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<p>1 Feito Caio lista de exercícios Calculo III Pequena revisao de Teorema de Fubini (ou Cálculo de Integral Seja em IR2 I asxsb, csysd a, e se 3 dx e em seus respectives SS dxdy = b dx) dy = dy) dx a Determinar a Area de uma A = SSE dA = Determinar Volume de figura dv = SSSE E Determinar a massa Para duas variaveis m = SS E dm = SS E dA = areolar tres variaveis m = SSSE dm = Densidade Volumetrica Determinar Centro de Massa R = m dm ) m dm) destas nos 12 e 17 R = dm, dm, ) SSSE m dm) m m</p><p>2 Determinar Momento de Inercia case geral dI = dm de dm em like do pento que se calcula momento de Cases especiais Ix e M.I. em 20 2 variaveis eixo Iy : M.I. " " M.I. " dm Em I. = dm = Ix+Iy I. = dm = 2 Demonstragoes nos Exercicios 13 e 18 de na seguinte - Coordenadas E = do Lugar Geometrico em Nova do L.G., mais simples que as de com u = "alguma V = " " y(u,v,w) = = " - " = 33 Determinado x(u,v,w) e determina- se Jacobiano gradientes de Z Obs: Lembrando gradiente e' um lega um vetor de vetores e' matematicamente, uma ax Vale 0 mesmo av = ay ay ay para au av aw variaveis dz az az ow</p><p>3 Determinando a determinante = det J Ira' utilizar modulo disto, Fazendo-se SSS dxdydz = SSS Eu,v,w suprema da - Coordenades Polares no exercício 9 ) para problemas no R2 que circunferencias = Y = tol que e - Coordenadas Cilindricas Ex para problemas que pessam sev um no pode ser mais que esfericas mesmo se envolvendo esferos no Para escolhe-se eixo e' paralelo do de simetria das u = a(u,v, w) v = r. w = w u tol give e WER - Coordenadas Esféricas Ex. 22 ) para problemas envelvendo de Antes que de um na eu uso uma de para diferente do convencional mas no mesme no final, e' um modelamento matematico diferente livros russos). X w) = cosy 4 r.seny tal que rE Rt, 0 Guidorizzi poe referencia do no coloco no planoxy</p><p>4 do se pelo Se lembre que no eixo t e rada no sentido Z Y = r. Seno = Z = que todos esfericas eu fiz do Integrois de Linha Seja E It In = 2 ou 3) F campo veterial = dt = Acho que essa new cai a na afinal, se teve campos veteriais ainda Integral de Linha relativa 20 Comprimento de Arco 3 2 Seja IR x1 ds = a onde ds = dt uma parcelinha do comprimento total 0 e'</p><p>5 Da) SS R 3 = = 3 = = 144-729 = - 585 8 8 8 b) SS I R s = = 1 = = 4 2 ) calculo I, se ha de = que limite da integral automaticamente se limita plano z=0. volume dado 2x-dx = da = = K = 2x 2 t K 3 dx).dy = 3 3 = db = 5 3 = 2 k 15 = 16</p><p>6 3 9 05x52 e 2 3 x 3 3 = d V= [ = 3 = 36) 4 = 00 d S dy = a=xty da=dy da = -1 2 k = -1 2 = f da = - - = d (x+y)2 + = 0 = 1+x 1.dx db=dx dx = d b L.db - = + K S 1 dx dx = x+1 = d = 1/2)</p><p>7 x-y = dx S x-y dx = = da da = a = 1 + K (x+y) dy = S b-1 db = b - db = = 1 + K + 1 = + = nac e' integrovel e' continua num dado lugar do 5 a) xy dy).dx = dx = - 2 2 = 1 2 = 3 12 0 =</p><p>8 = = du = = dy = 2y = 2 = = dxdy = d) D : = = du = dx = = du dz = K = +K = : = o = 12(1 cos1)</p><p>9 e) y=x-6 D : -2 3 (y+2) = = dx dy = = 5 f) 1 e = = = 2 2 4) V2-x2 = -52 t = dx -52</p><p>10 essa integral sai da maneira cional, e claro que ela zero, assim, 52 dx dava mas usando umas e uns metodas russos absordos pra resolver esse exercício do que eu vale apena Comece de nove for mudando a de descrever lugar age com 2 e gem no V2 + = S dx = 0 laER dy - e' uma impar fle) sent = Y dy 12 a + cost dt + = = 4. cost dt 16 dt 0 2 0 + 16 2 2 = = fazer sumir antes, pois V nao e' impar nem</p><p>11 6 a) 0 1 X = = 1/2 21 = 7.3.5 = 18 = 6 7.35 35 2 15x54 1 = = 40x) dx V= = V=31 8 c) Objeto - Z</p><p>= 20 = 2 do + = 9. + 1 6 (555 - 27) = 9 + 4 + = + + (555-27) = 55 + V= (1155-27) P are Outra maneiva do interpretar V= = , dx = 2 dx 0 0 4=> x { dx.dy = X dy V= - (1-y)2 2 - y(1-y)) dy = 2 = 6 6 e) z=y Objeto especie de pirsmide cilindrica Y 2 V= d 2</p><p>13 f) = a2 -asysa a>0 a>0 dxdydz = SS a - = -a = 3 7 D: 1/2 2.2 = 4 = = dx = -1 x+1 2 4 4 3/2 1 S + -1 0,5 0 5/4 = + SS</p><p>14 indefinids 8 3 3y 2 = 0 = dx = 2 du = 3 d de de du 3 du = = 6 b) D: D= = = = dx = d 9 du = 2x dx du = dx 1 sen 81 4 areseny Se du = f dx = -du 1 0 2 senx = cost. = arcseny 0 = = 2 = 1(252-1) 3</p><p>15 a) 5 25-x2 - 25-x2 25-x2 e 5 5 S dy.dx xdx); 25-x2 dx = du 2 du = 0) det = sempre isto para polares = x2xy2= 25 entretanto, Geometricamente que IKEZ Portanto de = det [ . dudu Dylu,v) = SS Bro = = 3 = B 0 125 = 0) 3 b) para fazer sem = (x,y) = = 25 2 IKEZ = = do = = 609 4 609 . 2 = 609 8 = 609 8 8</p><p>16 1 dxdy R2 R = = det scne rcose = r dxdy = 1 R = do = Seno de = = IT + = 2 R = alrio) = sene dxdy = = dr.do = = 4 15. = e) 2 dxdy 2 x 4 e -2 S = r.cose Y = SS e = SS e = = 02 = - do =</p><p>17 e x-L - = = det [ -rseno = 1-2x+1 4=> r2 2cose Ineq.1 De ineq. e = SS = 1 3 do = 3 0 = = 1. 3 senx. + 3 3 + 2 3 senx formula de recorrencia a) A= = r.dr.do 0 A= + 2 4 = = 12</p><p>18 b) dxdy drdo do = = 4 = exterior = x2-2ax + a2 + a2 4-> a2 (Eq.1) az - = r2- = zacose V dxdydz = SS S r. = 2 = 4a2 d 2 3 = 3 - = d d V 3 = + (cosx) + 12 a) m=8.V n i=1 M M= dm M</p><p>19 dm = = = -1 M=23 Rx = -1 1 = 3 of B = = Rxi Ry = (0,12) 20-1 Ry= = 2 12b) D: 3 2 2 = + dx 1 0 = - 36-9x2 dx = 83 = = 6) d 8 2.3-x = = = M M + = + dx = 2 8 = = = = 2 dx = - dx = 24 R= = 24</p><p>20 12e) y=x2 y=1 = xy = dx d 2 = d R = = = M M = = = = = 8 = M.C. = -1 2 = = dx.dy = -1 2 M = M.M. = - = 2 = 255</p><p>21 Ry: = = = = -1 = = + -1 = = = 27 4 4 4 R = = M.C. e) = senx = = - dx 2 d 4 4 dx = - 20 - - = M = 11 00 2 = + - = 2 + x2 + - 2 2 + 2 + + K + = 8 = = = sen3x.dx - = 3 9 R ) ) Devido simetria do problema Rx so' poderia estar no ponto medic do segmento de</p><p>22 13 = dm dm= = dm ( precisa o Icm Icm + M dIx = = dxdy Ix = Ix = dydx = = = um uc2 dIy= dxdy Iy = = d = um.uc Y 1 = = 0 1 = = dyds (xy.x2 dydx = = Iy + = 16 = = 80 13 um 10 80 (y-2) (y+1)=0 x 2 Y -1sys2} -1 = -1</p><p>23 Ix = 4 + 6 ) = 3 20 = 189 um uc2 20 dIy= dm.x2 Iy = = = -1 = 6 + + 8(2-(-1)) - 7 = - 129 7 = 28 Iy= 1269 um. uc2 28 dIo = dm Io = dxdy = 3. (x4y2) dxdy = 2-1 = 3y = Iy Ix I.= 189 1269 = 7.189+5.1269 = 1323 + 6345 = 1917 umuc2 20 28 4.35 4.35 4.35 35 14 a) (x + Fazendo-se uma dupla para polares = 5x = 2rcase + 4=D = - 3rcase = + -1 = rsene - 3rcase t 1 10 + 2rsene 5 roose - + = = det sone - 3rsono 10 10 + + + - 30 = 11 30 = , pois 10 M = = dr do</p><p>24 = = = r. t 15 M= t 15). = + de = 10 1 [ 103.0 3 + = u.m n 14 b) dm mi dm R= . SSD (xsy) dm = dm dm + sr2} = as cartesianas = + - r2 = - Se ha para , 2(p,e) M= = SSD dxdy = Dpe P dp do M= dp.de = S + + = = SS = + - Scos's do = + + 3</p><p>25 = + = 4 a 15 = + r2) dpdo - dp do - dp = , R= (3,0) u.c. V R x2 + a>1 e b>1 1 de Inercia em origem = dm.r2 = dIo = dmy2 a x dm Io = + = Iy + Neste conjonto D, horrivel isolor uma para estabelecer limites de vai precisar de 4 integrais calcular momento de inercia r.cose + VI (ab)2 ab = r ab e Iy = =</p><p>26 fish ab.r = X. V=1 a au + 0 que umas russas. do guiser arrisear digo que bizu em como se ev tentei en- Cen um mas</p><p>27 Iy= ab lab)4 o = case = dy= dr = do + do S + do S do do = tgo 1 S de = dy r btge u= du= do = dr / u= du= - - do 2</p><p>28 15 a) = 2 b) 1) u= du = = du = = -2z 8 = a) yz.dxdydz = = = 2 1 = = b) SSS D = SS = + = = = 15 12 21 84 84 segmentaria do 6-6x-34 2 definindo-se K : 2 K = =</p><p>29 d) 220, = = 1-2yty2 - 3 = = 1/2 12 e) SSS melhor trobalhar com ccordenadas cilindricas = [ -r.sene = + = = 4.r2 20 x.r.dx.dr.de = dr.de d = do = = 3 d 17 Osxsa, Osysa, = dm = = a ) dydz = 3 + = dm dz Rz R R= dmi.ri Rx = Edmi.xi Ry Zi y dmi dmi dmi M M M</p><p>30 = M a5 5 (3 12 = 12 = = 12 M pela simetria da as integral = oad 12 R = 7a(1,1,1) M.C. 12 Z dm 8 C = z dIy= dm x r x = Ix = = = = = K.L dz=1 = = = K 000 = (y2+x2) um.uc2 simetricas 3 19 a) SSS, = 4 r sempre maior que Se nao mais SSS (x4y2) = dr.de.dz = 100 SS = (2-(-1)) = 24TT</p><p>31 b) e = r. SSS = 010 = = sen28 + de = 15 = 8 0 =0 3 =0 + = 3 c) SSS ; =v; - Y = = = ZIT ([ ZIT 2 +1 1.do) = = 20 = 36 em 4-> 36 e 36-3r2 r.dr.dodz =</p><p>32 2TJ 36-3r2 = 3 = r. drdo = = ( 4 do = = 162TT u.c? 21 a ; limite de a M= = dm = = r.dr.dodz = a is = k (ar - 4r3) dr do = u.m. R = M M M SSSsdmx = SSSs = LIT a S = = 11 = = = K. = 4r2 = SSS z.kr - 2 2 - = = 16 12</p><p>33 Ry = 12 = 3 R = (0, M.C. 8 22 a) 22) r Matriz Jacobiana : cosy.case cosy sene = = + + + = = , sendo Ingulo entre = : = Coordenadas = SSS SSS = B = = 1 do = = 5 b) , = : e , 2</p><p>34 SSS = SSS = II 4 3 sene = dady d 5 formula de 2 F2 2 = 3 + 2 = 522 = 2 II 20 ( 3 + 20 + (sen = 15 primeiro quadrante 2 se 0 enunciade falar primeiro Os que consequentemente e' metade resposts anterior II eu posso estor errado se puder 30 para c) Segue a seguinte modelamento cone uma de sorvete) em cima sem a para coordena- 0 Y das esforicas fico ate dificil descre- ver algebricamente lugar trico. Em coordenadas e' r = r simples, a qualquer panto do circulo em cujo raie larango pode ser representado de zero de zero a 2TT e r = um do meu modelamento plano xy. Faz-se uma uma reta para determinar da E geratriz do cone. = & 4 = ( sen do = =</p><p>35 23 M= SSS H dm, = a aER, ; = j Osrsa r. r.seny = SSS = 21J = = 00 4 = = 2 24 < dv = SSS E ; = = = b.r. = r. percebe-se que (pelo fato de a,bec serem constantes) 20 se fazer as denivadas , multiplicanda cada gradiente: det J = det det a. = = b. det = a.b.c det = a.b.c. f 1 = = abc = abc abc 3 abc. = 3</p><p>36 25 9 x>0} 3r. casy Z= r. = = = II S 3. = = 2 = 26 a<b} esfera = Z ; send Z calota verifica-se que: a b 2 are a m = = b r.seny. - = are sen 1 t= t - -2 - a4 = (b2-a2)2</p><p>37 27 a) Volume da de sorvete com sorrete z=p x a = = do Determina 2 ospsa SSS = dedydz = a a = = du = (sen = = 3 (2-52) M.V. b) , 2az estericas = ; r. seny 2a ) SSS dm = = SSS = ; u = du = du Th 2 = u ;logo = de = dude = do = 5 6 8 - 8 16 2TT. - = 5 = 64.6 30</p><p>38 cilindricas 28 a) = 2, deve se ter um intervalo 0525 2 ; }so} case r(-sene) = seno r.case 10 0 1 = = + = = do lugar geometrico em coordenadas cilindricas) ; 2 = 2 = R = = = r. dz.dr.do = = do 2 = = 2 u.m. 2 b) = 1 coordenadas cilindricas Jeitro do figura = r r2 4=D 2sene ; - ; primeiro esta no = = 1. = = Th2 3 2 2.1 . do = formula de 16 > 3 3 recorrencia 3 2 + 2 sen 32.1 9 = u.m. 3</p><p>39 = = 2 - - i SSS dm = SSS dedydz = SSS 2 = Z dz + r.dr.de = = 2 + = 2 = 9.do = 2 d) = a = = e , 1215 a - M=SSS dm = SSSR dxdydz = = a = -ao 2 a + = 2 + = u.m.</p><p>40 + = = = = Y= 4=D Jeitzo do ; dm = SSS = 1 6 r = = dado = - ] = = -1 f) = z2.r = = dz = 3 + u.m. SSSR Percebe-se que a limitada estes planos ira um u+w = 2x Fazendo-se uma para as contas { = 2y 2z para Jacobiano</p><p>41 = 2 = = . 2 1-10 = = 1/4 R = SSS 4 = 1014 2 2 = = 3 4 30 a) = 3.2.r Z1 srs 2 = : SSS R = SSS 2IT 56 - 2 3 00 b) 2 3 3 1 = percebe-se que e' mais facil 3 2 do que = : - - limite - limite inf. dez = = graf x2+y24 = - dr.do = 3 do = 2 2</p><p>42 paraboloides 31 Z concentricos Z = 1 Neste tipo de precisa-se determinar que engloba as paraboloides semelhante 20 do exercício anterior -1 4 Y = 4=D = -1+ 4 = = = = 16 9 32 ; Determinando de Eq.2 Eq.1 da curva de &-D = r = : = 3 = - [ 3</p><p>43 33 w Ruvw y=v2 J= = 2(u,v,w) = ise uzo = : => v=0 V= SSS R dxdydz = = 8uvw = dv.du = = 2 = + = - dvdu = 2 3 du = = 4.1 - 4 1. 3 = d 13 [ = 90 34 = x2+y2 Cose = i para 2 validade 4-D 2 r obtendo V 2cos24 que r 5/2 2 = a curva gue a = =</p><p>44 = m = 5 5 - para dt= A A S = S 1-t2 Ae uma integral sem chances. Melhon coordenadas cilindricas = = 2 = Ec = SS = = = = = (1-v+1)(1+v-1) 4 35 , = v = superficie cenica w coordenadas methores obs: Caso seria mais simples esfericas desenhe esta melo 1 2 4 { u= r.case 4=D = r errado u limite inferior limite superior => pelo de se ter tres superficies inter seccio nando, para contabilizar todas superficies, realizar duas integrais definidas onde plano amarelo v=2 fazesto</p><p>46 = m = 1 1 - 4 3 3 3 3 ces - = II 3 3 n-L Formula de ; Soos"x.dx = 3 = S = 2 T3 dx = + ; 4 = 4 + = 3 = 3 + 12 + 12 = + = 2. + = 4 32 + - (53 valeves + 3 3.3 + - 3.4 3 = - u.m. 64 6 12 16.4 12 64 8 acho que se favor, me avisem. 37 ou Seja R2 R F(x,y) = e IR Sendo para = = = = 1/2</p><p>47 39 a) r = = a tgo = = = S seco = = seno to = 18 1 V10 = 54 1. tgo = cose = 10 1 outro de a integral = - 2. = I = I = 3 b) curva = 16 = 4ccst = 4 (-sent, cost) 4.cost. 114 = cost. = = V= sent dv= -1 1638,4</p><p>48 , 3sent, na 3cost) curva superficie de am cilindre de = (2, -3sent) raie 3 e eixo axial no = 3sent 3cost 11(2, = qt.sen2t 54 o + dt = 2 + 2 = o 22 - sen = 4 d) r segmento de reta (1,0,1) a (0,3,6) = (1,0,1) + - (1,0,1)] = = = (1+st) dt = = = = 40 = (a(t-sent), all-cost)) e a> r'(+) = a = = = dt = dt = = sent dt + Vlecost -sent du = du + du = 2 = M.C.</p><p>49 b) j(+) = tsent, r'(+)= = = It = - + + sen't + 2t.sent cost. + 1 = 52 52 dt tgo= t = seco do = 2 2 + arctg + 1/2 2 + sece) = 52 + 1.ln ( 1 + - = 52 + ln (52+1) M.C. Se 1° S = S du = sec x = dx = u du S = ln a + K = secx. tgx a dx = . du = secx In u = a du Essas integrois tem du = da = saber de + u a e dx c) = 3+2 onde osts 2 = (1, 3+) = 2 = dt = = = ; 652 = = 652 1 2 + errei alguma coisa ? Se errei, me avise</p><p>so 41 a) = = m= = Sr ds = = 2, 2+)11 = du = = 4 du = 1. 3/2 = - b) r(t)= (2cost, 2sent) = = = = m (2cost)? = = 2 = u.m 2 n B = Edmi = = (dmi.xi dmi i=1 dmi M i=1 ) = e Extendendo-se para cordas tridimensionais Voltando 20 ds = = 16 = 16 = 16 = 64 3 3 Th2 = = =</p><p>31 16 dv = = c) give era de um helicoide hahaha = (2sent, 2cost, 3+ ) = (2cost, -2sent, ) = K (uma densidade linear) 20 m = = = = = k ! dt 4-D m= K u.m. m = = = dt = d = = = = 3)11.dt = t.dt 1/2 = (0,0, M.C. 42 Bata ccm E perceba dI= = = r2 Aideia e' igualzinha = densidade infinitesimais de alguma do linear que se descreve = (2sent, (2cost, -2sent, 3) uma Ix = ds = + = r S (2cest) = + 2 + K = (</p>