Lista de Exercicios_ Estatistica

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<p>Exercícios Propostos - Controle Estatístico de Qualidade</p><p>1 - O gêiser Old Faithful foi monitorado por 10 anos consecutivos, utilizando-se gráficos</p><p>de controle 3-sigma. Em cada ano, registram-se cinco intervalos (em minutos) entre</p><p>erupções, com os resultados constando na tabela a seguir.</p><p>Ano Intervalo (min)</p><p>1 65 72 60 69 65</p><p>2 74 65 60 69 68</p><p>3 68 66 69 64 70</p><p>4 73 65 71 77 63</p><p>5 79 67 64 61 81</p><p>6 74 76 65 69 76</p><p>7 70 73 74 77 65</p><p>8 71 68 70 79 75</p><p>9 62 63 61 48 59</p><p>10 60 74 77 57 52</p><p>a) Construa um gráfico R e determine se a variação do processo está sob controle.</p><p>Como uma variação fora de controle afetaria os turistas?</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 14, 0; LSC = 29, 61; Variabilidade sob controle.</p><p>b) Construa um gráfico X para o intervalo médio entre erupções usando a am-</p><p>plitude amostral na estimação do desvio padrão de X e determine se a média</p><p>do processo está sob controle. Como uma média fora de controle afetaria os</p><p>turistas?</p><p>Resp.: LIC = 59, 9; LC = 68, 0; LSC = 76, 1; Processo fora de controle</p><p>(amostra 9).</p><p>c) Construa um gráfico S e verifique se o desvio padrão do processo está sob</p><p>controle.</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 5, 78; LSC = 12, 07; Variabilidade sob controle.</p><p>d) Identifique os limites de controle para o gráfico X para o intervalo médio entre</p><p>erupções usando o desvio padrão amostral na estimação do desvio padrão de</p><p>X e determine se a média do processo está sob controle. Compare os limites</p><p>de controle obtidos aqui com os obtidos no item (b).</p><p>Resp.: LIC = 59, 9; LC = 68, 0; LSC = 76, 1; Processo fora de controle</p><p>(amostra 9).</p><p>2 - Um gerente da linha de produção utiliza limites de controle de dois desvios-padrão,</p><p>contrariando a sugestão do professor dele que sempre insiste em limites a três</p><p>desvios-padrão da média. O gerente fica muito frustrado porque muitas vezes não</p><p>encontra causas especiais correspondentes aos pontos fora dos limites de controle.</p><p>O que está acontecendo?</p><p>3 - Gráficos de controle x e S devem ser mantidos para as leituras de torque do ro-</p><p>lamento usado na montagem do atuador de flap da asa. Amostras de tamanho</p><p>n = 10 devem ser usadas e sabemos que quando o processo está sob controle, o</p><p>torque do rolamento tem distribuição normal com média µ = 80 polegadas-libra e</p><p>desvio padrão σ = 10 polegadas-libra. Ache a linha central e os limites de controle</p><p>3-sigma para esses gráficos de controle.</p><p>Resp.: Gráfico X: LIC = 70, 513; LC = 80; LSC = 89, 49; Gráfico S: LIC = 2, 76;</p><p>LC = 9, 727; LSC = 16, 69.</p><p>4 - Amostras de 8 itens são retiradas de um processo de manufatura em intervalos re-</p><p>gulares. Uma característica da qualidade é medida e valores de x e R são calculados</p><p>para cada amostra. Depois de 50 amostras, obtemos</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>xi = 200 e</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>Ri = 250.</p><p>Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída. Calcule</p><p>os limites de controle 3σ para os gráficos de controle x e R.</p><p>Resp.: Gráfico X: LIC = 2, 135; LC = 4; LSC = 5, 865; Gráfico R: LIC = 0, 68;</p><p>LC = 5; LSC = 9, 32.</p><p>5 - Um gráfico x com limites 3σ tem os seguintes parâmetros: LSC = 104, LC = 100,</p><p>LIC = 96 e n = 5. Suponha que a característica da qualidade do processo sendo</p><p>controlada seja normalmente distribuída com média verdadeira 98 e desvio padrão</p><p>8. Qual é a probabilidade de que o gráfico de controle exiba falta de controle</p><p>exatamente no terceiro ponto plotado? Resp.: 0,1481.</p><p>6 - Um gráfico x para uma característica normalmente distribuída deve ser construído</p><p>com valores de referência µ = 100, σ = 8 e n = 4. Determine:</p><p>a) Os limites de controle dois-sigma.</p><p>Resp.: LIC = 92; LC = 100; LSC = 108.</p><p>b) Os limites de controle tais que a probabilidade de um ponto estar fora do</p><p>intervalo [LIC; LSC] seja 0,005.</p><p>Resp.: LIC = 88, 76; LC = 100; LSC = 111, 24.</p><p>7 - Um gráfico de controle para a fração não-conforme indica que a média corrente do</p><p>processo é 0,03. O tamanho da amostra é constante, de 200 unidades. Encontre os</p><p>limites 3-sigma para este gráfico de controle.</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 0, 03; LSC = 0, 0662.</p><p>8 - Uma companhia compra pequenas braçadeiras de metal em contêineres de 5000</p><p>cada. Dez contêineres chegaram para ser descarregados, e 250 braçadeiras foram</p><p>selecionadas de cada um. As frações não-conformes em cada amostra são: 0; 0;</p><p>0; 0,004; 0,008; 0,020; 0,004; 0; 0 e 0,008. Os dados deste carregamento indicam</p><p>controle estatístico? Use gráfico 3σ.</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 0, 0044; LSC = 0, 0170.</p><p>9 - Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com linha central 0,10, LSC =</p><p>0, 19 e LIC = 0, 01 é usado para controlar um processo. Se são usados limites</p><p>3-sigma, ache o tamanho comum da amostra de cada subgrupo para o gráfico de</p><p>controle.</p><p>Resp.: n = 100.</p><p>10 - No planejamento de um gráfico de controle para a fração não-conforme com linha</p><p>central em p = 0, 20 e limites de controle 3-sigma, qual é o tamanho da amostra</p><p>exigido para resultar em um limite inferior de controle positivo?</p><p>Resp.: n ≥ 37.</p><p>11 - Os dados que seguem dão o número de montagens não-conformes em amostras de</p><p>tamanho 100. Construa um gráfico de controle 3σ para a fração não-conforme desses</p><p>dados. Se algum ponto for plotado fora de controle, suponha que causas atribuíveis</p><p>possam ser encontradas e determine os limites de controle revisados.</p><p>Amostra Di Amostra Di</p><p>1 7 11 6</p><p>2 4 12 15</p><p>3 1 13 0</p><p>4 3 14 9</p><p>5 6 15 5</p><p>6 8 16 1</p><p>7 10 17 4</p><p>8 5 18 5</p><p>9 2 19 7</p><p>10 7 20 12</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 0, 0585; LSC = 0, 1289; Retirando a 12a amostra: LIC = 0;</p><p>LC = 0, 0537; LSC = 0, 1213.</p><p>12 - Os dados que seguem apresentam os resultados da inspeção de todas as unidades</p><p>de computadores pessoais produzidas durante os últimos 10 dias. Utilizando gráfico</p><p>3-sigma, identifique se processo parece estar sob controle.</p><p>Dia Unidades inspecionadas Di p̂i</p><p>1 80 4 0,050</p><p>2 110 7 0,064</p><p>3 90 5 0,056</p><p>4 75 8 0,107</p><p>5 130 6 0,038</p><p>6 120 6 0,050</p><p>7 70 4 0,057</p><p>8 125 5 0,040</p><p>9 105 8 0,076</p><p>10 95 7 0,074</p><p>Resp.: Sim.</p><p>13 - Um gráfico de controle para não-conformidades por unidade de inspeção usa limites</p><p>de probabilidade de 0,95. A linha central está em λ = 1, 4. Determine os limites de</p><p>controle se o tamanho da amostra é 10.</p><p>Resp.: LIC = 0, 67; LC = 1, 4; LSC = 2, 13.</p><p>14 - A produção de computadores pessoais pode ser monitorada através de cartas de con-</p><p>trole para atributos. O tamanho da amostra selecionada é de cinco computadores.</p><p>Iremos considerar o número de não-conformidades por tamanho amostral, usando</p><p>gráficos 3-sigma.</p><p>Amostra yi ui Amostra yi ui</p><p>1 10 2,0 11 9 1,8</p><p>2 12 2,4 12 5 1,0</p><p>3 8 1,6 13 7 1,4</p><p>4 14 2,8 14 11 2,2</p><p>5 10 2,0 15 12 2,4</p><p>6 16 3,2 16 6 1,2</p><p>7 11 2,2 17 8 1,6</p><p>8 7 1,4 18 10 2,0</p><p>9 10 2,0 19 7 1,4</p><p>10 15 3,0 20 5 1,0</p><p>Total 113 22,6 20 80 16</p><p>a) Com base nos dados, verifique se o processo está sob controle.</p><p>Resp.: LIC = 0, 066; LC = 1, 93; LSC = 3, 794 (processo sob controle).</p><p>b) Construa o gráfico de controle para o numero de não-conformidades por unidade</p><p>de inspeção, supondo que o valor de referência é λ = 2, 5.</p><p>Resp.: LIC = 0, 38; LC = 2, 5; LSC = 4, 62.</p><p>15 - Um fabricante de automóveis deseja controlar o número de não-conformidades em</p><p>uma área de submontagem que produz transmissões manuais. A unidade de inspeção</p><p>é definida como quatro transmissões, e os dados para 16 amostras (cada uma de</p><p>tamanho 4) são mostrados aqui.</p><p>Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16</p><p>ci 1 3 2 1 0 2 1 5 2 1 0 2 1 1 2 3</p><p>a) Estabeleça um gráfico de controle 3-sigma para não-conformidades por unidade.</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 1, 6875; LSC = 5, 5846.</p><p>b) Esses dados provêm de um processo sob controle? Se não, suponha que causas</p><p>atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle, e</p><p>calcule os novos limites de controle revisados.</p><p>Resp.: Processo sob controle.</p><p>16 - Ache os limites 3-sigma para</p><p>a) Um gráfico c com média do processo igual a 4 não-conformidades.</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 4; LSC = 10.</p><p>b) Um gráfico u, com c = 4 e n = 4.</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 1; LSC = 2, 5.</p><p>17 - Deve-se estabelecer um gráfico de controle para não-conformidades junto com a</p><p>inspeção final de um rádio. A unidade de inspeção deve ser um grupo de dez rádios.</p><p>O número médio de não-conformidades tem sido, no passado,</p><p>de 0,5 por rádio. Ache</p><p>os limites de controle 3-sigma para um gráfico c com base nesse tamanho de unidade</p><p>de inspeção.</p><p>Resp.: LIC = 0; LC = 5; LSC = 11, 71.</p><p>18 - O número de não-conformidades de acabamento observado na inspeção final na</p><p>montagem de unidades de disco para computador foi tabulado como se mostra aqui.</p><p>Avalie se o processo parece estar sob controle, usando gráfico 3-sigma.</p><p>Dia ni yi</p><p>1 2 10</p><p>2 4 30</p><p>3 2 18</p><p>4 1 10</p><p>5 3 20</p><p>6 4 24</p><p>7 2 15</p><p>8 4 26</p><p>9 3 21</p><p>10 1 8</p><p>Resp.: Sim.</p><p>19 - Estamos usando um gráfico de controle X para monitorar o diâmetro médio dos</p><p>anéis de pistão de um motor, que sob controle é igual a 74mm (σ = 0, 01mm).</p><p>Sabe-se que o diâmetro do anel é normalmente distribuído e que o tamanho da</p><p>amostra escolhido para esse monitoramento é igual a 5.</p><p>a) Ache os limites de controle 2-sigma para esse gráfico.</p><p>Resp.: LIC = 73, 9911; LC = 74; LSC = 74, 0089.</p><p>b) Se as especificações para o diâmetro desses anéis de pistão são 74± 0, 045mm,</p><p>calcule e interprete os índices Cp e Cpk .</p><p>Resp.: Cp = 1, 5: Processo operando em verde; Cpk = 1, 5: Processo centrado</p><p>na média.</p><p>c) Qual a porcentagem da faixa de especificações que está sendo usada nesse</p><p>processo?</p><p>Resp.: P = 66.7%.</p><p>20 - Um gráfico X é usado para controlar a média de uma característica da qualidade</p><p>normalmente distribuída. Sabe-se que σ = 6, 0 e n = 4. Os limites de controle</p><p>superior e inferior são, respectivamente, LSC = 209 e LIC = 191.</p><p>a) Se as especificações para essa variável são 201±20, o que se pode afirmar sobre</p><p>a capacidade desse processo? Ele está centrado na média?</p><p>Resp.: Cp = 1, 11 (Processo operando em amarelo); Cpk = 1, 056 (Processo não</p><p>centrado na média).</p><p>b) Qual a porcentagem da faixa de especificações que está sendo usada nesse</p><p>processo?</p><p>Resp.: P = 90%.</p><p>c) Qual a probabilidade de um alarme falso nesse processo?</p><p>Resp.: 0,0027 (Trata-se de um gráfico 3σ.)</p><p>d) Se a média do processo se desloca para 188, ache a probabilidade de que esse</p><p>deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente.</p><p>Resp.: 0,84134.</p><p>21 - Gráficos de controle x e R devem ser mantidos para controlar a força de resistência</p><p>de uma peça metálica. Suponha que a força de resistência seja normalmente dis-</p><p>tribuída. Trinta amostras de tamanho 6 são coletadas durante um período com os</p><p>seguintes resultados:</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>xi = 6000 e</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>Ri = 150.</p><p>a) Calcule os limites 3-sigma para os gráficos x e R.</p><p>Resp.: Gráfico x: LIC = 197, 585; LC = 200; LSC = 202, 415. Gráfico R:</p><p>LIC = 0; LC = 5; LSC = 10, 02.</p><p>b) Que valor pode ser usado como uma estimativa para σX?</p><p>Resp.: σ̂X = 1, 9732.</p><p>c) Ambos os gráficos exibem controle. As especificações para a força de resistência</p><p>são 200± 5. Quais são as suas conclusões sobre a capacidade do processo?</p><p>Resp.: Ĉp = 0, 8447 (Processo operando em vermelho).</p><p>d) Para os gráficos x e R acima, ache o risco β quando a verdadeira média do</p><p>processo é 199.</p><p>Resp.: 0,96079.</p><p>22 - Gráficos de controle x e R com n = 4 são usados para monitorar uma característica</p><p>da qualidade normalmente distribuída. Os parâmetros dos gráficos de controle são:</p><p>Gráfico x Gráfico R</p><p>LSC = 815 LSC = 46, 98</p><p>LC = 800 LC = 20, 59</p><p>LIC = 785 LIC = 0</p><p>Ambos os gráficos exibem controle.</p><p>a) Que valor pode ser usado como uma estimativa para σX?</p><p>Resp.: σ̂X = 10.</p><p>b) Ambos os gráficos exibem controle. As especificações para a força de resistência</p><p>são 800± 37, 5. Esse processo é capaz?</p><p>Resp.: Ĉp = 1, 25 (Processo operando em amarelo).</p><p>c) Calcule a porcentagem da faixa de especificações que está sendo usada nesse</p><p>sistema.</p><p>Resp.: P̂ = 80%.</p><p>d) Qual é a probabilidade de um deslocamento na média do processo para 790 ser</p><p>detectado apenas na terceira amostra subsequente à mudança?</p><p>Resp.: 0,11231.</p><p>23 - Gráficos de controle x e S devem ser mantidos para controlar determinada variável</p><p>normalmente distribuída. Cinquenta amostras de tamanho 6 são coletadas durante</p><p>um período com os seguintes resultados:</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>xi = 35300 e</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>Si = 142, 725.</p><p>a) Calcule os limites 3-sigma para os gráficos x e S.</p><p>Resp.: Gráfico x: LIC = 702, 33; LC = 706; LSC = 709, 67. Gráfico S:</p><p>LIC = 0, 0856; LC = 2, 8545; LSC = 5, 6234.</p><p>b) Estime σX .</p><p>Resp.: σ̂X = 3.</p><p>c) Dado que os gráficos (X e S) indicam que o processo está sob controle e sabendo</p><p>que as especificações para a variável em estudo são 700 ± 8, estime os índices</p><p>Cp e Cpk , interpretando os resultados.</p><p>Resp.: Ĉp = 0, 89 (Processo operando em vermelho); Ĉpk = 0, 222 (Processo</p><p>não centrado na média).</p><p>d) Qual é a probabilidade de um deslocamento na média do processo para 710 ser</p><p>detectado já na primeira amostra subsequente à mudança?</p><p>Resp.: 0,39358.</p><p>24 - Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com n = 400, tem os seguintes</p><p>parâmetros:</p><p>LIC = 0, 0191, LC = 0, 0500 e LSC = 0, 0809.</p><p>a) Ache a largura dos limites de controle em unidades de desvio padrão.</p><p>Resp.: L = 2, 8356</p><p>b) Qual é a probabilidade de uma mudança para 0,03 na fração não-conforme do</p><p>processo ser detectada na primeira amostra subsequente?</p><p>Resp.: 0,10027.</p><p>25 - Um gráfico de controle para a fração não-conforme deve ser estabelecido, com linha</p><p>central de 0,01 e limites de controle 2-sigma.</p><p>a) Qual deve ser o tamanho da amostra, se o limite inferior de controle deve ser</p><p>não-nulo?</p><p>Resp.: n ≥ 397.</p><p>b) Qual a probabilidade de que uma mudança para 0,04 seja detectada na segunda</p><p>amostra, considerando o tamanho de amostra mínimo obtido no item anterior?</p><p>Resp.: 0,0207.</p><p>26 - Um processo está sendo monitorado por um gráfico de controle para a fração não-</p><p>conforme. A média apresentada no processo foi de 0,07. Os limites de controle</p><p>3-sigma são usados, e o procedimento exige que se tomem amostras diárias de 400</p><p>itens.</p><p>a) Calcule os limites de controle superior e inferior.</p><p>Resp.: LIC = 0, 0317, LC = 0, 07 e LSC = 0, 1083.</p><p>b) Se a média do processo mudasse repentinamente para 0,10, qual a probabilidade</p><p>de que a mudança fosse detectada na primeira amostra subsequente?</p><p>Resp.: 0,29116.</p><p>c) Qual é a probabilidade de que a mudança do item (b) fosse detectada na</p><p>primeira ou segunda amostra tomada após a mudança?</p><p>Resp.: 0,49755.</p><p>27 - Deve-se estabelecer um gráfico de controle para um processo que produz geladeiras.</p><p>A unidade de inspeção é uma geladeira, e vai ser usado um gráfico comum para não-</p><p>conformidades. Como dados preliminares, foram contadas 16 não-conformidades na</p><p>inspeção de 30 geladeiras.</p><p>a) Quais são os limites de controle 3-sigma?</p><p>Resp.: LIC = 0, LC = 0, 533 e LSC = 2, 7242.</p><p>b) Qual é o risco α para esse gráfico de controle?</p><p>Resp.: α = 0, 017.</p><p>c) Qual é o risco β, se o número médio de defeitos é, realmente, dois (i. é,</p><p>c = 2, 0)?</p><p>Resp.: β = 0, 6767.</p>