aprendizado ao extremo CCXXIV

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<p>**Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Fatorando o</p><p>numerador, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = 4 \).</p><p>62. Calcule a integral \( \int (x^2 + 3x + 2) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C \)</p><p>B) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C \)</p><p>C) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3x}{2} + 2 + C \)</p><p>D) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2 + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (x^2 + 3x + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C</p><p>\).</p><p>63. Determine a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \).</p><p>A) \( 2x\cos(x^2) \)</p><p>B) \( \cos(x^2) \)</p><p>C) \( 2\sin(x^2) \)</p><p>D) \( -2x\sin(x^2) \)</p><p>**Resposta: A) \( 2x\cos(x^2) \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \cos(u) \cdot u' \), onde \( u = x^2 \) e \(</p><p>u' = 2x \).</p><p>64. Calcule \( \int (3x^4 - 2x^2) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + C \)</p><p>B) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{2}x^3 + C \)</p><p>C) \( \frac{3}{3}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + C \)</p><p>D) \( \frac{3}{5}x^5 - x^3 + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (3x^4 - 2x^2) \, dx = \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + C \).</p><p>65. Qual é a integral definida \( \int_{1}^{2} (5x^3) \, dx \)?</p><p>A) 10</p><p>B) 15</p><p>C) 20</p><p>D) 25</p><p>**Resposta: A) 10**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (5x^3) \, dx = \frac{5}{4}x^4 + C \). Avaliando de 1 a 2: \(</p><p>[\frac{5}{4}(16) - \frac{5}{4}(1)] = 10 - \frac{5}{4} = 10 - 1.25 = 8.75 \).</p><p>66. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \infty \)</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: A) 0**</p><p>**Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Usando a regra de</p><p>L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: \( \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos(x)} = 0</p><p>\).</p><p>67. Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(2x + 3) \).</p><p>A) \( \frac{2}{2x + 3} \)</p><p>B) \( \frac{1}{2x + 3} \)</p><p>C) \( \frac{3}{2x + 3} \)</p><p>D) \( \frac{2x + 3}{2} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{2}{2x + 3} \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \). Aqui, \( u = 2x + 3 \) e \( u'</p><p>= 2 \), então \( f'(x) = \frac{2}{2x + 3} \).</p><p>68. Qual é a integral indefinida de \( 8x^3 \)?</p><p>A) \( 2x^4 + C \)</p><p>B) \( 4x^4 + C \)</p><p>C) \( x^4 + C \)</p><p>D) \( 8x^4 + C \)</p><p>**Resposta: B) \( 2x^4 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( 8x^3 \) é \( 2x^4 + C \).</p><p>69. Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta: C) 2**</p><p>**Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Fatorando o</p><p>numerador, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>70. Calcule a integral \( \int (4x^3 + 2) \, dx \).</p><p>A) \( x^4 + 2x + C \)</p><p>B) \( x^4 + 2 + C \)</p><p>C) \( x^4 + x + C \)</p><p>D) \( 4x^4 + 2x + C \)</p><p>**Resposta: A) \( x^4 + 2x + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (4x^3 + 2) \, dx = x^4 + 2x + C \).</p><p>71. Determine a derivada de \( f(x) = x^5 - 5x^3 + 4 \).</p><p>A) \( 5x^4 - 15x^2 \)</p><p>B) \( 5x^4 - 15x \)</p><p>C) \( 15x^2 - 5 \)</p><p>D) \( 5x^4 + 15x^2 \)</p><p>**Resposta: A) \( 5x^4 - 15x^2 \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do poder: \( f'(x) = 5x^4 - 15x^2 \).</p><p>72. Calcule \( \int (5x^2 + 3x) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \)</p><p>B) \( \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x + C \)</p><p>C) \( \frac{5}{3}x^3 + 3x + C \)</p><p>D) \( \frac{5}{3}x^3 + 3 + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (5x^2 + 3x) \, dx = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \).</p><p>73. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \infty \)</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: B) 1**</p><p>**Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Usando a regra de</p><p>L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} =</p><p>1 \).</p><p>74. Determine a derivada de \( f(x) = x \sin(x) \).</p><p>A) \( \sin(x) + x \cos(x) \)</p><p>B) \( x \cos(x) - \sin(x) \)</p><p>C) \( x \sin(x) + 1 \)</p><p>D) \( x \cos(x) + \sin(x) \)</p><p>**Resposta: A) \( \sin(x) + x \cos(x) \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = u'v + uv' \), onde \( u = x \) e \( v =</p><p>\sin(x) \).</p><p>75. Calcule \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \)</p><p>B) \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4 + C \)</p><p>C) \( \frac{1}{2}x^4 - 3x + C \)</p><p>D) \( \frac{1}{2}x^4 - 3x^3 + 4 + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \).</p><p>76. Qual é a integral definida \( \int_{0}^{1} (3x^2) \, dx \)?</p><p>A) 1</p>