Exercícios resolvidos 3

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Física Quântica - 2021.3 - QS
- Lista 3 -
Tema: Espectros e Modelos Atômicos (de Dalton à Bohr)
GABARITO
Questões:
a. Comente, sucintamente, quais são as características da radiação emitida por um gás exci-
tado e como elas influenciaram os modelos atômicos propostos.
Resp: Gases, quando excitados, emitem radiação com um espectro discreto formado por
linhas com frequências bem específicas. Cada espécie química (átomos e moléculas) apre-
senta um espectros único, como se fosse uma “impressão digital” (denominado espectro de
absorção). Para explicar esses espectros foi preciso modificar a visão sobre os átomos. O
modelo de Thomson atribuía esse fenômeno a vibração dos elétrons no átomo. Portanto,
esse modelo propunha uma ideia qualitativa, mas se esperaria a emissão de um único com-
primento de onda. Assim, um novo modelo era necessário para explicar adequadamente
os espectros observados. Com a descoberta do núcleo pelos experimentos de Rutherford,
um novo modelo foi proposto. Esse reproduzia os resultados experimentais em relação
a existência do núcleo , mas não a emissão (nem a estabilidade do átomo). O primeiro
modelo atomico a prever qualitativamente o espectro atômico, e quantitativa para áto-
mos mono-eletrônicos (H, He+, Li2+, ...), foi o modelo de Bohr. Posteriormente o modelo
completamente quântico (Modelo de Schrödinger) conseguiu descrever tanto qualitativa
quanto quantitativamente a emissão de átomos e moléculas.
b. Descreva o modelo de Thomson para o átomo. Este modelo era capaz de explicar os es-
pectros atômicos observados?
Resp: O modelo de Thomson consiste em uma distribuição contínua de carga positiva,
do tamanho do átomo, que contém a maior parte da massa. Os elétrons estariam imersos
nessa distribuição positiva, de forma a tornar o átomo neutro. Uma analogia comum para
esse modelo é de um pudim de passas (ou de ameixas), onde o pudim seria a distribuição
positiva de carga e as passas (ou ameixas) os elétrons. Esse modelo explicaria algumas ca-
racterísticas atômicos, como ser formado por matéria negativamente carregada (elétrons)
e positivamente carregada (o resto), mas não era capaz de explicar os espectros observados.
c. Descreva a experiência de espalhamento de Rutherford e o modelo por ele proposto para o
átomo, apresentando seus méritos e falhas. Discuta, ainda, como os resultados obtidos por
Geiger e Marsden evidenciaram a falha do modelo de Thomson para o átomo e forneceram
uma indicação grosseira para o tamanho do átomo.
Resp: Experiência: Rutherford e seus alunos estudaram as colisões de partículas α numa
chapa fina de ouro. A maioria dessas partículas passavam pela chapa com uma pequena
deflexão, porém algumas poucas eram espalhadas com ângulos muito grandes de 90o ou
mais. Estes resultados refutavam o modelo de Thomson, que considerava que a carga po-
sitiva deveria estar distribuída uniformemente no átomo e, portanto, não seria condizente
com os espalhamentos a grandes ângulos observados experimentalmente.
Modelo: Para explicar estes espalhamentos de grandes ângulos, eles consideraram que a
carga positiva deveria estar confinada numa região muito pequena do átomo, que seria o
núcleo atômico. Os elétrons, por sua vez, ficariam ao redor desse núcleo ocupando a maior
parte do volume do átomo e neutralizando a carga positiva.
Méritos e falhas: O modelo de Rutherford conseguiu descrever corretamente o compor-
tamento da colisão de partículas alfa com átomos neutros e introduziu a ideia do núcleo
atômico considerada adequada até hoje. Entretanto, seu modelo não justifica a estabilidade
do átomo, pois segundo o eletromagnetismo clássico os elétrons (que estavam acelerados
em uma órbita circular) deveriam irradiar energia, fazendo-os diminuir o raio de sua órbita,
até que eles colidiriam com o núcleo. Além disso, este modelo também não explicava o
porquê do espectro discreto emitido pelos átomos.
Resultados de Geiger e Marsden: Geiger e Marsden refirmaram os resultados de Ruther-
ford realizando espalhamento de partículas alfas com diferentes velocidades em diferentes
metais. Além disso, estimaram o raio dos núcleos atômicos (da ordem de 10−14m), e estes
resultados corroboraram para refutar o modelo atômico de Thomson.
d. Enuncie os postulados de Bohr e discuta o modelo por ele proposto para o átomo comparando-
o com o modelo proposto por Rutherford. Este modelo era capaz de explicar os espectros
atômicos observados?
Resp: Os postulados de Bohr podem ser enunciados como:
Primeiro postulado: Os elétrons se movem em orbitas circulares ao redor do núcleo sem
emitir radiação; (que violava o eletromagnetismo clássico)
Segundo postulado: Os átomos emitem radiação somente quando um elétron passa de uma
órbita para outra. A frequência da radiação emitida é dada por Ef − Ei = hν; (Isso é
possível porque consideramos estados estacionários em cada órbita, levando a quantização
do momento angular: L = n~, com n = 1, 2, 3...)
Terceiro postulado: Para grandes números quânticos, os resultados observados com modelo
quântico correspondem aos resultados clássicos (princípio de correspondência).
Tal modelo mantinha a estrutura do átomo do modelo de Rutherford (um pequeno nú-
cleo rodeado por elétrons), e corrigia as falhas existentes. ”Impondo” um átomo estável
(pelo primeiro dos postulado acima) e explicando o espectro de emissão discreta dos áto-
mos (pelo segundo dos postulados acima). Neste ponto, tínhamos excelente concordância
experimental dos comprimentos de onda emitidos para átomo mono-eletrônicos e uma
explicação qualitativa adequada para átomos multi-eletrônicos.
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e. Enuncie e discuta as consequências do princípio da correspondência, que é um dos postu-
lados do Modelo Atômico de Bohr
Resp: O principio de correspondência diz “No limite de grandes números quânticos, os
resultados da teoria quântica devem coincidir com os resultados clássicos.” A teoria clás-
sica explica muito bem os fenômenos cotidianos, então a teoria quântica deve fornecer os
mesmos resultados nestas situações, pois consideramos que a mecânica quântica é mais
geral que a mecânica Newtoniana.
f. Descreva a experiência de Franck-Hertz e discuta seus resultados. O que foi observado
nesta experiência corrobora com qual dos modelos atômicos?
Resp: O experimento de Franck-Hertz tem como objetivo estudar a interação de elétrons
livres com átomos em fase gasosa. O aparato consiste de uma válvula contendo um gás
rarefeito de algum elemento (originalmente mercúrio), na qual há um cátodo seguido de
uma grade positivamente carregada e uma placa detectora carregada negativamente. O
cátodo libera elétrons que são acelerados pela grade positiva e apenas aqueles com energia
cinética suficiente para passar a grade e atingir a placa detectora são detectados como uma
corrente elétrica. Nesse experimento o valor da diferença de potencial entre o cátodo e
grade é variado. Ao longo dessa variação se observa um aumento na corrente medida até
um certo valor do potencial, onde a corrente cai bruscamente. Após a queda essa voltando
a subir e esse comportamento se repete formando um gráfico com uma série de picos e
vales. A explicação é que quando os elétrons possuem energia maior ou igual a primeira
energia de excitação do elemento estudado (contido no tubo) eles podem excitar átomos
transferindo parte de sua energia cinética. Nos potenciais onde há uma queda brusca os
elétrons tem energia cinética iguais a múltiplos dessa energia de excitação e assim toda
a energia cinética deles é transferida para os átomos. Assim, apenas os poucos que não
interagiram conseguem alcançar o detector. Uma vez excitados os átomos decaem emi-
tindo fótons com o comprimento de onda dado por λ = hc/eV0, que está de acordo com o
modelo de Bohr e os níveis discretos de energia.
Problemas:
1. Uma aproximação para as energias dos estados estacionários de átomos de número atômico
Z e um único elétron é dada por
En ≈ −Z2 ×
13, 6
n2
eV (n inteiro).
Considere o átomo de lítio duplamente ionizado, Li2+, que tem número atômico Z = 3.a) Se o elétron neste átomo estiver no nível de energia n = 3 e realizar uma transição para
o nível n = 2, qual seria o valor aproximado da energia do fóton emitido? Considere que a
energia cinética inicial e final do átomo como um todo podem ser desprezadas no processo
de transição.
b) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição descrita no item a).
c) Se a transição fosse do nível n = 3 para o nível n = 1 o comprimento de onda do fóton
emitido seria maior ou menor do que o do fóton emitido na transição do nível n = 3 para
o nível n = 2? Explique.
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d) Calcule, aproximadamente, a energia de ionização do Li2+, isto é, a energia mínima que
deve ser transferida a esse átomo em seu estado fundamental (n = 1) para que seu elétron
seja separado do núcleo.
Resp:a) Neste caso, devemos considerar os níveis inicial e final da transição:
Ei = E3
q
Ef = E2 + Eγ ⇒ Eγ = E3 − E2
Eγ = E3 − E2 = 9× 13, 6
[
1
4
− 1
9
]
eV
= 13, 6
5
4
eV ≈ 17 eV
b) Para determinar o comprimento de onda, basta utilizar a relação:
λ =
hc
E3→2
=
1240 eV · nm
17 eV
= 72, 9nm
c) Seria menor porque a transição 3→ 1 o fóton é mais energético.
d) Neste caso, queremos determinar a energia necessária para ionizar o elétron:
Eion = 9× 13, 6
[
1
12
− 1
(limn→∞n)2
]
eV = 9× 13, 6eV ≈ 122, 4eV
2. Um átomo de hidrogênio estará, em média, em um estado excitado cerca de 10−8s antes
de fazer uma transição para um estado de energia mais baixo. Quantas revoluções um
elétron, no estado n = 2, faz neste intervalo de tempo?
Resp: Sabemos que: o raio da orbita é dado por rn = n2a0/Z ( onde a0 = 5.292×10−11m
é o raio de Bohr); a velocidade pode ser escrita como v2 = ke
2
mr (onde k é a constante de
Coulomb cujo valor é 8, 99 × 109Nm2C−2 e m a massa do elétron); e o perído de uma
orbita é T = 2πr/v. Assim substituindo v e r na experssão de T ,
T =
2πn3
e
√
ma30
Z3k
.
Obtemos que T = 1, 20 × 10−15s e, concluímos, que o número de revoluções é ∆t/T =
8, 31× 106.
3. É possível que um múon seja capturado por um próton formando um átomo muônico. Um
múon é idêntico a um elétron exceto por sua massa, que é de 105, 7MeV/c2. Calcule o
raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico e o módulo de sua energia. Qual
é, na série de Lyman desse átomo, o comprimento de onda mais longo?
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Resp: A massa de um múon é mµ = 105, 7MeV/c2 = 1, 884 × 10−28kg. O raio de Bohr
para o átomo muônico é dado então, por:
aµ0 =
~2
mµke2
= a0
me
mµ
,
sendo a massa do elétron me = 0, 511MeV/c2 = 9, 109 × 10−31kg e k a constante de
Coulomb, então aµ0 = 2, 59× 10−3 Å. Da mesma forma, para os níveis de energia temos:
En = −
Z2Eµ0
n2
= −mµZ
2E0
men2
.
Assim, Eµ0 = 2812eV e a energia da primeira órbita (E1) é de −2812eV . Na série de
Lyman, o maior comprimento de onda onda é dado pela transição de n = 1 para n = 2,
∆E1,2 = Z
2Eµ0
(
1
12
− 1
22
)
= 2109eV.
Pela relação
E =
hc
λ
,
temos que λ1,2 = 0, 59nm, que seria na região de raios X do espectro eletromagnético.
Nota: Como a massa do próton (mp = 1.673 × 10−27kg) e do múon são próximas, a
aproximação de uma carga negativa orbitando um núcleo fixo rigorosamente não se aplica.
A massa reduzida (mred) do sistema deve ser utilizada nesses casos, onde
mred =
mpmµ
mp +mµ
= 1.690× 10−28kg.
Assim, substituindo a massa do múon pela massa reduzida, em cada um dos casos, te-
mos aµ0 = 2.88 × 10−4 Å (uma ordem de grandeza diferente!). Nesse caso tanto o próton
quanto o múon orbitam o centro de massa que fica fixo. Eµ0 = 2523eV , ∆E1,2 = 1892eV
e λ1,2 = 0.656nm. Mais informações podem ser encontradas no quarto capítulo do livro
“Modern Physics” sexta edição de Paul A. Tipler e Ralph A. Llewellyn.
4. Utilizando a expressão de Bohr para os níveis de energia de um átomo (En = Z
2Eo
n2
),
esboce o diagrama de níveis de energia do hidrogênio. Mostre esquematicamente as possí-
veis transições entre os 6 primeiros níveis e a energia de ionização. Compare os resultados
obtidos com o valor do comprimento de onda mais curto do átomo muônico do exercício
anterior.
Resp: O diagrama abaixo ilustra as primeiras series para o átomo de hidrogênio. No
diagrama estão representandas as primeiras transições das series de Lyman (n = 1), Bal-
mer (n = 2) e Paschen (n = 3). As energias de ionização dos 6 primeiros níveis são:
E1 = 13, 6eV , E2 = 3, 4eV , E3 = 1, 51eV , E4 = 0, 85eV e E6 = 0, 38eV . Podemos obser-
var que as energias para o átomo de hidrogênio são bem menores que para o muônico, onde
E1 = 2109eV , pois o múon é muito mais pesado. Assim, uma energia maior é necessária
para que a energia cinética do múon supere a energia potencial de atração.
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Figura 1: Diagrama de níveis de energia do Hidrogênio
5. Um átomo de hélio uma vez ionizado, He+, tem um espectro análogo ao do hidrogênio,
mas seu núcleo tem o dobro da carga do de hidrogênio.
a) Use os resultados da teoria de Bohr para obter os níveis de energia En aproximados do
He+, em função das constantes físicas e, me, c, h, �0.
b) Qual é a previsão para a energia do fóton emitido numa transição de n = 2 para n = 1.
c) Calcule a energia de ionização do He+.
d) Obtenha uma estimativa da distância entre o núcleo é o elétron desse átomo calculando
o raio da primeira órbita de Bohr.
Resp: a) No átomo de hidrogênio, temos:
En = −
me
2
(
e2
4π�0~
)2
1
n2
= −13, 6
n2
eV
Para o caso do átomo de hélio (Z = 2), podemos escrever:
En = −
me
2
(
Ze2
4π�0~
)2
1
n2
= −13, 6Z
2
n2
eV = −54, 4
n2
eV
b) Basta fazermos a diferença entre as energias do nível final e do inicial da transição:
En = −54, 4
[
1− 1
4
]
eV = 40, 8eV
c) Para a energia de ionização, temos:
En = −54, 4[1− 0]eV = 54, 4eV
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d) Neste caso, utilizamos a expressão para determinar o raio atômico obtido pelo modelo
de Bohr:
rn = n
2~2
4π�0
µZe2
≈ n2~2 4π�0
meZe2
No caso do átomo de hélio (Z = 2), o raio da primeira órbita(n = 1), será dado por:
r1 = ~2
4π�0
me2e2
≈ 0.529
2
o
A
Como vemos, o raio da primeira órbita para este íon de hélio corresponde a aproximada-
mente metade do raio para a primeira órbita do átomo de hidrogênio.
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