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<p>Eletromagnetismo e os Circuitos</p><p>Elétricos</p><p>Eletrônica</p><p>Analógica</p><p>Diretor Executivo</p><p>DAVID LIRA STEPHEN BARROS</p><p>Gerente Editorial</p><p>CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA</p><p>Projeto Gráfico</p><p>TIAGO DA ROCHA</p><p>Autoria</p><p>LUÍZ GUILHERME REZENDE RODRIGUES</p><p>AUTORIA</p><p>Luíz Guilherme Rezende Rodrigues</p><p>Olá! Sou formado em Física e tenho experiência profissional de</p><p>mais de 10 anos nas áreas de Física de Campos, Cosmologia e Gravitação</p><p>e Eletromagnetismo. Passei por diferentes empresas, universidades</p><p>e faculdades de todo o país. Sou apaixonado pelo que faço e adoro</p><p>transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas</p><p>profissões, por isso fui convidado pela Editora Telesapiens a integrar seu</p><p>elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você</p><p>nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!</p><p>ICONOGRÁFICOS</p><p>Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez</p><p>que:</p><p>OBJETIVO:</p><p>para o início do</p><p>desenvolvimento de</p><p>uma nova compe-</p><p>tência;</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>houver necessidade</p><p>de se apresentar um</p><p>novo conceito;</p><p>NOTA:</p><p>quando forem</p><p>necessários obser-</p><p>vações ou comple-</p><p>mentações para o</p><p>seu conhecimento;</p><p>IMPORTANTE:</p><p>as observações</p><p>escritas tiveram que</p><p>ser priorizadas para</p><p>você;</p><p>EXPLICANDO</p><p>MELHOR:</p><p>algo precisa ser</p><p>melhor explicado ou</p><p>detalhado;</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>curiosidades e</p><p>indagações lúdicas</p><p>sobre o tema em</p><p>estudo, se forem</p><p>necessárias;</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>textos, referências</p><p>bibliográficas e links</p><p>para aprofundamen-</p><p>to do seu conheci-</p><p>mento;</p><p>REFLITA:</p><p>se houver a neces-</p><p>sidade de chamar a</p><p>atenção sobre algo</p><p>a ser refletido ou dis-</p><p>cutido sobre;</p><p>ACESSE:</p><p>se for preciso aces-</p><p>sar um ou mais sites</p><p>para fazer download,</p><p>assistir vídeos, ler</p><p>textos, ouvir podcast;</p><p>RESUMINDO:</p><p>quando for preciso</p><p>se fazer um resumo</p><p>acumulativo das últi-</p><p>mas abordagens;</p><p>ATIVIDADES:</p><p>quando alguma</p><p>atividade de au-</p><p>toaprendizagem for</p><p>aplicada;</p><p>TESTANDO:</p><p>quando o desen-</p><p>volvimento de uma</p><p>competência for</p><p>concluído e questões</p><p>forem explicadas;</p><p>SUMÁRIO</p><p>A Lei de Faraday e as Equações Básicas</p><p>do Eletromagnetismo ................................................................................ 12</p><p>Lei de Faraday ................................................................................................................................... 12</p><p>Correntes Induzidas ................................................................................................... 13</p><p>As Equações de Maxwell ......................................................................................................... 20</p><p>As Equações do Eletromagnetismo .............................................................. 20</p><p>Ondas Eletromagnéticas ........................................................................23</p><p>A Equação de Onda para o Campo Elétrico e para o Campo</p><p>Magnético .............................................................................................................................................23</p><p>Ondas e Movimentos Oscilatórios ...................................................................25</p><p>Ondas Senoidais ...........................................................................................................28</p><p>A Notação de Euller ................................................................................................... 31</p><p>Ondas Planas Monocromáticas .........................................................................32</p><p>Análise de Circuitos Elétricos e seus Componentes .................... 37</p><p>Introdução aos Circuitos Elétricos ......................................................................................37</p><p>Resistores .......................................................................................................................... 38</p><p>Capacitores ...................................................................................................................... 39</p><p>Geradores e MotoreGeradores e Motores são Dispositivos</p><p>eletrônicos de Extrema Importância no Contexto de Circuitos</p><p>Elétricos. Para uma Análise mais Precisa, é Necessário que</p><p>Tenhamos o Conhecimento da Última Equação de Maxwell,</p><p>mais Conhecida como Lei da Indução de Faraday. ........................... 40</p><p>Indutores ............................................................................................................................. 41</p><p>Leis de Kirchhoff e Análise de Circuitos Multimalhas ...........................................42</p><p>Sistemas Elétricos e as Correntes em Circuitos RC, RL e RLC . 47</p><p>Os Princípios da Corrente Alternada .................................................................................47</p><p>Análise de Circuitos de Corrente Alternada .............................................................. 48</p><p>Circuito RC ........................................................................................................................ 48</p><p>Circuito RL ......................................................................................................................... 51</p><p>Circuitos RLC ...................................................................................................................53</p><p>Materiais Semicondutores e a Eletrônica Analógica ...................60</p><p>A Estrutura Atômica dos Semicondutores ...................................................................60</p><p>9</p><p>UNIDADE</p><p>03</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>10</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Na presente unidade, teremos como objetivo principal o estudo das</p><p>equações básicas do Eletromagnetismo. Mais especificamente, iremos</p><p>introduzir e discutir a última das quatro equações denominadas como</p><p>equações de Maxwell. Após essa introdução, iremos organizar todas as</p><p>ideias que desenvolvemos ao longo de todo o conteúdo para sintetizar as</p><p>quatro equações que descrevem todos os fenômenos eletromagnéticos.</p><p>A partir daí, combinaremos essas equações e obteremos a equação</p><p>da onda eletromagnética. Na verdade, iremos obter duas equações de</p><p>onda, sendo a primeira para o campo elétrico e a segunda para o campo</p><p>magnético. Por meio dessas equações, iremos explorar algumas das</p><p>propriedades e das características relacionadas às ondas eletromagnéticas</p><p>para obtermos informações sobre como os campos estão conectados.</p><p>Finalmente, iremos tratar todas as informações obtidas aplicando-as</p><p>aos casos de circuitos elétricos. Assim conseguiremos, de fato, realizar</p><p>análises extremamente precisas sobre quaisquer circuitos elétricos.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>11</p><p>OBJETIVOS</p><p>Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 3 – Eletromagnetismo e os</p><p>circuitos elétricos. Nosso objetivo é auxiliar você no desenvolvimento</p><p>das seguintes competências profissionais até o término desta etapa de</p><p>estudos:</p><p>1. Entender a Lei de Faraday e aplicar as equações básicas do</p><p>eletromagnetismo.</p><p>2. Definir o conceito de ondas eletromagnéticas e entender suas</p><p>propriedades e características.</p><p>3. Aplicar os componentes de circuitos elétricos entender suas</p><p>diferentes disposições, além de compreender as leis que permitem</p><p>a análise de circuitos elétricos.</p><p>4. Avaliar o comportamento da corrente em circuitos elétricos RC,</p><p>RL e RLC e analisar as tensões e correntes em sistemas elétricos.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>12</p><p>A Lei de Faraday e as Equações Básicas</p><p>do Eletromagnetismo</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de entender</p><p>como funciona uma das leis mais importantes do</p><p>eletromagnetismo: A Lei de Faraday. Além disso você será</p><p>capaz de sintetizar toda teoria eletromagnética em apenas</p><p>quatro equações denominadas equações de Maxwell.</p><p>E então? Motivado para desenvolver esta competência?</p><p>Então vamos lá. Avante!</p><p>Lei de Faraday</p><p>Sabemos que uma das causas do grande sucesso da teoria</p><p>eletromagnética está no fato dela ser uma teoria extremamente aplicada,</p><p>principalmente no contexto dos circuitos elétricos.</p><p>É claro e bem notório que, a cada dia que passa, estamos vivendo</p><p>grandes avanços tecnológicos, o que inclui todas as áreas derivadas das</p><p>Engenharias, da</p><p>Física, da Química, da Medicina e muitas outras, que são</p><p>responsáveis pelo aumento gradativo da nossa qualidade de vida e do</p><p>desenvolvimento da sociedade moderna.</p><p>Sob essa perspectiva, criaremos muitas discussões interessantes</p><p>para fecharmos a teoria eletromagnética básica para que possamos</p><p>avançar com a construção da teoria da Eletrônica Analógica. Dessa forma,</p><p>iremos aprofundar nosso estudo na última das equações envolvendo a</p><p>teoria eletromagnética: a Lei de Faraday. Em seguida, iremos sintetizar, em</p><p>apenas quatro equações, tudo que discutimos até aqui e entenderemos,</p><p>de fato, o que são os campos elétricos e magnéticos e como suas</p><p>interações são capazes de gerar fenômenos extremamente importantes</p><p>para a natureza e para nossas vidas.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>13</p><p>Correntes Induzidas</p><p>A Lei de Faraday é o que permite o estudo de campos e correntes</p><p>que dependem do tempo. Precisamos relembrar que, em determinados</p><p>meios materiais, os campos magnéticos podem ser gerados por correntes</p><p>ou até mesmo distribuições de correntes apropriadas. Vimos que,</p><p>matematicamente, essas informações são fornecidas pela Lei de Ampère:</p><p>.∇× =H J (1)</p><p>Usando alguns malabarismos matemáticos, conseguimos converter</p><p>a lei diferencial em sua versão integral, dada na forma:</p><p>.=d IH l∮ (2)</p><p>Considerando que I e J não são correntes reais, podemos</p><p>afirmar que as correntes elétricas dão origem a campos magnéticos de</p><p>uma maneira bem específica.</p><p>IMPORTANTE:</p><p>As correntes elétricas independentes do tempo geram</p><p>campos magnéticos independentes do tempo.</p><p>Para produzir correntes elétricas, precisamos colocar as cargas em</p><p>movimento e esse movimento é gerado por uma dada fonte denominada</p><p>fonte eletromotriz. Ela é capaz de produzir uma diferença de potencial em</p><p>seus terminais.</p><p>Devemos nos atentar no fato de que, associado ao potencial,</p><p>teremos um campo elétrico que produzirá uma força elétrica sobre as</p><p>cargas. A força elétrica irá, então, realizar trabalhos sobre as cargas e as</p><p>colocará em movimento. Dessa forma, para haver corrente é necessário</p><p>um campo elétrico.</p><p>A partir dessas informações, concluímos que as correntes elétricas</p><p>geram campos magnéticos e as correntes necessitam de campo elétrico.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>14</p><p>REFLITA:</p><p>Em outras palavras, campos magnéticos podem ser</p><p>gerados por campos elétricos. Essa é a essência da Lei de</p><p>Faraday.</p><p>Repare que a Lei de Ampère, representada nas formas (1) e (2), já</p><p>carrega essas informações.</p><p>É claro que, toda vez que nos deparamos com informações desse</p><p>tipo, devemos nos questionar se o inverso é válido: será que os campos</p><p>elétricos podem ser gerados por campos magnéticos? Isso pode ser</p><p>respondido considerando uma equação análoga a Lei de Ampère para o</p><p>campo elétrico, ou seja:</p><p>0∇× =E . (3)</p><p>Essa equação nos diz que os campos elétricos produzidos por cargas</p><p>são conservativos. Destacamos, mais uma vez, que derivamos os campos</p><p>elétricos por meio da Lei de Coulomb, que também é uma lei conservativa.</p><p>Assim, concluímos que, se for possível a geração do campo elétrico</p><p>ou corrente por meio do campo magnético, a equação apresentada</p><p>anteriormente deve ser modificada.</p><p>Do ponto de vista da Ciência, a melhor maneira de investigar é</p><p>montar experimentos. Assim, vamos considerar uma situação em que</p><p>temos um imã permanente enrolado por um fio e ligado aos terminais</p><p>de um galvanômetro. Pensamos, então, que se uma corrente constante</p><p>gera um campo magnético constante, o campo magnético constante</p><p>deveria gerar uma corrente constante. Essa afirmação manteria a simetria</p><p>da situação física. Para ilustrar as afirmações e o experimento, vamos</p><p>considerar o seguinte esquema ilustrativo (Figura 1).</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>15</p><p>Figura 1 – Circuito composto por um imã e um galvanômetro</p><p>Fonte: Machado (2000).</p><p>O importante resultado desse experimento é que nenhuma corrente</p><p>pode ser detectada. Com tamanha frustração, Faraday percebeu que o</p><p>imã poderia ser substituído por um solenoide. A nova situação pode ser</p><p>representada pelo esquema ilustrativo (Figura 2).</p><p>Figura 2 – Circuito composto por um solenoide mais galvanômetro</p><p>Fonte: Machado (2000).</p><p>Em resumo, para que o campo seja mantido constante, a corrente</p><p>que o produz deve obrigatoriamente ser mantida constante. Esse feito</p><p>é obtido por meio de uma fonte de força eletromotriz constante. O mais</p><p>incrível, com todas as modificações realizadas, é que nada é detectado</p><p>pelo galvanômetro, ou seja, nenhuma corrente é detectada. Sintetizando</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>16</p><p>nossos resultados, podemos dizer que em nenhuma das duas situações foi</p><p>gerada uma corrente constante por meio de campo magnético constante.</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>A grande sacada - e que evidenciou mais uma vez a</p><p>excelência de Faraday - foi a percepção do que acontecia</p><p>ao ligar e desligar a fonte. Nessas situações, o galvanômetro</p><p>indicava a passagem de corrente. Então, durante um</p><p>pequeno intervalo temporal, a corrente que passa pelo</p><p>solenoide não é constante no tempo e gera um campo</p><p>magnético que também varia no tempo. Esse campo atua</p><p>sobre o fio e é gerada uma corrente que é a detectada pelo</p><p>galvanômetro.</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Vale destacar que a Lei de Faraday afirma que campos</p><p>magnéticos são capazes de gerar correntes elétricas e,</p><p>consequentemente, campos elétricos (GRIFFITHS, 2009).</p><p>Para reforçar sua afirmação, Faraday, então, relatou uma série de</p><p>experimentos. Entre eles, três são mais significativos e estão destacados</p><p>a seguir.</p><p>Experimento I: Faraday puxou uma espira de fio para sua direita</p><p>utilizando um campo magnético e verificou que uma corrente passou</p><p>pela espira.</p><p>Experimento II: neste experimento, Faraday moveu o imã para a</p><p>esquerda, manteve a espira parada e também percebeu a passagem de</p><p>corrente pela espira.</p><p>Experimento III: nesse caso, ele manteve os dois fixos, a espira e</p><p>o imã. O que foi variado foi a intensidade do campo. Novamente, uma</p><p>corrente passou pela bobina.</p><p>Essas situações são ilustradas, respectivamente, na figura a seguir.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>17</p><p>Figura 3 – Os experimentos realizados por Faraday</p><p>Fonte: Griffiths (2009).</p><p>No primeiro experimento ocorre uma f.e.m induzida devida ao</p><p>movimento. Isso é matematicamente expresso pela lei do fluxo do campo:</p><p>.= − md</p><p>dt</p><p>φε (4)</p><p>O mesmo ocorre na situação descrita no experimento II.</p><p>Faraday se inspirou, percebendo que um campo magnético que</p><p>varia induz um campo elétrico. A esse campo deu-se o nome de campo</p><p>elétrico induzido, que é o responsável pela geração da f.e.m. Isso foi</p><p>escrito na forma:</p><p>.= = − mdd</p><p>dt</p><p>φε E l∮ (5)</p><p>Ou seja:</p><p>.∂</p><p>= − ∫</p><p>∂</p><p>d d</p><p>t</p><p>BE l S∮ (6)</p><p>Essa é a famosa Lei de Faraday na forma integral do eletromagnetismo.</p><p>O teorema de Stokes transforma a Lei de Faraday integral em sua forma</p><p>diferencial:</p><p>.∂</p><p>∇× = −</p><p>∂t</p><p>BE (7)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>18</p><p>REFLITA:</p><p>A Lei de Faraday é uma lei que se aplica também ao caso</p><p>da Eletrostática, quando 0.∂</p><p>=</p><p>∂t</p><p>B</p><p>No último experimento, o campo magnético é variado por outros</p><p>motivos, porém, de acordo com a Lei de Faraday, um campo elétrico será</p><p>novamente induzido. Isso é a origem da f.e.m. O interessante é que, por</p><p>meio dessas conclusões, podemos estabelecer uma regra geral para</p><p>o fluxo, ou seja, por qualquer motivo, sempre que um fluxo magnético</p><p>variar, uma f.e.m. surgirá na espira. Essa f.e.m. será dada por:</p><p>.= − md</p><p>dt</p><p>φε (8)</p><p>Uma importante observação em relação aos sinais deve ser</p><p>destacada, uma vez que precisamos entender qual o sentido do fluxo da</p><p>corrente induzida. A princípio a regra da mão direita é válida, mas existe</p><p>uma regra útil denominada Lei de Lenz. O único objetivo dessa lei é acertar</p><p>o sentido da corrente induzida.</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>A Lei de Lenz diz que a natureza abomina mudanças no</p><p>fluxo. Em outras palavras, o sentido da corrente induzida</p><p>tem que ser contrário ao sentido da variação do fluxo.</p><p>É importante destacar que a Lei de Faraday vai muito além do que</p><p>o que tratamos neste conteúdo, mas não é nosso</p><p>objetivo detalhá-la</p><p>melhor no momento. O mais importante é entender que a Lei de Faraday</p><p>é um efeito inercial.</p><p>A mensagem escondida pela Lei de Faraday é que na natureza</p><p>existem dois tipos de campo elétrico, sendo ele os atribuídos às cargas</p><p>elétricas e os que estão associados pela variação no campo magnético.</p><p>O primeiro caso é tratado pela da Lei de Coulomb, já o segundo é</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>19</p><p>explorado por meio da analogia entre a Lei de Faraday e a lei de Ampère,</p><p>respectivamente, ou seja:</p><p>.∂</p><p>∇× = −</p><p>∂t</p><p>BE (9)</p><p>0 .∇× = µB J (10)</p><p>O rotacional de um determinado campo não define o campo sozinho: é</p><p>preciso também conhecer o divergente dos campos. Para o caso dos</p><p>campos E e B , teremos:</p><p>. 0.∇ =E (11)</p><p>. 0.∇ =B (12)</p><p>Dessa forma, completamos a analogia e concluímos que os campos</p><p>elétricos induzidos são determinados por</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂t</p><p>B</p><p>, da mesma maneira que os</p><p>campos magnéticos são determinados por 0µ J .</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>A simetria dessas equações permite-nos utilizar todos os</p><p>truques realizados na Lei de Ampère na forma integral. No</p><p>caso da Lei de Faraday, a taxa de variação do fluxo através</p><p>da espira amperiana irá desempenhar o papel que na lei de</p><p>Ampère era desempenhado por 0µ J .</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>Uma boa discussão sobre correntes induzidas é realizada</p><p>de maneira completa em GRIFFITHS (2009), MACHADO</p><p>(2000), NUSSENZVEIG (1997) e JACKSON (1975) e pode ser</p><p>consultada para mais detalhes.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>20</p><p>As Equações de Maxwell</p><p>Com todas as informações, ferramentas e equações básicas já</p><p>desenvolvidas, finalmente estamos aptos a sintetizar tudo aquilo que</p><p>estudamos até o presente momento.</p><p>Equações de Maxwell é o nome dado ao conjunto das equações</p><p>básicas do Eletromagnetismo: são as equações que descrevem todos</p><p>os fenômenos eletromagnéticos. As equações recebem o nome do</p><p>físico e matemático britânico James Clerk Maxwell, que conseguiu</p><p>sintetizar toda a teoria eletromagnética em apenas quatro equações.</p><p>Tudo isso se deve à grande motivação base de desenvolver uma teoria</p><p>para as ondas eletromagnéticas que revolucionou toda ciência moderna</p><p>e, consequentemente, a sociedade moderna, por meio das novas</p><p>tecnologias criadas.</p><p>Como já conhecemos e discutimos bem as equações do</p><p>Eletromagnetismo, iremos fazer apenas uma sintetização dos conceitos</p><p>envolvidos. Em outras palavras, faremos aqui apenas uma revisão e uma</p><p>organização de ideias.</p><p>As Equações do Eletromagnetismo</p><p>Para sintetizar o que foi brevemente discutido anteriormente, vamos</p><p>organizar as quatro equações de Maxwell no vácuo.</p><p>I) Lei de Gauss do eletrostática:</p><p>0</p><p>ñ. 0.</p><p>å</p><p>∇ − =E</p><p>II) Lei de Gauss do magnetismo:</p><p>. 0.∇ =B</p><p>III) Lei de Ampère-Maxwell:</p><p>0 0 ì ì .∇× = + LB J J</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>21</p><p>IV) Lei de Faraday:</p><p>.</p><p>t</p><p>∂</p><p>∇× = −</p><p>∂</p><p>BE</p><p>Já em meios materiais, as respectivas equações se transformam</p><p>em:</p><p>I) Lei de Gauss do eletrostática:</p><p>l. ñ .∇ =D</p><p>II) Lei de Gauss do magnetismo:</p><p>. 0∇ =B .</p><p>III) Lei de Ampère-Maxwell:</p><p>∇× = + LH J J</p><p>.</p><p>IV) Lei de Faraday:</p><p>∂∇× = −</p><p>∂t</p><p>BE</p><p>.</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>As leis de Maxwell são importantes assuntos base para o</p><p>estudo do Eletromagnetismo e ondas eletromagnéticas,</p><p>por isso é muito importante que você entenda bem esse</p><p>assunto. Boas discussões são feitas em GRIFFITHS (2009),</p><p>MACHADO (2000), NUSSENZVEIG (1997) e JACKSON (1975)</p><p>e podem ser consultadas para mais detalhes.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>22</p><p>RESUMINDO:</p><p>Ao longo deste capítulo, focamos nossa construção do</p><p>conhecimento em conceitos fundamentais envolvidos</p><p>na Lei da Indução de Faraday. Conseguimos discutir</p><p>bastante e introduzir muitas informações que estão</p><p>por trás dessa importante lei do Eletromagnetismo. Em</p><p>seguida, conseguimos sintetizar todas as informações</p><p>do Eletromagnetismo em apenas quatro equações</p><p>que conseguem reproduzir todos os fenômenos</p><p>eletromagnéticos, tudo isso para que possamos ir muito</p><p>mais além na construção da teoria da Eletrônica Analógica.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>23</p><p>Ondas Eletromagnéticas</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de deduzir as</p><p>equações de onda para os campos elétricos e magnéticos.</p><p>Além disso, você será capaz de entender como é o</p><p>funcionamento dessas equações e o comportamento</p><p>dessas importantes quantidades físicas no contexto da</p><p>sociedade moderna. Com isso você conseguirá descrever</p><p>essas propriedades e características de forma matemática,</p><p>por meio de modelos bem simples. .</p><p>A Equação de Onda para o Campo</p><p>Elétrico e para o Campo Magnético</p><p>Uma vez compreendidas as equações básicas para a teoria</p><p>Eletromagnética, fica fácil a obtenção das equações de onda para os</p><p>campos elétricos e magnéticos. Em outras palavras, já temos todo o</p><p>conhecimento necessário para que consigamos obter tais equações.</p><p>Para isso, é necessário considerar as equações sem fontes, ou seja, sem</p><p>densidade de cargas e sem densidade de correntes.</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Nesse caso, as equações ficam reescritas nas formas:</p><p>. 0∇ =E ;</p><p>. 0 ∂∇ = ∇× = −</p><p>∂t</p><p>BB E</p><p>;</p><p>0 0 ∂</p><p>∇× =</p><p>∂t</p><p>µ ε EB</p><p>.</p><p>Inicialmente iremos obter a equação de onda para o caso do campo</p><p>elétrico e, em seguida, para o campo magnético. Vamos, então, aplicar</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>24</p><p>o rotacional na terceira equação. O resultado dessa aplicação gera uma</p><p>identidade vetorial, que pode ser consultada nas referências GRIFFITHS</p><p>(2009), MACHADO (2000), NUSSENZVEIG (1997) e JACKSON (1975). A</p><p>referida identidade é dada por:</p><p>( ) 2 . ∇×∇× = ∇ ∇ − ∇E E E</p><p>,</p><p>Sendo o termo</p><p>2∇ conhecido como operador laplaciano.</p><p>Substituindo o resultado da primeira e da terceira equação, obtemos:</p><p>( ) 2 0 ∂ ∇× − = ∇ − ∇ ∂ t</p><p>B E</p><p>2 ∂∇×</p><p>− = − ∇</p><p>∂t</p><p>B E</p><p>Substituindo o resultado da quarta equação de Maxwell, obtemos:</p><p>2</p><p>0 0 ∂ ∂ − = − ∇ ∂ ∂ t t</p><p>µ ε E E</p><p>2</p><p>2</p><p>0 0 2 0.∂</p><p>∇ − =</p><p>∂t</p><p>µ ε EE</p><p>Essa é a denominada equação de onda para o campo</p><p>elétrico, conforme já introduzida. Observe que a equação de onda é</p><p>quadridimensional, ou seja, apresenta dependência tridimensional no</p><p>espaço e unidimensional no tempo, resultando no fato de que o campo</p><p>elétrico é uma função espacial e temporal simultaneamente.</p><p>Para o caso do campo magnético, um processo análogo pode ser</p><p>realizado. Isso quer dizer que:</p><p>2</p><p>2</p><p>0 0 2 0.∂</p><p>∇ − =</p><p>∂t</p><p>µ ε BB</p><p>As equações para o campo elétrico e para o campo magnético, em</p><p>conjunto, formam a equação da radiação ou das ondas eletromagnéticas.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>25</p><p>Ondas e Movimentos Oscilatórios</p><p>Após uma introdução sobre a equação de onda eletromagnética,</p><p>podemos prosseguir nosso estudo direcionando-o para a apresentação,</p><p>discussão e obtenção de outras informações muito importantes.</p><p>Inicialmente, destacamos que na natureza existem vários sistemas</p><p>físicos que apresentam a equação do tipo onda. Em outras palavras, a</p><p>equação de onda não é característica apenas dos campos elétrico e</p><p>magnético.</p><p>As ondas eletromagnéticas são, de fato, um dos assuntos mais</p><p>interessante e fundamentais que serão tratados no presente conteúdo.</p><p>Podemos, baseados nas informações discutidas, aprimorar nosso conceito</p><p>de onda por meio da analogia com movimentos oscilatórios.</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>Podemos considerar onda como sendo tipos específicos de</p><p>movimento. De maneira sintética, uma onda é caracterizada</p><p>pela propagação de energia, ou seja, uma onda não</p><p>transporta matéria.</p><p>Como mencionado anteriormente, é muito interessante destacar</p><p>que grande parte dos fenômenos na natureza pode ser descrito pelas</p><p>ondas. Elas apresentam algumas propriedades e características</p><p>particulares, que podem ser consultadas em qualquer livro de Mecânica</p><p>ou oscilações, como NUSSENZVEIG (1997).</p><p>Devido à enorme incidência desses fenômenos, houve a</p><p>necessidade de classificação deles e essa classificação também podem</p><p>ser consultadas em NUSSENVEIG (1997). Mais especificamente, as ondas</p><p>são classificadas quanto à sua direção de propagação, direção de vibração</p><p>e quanto à sua natureza.</p><p>Destacamos, em especial, entre todas as grandezas físicas</p><p>referentes às ondas, as quantidades</p><p>denominadas frequência, período e</p><p>velocidade de propagação de uma onda.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>26</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>I) Frequência: o número de oscilações de uma onda</p><p>que ocorre em uma unidade de tempo, que pode ser o</p><p>segundo, o minuto ou a hora. É representada pela letra f</p><p>A unidade de frequência no S.I (Sistema internacional de</p><p>Unidades) é o Hertz (Hz).</p><p>II) Período: o tempo gasto para que uma onda apresente</p><p>uma oscilação completa. O período é representado pela</p><p>letra T e é definido como sendo o inverso da frequência:</p><p>1T .</p><p>f</p><p>= (13)</p><p>A unidade de período é a unidade de tempo, ou seja, pode</p><p>ser o segundo ( s ), o minuto ( min ) ou a hora ( h ).</p><p>III) Velocidade: relaciona o comprimento de onda</p><p>com a frequência de oscilação ou com o período de</p><p>oscilação, uma vez que período é o inverso da frequência.</p><p>Matematicamente:</p><p>.= =v f ou v</p><p>T</p><p>λλ (24)</p><p>A velocidade de propagação de uma onda é também</p><p>conhecida como equação fundamental da ondulatória.</p><p>Um outro fator interessante a ser destacado está relacionado com</p><p>a natureza das ondas, que são classificadas como ondas mecânicas e</p><p>ondas eletromagnéticas.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>27</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>I) As ondas mecânicas necessitam obrigatoriamente</p><p>de um meio material para se propagar. Como exemplo</p><p>destacamos as ondas sonoras. Outros exemplos são as</p><p>ondas na superfície de um lago e ondas em uma mola.</p><p>II) As ondas eletromagnéticas não necessitam de um</p><p>meio material para se propagar e, por isso, se propagam</p><p>no vácuo, além de meios materiais. O exemplo mais</p><p>clássico de ondas eletromagnéticas é a luz visível, na qual</p><p>a oscilação do campo elétrico é perpendicular à oscilação</p><p>do campo magnético. .</p><p>Uma vez que já discutimos algumas importantes características dos</p><p>movimentos oscilatórios e de ondas em um contexto geral, voltaremos ao</p><p>caso específico das ondas eletromagnéticas. Mais especificamente, todas</p><p>as vezes que utilizamos o termo ondas eletromagnéticas estamos nos</p><p>referindo à luz.</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>Como luz não estamos nos referindo apenas à luz branca,</p><p>que é visível a olho nu: estamos também nos referindo às</p><p>luzes que não são perceptíveis pelo olho humano, sendo</p><p>elas os raios X, raios ultravioletas, infravermelho etc. Cada</p><p>um desses tipos de luz apresenta características diferentes,</p><p>como a frequência de oscilação e os comprimentos de</p><p>onda (característica de cada onda).</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>O conjunto de comprimentos de ondas e frequências</p><p>das ondas eletromagnéticas é denominado espectro</p><p>eletromagnético e pode ser consultado nas referências</p><p>Griffiths (2009), Machado (2000), Nussenzveig (1997) e</p><p>Jackson (1975).</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>28</p><p>Ondas Senoidais</p><p>Agora vamos introduzir uma possível definição para ondas. Nesse</p><p>contexto, iremos considerar como onda um distúrbio de um meio contínuo</p><p>se propagando de uma forma fixa e com a velocidade constante.</p><p>Dessa forma, poderemos concluir algumas informações</p><p>importantes, como:</p><p>I) Na presença de absorção, a onda diminui de tamanho conforme a</p><p>evolução do seu movimento.</p><p>II) Se o meio for dispersivo, isso quer dizer que as frequências em</p><p>cada meio serão diferentes e, consequentemente, a velocidade da onda</p><p>sofrerá variações.</p><p>III) Entre outras informações, vamos focar no caso considerado</p><p>mais simples, ou seja, onda fixa com velocidade constante. As situações</p><p>destacadas são representadas de acordo com o seguinte esquema</p><p>ilustrativo.</p><p>Figura 4 – Representação de pulsos ondulatórios</p><p>Fonte: Griffiths (2009).</p><p>Precisamos entender que existem ferramentas para que</p><p>possamos representar de maneira matemática os objetos representados</p><p>anteriormente. Para isso, é interessante notar que a onda foi representada</p><p>em dois instantes diferentes, sendo que em cada ponto representado ela</p><p>irá se mover para a direita com um deslocamento de vt . Nesse caso, v</p><p>é a velocidade e t é o tempo. Imagine que essa situação possa ser, por</p><p>exemplo, representada pela agitação de uma corda.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>29</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Vamos considerar</p><p>( ),f z t</p><p>, como função que irá</p><p>representar o deslocamento da corda, no tempo t e ponto</p><p>z . Dessa maneira, a forma inicial da corda será dada por:</p><p>( ) ( ) ,0 .=g z f z (35)</p><p>Agora levantamos o seguinte questionamento: qual seria a</p><p>forma subsequente da onda representada por</p><p>( ),f z t</p><p>? É claro que</p><p>o deslocamento no poto z e no tempo t posterior é o mesmo que o</p><p>deslocamento vt à esquerda; em outras palavras, – z vt de volta ao</p><p>tempo 0=t . Matematicamente:</p><p>( ) ( ) ( ), ,0 .= − = −f z t f z vt g z vt (16)</p><p>Essa é a equação que reproduz a essência do movimento</p><p>ondulatório.</p><p>Tal equação diz que a função ( ),f z t que, a princípio, poderia</p><p>depender de z e t , de fato depende. Essa dependência é uma combinação</p><p>especial na forma – z vt . Quando essa relação de dependência é válida,</p><p>a função ( ),f z t representa uma onda fixa, viajando na direção z e com</p><p>velocidade v .</p><p>Precisamos destacar o fato de que as equações de movimentos</p><p>oscilatórios são equações que apresentam, no geral, a igualdade entre</p><p>funções e suas segundas derivadas. Nomeamos essas funções como</p><p>sendo funções cíclicas, afinal suas segundas derivadas são iguais à</p><p>própria função original. Entre essas funções se destacam as funções</p><p>senos, cossenos ou até mesmo a soma delas. Também podemos utilizar</p><p>a função exponencial, por meio da identidade de Euller, que também é</p><p>uma composição dessas funções.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>30</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Diante de todos esses tipos de soluções das equações</p><p>diferenciais de movimentos oscilatórios, a mais conhecida e</p><p>que será utilizada por nós é, sem dúvida, a função senoide,</p><p>ou simplesmente função seno, que é dada na seguinte forma:</p><p>( ) [ ]( ), .= − +f z t Acos k z vt δ (47)</p><p>A Figura a 5 é uma ilustração de uma onda do tipo senoidal, em função</p><p>do tempo 0=t .</p><p>Figura 5 – Representação gráfica de uma onda senoidal</p><p>f(z, 0)</p><p>A</p><p>v</p><p>z</p><p>Máximo central</p><p>δ/k</p><p>λ</p><p>Fonte: Griffiths (2009).</p><p>Nesse caso, a amplitude da onda é representada por A .</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>A amplitude é uma grandeza positiva que representa</p><p>o deslocamento máximo da onda a partir do estado</p><p>de equilíbrio. O argumento da função cosseno é o que</p><p>chamamos de fase. Nessas condições, δ é denominada</p><p>constante de fase. Destacamos o fato de que se a fase é</p><p>nula, ou seja, se o argumento da função seno é nula, então:</p><p>.= −z vt</p><p>k</p><p>δ</p><p>(58)</p><p>Esse é o denominado termo de máximo central.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>31</p><p>Outro fator interessante é que se a constante de fase é nula, o</p><p>máximo central passa pela origem no tempo nulo. De maneira genérica,</p><p>k</p><p>δ é a distância pela qual o máximo central é atrasado. A constante k é</p><p>a denominada número de onda e se relaciona de maneira inversa com o</p><p>comprimento de onda. Matematicamente:</p><p>2 .=</p><p>k</p><p>π</p><p>(19)</p><p>Concluímos que, quando z avança em</p><p>2</p><p>k</p><p>π</p><p>, o cosseno executa</p><p>um ciclo completo. Isso é a essência dos movimentos oscilatórios e</p><p>periódicos.</p><p>A Notação de Euller</p><p>A notação de Euller é uma ferramenta muito útil no contexto do</p><p>Eletromagnetismo. Ela é utilizada em todo tempo na denominada notação</p><p>fasorial. Matematicamente, a notação de Euller é dada na forma:</p><p>.= +ie cos isenθ θ θ (20)</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Com essa notação, podemos reescrever as ondas senoidais</p><p>na seguinte maneira:</p><p>( ) ( ) , .− + =  </p><p>i kz tf z t Re Ae ω δ</p><p>(21)</p><p>Nesse caso, o termo Re denota a parte real do número complexo.</p><p>Assim, uma onda complexa pode ser introduzida na forma:</p><p>( ) ( ), .−≡ </p><p>i kz tf z t Ae ω</p><p>(22)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>32</p><p>Colocamos o til em cima das grandezas para indicar que elas são</p><p>de origem complexa. Quando as grandezas não apresentarem essa</p><p>notação, entenderemos que é uma quantidade puramente real. Nesse</p><p>caso, para exemplificar e ilustrar nossas afirmações e notações, = iA Ae δ</p><p>. Denominaremos essa quantidade como amplitude da onda imaginária.</p><p>Observe que esse termo absorve a constante de fase, além de ser</p><p>imaginária.</p><p>Considerando a notação apresentada, representaremos a função</p><p>de onda, de fato, pela parte real da função imaginária</p><p>f , ou seja:</p><p>( ) ( ), , . =  </p><p>f z t Re f z t (23)</p><p>Como já mencionado, a principal vantagem de utilizar a notação</p><p>complexa, ou a notação fasorial, é que existe uma grande simplicidade</p><p>em realizarmos operações com essas funções.</p><p>Ondas Planas Monocromáticas</p><p>As ondas planas são aquelas nas quais os campos elétrico e</p><p>magnético são uniformes sobre todos os planos perpendiculares à direção</p><p>de propagação. Em outras palavras, são aquelas ondas que se propagam</p><p>na direção z sem apresentar dependência nas direções x e y .</p><p>Um esquema ilustrativo de uma onda plana é indicada na Figura 6.</p><p>Figura 6 – Representação ilustrativa de uma onda plana</p><p>Fonte: Griffiths (2009).</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>33</p><p>Considerando as informações referentes à nossa forma de</p><p>representar ondas senoidais, vamos representar os cpos elétricos e</p><p>magnéticos, que são solução das respectivas equações de onda, como</p><p>funções vetoriais complexas. Isso quer dizer que:</p><p>( ) ( )</p><p>0, ,−= </p><p>i kz tz t e ωE E (24)</p><p>( ) ( )</p><p>0, .−= </p><p>i kz tz t e ωB B (25)</p><p>Nesse caso 0</p><p>E e 0</p><p>B são as amplitudes imaginárias das ondas. É</p><p>importante destacar, mais uma vez, que essas amplitudes são complexas</p><p>e que os campos físicos são representados pelas partes reais de ( ), z tE</p><p>e ( ), z tB .</p><p>Nessa altura da nossa construção do conhecimento, devemos</p><p>destacar que as equações de Maxwell impõe algumas condições para</p><p>as soluções das equações de onda. Vamos ver isso com mais clareza nas</p><p>seguintes equações de Maxwell no vácuo:</p><p>. 0,∇ =E (26)</p><p>. 0.∇ =B (27)</p><p>Ao aplicar essas equações, considerando os campos elétricos</p><p>e magnéticos representados pelas ondas (26) e (27) respectivamente,</p><p>obtemos:</p><p>( ) ( )0 0 0.= = </p><p>z z</p><p>E B (28)</p><p>Isso quer dizer que as ondas eletromagnéticas são ondas</p><p>transversais, ou seja, o campo elétrico e magnético são perpendiculares</p><p>entre si e, ao mesmo tempo, em relação à direção de propagação.</p><p>Também utilizamos a Lei de Faraday, que estabelece uma relação entre a</p><p>amplitude do campo elétrico e a do campo magnético, ou seja:</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>34</p><p>.∂</p><p>∇× = −</p><p>∂t</p><p>BE (29)</p><p>Aplicando essa equação para o caso em que consideramos os</p><p>campos elétricos e magnéticos dados respectivamente por (26) e (27),</p><p>obtemos:</p><p>( ) ( )0 0 ,− = </p><p>y x</p><p>k E Bω (30)</p><p>( ) ( )0 0 .= </p><p>x y</p><p>k E Bω (31)</p><p>Generalizamos esse resultado como um produto vetorial, ou seja:</p><p>( )0 0 .ˆ = × </p><p>k</p><p>ω</p><p>B z E (32)</p><p>Uma conclusão importante a ser a partir dessas informações é a</p><p>de que os campos elétricos E e B estão sempre em fase e, como já</p><p>mencionado, são perpendiculares entre si. Em módulo essa relação é</p><p>expressa na forma:</p><p>0 0 0</p><p>1 .= =</p><p>kB E E</p><p>cω</p><p>(33)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>35</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Precisamos destacar que estamos sempre considerando</p><p>o movimento das ondas na direção z . Apesar disso, essa</p><p>direção não apresenta nenhuma informação privilegiada</p><p>em relação as outras: é apenas uma opção escolhida por</p><p>nós. Dessa forma, podemos facilmente generalizar todas as</p><p>informações obtidas para ondas monocromáticas viajando</p><p>em qualquer uma das direções arbitrárias. A notação mais</p><p>geral e que representa essa situação é dada em termos</p><p>da introdução do vetor de propagação, ou simplesmente</p><p>vetor de onda k , que aponta na direção da propagação</p><p>e apresenta módulo dado pelo número de onda k . Nesse</p><p>contexto, o produto escalar .k r é a forma correta e mais</p><p>geral para o produto kz . Assim, teremos, para os campos</p><p>E e B , as seguintes equações gerais na forma de ondas</p><p>planas complexas:</p><p>( ) ( ).</p><p>0, ,ˆ−= </p><p>i tt E e ωk rE r n (34)</p><p>( ) ( ) ( ) ( ).</p><p>0</p><p>1 1, ˆ .ˆˆ −= × = ×  </p><p>i tt E e</p><p>c c</p><p>ωk rB r k n k E (35)</p><p>Nesse caso, n̂ é o denominado vetor de polarização. Como o</p><p>campo E é trasnversal, o produto escalar entre o vetor de polarização e</p><p>o vetor de onda é nulo, ou seja:</p><p>ˆ. 0ˆ .=n k (36)</p><p>No caso do campo B , sua transversalidade é automaticamente</p><p>satisfeita pela equação (32), afinal, o campo magnético é dado em termos</p><p>de um produto vetorial. Sabemos que, naturalmente, o resultado de um</p><p>produto vetorial é um vetor perpendicular aos dois multiplicados. A parte</p><p>real dos campos magnético e elétrico de uma onda plana monocromática,</p><p>com vetor de propagação k e polarização n̂ , são, então:</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>36</p><p>( ) ( )0, . ,ˆ= − +t E cos tω δE r k r n (37)</p><p>( ) ( )( )0</p><p>1, . .ˆ ˆ= − + ×t E cos t</p><p>c</p><p>ω δB r k r k n (38)</p><p>RESUMINDO:</p><p>Ao longo deste capítulo, focamos nosso estudo nas ondas</p><p>eletromagnéticas, que são algumas das mais importantes</p><p>equações de toda a natureza, pois grande parte dos</p><p>fenômenos naturais são descritos por elas. Iniciamos nossa</p><p>teoria com a construção dessas equações e, em seguida,</p><p>estudamos algumas das propriedades e características</p><p>envolvidas nesse contexto. Conseguimos, depois disso,</p><p>desenvolver um modelo bem simples e que reproduziu</p><p>todas as propriedades e características envolvidas com os</p><p>campos elétricos e magnéticos, bem como suas relações.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>37</p><p>Análise de Circuitos Elétricos e seus</p><p>Componentes</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de entender</p><p>como funcionam as leis envolvendo circuitos elétricos.</p><p>Além disso, você irá conhecer alguns dos dispositivos</p><p>elétricos mais utilizados na aplicação dos circuitos elétricos.</p><p>Para finalizar, você será capaz de aplicar as leis básicas que</p><p>servem para analisar qualquer circuito elétrico. .</p><p>Introdução aos Circuitos Elétricos</p><p>Nesta unidade discutimos – e ainda discutiremos - várias situações</p><p>envolvendo os circuitos elétricos e o desenvolvimento tecnológico</p><p>que vivemos e presenciamos a cada dia. Tudo isso será tratado pelas</p><p>aplicações das leis do Eletromagnetismo em circuitos elétricos.</p><p>Para essa incrível e importante discussão, precisamos destacar</p><p>os termos teóricos que iremos utilizar para representar os elementos</p><p>eletrônicos constituintes dos circuitos de uma forma idealizada.</p><p>IMPORTANTE:</p><p>O que queremos dizer é que iremos discutir sobre</p><p>resistências puras, capacitâncias puras e indutâncias puras.</p><p>Também não podemos esquecer que os fios condutores,</p><p>que efetuam as ligações, apresentam resistências. Apesar</p><p>disso, iremos desprezá-las e, somente quando necessário,</p><p>iremos agregá-las na resistência do fio puro.</p><p>Frente a essas informações, vamos introduzir e discutir alguns</p><p>elementos componentes de um circuito elétrico. Mais especificamente,</p><p>iremos destacar os resistores, os capacitores, os geradores e os indutores,</p><p>que são a base dos circuitos elétricos.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>38</p><p>Resistores</p><p>Os resistores são elementos dos circuitos que obedecem à Lei de</p><p>Ohm. Em outras palavras, quando um resistor é atravessado por uma</p><p>determinada corrente i , ele tem uma queda de potencial pelos seus</p><p>extremos. A Lei de Ohm é dada na forma:</p><p>. .=V R i (39)</p><p>O resistor é representado nos circuitos elétricos por meio do</p><p>seguinte esquema ilustrativo:</p><p>Figura 7 – Representação de resistores em circuitos elétricos</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Destacamos que a função básica de um resistor é converter a</p><p>energia elétrica em energia térmica e isso acontece por meio do efeito</p><p>Joule. Nesse caso, a potência dissipada é dada na forma:</p><p>2. .=P i R (40)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>39</p><p>Capacitores</p><p>Os capacitores são elementos eletrônicos compostos por duas</p><p>placas, que chamamos de armaduras. Nesse caso, uma das placas</p><p>apresenta carga negativa e a outra positiva. A diferença de potencial em</p><p>suas placas é dada por:</p><p>.=</p><p>QV</p><p>C</p><p>(41)</p><p>sendo C a capacitância e o módulo da carga das placas.</p><p>Uma das funções de um capacitor é justamente o armazenamento</p><p>de energia elétrica, que é dado matematicamente por:</p><p>2</p><p>21 . .</p><p>2 2</p><p>= =</p><p>QU V C</p><p>C</p><p>(42)</p><p>O capacitor é representado nos circuitos elétricos pelo seguinte</p><p>esquema ilustrativo:</p><p>Figura 8 – Representação de capacitores em circuitos elétricos</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>40</p><p>Geradores e MotoreGeradores e Motores são</p><p>Dispositivos</p><p>eletrônicos de Extrema Importância</p><p>no Contexto de Circuitos Elétricos. Para uma</p><p>Análise mais Precisa, é Necessário que Tenhamos</p><p>o Conhecimento da Última Equação de Maxwell,</p><p>mais Conhecida como Lei da Indução de Faraday.</p><p>No presente momento, trataremos os geradores e os motores</p><p>apenas de forma superficial, com a finalidade de introduzir uma das suas</p><p>principais grandezas associadas: a força eletromotriz.</p><p>Um gerador é muito mais do que uma fonte de força eletromotriz e</p><p>pode ser tratado de maneira análoga a uma bateria, já que ele pode gerar</p><p>corrente contínua ou corrente alternada.</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>A grande diferença entre geradores e os outros tipos de</p><p>dispositivos é que ele é ativo, ou seja, é um fornecedor de</p><p>energia.</p><p>Quando percorrido por uma corrente no sentido contrário à queda</p><p>de potencial do gerador, teremos:</p><p>1 2 .− = = −V V V ε (43)</p><p>O capacitor é representado nos circuitos elétricos pelo seguinte</p><p>esquema ilustrativo:</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>41</p><p>Figura 9 – Representação de geradores em circuitos elétricos</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Ressaltamos que o princípio básico de funcionamento de geradores</p><p>e motores é o mesmo, ou seja, o princípio da indução eletromagnética.</p><p>Indutores</p><p>Indutores são dispositivos eletrônicos idealizados. No interior desses</p><p>dispositivos, o campo magnético fica supostamente confinado dentro de</p><p>um solenoide infinito e com resistência desprezível. Nesse caso, ao longo</p><p>do solenoide o campo elétrico é nulo. Em um circuito, fechado dado pelos</p><p>pontos 1234, sendo 3 e 4 arbitrários e próximos de 1 e 2, teremos:</p><p>1234</p><p>.= = − = −</p><p>dIL V</p><p>dt</p><p>ε Edl∮</p><p>O indutor é representado nos circuitos elétricos pelo seguinte</p><p>esquema ilustrativo.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>42</p><p>Figura 10 – Representação de indutores em circuitos elétricos</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Leis de Kirchhoff e Análise de Circuitos</p><p>Multimalhas</p><p>As Leis de Kirchhoff são as mais importantes para o estudo de</p><p>correntes e de tensões em circuitos eletrônicos. Para entender um pouco</p><p>sobre essas leis, vamos considerar uma situação como a indicada pela</p><p>figura 11. Nela, o circuito é composto por qualquer tipo de elemento,</p><p>incluindo o indutor, que será introduzido adiante.</p><p>Figura 11 – Circuito elétrico composto por vários dispositivos elétrico</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>43</p><p>Se considerarmos como à o contorno do circuito fechado que</p><p>passa por fora de todos os elementos do circuito, teremos:</p><p>0.</p><p>Γ</p><p>=Edl∮ (44)</p><p>É claro que estamos aqui aplicando a Lei da Indução. É importante,</p><p>então, destacar que estamos desconsiderando o campo magnético.</p><p>Assim temos, por exemplo:</p><p>2 2</p><p>1 21 1</p><p>,= − = − = −∫ ∫ dV V V εEdl (45)</p><p>é a queda de tensão entre os pontos 1 e 2. ε é a força eletromotriz.</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>A equação (45) afirma que a soma de todas as quedas de</p><p>tensão, ao longo do que denominamos como malha de um</p><p>circuito, é nula. Essa é a enunciação da 1ª Lei de Kirchhoff,</p><p>ou Lei das Malhas. Destacamos também que essa é uma</p><p>soma algébrica e não podemos esquecer que uma queda</p><p>de tensão é positiva quando estamos percorrendo o</p><p>caminho a favor da corrente. Em contrapartida, a queda de</p><p>tensão é negativa quando estamos percorrendo o caminho</p><p>contrário à corrente.</p><p>A segunda Lei de Kirchhoff, ou Lei dos Nós, é introduzida</p><p>considerando um circuito com duas malhas. Destacamos os pontos A</p><p>e B que juntam dois ou mais elementos do circuito elétrico em questão.</p><p>Esses pontos são conhecidos como nós. Essa situação é reproduzida pela</p><p>Figura 12.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>44</p><p>Figura 12 – Circuito elétrico com duas malhas</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Uma vez que escolhemos a superfície fechada AS</p><p>ao redor do nó</p><p>A , que não é fonte e nem sorvedouro de cargas, a densidade de corrente</p><p>j será relacionada com a corrente do circuito na forma:</p><p>2 3 1 0.= + − =</p><p>AS</p><p>I I IjdS∮ (46)</p><p>Isso quer dizer que a soma algébrica de todas as correntes saindo</p><p>de um nó (levando em consideração o sinal menos uma corrente que</p><p>entra) é nula. Aplicando o mesmo princípio no ponto B , teremos:</p><p>3 1 2 .= −I I I (47)</p><p>Observe que apenas as correntes 1I e 2I</p><p>são independentes.</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>As Leis de Kirchhoff tratam de qualquer circuito com</p><p>várias malhas. Nesse contexto, iremos tratar as correntes</p><p>circulantes como sendo as variáveis.</p><p>Como ilustração, vamos tratar, de maneira superficial, do estudo de</p><p>um circuito que será explorado detalhadamente mais adiante. O circuito</p><p>em questão é composto por um resistor, um capacitor e uma fonte com</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>45</p><p>força eletromotriz ε . Tal circuito é conhecido e denominado como circuito</p><p>RC. Sua representação é dada pela Figura 13:</p><p>Figura 13 – Representação de um circuito RC</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Como iremos considerar a carga do capacitor e a corrente como</p><p>funções temporais, teremos, após a aplicação da primeira Lei de Kirchhoff,</p><p>a seguinte equação:</p><p>( ) ( ) 0.− + =</p><p>q t</p><p>RI t</p><p>C</p><p>ε (48)</p><p>Também não podemos esquecer a relação entre a corrente elétrica</p><p>e a carga:</p><p>( ) .=</p><p>dqI t</p><p>dt</p><p>(49)</p><p>Substituindo a corrente na primeira Lei de Kirchhoff, obtemos a</p><p>seguinte equação diferencial:</p><p>( ) ( ) 0.− + =</p><p>dq t q t</p><p>R</p><p>dt C</p><p>ε (50)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>46</p><p>As técnicas para resolver tal equação, assim como as soluções e</p><p>as interpretações físicas, serão exploradas mais adiante, de maneira mais</p><p>aprofundada.</p><p>RESUMINDO:</p><p>O presente capítulo apresentou a introdução do estudo dos</p><p>circuitos elétricos. Nesse contexto, foram apresentados e</p><p>discutidos alguns dos principais elementos constituintes</p><p>dos circuitos elétricos. Além disso, destacamos as principais</p><p>características, propriedades e funcionalidades desses</p><p>elementos. Finalmente, foram apresentadas as duas</p><p>leis básicas que nos permitem analisar qualquer circuito</p><p>elétrico, independente de seus elementos constituintes. A</p><p>partir dessas discussões, nos tornarmos capazes de avançar</p><p>nossos conhecimentos de uma maneira mais aplicada,</p><p>principalmente no contexto da Eletrônica Analógica. Assim,</p><p>podemos explorar com maior autoridade o estudo dos</p><p>circuitos elétricos.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>47</p><p>Sistemas Elétricos e as Correntes em</p><p>Circuitos RC, RL e RLC</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de aplicar, de</p><p>maneira consciente, todos os conhecimentos adquiridos</p><p>até aqui, ou seja, será capaz de entender como as equações</p><p>e conceitos do eletromagnetismo são utilizados de maneira</p><p>aplicada na construção e estudo de circuitos elétricos</p><p>altamente tecnológicos..</p><p>Os Princípios da Corrente Alternada</p><p>Ao longo de todo o nosso estudo estamos frisando bastante a</p><p>importância do Eletromagnetismo no contexto dos circuitos elétricos e,</p><p>consequentemente, do desenvolvimento da sociedade moderna. Dessa</p><p>forma, o presente capítulo é destinado ao estudo específico de alguns</p><p>circuitos elétricos de extrema importância no contexto da eletrônica no</p><p>geral, uma vez que já estamos munidos de muitas ferramentas e grandes</p><p>conhecimentos sobre tal assunto. Em outras palavras, esse será um</p><p>capítulo mais prático.</p><p>Iniciaremos reescrevendo as Leis de Maxwell na forma fasorial,</p><p>considerando os campos elétricos, magnéticos e os outros campos</p><p>vetoriais como fasores. Os vetores instantâneos, correspondentes a esses</p><p>fasores, serão dados por letras minúsculas, conforme nossa notação</p><p>adotada e já discutida.</p><p>Dessa forma, as equações de Maxwell, na forma diferencial e em</p><p>meios materiais ficam, na notação fasorial, dadas por:</p><p>∇× = − iωE M B (51)</p><p>∇× = − iωH J B (52)</p><p>∇× = ρD (53)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>48</p><p>. 0.∇ =B (54)</p><p>Como já mencionado, o estudo da representação de fasores é</p><p>muito importante no ramo da Engenharia, sobretudo no estudo de sinais</p><p>e sistemas, circuitos elétricos e até mesmo na Física. Por isso é muito</p><p>importante que você entenda bem esse assunto.</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>Uma boa discussão sobre notação fasorial e as equações de</p><p>Maxwell nesse contexto é realizada de maneira completa</p><p>em Griffiths (2009), Machado (2000), Nussenzveig (1997)</p><p>e</p><p>Jackson (1975) e pode ser consultada para mais detalhes.</p><p>Análise de Circuitos de Corrente</p><p>Alternada</p><p>Com base em todas as informações trazidas até agora, iremos</p><p>discutir de fato - e de maneira bem específica - os sistemas físicos elétricos</p><p>e aplicar todos os conhecimentos obtidos sobre eles. Os sistemas tratados</p><p>serão os circuitos elétricos envolvendo resistor-capacitor (RC), resistor-</p><p>indutor (RL) e resistor-capacitor-indutor (RLC).</p><p>Circuito RC</p><p>A situação inicial que iremos considerar é a de um capacitor</p><p>descarregado que se encontra ligado a uma bateria com força eletromotriz</p><p>dada por ε . Nesse contexto, vamos considerar também a presença de</p><p>uma resistência R e que a resistência interna do gerador r se encontra</p><p>incluída na resistência R .</p><p>O circuito apresentado possui uma chave e queremos estudar o</p><p>sistema a partir do momento em que a chave é ligada. Essa situação é</p><p>representada pelo seguinte esquema ilustrativo do circuito:</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>49</p><p>Figura 14 – Esquema ilustrativo de um circuito RC</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Aplicando a primeira Lei de Kirchhoff, considerando a corrente no</p><p>sentido horário, teremos:</p><p>( ) ( ) 0.− + =</p><p>q t</p><p>RI t</p><p>C</p><p>ε (55)</p><p>Lembre-se que estamos tratando</p><p>( )I t</p><p>como sendo a corrente no</p><p>instante de tempo t e</p><p>( )q t</p><p>como sendo a carga no instante t . Pela</p><p>definição de corrente elétrica, sabemos que a carga se relacionada com a</p><p>corrente da seguinte maneira:</p><p>( ) = dqI t</p><p>dt</p><p>(56)</p><p>Basicamente, o que queremos dizer é que, se derivarmos a equação</p><p>(56) em relação ao tempo, obteremos uma equação na forma:</p><p>( ) ( ) 0.+ =</p><p>dI t I t</p><p>R</p><p>dt C</p><p>(57)</p><p>Como podemos perceber, essa é uma equação diferencial ordinária</p><p>separável, ou seja:</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>50</p><p>( )</p><p>( )</p><p>.= −</p><p>dI t dt</p><p>I t RC (58)</p><p>O termo RC é um parâmetro que apresenta dimensão temporal.</p><p>Renomearemos esse parâmetro por cτ . Com esse parâmetro, podemos</p><p>integrar de 0=t até t e, dessa forma, teremos 0 0= → =t q e</p><p>( )0 .=I</p><p>R</p><p>ε</p><p>O resultado desse processo de integração leva a:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>.= −</p><p>dI t dt</p><p>I t RC (59)</p><p>( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>0</p><p>= −</p><p>c</p><p>I t</p><p>ln</p><p>I τ</p><p>(60)</p><p>( ) .</p><p> </p><p>= − </p><p> c</p><p>tI t exp</p><p>R</p><p>ε</p><p>τ</p><p>(61)</p><p>A grande questão desse resultado é justamente perceber a</p><p>corrente elétrica no circuito sobre um decaimento exponencial. A Figura</p><p>15 representa um esquema ilustrativo sobre esse decaimento.</p><p>Figura 15 – Comportamento da corrente elétrica em um circuito RC</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>51</p><p>Isso quer dizer que a corrente de carga do capacitor decai no tempo</p><p>com uma constante de tempo dada por</p><p>=c RCτ</p><p>. A situação em que</p><p> ct τ</p><p>levará ao caso em que ( ) 0≈I t . Nesse contexto, o capacitor está</p><p>totalmente carregado, com carga total igual a .=Q Cε</p><p>Não podemos deixar de mencionar a situação contrária, que é</p><p>aquela na qual o capacitor se encontra totalmente carregado; ao ligar a</p><p>chave e ao remover a bateria, o capacitor se descarrega também seguindo</p><p>a mesma lei com a constante de tempo.</p><p>Circuito RL</p><p>O próximo circuito a ser estudado é aquele em que temos um indutor</p><p>no lugar do capacitor. Nesse caso, a indutância do indutor é representada</p><p>por L . Esse circuito é representado pelo seguinte esquema ilustrativo:</p><p>Figura 16 – Representação ilustrativa de um circuito RL</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>Com a aplicação da primeira Lei de Kirchhoff, obteremos:</p><p>( ) ( ) 0.− + =</p><p>dI t</p><p>RI t L</p><p>dt</p><p>ε (62)</p><p>Iremos considerar, para 0 0, 0.= = =t I I</p><p>Comparando a equação</p><p>acima com a equação do circuito RC (31), por analogia, poderemos efetuar</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>52</p><p>as seguintes transformações:</p><p>1, , , .→ → → → =C L</p><p>Lq I R L R</p><p>C R</p><p>τ τ</p><p>Também</p><p>precisamos mencionar o detalhe de que as condições iniciais também</p><p>são as mesmas, uma vez que, para o capacitor, ( ) 00 0.= =q q</p><p>Integrando a corrente do capacitor, dada por (35), obtemos:</p><p>( ) ( )</p><p>0 0</p><p>'</p><p> </p><p>= = −′</p><p></p><p>′ </p><p>′</p><p></p><p></p><p>∫ ∫</p><p>t t</p><p>c</p><p>tq t I t dt exp dt</p><p>R</p><p>ε</p><p>τ</p><p>( ) 1 1 .</p><p>      </p><p>= − − = − −     </p><p>      </p><p>c</p><p>c c</p><p>t tq t exp C exp</p><p>R</p><p>ετ ε</p><p>τ τ</p><p>(63)</p><p>Realizando algumas modificações, obtemos, para a corrente:</p><p>( ) 1 .</p><p>  </p><p>= − −  </p><p>  L</p><p>tI t exp</p><p>R</p><p>ε</p><p>τ</p><p>(64)</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Esse resultado é muito importante, pois mostra que a</p><p>corrente se aproxima, com comportamento exponencial,</p><p>do seu valor assintótico, que é dado pela Lei de Ohm, ou</p><p>sej: .=I</p><p>R∞</p><p>ε</p><p>No caso tratado por nós, quanto maior o valor da indutância L ,</p><p>maior o tempo, que é dado por Lτ ,.</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>A justificativa para esse fato está na inércia presenta na Lei</p><p>da Indução de Faraday. Lembre-se que esse efeito é oposto</p><p>à variação do fluxo magnético e, portanto, da corrente.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>53</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>Uma boa discussão sobre circuitos de corrente alternada</p><p>como os circuitos RL, assim como unidades de reatância</p><p>indutiva e associações de circuito indutivos, é realizada de</p><p>maneira completa em GRIFFITHS (2009), MACHADO (2000),</p><p>Nussenzveig (1997) e Jackson (1975) e pode ser consultada</p><p>para mais detalhes.</p><p>Circuitos RLC</p><p>Finalmente, passemos ao caso que se aproxima mais da realidade.</p><p>O circuito, nesse contexto, é formado por um resistor de resistência R</p><p>, um capacitor de capacitância C e um indutor de indutância L . Esse</p><p>circuito é representado pelo seguinte esquema ilustrativo:</p><p>Figura 17 – Representação ilustrativa de um circuito RLC</p><p>Fonte: Nussenzveig (1997).</p><p>A primeira Lei de Kirchhoff leva a:</p><p>( ) ( ) 0.+ + =</p><p>dI tQ RI t L</p><p>C dt</p><p>(65)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>54</p><p>Por meio dessa derivação em relação ao tempo, dividindo o</p><p>resultado por L , ficamos com:</p><p>2</p><p>2</p><p>1 0.+ + =</p><p>d I R dI I</p><p>dt L dt LC</p><p>(66)</p><p>A equação acima é reescrita na forma:</p><p>¨</p><p>2</p><p>0 0,+ + =I I Iγ ω (67)</p><p>Sendo que:</p><p>0</p><p>1 1 ; .= = =</p><p>L</p><p>R</p><p>LLC</p><p>ω γ</p><p>τ (68)</p><p>IMPORTANTE:</p><p>A equação diferencial dada por (67) é uma equação do tipo</p><p>oscilador harmônico amortecido. Nesse caso, a resistência</p><p>é o termo responsável pelo amortecimento.</p><p>Um bom sistema, que pode ser equivalente mecânico do circuito</p><p>apresentado anteriormente, pode ser uma massa ligada a uma mola que</p><p>oscila dentro de um fluido com uma determinada viscosidade.</p><p>Utilizando a notação imaginária introduzida no início da unidade,</p><p>obteremos:</p><p>( ) ( ).= i ptI t Re Ae eϕ (69)</p><p>O termo p é um novo parâmetro que irá nos auxiliar na determinação</p><p>da solução. Utilizando técnicas de solução das equações diferenciais de</p><p>segunda ordem, teremos a seguinte equação característica:</p><p>2 2</p><p>0 0+ + =p pγ ω (70)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>55</p><p>2</p><p>2</p><p>0 .</p><p>2 4</p><p>= − −</p><p></p><p>p γ γ ω (71)</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Vamos considerar apenas uma das soluções que representa</p><p>o caso de amortecimento subcrítico. Os outros podem</p><p>serem consultados em Nussenzveig (1997).</p><p>O caso subcrítico é dado pela seguinte situação:</p><p>0</p><p>1 2 .</p><p>2 2</p><p>< → < → <</p><p>R LR</p><p>L CLC</p><p>γ ω (72)</p><p>Assim, teremos:</p><p>2</p><p>2</p><p>1 1 0 .</p><p>2 4</p><p>= − → = −</p><p></p><p>p iγ γω ω ω (73)</p><p>IMPORTANTE:</p><p>Dessa forma, escolheremos a solução com sinal positivo</p><p>devido ao fato de termos as constantes A e ϕ para</p><p>satisfazer as condições iniciais. Assim:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>2 2</p><p>1 ö2 4</p><p>1 cos ö .+</p><p> </p><p>= = +  </p><p> </p><p>t ti tI t Re Ae e Ae t</p><p>γ γ</p><p>ω ω (74)</p><p>Isso quer dizer que a corrente oscila com um fator de amortecimento</p><p>exponencial. Em outras palavras, temos uma corrente transiente, afinal, há</p><p>a existência de elementos relacionados com a dissipação.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>56</p><p>Uma vez que supomos a condição de amortecimento fraca em que</p><p>temos 0γ ω e</p><p>0 1 :≈ω ω</p><p>( ) ( )</p><p>0</p><p>1</p><p>.</p><p>   −</p><p>= = =   </p><p>   </p><p>′ ′∫</p><p>pt it i pte iAeQ t I t dt Re Ae Re e</p><p>p</p><p>ϕ</p><p>ϕ</p><p>ω</p><p>(75)</p><p>Aproximamos</p><p>+=p p</p><p>por 1iω</p><p>e determinamos as constantes A</p><p>e ϕ pelas condições iniciais. Assim, ficamos com:</p><p>( ) ( )</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>sen ö . ≈ +</p><p>tAQ t e t</p><p>γ</p><p>ω</p><p>ω</p><p>(76)</p><p>A energia armazenada no capacitor no instante t é, então, dada por:</p><p>( )</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1 ö</p><p>2 2</p><p>−= = +t</p><p>c</p><p>Q LAU e sen t</p><p>C</p><p>γ ω (77)</p><p>Analogamente, a energia armazenada no indutor é:</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>1 ö .</p><p>2</p><p>−= +t</p><p>L</p><p>LAU e cos tγ ω (78)</p><p>A energia total armazenada nada</p><p>mais é do que a soma das energias</p><p>do capacitor e do indutor:</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>−= + = t</p><p>c L</p><p>LAU U U e γ (79)</p><p>Em outras palavras, a taxa de amortecimento de energia é dada por:</p><p>.= −</p><p>dU U</p><p>dt</p><p>γ (80)</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>57</p><p>Pelo efeito Joule:</p><p>( ) ( )2 2 2</p><p>1 ö . −= = +tdW RI t RA e cos t</p><p>dt</p><p>γ ω (81)</p><p>Considerando um ciclo de oscilação entre o tempo t e +t τ ,</p><p>sendo</p><p>1</p><p>2 =</p><p>πτ</p><p>ω , teremos:</p><p>( )</p><p>tô t ô2 2</p><p>1' ö .</p><p>'</p><p>+ +− ′ ′≈ +∫ ∫tt t</p><p>dW dt RA e cos t dt</p><p>dt</p><p>γ ω (82)</p><p>Retiramos da integral a exponencial, pois não apresenta nenhuma</p><p>variação significativa em um ciclo, ou seja:</p><p>( )</p><p>tô2 2 2</p><p>1</p><p>1</p><p>2 ö .</p><p>2</p><p>+− −+ =′ ′∫t t</p><p>t</p><p>RRA e cos t dt A eγ γ πω</p><p>ω (83)</p><p>A energia dissipada é, então, dada pelo resultado acima. O fator Q</p><p>, ou simplesmente o fator mérito Q , é definido como sendo o fator de</p><p>qualidade do oscilador, ou seja:</p><p>2 = armazenada</p><p>dissipada</p><p>EQ</p><p>E</p><p>π (84)</p><p>Observe que quanto maior o valor de Q , menor é a perda fracionária</p><p>de energia por ciclo.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>58</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>Uma boa discussão sobre circuitos de corrente alternada</p><p>com os circuitos RC, RL e RLC é realizado de maneira</p><p>completa em Griffiths (2009), Machado (2000), Nussenzveig</p><p>(1997) e Jackson (1975) e pode ser consultada para mais</p><p>detalhes.</p><p>RESUMINDO:</p><p>No presente capítulo, focamos nosso estudo na aplicação</p><p>das leis do Eletromagnetismo no contexto dos circuitos</p><p>elétricos. Iniciamos destacando a versão fasorial das</p><p>equações de Maxwell e, em seguida, exploramos bastante</p><p>essa notação com a finalidade de simplificar cada vez</p><p>mais a análise dos circuitos de nosso interesse. Após</p><p>essas discussões, introduzimos e discutimos importantes</p><p>propriedades relacionadas aos três circuitos mais</p><p>utilizados e que servem como base para a construção</p><p>de outros circuitos. Dessa forma, tratamos os casos do</p><p>circuito composto por resistores e capacitores, resistores e</p><p>indutores e, finalmente, os circuitos envolvendo resistores,</p><p>indutores e capacitores.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>59</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BRAGA, C. N. Curso de Eletrônica Analógica. São Paulo: Instituto</p><p>NCB, 2012.</p><p>CARLSON, A. B., Communication Systems – An Introduction to</p><p>Signal and Noise in Electrical Communication. 3. ed. New York: McGraw-</p><p>Hill, 1986.</p><p>CLOSE, C. M., Circuitos Lineares. São Paulo: Livros Técnicos e</p><p>Científicos S. A., 1975.</p><p>GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. São Paulo, Pearson, 2009.</p><p>JACKSON, J. D. Classical electrodynamics. Hoboken: John Wiley &</p><p>Sons, 1975.</p><p>LATHI, B.P., Sistemas de comunicação. São Paulo: Guanabara</p><p>Koogan, 1979.</p><p>MACHADO, K. D. Teoria do Eletromagnetismo. Ponta Grossa,</p><p>UEPG, 2000.</p><p>NUSSENZVEIG, M. H. Curso de Física Básica. São Paulo: Edgard</p><p>Blucher, 1997.</p><p>OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; YOUNG, I. T. Signals and Systems.</p><p>Hoboken: Prentice-Hall, 1983.</p><p>SCHWARTZ, M.; SHAW, L., Signal Processing: discrete spectral</p><p>analysis, detection, and estimation. New York: McGraw-Hill, 1975.</p><p>Eletrônica Analógica</p><p>Materiais Semicondutores e a Eletrônica</p><p>Analógica</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de entender</p><p>como se caracterizam os materiais semicondutores,</p><p>visualizar propriedades importantes em termos</p><p>microscópicos dos materiais e conhecer outras importantes</p><p>características desses materiais. Isto será fundamental para</p><p>o exercício de sua profissão.</p><p>A Estrutura Atômica dos Semicondutores</p><p>Inicialmente, iremos focar nosso estudo na estrutura atômica</p><p>da matéria, o que nos levará a um nível mais alto para discutirmos as</p><p>questões relacionadas com a Eletrônica Analógica, uma vez que já temos</p><p>todo o conhecimento sobre Eletromagnetismo necessário para entender</p><p>de maneira específica essa fascinante área da Eletrônica.</p><p>Nesse contexto, sabemos que, de acordo com a Física, os corpos</p><p>são formados por diferentes tipos de matérias e que elas apresentam a</p><p>incrível propriedade de ser divididas em partes cada vez menores. Dessa</p><p>forma, um determinado corpo pode ser dividido em sua menor porção. A</p><p>essa porção damos o nome de molécula que, por sua vez, também pode</p><p>ser dividida em pedaços menores, que chamamos de átomo. Os átomos,</p><p>assim como a sua estrutura atômica e os elementos envolvidos, são</p><p>estudados de maneira bem específica em Química e, por esse motivo, não</p><p>destacaremos esse estudo. É claro que essa negligência não apresentará</p><p>interferência no nosso ganho de conhecimento, pois iremos focar nosso</p><p>estudo na estrutura atômica.</p><p>Nesse contexto iremos considerar o modelo atômico de Bohr,</p><p>no qual o átomo é constituído de um núcleo, sendo este constituído</p><p>A Lei de Faraday e as Equações Básicas do Eletromagnetismo</p><p>Lei de Faraday</p><p>Correntes Induzidas</p><p>As Equações de Maxwell</p><p>As Equações do Eletromagnetismo</p><p>Ondas Eletromagnéticas</p><p>A Equação de Onda para o Campo Elétrico e para o Campo Magnético</p><p>Ondas e Movimentos Oscilatórios</p><p>Ondas Senoidais</p><p>A Notação de Euller</p><p>Ondas Planas Monocromáticas</p><p>Análise de Circuitos Elétricos e seus Componentes</p><p>Introdução aos Circuitos Elétricos</p><p>Resistores</p><p>Capacitores</p><p>Geradores e MotoreGeradores e Motores são Dispositivos eletrônicos de Extrema Importância no Contexto de Circuitos Elétricos. Para uma Análise mais Precisa, é Necessário que Tenhamos o Conhecimento da Última Equação de Maxwell, mais Conhecida como Lei da</p><p>Indutores</p><p>Leis de Kirchhoff e Análise de Circuitos Multimalhas</p><p>Sistemas Elétricos e as Correntes em Circuitos RC, RL e RLC</p><p>Os Princípios da Corrente Alternada</p><p>Análise de Circuitos de Corrente Alternada</p><p>Circuito RC</p><p>Circuito RL</p><p>Circuitos RLC</p><p>Materiais Semicondutores e a Eletrônica Analógica</p><p>A Estrutura Atômica dos Semicondutores</p>