo − volume 1 − 8ª edição 
James Stewart − pág. 251 a 256 
1.1.1 INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO 
TESTE DA DERIVADA DE 1ª ORDEM. 
MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS 
 
 
 
 
Exercício I: Calcule os pontos críticos da função e utilize o Teste da Derivada de 1ª Ordem para determinar os 
intervalos de crescimento e de decrescimento e os pontos de máximo local ou mínimo local de f. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 4 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 3 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2+3
 
 
Respostas: 
 
a) {
𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] − ∞ , −1 [ ⋃ ] 3, ∞ [
𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] − 1 , 3 [ 
 
 
(−1 , 9) é ponto de máximo local de f ; (3, −23) é ponto de mínimo local de f 
 
 
 
b) {
𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] − ∞ , 1 [ ⋃ ] 2, ∞ [
𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] 1 , 2 [ 
 
 
(1, 2) é ponto de máximo local de f ; (2, −3) é ponto de mínimo local de f 
 
 
 
c) {
𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] − 1 , 0 [ ⋃ ] 1, ∞ [ 
𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] − ∞ , −1 [ ⋃ ]0 , 1 [
 
 
( 0, 3) é ponto de máximo local de f ; (−1, 2) e (1, 2) são pontos de mínimo local de f 
 
 
 
d) {
𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] 0 , ∞ [ 
𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] − ∞ , −0 [
 
 
( 0, 0) é ponto de mínimo local de f 
 
 
 
Cálculo − volume 1 − 8ª edição 
James Stewart − pág. 256 a 266 
Exercício II: Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1, determine: 
 
a) os pontos críticos da função; 
b) os intervalos de crescimento e de decrescimento da função; 
c) os pontos de máximo local e/ou mínimo local de f; 
d) lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥 → − ∞
𝑓(𝑥) 
e) o esboço do gráfico da função 
 
 
Resposta: 
 
 {
𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] − ∞ , 0 [ ⋃ ] 2, ∞ [
𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] 0 , 2 [ 
 
 
(0 , 1) é ponto de máximo local de f ; (2, −3) é ponto de mínimo local de f 
 
lim
𝑥 → ∞
(𝑥3 − 3𝑥2 + 1) = lim
𝑥 → ∞
𝑥3 (1 −
3
𝑥
+
1
𝑥3) = ∞3(1 − 0 + 0) = +∞ 
 
lim
𝑥 → −∞
(𝑥3 − 3𝑥2 + 1) = lim
𝑥 → −∞
𝑥3 (1 −
3
𝑥
+
1
𝑥3) = (−∞)3(1 − 0 + 0) = −∞ 
 
 
 
 
 
 
1.1.2 CONCAVIDADES E PONTOS DE INFLEXÃO 
TESTE DA DERIVADA DE 2ª ORDEM 
 
 
Exercício III: Determine os os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 2 + 2𝑥2 − 𝑥4 
c) 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 − 3𝑥5 
 
Respostas: C.C. = concavidade para cima ; C.B. = concavidade para baixo ; P.I. = ponto de inflexão 
 
a) {
𝐶. 𝐶. 𝑒𝑚 ]
1
2
 , ∞[ 
𝐶. 𝐵. 𝑒𝑚 ]−∞ ,
1
2
[
 P.I. = (
1
2
 , −
13
2
) 
 
 
b) {
𝐶. 𝐶. 𝑒𝑚 ]−
1
√3
 ,
1
√3
[ 
𝐶. 𝐵. 𝑒𝑚 ]−∞ , −
1
√3
[ ⋃ ]
1
√3
 , ∞ [
 P.I. = (
1
√3
 ,
23
9
) e P.I. = (−
1
√3
 ,
23
9
) 
 
 
c) {
𝐶. 𝐶. 𝑒𝑚 ] −∞ , −
1
√2
 [ ⋃ ] 0 ,
1
√2
 [
𝐶. 𝐵. 𝑒𝑚 ]−
1
√2
 , 0 [ ⋃ ]
1
√2
 , ∞ [ 
 P.I. = (0, 0) , P.I. = (−
1
√2
 , −
7
4√2
) e P.I. = (
1
√2
 ,
7
4√2
) 
 
 
Exercício IV: Dada a função 𝑓(𝑥) = 2 − 15𝑥 + 9𝑥2 − 𝑥3, determine: 
 
a) os pontos críticos da função; 
b) os intervalos de crescimento e de decrescimento da função; 
c) os pontos de máximo local e/ou mínimo local de f; 
d) os intervalos de concavidade; 
e) os pontos de inflexão 
f) lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥 → − ∞
𝑓(𝑥) 
g) o esboço do gráfico da função 
 
 
Respostas: {
𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ]1 , 5 [ 
𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 ] − ∞ , 1 [ ⋃ ]5, ∞[
 
 
(1, −5) é ponto de mínimo local de f ; (5, 27) é ponto de máximo local de f 
 
{
𝐶. 𝐶. 𝑒𝑚 ]− ∞, 3[ 
𝐶. 𝐵. 𝑒𝑚 ] 3, ∞ [ 
 P.I. = (3 , 11) 
 
lim
𝑥 → ∞
(2 − 15𝑥 + 9𝑥2 − 𝑥3) = lim
𝑥 → ∞
𝑥3 (
2
𝑥3 −
15
𝑥2 +
9
𝑥
− 1) = ∞3(0 − 0 + 0 − 1) = −∞ 
 
lim
𝑥 → −∞
(2 − 15𝑥 + 9𝑥2 − 𝑥3) = lim
𝑥 → −∞
𝑥3 (
2
𝑥3 −
15
𝑥2 +
9
𝑥
− 1) = (−∞)3(0 − 0 + 0 − 1) = +∞ 
 
 
 
 
05) Determine os pontos críticos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2 + 2 e use o Teste da Derivada de 2ª 
Ordem para classificá-los em ponto de máximo local ou mínimo local. 
 
 
Resposta: Máximo Local: (1, 3) ; Mínimo Local: (0, 2) e (2,2) 
 
(3, 11) 
 
1.2 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Passos na Resolução dos Problemas de Otimização 
 
1. Compreendendo o Problema. A primeira etapa consiste em ler cuidadosamente o problema até que ele seja 
entendido claramente. Pergunte-se: O que é desconhecido? Quais são as quantidades dadas? Quais são as 
condições dadas. 
 
2. Faça um Diagrama. Na maioria dos problemas, é útil fazer um diagrama/figura e marcar as quantidades dadas e 
pedidas no diagrama. 
 
3. Introduzindo uma Notação. Atribua um símbolo para a quantidade que deve ser maximizada ou minimizada (por 
ora vamos chama-la f ). Selecione também símbolos (a, b, ... , x, y ) para outras quantidades desconhecidas e 
coloque esses símbolos na figura. O uso de iniciais como símbolos poderá ajudá-lo – por exemplo, A para área, h 
para altura e t para tempo. 
 
4. Expresse f em função de alguns dos outros símbolos da Etapa 3. 
 
5. Se f for expresso como uma função de mais de uma variável na Etapa 4, use a informação dada para encontrar as 
relações ( na forma de equações ) entre essas variáveis. Use então essas equações para eliminar todas menos uma 
das variáveis na expressão de f. Assim, f será expresso como uma função de uma variável x, digamos f = f(x). 
Escreva o domínio dessa função. 
 
6. Use os métodos estudados para encontrar os valores máximo ou mínimo de f. Em particular, se o domínio de f é 
um intervalo fechado, então o Método de Intervalo Fechado da seção 1,1 pode ser usado. 
 
 
 
 
06) Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo. 
 
 
07) Um fazendeiro quer cercar um campo retangular de área de 216 𝑚2 em um campo retangular e então dividi-lo 
ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Quais são as dimensões do retângulo externo que 
exigirão a menor quantidade total de cerca? 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de 32 000 𝑐𝑚3. Encontre as dimensões da caixa 
que minimizam a quantidade de material usado. 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo −James Stewart − volume 1 
8ª edição − pág. 290 a 300 
x 
y 
x 
y 
x 
 
 
09) Você está preparando um pôster retangular que deverá conter 50 𝑝𝑜𝑙2 de material impresso, com margens 
superior e inferior de 4 polegadas cada uma e margens à esquerda e à direita de 2 pol. cada uma. Que dimensões do 
pôster minimizarão a quantidade de papel a ser utilizada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um pôster deve ter uma área de 900 𝑐𝑚2 com uma margem de 3 cm na base e nos lados, e uma margem de 
 5 cm em cima. Que dimensões darão a maior área impressa? 
 
 
 
 
 
 
11) Um triângulo retângulo de hipotenusa √3 𝑚 gira em torno de um de seuscatetos gerando um cone circular reto. 
Determine o raio do cone de maior volume que pode ser gerado dessa maneira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de 
comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados 
resultantes. Qual a medida do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
4 
4 
4 
y 
4 
4 
2 x 2 
h 
r 
√𝟑 
52 
52 2x 
40 40 2x 
x x 
x 
x 
40 2x 
52 2x 
x 
 
13) O serviço postal norte-americano aceita caixas para entrega doméstica somente quando a soma de seu 
comprimento e cintura (comprimento ao redor) não exceder 108 polegadas. Que dimensões terá uma caixa com 
base quadrada para ter o maior volume possível? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Uma cerca de 3 m de altura está situada a uma distância de 3 m da parede lateral de um galpão. Qual o 
comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerca? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
 
06) 50 e −50 
 
 
07) A quantidade total de cerca será mínima quando o retângulo externo medir 12m por 18 m. 
 
 
08) A quantidade de material usado na confecção da caixa será mínima quando as medidas das arestas forem 
 40 cm, 40 cm e 20 cm. 
 
 
09) 9 pol x 18 pol. 10) 15√3 𝑐𝑚 por 20√3 𝑐𝑚. 
 
 
11) √2 cm 12) 7,47 cm 
 
 
13) 18 pol x 18 pol x 36 pol 14) 6√2 m 
base quadrada 
cintura = comprimento ao redor 
x 
y 
θ 
escada 
3 m 
3 m x 
y 
G
al
p
ão
 
 
1.3. TAXAS RELACIONADAS ou TAXAS DE VARIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
Estratégia de Solução de Problemas. É útil lembrar-se de alguns Princípios de Resolução de Problemas vistos no 
Capítulo 1 e adaptá-los para as taxas relacionadas. Os problemas de taxas relacionadas são exercícios nos quais as 
variáveis são funções do tempo t. 
 
1. Leia cuidadosamente o problema. 
2. Se possível, faça uma figura/ diagrama. 
3. Introduza uma notação. Atribua símbolos para todas as grandezas que são funções do tempo. 
4. Expresse a informação dada e a taxa pedida em termos das derivadas. 
5. Escreva uma equação que relacione as várias grandezas do problema. Se necessário, use a geometria da 
situação para eliminar uma das variáveis por substituição. 
6. Use a Regra da Cadeia para derivar ambos lados da equação em relação a t. 
7. Substitua a informação numérica dada na equação resultante e resolva-a para determinar a taxa 
desconhecida. 
 
ATENÇÃO. Um erro comum é substituir a informação numérica dada (para grandezas que variam com o tempo) 
 cedo demais. Isso deve ser feito somente após a derivação ( o Passo 7 segue o Passo 6 ). 
 
 
 
 
15) Uma partícula está se movimentando ao longo de uma hipérbole xy = 8. Quando atinge o ponto ( 4, 2 ), a 
coordenada y está crescendo a uma taxa de 3
𝑐𝑚
𝑠
 . Quão rápido a coordenada x do ponto está variando nesse 
momento? 
 
 
 
 
16) Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. A que taxa a área do quadrado está 
aumentando quando a área do quadrado for 16 𝑐𝑚2? 
 
 
 
 
17) Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 1 𝑐𝑚2/𝑚𝑖𝑛, encontre 
a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm. 
( A área da superfície esférica é A = 4π𝑟2 , sendo r o raio da esfera e diâmetro = 2r ) 
 
 
 
 
18) Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalhe-se em um padrão circular. Se o raio do 
petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1
𝑚
𝑠
 , quão rápido a área do vazamento está crescendo quando 
o raio é igual a 30 m? 
 
Cálculo −James Stewart − volume 1 
8ª edição − pág. 214 a 219 
 
 
19) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de 
radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km da 
estação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) Um holofote sobre o solo ilumina uma parede a 12 m de distância. Se um homem de 2 m de altura anda do 
holofote em direção à parede a uma velocidade de 1,6 m/s, quão rápido o comprimento de sua sombra diminui sobre 
a parede quando ele está a 4 m dela? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Água escoa de um reservatório de concreto cônico ( vértice para baixo ), com raio da base de 2 m e altura de 
4 m, a uma taxa de 0,25 𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Quão rápido o nível da água diminui quando a profundidade da água for de 3 
m ? 
 
 
 
 
 
 ● 
● 
x 
2 km 
Estação de Radar 
y 
 
 
parede 
y 
x 
12 m 
 
θ 
22) Uma escada com 13 pés de comprimento está apoiada verticalmente em uma casa quando sua base começa a 
escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, o topo da escada escorrega 
para baixo na parede a uma taxa de 16 pés/s. A que velocidade a base da escada escorrega afastando-se da parede? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23) Dois lados de um triângulo têm comprimento de 12 m e 15 m. O ângulo entre eles está aumentando a uma 
taxa de 
𝜋
90
 𝑟𝑎𝑑/min. A que taxa o comprimento de um terceiro lado está aumentando quando o ângulo entre os 
lados de comprimento fixo for 
𝜋
3
 rad? ( Use a lei dos cossenos ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) Um trem A deixa uma estação, num certo instante, e vai para o norte à razão de 80 km/h. Um segundo trem B 
deixa a mesma estação 2 horas depois e vai para o leste à razão de 100 km/h. Calcular a taxa na qual estão se 
separando os dois trens 3h depois do segundo trem deixar a estação. 
 
 
(a) 3h depois do segundo trem B deixar a estação, ele estará a x = .......... km da estação. 
(b) 5h depois do primeiro trem A deixar a estação, ele estará a y = ........... km da estação. 
(c) a taxa na qual os trens estão se afastando 3h depois do segundo trem deixar a estação é 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 = ........... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
𝛉 
15 
12 
TOPO 
BASE 
13 pés 
y 
x 
A 
B E 
y 
z 
x 
Respostas: 
 
 
15) 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −6 𝑐𝑚/𝑠 16) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=48 𝑐𝑚2/𝑠 
 
 
17) 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
=
−1
20𝜋
 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 18) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 60𝜋
𝑚2
𝑠
 
 
 
19) 
800
3
√5 𝑘𝑚/ℎ 20) 
−3
 5
 𝑚/𝑠 
 
 
21) 
dh
dt
=
−1
9𝜋
 𝑚/𝑚𝑖𝑛 22) 6,67 pés/𝑠 
 
 
23) 
𝑑𝑎
𝑑𝑡
 = 0,396 m/min 
 
 
24) a) 300 km b) 400 km c) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 = 124 km/h