Conjunto_Funções - Volume 01

Prévia do material em texto

<p>- GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI - COMPLEMENTO PARA PROFESSOR FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR 1 CONJUNTOS E FUNÇÕES ATUAL EDITORA</p><p>Apresentação Este livro é o Complemento para o Professor do volume 1, Conjuntos e Fun- ções, da coleção Fundamentos de Matemática Cada volume desta coleção tem um complemento para o professor, com o obje- tivo de apresentar a solução dos exercícios mais complicados do livro e sugerir sua passagem aos alunos. É nossa intenção aperfeiçoar continuamente os Complementos. Estamos aber- tos a sugestões e críticas, que nos devem ser encaminhadas através da Editora. Agradecemos à professora Irene Torrano Filisetti a colaboração na redação das soluções que são apresentadas neste Complemento. Os Autores.</p><p>Sumário Capítulo I - Noções de lógica 1 Capítulo II Conjuntos 1 Capítulo III Conjuntos numéricos 5 Capítulo IV - Relações 12 Capítulo V Introdução às funções 12 Capítulo VI Função constante - Função afim 15 Capítulo VII Funções quadráticas 21 Capítulo VIII - Função modular 41 Capítulo IX - Outras funções elementares 47 Capítulo X Função composta - Função inversa 49 Apêndice I - Equações irracionais 59 Apêndice II - Inequações irracionais 72</p><p>Capítulo I - Noções de lógica 6. p (r p V V V V F V V F F 1 FVV F V V FFF FF V 1 p (r V s) é falsa, por hipótese. Então, isso significa que V, (r V s) é F, ou seja, ressão F. Como o condicional Vepé V, então V; portanto, V. Capítulo II Conjuntos 33. {a, b, c, UX = {a, b, c, d, el 34. AUBUC = {1, 2, 3, ANB = Anc = pertencem a A pertencem a C BNC {2, C 2, 5 e 6 pertencem a B = 5 e 6 pertencem a AUB = 2, ..., 7, ,8} 9 e 10 não pertencem a então, 9 e 10 per- tencem a C. Portanto, C = {2, 5, 6, 7, 9, 10}. 37. Como subconjunto de A, temos 2; então o núme- ro máximo é 2. 45. y+1<6 = F = {1, 2, 3, 4, = 1</p><p>48. A B - - = - + - 1 2 3 Obs.: 1 elementos que pertencem só ao conjunto A 2 elementos que pertencem a A e B 3 elementos que pertencem só ao conjunto B 49. - n(AUB) =4+5-3 - Então, o número de subconjuntos de = 64. 50. (I) - (III) - (IV) - III IV A B C = - = - - - + - - - - - = + + nc - - - + 2</p><p>52. E: conjunto dos alunos da escola = 415) A: conjunto dos alunos que estudam inglês = 221) B: conjunto dos alunos que estudam francês = 163) E A = B = + 163 - 52 = 332 = - = 415 - 332 = 83 53. U = conj. universo 54. Como C C B, temos n(BUC) = n(B) = 16 e a) n(B) - n(AOB) 24 então, Portanto: n(A-B) = = - b) = n(A) - = 12 - 11 = 1 c) = n(AUB) - n(A) - n(C) + = 24 - 12 d) n[(AOB) - C] = - = e) n[B - (AOB)] = n(B) - n(AOB) = 16 4 = 12 55. A = {e, f,g, h, f, g, h, i & A AUB = {a, b, c, d, e, = c, d, e, f A ou então, A = e B = 56. Com base na tabela é possível montar o diagrama dos conjuntos e indicar o nú- mero de elementos de cada um. U A B 61 20 142 5 23 36 98 115 C 3</p><p>a) o número de pessoas consultadas: nu = 115 + 61 + 20 + 142 + 5 + 36 + 98 + 23 = 500 b) o número de pessoas que só consomem a marca A: - + = 109 - 25 - 28 + 5 = 61 c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C: = nu - = 500 - (109 + 162 - 28) = 257 d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas: + + - 2 = 25 + 41 + 28 - 10 = 84. 58. B: conjunto dos indivíduos da raça branca P: conjunto dos indivíduos da raça preta A: conjunto dos indivíduos da raça amarela n(B) = 70 = n(A) = n(AUB) - n(B) = 280 n(P) = n(AUB) = a) número de indivíduos da comunidade: 2 n(A) = 560 b) n(A) = 280 59. Matriz: 20% 45% = 700 Santos: 35x 35x = 100 30 = X 40 = 60. a) A = b, c, } = A B = {a, e B - A = = = b) A - c) A - A = = d) A A B = - (B - - B) Como a união de conjuntos goza da propriedade comutativa, então: (A - B) U (B - A) = (B A) U (A - 4</p><p>Capítulo III - Conjuntos numéricos 63. Chamando M4, M6 e os conjuntos de múltiplos, temos: M4 e C M6 então X é formado por: 5 múltiplos de 12 (que também são múltiplos de 4 e 6) 7 - 5 = 2 múltiplos de 6 (que não são múltiplos de 4 ou 12) 12 - 5 = 7 múltiplos de 4 (que não são múltiplos de 6 ou 12) 8 números impares num total de 5 + 2 + 7 + 8 = 22 elementos 73. Seja = = => ad < bc. bc Seja r a média aritmética entre = - a + ad bc = r r2: = - = ad 2bd - bc r - Portanto, existe r, tal que 76. Dividir a por 40 é o mesmo que multiplicar a pelo inverso de 40, que é = 40 127 77. a = 1 + 0,4 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = 1,41111... = 90 78. Renda total do país Renda total do país B: 1 = A renda per capita dos dois países juntos é a renda total dividida pela população total: = A renda per capita dos dois países juntos (novo país) será de aproximadamente dólares. 79. Pela lei de Boyle, temos: (P + AP)(V + AV) = K AP = - = 5</p><p>Então: + = K 5P(V + AV) PV = K = é, haverá uma diminuição correspondente à parte do volume inicial, ou seja, 20%. = = 83. = = a 84. e g: - 2 - = 85. a) Seja a = V2. Então, = = 4 e a6 = = 8 são racionais. b) a 87. Prova-se com contra-exemplos. Um contra-exemplo é o número racional 2 cuja raiz quadrada não é racional. De fato, se IN e mdc(p, é número par 2m q2 Mas é absurdo, pois mdc(p, q) = 1. 88. Fazendo r= x + 1 = -1, - temos x + 1 = ou seja, - 1 1 Analogamente, fazendo r assumir cada um dos valores 2 e 3 e tentando cal- cular real, só não conseguimos quando r = 1. 6</p><p>98. P(1) é verdadeira porque Admitamos a validade para n = k: P(k) = 1 + 2 + 3 + + e provemos que vale para n = k + isto é: + 1 + 2 + 3 + + k + + = Temos: + 3 + + 2 P(k) 99. P(0) é verdadeira porque 2 = + . Admitamos a validade para n = k: + + + ... + + = e provemos que vale para n = k + 1, isto é: 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + [2 + 3(k + = 2 Temos: 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + [2 + 3(k + 1)] = P(k) + + 3(k = (k 1)(4 + 3k) + 4 + 6(k + 1) = = 2 2 = 100. é verdadeira porque 2° = 1. Admitamos a validade de P(k - 1), isto é, + + + ... + = - 1 e, então, devemos provar que vale P(k), ou seja, + + + ... + 2k Temos: + + + + - 1 + = P(k - 1) = = 1. 7</p><p>101. P(1) é verdadeira porque Admitamos que vale para n = k, isto P(k): 12 + + 32 + ... + k(k 1)(2k 6 + 1) e provemos que vale para n = k + 1, ou seja: 12 + 22 + 32 + ... + + (k + (k + 6 2)(2k + 3) Temos: 12 + + 32 + + k2 + (k + k(k 1)(2k 1) + = P(k) 1) + 6(k + 1)] = 6 = 6 6 102. P(1) é porque Admitamos válida para n = k, isto é: P(k): + + + + e provemos que vale para n é: + + + + (k + + 1)(k + Temos: + + + + (k + + (k + = P(k) + + + 4) = 4 (k 104. P(1) é verdadeira porque 6 I 1(1 + 1)(1 + 2). Admitamos válida para n = k, isto é, 6 I k(k + 1)(k + 2) e provemos que vale para n = k + 1: 6 I (k + 1)(k + 2)(k + 3). Temos: 1) (k + 2)(k + 3) = + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) 6 k(k + 1)(k + 2) 6 1)(k 2) 3(k 1)(k 2) + + + + + 3(k + 1)(k + 2) + 1)(k + 2)(k + 3) 8</p><p>105. P(0) é válida: 20. Admitamos verdadeira para n = k, isto seja, 2 e provemos que vale para n 2 + (k + 1)] 2 I (k + 1)(k + 2) + (k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1) = + 2) = k(k + + 2(k + 1) => 1) 2(k 1) = + + + + 1) 106. P(0) é verdadeira, pois 3 Admitamos P(k) verdadeira, ou seja, 3 I + 2k) e provemos que P(k + 1) é verdadeira, ou seja: 3 [(k + + 2(k + 1)]. Temos: + 2(k + 1) = + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2) = = 2k) + 3(k2 + k + 1) 2k + 3(k2 + k + 1) 2(k + 1)]. 107. P(1) é válida porque 1 + 1 = Admitamos que seja válida para + + 1 e provemos que vale para é: Temos: + P(k) = 108. P(1) é válida: 1 Admitamos que seja válida para = k: + ... + k e provemos que é válida 9</p><p>1 1 + + Temos: + + + = 1)(k 2) k + 1 = + 2) + 2) 109. P(1) é = = Admitamos que seja válida para n = k: P(k) 1.2+2.3+ k(k 1) + e provemos = + + = que vale para n = k + 1: k+1) = 1.2+2.3 + ... + (k + 1)(k + = 3 + 3) Temos: + 2 3 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = P(k) 2) (k + 3 2)(k + 3) . 111. P(0) é verdadeira: > 0. Admitamos verdadeira para n = k: 2k > k, com k > 1, e provemos que vale para n = k + 1: 2k + I > k + 1. = 112. P(1) é verdadeira: Admitamos P(k): + 23 + ... + verdadeira e provemos que vale + + + ... + + Temos: 1 + + + + = P(k) 10</p><p>k4 + + 12k2 + 12k + 4 = = 4 k4 + + 6k2 + 4k + 1 + 6k2 + 8k + 3 = = 4 = + > (k + 1)4 4 4 4 pois 6k2 + 8k + 3 > 0, 113. P(1) é Suponhamos válida para n = k: (1 + a)k > 1 + ka e provemos que vale 1)a. Temos: = + = 1 > 1 + ka + a = (k + 1)a. 115. P(3) é verdadeira: = 180° (soma dos ângulos internos de um triângulo). Admitamos válido para n = (k - 2) 180° e provemos que é verdadeira para n = k + 1: S(k + 1) = (k - 1) 180°. Observemos que: D C D C E A B A B ao acrescentar um vértice (E), na verdade estamos acrescentando, à figura anterior, um triângulo (BCE) cuja soma dos ângulos internos é 180°. Então, temos: = Sk + + 180° = = - - 1) 180° 116. P(0) é verdadeira, pois = 101, que é unitário e portanto tem = 1 elemento. é verdadeira, pois = 01, que é binário e portanto tem = 2 elementos. 11</p><p>P(2) é verdadeira, pois {b}, b}, 01 é quaternário e portanto tem = 4 elementos. Admitamos que a proposição seja verdadeira para um conjunto A com k elementos, ou seja, P(A) tem 2k elementos. Provemos que a proposição é verdadeira para um conjunto B com k + elementos, ou seja, P(B) tem 2k + I elementos. Suponhamos que B = AU ou seja, b é o elemento que está em B e não pertence a A. Então P(B) é formado com os subconjuntos de A (que são e mais a reunião de {b} com cada um desses subconjuntos (que são outros 2k conjuntos). Conclusão: P(B) possui 2 2k = 2k + I elementos. Obs.: Para melhor entender, veja como fizemos para passar de pa- ra Capítulo IV - Relações 122. Utiliza-se a propriedade: se X é subconjunto de X' e Y é subconjunto de Y', então X X Y é subconjunto de também vale a recíproca. Por exemplo: X' = A ou B ou C Y' = B ou C então = A X B X ou Cou 128. A = {0, 1, 2) B = {3,4,5} 3), (0, 4), (0, 5), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, Verifica-se, diretamente, que somente os pares (0, 4), (0, 5) e (1, 5) satisfazem a relação y Portanto, n(D) = 3. Capítulo V Introdução às funções 155. Fazendo = 0, devemos ter: = = Então: m=1 f(0) é qualquer real. = 12</p><p>- = f(3) Calculando f(3), vem: f(2) = f(1 + 1) = f(1) . f(1) = = 4 = f(2 + 1) = f(2) f(1) = = 8 Então: f(3 + = f(3) = 8.4 = 32. 157. a) f(1) = f(0 + 1) = f(0) + 3 = 3 f(2) = f(1 + 1) = f(1) + 3 = + 3 = 9 f(3) = f(2 + 1) = f(2) + 3 = + 3 = 21 f(4) = f(3 + 1) = 2 f(3) + 3 = 2 . 21 + 3 = 45 f(5) = f(4 + 1) = f(4) + 3 = + 3 = 93 Observemos que: f(5) = 93 = + 3 = = + 3) + 3 = = + 3) + 3] + 3 = = [2(2 + 3) + 3] + + 3 = = {2 + + 3] + + 3 = = 3 + + + 3) + 3 = = + + 3 + + 3 = = 3(24 + + + + 2°) ou seja: f(n) = 1). b) Vale para n = 1, isto é, f(1) = = 3. Admitamos verdadeira para n = k: :f(k) e provemos que é válida para n = k + 1, ou seja, f(k + 1) = 3(2k + 2k - 1 1). Considerando a função definida, temos: = 2 f(k) + 3. Então: = 3 = + 3 f(k + 1) = (2k + 2) + 3 f(k + 1) = (2k + + + + 2 + 1) = = = # g(x) = X Portanto, f(x) e g(x) não são iguais. 166. f(x) = está definida 13</p><p>+ X + + X IR -1 - 1}. + + X -1 g(x) = está definida 1 > 1 0, seja: - + > ou X X X -1 1 f(x) e g(x) serão iguais somente no conjunto > IR. 167. f(x) = está definida 0. + + + X + + + X + + X -1 1 g(x) = está definida se + 1 > X X = X -1 1 Por possuírem exatamente o mesmo domínio, = 168. = Não são iguais porque os domínios são diferentes. 14</p><p>Capítulo VI - Função constante - Função afim 175. a) 2 Somando membro a membro 1 e vem: Substituindo a temos vem: X y 3 + X sistema formado por 3 e 2 Somando membro a membro 3 e 4 vem: 2x = 6 = 3. Substituindo = em 4 temos: y isto é, S = b) Fazendo 2a + 3b 6a + 9b 3 Então: 3 = 6 = 3 X = 2x = 3 S = {(2, 178. X = de bolas brancas y = de bolas pretas retirada: após após retirada: 2 Resolvendo o sistema formado por 1 e 179. f(-1) a f(1) = a + b = 1 Então, f(x) + 2 daí f(3) = -1. 15</p><p>186. A partir do gráfico verificamos que a função C(x) passa pelo ponto (8, 520) e tem coeficiente linear 400. C(x) = ax + 400 = C(8) 8a + 400 = 520 a=15 Portanto, C(x) = 15x + 400. Considerando um custo de CR$ 700,00, vem: 15x + 400 = 700 = X = 20 litros. 187. 1. X 25 068 = f(x) = 0 2 506,80 = 2. Calculemos o imposto de renda a pagar f(x), para uma renda líquida de Cr$ 83 561,00, valor f(83 561,00) = 561,00 - 2 506,80 = 5 849,30 Para não haver descontinuidade nesse ponto (83 561,00; 5 849,30) ao passar da faixa de 10% para 25%, deveremos ter: 5 849,30 = 0,25 83 561,00 - n = n = 15 040,95. 188. Seja H a herança, x a parte da mãe, 2x a parte de cada filho do sexo masculino, 3x a parte da filha. H Então: H = + = 8x 8 mãe: H ; cada homem: 4 ; filha: 3H 8 = 189. S = vt = = 275 th = Então: S = 275 12 = 3 300. A distância entre São Paulo e Boa Vista é de 3 300 km. 190. 110 trabalhadores 100 homens com média salarial 265 10 mulheres com média salarial X 100 265 + 10x = 250 = X = 100 110 O salário médio das mulheres é de CR$ 100,00. 16</p><p>191. X = salário/hora de Paulo e Joana. Paulo trabalhou 40 minutos de hora ) a mais que Joana e, por esse perío- do, recebeu 150. Então: 3 = 150 = X = 225. Portanto, Paulo recebeu 4 X 225 = . = 90. Um décimo do que Paulo recebeu são 90,00. 192. A engrenagem a tem 24 dentes e a engrenagem tem 36 dentes. Ambas as en- grenagens dão um número inteiro de voltas quando os números de dentes que "passam" pelo ponto de contato com a engrenagem b for um múltiplo comum de 24 e 36. O mmc(24,36) é 72. Então, se C der duas voltas e a der 3 voltas, as duas retor- nam à situação inicial. 193. Quando o piloto mais veloz (72 segundos por volta) completar voltas, o pilo- to menos veloz (75 segundos por volta) terá dado (x - 1) voltas. Então, temos: 72x = 75(x - 1) = 205. f(x) passa pelos pontos (3, 0) e + a =2eb= -6 = f(x) 0 = 3a b = 2x - 6 g(x) passa por (0, 1) e (2, -2). 1 = b = 2a + b a e b = 1 + 1 h(x) passa por 1 a = + 1 1 = b - = = + -3 X + 1 2x + 1 = 2 2x - = -3 = 2 e) 17</p><p>209. 6,5 6 211. 2x S = S 213. c) - X X X S = X 5 3 6 2 f) X S -1 X -1 1 214. f(x) passa pelos pontos 1 a => 18</p><p>g(x) passa por (4, 4) e (1, + b = 4 a + b = -4 h(x) passa por (4, 1 a) f(x) < g(x) g(x) h(x) X X S = X 1 4 b) g(x) f(x) g(x) h(x) f(x) < X > -3 X X S = IR I - X -3 1 c) h(x) f(x) g(x) h(x) f(x) S = f(x) < g(x) 223. X - 19</p><p>+ 11 + + + X X 4 + X 4 x + 3 + + + X -3 + + X -3 4 11 S = IR I 3 4 ou 11). c) x + 4 x + 1 (x + - + 2) 4) > 0 + (x + 2)(x + 4) + 2 + X -2 + + X -4 P + + X -4 S = I - (x - - + - - - - - 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) 3(x 1)(x 2) <0 = 1)(x - 2)(x - 3) (x - 20</p><p>+ + X 3 2 X - 1 + + + + X 1 X - 2 + + X 2 X - 3 + X 3 Q + + X 1 3 2 3 2 S = 2 ou 224. 3x - 6 + -4 X 2 X 2x + + X Q + + X 2 S = E Capítulo VII - Funções quadráticas 226. y = - - (m + 2)x - 1 está definida se - 4 # 0, isto é, se m # 2 em # - 2. 227. Seja f(x) = ax2 + bx + C. Então: f(-1) = a - b + C = 4 1 f(1) 2 2 f(2) = 4a + 2b + = 1 3 21</p><p>Resolvendo o sistema formado por 1 2 e 3 temos: , a - b + C = -4 a 2b b = 3 4a + 2b + C = 1 6b 3c = 15 Substituindo b = 3 na equação, vem C = 1. Substituindo b = 3 e c = 1 na equação, vem a = -2. Portanto, f(x) = + 3x + 1. 228. f(1) f(2) f(3) = 9a + 3b + = Resolvendo o sistema, temos: a + -4 -9 a + = 4 { 4a + 2b + = 0 3c = 16 3 9a + 3b + = -2 - 6b - 8c = -38 a + b + = 4 2b + 3c = 16 Substituindo = 10 na equação, obtemos b = - Substituindo = 10 eb = - 7 na equação, vem a = 1. Então: abc = 1 (-7) 10 = -70. 230. quantidade vendida X preço de venda = receita X Então, temos: x2 100x + 2 500 = = 50. 231. 1 X xy + y { X +y=7 1 xy = 12 2 Considerando 1 e 2 temos: - = 0 X = 3 ou X = 4. , Como xy = 12, então, para = 3, y = 4 e para X = 4, y = 3. S = {(3, 4), - -1 b) = = -8 2 xy Substituindo 1 em , vem: 22</p><p>2x + - = Então, para = = -4 e para = S = {(4, -4), 236. a m - - + 12m + 9 - 4m2 4m > 0 16m > -9 m Portanto: m 237. a 0 m + 2 0 - (3 - - 4(m + 2)(m - - + Portanto: -2. 238. A = 0 (m + 4m(m + = 0 + 2m - 1 = 0 m = -1 Portanto: m = - 1 ou m = 239. a = + m + 2) = 0 + 8m - 4 = 0 m m = -2 Portanto: 240. a # 0 - -1 A <0 = (2m 1)(m - 1) <0 = 12m < - -13 = Portanto: m 241. a 0 = - - < = (2m 4m(m 2) 0 4m <0 Portanto: m < 23</p><p>242. Em ax2 bx 0, temos = 2a + + C = Em + Bbx + = 0, temos: A = 4ac) = + 4ac aB 2a 4ac ou seja, são as mesmas raízes, multiplicadas por 4ac 243. Em ax2 + bx + C = 0, temos ou 4ac -b S = + a P = X1 = = = 5 = -5 X1X2 2 d) Sabendo que (x1 + = + 2x1x2 + x2, então: x2 + = + - = 24</p><p>f) = x3 - + 245. 2x2 - 2mx + 3 = 0 X1 + X2 = m 4x2 ou = = 3x2 Portanto: 4x2 = m = 246. = Como as raízes são inteiras e 47 é número primo, então X1 = 1 ou X2 = 47 (ou vice-versa). Portanto: - = 11 - 471 = 46. Sabendo que (r + s)2 r2 2rs + r2 - 2rs = = Portanto, vem: 2ac 248. = -m X1 X2 = 12 12 = 0 m = 4 ou m = -3 X1 = 0 então, m = -3. = 1 249. 0 2 = 7 3 x2 + 2k = 0 4 25</p><p>Fazendo x' = em 3 e vem: -3 = 2(5 7 x" = 7 2k X2 = 3 Substituindo X2 = 3 em Em 2 X2 k = 6. 250. Seja a equação ax2 + bx + = 0. Já provamos no exercício 243 = + = Então, temos: ax2 + bx + = 0 = + = 252. S = + - P = Portanto: 2ac)x c2 - - + = 0. -b X1X2 b) Portanto: cx2 + bx + a = 0. c) X1 ac a = 1 X2 x2 - Sx + P = 0 = 0 acx2 - 2ac)x + ac = 0 26</p><p>d) Sabendo - + 3abc + - 3abc)x + C3 = 0 + x2 253. X1X2 = 4 + 4m - 2 = 0 m = -2 + 1 254. Sendo S = p' um trinômio g(x), em temos: p g(x) = 255. m = 2x - len = 2x + 1 são positivos e consecutivos. m . n = 1 599 (2x - 1)(2x + 1) = 1 599 4x2 1 = 1 599 X = 20 Portanto, m = 39 en = 41 m = 80. 258. A = 4 - 12m m=2 3 12 259. A = [2(m - 4(-3)(m + 1) = + 4m + 16 = m + 4 = 6 = m - 2 = 0 = m = = 1 260. f(x) = + (m - 1)x + (m + 2) tem máximo se m < 0. A = (m - 1)2 4m(m + 2) = -3m2 - 10m + 1 + 10m - 1 (rejeitado) = = m = 4m - 1 (valor procurado) 261. f(x) = (m - 1)x2 + (m + 1)x - m tem mínimo se m > 1. A = (m + + 4m(m - 1) = - 2m + 1 27</p><p>- 2m 1 = 3 = 0, 4(m - 1) que não tem soluções reais. Portanto, Am I f(x) tenha mínimo igual a 1. 263. Sendo y = 5x - 1, verificamos y que: para = para = 21 4 Assim, no intervalo [0, 6], = = 1 2 3 6 X 5 1 2 - 7 265. y = -2x2 + bx + passa por (1, 0). Então: 0 = b + b + = 2 1 b = 12 2 Substituindo 2 em 1 vem 10. Portanto, y = 12x 10 e, então, y = = 266. 2x + Z y = x(8 y = 8x Seja y = XZ Como a = existe = Z = 8 - 2x 28</p><p>267. Seja um retângulo de lados a e b. Então: 2a + 2b = 20 = - A área y = ab é tal que y = a(10 - Como o coeficiente de a2 é negativo, existe máximo, que é dado por Ou seja, a área é máxima para o quadrado de lado 5 cm. => = = 36 Como existe mínimo, dado por a = Então, y = 269. Seja a área Z = xy. Como um dos vértices pertence à reta y = - 4x + 5, temos: Z = x( 4x + 5) = 4x2 + 5x 5 (como a existe máximo). y Então: = Lados do 5 4 X 270. Consideremos o triângulo com os cate- tos sobre os eixos cartesianos. y A reta AB passa pelos pontos A(0, 6) e B(8, 0). Determinemos a equação A(O, 6) y = ax + b dessa reta: = 6 C Portanto, = + 6. X B(8, 29</p><p>Como o vértice C do retângulo pertence a essa reta, temos: = xy Z Como a 0, então existe máximo. Portanto, o retângulo tem lados 3 e 4. 271. Localizemos o triângulo equilátero con- y forme a figura ao lado. A altura, estan- (0, do sobre o eixo y, cortando o lado da base no seu ponto médio. Por Pitágoras, - = h = 2V3. Determinemos a reta que passa pelos pontos (0, e (2, 0): y y b = X X = = (2,0) Metade da área do retângulo: Z = xy Z = Z = - Como a = negativo, existe máximo. = Portanto, base = 2x = 2 e altura y = 272. Determinemos a reta que passa pelos y pontos (3, 0) e (0, 4). (0, 4) 4 = b a y X Metade da área: Z = xy X (3,0) 30</p><p>Como existe máximo. y = 2 Portanto, base = 2x = 3 e altura y = 2. 273. Q(x, - E parábola y = x2 - 6; então, -6 = x2 - 6 X = 0. Distância horizontal = 4 - 0 = 4 274. y 2y + X = 400 y X = xy + y Como existe máximo. Então: y = 100. Portanto, 276. 12m 16 12 = 16 277. 10 = 0 A = m = ou m = 285. f(2) = 4a + 2b + = 0 f(3) = 9a + 3b + C = f(4) = 16a + 4b + = 0 Resolvendo esse sistema, vem a = 2. 31</p><p>286. f(x) = Vf(x) (1, 1) e zeros: X = 0 ou X = 2 y Como g(x) deve ser simétrico a f(x) em relação à reta y = 3, então temos: f(x) g(x) ponto (0, 0) ponto (0, 6) (0,6) vértice (1, 1) vértice (1, 5) (2,6) ponto (2, 0) ponto (2, 6) (1, 5) Fazendo g(x) = ax2 + bx + c, deve- y = 3 mos ter: g(0) = (1,1) g(1) = (0,0) (2, g(2) = 4a + 2b + = X e, resolvendo o sistema, vem a = 1, b = -2, 6. 287. Notemos inicialmente que X1 e X2 são abscissas dos pontos de interseção das cur- vas g(x) = = portanto, são as raízes da equação - X1 = 1. Temos: g(x) = + X = a = 0 h(x) = d = e = - = 296. x2 3x X 1 2 B X S = 1 3 X 1 2 32</p><p>297. + 3x A X 0 3 2 B X 1 3 AUB X 3 AUB X 0 3 C X 2 X o 2 3 298. p(a) < 0 - Calculando q(a) para a = = 3, vem: q(2) = 20 e q(3) = 30. Então, para 2 < a então 20 < 30, pois nesse intervalo q(x) é crescente. 301. e) x3 - + - X 2 X (x - 0 2 + + X 1 + + (x - 2)(x2 X -1 1 2 = f) 2x3 - + 2x2(x - <0 X 3 X (x - 3 + X + (x - 3)(2x2 + 1) X 3 S = 33</p><p>303. + + x2 21x + 20 X 1 20 + + X X 3 + + (x2 - 21x + 20)(3 - x) X 1 3 20 O maior número inteiro que satisfaz a inequação é 19. 310. = - f( - = -4 f(-1) = + X + + x + 2 X + + X x + 2 3 2x2 1 I 315. b) x2 + 1 5x 2x2 II I II 2x2 x2 + + 2 -3 1 2 I X 2 II X -3 1 2 I II X -3 -2 1 2 2 S = - 34</p><p>f) 4x2 - 5x + 4 < 3x2 - 6x + 6 < x2 + 3x - 4 4x2 5x + 4 < 3x2 - 6x + 6 I 3x2 6x + 6 < + 3x - 4 II I x2 + X <0 II 2x2 9x + 10 < 0 + + 2 1 2 5 2 I X - 2 1 II X 2 5 2 I II X 1 2 5 2 S = 316. c) 1 4x2 + 2x + > 8x 0 - I II I 1 + 2x - -4x2 + 8x - <0 + + X X - -1 1 3 2 2 2 I X II X I X 1 3 2 2 2 S = X E IR I 1/2 ou X 35</p><p>d) { I II I - II 4x2 + + + X X 1 1 3 2 2 2 I X 1 2 II X 1 3 2 2 I II X -1 1 3 2 2 S = X 324. x(x2 (x2 + 4 - + 1) - + 4)(x m) (x2 + 4)(x2 + 1) (x2 + Como x2 + 4 0, ex2 + 1 IR, então: - 3x - 4m > 0, e daí e (II) <0 9 - 0 ou m (I) m 0 (II) m (I) n (II) m -3 3 4 4 Então, m < 325. x2 + 2x + (p - 10) > IR - 4(p - 10) <0 44 - 4p < 0 p>11. 36</p><p>a Como x2 > 1 > 0, EIR, então devemos ter: 2ax2 X E IR, e - 2a (I) e A (II) A 1 - 4 a (I) a (II) a a 0 4 4 Portanto, a 333. Para ter uma raiz positiva e outra negativa, 0 (zero) deve estar entre elas, ou seja, X1 isto é, devemos ter: (m - 2) f(0) < daí (m - 2)(m + 2) < 0 334. Como as raízes devem ter sinais contrários, então devemos ter: seja, -b -k Como De (I) e (II) vem 5; então, o menor valor inteiro é k = 1. I 338. 2 => II em três condições: 1 m f(0) > 0 = = m < ou m 1) - 4m(m + > 3 m < 37</p><p>1 m 5 0 2 m 1 3 3 m - 1 2 3 m - -1 0 1 3 Então: I m < -5 ou 0 < m < II X1 < X2 < 2 ocorre em três condições: 1 m . f(2) > 0 m(m + 1) > 0 m < -1 ou m 1>0 2 A > 0 (idem item I ): m < 3 S 2(m + 1) m + 1 3 < 2 < 2 < 0 m < 0 ou m > 1 2 2m m 1 m 2 m 1 3 3 m 1 1 2 3 m - 1 1 1 3 Então: II m < - 1. De I e II vem: , I m -5 0 1 3 II m I II m -5 1 1 3 Resposta: m < - 5. 38</p><p>339. - 2(m + 1)x + m + 0 I 2 < 2 II I X1 a m (m + 5) < -5<m<0 II 1) f(2) m[4m - 4(m + 1) + m + m(m + 1) m < -1 ou m > 0 4(m + 1)2 + 0 m 2m 0 ou m > 1 m 1 m 1 2 m 1 3 3 m 1 1 2 3 m - 0 1 1 3 Considerando I e II , temos: I m - II m 1 I II m Então: - -1. 344. (m + 1)x2 + 2(m + 1)x + m - 1 = 0 (raízes negativas) 1) m + 0 - 1 2) 4(m + - 4(m + 1)(m - > - 1 39</p><p>m 1 ou Portanto, temos: 1 m 2 m 3 m -1 1 m 1 Então: 346. (m - + (3m + (m + 1) = 0 (sinais contrários) 1) m Portanto: 350. 2x2 - 5 = 0 1) raízes de sinais contrários 2) raiz negativa em valor absoluto menor que a raiz positiva = S De 1) e 2), vem: k < Z, k = menor valor. 351. A = 2, - 1, 0, 1, 2, a) m E A, m e n coeficientes de 0; considerando como o conjunto de pares ordenados que representam o par (m, n), teremos 49 possíveis soluções. b) As equações que têm raízes reais e distintas são aquelas que verificam a con- dição A > 0, ou seja, > n. Essa condição é satisfeita pelos pares (m, n) seguintes: ( - 3, -3), (-3, -2), (-3, 1), (-3,0), (-3, 1), (-3, 2), 3, 3) ( 2, -3), (-2, -2), (-2, -1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-2, 3) (- 1,0) (1, 0) (2, -3), (2, -2), (2, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3) (3, -3), (3, -2), (3, - 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3,3) num total de 30 pares. 40</p><p>c) As equações que têm raízes reais, distintas e positivas verificam também as condições P = n > = 2m > 0, ou seja, n > < 0. Essas con- dições são satisfeitas por 6 dos pares do item b. Capítulo VIII - Função modular y 368. g) f(x) = - + 3 x2 - 4x + 3, se X > 0 I 3 I f(x) = ou x2 + 4x + 3, se X < 0 II X -3 1 1 3 2 h) f(x) = Consideremosi inicialmente a função (sem o módulo): x2 2x - 3, se X > 0 I = - ou 2x - II g(x) II I f(x) X -3 -1 1 3 4 -3 3 -4 Como a função f(x) = -3 1 3 então na região entre -3 e 3 tem sua imagem simétrica em relação ao eixo X. 41</p><p>1, X 372. f(x) = = y 10 X 1 373. f(x) = y 1 X X 1 1) X X, se 375. a) - = ou e = + X 1 X 1 - X 1 X - X 1 -1 f(x) X 1 f(x) = 1, se - 1 f(x) 1 1 X 1 42</p><p>382. a) - = ou - = f(x) = g(x) = k tem solução única quando o gráfico de f intercepta a reta y = k em um único ponto e isso só ocorre para k > 1. 384. d) 12x2 + 15x - 3 - 12x2 + 15x - 31 = x2 + 2x 3 = X = 0 (rejeitada) 2x2 + 15x - 3 = x2 + 2x - 3 = ou X 13 ou 2x2 15x - 2x + 3 ou X = -6 S = e) 13x 21 = 3x - 3x 13x 21 = 3x - 2 3x - - ou 3x = -3x + 2 S = f) 14 - 3xl = 3x - 4 3x - = 4 3x 3x 4 - = - 14 - 3xl = 3x - 4 ou 4 - 3x = - + 4, IR S = 43</p><p>387. a) = ou -1 = - X X X 1 X 0 = Portanto, a equação dada fica: = X = - (rejeitado porque deve ser menor - 2x 2x + 1, - 1 2x + 1 = b) 1 1 X -1 1 X 0 2 0 X X 0 1 = X 44</p><p>2x I 389. e) ou II 2x I 3x II 4 Fazendo a reunião de I e vem: S = E IR g) > 1 ou - = ou > 3) ou -3 = 390. = Todos os números inteiros positivos menores que 30 satisfazem a condição. 392. 4 A X -2 6 B X 5 9 X 5 6 9 O intervalo ]5, 6[ tem comprimento igual a 1. - (x 2 e - 45</p><p>X 2 4 X 7 X 4 7 395. - 3 1 = - 2 Considerando que 2 deve estar contido em o maior valor possível para x2 - I 400. - = x2 II I 4 II -1<x<4 I n II -4 -1 1 4 X X = ou - ou -1 x + 1 X X 2x 2 - X -1 1 Então: - = 46</p><p>= - - = - 4x x2 - 2x - ou X > = S = US3 = Capítulo IX - Outras funções elementares 413. y X X 2 1 2 21 2 1 3 I 3 1 II III 4 X 2 2 3 4 Área do = As bases B e b são os segmentos contidos nas retas X = = 2, x = = 4, entre o eixo Ox e a curva altura h são os intervalos no eixo Ox entre essas retas. = = 12 12 47</p>