Aula 15 - Testes de Hipóteses

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<p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia)</p><p>Estatística</p><p>Autor:</p><p>Equipe Exatas Estratégia</p><p>Concursos</p><p>23 de Maio de 2024</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Índice</p><p>..............................................................................................................................................................................................1) Introdução - Testes de Hipóteses 4</p><p>..............................................................................................................................................................................................2) Conceitos Fundamentais - Teste de Hipóteses 5</p><p>..............................................................................................................................................................................................3) Tipos de Erros 14</p><p>..............................................................................................................................................................................................4) Testes para Distribuições Uniformes 25</p><p>..............................................................................................................................................................................................5) Testes de Hipóteses para a Média 28</p><p>..............................................................................................................................................................................................6) Testes de Hipóteses para Proporções 53</p><p>..............................................................................................................................................................................................7) Teste para Distribuição Binomial 59</p><p>..............................................................................................................................................................................................8) Testes de Hipóteses para a Variância 63</p><p>..............................................................................................................................................................................................9) P-Valor 73</p><p>..............................................................................................................................................................................................10) Teste Qui-Quadrado 78</p><p>..............................................................................................................................................................................................11) Outros Testes não Paramétricos 94</p><p>..............................................................................................................................................................................................12) Questões Comentadas - Conceitos Fundamentais - Multibancas 110</p><p>..............................................................................................................................................................................................13) Questões Comentadas - Tipos de Erros - Multibancas 113</p><p>..............................................................................................................................................................................................14) Questões Comentadas - Testes para Distribuições Uniformes - Multibancas 127</p><p>..............................................................................................................................................................................................15) Questões Comentadas - Testes de Hipóteses para a Média - Multibancas 128</p><p>..............................................................................................................................................................................................16) Questões Comentadas - Testes de Hipóteses para Proporções - Multibancas 152</p><p>..............................................................................................................................................................................................17) Questões Comentadas - Testes para Distribuição Binomial - Multibancas 163</p><p>..............................................................................................................................................................................................18) Questões Comentadas - Testes de Hipóteses para a Variância - Multibancas 169</p><p>..............................................................................................................................................................................................19) Questões Comentadas - P-Valor - Multibancas 170</p><p>..............................................................................................................................................................................................20) Questões Comentadas - Teste Qui-Quadrado - Multibancas 173</p><p>..............................................................................................................................................................................................21) Questões Comentadas - Outros Testes não Paramétricos - Multibancas 193</p><p>..............................................................................................................................................................................................22) Lista de Questões - Conceitos Fundamentais - Multibancas 194</p><p>..............................................................................................................................................................................................23) Lista de Questões - Tipos de Erros - Multibancas 197</p><p>..............................................................................................................................................................................................24) Lista de Questões - Testes para Distribuições Uniformes - Multibancas 204</p><p>..............................................................................................................................................................................................25) Lista de Questões - Testes de Hipóteses para a Média - Multibancas 206</p><p>..............................................................................................................................................................................................26) Lista de Questões- Testes de Hipóteses para Proporções - Multibancas 217</p><p>..............................................................................................................................................................................................27) Lista de Questões - Testes para Distribuição Binomial - Multibancas 222</p><p>..............................................................................................................................................................................................28) Lista de Questões - Testes de Hipóteses para a Variância - Multibancas 226</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>2</p><p>243</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Índice</p><p>..............................................................................................................................................................................................29) Lista de Questões - P-Valor - Multibancas 228</p><p>..............................................................................................................................................................................................30) Lista de Questões - Teste Qui-Quadrado - Multibancas 231</p><p>..............................................................................................................................................................................................31) Lista</p><p>o objetivo do teste é verificar se a média é estatisticamente diferente de 750.000. Ou seja, 𝜇 = 750.000 corresponde à hipótese nula e 𝜇 ≠ 750.000 corresponde à hipótese</p><p>alternatica.ao parâmetro da hipótese nula.</p><p>Assim, a estatística do teste é dada por:</p><p>𝑡 = �̅� − 𝜇𝑠√𝑛 = 1.000.000 − 750.000500.000√16 = 250.000500.0004 = 250.000125.000 = 2</p><p>Já temos a resposta da questão, mas vale reforçar que, para decidirmos se rejeitamos ou não a hipótese</p><p>nula, comparamos essa estatística do teste ao valor tabelado da distribuição de t-Student com 𝒏 − 𝟏 = 15</p><p>graus de liberdade.</p><p>Gabarito: A</p><p>(FCC/2018 – TCE-RS) Uma população, referente aos comprimentos de certo cabo, é normalmente</p><p>distribuída, de tamanho infinito e com variância desconhecida. Deseja-se verificar se há indícios de que a</p><p>média 𝜇 dessa população seja diferente de 100 cm. Para isso foi retirada uma amostra aleatória de tamanho</p><p>9, que apresentou uma média igual a �̅�, em cm, e um desvio padrão igual a 6 cm. Foram formuladas as</p><p>hipóteses 𝐻0: 𝜇 = 100𝑐𝑚 (hipótese nula) e 𝐻1: 𝜇 ≠ 100𝑐𝑚 (hipótese alternativa), e o nível de significância</p><p>considerado foi de 5%. Para testar a hipótese nula, utilizou- se o teste t de Student.</p><p>A tabela abaixo fornece valores de 𝑡0,025 > 0, que representa o quantil da distribuição t de Student para n</p><p>graus de liberdade, em que 𝑡0,025 > 0 é o quantil da distribuição t de Student tal que a probabilidade 𝑃(𝑡 > 𝑡0,025) = 0,025. Verificou-se que o valor que foi encontrado para �̅� foi o menor valor tal que 𝐻0 não</p><p>é rejeitada.</p><p>Dados:</p><p>Então, �̅� é igual a:</p><p>a) 95,48 cm</p><p>b) 94,88 cm</p><p>c) 95,28 cm</p><p>d) 94,60 cm</p><p>e) 95,38 cm</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>40</p><p>243</p><p>A questão pede o valor de �̅�, que é o menor valor para o qual a hipótese nula não é rejeitada, ou seja, o</p><p>limite inferior da Região de Não Rejeição, calculado como: �̅� = 𝜇 − 𝑡 × 𝑠�̅� = 𝜇 − 𝑡 × 𝑠√𝑛</p><p>Para isso, o enunciado apresenta os seguintes dados:</p><p>• Média da população (parâmetro sendo testado): 𝜇 = 100 cm</p><p>• Desvio padrão amostral: 𝑠 = 6</p><p>• Tamanho da amostra: 𝑛 = 9</p><p>Com base nessas informações, primeiro calculamos o valor do desvio padrão da média amostral: 𝑠�̅� = 𝑠√𝑛 = 6√9 = 63 = 2</p><p>O valor crítico 𝑡 deve ser obtido para 𝑛 − 1 = 8 graus de liberdade. Pela tabela fornecida, observamos que 𝑡 = 2,31. Logo, o valor mínimo é: �̅� = 100 − 2,31 × 2 = 100 − 4,62 = 95,38</p><p>Gabarito: E</p><p>Comparação das Médias de duas populações</p><p>O objetivo desse teste é comparar as médias de duas populações 𝑋1 e 𝑋2 independentes, para verificar se</p><p>as médias são iguais, isto é, correspondem à mesma população, ou não.</p><p>Vamos indicar as médias das duas populações 𝑋1 e 𝑋2 como 𝜇1e 𝜇2, respectivamente.</p><p>A hipótese nula é de que as médias são iguais (ou seja, de que se trata da mesma população): 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2</p><p>Isso é o mesmo que afirmar que a diferença entre as médias é nula: 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0</p><p>Por exemplo, uma empresa que tenha recebido 2 lotes de peças do seu fornecedor pode estar interessada</p><p>em verificar se esses lotes são da mesma população. Para isso, a empresa irá extrair uma amostra de cada</p><p>lote e calcular as médias amostrais, que indicamos por 𝑥1̅̅̅ e 𝑥2̅̅ ̅.</p><p>Nos testes bilaterais, estamos interessados em verificar se as médias das populações são iguais ou</p><p>diferentes. Assim, as hipóteses nula e alternativa são as seguintes:</p><p>{𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2} ↔ {𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0}</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>41</p><p>243</p><p>Nessa situação, vamos rejeitar a hipótese nula se a média amostral da primeira população for muito menor</p><p>do que a da segunda (𝑥1̅̅̅ ≪ 𝑥2̅̅ ̅); ou se a média amostral da primeira população for muito maior do que a da</p><p>segunda população (𝑥1̅̅̅ ≫ 𝑥2̅̅ ̅).</p><p>Por que estamos falando em muito maior ou muito menor? Porque a rejeição é a decisão forte. Assim,</p><p>rejeitamos a hipótese nula se realmente tivermos forte indício de que ela seja falsa, isto é, se o resultado do</p><p>teste estiver na região crítica.</p><p>Nesse caso, a empresa cria um intervalo, como (−0,5; 0,5), para a diferença entre as médias amostrais de</p><p>cada lote. Assim, se a empresa encontrar 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅ 0,5, ela irá rejeitar os lotes.</p><p>Em outra situação, pode ser um problema para a empresa apenas se a média do primeiro lote for menor que</p><p>a do segundo lote. Nessa situação, deve ser conduzido o teste unilateral à esquerda, cujas hipóteses nula e</p><p>alternativa são as seguintes:</p><p>{𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2𝐻1: 𝜇1 𝜇2} ↔ {𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 0}</p><p>Nessa situação, a rejeição irá ocorrer apenas se a média amostral da primeira população for muito maior do</p><p>que a da segunda população (𝑥1̅̅̅ ≫ 𝑥2̅̅ ̅).</p><p>Por exemplo, a empresa pode decidir rejeitar os lotes apenas se 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅ > 0,5.</p><p>Populações Normais com Variâncias Conhecidas</p><p>Se as populações 𝑋1 e 𝑋2 seguirem distribuições normais (ou se as amostras forem grandes o suficiente para</p><p>que as médias amostrais sigam distribuições), com variâncias conhecidas, 𝑉(𝑋1) = 𝜎12 e 𝑉(𝑋2) = 𝜎22, então</p><p>a diferença das médias amostrais 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅ também seguirá distribuição normal. Assim, utilizamos a seguinte</p><p>transformação para a normal padrão:</p><p>𝑧 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>42</p><p>243</p><p>O 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 é a diferença entre as médias amostrais: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = 𝒙𝟏̅̅ ̅ − 𝒙𝟐̅̅ ̅</p><p>A 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 é a diferença entre as médias populacionais: 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐</p><p>Como consideramos a hipótese nula, em que 𝜇1 − 𝜇2 = 0, então a média da distribuição é igual a zero: 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = 𝟎</p><p>A variância da diferença das médias amostrais 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅ é dada pela soma das variâncias, uma vez que as</p><p>populações são independentes1: 𝑉(𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅) = 𝑉(𝑥1̅̅̅) + 𝑉(𝑥2̅̅ ̅)</p><p>E a variância da média amostral é a razão entre a variância populacional e o tamanho amostral, então:</p><p>𝑉(𝑥1̅̅̅) = 𝑉(𝑋1)𝑛1 = 𝜎12𝑛1</p><p>𝑉(𝑥2̅̅ ̅) = 𝑉(𝑋2)𝑛2 = 𝜎22𝑛2</p><p>Em que 𝑛1 é o tamanho da amostra extraída da primeira população 𝑋1 e 𝑛2 é o tamanho da amostra extraída</p><p>da segunda população 𝑋2. Assim, a variância da diferença 𝑉(𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅) é a soma, já que as amostras são</p><p>independentes:</p><p>𝑉(𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅) = 𝜎12𝑛1 + 𝜎22𝑛2</p><p>Assim, o 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 é a raiz quadrada dessa variância:</p><p>𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = 𝜎𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅ = √𝑉(𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅) = √𝝈𝟏𝟐𝒏𝟏 + 𝝈𝟐𝟐𝒏𝟐</p><p>1 Quando as variáveis não são necessariamente independentes, as variâncias da soma e da diferença são dadas</p><p>respectivamente por: 𝑉(𝑋1 + 𝑋2) = 𝑉(𝑋1) + 𝑉(𝑋2) + 2. 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋2) 𝑉(𝑋1 − 𝑋2) = 𝑉(𝑋1) + 𝑉(𝑋2) − 2. 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋2)</p><p>Em que 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋2) é</p><p>a covariância entre as variáveis.</p><p>Pontue-se que, para variáveis independentes, a covariância é nula. Por esse motivo, a variância tanto da soma quanto da</p><p>diferença de variáveis independentes equivale à soma das variâncias.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>43</p><p>243</p><p>Dessa forma, considerando a hipótese nula, 𝜇1 − 𝜇2 = 0, o valor da estatística do teste corresponde à</p><p>transformação da diferença das médias amostrais 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅ para a normal padrão: 𝑧 = 𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅𝜎𝑥1̅̅ ̅̅ −𝑥2̅̅ ̅̅ = 𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅√𝜎12𝑛1+𝜎22𝑛2</p><p>Essa estatística deve ser comparada ao valor crítico tabelado 𝑧𝐶, considerando o nível de significância</p><p>desejado e o tipo de teste (bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral à direita).</p><p>Alternativamente, pode-se verificar se o resultado observado da diferença 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅ respeita o limite</p><p>estipulado (ou os limites, no teste bilateral), considerando o valor crítico tabelado 𝑧𝐶.</p><p>Para calcular os limites da diferença, podemos reorganizar a fórmula acima, isolando a diferença 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅:</p><p>𝐿𝐷 = ±𝑧 × √𝜎12𝑛1 + 𝜎22𝑛2</p><p>Assim, os limites da diferença terão o mesmo valor absoluto, apenas com sinais diferentes.</p><p>Vamos considerar que a variância da primeira população seja 𝜎12 = 3 e da segunda</p><p>população 𝜎22 = 1; e que seja extraída uma amostra de tamanho 𝑛1 = 18 da primeira</p><p>população e outra de tamanho 𝑛2 = 12 da segunda população.</p><p>A variância da média amostral da primeira população é:</p><p>𝑉(𝑥1̅̅̅) = 𝜎12𝑛1 = 318 = 16</p><p>E da segunda população é:</p><p>𝑉(𝑥2̅̅ ̅) = 𝜎22𝑛2 = 112</p><p>A variância da diferença é a soma: 𝑉(𝑥1̅̅̅ − 𝑥1̅̅̅) = 𝑉(𝑥1̅̅̅) + 𝑉(𝑥2̅̅ ̅) = 16 + 112 = 2+112 = 312 = 14</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>44</p><p>243</p><p>E o desvio padrão da distribuição é a raiz quadrada desse resultado:</p><p>𝜎𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅ = √𝑉(𝑥1̅̅̅ − 𝑥1̅̅̅) = √14 = 12</p><p>Agora, vamos supor um nível de confiança 1 − 𝛼 = 95% em um teste bilateral, em que 𝑧𝐶 = ±1,96 (pela tabela normal padrão).</p><p>Então, o valor limite para a diferença 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅, em módulo, é: 𝐿𝐷 = 𝑧𝐶 × 𝜎𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅ = 1,96 × 12 = 0,98</p><p>Note que não precisamos conhecer as médias populacionais 𝜇1 e 𝜇2, uma vez que a hipótese nula é de que</p><p>a diferença seja nula.</p><p>No entanto, caso a hipótese nula seja diferente de 𝜇1 = 𝜇2, vamos precisar conhecer o valor da diferença</p><p>entre as médias 𝜇1 − 𝜇2 = ∆0, indicada na hipótese nula. Nessa situação, a estatística do teste torna-se:</p><p>𝑧 = 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅ − ∆0√𝜎12𝑛1 + 𝜎22𝑛2</p><p>Se a questão fornecer os desvios padrão amostrais,</p><p>𝜎1√𝑛1 e</p><p>𝜎2√𝑛2, será necessário elevá-los ao</p><p>quadrado para obter as respectivas variâncias amostrais,</p><p>𝜎12𝑛1 e</p><p>𝜎22𝑛2.</p><p>Somente então, você poderá calcular a variância da diferença e, em seguida, obter o</p><p>desvio padrão da diferença, pela sua raiz quadrada:</p><p>𝜎𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅ = √𝑉(𝑥1̅̅̅ − 𝑥1̅̅̅) = √𝜎12𝑛1 + 𝜎22𝑛2</p><p>Não some os desvios padrão! 𝜎1√𝑛1 + 𝜎2√𝑛2</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>45</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>Populações Normais com Variâncias Desconhecidas</p><p>Agora, vamos supor duas populações normais com médias 𝜇1 e 𝜇2 desconhecidas, ambas com a mesma</p><p>variância 𝜎2, também desconhecida.</p><p>Nessa situação, as variâncias amostrais calculadas a partir das amostras de ambas as populações, 𝑠12 e 𝑠22,</p><p>são estimativas não viesadas para 𝜎2. Pontue-se que essas estimativas seguem distribuição de t-Student</p><p>com 𝑛1 − 1 e 𝑛2 − 1 graus de liberdade, respectivamente, em que 𝑛1 é o tamanho da amostra proveniente</p><p>da primeira população e 𝑛2 é o tamanho da amostra proveniente da segunda população.</p><p>Para calcular uma estimativa única para a variância populacional, o que chamamos de estimador combinado,</p><p>calculamos a média ponderada dessas estimativas, cujos pesos correspondem aos números de graus de</p><p>liberdade:</p><p>𝑠𝑝2 = (𝑛1 − 1). 𝑠12 + (𝑛2 − 1). 𝑠22𝑛1 − 1 + 𝑛2 − 1 = (𝑛1 − 1). 𝑠12 + (𝑛2 − 1). 𝑠22𝑛1 + 𝑛2 − 2</p><p>A estimativa para a variância da média amostral da primeira população é a razão entre essa estimativa</p><p>combinada da variância populacional e o tamanho da primeira amostra:</p><p>𝑉(𝑋1̅̅ ̅) = 𝑠𝑝2𝑛1</p><p>Analogamente, para a média amostral da segunda população, temos:</p><p>𝑉(𝑋2̅̅ ̅) = 𝑠𝑝2𝑛2</p><p>Considerando que as amostras são independentes, a variância da diferença das médias amostrais é:</p><p>𝑉(𝑋1̅̅ ̅ − 𝑋2̅̅ ̅) = 𝑉(𝑋1̅̅ ̅) + 𝑉(𝑋2̅̅ ̅) = 𝑠𝑝2𝑛1 + 𝑠𝑝2𝑛2 = 𝑠𝑝2. ( 1𝑛1 + 1𝑛2)</p><p>E a estimativa para o erro padrão desse estimador é a raiz quadrada da variância:</p><p>𝑠𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅ = √𝑉(𝑥1̅̅̅ − 𝑥1̅̅̅) = √𝑠𝑝2. ( 1𝑛1 + 1𝑛2)</p><p>Considerando a hipótese de igualdade entre as médias, 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2, a estatística do teste é dada por:</p><p>𝑡 = 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅√𝑠𝑝2. ( 1𝑛1 + 1𝑛2)</p><p>Que segue distribuição de t-Student, com 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐 graus de liberdade.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>46</p><p>243</p><p>Vamos supor os seguintes dados:</p><p>• Média da 1ª população 𝑥1̅̅̅ = 10 e média da 2ª população 𝑥2̅̅ ̅ = 5;</p><p>• Variância amostral para a 1ª amostra 𝑠12 = 10; e para a 2ª amostra 𝑠22 = 21;</p><p>• Tamanho da 1ª amostra 𝑛1 = 9 e para a 2ª amostra 𝑛2 = 4.</p><p>Com base nesses dados, vamos primeiro calcular o estimador combinado da variância:</p><p>𝑠𝑝2 = (𝑛1−1).𝑠12+(𝑛2−1).𝑠22𝑛1+𝑛2−2 = (9−1).10+(4−1).219+4−2 = 8×10+3×2111 = 80+6311 = 14311 = 13</p><p>E a estimativa para o erro padrão do estimador (𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅) é:</p><p>𝑠𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅ = √𝑠𝑝2. ( 1𝑛1 + 1𝑛2) = √13. (19 + 14) = √13. (4+99×4) = √13×1336 = 136</p><p>E a estatística do teste é: 𝑡 = 𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅𝑠𝑥1̅̅ ̅̅ −𝑥2̅̅ ̅̅ = 10−513/6 = 5 × 613 = 3013 ≅ 2,3</p><p>Que segue distribuição de t-Student com 𝑛1 + 𝑛2 − 2 = 11 graus de liberade.</p><p>Para um teste bilateral, temos 𝑃(|𝑇11| > 2,2) = 5%. Como a estatística do teste supera o</p><p>limite crítico tabelado, a hipótese nula de igualdade entre as médias é rejeitada, a 5% de</p><p>significância, no teste bilateral.</p><p>Caso o teste seja unilateral, temos 𝑃(𝑇11 > 2,6) = 5%. Como a estatística do teste é</p><p>inferior a esse limite crítico, não rejeitamos a hipótese nula de igualdade entre as médias,</p><p>a 5% de significância, no teste unilateral.</p><p>Caso a hipótese nula seja diferente de 𝜇1 = 𝜇2, precisamos da diferença entre as médias 𝜇1 − 𝜇2 = ∆0,</p><p>indicadas na hipótese nula.</p><p>A estatística desse teste, que também segue distribuição de t-Student com 𝑛1 + 𝑛2 − 2 graus de liberdade,</p><p>é dada por:</p><p>𝑡 = 𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅ − ∆0√𝑠𝑝2. ( 1𝑛1 + 1𝑛2)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>47</p><p>243</p><p>Quando as variâncias das populações são desconhecidas e diferentes, a estatística do</p><p>teste, considerando a hipótese de igualdade entre as médias, é dada por: 𝑡 = 𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅√𝑠12𝑛1+𝑠22𝑛2</p><p>Que segue aproximadamente uma distribuição de t-Student, cujo número 𝑘 de graus de</p><p>liberdade considera os quadrados das variâncias dos estimadores:</p><p>𝑘 =</p><p>(𝑠12𝑛1+𝑠22𝑛2)2</p><p>(𝑠12𝑛1)2</p><p>𝑛1−1 +(𝑠22𝑛2)2</p><p>𝑛2−1</p><p>(FGV/2019 – DPE-RJ) Suponha que para estimar e testar a diferença entre as médias de duas populações</p><p>cujas características são independentes sejam extraídas duas amostras. Os tamanhos de amostra são n = 36</p><p>e m = 64, para X e Y, respectivamente. Como resultado da seleção, chega-se a �̅� = 20 e �̅� = 17. Além disso,</p><p>sabe-se que as variâncias populacionais são 𝜎𝑋2 = 𝜎𝑌2 = 100.</p><p>Em módulo, a estatística amostral para fins de estimação e inferência</p><p>é:</p><p>a) 36/35</p><p>b) 1,44</p><p>c) 1,60</p><p>d) 0,48</p><p>e) 1,05</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado forneceu os seguintes dados:</p><p>• Variâncias populacionais: 𝜎𝑋2 = 𝜎𝑌2 = 100;</p><p>• Tamanhos das amostras 𝑛𝑋 = 36 e 𝑛𝑌 = 64;</p><p>• Valores observados: 𝑥 = 20 e 𝑦 = 17.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>48</p><p>243</p><p>Assim, as variâncias das médias amostrais são dadas por: 𝑉(�̅�) = 𝜎𝑥2𝑛𝑥 = 10036 = 259</p><p>𝑉(�̅�) = 𝜎𝑦2𝑛𝑦 = 10064 = 2516</p><p>E a variância da diferença é a soma, já que as populações são independentes: 𝑉(�̅� − �̅�) = 𝑉(�̅�) + 𝑉(�̅�) = 259 + 2516 = 400 + 225144 = 625144</p><p>E o desvio padrão da diferença é a raiz quadrada:</p><p>𝜎�̅�−�̅� = √𝑉(�̅� − �̅�) = √625144 = 2512</p><p>Assim, a estatística do teste é a razão: 𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝜎�̅�−�̅� = 20 − 172512 = 3 × 1225 = 1,44</p><p>Gabarito: B.</p><p>(Cebraspe/2023 – TC-DF) Um pesquisador deseja avaliar a significância estatística da diferença entre as</p><p>médias amostrais produzidas por dois conjuntos de dados, amostras 1 e 2, conforme mostra o quadro a</p><p>seguir. Esses conjuntos de dados foram obtidos por amostragem aleatória de populações normais, sendo</p><p>que a primeira amostra foi retirada da população N(μ1,σ2), e a segunda foi extraída da N(μ2,σ2). As duas</p><p>amostras são independentes e possuem tamanhos distintos: 21 e 31, respectivamente. O quadro também</p><p>apresenta duas estimativas diferentes para a variância populacional σ2: 5 (amostra 1) e 10 (amostra 2).</p><p>Nessas condições, o pesquisador deseja testar a hipótese nula H0: μ1 = μ2 contra a hipótese alternativa H1:</p><p>μ1 ≠ μ2 mediante aplicação do teste (paramétrico) t de Student para comparação de duas médias.</p><p>Considerando essa situação hipotética, julgue o próximo item.</p><p>Sob a hipótese nula H0: μ1 = μ2, as amostras são combinadas para se obter uma estimativa comum para a</p><p>variância populacional σ2, e o valor dessa estimativa combinada é igual a 8.</p><p>Comentários:</p><p>Quando as populações seguem distribuições normais com a mesma variância desconhecida, as variâncias</p><p>amostrais 𝑠12 e 𝑠22 são combinadas para se obter uma única estimativa para a variância da populacional. Essa</p><p>estimativa combinada corresponde à média ponderada entre 𝑠12 e 𝑠22, em que os pesos correspondem aos</p><p>graus de liberdade 𝑛1 − 1 e 𝑛2 − 1, respectivamente: 𝑠𝑝2 = (𝑛1 − 1). 𝑠12 + (𝑛2 − 1). 𝑠22𝑛1 − 1 + 𝑛2 − 1</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>49</p><p>243</p><p>Pela tabela, observamos que 𝑛1 = 21, 𝑛2 = 31, 𝑠12 = 5 e 𝑠22 = 10, logo: 𝑠𝑝2 = (21 − 1). 5 + (31 − 1). 1021 − 1 + 31 − 1 = 20 × 5 + 30 × 1020 + 30 = 100 + 30050 = 40050 = 8</p><p>Gabarito: Certo</p><p>Teste t para Amostras Pareadas</p><p>Nesse teste, as amostras não são independentes, pois os mesmos indivíduos apresentam valores nas duas</p><p>amostras. Por exemplo, quando se deseja verificar se determinado medicamento é ou não eficaz,</p><p>selecionam-se alguns indivíduos e as suas condições de saúde são medidas antes e depois do uso do</p><p>medicamento. Similarmente, para verificar se determinado treino é eficaz, selecionam-se alguns indivíduos</p><p>e o seu desempenho é medido antes e depois do período de treinamento.</p><p>A hipótese nula desse teste também é de que as médias são iguais 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2, ou seja, de que o</p><p>medicamento (ou tratamento) não é eficaz.</p><p>A hipótese alternativa pode ser 𝐻𝐴: 𝜇1 ≠ 𝜇2, no teste bilateral ou, se o teste for unilateral, a hipótese</p><p>alternativa pode ser 𝐻𝐴: 𝜇1 𝜇2 (por</p><p>exemplo, os tempos dos percursos diminuíram).</p><p>Considerando a hipótese nula de que as médias são iguais, a estatística do teste:</p><p>𝑡 = �̅�𝑑𝑖𝑓𝑠�̅�𝑑𝑖𝑓 = �̅�𝑑𝑖𝑓𝑠𝑥𝑑𝑖𝑓√𝑛</p><p>Em que �̅�𝑑𝑖𝑓 é a média das diferenças entre as observações e 𝑠�̅�𝑑𝑖𝑓 é o erro padrão da média das diferenças,</p><p>calculado pela razão entre o desvio padrão das diferenças, calculado a partir da amostra 𝑠𝑥𝑑𝑖𝑓, e a raiz</p><p>quadrada do tamanho amostral 𝑛.</p><p>Essa estatística segue distribuição de t-Student com 𝒏 − 𝟏 graus de liberdade.</p><p>Caso a hipótese nula seja diferente de 𝜇1 = 𝜇2, precisamos da diferença entre as médias 𝜇1 − 𝜇2 = ∆0, indicadas na hipótese nula. A estatística desse teste, que também segue</p><p>distribuição de t-Student com 𝑛 − 1 graus de liberdade, é dada por: 𝑡 = �̅�𝑑𝑖𝑓−∆0𝑠𝑥𝑑𝑖𝑓√𝑛</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>50</p><p>243</p><p>Vamos considerar os dados fornecidos em uma questão da prova da FGV/2022 - SEMSA</p><p>Manaus. O enunciado informa que o objetivo é testar se determinado medicamento ajuda</p><p>a diminuir a pressão sistólica (PS), sendo feitas duas observações em cada um dos 4</p><p>homens, uma antes, outra depois do tratamento:</p><p>Para calcular a estatística do teste, primeiro calculamos as diferenças entre as medições</p><p>antes e depois, para cada indivíduo.</p><p>A média das diferenças é: �̅�𝑑𝑖𝑓 = 20+10+10+204 = 604 = 15</p><p>A variância das diferenças, calculada a partir da amostra (variância amostral), é: 𝑠𝑥𝑑𝑖𝑓2 = (20−15)2+(10−15)2+(10−15)2+(20−15)24−1 = 25+25+25+253 = 1003</p><p>Considerando o dado do enunciado de que √3 ≅ 1,7, o erro padrão do estimador é:</p><p>𝑠�̅�𝑑𝑖𝑓 = 𝑠𝑥𝑑𝑖𝑓√𝑛 = √𝑠𝑥𝑑𝑖𝑓2𝑛 = √ 10034 ≅ 101,7×2 = 51,7</p><p>E a estatística do teste é: 𝑡 = �̅�𝑑𝑖𝑓𝑠�̅�𝑑𝑖𝑓 = 155/1,7 = 3 × 1,7 = 5,1</p><p>Que deve ser comparado ao valor tabelado da distribuição de t-Student com 𝑛 − 1 = 3</p><p>graus de liberdade.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>51</p><p>243</p><p>Testes para a Média</p><p>Variância conhecida: 𝑧 = �̅�−𝜇𝜎�̅� ~𝑁(0,1)</p><p>Variância desconhecida: 𝑡 = �̅�−𝜇𝑠√𝑛 ~𝑡𝑛−1</p><p>Comparação de 2 populações 𝑯𝟎: 𝝁𝟏 = 𝝁𝟐</p><p>Variância conhecida: 𝑧 = 𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅√𝜎12𝑛1+𝜎22𝑛2</p><p>~𝑁(0,1)</p><p>Variância desconhecida: 𝑡 = 𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅√𝑠𝑝2 .( 1𝑛1+ 1𝑛2) ~𝑡𝑛1+𝑛2−2, 𝑠𝑝2 = (𝑛1−1).𝑠12+(𝑛2−1).𝑠22𝑛1+𝑛2−2</p><p>Teste para amostras pareadas: 𝑡 = �̅�𝑑𝑖𝑓𝑠𝑥𝑑𝑖𝑓√𝑛 ~𝑡𝑛−1</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>52</p><p>243</p><p>TESTES DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES</p><p>É possível utilizar o teste de hipóteses para proporções, aplicável para populações que seguem distribuições</p><p>de Bernoulli (isto é, em que cada elemento é categorizado em sucesso ou fracasso), com proporção 𝑝</p><p>desconhecida. Esse tipo de teste de hipóteses é bastante cobrado em provas.</p><p>Teste para a Proporção de uma População</p><p>Para iniciar o teste para a proporção, é feita uma suposição a respeito da proporção populacional 𝑝 (hipótese</p><p>nula), a qual será testada a partir da proporção amostral observada �̂�.</p><p>A estatística do teste também pode ser calculada utilizando-se a fórmula da transformação para a curva</p><p>normal padrão para uma amostra suficientemente grande (isto é, uma aproximação que pode ser feita</p><p>considerando-se o Teorema do Limite Central):</p><p>𝑧 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜</p><p>O 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 corresponde à proporção �̂� observada na amostra.</p><p>A 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 é o parâmetro indicado na hipótese nula 𝒑.</p><p>Para calcular o desvio padrão da distribuição, precisamos da variância populacional, dada por: 𝑉(𝑝) = 𝑝. 𝑞</p><p>Em que 𝑞 = 1 − 𝑝. Considerando que a variância da proporção amostral corresponde à variância da</p><p>proporção populacional dividida pelo tamanho da amostra, então a variância da proporção amostral é dada</p><p>por:</p><p>𝑉(�̂�) = 𝑝. 𝑞𝑛</p><p>Em que 𝑛 é o tamanho da</p><p>amostra. Por fim, o 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 é a raiz quadrada:</p><p>𝜎𝑝 = √𝑉(�̂�) = √𝑝. 𝑞𝑛</p><p>Portanto, a estatística do teste é dada por: 𝒛 = �̂�−𝒑𝝈�̂� = �̂�−𝒑√�̂�.�̂�𝒏</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>53</p><p>243</p><p>Por exemplo, vamos considerar uma grande empresa que alega ter o mesmo número de homens e mulheres</p><p>dentre os seus colaboradores, ou seja, que a proporção de homens seja de 50% (hipótese nula): 𝐻0: 𝑝 = 0,5</p><p>Para testar essa hipótese, é extraída uma amostra de 100 colaboradores, dos quais 55 são homens. A</p><p>proporção encontrada na amostra é de: �̂� = 55100 = 0,55</p><p>Para calcular a estatística desse teste, vamos primeiro calcular a variância da proporção amostral. Sendo 𝑝 =0,5 e, portanto, 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,5, a variância da proporção amostral é a razão entre a variância populacional</p><p>e o tamanho da amostra: 𝑉(�̂�) = 𝑝. 𝑞𝑛 = 0,5 × 0,5100 = 0,0025</p><p>E o desvio padrão da proporção amostral é a raiz quadrada: 𝜎𝑝 = √𝑉(�̂�) = √0,0025 = 0,05</p><p>A estatística da amostra é dada por: 𝑧 = �̂� − 𝑝𝜎𝑝 = 0,55 − 0,50,05 = 0,050,05 = 1</p><p>Também podemos utilizar essa mesma fórmula da transformação para calcular o limite da Região Crítica (ou</p><p>os limites, no caso do teste bilateral), considerando o valor crítico 𝑧𝐶, para o nível de confiança (ou</p><p>significância) desejado e o tipo de teste (bilateral ou unilateral). Reorganizando a fórmula para isolar o valor</p><p>do limite para a proporção amostral 𝐿: 𝐿 = 𝑝 + 𝑧 × 𝜎𝑝</p><p>Nessa fórmula, o valor de 𝑧 será positivo para obter um limite superior para a proporção amostral e negativo</p><p>para obter um limite inferior para a proporção amostral.</p><p>Essas fórmulas pressupõem uma população infinita ou amostras extraídas com reposição. Caso a população</p><p>seja finita e as amostras extraídas sem reposição, então será necessário aplicar o fator de correção para</p><p>população finita. Para isso, devemos multiplicar a variância amostral por</p><p>𝑁−𝑛𝑁−1:</p><p>𝑉∗(�̂�) = 𝑝. 𝑞𝑛 × 𝑁 − 𝑛𝑁 − 1</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>54</p><p>243</p><p>O teste para proporções também pode ser utilizado quando classificamos a população em</p><p>2 categorias, que podem ser representadas por sinais "+" e "-", e desejamos fazer o teste</p><p>para avaliar hipóteses formuladas a respeito da proporção desses sinais.</p><p>É comum chamar a estatística desse teste de escore reduzido.</p><p>(CESPE/2018 – ABIN) Em uma fábrica de ferragens, o departamento de controle de qualidade realizou testes</p><p>na linha de produção de parafusos. Os testes ocorreram em dois campos: comprimento dos parafusos e</p><p>frequência com que esse comprimento fugia da medida padrão. Historicamente, o comprimento médio</p><p>desses parafusos é 3 cm, e o desvio padrão observado é 0,3 cm. Foram avaliados 10.000 parafusos durante</p><p>uma semana. Desses, 1.000 fugiram às especificações técnicas da gerência: o comprimento do parafuso</p><p>deveria variar de 2,4 cm a 3,6 cm. O chefe da linha de produção, porém, insiste em afirmar que, em média,</p><p>4% da produção de parafusos fogem às especificações. O departamento de controle de qualidade assume</p><p>que os comprimentos dos parafusos têm distribuição normal.</p><p>A partir dessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes, considerando que Φ(1) = 0,841, Φ(1,65) =</p><p>0,95, Φ(2) = 0,975 e Φ(2,5) = 0,994, em que Φ(z) é a função distribuição normal padronizada acumulada, e</p><p>que 0,002 seja valor aproximado para √0,038410.000.</p><p>Com base nos dados apresentados, pode-se rejeitar, com significância de 5%, a afirmação do chefe da linha</p><p>de Produção.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado informa que o chefe da linha de Produção afirma que 4% dos parafusos fogem às especificações: 𝐻0: 𝑝 = 0,04</p><p>Considerando-se a hipótese nula (𝑝 = 0,04 e, portanto, 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,96), a variância da proporção da</p><p>amostra extraída, de tamanho n = 10.000, é: 𝑉(�̂�) = 𝑝. 𝑞𝑛 = 0,04 × 0,9610.000 = 0,038410.000</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>55</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>Logo, o desvio padrão da proporção amostral, raiz quadrada da variância (considerando a aproximação</p><p>indicada no enunciado √0,038410.000 ≅ 0,002) é:</p><p>𝜎𝑝 = √𝑉(�̂�) = √0,038410.000 ≅ 0,002</p><p>Agora, vamos calcular o valor de z, considerando o nível de significância 𝛼 = 5% (logo, o nível de confiança</p><p>é 1 − 𝛼 = 95%). Note que o problema é a proporção de defeito superar a proporção indicada (se a</p><p>proporção de defeito for menor, será ainda melhor para a empresa). Assim, temos um teste unilateral à</p><p>direita, em que a hipótese alternativa é: 𝐻1: 𝑝 > 0,04</p><p>Ou seja, precisamos do valor de z cuja função de distribuição acumulada é P(Z 𝑝2} ↔ {𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 = 0𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 > 0}</p><p>Aproximando-se as proporções amostrais a distribuições normais (Teorema Central do Limite), então a</p><p>diferença entre as proporções também seguirá distribuição normal. Dessa forma, a estatística do teste será</p><p>calculada pela mesma transformação para a normal padrão:</p><p>𝑧 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜</p><p>O 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 corresponde à diferença entre as proporções amostrais: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = 𝒑�̂� − 𝒑�̂�</p><p>A 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 é a diferença entre as proporções populacionais: 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = 𝑝1 − 𝑝2</p><p>Como consideramos a hipótese nula, em que 𝑝1 − 𝑝2 = 0, então a média da distribuição é igual a zero: 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = 𝟎</p><p>A variância da diferença das médias amostrais 𝑉(𝑝1̂ − 𝑝2̂) é dada pela soma das variâncias, uma vez que as</p><p>populações são independentes: 𝑉(𝑝1̂ − 𝑝2̂) = 𝑉(𝑝1̂) + 𝑉(𝑝2̂)</p><p>A variância da média amostral é a razão entre a variância populacional e o tamanho amostral. Considerando,</p><p>ainda, que a variância populacional é 𝑉(𝑝) = 𝑝. 𝑞, em que 𝑞 = 1 − 𝑝:</p><p>𝑉(𝑝1̂) = 𝑉(𝑋1)𝑛1 = 𝑝1. 𝑞1𝑛1 = 𝑝. 𝑞𝑛1</p><p>𝑉(𝑝2̂) = 𝑉(𝑋2)𝑛2 = 𝑝2. 𝑞2𝑛2 = 𝑝. 𝑞𝑛2</p><p>Em que 𝑛1</p><p>é o tamanho da amostra extraída da primeira população 𝑋1 e 𝑛2 é o tamanho da amostra extraída</p><p>da segunda população 𝑋2. Assim, a variância da diferença 𝑉(𝑝1̂ − 𝑝2̂) é a soma:</p><p>𝑉(𝑝1̂ − 𝑝2̂) = 𝑝. 𝑞𝑛1 + 𝑝. 𝑞𝑛2</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>57</p><p>243</p><p>E o 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 é a raiz quadrada da variância:</p><p>𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = 𝜎𝑝1̂−𝑝2̂ = √𝑉(𝑝1̂ − 𝑝2̂) = √𝑝. 𝑞𝑛1 + 𝑝. 𝑞𝑛2</p><p>Dessa forma, considerando a hipótese nula, 𝑝1 − 𝑝 = 0, o valor da estatística do teste é: 𝒛 = 𝒑�̂�−𝒑�̂�𝝈𝒑�̂�−𝒑�̂� = 𝒑�̂�−𝒑�̂�√𝒑.𝒒𝒏𝟏+𝒑.𝒒𝒏𝟐</p><p>Para ilustrar, vamos considerar a nossa empresa (A), que alegou que a proporção de homens é de 50%, bem</p><p>como uma segunda empresa (B) com a mesma alegação. Para testar tais alegações, aplicaremos o teste</p><p>comparando essas duas populações. Para isso, extraímos uma amostra de 200 colaboradores de cada</p><p>empresa, tendo encontrado 110 homens da empresa A e 90 homens da empresa B.</p><p>A variância dessa distribuição 𝑉(𝑝1̂ − 𝑝2̂) é dada por:</p><p>𝑉(𝑝1̂ − 𝑝2̂) = 𝑝. 𝑞𝑛1 + 𝑝. 𝑞𝑛2 = 0,5 × 0,5200 + 0,5 × 0,5200 = 2 × 0,25200 = 0,0025</p><p>E o desvio padrão é a raiz quadrada: 𝜎𝑝1̂−𝑝2̂ = √0,0025 = 0,05</p><p>A diferença entre as proporções amostrais observadas é:</p><p>𝑝1̂ − 𝑝2̂ = 110200 − 90200 = 0,55 − 0,45 = 0,1</p><p>Portanto, a estatística desse teste é:</p><p>𝑧 = 𝑝1̂ − 𝑝2̂𝜎𝑝1̂−𝑝2̂ = 0,10,05 = 2</p><p>Esse valor pode ser comparado ao valor crítico 𝑧𝐶, obtido com base no nível de confiança (ou significância)</p><p>desejado e o tipo de teste (bilateral ou unilateral). Também podemos utilizar essa mesma fórmula para</p><p>calcular os limites para as diferenças das proporções. Reorganizando a fórmula, para isolar a diferença 𝑝1̂ −𝑝2̂, temos: 𝑝1̂ − 𝑝2̂ = 𝑧𝐶 × 𝜎𝑝1̂−𝑝2̂</p><p>Para estipular um limite superior, o valor crítico 𝑧𝐶 será positivo e para estipular um limite inferior, o valor</p><p>crítico 𝑧𝐶 será negativo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>58</p><p>243</p><p>TESTES PARA A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL</p><p>O teste para a distribuição binomial é um teste para proporções que não considera a aproximação da</p><p>distribuição à normal. Assim, nesse teste, vamos considerar a distribuição binomial, que é a distribuição</p><p>exata da proporção para amostras independentes. 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝐶𝑛,𝑘. 𝑝𝑘. 𝑞𝑛−𝑘</p><p>Em que a probabilidade de fracasso é 𝑞 = 1 − 𝑝 e 𝑛 é o número de ensaios.</p><p>Para esse teste, devemos considerar a probabilidade de sucesso 𝒑 indicada na hipótese nula, bem como</p><p>número de ensaios 𝑛 do teste.</p><p>Em seguida, utilizamos o nível de significância desejado (que é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula</p><p>sendo ela verdadeira) para definir os limites críticos do teste; ou o contrário, isto é, partimos dos limites</p><p>críticos definidos para calcular o nível de significância (mais comum nesse teste).</p><p>Vamos supor que o objetivo seja verificar se uma moeda é honesta ou não. Nessa situação, a hipótese nula</p><p>é de que a moeda é honesta, em que a probabilidade de obtermos a face CARA é 𝑝 = 0,5; e a hipótese nula</p><p>é de que a probabilidade é diferente disso: 𝐻𝑜: 𝑝 = 0,5 𝐻1: 𝑝 ≠ 0,5</p><p>Vamos considerar que iremos lançar a moeda 𝑛 = 4 vezes e rejeitar a hipótese nula caso todas as faces</p><p>sejam iguais, ou seja, caso todas as faces sejam COROA (𝑘 = 0 CARA) ou caso todas as faces sejam CARA</p><p>(𝑘 = 4 CARAS). Com base nessa informação, vamos calcular o nível de significância do teste, dado pela soma</p><p>das probabilidades desses eventos (que correspondem à rejeição da hipótese nula): 𝛼 = 𝑃{𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠} = 𝑃[𝑋 = 0] + 𝑃[𝑋 = 4]</p><p>A probabilidade de obtermos 0 CARA em 𝑛 = 4 lançamentos, considerando a hipótese nula como premissa</p><p>(𝑝 = 0,5, logo 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,5) é1: 𝑃(𝑋 = 0) = 𝐶4,0. 0,50. 0,54 = 1 × 1 × 0,0625 = 0,0625</p><p>1 A combinação de 0 elemento (𝐶𝑛,0) ou de 𝑛 elementos em 𝑛 (𝐶𝑛,𝑛) é igual a 1. Esses são casos especiais de combinação que valem</p><p>ser lembrados, mas podem ser obtidos normalmente pela fórmula da combinação: 𝐶𝑛,0 = 𝑛!(𝑛 − 0)! × 0! = 𝑛!𝑛! × 1 = 1</p><p>𝐶𝑛,𝑛 = 𝑛!(𝑛 − 𝑛)! × 𝑛! = 𝑛!0! × 𝑛! = 𝑛!1 × 𝑛! = 1</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>59</p><p>243</p><p>E a probabilidade de obtermos 4 CARAS é: 𝑃(𝑋 = 4) = 𝐶4,4. 0,54. 0,50 = 1 × 0,0625 × 1 = 0,0625</p><p>Logo, o nível de significância do teste é a soma: 𝛼 = 𝑃[𝑋 = 0] + 𝑃[𝑋 = 4] = 0,0625 + 0,0625 = 0,125 = 12,5%</p><p>É possível que a questão forneça uma probabilidade específica para a hipótese alternativa (ou indicar o</p><p>parâmetro verdadeiro da distribuição), por exemplo, a probabilidade de sair CARA é 𝐻1: 𝑝 = 0,6.</p><p>Com essa informação, podemos calcular a probabilidade do erro tipo II (𝛽), bem como o poder do teste</p><p>(1 − 𝛽), que consideram o parâmetro indicado na hipótese alternativa (ou o parâmetro verdadeiro).</p><p>Vale lembrar que 𝛽 é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula, sendo ela falsa; e 1 − 𝛽 é a</p><p>probabilidade complementar, qual seja de rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa.</p><p>Vamos supor que rejeitaremos a hipótese nula da moeda equilibrada e concordaremos que a probabilidade</p><p>de sair CARA é de 60%, se obtivermos 3 ou 4 CARAS em 𝑛 = 4 lançamentos.</p><p>O poder do teste corresponde à probabilidade desse evento, considerando o parâmetro verdadeiro (ou o</p><p>parâmetro indicado na hipótese nula) 𝐻1: 𝑝 = 0,6: 1 − 𝛽 = 𝑃[𝑌 = 3] + 𝑃[𝑌 = 4]</p><p>Aqui, estamos utilizando a variável 𝑌 (em vez de 𝑋) para lembrar que iremos considerar o parâmetro indicado</p><p>na hipótese alternativa (𝑝 = 0,6, logo 𝑞 = 1 − 0,6 = 0,4).</p><p>A probabilidade de obtermos 3 CARAS para esse parâmetro é2: 𝑃[𝑌 = 3] = 𝐶4,3. 0,63. 0,41 = 4 × 0,216 × 0,4 = 0,3456</p><p>E a probabilidade de obtermos 4 CARAS é: 𝑃[𝑌 = 4] = 𝐶4,4. 0,64. 0,40 = 1 × 0,1296 × 1 = 0,1296</p><p>2 Aqui, temos outro caso especial de combinação: a combinação de 1 elemento (que é o mesmo que a combinação de 𝑛 − 1</p><p>elementos) é igual a 𝑛. Isso pode ser verificado aplicando-se a fórmula da combinação: 𝐶𝑛,1 = 𝑛!(𝑛 − 1)! × 1! = 𝑛 × (𝑛 − 1)!(𝑛 − 1)! × 1 = 𝑛</p><p>𝐶𝑛,𝑛−1 = 𝑛![𝑛 − (𝑛 − 1)]! × (𝑛 − 1)! = 𝑛 × (𝑛 − 1)!1! × (𝑛 − 1)! = 𝑛1 = 𝑛</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>60</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>O poder do teste é a soma: 1 − 𝛽 = 0,3456 + 0,1296 = 0,4752 = 47,52%</p><p>E a probabilidade do erro tipo II é complementar: 𝛽 = 1 − (1 − 𝛽) = 1 − 0,4752 = 0,5248 = 52,48%</p><p>(VUNESP/2021 – CFO-QC) Acredita-se que 75% dos habitantes de uma cidade são a favor da implantação de</p><p>um projeto. Para testar se esta hipótese é verdadeira, uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 4</p><p>é extraída da população e estabelece- se uma regra tal que se na amostra o número de habitantes favoráveis</p><p>à implantação do projeto for maior que 1 então a hipótese é verdadeira.</p><p>A probabilidade de se cometer um erro tipo I é, então, igual a</p><p>a) 3/64</p><p>b) 27/128</p><p>c) 27/64</p><p>d) 81/256</p><p>e) 13/256</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado informa que a hipótese nula a ser testada é 𝐻𝑜: 𝑝 = 75% e que essa hipótese não será rejeitada</p><p>se for encontrado mais que 1 indivíduo favorável na amostra de tamanho 𝑛 = 4.</p><p>Assim, a probabilidade do erro tipo I (𝛼), que corresponde à probabilidade de rejeitar a hipótese nula, dado</p><p>que ela é verdadeira, é a probabilidade de obtermos 0 ou 1 indivíduo favorável, considerando o parâmetro</p><p>indicado na hipótese nula: 𝛼 = 𝑃[𝑋 = 0] + 𝑃[𝑋 = 1]</p><p>A probabilidade de obtermos 𝑘 = 0 indivíduo favorável, em uma amostra de tamanho 𝑛 = 4, considerando 𝑝 = 0,75 = 34 (logo, 𝑞 = 1 − 34 = 14), é:</p><p>𝑃(𝑋 = 0) =</p><p>𝐶4,0. (34)0 . (14)4 = 1 × 1 × 1256 = 1256</p><p>E a probabilidade de obtermos 𝑘 = 1 indivíduo favorável é:</p><p>𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶4,1. (34)1 . (14)3 = 4 × 34 × 164 = 12256</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>61</p><p>243</p><p>Assim, a probabilidade do erro tipo II é a soma: 𝛼 = 1256 + 12256 = 13256</p><p>Obs: A questão não cobrou, mas vale observar que esse teste é unilateral, pois a rejeição ocorre apenas se o</p><p>número de indivíduos for menor que o limite.</p><p>Gabarito: E</p><p>(2014 – EBSERH-UFMG) Suponha X uma variável aleatória de Bernoulli (p). Uma amostra de tamanho n = 4</p><p>foi utilizada para testar as hipóteses H0: p=1/4 contra H1: p=3/4. Se o teste rejeita H0 se, e somente se,</p><p>ocorrerem 4 sucessos na amostra, calcule as probabilidades dos erros Tipo I e Tipo II.</p><p>a) 𝛼 = 0,6835, 𝛽 = 0,0039062</p><p>b) 𝛼 = 0,05, 𝛽 = 0,95</p><p>c) 𝛼 = 0,0039062, 𝛽 = 0,6835</p><p>d) 𝛼 = 0,05, 𝛽 = 0,1</p><p>e) 𝛼 = 0,0039062, 𝛽 = 0,996094</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado informa que a hipótese nula será rejeitada se ocorrerem 4 sucessos na amostra de tamanho 𝑛 = 4.</p><p>A probabilidade do erro tipo I (rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira) é a probabilidade obtermos 𝒌 = 𝟒 sucessos, considerando o parâmetro indicado na hipótese nula 𝑝 = 14 = 0,25 (𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,75): 𝛼 = 𝑃[𝑋 = 4] = 𝐶4,4. 0,254. 0,750 = 1 × 0,00390625 × 1 ≅ 0,00390625</p><p>E a probabilidade do erro tipo II (não rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa) é a probabilidade de não</p><p>obtermos 𝑘 = 4 sucessos (probabilidade complementar), com base no parâmetro da hipótese alternativa: 𝛽 = 1 − 𝑃[𝑌 = 4]</p><p>A probabilidade de obtermos 𝑘 = 4 sucessos, considerando 𝑝∗ = 34 = 0,75 (logo, 𝑞∗ = 1 − 𝑝 = 0,25) é: 𝑃[𝑌 = 4] = 𝐶4,4. 0,754. 0,250 = 1 × 0,31640625 × 1 = 0,31640625</p><p>E a probabilidade do erro tipo II é a probabilidade complementar: 𝛽 = 1 − 0,31640625 = 0,68359375</p><p>Gabarito: C</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>62</p><p>243</p><p>TESTES DE HIPÓTESES PARA A VARIÂNCIA</p><p>Nos testes de hipóteses para a variância, verificamos se a variância indicada na hipótese inicial 𝜎2 deve ser</p><p>rejeitada ou não, com base na variância amostral observada 𝑠2.</p><p>Para esse teste, consideramos que o estimador da variância 𝑠2, multiplicado pelo fator (𝒏−𝟏𝝈𝟐 ), segue uma</p><p>distribuição qui-quadrado com 𝒏 − 𝟏 graus de liberdade.</p><p>Assim, a estatística do teste é:</p><p>𝓧𝒏−𝟏𝟐 = (𝒏−𝟏𝝈𝟐 ) 𝒔𝟐</p><p>Em que 𝑛 é o tamanho da amostra.</p><p>A variância amostral é calculada como: 𝑠2 = ∑ (𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 − �̅�)2𝑛 − 1</p><p>E o valor da variância populacional 𝝈𝟐 é o parâmetro indicado na hipótese nula.</p><p>Por exemplo, supondo que a hipótese nula seja de que a variância populacional é 𝐻𝑜: 𝜎2 = 2 e que, a partir</p><p>de uma amostra de tamanho 𝑛 = 5, tenha sido observada a variância amostral 𝑠2 = 3.</p><p>A estatística desse teste é: 𝒳5−12 = (5 − 12 ) × 3 = 2 × 3 = 6</p><p>Esse valor deve ser comparado ao valor crítico tabelado da distribuição qui-quadrado 𝒳𝐶2, considerando o</p><p>nível de significância 𝛼 desejado, o tipo de teste (bilateral ou unilateral) e o número de graus de liberdade 𝒏 − 𝟏.</p><p>Uma diferença relevante em relação aos outros testes de hipóteses é que a distribuição qui-quadrado é</p><p>positiva e assimétrica. Assim, o limite superior tabelado é diferente do limite inferior tabelado,</p><p>diferentemente dos outros testes, em que ambos apresentavam o mesmo módulo.</p><p>Para um teste bilateral, com 𝛼 = 10%, por exemplo, teríamos as seguintes regiões de críticas e de rejeição:</p><p>90%</p><p>5% 𝒳𝑆𝑈𝑃2 𝒳𝐼𝑁𝐹2</p><p>5%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>63</p><p>243</p><p>Para calcular os valores críticos da distribuição qui-quadrado, a partir do nível de significância, vamos</p><p>considerar as probabilidades indicadas na tabela a seguir para n – 1 = 4 graus de liberdade. 𝑃(𝒳42 9,49. Assim, para 𝒳𝑇2 = 6, não rejeitamos a hipótese nula.</p><p>(FCC/2018 – TRT/SP) Acredita-se que a variância (σ²) de uma população, normalmente distribuída e de</p><p>tamanho infinito, seja igual a 3,6. Para verificar se esta variância é inferior a 3,6, a um nível de significância</p><p>α, foram formuladas as hipóteses H0: σ² = 3,6 (hipótese nula) e H1: σ²</p><p>Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>65</p><p>243</p><p>Considerando que o tamanho da amostra é n = 11, então, devemos considerar a distribuição com n – 1 = 10</p><p>graus de liberdade.</p><p>O enunciado informa que 𝑃(4 𝒳𝑆𝑈𝑃2 = 18.</p><p>A estatística do teste para 𝜎2 = 15 e 𝑛 = 11, é calculada como:</p><p>𝒳𝑇2 = (𝑛 − 1𝜎2 ) 𝑠2 = (11 − 115 ) 𝑠2 = 23 × 𝑠2</p><p>Em relação à alternativa A, a estatística do teste para �̂�2 = 7 é:</p><p>𝒳𝑇2 = 23 × 7 ≅ 4,66</p><p>Como 𝒳𝑇2 > 𝒳𝐼𝑁𝐹2 = 4, não rejeitamos a hipótese nula, logo, a alternativa A está errada.</p><p>Em relação à alternativa B, a estatística do teste para �̂�2 = 5,5 é:</p><p>𝒳𝑇2 = 23 × 5,5 ≅ 3,66</p><p>Como 𝒳𝑇2 𝒳𝑆𝑈𝑃2 = 18, rejeitamos a hipótese nula, logo, a alternativa C está certa.</p><p>Podemos observar que as alternativas D e E informam valores ainda maiores de �̂�2, que estarão associados</p><p>a valores ainda maiores para a estatística do teste.</p><p>Por isso, para esses resultados, a hipótese nula deve ser rejeitada, ao contrário do que afirmam as</p><p>alternativas, logo, elas estão erradas.</p><p>Gabarito: C</p><p>𝛼 2⁄ = 5%</p><p>𝒳𝐼𝑁𝐹2</p><p>1 − 𝛼= 90% 𝒳𝑆𝑈𝑃2</p><p>𝛼 2⁄ = 5%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>66</p><p>243</p><p>Comparação das Variâncias de duas populações</p><p>O objetivo desse teste, também chamado de teste de homogeneidade de 2 variâncias, é comparar as</p><p>variâncias de duas populações normais e independentes, 𝜎𝐴2 e 𝜎𝐵2.</p><p>Em geral, o objetivo é verificar se as variâncias são iguais (hipótese nula) ou não (hipótese alternativa).</p><p>No teste bilateral, a hipótese alternativa é de que as variâncias são diferentes: 𝐻0: 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 𝐻1: 𝜎𝐴2 ≠ 𝜎𝐵2</p><p>Para o teste unilateral à direita, a hipótese alternativa é de que a variância da população A é maior do que</p><p>a da B: 𝐻1: 𝜎𝐴2 > 𝜎𝐵2</p><p>E para o teste unilateral à esquerda, a hipótese alternativa é de que a variância da população A é menor do</p><p>que a da B: 𝐻1: 𝜎𝐴2</p><p>70</p><p>243</p><p>Podemos realizar outros tipos de comparações de variâncias, diferentes do teste de homogeneidade, em</p><p>que a hipótese nula é 𝐻0: 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2.</p><p>Podemos verificar, por exemplo, se a variância da população A é o dobro da variância da população B, sendo</p><p>a hipótese nula: 𝐻0: 𝜎𝐴2 = 2. 𝜎𝐵2</p><p>A estatística do teste, considerando essa hipótese nula, será:</p><p>𝐹 = 𝑠𝐴2𝜎𝐴2𝑠𝐵2𝜎𝐵2</p><p>= 𝑠𝐴22. 𝜎𝐵2𝑠𝐵2𝜎𝐵2</p><p>= 𝑠𝐴22. 𝑠𝐵2</p><p>Para o nosso exemplo, em que obtivemos 𝑠𝐴2 = 5 e 𝑠𝐵2 = 4, a estatística do teste sob a nova hipótese nula é: 𝐹 = 52 × 4 = 58 = 0,625</p><p>Os demais procedimentos permanecerão os mesmos, sendo necessário comparar esse resultado ao valor</p><p>tabelado da distribuição de F-Snedecor, com 𝑛 = 𝑛𝐴 − 1 graus de liberdade no numerador, 𝑚 = 𝑛𝐵 − 1</p><p>graus de liberdade no denominador, considerando o nível de significância e o tipo de teste (bilateral ou</p><p>unilateral).</p><p>(FGV/2022 – TJDFT) Um analista é contratado para analisar dados de volume de suco de laranja produzido</p><p>em duas fábricas da mesma empresa. Suponha que sejam medidos 16 lotes na fábrica A e 61 lotes na fábrica</p><p>B, e que as médias amostrais tenham sido 𝐴̅ = 104 e �̅� = 112, com somas de desvios quadráticos em</p><p>relação à média 𝑆𝐴2 = 40.000 e 𝑆𝐵2 = 100.000, respectivamente.</p><p>A chefia quer saber se uma fábrica tem menor variabilidade em relação à outra. O teste a ser usado e o valor</p><p>da sua estatística de teste são, respectivamente:</p><p>a) teste T e o valor da estatística é -1,6.</p><p>b) teste T e o valor da estatística é -0,8.</p><p>c) teste F e o valor da estatística é -0,8.</p><p>d) teste F e o valor da estatística é 0,8.</p><p>e) teste F e o valor da estatística é 1,6.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>71</p><p>243</p><p>Comentários:</p><p>O objetivo do teste descrito no enunciado é comparar a variabilidade de uma população em relação à outra.</p><p>Para isso, utilizamos o teste F, pois segue distribuição de F-Snedecor.</p><p>Sob a hipótese nula 𝐻0: 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2, a estatística do teste consiste na razão entre as variâncias amostrais: 𝐹 = 𝑠𝐴2𝑠𝐵2</p><p>Por sua vez, a variância amostral é a razão entre a soma dos quadrados e 𝑛 − 1: 𝑠2 = ∑ (𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 − �̅�)2𝑛 − 1</p><p>Embora o enunciado tenha representado por 𝑆2, foram fornecidas as somas dos desvios quadráticos em</p><p>relação à média, ou seja, ∑ (𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 − �̅�)2.</p><p>Assim, precisamos calcular as variâncias amostrais, dividindo cada resultado por 𝑛 − 1.</p><p>Em relação à amostra A, temos ∑ (𝑛𝐴𝑖=1 𝑋𝑖 − �̅�)2 = 40.000 e 𝑛𝐴 = 16, logo a variância amostral é: 𝑠𝐴2 = 40.00016 − 1 = 40.00015</p><p>Em relação à amostra B, temos ∑ (𝑛𝐵𝑖=1 𝑋𝑖 − �̅�)2 = 100.000 e 𝑛𝐵 = 61, logo a variância amostral é: 𝑠𝐵2 = 100.00061 − 1 = 100.00060</p><p>E a estatística é a razão:</p><p>𝐹 = 40.00015100.00060 = 40.00015 × 60100.000 = 4 × 410 = 1,6</p><p>Gabarito: E</p><p>Testes para a Variância</p><p>Distribuição qui-quadrado com 𝒏 − 𝟏 graus de liberdade: 𝒳2 = (𝑛−1𝜎2 ) 𝑠2</p><p>Comparação de 2 populações:</p><p>Estatística do teste sob a hipótese nula 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2: 𝐹 = 𝑠𝐴2𝑠𝐵2</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>72</p><p>243</p><p>P-VALOR</p><p>O p-valor, também denominado nível descritivo ou probabilidade de significância, é uma outra forma de</p><p>analisar o resultado do teste de hipóteses, para decidirmos se vamos aceitar ou rejeitar a hipótese nula, em</p><p>vez do nível de significância 𝛼.</p><p>O p-valor é a probabilidade de obter um valor mais extremo ou igual ao resultado observado, considerando</p><p>a hipótese nula como verdadeira. Em seguida, comparamos o p-valor com o nível de significância 𝜶 para</p><p>decidir se vamos rejeitar ou não a hipótese nula.</p><p>Vamos supor que estejamos testando a hipótese nula 𝐻𝑜: 𝜇 = 2 em um teste unilateral à esquerda e que a</p><p>média amostral observada tenha sido �̅� = 1,85.</p><p>Sabendo que o p-valor é a probabilidade de obter um valor mais extremo ou igual, neste caso, ele é a</p><p>probabilidade de obter um valor igual ou inferior a �̅� = 1,85, pelo fato de a região crítica estar à esquerda:</p><p>Se o p-valor for menor que o nível de significância 𝜶, então o resultado do teste está na região crítica e a</p><p>hipótese nula deve ser rejeitada. Caso contrário, a hipótese nula não é rejeitada.</p><p>p-valor 𝜶 e, então, não rejeitaremos a hipótese nula:</p><p>Porém, se o nível de significância for 𝛼 = 10%, teremos 𝒑 1,5):</p><p>𝑧𝑡 = −1,5</p><p>𝜶 = 𝟓%</p><p>𝑧 = −1,5</p><p>p-valor</p><p>𝑧 = 1,5</p><p>p-valor</p><p>p-valor</p><p>p-valor</p><p>𝜶 = 𝟏𝟎%</p><p>𝜇</p><p>p-valor</p><p>𝑧𝑡 = −1,5</p><p>𝑧𝑡</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>75</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>Considerando a simetria da distribuição normal, as probabilidades 𝑃(𝑍 𝑧𝑡) são iguais e,</p><p>assim, o p-valor em um teste bilateral considerando será o dobro do p-valor em um teste unilateral, para</p><p>essa distribuição.</p><p>(2019 – Prefeitura de Cruzeiro do Sul/AC – Adaptada) Com relação a Testes de Hipóteses realizados sobre</p><p>uma amostra que nos auxiliam a aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística, julgue a afirmativa a seguir.</p><p>Se um teste de hipótese tiver valor-p associado igual a 0,02, podemos rejeitar a hipótese nula com nível de</p><p>significância a 5%, mas não a rejeitaríamos a um nível de significância de 0,1%.</p><p>Comentários:</p><p>A hipótese nula deve ser rejeitada se p-valor 𝛼</p><p>Nessa situação, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, a afirmativa está correta.</p><p>Resposta: Certo.</p><p>(CESPE/2017 – TCE/PE) Para avaliar se a proporção p de itens defeituosos enviados por um fornecedor estava</p><p>acima do valor pactuado de 0,025, um analista, a partir de uma amostra aleatória de itens enviada por esse</p><p>fornecedor, testou a hipótese nula 𝐻𝑜: 𝑝 ≤ 0, 025 contra a hipótese alternativa 𝐻1: 𝑝 > 0, 025, utilizando</p><p>nível de significância 𝛼 = 1%.</p><p>A respeito dessa situação hipotética, julgue o seguinte item.</p><p>Caso o P-valor do teste efetuado pelo analista seja igual a 0,005, é correto concluir que a afirmação proposta</p><p>na hipótese nula seja verdadeira.</p><p>Comentários:</p><p>Para sabermos se devemos rejeitar ou não a hipótese nula, devemos comparar o p-valor e o nível de</p><p>significância 𝛼.</p><p>O enunciado informa que 𝛼 = 1% e o item informa que p-valor = 0,005 = 0,5%. Ou seja, temos:</p><p>p-valor 𝓧𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐𝟐 → Rejeitar 𝑯𝟎 𝓧𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆𝟐 ≤ 𝓧𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐𝟐 → Não Rejeitar 𝑯𝟎</p><p>Vamos considerar o exemplo dos níveis de educação (até fundamental, até médio e superior), supondo que</p><p>as proporções sejam respectivamente, 20%, 50% e 30%, o que consiste na hipótese nula. Vamos supor que,</p><p>de uma amostra de 100 pessoas, tenhamos encontrado 15 adultos que estudaram até o nível fundamental,</p><p>60 adultos que estudaram até o ensino médio e 25 adultos que chegaram ao ensino superior.</p><p>De acordo com a hipótese nula, teríamos os seguintes valores esperados na nossa amostra de 100 pessoas:</p><p>Fundamental: 20% x 100 = 20</p><p>Médio: 50% x 100 = 50</p><p>Superior: 30% x 100 = 30</p><p>1 − 𝛼</p><p>𝒳𝐶2 𝒳𝑇2</p><p>𝛼</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>79</p><p>243</p><p>Então, a estatística do teste é a soma das seguintes razões:</p><p>Fundamental:</p><p>(𝑶𝒊−𝑬𝒊)𝑬𝒊 𝟐 = (𝟏𝟓−𝟐𝟎)𝟐𝟎 𝟐 = (−5)20 2 = 2520 = 54</p><p>Médio:</p><p>(𝑶𝒊−𝑬𝒊)𝑬𝒊 𝟐 = (𝟔𝟎−𝟓𝟎)𝟓𝟎 𝟐 = (10)50 2 = 10050 = 2</p><p>Superior:</p><p>(𝑶𝒊−𝑬𝒊)𝑬𝒊 𝟐 = (𝟐𝟓−𝟑𝟎)𝟑𝟎 𝟐 = (−5)30 2 = 2530 = 56</p><p>𝒳2 = 54 + 2 + 56 = 15 + 24 + 1012 = 3912 = 134 = 3,25</p><p>E qual é o valor crítico, que nos permite comparar esse resultado?</p><p>Para obtermos o valor crítico da tabela da distribuição qui-quadrado, precisamos do nível de significância 𝛼</p><p>e do número de graus de liberdade 𝒌, que deve ser calculado como:</p><p>𝒌 = (𝑳 − 𝟏)(𝑪 − 𝟏)</p><p>Em que 𝐿 representa o número de linhas de dados e 𝐶 representa o número de colunas de dados da tabela</p><p>de contingência, a qual apresenta os valores observados (os campos com títulos ou totais não devem ser</p><p>contados).</p><p>Ou seja, subtraímos 1 unidade do número de linhas e 1 unidade do número de colunas e multiplicamos os</p><p>dois resultados.</p><p>Entretanto, essa subtração deve ser feita apenas se houver mais de uma linha/coluna (para não</p><p>multiplicarmos por zero). Ou seja, se houver apenas 𝐿 = 1 linha, teremos: 𝑘 = 𝐶 − 1</p><p>E se houver apenas 𝐶 = 1 coluna, teremos: 𝑘 = 𝐿 − 1</p><p>E se não houver tabela, como no nosso exemplo?</p><p>Na verdade, as linhas e colunas representam os 2 tipos de categorias (2 variáveis) que podem compor o teste</p><p>qui-quadrado. No nosso exemplo, testamos apenas 1 tipo de categoria (1 variável), isto é, o nível de educação</p><p>de uma população.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>80</p><p>243</p><p>Nesse caso, podemos representar o nosso exemplo em uma tabela com 1 linha e 3 colunas de dados (ou 3</p><p>colunas e 1 linha), sem contar com os campos dos títulos e do total:</p><p>Fundamental Médio Superior Total</p><p>Valores</p><p>observados</p><p>15 60 25 100</p><p>Logo, o número de graus de liberdade é: 𝑘 = 𝐶 − 1 = 3 − 1 = 2</p><p>Abaixo, inserimos os valores da distribuição qui-quadrado para 2 graus de liberdade. A probabilidade 𝑃(𝒳22</p><p>de Questões - Outros Testes não Paramétricos - Multibancas 241</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>3</p><p>243</p><p>Olá, amigo(a)!</p><p>Chegamos à cereja do bolo da Estatística Inferencial! Os testes de hipóteses são muito queridos pelas bancas</p><p>porque reúnem o conhecimento de quase toda a Estatística Inferencial e ainda exigem atenção especial na</p><p>hora da conclusão.</p><p>Preparado(a)?!</p><p>Luana Brandão</p><p>Doutora em Engenharia de Produção (UFF)</p><p>Auditora Fiscal da SEFAZ-RJ</p><p>Se tiver alguma dúvida, entre em contato comigo!</p><p>professoraluanabrandao@gmail.com</p><p>@professoraluanabrandao</p><p>“A direção é mais importante do que a velocidade.”</p><p>Edson Marques</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>4</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>TESTE DE HIPÓTESES</p><p>Nesta aula, vamos aprender a testar suposições (que chamamos de hipóteses), a respeito de um parâmetro</p><p>populacional. Por exemplo, vamos supor que alguém afirme que a média de uma determinada população</p><p>seja igual a 2. Para testar essa hipótese, vamos extrair uma amostra, calcular a sua estatística (no caso, a</p><p>média amostral) e com base nela decidir se você concorda ou não com a pessoa.</p><p>Mas para que serve isso? Essa dinâmica ocorre na prática quando uma empresa adquire um lote grande de</p><p>determinado produto de seu fornecedor. O fornecedor irá informar as especificações do produto, por</p><p>exemplo, que a quantidade em cada recipiente é de 2L, em média.</p><p>Para verificar isso, a empresa seleciona uma amostra e calcula a média amostral. Se o resultado estiver</p><p>próximo desse valor (por exemplo, 1,95L) a empresa irá concordar que o lote atende a tal especificação e</p><p>aceitar o lote. Se o resultado estiver muito distante desse valor (por exemplo, 1L), a empresa irá discordar</p><p>da hipótese de que há 2L, em média, em cada recipiente e rejeitar o lote.</p><p>Mas e se o resultado for de 1,9L? Ou 1,8L? Ou seja, qual é o limite que vamos utilizar? Isso será objeto do</p><p>nosso estudo!</p><p>Conceitos Fundamentais</p><p>No exemplo que acabamos de ver, a suposição foi “a média populacional é 𝜇 = 2”. Essa suposição é chamada</p><p>de hipótese nula (ou hipótese de nulidade), denotada por 𝑯𝒐.</p><p>Porém, a média populacional pode não ser essa, assim chamamos de hipótese alternativa, indicada por 𝑯𝟏</p><p>ou 𝑯𝑨, uma suposição de que a hipótese nula é falsa. Ou seja, as hipóteses são mutuamente excludentes.</p><p>A hipótese alternativa para esse exemplo pode ser “a média populacional é 𝜇 ≠ 2”.</p><p>Podemos representar essas hipóteses como:</p><p>Hipótese Nula 𝐻𝑜: 𝜇 = 2</p><p>Hipótese Alternativa 𝐻1 (ou 𝐻𝐴): 𝜇 ≠ 2</p><p>Para testar essas hipóteses, primeiro consideramos a hipótese nula como verdadeira e construímos um</p><p>intervalo de confiança em torno do parâmetro 𝜇 = 2. Veremos como esse intervalo será construído adiante,</p><p>dependendo da situação, mas para entendermos o processo como um todo, por ora, vamos supor que o</p><p>intervalo com 1 − 𝛼 = 95% de confiança tenha sido (1,8; 2,2).</p><p>Então, esses serão os limites que utilizaremos para concordar ou não com a hipótese nula. Se a média da</p><p>amostra observada estiver fora desse intervalo (�̅� = 1, por exemplo), iremos rejeitar a hipótese nula. Senão</p><p>(�̅� = 1,95, por exemplo), iremos aceitá-la, ou melhor, não a rejeitar.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>5</p><p>243</p><p>Por isso, a região entre os extremos do intervalo é chamada de Região de Não Rejeição (RNR) e a região</p><p>externa ao intervalo é chamada de Região Crítica (RC).</p><p>Pontue-se que o intervalo é construído em torno do parâmetro indicado na hipótese nula, isto é,</p><p>considerando essa hipótese como verdadeira.</p><p>Dessa forma, a probabilidade associada à Região de Não Rejeição é 𝟏 − 𝜶 e corresponde à probabilidade de</p><p>não rejeitar a hipótese nula, sendo ela verdadeira.</p><p>Já a probabilidade associada à Região Crítica é 𝜶, e corresponde à probabilidade de rejeitar a hipótese nula,</p><p>sendo ela verdadeira.</p><p>A probabilidade 𝜶 é chamada de nível de significância. Ilustramos essas regiões no gráfico abaixo, em que</p><p>LSUP representa o limite superior do intervalo e LINF representa o limite inferior do intervalo de confiança.</p><p>Ou seja, vamos rejeitar a hipótese inicial se �̅� 𝑳𝑺𝑼𝑷 e não a rejeitar, caso contrário, isto é, se 𝑳𝑰𝑵𝑭 ≤ �̅� ≤ 𝑳𝑺𝑼𝑷.</p><p>Resultado do Teste na Região Crítica (RC) → Rejeitar 𝑯𝟎</p><p>Resultado do Teste na Região de Não Rejeição (RNR) → Não Rejeitar 𝑯𝟎</p><p>Por que “não rejeição”, em vez de “aceitação”?</p><p>Porque a rejeição é a decisão forte. Afinal, considerando a hipótese nula como verdadeira, construímos um</p><p>intervalo que engloba 1 − 𝛼 = 95% dos possíveis resultados, isto é, quase todos os valores. Em outras</p><p>palavras, se de fato a média populacional for 𝜇 = 2, a probabilidade de obter um valor fora do intervalo é</p><p>de apenas 𝛼 = 5%, isto é, muito pequena.</p><p>Por isso, quando o resultado do teste é de rejeição, dizemos que o teste é significante, ou que gerou</p><p>evidência estatística.</p><p>Caso contrário, o teste não é significante (não gera evidência estatística). Neste caso, não é correto dizer</p><p>que aceitamos a hipótese nula, apenas que não a rejeitamos.</p><p>LSUP LINF</p><p>𝑅𝑁𝑅 1 − 𝛼 𝑅𝐶 𝛼 2⁄</p><p>𝑅𝐶 𝛼 2⁄ 𝜇</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>6</p><p>243</p><p>É possível que a média populacional seja, de fato, 𝜇 = 2 e a média amostral observada tenha sido �̅� = 1.</p><p>Sim! É possível, mas é improvável.</p><p>Outra forma de decidir se vamos aceitar ou rejeitar a hipótese nula é calculando a estatística da amostra</p><p>(para o nosso exemplo, a média amostral) e construir um intervalo de confiança para essa estatística. Em</p><p>seguida, devemos rejeitar a hipótese nula se o intervalo construído não contemplar o parâmetro indicado</p><p>na hipótese nula e não a rejeitar, caso contrário.</p><p>Supondo a mesma hipótese nula do exemplo anterior 𝐻𝑜: 𝜇 = 2, vamos supor que tenhamos calculado uma</p><p>média amostral �̅� = 1,95. Vamos considerar que, de acordo com o tamanho da amostra e com o nível de</p><p>confiança desejado, o intervalo de confiança construído a partir da média amostral �̅� = 1,95 seja (1,85; 2,05). Como o parâmetro indicado na hipótese 𝐻𝑜: 𝜇 = 2 está contemplado nesse intervalo de</p><p>confiança, então não rejeitamos a hipótese nula.</p><p>Por outro lado, se tivéssemos calculado uma média amostral �̅� = 1 e um intervalo de confiança (0,9; 1,1),</p><p>nesse caso, o parâmetro indicado na hipótese 𝐻𝑜: 𝜇 = 2, não estaria contemplado no intervalo e, por isso,</p><p>rejeitaríamos a hipótese nula.</p><p>(CESPE/2019 – TJ-AM) A respeito dos testes de hipóteses, julgue o próximo item.</p><p>A hipótese nula (Ho) e a hipótese alternativa (Ha) são mutuamente excludentes.</p><p>Comentário:</p><p>A hipótese alternativa é a hipótese formulada supondo a hipótese nula como falsa. Portanto, são</p><p>mutuamente excludentes.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>(FGV/2019 – DPE-RJ – Adaptada) A respeito da formulação, execução, decisão e critérios de avaliação de</p><p>testes de hipóteses, julgue a afirmativa a seguir.</p><p>Tanto na rejeição quanto na aceitação, o teste de hipóteses é uma ferramenta da inferência que gera</p><p>evidência estatística.</p><p>Comentário:</p><p>Dizemos que o teste gera evidência estatística, apenas quando rejeitamos a hipótese nula, ou seja, o teste</p><p>não gera evidência estatística na aceitação. Logo, a afirmativa está incorreta.</p><p>Resposta: Errado</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>7</p><p>243</p><p>(FGV/2017 – Prefeitura de Salvador/BA) Suponha que se deseja testar se um determinado candidato tem</p><p>Em outras palavras, o valor esperado de cada campo é calculado pelo produto do total da linha pelo total</p><p>da coluna, dividido pelo total da amostra (assim como fizemos para o teste de independência):</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>Os valores esperados para o nosso exemplo são:</p><p>Fundamental Médio Superior Total</p><p>N 18 × 15100 = 2,7</p><p>18 × 60100 = 10,8</p><p>18 × 25100 = 4,5</p><p>18</p><p>NE 16 × 15100 = 2,4</p><p>16 × 60100 = 9,6</p><p>16 × 25100 = 4</p><p>16</p><p>CO 24 × 15100 = 3,3</p><p>22 × 60100 = 13,2</p><p>22 × 25100 = 5,5</p><p>22</p><p>SE 24 × 15100 = 3,6</p><p>24 × 60100 = 14,4</p><p>24 × 25100 = 6</p><p>24</p><p>S 20 × 15100 = 3</p><p>20 × 60100 = 12</p><p>20 × 25100 = 5</p><p>20</p><p>Total 15 60 25 100</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>84</p><p>243</p><p>Agora, calculamos, para cada campo, o quadrado do desvio, dividido pelo valor esperado</p><p>(𝑶𝒊−𝑬𝒊)𝑬𝒊 𝟐</p><p>:</p><p>Fundamental Médio Superior</p><p>N (4 − 2,7)2,7 2 ≅ 0,63</p><p>(11 − 10,8)10,8 2 ≅ 0</p><p>(3 − 4,5)4,5 2 = 0,5</p><p>NE (2 − 2,4)2,4 2 ≅ 0,07</p><p>(10 − 9,6)9,6 2 ≅ 0,02</p><p>(4 − 4)4 2 = 0</p><p>CO (3 − 3,3)3,3 2 ≅ 0,03</p><p>(14 − 13,2)13,2 2 ≅ 0,05</p><p>(5 − 5,5)5,5 2 ≅ 0,05</p><p>SE (4 − 3,6)3,6 2 ≅ 0,04</p><p>(13 − 14,4)14,4 2 ≅ 0,14</p><p>(7 − 6)6 2 ≅ 0,17</p><p>S (2 − 3)3 2 ≅ 0,33</p><p>(12 − 12)12 2 = 0</p><p>(6 − 5)5 2 = 0,2</p><p>E somamos todos os valores para obter a estatística do teste: 𝒳2 ≅ 0,63 + 0 + 0,5 + 0,07 + 0,02 + 0 + 0,03 + 0,05 + 0,05 + 0,04 + 0,14 + 0,17 + 0,33 + 0 + 0,2 = 2,23</p><p>O número de graus de liberdade desse exemplo, com C = 5 colunas e L = 3 linhas é: 𝑘 = (𝐿 − 1) × (𝐶 − 1) = 4 × 2 = 8</p><p>Os valores da distribuição qui-quadrada com 8 graus de liberdade constam abaixo:</p><p>𝑃(𝒳82 2,73) = 1 − 0,05 = 0,95 Como esse valor é muito superior a qualquer nível de significância</p><p>razoável, não rejeitamos a hipótese nula de que as proporções dos níveis de ensino são as mesmas em todas</p><p>as regiões do país.</p><p>De maneira geral, os cálculos do teste de independência são muito similares aos do teste de homogeneidade.</p><p>A diferença principal entre esses testes é interpretativa: enquanto o teste de independência avalia 2</p><p>variáveis relativas a uma mesma população, o teste de homogeneidade avalia 1 variável em relação a</p><p>subpopulações distintas.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>85</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>Em suma, para o teste qui-quadrado de independência ou de homogeneidade, devemos</p><p>seguir o seguinte passo a passo:</p><p>i) Calcular os valores esperados 𝑬𝒊𝒋 para cada campo, considerando a hipótese nula*: 𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙×𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>ii) Calcular, para cada campo da tabela, o quadrado do desvio, dividido pelo valor esperado:</p><p>(𝑶𝒊𝒋−𝑬𝒊𝒋)𝟐𝑬𝒊𝒋</p><p>iii) Somar os resultados de todos os campos para obter a estatística do teste 𝓧𝑻𝟐;</p><p>iv) Calcular o número de graus de liberdade da distribuição qui-quadrado**: 𝑘 = (𝐿 − 1) × (𝐶 − 1)</p><p>v) Obter o limite crítico (máximo) da distribuição qui-quadrado 𝒳𝐶2, considerando o nível</p><p>de significância 𝛼 desejado e o número de graus de liberdade 𝑘;</p><p>vi) Decidir quanto à hipótese nula: Rejeitá-la se 𝒳𝑇2 > 𝒳𝐶2 e não a rejeitar, caso contrário.</p><p>Obs* (passo i): Para o teste qui-quadrado de aderência, percorremos esses mesmos passos, porém a forma</p><p>de calcular os valores esperados será diferente. Considerando que a hipótese nula fornece as proporções 𝑝𝑖</p><p>para cada categoria, calculamos os valores esperados de cada categoria multiplicando cada proporção 𝑝𝑖,</p><p>pelo tamanho total da amostra: 𝐸𝑖 = 𝑝𝑖 × 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>Obs** (passo iv): Se houver apenas 1 coluna, o número de graus de liberdade será 𝑘 = (𝐿 − 1) e se houver</p><p>apenas 1 linha, o número de graus de liberdade será 𝑘 = (𝐶 − 1).</p><p>Quando a amostra é pequena ou os valores esperados são baixos, o resultado do teste qui-</p><p>quadrado pode ser superestimado. Nessas situações, recomenda-se utilizar a correção de</p><p>continuidade de Yates, em que reduzimos os desvios em 0,5:</p><p>(𝑶𝒊𝒋−𝑬𝒊𝒋−𝟎,𝟓)𝟐𝑬𝒊𝒋</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>86</p><p>243</p><p>Pontue-se que o teste qui-quadrado considera os seguintes pressupostos de validade:</p><p>i) Os dados são aleatórios e representativos da população (para isso, o tamanho da amostra deve</p><p>ser grande o suficiente – em geral, considera-se o tamanho mínimo de 40 unidades);</p><p>ii) As variáveis estudadas são categóricas (como nos exemplos que vimos) e não numéricas;</p><p>iii) Não deve haver valores esperados muito baixos (em geral, considera-se que todos os valores</p><p>esperados sejam maiores ou iguais a 1); e</p><p>iv) A quantidade de valores esperados menores que 5 não deve ser grande (em geral, utiliza-se o</p><p>limite de 20% dos valores esperados).</p><p>(VUNESP/2018 – Prefeitura de Itapevi/SP) Na análise de contingência com o emprego do teste qui-</p><p>quadrado, os valores esperados são calculados com base na hipótese</p><p>a) alternativa</p><p>b) de verossimilhança</p><p>c) de clusters</p><p>d) de nulidade</p><p>e) Q de Cochran</p><p>Comentários:</p><p>Assim como os demais testes de hipóteses, em que os cálculos são feitos com base na hipótese nula (ou de</p><p>nulidade), no teste qui-quadrado, os valores esperados também são calculados com base na hipótese nula.</p><p>Gabarito: D.</p><p>(FGV/2022 – TCU) Numa empresa com 100 funcionários, todos foram perguntados a respeito de suas</p><p>preferências sobre trabalho remoto ou presencial. Dos funcionários de 18 a 39 anos, 40% preferem trabalho</p><p>presencial. Dos funcionários acima de 40 anos, 40% mostraram preferência pelo remoto. Dos 100</p><p>funcionários, 50 têm mais de 40 anos. O presidente da empresa está interessado em saber se a preferência</p><p>por trabalho remoto é independente da categoria de idade (18 a 39 e acima de 40 anos).</p><p>O teste a ser usado pelo presidente e o valor da estatística de teste são, respectivamente:</p><p>a) teste T e o valor da estatística é 4;</p><p>b) teste T e o valor da estatística é 0;</p><p>c) teste chi-quadrado e o valor da estatística é 4/5;</p><p>d) teste chi-quadrado e o valor da estatística é 4;</p><p>e) teste chi-quadrado e o valor da estatística é 0.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>87</p><p>243</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado informa as preferências em relação a 2 tipos de trabalho (remoto e presencial) de funcionários</p><p>divididos em 2 categorias de idade (abaixo de 40 anos e acima de 40 anos). Para verificar se a preferência</p><p>pelo tipo de trabalho é independente da categoria de idade, fazemos um teste qui-quadrado (ou chi-</p><p>quadrado) de independência.</p><p>Para calcularmos a estatística do teste, vamos primeiro inserir os dados fornecidos na seguinte tabela,</p><p>considerando que há 100 funcionários no total, dos quais 50 têm mais de 40 anos (logo, 50 têm menos de</p><p>40 anos):</p><p>O enunciado informa que 40% dos funcionários com menos de 40 anos preferem o trabalho presencial. Ou</p><p>seja, 40% x 50 = 20 funcionários nessa categoria preferem o trabalho presencial. Os demais (os outros 30)</p><p>preferem o trabalho remoto.</p><p>Ademais, 40% dos funcionários com mais de 40 anos preferem o trabalho remoto. Ou seja, 20 funcionários</p><p>nessa categoria preferem o trabalho remoto e 30 preferem o trabalho presencial. Inserindo esses dados,</p><p>temos:</p><p>Em seguida, calculamos o valor esperado de cada campo, que corresponde ao produto do total da linha com</p><p>o total da coluna, dividido pelo número total de funcionários. Como os totais são todos iguais, o valor</p><p>esperado de todos os campos é: 𝐸 = 50 × 50100</p><p>= 2500100 = 25</p><p>Agora, calculamos a razão entre o quadrado do desvio e o valor esperado para cada campo. Para o campo</p><p>da primeira linha e primeira coluna, temos: (𝑂11 − 𝐸11)2𝐸11 = (20 − 25)225 = (−5)225 = 2525 = 1</p><p>Vale observar que os desvios em relação ao valor esperado (E = 25) é igual a 5, em módulo, para todos os</p><p>campos. Assim, essa razão será igual a 1 para todos os campos.</p><p>E a estatística do teste que consiste na soma desses resultados: 𝒳2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 𝟒</p><p>Já encontramos a resposta da questão, mas vale reforçar que devemos comparar a estatística do teste com</p><p>o valor indicado na tabela da distribuição qui-quadrado com k = (L - 1).(C - 1) = 1x1 = 1 grau de liberdade.</p><p>Gabarito: D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>88</p><p>243</p><p>(FGV/2019 – DPE-RJ) Cogita-se a possibilidade de que decisões judiciais, favoráveis ou não, possam estar</p><p>associadas à etnia do réu, refletida na sentença. Para testar a independência entre o resultado do julgamento</p><p>e o grupo étnico do réu, uma amostra representativa foi extraída, com resultados conforme abaixo.</p><p>Estão disponíveis também as seguintes informações sobre a distribuição Qui-Quadrado: 𝑃(𝒳12</p><p>do número de linhas e colunas (categorias). Portanto, a afirmativa</p><p>2 é verdadeira.</p><p>Em relação à afirmativa 3, só podemos comparar coeficientes de contingência quando houver o mesmo</p><p>número de linhas e colunas. Portanto, a afirmativa 3 é falsa.</p><p>Em relação à afirmativa 4, há distorções para valores esperados pequenos. Portanto, a afirmativa 4 é falsa.</p><p>Gabarito: B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>93</p><p>243</p><p>OUTROS TESTES NÃO PARAMÉTRICOS</p><p>Nesta seção, veremos outros testes não paramétricos, quais sejam o teste de concordância Kappa, o teste</p><p>de Wilcoxon e o teste Mann-Whitney.</p><p>Teste de Concordância Kappa</p><p>O teste de concordância Kappa ou coeficiente Kappa (de Cohen) avalia o nível de concordância entre</p><p>variáveis categóricas. Por exemplo, esse teste pode ser utilizado para avaliar se dois médicos (ou dois exames</p><p>distintos) concordam com o diagnóstico dos pacientes (doente ou não doente).</p><p>Para isso, comparamos a proporção observada de concordâncias 𝒑𝒐 (soma das respostas concordantes,</p><p>dividida pelo total) com a proporção esperada de concordâncias 𝒑𝒆 (soma das respostas concordantes</p><p>esperadas, dividida pelo total).</p><p>Para calcular a proporção esperada, supomos que as respostas sejam independentes, ou seja, a opinião de</p><p>um não tenha qualquer relação com a opinião do outro, o que chamamos de concordância randômica. Essa</p><p>é a hipótese nula do teste.</p><p>O coeficiente Kappa é calculado pela diferença entre as proporções observada e esperada dividida pelo</p><p>complemento da proporção esperada: 𝜿 = 𝒑𝒐−𝒑𝒆𝟏−𝒑𝒆</p><p>A hipótese nula e a hipótese alternativa são: 𝐻0: 𝜅 = 0 𝐻1: 𝜅 > 0</p><p>Vamos supor que as respostas de dois especialistas estejam representadas na tabela seguinte, em que as</p><p>linhas representam as respostas do especialista A e as colunas representam as respostas do especialista B:</p><p>A\B Sim Não Total</p><p>Sim 50 10 60</p><p>Não 20 20 40</p><p>Total 70 30 100</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>94</p><p>243</p><p>O primeiro passo é calcular a proporção observada de concordância, calculada pela razão entre a soma das</p><p>repostas concordantes e o total de respostas. De acordo com a tabela acima, houve 40 respostas</p><p>concordantes positivas e 10 respostas concordantes negativas, logo a proporção observada é:</p><p>𝑝𝑜 = 50 + 20100 = 0,7</p><p>Para calcular a proporção esperada de concordância, precisamos dos valores esperados de cada campo da</p><p>tabela, calculado pelo produto do total da linha com o total da coluna, dividido pelo total de respostas:</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>A\B Sim Não Total</p><p>Sim</p><p>60 × 70100 = 42</p><p>60 × 30100 = 18 60</p><p>Não</p><p>40 × 70100 = 28</p><p>40 × 30100 = 12 40</p><p>Total 70 30 100</p><p>E a proporção de concordância esperada é a razão entre a soma das repostas concordantes esperadas e o</p><p>total de respostas:</p><p>𝑝𝑒 = 42 + 12100 = 0,6</p><p>Assim, o coeficiente Kappa para o nosso exemplo é:</p><p>𝜅 = 0,7 − 0,61 − 0,6 = 0,10,4 = 0,25</p><p>O valor máximo do coeficiente é igual a 1, o que ocorre quando a proporção observada é 𝒑𝒐 = 𝟏, isto é,</p><p>quando existem apenas respostas concordantes.</p><p>Por outro lado, o coeficiente pode assumir valores negativos, o que indica ausência de discordância (o valor</p><p>em si do coeficiente negativo não tem interpretação estatística em termos de intensidade da discordância).</p><p>Alguns autores1 sugerem a seguinte interpretação para o resultado do teste de concordância:</p><p>1 Landis JR, Koch GG. The measurement of observer agreement for categorical data. Biometrics. 1977; 33(1): 159-174.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>95</p><p>243</p><p>𝜿 Interpretação</p><p>Uma vez ordenados, atribuímos aos pares números sequenciais (1, 2, 3,...), o que chamamos de postos. Em</p><p>caso de empate, devemos atribuir a média dos postos envolvidos no empate.</p><p>Nesse exemplo, ignoramos o aluno F, com d = 0.</p><p>Ademais, temos os alunos B e D empatados em primeiro e segundo lugares. Assim, atribuímos o posto de</p><p>1,5, que corresponde à média entre 1 e 2. O mesmo ocorre com os alunos C e G, empatados em quinto e</p><p>sexto lugares, motivo pelo qual atribuímos o posto de 5,5 para ambos.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>98</p><p>243</p><p>Aluno 1º sem. 2º sem. d Posto</p><p>F 6 6 0</p><p>B 5 6 -1 1,5</p><p>D 7 6 1 1,5</p><p>A 10 8 2 3</p><p>E 9 6 3 4</p><p>C 8 4 4 5,5</p><p>G 4 8 -4 5,5</p><p>Agora, atribuímos para cada posto o sinal da diferença que havíamos inicialmente ignorado (o que</p><p>chamamos de posto sinalizado), como ilustrado a seguir:</p><p>Aluno 1º sem. 2º sem. d Posto Posto Sinalizado</p><p>F 6 6 0</p><p>B 5 6 -1 1,5 -1,5</p><p>D 7 6 1 1,5 +1,5</p><p>A 10 8 2 3 +3</p><p>E 9 6 3 4 +4</p><p>C 8 4 4 5,5 +5,5</p><p>G 4 8 -4 5,5 -5,5</p><p>Por fim, somamos os valores positivos e os valores negativos, em separado, no caso, a soma dos positivos é</p><p>igual a +14 e a soma dos negativos é -7.</p><p>O valor final da soma dos postos será o valor absoluto da menor das duas somas, no caso, T = 7,0 (soma dos</p><p>postos negativos).</p><p>Quando a amostra é pequena, 𝑛 ≤ 30, a estatística do teste é o próprio valor da soma dos postos T, que</p><p>deve ser comparado ao valor crítico TC. O valor crítico é obtido a partir da tabela própria do teste, para o</p><p>tamanho da amostra 𝑛, o nível de significância 𝛼 desejado e o tipo de teste (unilateral ou bilateral).</p><p>Pontue-se que o tamanho da amostra 𝑛 corresponde ao número de elementos para os quais foram</p><p>atribuídos postos (isto é, aos elementos cujas diferenças são diferentes de zero).</p><p>No caso, temos 𝑛 = 6. Supondo o teste bilateral, com 𝛼 = 0,1, podemos observar, na tabela a seguir, que o</p><p>valor crítico para 𝑛 = 6 é TC = 2.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>99</p><p>243</p><p>Considerando a hipótese nula de que a mediana das diferenças é igual a zero, a soma dos postos positivos e</p><p>a soma dos postos negativos seriam aproximadamente iguais. Então, sendo a hipótese nula verdadeira, a</p><p>estatística do teste, que corresponde à menor soma, não será pequena.</p><p>Assim, não rejeitaremos a hipótese nula se a estatística for maior ou igual ao valor tabelado 𝑻 ≥ 𝑻𝑪; e a</p><p>rejeitaremos, caso contrário.</p><p>𝑻 30, a distribuição será aproximadamente normal, caso em que devemos</p><p>utilizar a tabela normal, sendo a média e desvio padrão da distribuição dadas por:</p><p>𝜇𝑇 = 𝑛(𝑛 + 1)4</p><p>𝜎𝑇 = √𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)24</p><p>E a transformação para a normal padrão (estatística do teste) será dada por:</p><p>𝑧 = 𝑇 − 𝑛(𝑛 + 1)4√𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)24</p><p>Os pressupostos do teste de Wilcoxon são os seguintes:</p><p>• As observações pareadas são aleatórias e independentes;</p><p>• As diferenças são variáveis contínuas, com distribuição simétrica;</p><p>• As medidas devem estar no mínimo em escala ordinal, para possam ser comparadas.</p><p>Assim, variáveis em escala nominal não são admitidas.</p><p>(FGV/2022 – TRT/MA) Avalie se as seguintes afirmativas acerca dos pressupostos do teste de postos</p><p>sinalizados de Wilcoxon são falsas (F) ou verdadeiras (V):</p><p>1. A população das diferenças tem distribuição que pode ser assimétrica ou simétrica.</p><p>2. Cada par é escolhido aleatoriamente e de forma independente.</p><p>3. Os dados podem ser medidos em escala nominal.</p><p>As afirmativas são, respectivamente,</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>101</p><p>243</p><p>a) V, V e V.</p><p>b) V, F e V.</p><p>c) F, V e V.</p><p>d) F, V e F.</p><p>e) F, F e F.</p><p>Comentários:</p><p>Essa questão exige os pressupostos do Teste de Wilcoxon.</p><p>Em relação à afirmativa 1, as diferenças devem ser variáveis contínuas e simétricas, ou seja, não podem ser</p><p>assimétricas. Assim, a afirmativa 1 é falsa.</p><p>Em relação à afirmativa 2, as observações pareadas (os pares) devem ser aleatórias e independentes. Assim,</p><p>a afirmativa 2 é verdadeira.</p><p>Em relação à afirmativa 3, os dados precisam estar no mínimo em escala ordinal, ou seja, variáveis em escala</p><p>nominal não são admitidas. Por isso, a afirmativa 3 é falsa.</p><p>Gabarito: D.</p><p>Teste de Mann-Whitney</p><p>O teste de Mann-Whitney ou teste da soma dos postos de Wilcoxon (para amostras independentes) é um</p><p>teste não paramétrico, utilizado para comparar duas populações de elementos não pareados e</p><p>independentes.</p><p>O objetivo também é semelhante ao do teste de t-Student (paramétrico) para comparar médias</p><p>populacionais, mas o teste de Mann-Whitney é utilizado quando não podemos assumir que a população siga</p><p>distribuição normal.</p><p>Assim como no teste de Wilcoxon, os dados precisam estar no mínimo em escala ordinal.</p><p>A hipótese nula desse teste é de que as amostras provêm da mesma população (isto é, de que a população</p><p>da primeira amostra é igual à população da segunda amostra); e a hipótese alternativa é de que existe</p><p>alguma diferença entre as duas populações.</p><p>Para conduzir o teste, devemos ordenar todos os valores de ambas as amostras, em uma única ordem</p><p>crescente (que denotamos por postos). Em caso de empate, utilizamos a média dos postos, assim como</p><p>fazemos para o teste de Wilcoxon.</p><p>Em seguida, somamos os postos de cada amostra em separado.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>102</p><p>243</p><p>Vamos supor que estejamos interessados em comparar os resultados dos alunos de duas turmas, cujos dados</p><p>e respectivos postos estão descritos na tabela a seguir.</p><p>Dados Postos</p><p>Turma 1 Turma 2 Turma 1 Turma 2</p><p>10 7 13,5 7,5</p><p>5 9 4,5 11,5</p><p>4 8 3 9,5</p><p>8 5 9,5 4,5</p><p>7 3 7,5 2</p><p>6 10 6 13,5</p><p>9 2 11,5 1</p><p>Totais 55,5 49,5</p><p>Para este exemplo, o tamanho das 2 amostras é o mesmo, mas isso não é uma condição necessária.</p><p>Chamamos o tamanho da 1ª amostra de 𝑛1, o tamanho da 2ª amostra de 𝑛2, a soma dos postos da 1ª amostra</p><p>de 𝑅1 e a soma dos postos da 2ª amostra de 𝑅2.</p><p>Para amostras pequenas, em que o tamanho de cada amostra seja 𝑛 ≤ 20, a estatística do teste bilateral 𝒖</p><p>será o menor valor entre:</p><p>𝑢1 = 𝑅1 − 𝑛1(𝑛1 + 1)2</p><p>𝑢2 = 𝑅2 − 𝑛2(𝑛2 + 1)2</p><p>Para o nosso exemplo, temos 𝑛1 = 𝑛2, então o menor valor estará associado à amostra com menor 𝑅 (soma</p><p>dos postos), no caso, a turma 2:</p><p>𝑈 = 𝑢2 = 49,5 − 7 × 82 = 21,5</p><p>Esse valor é comparado com o valor crítico, baseado na tabela do teste. A seguir apresentamos a tabela para</p><p>um nível de significância 𝛼 = 0,1 em um teste bilateral.</p><p>Nessa tabela, considera-se que 𝑛1 corresponde à amostra de menor tamanho e 𝑛2 à amostra de maior</p><p>tamanho. Por esse motivo, aparecem somente os valores para 𝑛2 > 𝑛1. Mas, na verdade, não importa qual</p><p>amostra é considerada a primeira e qual é considerada a segunda, pois o resultado do teste será o mesmo.</p><p>Pela tabela, observamos que o valor crítico para 𝑛1 = 𝑛2 = 7 é 𝑈𝐶 = 11.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>103</p><p>243</p><p>A regra de rejeição e de não rejeição é a mesma daquela do teste de Wilcoxon, isto é, rejeitamos a hipótese</p><p>nula se a estatística do teste for menor do que o valor tabelado 𝑼 20, a distribuição será aproximadamente normal, caso em que devemos</p><p>utilizar a tabela normal e a transformação para a normal padrão, considerando os seguintes parâmetros:</p><p>𝜇𝑇 = 𝑛1. 𝑛22</p><p>𝜎𝑇 = √𝑛1. 𝑛2(𝑛1 + 𝑛2 + 1)12</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>104</p><p>243</p><p>O teste de Mann-Whitney, que acabamos de estudar, é utilizado para 2 variáveis, como no</p><p>nosso exemplo, em que consideramos os resultados de 2 Turmas.</p><p>Para 3 ou mais variáveis, utilizamos o Teste Kruskal-Wallis.</p><p>Esse teste possui os mesmos objetivos da Análise de Variância (ANOVA) com um fator,</p><p>porém é indicado quando os pressupostos deste último não forem atendidos (inclusive,</p><p>para pequenas amostras).</p><p>(CESPE/2018 – ABIN) Um experimento foi realizado para avaliar a durabilidade de três marcas diferentes de</p><p>baterias. Para cada marca, foram observados aleatoriamente 12 tempos de duração, perfazendo-se uma</p><p>amostra total de 36 observações.</p><p>Considerando que se pretenda testar a hipótese nula H0: “as três marcas proporcionam as mesmas</p><p>distribuições dos tempos de duração das baterias” contra a hipótese alternativa H1: “há pelo menos duas</p><p>distribuições distintas dos tempos de duração das baterias”, julgue o próximo item.</p><p>O teste de postos sinalizados de Wilcoxon é um método apropriado para o experimento em tela, uma vez</p><p>que os tamanhos das amostras obtidas para cada marca de bateria são todos iguais a 12.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado deseja comparar 3 marcas. Considerando que há 3 grupos, e não apenas 2, o teste de Wilcoxon</p><p>não pode ser usado. Ademais, para o teste, os tamanhos das amostras não precisariam ser iguais.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>(2021 – Prefeitura de Porto Alegre/RS) Queremos comparar 4 amostras distintas em relação à tendência</p><p>central, verificando se provém da mesma população. A análise preliminar dos dados desta amostra mostrou</p><p>que todas as amostras apresentam uma forte não normalidade, com uma forte assimetria. Nessa situação,</p><p>qual seria o melhor tipo de teste de hipóteses para ser utilizado?</p><p>a) Teste de Mann-Whitney.</p><p>b) Teste de Kruskal-Wallis.</p><p>c) Teste ANOVA one way.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>105</p><p>243</p><p>d) Teste de Friedman.</p><p>e) Teste exato de Fisher.</p><p>Comentários:</p><p>Para comparar se mais de 2 amostras provêm da mesma população, quando não podemos presumir que as</p><p>distribuições são normais, devemos utilizar o teste de Kruskal-Wallis.</p><p>Gabarito: B.</p><p>(FCC/2017 – TRT-11ª Região) Considere as seguintes afirmativas relativas a métodos não paramétricos:</p><p>I. Os testes não paramétricos somente são utilizados quando as variáveis de estudo não possuem distribuição</p><p>normal.</p><p>II. Para se utilizar os testes não paramétricos as variáveis de estudo devem ser do tipo quantitativo.</p><p>III. O teste não paramétrico de Wilcoxon − Mann-Whitney é baseado nos postos dos valores das variáveis de</p><p>estudo envolvidas.</p><p>IV. O teste de KrusKal-Wallis é uma generalização do Teste de Friedman para populações normais.</p><p>Está correto o que se afirma APENAS em</p><p>a) I e II.</p><p>b) II e III.</p><p>c) III e IV.</p><p>d) III.</p><p>e) I e IV.</p><p>Comentários:</p><p>Em relação à afirmativa I, testes não paramétricos não exigem que as variáveis tenham distribuição normal.</p><p>Assim, eles podem ser utilizados com qualquer distribuição, inclusive com a distribuição normal. Logo, a</p><p>afirmativa I está incorreta.</p><p>Em relação à afirmativa II, alguns testes não paramétricos, como o teste qui-quadrado, podem trabalhar com</p><p>variáveis categóricas (não quantitativas). Por isso, a afirmativa II está incorreta.</p><p>Em relação à afirmativa III, de fato, o teste de Wilcoxon – Mann-Whitney depende do cálculo dos postos dos</p><p>elementos das amostras. Logo, a afirmativa III está correta.</p><p>Em relação à afirmativa IV, tanto o teste de KrusKal-Wallis quanto o teste de Friedman são testes não</p><p>paramétricos, que não pressupõem que a distribuição das populações seja normal. Logo, a afirmativa IV está</p><p>incorreta.</p><p>Gabarito: D.</p><p>(FGV/2022 – TRT/PB - Adaptada) Considere o problema de se avaliar duas amostras aleatórias, uma (X's) de</p><p>tamanho m, outra (Y's) de tamanho n, obtidas de duas densidades defasadas por uma constante ∆.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>106</p><p>243</p><p>Assim, temos Xi = ei, i = 1, ..., m, e Yj = em+j + ∆ em que os X's e os Y's são observáveis, em+j são variáveis</p><p>aleatórias não observáveis, ∆ é o deslocamento na locação devido ao “tratamento”. Suponha ainda que as</p><p>N = m + n observações sejam independentes e que cada “e” provém da mesma população contínua.</p><p>Por exemplo, suponha que os valores x’s e os valores y’s observados sejam:</p><p>x: 10,2 9,5 8,7 11,3 12,5 13,8 13,4 9,6 10,0</p><p>y: 13,5 14,6 15,7 15,8 16,7</p><p>e que se deseja testar H0: ∆= 0 versus H1: ∆> 0.</p><p>O valor da maior soma de postos para esse problema é igual a</p><p>a) 47.</p><p>b) 51.</p><p>c) 56</p><p>d) 59</p><p>e) 60</p><p>Comentários:</p><p>Para aplicar o teste de Mann-Whitney ou teste da soma dos postos de Wilcoxon (para amostras</p><p>independentes), primeiro ordenamos todas as observações de maneira crescente, designando os postos</p><p>correspondentes:</p><p>Assim, a soma dos postos de X e de Y são, respectivamente: 𝑅𝑋 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 = 46 𝑅𝑌 = 9 + 11 + 12 + 13 + 14 = 59</p><p>E a maior soma de postos é 𝑅𝑌 = 59.</p><p>Resposta: D</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>107</p><p>243</p><p>RESUMO DA AULA</p><p>Tipos de Teste</p><p>• Teste Bilateral: Região Crítica (RC) em ambos os extremos</p><p>• Teste Unilateral à Esquerda: Região Crítica concentrada à esquerda</p><p>• Teste Unilateral à Direita: Região crítica concentrada à esquerda</p><p>Tipos de Erros – não complementares</p><p>• Erro tipo I (probabilidade 𝛼 – nível de significância)</p><p>o Rejeitar a hipótese nula (H0) sendo ela verdadeira</p><p>o Complementar: Nível de Confiança 1 − 𝛼</p><p>• Erro tipo II (probabilidade 𝛽):</p><p>o Não rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa</p><p>LSUP LINF</p><p>𝑅𝑁𝑅 1 − 𝛼 𝑅𝐶 𝛼 2⁄</p><p>𝑅𝐶 𝛼 2⁄</p><p>LINF</p><p>𝑅𝑁𝑅 1 − 𝛼 𝑅𝐶 𝛼</p><p>LSUP</p><p>𝑅𝑁𝑅 1 − 𝛼 𝑅𝐶 𝛼</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>108</p><p>243</p><p>o Complementar: Poder do Teste 1 − 𝛽</p><p>o Quanto maior a diferença entre os parâmetros (verdadeiro e da hipótese nula), maior o poder</p><p>do teste</p><p>o Quanto maior o tamanho da amostra, maior o poder do teste</p><p>o Quanto maior 𝛼, maior o poder do teste</p><p>Tipos de Testes</p><p>• Teste para a média com variância conhecida: 𝑧𝐶 = �̅�−𝜇𝜎�̅� = �̅�−𝜇𝜎√𝑛</p><p>• Teste para a média com variância desconhecida: 𝑡𝐶 = �̅�−𝜇𝑠�̅� = �̅�−𝜇𝑠√𝑛</p><p>• Teste T: 𝑧𝐶 = 𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅𝜎𝑥1̅̅ ̅̅ −𝑥2̅̅ ̅̅ = 𝑥1̅̅̅̅ −𝑥2̅̅̅̅√𝜎12𝑛1+𝜎22𝑛2</p><p>• Teste para a proporção: 𝑧 = 𝑝−𝑝𝜎�̂� = 𝑝−𝑝√�̂�.�̂�𝑛</p><p>• Teste para a variância: 𝒳𝑛−12 = (𝑛−1𝜎2 ) 𝑠2</p><p>P-Valor: Rejeitar se 𝑝</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>109</p><p>243</p><p>QUESTÕES COMENTADAS – MULTIBANCAS</p><p>Conceitos Fundamentais</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2019 – TJ-AM) A respeito dos testes de hipóteses, julgue o próximo item.</p><p>Sendo 𝛼 o nível de significância de um teste estatístico, seu valor será sempre constante em 0,05.</p><p>Comentários:</p><p>O valor de 𝛼, isto é, o nível de significância, equivale à probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, sendo ela</p><p>verdadeira. Como uma probabilidade, 𝛼 pode assumir qualquer valor entre 0 e 1, embora seja normalmente</p><p>abaixo de 10%</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>2. (Cebraspe/2015 – Telebras) Com relação às técnicas de amostragem estatística, julgue o item.</p><p>Considerando as informações colecionadas em uma amostra, a metodologia do teste de hipóteses tem o</p><p>objetivo de determinar a possibilidade de a hipótese nula ser verdadeira, uma vez que é indissolúvel a relação</p><p>entre a declaração da hipótese nula e a especificação da hipótese alternativa, sendo esta necessariamente</p><p>verdadeira caso a hipótese nula seja falsa.</p><p>Comentários:</p><p>O objetivo do teste de hipóteses é, de fato, decidir se a hipótese nula é verdadeira ou falsa. Se a hipótese</p><p>nula for considerada falsa, então a hipótese alternativa será necessariamente verdadeira.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>3. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Alunos de um departamento de uma universidade estudaram</p><p>por dois livros diferentes, A e P. Foram retiradas amostras aleatórias simples dos que estudaram pelo livro</p><p>A e dos que estudaram pelo livro P, tendo sido observadas as notas dos alunos em um exame padronizado.</p><p>Um teste t de Student foi aplicado com a hipótese nula H0: μA = μP e a hipótese alternativa H1: μA > μP, em</p><p>que μA e μP representam, respectivamente, as médias populacionais das notas dos alunos, no exame</p><p>padronizado, que estudaram pelo livro A e pelo livro P. O valor p obtido foi 0,03.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>110</p><p>243</p><p>A partir da situação apresentada, julgue os itens subsequentes, considerando o nível de significância de</p><p>0,05.</p><p>As hipóteses do teste t de Student aplicado são simples.</p><p>Comentários:</p><p>A hipótese alternativa do teste é μA > μP, que é uma hipótese composta, uma vez que não especifica os</p><p>parâmetros.</p><p>Gabarito: Errado</p><p>4. (Cebraspe/2015 – Telebras)</p><p>Um varejista de motocicletas e acessórios encontrou uma caixa de parafusos especiais de origem</p><p>desconhecida para um modelo da marca Honda. Esses parafusos são produzidos apenas no Japão e</p><p>Taiwan. As características da resistência à tração X dos parafusos são apresentadas na tabela. Uma</p><p>amostra de 20 parafusos da caixa foi testada e encontrou-se a resistência à tração média �̅�.</p><p>Considere o teste a respeito da procedência dos parafusos constituído das seguintes hipóteses. H0: os</p><p>parafusos procedem do Japão: μ = 100; e H1: os parafusos procedem de Taiwan: μ = 110. A regra da decisão</p><p>do teste é não rejeitar H0 se �̅� 1.448;</p><p>e) Ho: Rm  1.448 contra Ha: Rm = 1.448.</p><p>Comentários:</p><p>A DPE pretende testar um grupo de pessoas para verificar se de fato necessitam da Defensoria Pública.</p><p>Considerando que o parâmetro estipulado foi de R$ 1.448, o objetivo do teste é verificar se a renda média</p><p>dos integrantes desse grupo é menor ou maior que esse parâmetro.</p><p>A hipótese nula é de que a assistência jurídica está sendo prestada para aqueles que de fato necessitam, ou</p><p>seja, Ho: Rm  1.448; e a hipótese alternativa é de que a assistência jurídica está sendo prestada para aqueles</p><p>que não precisam, ou seja, Ha: Rm > 1.448.</p><p>O enunciado informa que o objetivo é garantir que os necessitados recebam os serviços (ainda que os</p><p>serviços sejam prestados para os indivíduos capazes de pagar) para indicar que a hipótese nula inclui o</p><p>parâmetro indicado Ho: Rm  1.448.</p><p>Gabarito: D</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>112</p><p>243</p><p>QUESTÕES COMENTADAS – MULTIBANCAS</p><p>Tipos de Erros</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2018 – IJSN-ES) Considerando os conceitos associados a probabilidade e estatística,</p><p>julgue o item.</p><p>A hipótese nula (H0) é a afirmação feita acerca do valor de um parâmetro populacional e o erro tipo I ocorre</p><p>quando a hipótese nula é falsa e não é rejeitada.</p><p>Comentários:</p><p>A hipótese nula, de fato, trás uma afirmação acerca do valor de um parâmetro populacional, mas o erro tipo</p><p>I (com probabilidade 𝛼) ocorre quando rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira. O evento de não</p><p>rejeitar a hipótese sendo ela falsa é o erro tipo II (com probabilidade 𝛽).</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>2. (Cebraspe/2016 – TCE-PAM) Uma amostra aleatória, com n = 16 observações independentes e</p><p>identicamente distribuídas (IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e desvio padrão</p><p>desconhecidos e distribuição normal. Tendo essa informação como referência inicial, julgue o seguinte</p><p>item.</p><p>A potência de um teste de hipóteses corresponde à probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, dado que a</p><p>hipótese nula é correta.</p><p>Comentários:</p><p>A potência do teste, 1 − 𝛽, corresponde à probabilidade de rejeitar a hipótese nula dado que ela é falsa.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>3. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) Em estudo acerca da situação do CNPJ das empresas de determinado</p><p>município, as empresas que estavam com o CNPJ regular foram representadas por 1, ao passo que as com</p><p>CNPJ irregular foram representadas por 0. Considerando que a amostra {0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1,</p><p>1, 0, 1, 1, 1, 1} foi extraída para realizar um teste de hipóteses, julgue o item subsequente.</p><p>O poder do teste pode ser facilmente calculado pelo complementar do erro tipo II (𝛽).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>113</p><p>243</p><p>Comentários:</p><p>De fato, o poder do teste é 1 − 𝛽, isto é, o complementar da probabilidade do erro tipo II.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>4. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Alunos de um departamento de uma universidade estudaram</p><p>por dois livros diferentes, A e P. Foram retiradas amostras aleatórias simples dos que estudaram pelo livro</p><p>A e dos</p><p>que estudaram pelo livro P, tendo sido observadas as notas dos alunos em um exame padronizado.</p><p>Um teste t de Student foi aplicado com a hipótese nula H0: μA = μP e a hipótese alternativa H1: μA > μP, em</p><p>que μA e μP representam, respectivamente, as médias populacionais das notas dos alunos, no exame</p><p>padronizado, que estudaram pelo livro A e pelo livro P. O valor p obtido foi 0,03.</p><p>A partir da situação apresentada, julgue os itens subsequentes, considerando o nível de significância de</p><p>0,05.</p><p>A função poder do teste, Π(μA – μP), assume o valor Π(0) = 0,03.</p><p>Comentários:</p><p>O poder do teste é o complementar do erro tipo II, 1 − 𝛽, e corresponde à probabilidade de rejeitar a</p><p>hipótese nula, sendo ela falsa. Para calculá-lo, precisamos da distribuição do verdadeiro parâmetro μA – μP,</p><p>o que não foi dado no enunciado.</p><p>Ademais, sendo μA – μP = 0, como descrito no item, concluímos que a hipótese nula é verdadeira. Nessa</p><p>situação, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa é nula, pois sabemos que a hipótese nula</p><p>não é falsa.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>5. (Cebraspe/2020 – TJ-PA)</p><p>O teste de hipóteses se assemelha ao julgamento de um crime. Em um julgamento, há um réu, que</p><p>inicialmente se presume inocente. As provas contra o réu são, então, apresentadas, e, se os jurados</p><p>acham que são convincentes, sem dúvida alguma, o réu é considerado culpado. A presunção de</p><p>inocência é vencida. Michael Barrow. Estatística para economia, contabilidade e administração. São Paulo:</p><p>Ática, 2007, p. 199 (com adaptações).</p><p>João foi julgado culpado pelo crime de assassinato e condenado a cumprir pena de 20 anos de reclusão.</p><p>Após 10 anos de prisão, André, o verdadeiro culpado pelo delito pelo qual João fora condenado, confessou</p><p>o ilícito e apresentou provas irrefutáveis de que é o verdadeiro culpado, exclusivamente. Considerando a</p><p>situação hipotética apresentada e o fragmento de texto anterior, julgue os itens que se seguem.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>114</p><p>243</p><p>I Pode-se considerar que a culpa de João seja uma hipótese alternativa.</p><p>II No julgamento, ocorreu um erro conhecido nos testes de hipótese como erro do tipo I.</p><p>III Se a hipótese nula fosse admitida pelos jurados como verdadeira e fosse efetivamente João o culpado</p><p>pelo crime, o erro cometido teria sido o chamado erro do tipo II.</p><p>Assinale a opção correta</p><p>a) Apenas o item I está certo.</p><p>b) Apenas o item II está certo.</p><p>c) Apenas os itens I e III estão certos.</p><p>d) Apenas os itens II e III estão certos.</p><p>e) Todos os itens estão certos.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado traça um paralelo entre o teste de hipóteses e o julgamento de um réu, pontuando que</p><p>inicialmente presume-se que o réu é inocente, sendo este considerado culpado apenas se as provas forem</p><p>fortes o suficiente. Com base nessa premissa, podemos considerar a inocência do réu como hipótese nula, a</p><p>qual será rejeitada apenas se houver evidência estatística (isto é, se o resultado estiver na região crítica).</p><p>Em seguida, o enunciado afirma que João foi julgado culpado por um crime e cumpriu pena por isso. Porém,</p><p>na verdade, André era exclusivamente culpado por esse crime (ou seja, João era inocente, na realidade).</p><p>Agora, vamos analisar os itens.</p><p>Em relação ao item I, de fato, consideramos a culpa de um réu como hipótese alternativa (a qual será aceita</p><p>somente se houver fortes evidências). Logo, o item I está correto.</p><p>Em relação ao item II, vimos que João foi considerado culpado injustamente, ou seja, a hipótese nula foi</p><p>rejeitada, sendo ela verdadeira. Essa é a definição do erro tipo I, logo, o item II está correto.</p><p>Em relação ao item III, se a hipótese nula fosse admitida como verdadeira, então João teria sido absolvido.</p><p>Se João fosse o real culpado pelo crime, ele teria sido considerado inocente injustamente, ou seja, a hipótese</p><p>nula não seria rejeitada, sendo ela falsa. Essa é a definição do erro tipo II, logo, o item III está correto.</p><p>Gabarito: E</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>115</p><p>243</p><p>6. (Cebraspe/2017 – TCE-PE) Para avaliar se a proporção p de itens defeituosos enviados por um</p><p>fornecedor estava acima do valor pactuado de 0,025, um analista, a partir de uma amostra aleatória de</p><p>itens enviada por esse fornecedor, testou a hipótese nula H0: p  0,025 contra a hipótese alternativa H1: p</p><p>> 0,025, utilizando nível de significância 𝜶 = 1%. A respeito dessa situação hipotética, julgue o seguinte</p><p>item.</p><p>O nível de significância representa a probabilidade de se aceitar a hipótese H0: p  0,025 quando, na verdade,</p><p>a proporção p for superior a 0,025.</p><p>Comentários:</p><p>O nível de significância representa a probabilidade de rejeitar a hipótese nula (H0: p  0,025) quando ela é</p><p>verdadeira. A probabilidade de aceitar a hipótese nula quando ela é falsa, como descrito no item, é a</p><p>probabilidade do erro tipo II (𝛽).</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>FGV</p><p>7. (FGV/2017 – TJ-AL) Sobre a formulação geral de teste de hipóteses, empregando a distribuição</p><p>Normal, é correto afirmar que:</p><p>a) fixo o tamanho da amostra e o valor simulado na região crítica, quanto maior a probabilidade do erro do</p><p>Tipo I, menor será a do Tipo II;</p><p>b) os erros do Tipo I e do Tipo II são complementares quando o teste de hipóteses é unicaudal;</p><p>c) a potência de um teste é uma função monótona quando o teste é do tipo bicaudal;</p><p>d) em um teste unicaudal, quando o p-valor coincide com o nível de significância, a hipótese nula é rejeitada;</p><p>e) tanto a rejeição quanto a não rejeição da hipótese nula implicam a geração de evidências estatísticas.</p><p>Comentários:</p><p>Em relação à alternativa A, para um mesmo tamanho da amostra, quanto maior o nível de significância 𝛼 (ou</p><p>seja, menor a Região de Não Rejeição), menor será a probabilidade de aceitar a hipótese nula, sendo ela</p><p>falsa, isto é, menor será o erro Tipo II (𝛽). Logo, a alternativa A está correta.</p><p>Em relação à alternativa B, os erros tipo I e tipo II não são complementares, em teste algum. Logo, a</p><p>alternativa B está incorreta.</p><p>Em relação à alternativa C, a função potência do teste apresenta a seguinte característica, para um teste</p><p>bilateral.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>116</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>Logo, a função não é monótona (isto é, uma função que só cresce ou só decresce). Por isso, a alternativa C</p><p>está incorreta.</p><p>Em relação à alternativa D, rejeitamos a hipótese nula, quando o p-valor for menor do que o nível de</p><p>significância (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟</p><p>Comentários:</p><p>Essa questão cobra conceitos gerais sobre os testes de hipóteses.</p><p>O evento supostamente de alta probabilidade a que a alternativa A se refere é o resultado estar na RNR</p><p>(Região de Não Rejeição), associada a um alto nível de confiança (em geral, 90% ou 95%), supondo a hipótese</p><p>nula como premissa. Quando isso não ocorre, isto é, quando o resultado cai na região crítica, rejeitamos a</p><p>hipótese nula, ou seja, o teste gera evidência estatística. Assim, a alternativa A está correta.</p><p>𝜋</p><p>𝜇1</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>117</p><p>243</p><p>Em relação à alternativa B, apenas a rejeição da hipótese nula (associada a um evento de baixa</p><p>probabilidade) produz evidência estatística. Como a alternativa mencionou a "não rejeição", ela está</p><p>incorreta.</p><p>Em relação à alternativa C, a potência do teste é uma função do parâmetro verdadeiro. Ela é indiretamente</p><p>afetada pelo tamanho da amostra e pelo nível de significância, mas não podemos dizer que há uma relação</p><p>de dependência entre essas variáveis. Logo, a alternativa C está incorreta.</p><p>Em relação à alternativa D, os erros tipo I e tipo II não têm probabilidades complementares.</p><p>Em relação à alternativa E, a estatística do teste é calculada a partir do resultado do teste, logo não precisa</p><p>ser previamente conhecida. Assim, a alternativa A está incorreta.</p><p>Gabarito: A</p><p>9. (FGV/2014 – DPE-RJ) Suponha que para a realização de um teste de hipóteses sobre determinado</p><p>parâmetro estão disponíveis duas alternativas. Na tabela abaixo são apresentadas as probabilidades de</p><p>rejeição da hipótese nula quando ela é falsa.</p><p>Então, pode-se afirmar que</p><p>a) a probabilidade do erro do tipo I no teste alternativo 1, com a hipótese θ = θ₂, é igual a 0,16.</p><p>b) a probabilidade do erro do tipo II no teste alternativo 2, com a hipótese θ = θ3, é igual a 0,85.</p><p>c) o teste da alternativa 2 é menos potente do que o teste para a alternativa 1.</p><p>d) o teste da alternativa 1 é tendencioso o que não ocorre com o teste da alternativa 2.</p><p>e) as probabilidades indicam que os testes das alternativas 1 e 2 são ambos do tipo bilateral.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado diz que os valores indicados na tabela correspondem à probabilidade de rejeitar a hipótese nula</p><p>quando ela é falsa, que é complementar à probabilidade de aceitar a hipótese nula quando ela é falsa (isto</p><p>é, o erro tipo II, 𝛽). Ou seja, essas probabilidades correspondem a 1 − 𝛽, ou seja, ao poder do teste.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>118</p><p>243</p><p>Em relação à alternativa A, não há qualquer informação em relação ao erro tipo I, logo essa alternativa está</p><p>incorreta.</p><p>Em relação à alternativa B, a tabela informa que o poder do teste alternativo 2 para o parâmetro θ = θ3 é 1 − 𝛽 = 0,85. Logo, a probabilidade do erro tipo II é 𝛽 = 1 − 0,85 = 0,15. Assim, a alternativa B está</p><p>incorreta.</p><p>Em relação à alternativa C, podemos observar que os valores dos testes da alternativa 2 são sempre menores</p><p>do que os valores para os testes da alternativa 1. Ou seja, os testes 2 são, de fato, menos potentes e a</p><p>alternativa C está correta.</p><p>Em relação às alternativas D e E, não há como concluir a respeito da tendenciosidade ou do tipo (unilateral</p><p>ou bilateral) do teste. Por isso, essas alternativas estão incorretas.</p><p>Gabarito: C</p><p>10. (FGV/2017 – TJ-AL) Para verificar se a proporção geral de recursos meramente protelatórios é muito</p><p>elevada, elabora-se o seguinte teste de hipóteses: HO: 𝒑 ≤ 𝟎, 𝟕𝟓 contra Ha: 𝒑 > 𝟎, 𝟕𝟓.</p><p>Para sua realização, uma amostra de tamanho n = 5 é extraída, sendo o critério de rejeição de HO</p><p>estabelecido caso o número de recursos daquele tipo seja maior do que 4.</p><p>Se a verdadeira probabilidade é igual a 0,80, as probabilidades de ocorrência dos erros tipos I e II são,</p><p>respectivamente:</p><p>a) (0,75)5 e (0,80)5;</p><p>b) 1 − (0,80)5 e 1 − (0,75)5;</p><p>c) 1 − (0,75)5 e (0,80)5;</p><p>d) (0,75)5 e 1 − (0,80)5;</p><p>e) 1 − (0,80)5 e (0,75)5.</p><p>Comentários:</p><p>A probabilidade do erro tipo I corresponde à probabilidade de rejeitar a hipótese nula, sendo ela verdadeira.</p><p>A hipótese nula é que a proporção de recursos protelatórios seja menor ou igual a 𝑝 = 0,75. Essa hipótese</p><p>será rejeitada caso o número desse tipo de recurso seja maior do que 4, dentre os 5 processos selecionados,</p><p>ou seja, se os 5 processos forem protelatórios. Sendo 𝑝 = 0,75, a probabilidade disso ocorrer é dada pelo</p><p>produto (probabilidade da interseção): 𝛼 = 𝑝5 = (0,75)5</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>119</p><p>243</p><p>Sendo a probabilidade verdadeira 𝑝∗ = 0,8, o erro tipo II corresponde à probabilidade de aceitar a hipótese</p><p>nula, considerando 𝑝∗ = 0,8. A probabilidade de aceitar a hipótese nula corresponde à probabilidade de ter</p><p>menos que 5 processos protelatórios na amostra de 5 processos. Essa probabilidade é complementar à</p><p>probabilidade de encontrar os 5 processos desse tipo na amostra, dada por: 𝛽 = 1 − 𝑝∗5 = 1 − (0,8)5</p><p>Gabarito: D</p><p>FCC</p><p>11. (FCC/2014 – CNMP) Com relação a testes de hipóteses estatísticas e denominando H0 como sendo</p><p>a hipótese nula e H1 a hipótese alternativa, a definição de potência de um teste corresponde à</p><p>probabilidade de</p><p>a) não rejeitar H0, quando H0 é verdadeira.</p><p>b) não rejeitar H0, quando H0 é falsa.</p><p>c) não rejeitar H0, independentemente de H0 ser falsa ou verdadeira.</p><p>d) rejeitar H0, quando H0 é verdadeira.</p><p>e) rejeitar H0, quando H0 é falsa.</p><p>Comentários:</p><p>A potência do teste 1 − 𝛽 (complementar da probabilidade do erro tipo II) corresponde à probabilidade de</p><p>rejeitar a hipótese nula, sendo ela falsa.</p><p>Gabarito: E</p><p>12. (FCC/2015 – SEFAZ-PI) Seja X a variável aleatória que representa o número de sucessos em 6 ensaios</p><p>de Bernoulli independentes e onde a probabilidade de sucesso, em cada ensaio, é sempre igual a p. Deseja-</p><p>se testar a hipótese nula H₀: p = 0,7 contra a hipótese alternativa Hₐ: p = 0,5.</p><p>Se rejeita-se H₀ quando ocorrerem menos do que 4 sucessos, a probabilidade do erro do tipo II é igual a</p><p>a) 3/8.</p><p>b) 25/64.</p><p>c) 11/32.</p><p>d) 21/128.</p><p>e) 19/64.</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>120</p><p>243</p><p>A probabilidade de cometer o erro tipo II é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa,</p><p>ou seja, obtermos pelo menos 4 sucessos, dentre 6 ensaios (ou seja, k = 4, k = 5 ou k = 6 sucessos),</p><p>considerando a probabilidade da hipótese alternativa p = 0,5.</p><p>Essa probabilidade pode ser calculada a partir da fórmula da distribuição binomial, em que a probabilidade</p><p>de se ter exatamente 𝑘 sucessos em 𝑛 tentativas é dada por 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘 × 𝑞𝑛−𝑘</p><p>(𝑛𝑘) = 𝑛!𝑘! (𝑛 − 𝑘)!</p><p>Com q = 1 – p. Temos n = 6 e, tendo em vista a hipótese alternativa, p = ½.</p><p>Para k = 4, temos:</p><p>(64) = 6!4! (6 − 4)! = 6!4! × 2! = 6 × 52 = 15</p><p>𝑃(𝑋 = 4) = 15 × (12)4 × (12)2 = 45 × (12)6 = 1526 = 1564</p><p>Para k = 5, temos:</p><p>(65) = 6!5! (6 − 5)! = 6!5! × 1! = 6</p><p>𝑃(𝑋 = 5) = 6 × (12)5 × (12)1 = 6 × (12)6 = 626 = 664</p><p>Para k = 6, temos:</p><p>(66) = 6!6! (6 − 6)! = 6!6! × 1 = 1</p><p>𝑃(𝑋 = 6) = 1 × (12)6 × (12)0 = (12)6 × 1 = 126 = 164</p><p>A probabilidade de não rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa é dada pela soma dessas probabilidades (união</p><p>de eventos mutuamente exclusivos):</p><p>𝛽 = 1564 + 664 + 164 = 2264 = 1132</p><p>Gabarito: C</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>121</p><p>243</p><p>13. (FCC/2015 – SEFAZ-PI) Sabe-se que uma urna contém uma</p><p>proporção de p bolas pretas e de (1 − p)</p><p>bolas brancas. O valor de p é desconhecido, mas sabe-se que é 3/5 ou é 1/2. A fim de se chegar a uma</p><p>conclusão, seleciona-se ao acaso e com reposição 10 bolas da urna e observa-se o número de bolas pretas.</p><p>Um teste de hipóteses é proposto, esse considera testar a hipótese nula H0: p = 1/2 contra a hipótese</p><p>alternativa Ha: p = 3/5. Se o teste rejeitar H0 quando pelo menos 8 bolas pretas forem encontradas, o nível</p><p>de significância do teste é igual a</p><p>a) 15/256</p><p>b) 7/128</p><p>c) 9/128</p><p>d) 17/256</p><p>e) 25/512</p><p>Comentários:</p><p>A probabilidade do erro tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula, quando ela é verdadeira. Essa</p><p>hipótese será rejeitada se forem encontradas pelo menos 8 bolas pretas, na amostra com reposição de 10</p><p>bolas, ou seja, encontrar k = 8, k = 9 ou k = 10.</p><p>Essa probabilidade pode ser calculada a partir da fórmula da distribuição binomial, em que a probabilidade</p><p>de se ter exatamente 𝑘 sucessos em 𝑛 tentativas é dada por 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘 × 𝑞𝑛−𝑘</p><p>(𝑛𝑘) = 𝑛!𝑘! (𝑛 − 𝑘)!</p><p>Com q = 1 – p. Temos n = 10 e, tendo em vista a hipótese nula, p = ½.</p><p>Para k = 8, temos:</p><p>(108 ) = 10!8! (10 − 8)! = 10!8! × 2! = 10 × 92 = 45</p><p>𝑃(𝑋 = 8) = 45 × (12)8 × (12)2 = 45 × (12)10 = 45210 = 451024</p><p>Para k = 9, temos:</p><p>(109 ) = 10!9! (10 − 9)! = 10!9! × 1! = 10</p><p>𝑃(𝑋 = 9) = 10 × (12)9 × (12)1 = 10 × (12)10 = 10210 = 101024</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>122</p><p>243</p><p>Para k = 10, temos:</p><p>(1010) = 10!10! (10 − 10)! = 10!10! × 1 = 1</p><p>𝑃(𝑋 = 10) = 1 × (12)10 × (12)0 = 1 × (12)10 × 1 = 1210 = 11024</p><p>A probabilidade de rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira é dada pela soma dessas probabilidades</p><p>(união de eventos mutuamente exclusivos):</p><p>𝛼 = 451024 + 101024 + 11024 = 561024 = 7128</p><p>Gabarito: B</p><p>14. (FCC/2019 – SEFAZ-BA) Acredita-se que a probabilidade (p) de ocorrência de um determinado</p><p>evento em 1 dia seja igual a 50%. Para averiguar se essa informação é correta, foi extraída uma amostra</p><p>aleatória de 10 dias de um levantamento e foram formuladas as hipóteses H0: p = 0,5 (hipótese nula) e H1:</p><p>p ≠ 0,5 (hipótese alternativa). A regra estabelecida foi rejeitar H0 caso na amostra tenha se verificado um</p><p>número de dias n tal que n 8. A probabilidade de se cometer um erro tipo I é igual a</p><p>a) 21/1024.</p><p>b) 5/256.</p><p>c) 11/512.</p><p>d) 5/512.</p><p>e) 1/512.</p><p>Comentários:</p><p>A probabilidade de cometer o erro tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira,</p><p>ou seja, obtermos k 8 em um total de n = 10 dias, ou seja, obtermos 0, 1, 9 ou 10 sucessos,</p><p>considerando a probabilidade p = 0,5.</p><p>Essa probabilidade pode ser calculada a partir da fórmula da distribuição binomial, em que a probabilidade</p><p>de se ter exatamente 𝑘 sucessos em 𝑛 tentativas é dada por 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘 × 𝑞𝑛−𝑘</p><p>(𝑛𝑘) = 𝑛!𝑘! (𝑛 − 𝑘)!</p><p>Com q = 1 – p. Para k = 0, temos:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>123</p><p>243</p><p>(100 ) = 10!0! (10 − 0)! = 10!1 × 10! = 1</p><p>𝑃(𝑋 = 0) = (100 ) × (12)0 × (12)10 = 1 × 1 × (12)10 = 1210 = 11024</p><p>Para k = 1, temos:</p><p>(101 ) = 10!1! (10 − 1)! = 10!1! × 9! = 10</p><p>𝑃(𝑋 = 1) = (101 ) × (12)1 × (12)9 = 10 × 12 × (12)9 = 10210 = 101024</p><p>Para k = 9, temos:</p><p>(109 ) = 10!9! (10 − 9)! = 10!9! × 1! = 10</p><p>𝑃(𝑋 = 9) = (109 ) × (12)9 × (12)1 = 10 × (12)9 × 12 = 10210 = 101024</p><p>Para k = 10, temos:</p><p>(1010) = 10!10! (10 − 10)! = 10!10! × 1 = 1</p><p>𝑃(𝑋 = 10) = (1010) × (12)10 × (12)1 = 1 × (12)10 × 1 = 1210 = 11024</p><p>A probabilidade de rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira é dada pela soma dessas probabilidades</p><p>(união de eventos mutuamente exclusivos):</p><p>𝛼 = 11024 + 101024 + 101024 + 11024 = 221024 = 11512</p><p>Gabarito: C</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>124</p><p>243</p><p>15. (FCC/2014 – SEFAZ-PE) Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial, tendo parâmetros</p><p>n = 9 (n representando o número de ensaios) e p desconhecido (p representando a probabilidade de</p><p>sucesso em cada ensaio). Desejando-se testar a hipótese nula H0: p = 0,5 versus a hipótese alternativa H1:</p><p>p > 0,5, considerou-se rejeitar H0 se X for superior a 6. Nessas condições, o nível de significância do teste é</p><p>igual a</p><p>a) 25/256.</p><p>b) 23/256.</p><p>c) 37/256.</p><p>d) 5/256.</p><p>e) 42/256.</p><p>Comentários:</p><p>Trata-se de uma distribuição binomial com n = 9 e p desconhecido. Para calcular o nível de significância, isto</p><p>é, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira, devemos considerar o parâmetro</p><p>indicado na hipótese nula, isto é, p = 0,5. O enunciado informa, ainda, que a hipótese nula será rejeitada se</p><p>forem obtidos X > 6 sucessos (ou seja, k = 7, k = 8 ou k = 9).</p><p>Essa probabilidade pode ser calculada a partir da fórmula da distribuição binomial, em que a probabilidade</p><p>de se ter exatamente 𝑘 sucessos em 𝑛 tentativas é dada por 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘 × 𝑞𝑛−𝑘</p><p>(𝑛𝑘) = 𝑛!𝑘! (𝑛 − 𝑘)!</p><p>Com q = 1 – p. Para k = 7, temos:</p><p>(97) = 9!7! (9 − 7)! = 9 × 8 × 7!7! × 2! = 9 × 82 = 9 × 4 = 36</p><p>𝑃(𝑋 = 7) = (97) × (12)7 × (12)2 = 36 × (12)9 = 3629 = 36512</p><p>Para k = 8, temos:</p><p>(98) = 9!8! (9 − 8)! = 9 × 8!8! × 1! = 9</p><p>𝑃(𝑋 = 8) = (98) × (12)8 × (12)1 = 9 × (12)9 = 929 = 9512</p><p>Para k = 9, temos:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>125</p><p>243</p><p>(99) = 9!9! (9 − 9)! = 9!9! × 0! = 1</p><p>𝑃(𝑋 = 9) = (99) × (12)9 × (12)0 = 1 × (12)9 × 1 = 129 = 1512</p><p>A probabilidade de rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira é dada pela soma dessas probabilidades</p><p>(união de eventos mutuamente exclusivos):</p><p>𝛼 = 36512 + 9512 + 1512 = 46512 = 23256</p><p>Gabarito: B</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>126</p><p>243</p><p>QUESTÕES COMENTADAS - MULTIBANCAS</p><p>Testes para Distribuições Uniformes</p><p>1. (FCC/2019 – TRT-SP) De uma variável aleatória X uniformemente distribuída no intervalo (0, θ) é</p><p>extraída uma única observação com vista a testar a hipótese H₀: θ = 10 (hipótese nula) contra H₁: θ > 10</p><p>(hipótese alternativa). O critério de decisão consiste em rejeitar H₀ caso o valor observado exceder 8. A</p><p>probabilidade de ser cometido um erro tipo II, admitindo que o verdadeiro valor de θ seja 12, é de</p><p>a) 2/3</p><p>b) 4/5</p><p>c) 1/2</p><p>d) 3/4</p><p>e) 5/6</p><p>Comentários:</p><p>A probabilidade do erro tipo II é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula, quando ela é falsa.</p><p>Considerando que a hipótese não será rejeitada se 𝑋 ≤ 8, então a probabilidade do erro tipo II (𝛽) é igual à</p><p>probabilidade 𝑃(𝑋 ≤ 8).</p><p>Sabendo que a verdadeira distribuição é uniforme no intervalo [0,12], a probabilidade 𝑃(𝑋 ≤ 8) é dada por:</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 8) = 8 − 012 − 0 = 812 = 23</p><p>Gabarito: A</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>127</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>QUESTÕES COMENTADAS – MULTIBANCAS</p><p>Testes para a Média</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2019 – TJ-AM) Um pesquisador deseja comparar a diferença entre as médias de duas</p><p>amostras independentes oriundas de uma ou duas populações gaussianas. Considerando essa situação</p><p>hipotética, julgue o próximo item.</p><p>Para que qualquer teste possa ser realizado, as amostras devem ter distribuição normal.</p><p>Comentários:</p><p>Os testes de hipóteses para a média podem considerar a distribuição normal, quando a variância</p><p>populacional é conhecida, ou a distribuição de t-Student, quando</p><p>a variância populacional é desconhecida,</p><p>caso em que ela é estimada a partir da amostra. Logo, não há necessidade de as amostras terem distribuição</p><p>normal.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>2. (Cebraspe/2019 – TJ-AM) Um pesquisador deseja comparar a diferença entre as médias de duas</p><p>amostras independentes oriundas de uma ou duas populações gaussianas. Considerando essa situação</p><p>hipotética, julgue o próximo item.</p><p>Para que a referida comparação seja efetuada, é necessário que ambas as amostras tenham N > 30.</p><p>Comentários:</p><p>Para amostras de tamanho n > 30, podemos aproximar a distribuição da média amostral a uma distribuição</p><p>normal, independentemente da distribuição da população. Porém, nesse caso, isso não é uma condição</p><p>necessária para o teste.</p><p>Inclusive, como as populações são normais (gaussianas), a média da amostra (independentemente do seu</p><p>tamanho) seguirá distribuição normal se a variância populacional for conhecida ou distribuição de t-Student</p><p>se a variância populacional for desconhecida, estimada a partir da variância amostral.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>128</p><p>243</p><p>3. (Cebraspe/2019 – TJ-AM) Um pesquisador deseja comparar a diferença entre as médias de duas</p><p>amostras independentes oriundas de uma ou duas populações gaussianas. Considerando essa situação</p><p>hipotética, julgue o próximo item.</p><p>Caso o pesquisador realize um teste t de Student e encontre um valor de p = 0,95, considerando-se 𝛼 = 0,05,</p><p>será correto concluir que ambas as amostras provêm da mesma população.</p><p>Comentários:</p><p>Caso o p-valor do teste seja p = 0,95, então, para um nível de significância 𝛼 = 0,05, então temos p > 𝛼 e, por</p><p>isso, não rejeitamos a hipótese nula de que as médias das populações são iguais, 𝜇1 = 𝜇2. Com isso, conclui-</p><p>se que se trata da mesma população.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>4. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) Em um teste estatístico para a média populacional 𝝁 com nível de</p><p>significância 𝜶 = 𝟓% a hipótese nula H0 deverá ser rejeitada se �̅� > 𝟑𝟎 ou �̅� 30) = 0,05</p><p>d) Trata-se de um teste t de Student com 10 graus de liberdade.</p><p>e) A hipótese nula desse teste é H0: 𝜇 = 10 ou 𝜇 = 30</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado não descreve a hipótese nula, mas diz que ela será rejeitada se a média amostral observada for �̅� > 30 ou �̅� 30), então podemos concluir que o teste é bilateral</p><p>(alternativa B correta).</p><p>Em relação à alternativa C, por se tratar de um teste bilateral, o nível de significância é dividido em ambas as</p><p>regiões críticas:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>129</p><p>243</p><p>Logo, a probabilidade 𝑃(�̅� > 30) = 0,025. Por isso, a alternativa C está incorreta.</p><p>Em relação à alternativa D, como a variância populacional é conhecida, utiliza-se a distribuição normal, não</p><p>a de t-Student (alternativa incorreta).</p><p>Em relação à alternativa E, a hipótese nula não pode ser 𝜇 = 10 ou 𝜇 = 30, pois isso não permitiria rejeitar</p><p>a hipótese nula para �̅� > 30 ou �̅� 2) = 0,025, em que Z</p><p>denota uma variável aleatória normal padrão.</p><p>Considerando-se o teste da hipótese nula H0: M ≤ 9,5 dias contra a hipótese alternativa H1: M > 9,5 dias,</p><p>adotando-se o nível de significância igual a 1%, não haveria evidências estatísticas contra a hipótese H0.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado informa que a população segue distribuição normal, com desvio padrão 𝜎 = 3 dias; que em</p><p>uma amostra de tamanho n = 100 operações, a média amostral encontrada foi �̅� = 10. Sabendo que a média</p><p>amostral segue distribuição normal e que a hipótese nula é de que a média seja menor ou igual a M = 9,5,</p><p>então a estatística do teste é:</p><p>𝑧 = �̅� − 𝑀𝜎√𝑛 = 10 − 9,53√100 = 0,5310 = 0,50,3 = 1,67</p><p>Como o teste é unilateral à direita, precisamos comparar o nível de significância fornecido 𝛼 = 1% com a</p><p>probabilidade P(Z > 1,67), que corresponde ao p-valor do teste. O enunciado não forneceu essa</p><p>probabilidade, mas informou que P(Z > 2) = 0,025 = 2,5%. Com isso, concluímos que o p-valor é maior que</p><p>2,5%:</p><p>30</p><p>𝛼 2ൗ = 2,5% 1 − 𝛼= 95%</p><p>10</p><p>𝛼 2ൗ = 2,5%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>130</p><p>243</p><p>P(Z > 1,67) > 2,5%</p><p>Como o p-valor é maior que o nível de significância 𝛼 = 1%, então não rejeitamos a hipótese nula, ou seja,</p><p>concluímos que não há evidência estatística contra a hipótese nula.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>6. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) A respeito de uma amostra de tamanho n = 10, com os valores</p><p>amostrados {0,10, 0,06, 0,10, 0,12, 0,08, 0,10, 0,05, 0,15, 0,14, 0,11}, extraídos de determinada população,</p><p>julgue o item seguinte.</p><p>Dado que a variância populacional é desconhecida e os dados seguem uma distribuição normal, é correto</p><p>afirmar que o teste t para a média populacional possui 10 graus de liberdade.</p><p>Comentários:</p><p>Sendo a variância populacional desconhecida, utilizamos a distribuição de t-Student com n – 1 graus de</p><p>liberdade, em que n é o tamanho da amostra. Assim, para n = 10, o teste possui n – 1 = 9 graus de liberdade.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>FGV</p><p>7. (FGV/2015 – TCM-SP) Em termos ideais, a legislação municipal recomenda que os gastos com</p><p>despesas de merenda escolar, na rede de ensino fundamental, sejam de pelo menos R$80 em média, por</p><p>aluno, por mês. Através de uma amostra de dezesseis escolas foi calculada a média de R$74, sendo a</p><p>variância populacional conhecida igual a 144. São fornecidos também valores da distribuição normal</p><p>padrão e respectivas probabilidades, conforme abaixo:</p><p>z 1,28 1,64 1,96 2,33</p><p>P(|Z| > z) 20% 10% 5% 2%</p><p>Assim sendo, na tentativa de demonstrar que aquela recomendação não está sendo respeitada, é</p><p>proposto, pelo TCM- SP, um teste de hipótese sobre o qual é correto afirmar que:</p><p>a) o conjunto de hipóteses deve ser Ho: μ ≤ 80 contra Ha: μ > 80;</p><p>b) ao nível de significância de 5% a hipótese nula será rejeitada;</p><p>c) o p-valor associado ao conjunto adequado de hipóteses é de 2%;</p><p>d) o conjunto de hipóteses deve ser Ho: μ ≥ 74 contra Ha: μ</p><p>50% das intenções de voto. Assim, foram realizadas pesquisas em cinco regiões (A, B, C, D e E) e seus</p><p>respectivos intervalos de confiança foram calculados.</p><p>Sendo a letra de cada alternativa representante de cada região com seu respectivo intervalo de confiança, a</p><p>única região em que se pode rejeitar a hipótese de que o candidato detém 50% dos votos é</p><p>a) [45; 55].</p><p>b) [49,9; 59,9].</p><p>c) [40; 50]</p><p>d) [44,9; 49,9]</p><p>e) [0; 100]</p><p>Comentários:</p><p>Para que a hipótese nula seja rejeitada, o parâmetro nela indicado não pode estar contemplado no intervalo</p><p>de confiança construído a partir dos resultados da amostra. Dentre as alternativas, a única que não</p><p>contempla o parâmetro de 50% é a alternativa D.</p><p>Gabarito: D</p><p>Agora, vamos voltar ao exemplo do fabricante. Se estamos testando a quantidade média de produto em</p><p>cada recipiente, não temos por que rejeitar o lote se encontrarmos uma quantidade maior do que a</p><p>estipulada pelo fabricante. Então, nessa situação iremos rejeitar a hipótese nula (e o lote) apenas se a</p><p>quantidade encontrada for inferior a um limite mínimo.</p><p>Assim, as hipóteses para esse exemplo seriam:</p><p>Hipótese Nula 𝐻𝑜: 𝜇 = 2</p><p>Hipótese Alternativa 𝐻1 (ou 𝐻𝐴): 𝜇 2</p><p>Nesse caso, vamos rejeitar a hipótese nula caso o valor observado seja �̅� > 𝑳𝑺𝑼𝑷 e não a rejeitar, caso</p><p>contrário, ou seja, se �̅� ≤ 𝑳𝑺𝑼𝑷.</p><p>Nos testes unilaterais, as hipóteses alternativas podem ser chamadas de direcionais (pois supõem que o</p><p>parâmetro seja maior ou menor que determinado valor) e, nos bilaterais, de não direcionais (pois supõem</p><p>que o parâmetro é diferente de determinado valor).</p><p>LSUP</p><p>𝑅𝑁𝑅 1 − 𝛼 𝑅𝐶 𝛼 𝜇</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>9</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>Teste bilateral (ou não direcional): Região Crítica dividida nos 2 extremos</p><p>Hipótese Nula: 𝐻0: 𝜃 = 𝜃0</p><p>Hipótese Alternativa: 𝐻1 ou 𝐻𝐴: 𝜃 ≠ 𝜃0</p><p>Teste unilateral (ou direcional) à esquerda: Região Crítica somente à esquerda</p><p>Hipótese Nula: 𝐻0: 𝜃 = 𝜃0</p><p>Hipótese Alternativa: 𝐻1 ou 𝐻𝐴: 𝜃 𝜃0</p><p>Podemos, ainda, classificar as hipóteses em simples ou compostas.</p><p>As hipóteses simples são aquelas que especificam o parâmetro da distribuição, com sinal de igualdade,</p><p>como 𝜇 = 2, por exemplo; enquanto as hipóteses compostas são aquelas que trazem alguma informação a</p><p>respeito da distribuição, porém sem especificar o parâmetro, isto é, sem o sinal de igualdade, como 𝜇 > 2</p><p>ou 𝜇 ≠ 2, por exemplo.</p><p>No quadro acima, as hipóteses nulas são simples e as hipóteses alternativas são compostas. Embora essa</p><p>situação seja bastante comum, ela não é obrigatória. Inclusive, já vimos que as hipóteses nulas unilaterais</p><p>podem ser descritas como 𝜇 ≤ 2 (quando a alternativa é 𝜇 > 2) ou 𝜇 ≥ 2 (quando a alternativa é 𝜇</p><p>para a</p><p>normal padrão:</p><p>𝑧 = �̅� − 𝜇𝜎√𝑛</p><p>O enunciado informa que a variância populacional é 𝜎2 = 144, logo o desvio padrão populacional (raiz</p><p>quadrada da variância) é: 𝜎 = √𝜎2 = √144 = 12</p><p>Considerando que a média amostral observada foi �̅� = 74 que o tamanho da amostra foi 𝑛 = 16, a</p><p>transformação para a normal padrão é:</p><p>𝑧 = 74 − 8012√16 = −6124 = −63 = −2</p><p>Por ser um teste unilateral, o p-valor é igual P(Z 1,96) = 5%, ou seja:</p><p>P(|Z| > 1,96) = P(Z 1,96) = 5%</p><p>Pela simetria da normal padrão, temos P(Z 1,96), logo:</p><p>2 x P(Z 𝟐𝟎, em que 𝝁 é a média de uma variável normalmente distribuída com variância 16.</p><p>O critério de decisão correspondente ao teste uniformemente mais poderoso de tamanho 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟓</p><p>rejeitará H0 se o valor da média amostral for</p><p>a) menor do que 21,354</p><p>b) maior do que 20,656.</p><p>c) maior do que 21,354.</p><p>d) menor do que 20,656.</p><p>e) maior do que 19,344.</p><p>Nota: Para essa questão considere a tabela normal constante no final desta seção de questões.</p><p>Comentários:</p><p>Trata-se de um teste unilateral à direita para a média, que é supostamente 𝜇 ≤ 20. Essa hipótese será</p><p>rejeitada se a média amostral observada for superior a um limite LSUP, calculado a partir do nível de</p><p>significância 𝛼 = 5%. Assim, descartamos as alternativas A e D, que afirmam que a rejeição ocorrerá se a</p><p>média amostral observada for menor do que determinado valor. Além disso, sabemos que o limite LSUP é</p><p>superior ao parâmetro 𝜇 = 20 e, assim, descartamos a alternativa E, que propõe um limite inferior a esse</p><p>parâmetro.</p><p>Considerando que a variância populacional é conhecida, a transformação para a normal padrão é dada por:</p><p>𝑧𝐶 = 𝐿𝑆𝑈𝑃 − 𝜇𝜎√𝑛</p><p>O enunciado informa que a variância populacional é 𝜎2 = 16. Logo, o desvio padrão populacional (raiz</p><p>quadrada da variância) é: 𝜎 = √𝜎2 = √16 = 4</p><p>O valor de z delimita uma probabilidade P(Z > zC) = 0,05 (nível de significância). A probabilidade</p><p>complementar é, então:</p><p>P(Z 20,656.</p><p>Gabarito: B</p><p>9. (FGV/2014 – DPE-RJ) Para testar a renda média dos cidadãos efetivamente atendidos pela</p><p>Defensoria Pública do Estado foi realizado um levantamento a partir dos registros já existentes, que</p><p>geraram uma amostra aleatória de tamanho n=100, para a qual foi calculada a média amostral igual a R$</p><p>920,00 por mês. Deseja-se demonstrar, cabalmente, que, em média, os beneficiários ganham menos do</p><p>que R$ 1.000 por mês. Além disso, o desvio-padrão populacional é conhecido, sendo igual a 500. Portanto,</p><p>se Φ(-2,00) = 2,28% e Φ(-1,5) = 6,68%, onde Φ(.) é a distribuição acumulada da Normal Padrão. Então,</p><p>neste caso, a hipótese nula seria</p><p>a) rejeitada ao nível de 2,28% e não rejeitada com significância de 6,68%.</p><p>b) não rejeitada ao nível de 2,28% e rejeitada com significância de 6,68%.</p><p>c) rejeitada tanto com 97,72% quanto com 93,32% de grau de confiança.</p><p>d) rejeitada ao nível de significância de 1,14% e 3,34%, bilateral.</p><p>e) não rejeitada tanto ao nível de significância de 2,28% quanto de 6,68%.</p><p>Comentários:</p><p>Considerando que o objetivo é demonstrar cabalmente que os beneficiários ganham menos do que R$ 1.000</p><p>por mês, em média, então essa afirmação deve estar associada à rejeição da hipótese nula, pois essa é a</p><p>decisão forte. Assim, a hipótese nula será 𝐻𝑜: 𝜇 = 1000 e a hipótese alternativa será 𝐻𝑎: 𝜇 1,28) = 0,10, P(Z > 1,5) = 0,07, P(Z > 1,75) = 0,04 e P(Z > 2) = 0,02</p><p>Assim sendo, é correto concluir que:</p><p>a) ao nível de significância de 4% rejeita-se a hipótese nula;</p><p>b) ao nível de significância de 10% não é possível rejeitar a hipótese nula;</p><p>c) o conjunto de hipóteses a ser testado é Ho: 𝜇 = 2000 contra Ha: 𝜇 ≥ 2000;</p><p>d) o p-valor correspondente ao teste bilateral e a observação obtida a partir da amostra, �̅�=1952 é igual a</p><p>14%;</p><p>e) se o conjunto de hipóteses formulado fosse Ho: 𝜇 = 2000 contra Ha: 𝜇 ≠ 2000, ao nível de significância</p><p>de 7% a Ho seria rejeitada.</p><p>Comentários:</p><p>O teste de hipóteses irá confirmar se a média é 2000 ou inferior, portanto, a hipótese nula é 𝐻0: 𝜇 = 2000 e</p><p>a hipótese alternativa é 𝐻𝑎: 𝜇 1,5) = 0,07. Pela simetria da curva normal</p><p>padrão, temos:</p><p>P(Z 𝛼, caso em que não</p><p>devemos rejeitar a hipótese nula. Logo, a alternativa A está incorreta.</p><p>Em relação à alternativa B, se o nível de significância for 𝛼 = 10%, teremos p-valor 7% e aceita para 𝛼 14%. Por isso, a alternativa E está incorreta.</p><p>Gabarito: D</p><p>11. (FGV/2013 – SUDENE-PE) Para testar H0:   50 versus H1: > 50, em que  é a média populacional</p><p>de uma variável N(,2), uma amostra aleatória de tamanho 100 foi obtida e mostrou uma média amostral</p><p>igual a 50,7 com um desvio padrão amostral igual a 5.</p><p>O p‐valor aproximado associado a esses dados e a decisão ao nível de significância de 5% são,</p><p>respectivamente,</p><p>a) 0,01 e rejeitar Ho.</p><p>b) 0,08 e rejeitar Ho.</p><p>c) 0,08 e não rejeitar Ho.</p><p>d) 0,92 e rejeitar Ho.</p><p>e) 0,92 e não rejeitar Ho.</p><p>Nota: Para essa questão considere a tabela normal constante no final desta seção de questões.</p><p>Comentários:</p><p>96%</p><p>1,5 −1,5</p><p>7% 7%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>136</p><p>243</p><p>Apesar de o desvio padrão ser o desvio padrão amostral, o que implicaria no uso da distribuição de t-Student,</p><p>uma amostra de tamanho n = 100 (ou seja, a distribuição apresenta k = 100 – 1 = 99 graus de liberdade) é</p><p>suficientemente grande para utilizar a distribuição Normal.</p><p>Assim, a estatística do teste é dada pela seguinte transformação, em que o desvio padrão 𝜎 é o desvio padrão</p><p>calculado a partir da amostra 𝜎 = 5, 𝑛 = 100, 𝜇 = 50, �̅� = 50,7:</p><p>𝑧 = �̅� − 𝜇𝜎√𝑛 = 50,7 − 505√100 = 0,7510 = 0,7 × 2 = 1,4</p><p>Pela tabela normal padrão constante no final desta seção, observamos que P(Z 1,4) = 1 – 0,9192 = 0,0818  0,08</p><p>Por se tratar de um teste unilateral à direita, essa é a probabilidade de obter um valor igual ou mais extremo</p><p>que o resultado obtido, isto é, o p-valor. Considerando que o p-valor é maior que o nível de significância  =</p><p>5% = 0,05, não rejeitamos a hipótese nula.</p><p>Gabarito: C</p><p>12. (FGV/2014 – SEDUC-AM) Os diâmetros da seção reta de componentes cilíndricos produzidos por</p><p>uma determinada empresa são normalmente distribuídos. O processo industrial prevê uma média de 1 cm</p><p>e um desvio padrão de 0,1 cm para esses diâmetros.</p><p>Para avaliar se, num determinado momento, o processo ainda está ajustado para a média de 1 cm, o</p><p>controle de qualidade da empresa resolve adotar a seguinte estratégia: obter uma amostra aleatória de</p><p>tamanho 64 e rejeitar a hipótese H de que a média é igual a 1cm com base no intervalo de 95% de confiança</p><p>para a média. Obtida a amostra, verificou-se uma média amostral igual a 1,01 cm. Supondo que o desvio</p><p>padrão populacional continua igual a 0,1 cm, o intervalo de confiança para a média e a respectiva decisão,</p><p>ao nível de significância de 5%, são:</p><p>a) (0,9855, 1,0345), não rejeitar H</p><p>b) (0,9645, 1,0555), não rejeitar H</p><p>c) (0,9855, 1,0345), rejeitar H</p><p>d) (0,9645, 1,0555), rejeitar H</p><p>e) (0,9635, 1,0655), rejeitar H</p><p>Nota: Para essa questão considere a tabela normal constante no final desta seção de questões.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado pede para construirmos um intervalo de confiança para a média e, com base nele, decidir</p><p>quanto à rejeição ou não da hipótese nula. Nesse caso, construímos o intervalo a partir da média amostral</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>137</p><p>243</p><p>observado, �̅� = 1,01, e verificamos se o intervalo construído contempla o parâmetro indicado na hipótese</p><p>nula. Se contemplar, então não rejeitamos a hipótese nula; senão, então rejeitamos a hipótese nula.</p><p>Observe que todos os intervalos indicados nas alternativas contemplam o parâmetro da hipótese nula, 𝜇 =1. Portanto, sabemos que a decisão será de não rejeição (alternativas C, D e E incorretas).</p><p>O intervalo de confiança para a média pode ser obtido a partir da fórmula de transformação para a normal</p><p>padrão:</p><p>±𝑧𝐶 = �̅� − 𝜇𝜎√𝑛</p><p>Reorganizando essa fórmula, temos os seguintes limites do intervalo de confiança para a média:</p><p>𝜇 = �̅� ± 𝑧𝐶 𝜎√𝑛</p><p>A questão indica que o nível de significância é 𝛼 = 5%, ou seja, o nível de confiança é 1 − 𝛼 = 95%, com 𝛼 2ൗ = 2,5%, de cada lado do intervalo, como ilustrado abaixo:</p><p>Ou seja, a função de distribuição acumulada para zC tem valor P(Z 𝟕 (hipótese alternativa). O valor encontrado para a média amostral (�̅�) foi o maior valor tal que, ao nível</p><p>de significância de 5%, H0 não foi rejeitada. Tem-se que �̅� é igual a</p><p>a) 7,41</p><p>b) 7,21</p><p>c) 7,32</p><p>d) 7,24</p><p>e) 6,59</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado trata de um teste para a média, com variância conhecida. Nesse casos, utilizamos a seguinte</p><p>transformação para a normal padrão:</p><p>𝑧 = �̅� − 𝜇𝜎√𝑛</p><p>Como o teste é unilateral à direita (pois a hipótese alternativa é 𝜇 > 7), então o limite entre a Região de Não</p><p>Aceitação e a Região Crítica, considerando um nível de significância 𝛼 = 5%, está representada a seguir:</p><p>Logo, precisamos do valor 𝑧𝐶 cuja função de distribuição acumulada é 𝑃(𝑍</p><p>5% 95%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>140</p><p>243</p><p>Sabendo que a variância populacional é 𝜎2 = 4, então o desvio padrão populacional é a raiz quadrada 𝜎 =√𝜎2 = √4 = 2.</p><p>Sabendo que o tamanho da amostra é 𝑛 = 64, então inserindo os valores para 𝜇 = 7, 𝑧 = 1,64 e 𝜎 = 2, o</p><p>valor de �̅� pode ser calculado por:</p><p>1,64 = �̅� − 72√64 = �̅� − 728</p><p>�̅� − 7 = 1,64 × 28 = 0,41</p><p>�̅� = 7,41</p><p>Gabarito: A</p><p>14. (FCC/2016 – Prefeitura de Teresina/PI) Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z 2,05) = 1 – 0,98 = 0,02</p><p>Pela simetria da normal padrão, temos:</p><p>P(Z 1,6) = 1 – P(Z 1,6) = 0,055</p><p>Portanto, o valor crítico é 𝑧𝐶 = −1,6. Considerando que a variância da população é 𝜎2 = 36, o desvio padrão</p><p>populacional é 𝜎 = √𝜎2 = √36 = 6. Substituindo esses valores na fórmula da transformação para a normal</p><p>padrão, temos:</p><p>−1,6 = 𝑥𝐶̅̅ ̅ − 506√𝑛</p><p>𝑥𝐶̅̅ ̅ − 50 = −1,6 × 6√𝑛</p><p>𝑥𝐶̅̅ ̅ = 50 − 1,6 × 6√𝑛</p><p>�̅�𝐶 50 48</p><p>𝛼</p><p>𝛽</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>143</p><p>243</p><p>Para obter o valor do tamanho amostral solicitado na questão, devemos considerar o fato de que a</p><p>probabilidade do erro tipo II deve ser 𝛽 = 8,1%. Considerando que o valor crítico 𝑥𝐶̅̅ ̅ é superior à média</p><p>indicada na hipótese alternativa, então a probabilidade do erro tipo II é dada por 𝑃(𝑋 > 𝑥𝐶̅̅ ̅) = 8,1%.</p><p>Sabendo que a hipótese alternativa segue a mesma distribuição da população porém com parâmetro</p><p>distinto, podemos utilizar a mesma transformação para a normal padrão</p><p>𝑧1 = 𝑥𝐶̅̅ ̅ − 𝜇1𝜎√𝑛</p><p>Pelos dados fornecidos no enunciado, podemos observar que P(Z 1,4) = 1 – P(Z μB. Sendo Z a estatística</p><p>apropriada ao teste e K o valor observado dessa estatística, sob H0, baseado nas amostras, a probabilidade</p><p>de Z ser maior do que K é igual a</p><p>a) 2,5%</p><p>b) 1,8%</p><p>c) 5,0%</p><p>d) 1,3%</p><p>e) 2,0%</p><p>Comentários:</p><p>Trata-se de um teste de comparação das médias de duas populações. Considerando que a hipótese nula é</p><p>μA = μB, a estatística do teste (que normalmente denotamos por z, mas o enunciado denotou por k) é:</p><p>𝐾 = 𝑥𝐴̅̅ ̅ − 𝑥𝐵̅̅ ̅𝜎𝑥𝐴̅̅ ̅̅ −𝑥𝐵̅̅ ̅̅</p><p>Para calcular o desvio padrão da diferença das médias amostrais, 𝜎𝑥𝐴̅̅ ̅̅ −𝑥𝐵̅̅ ̅̅ , precisamos do valor da variância</p><p>(lembrando que são variáveis independentes):</p><p>𝑉(𝑥𝐴̅̅ ̅ − 𝑥𝐵̅̅ ̅) = 𝑉(𝑥𝐴̅̅ ̅) + 𝑉(𝑥𝐵̅̅ ̅) = 𝑉(𝑥𝐴)𝑛𝐴 + 𝑉(𝑥𝐵)𝑛𝐵</p><p>O enunciado informa que o desvio padrão populacional de A é 𝜎𝐴 = 4, logo a variância populacional de A é: 𝑉(𝑥𝐴) = 𝜎𝐴2 = 42 = 16</p><p>Similarmente, o desvio padrão populacional de B é 𝜎𝐵 = 3, logo a variância populacional de B é: 𝑉(𝑥𝐵)</p><p>= 𝜎𝐵2 = 32 = 9</p><p>Agora, sabendo que ambas as amostras possuem tamanho 𝑛𝐴 = 𝑛𝐵 = 16, podemos calcular a variância da</p><p>diferença das médias amostrais:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>145</p><p>243</p><p>𝑉(𝑥𝐴̅̅ ̅ − 𝑥𝐵̅̅ ̅) = 1616 + 916 = 2516</p><p>E o desvio padrão da diferença das médias amostrais (raiz quadrada da variância) é:</p><p>𝜎𝑥𝐴̅̅ ̅̅ −𝑥𝐵̅̅ ̅̅ = √𝑉(𝑥𝐴̅̅ ̅ − 𝑥𝐵̅̅ ̅) = √2516 = 54 = 1,25</p><p>Portanto, sabendo que as médias amostrais observadas foram 𝑥𝐴̅̅ ̅ = 75,2 e 𝑥𝐵̅̅ ̅ = 72,4, como consta no</p><p>enunciado, a estatística do teste é:</p><p>𝐾 = 75,2 − 72,41,25 = 2,81,25 = 2,24</p><p>Por se tratar de um teste unilateral à direita (pelo fato de a hipótese alternativa ser μA > μB), então o p-valor</p><p>desse teste (ou seja, a probabilidade de obter um resultado igual ou mais extremo que o resultado</p><p>observado) é igual à probabilidade P(Z > 2,24). Pelos valores fornecidos no enunciados, observamos que P(Z</p><p>2,24) = 1 – P(Z 40, sendo o</p><p>valor de t calculado obtido por 𝒕 = �̅�−𝝁𝒔 × √𝒏 conclui-se que:</p><p>a) t = 1,33 e aceita-se H0 ao nível de significância de 10%.</p><p>b) t = 2,67 e rejeita-se H0 ao nível de 5%.</p><p>c) t = 2,67 e aceita-se H0 ao nível de 5%.</p><p>d) t = 3,23 e aceita-se H0 ao nível de 5%.</p><p>e) t = 3,23 e rejeita-se H0 ao nível de 20%.</p><p>Para resolver essa questão considere a tabela constante ao final desta seção, fornecida nessa prova.</p><p>Comentários:</p><p>Trata-se de um teste para a média, em que o desvio padrão é obtido a partir da amostra (variância</p><p>populacional desconhecida). Nesse caso, utilizamos a distribuição de t-Student, utilizando a seguinte</p><p>transformação (conforme fórmula indicada na própria questão):</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>149</p><p>243</p><p>𝑡𝑛−1 = �̅� − 𝜇𝑠√𝑛</p><p>O enunciado informa que:</p><p>• O tamanho da amostra é 𝑛 = 16;</p><p>• A média observada é �̅� = 42;</p><p>• O desvio padrão amostral é 𝑠 = 3; e</p><p>• A média indicada na hipótese nula é 𝜇 = 40.</p><p>Inserindo esses valores na fórmula acima, temos:</p><p>𝑡𝑛−1 = 42 − 403√16 = 234 = 2 × 43 = 83 ≅ 2,67</p><p>O teste de hipóteses é unilateral à direita, então temos a seguinte situação:</p><p>A tabela fornecida na prova apresenta os valores da distribuição qui-quadrada para um teste bilateral,</p><p>conforme ilustrado a seguir:</p><p>Assim, o valor crítico 𝑡𝐶 associado a 𝛼 = 5%, corresponde ao valor</p><p>𝑝 2ൗ = 5%, portanto, 𝑝 = 10%.</p><p>Pela tabela, para n – 1 = 15 graus de liberdade, tC = 1,753. Portanto, a estatística do teste (t = 2,67) está na</p><p>região crítica (T > tC) e, por isso, devemos rejeitar a hipótese nula.</p><p>Gabarito: B</p><p>𝑡𝐶</p><p>𝛼 1 − 𝛼</p><p>𝑡𝐶</p><p>𝑝 2ൗ 1 − 𝑝</p><p>−𝑡𝐶</p><p>𝑝 2ൗ</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>150</p><p>243</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>151</p><p>243</p><p>QUESTÕES COMENTADAS – MULTIBANCAS</p><p>Testes para a Proporção</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) Por meio de uma pesquisa, estimou-se que, em uma população, o</p><p>percentual p de famílias endividadas era de 57%. Esse resultado foi observado com base em uma amostra</p><p>aleatória simples de 600 famílias.</p><p>Nessa situação, considerando a hipótese nula H0: p ≥ 60%, a hipótese alternativa H1: p 2) = 1 – P(Z 2) = 0,023</p><p>Como se trata de um teste unilateral à esquerda, o valor crítico é zC = -2. Então, a proporção limite é dada</p><p>por:</p><p>−2 = 𝑝�̂� − 0,6√0,6 × 0,4600</p><p>𝑝�̂� − 0,6 = −2 × 0,02 = −0,04 𝑝�̂� = 0,56</p><p>Logo, a regra de decisão será, de fato, rejeitar a hipótese nula caso a proporção amostral observada seja</p><p>inferior a 56%.</p><p>Gabarito: B</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>153</p><p>243</p><p>2. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) Em estudo acerca da situação do CNPJ das empresas de determinado</p><p>município, as empresas que estavam com o CNPJ regular foram representadas por 1, ao passo que as com</p><p>CNPJ irregular foram representadas por 0. Considerando que a amostra {0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1,</p><p>1, 0, 1, 1, 1, 1} foi extraída para realizar um teste de hipóteses, julgue o item subsequente.</p><p>Uma vez que a amostra é menor que 30, a estatística do teste segue uma distribuição t de Student.</p><p>Comentários:</p><p>Em testes para proporções, a estatística do teste é dada por:</p><p>𝑧 = �̂� − 𝑝√𝑝 × 𝑞𝑛</p><p>Em que consideramos a aproximação da proporção amostral a uma distribuição normal. A distribuição de t-</p><p>Student é utilizada no teste de média para populações normais com variância desconhecida.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>3. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) Em estudo acerca da situação do CNPJ das empresas de determinado</p><p>município, as empresas que estavam com o CNPJ regular foram representadas por 1, ao passo que as com</p><p>CNPJ irregular foram representadas por 0. Considerando que a amostra {0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1,</p><p>1, 0, 1, 1, 1, 1} foi extraída para realizar um teste de hipóteses, julgue o item subsequente.</p><p>A estatística do teste para testar a hipótese H0: P = 0,5 contra H1: P ≠ 05, em que P representa a proporção</p><p>de empresas cujo CNPJ está regular, é maior que 2.</p><p>Comentários:</p><p>Em testes para proporções, a estatística do teste é dada por:</p><p>𝑧 = �̂� − 𝑝√𝑝 × 𝑞𝑛</p><p>A proporção amostral observada é:</p><p>�̂� = ∑ 𝑋𝑛 = 1220 = 0,6</p><p>Então, considerando a hipótese nula, p = 0,5 (logo, q = 1 – p = 0,5), a estatística é:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>154</p><p>243</p><p>𝑧 = 0,6 − 0,5√0,5 × 0,520 = 0,10,5√20 = √205 ≅ 0,89</p><p>Que é inferior a 2.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>FGV</p><p>4. (FGV/2018 – AL-RO) Para testar a hipótese nula H0 de que a proporção populacional de pessoas</p><p>acometidas por certa doença virótica não é maior do que 10% contra a hipótese alternativa de que ela é</p><p>maior do que 10%, uma amostra aleatória simples de tamanho 256 foi observada e revelou que, dessas</p><p>256 pessoas, 32 estavam acometidas pela referida doença.</p><p>Usando a proporção de acometidos na amostra como estatística de teste e apoiado no teorema do limite</p><p>central, o p-valor aproximado associado a esses dados e a respectiva decisão a ser tomada ao nível de</p><p>significância de 5%, são</p><p>a) P ≈ 0,24, não rejeitar H0</p><p>b) P ≈ 0,03, rejeitar H0</p><p>c) P ≈ 0,09, não rejeitar H0</p><p>d) P ≈ 0,09, rejeitar H0</p><p>e) P ≈ 0,03, não rejeitar H0</p><p>Nota: Para essa questão considere a tabela normal constante no final desta seção de questões.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado informa que a hipótese nula é Ho: p = 10% e a hipótese alternativa é Ha: p > 10%.</p><p>Logo, temos um teste unilateral à direita. Por se tratar de um teste para proporções, a estatística do teste,</p><p>considerando a aproximação à normal (Teorema Central do Limite) é dada por:</p><p>𝑧 = �̂� − 𝑝√𝑝. 𝑞𝑛</p><p>Em que p é a proporção indicada na hipótese nula, p = 0,1; q = 1 – p = 0,9; e n é o tamanho da amostra, n =</p><p>256. A proporção �̂� encontrada na amostra foi:</p><p>�̂� = 32256 = 18 = 0,125</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>155</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>Substituindo esses dados na fórmula acima, temos:</p><p>𝑧 = 0,125 − 0,1√0,1 × 0,9256 = 0,025√0,09256 = 0,0250,316 = 0,25 × 163 = 164 × 3 = 43 ≅ 1,33</p><p>Pela tabela fornecida na prova, observamos que P(Z 1,33) = 1 – 0,9082 = 0,0918 ≈ 0,09</p><p>Essa é a probabilidade de obter um valor</p><p>mais extremo ou igual ao resultado observado, ou seja, é o p-valor</p><p>do teste. Portanto, a um nível de significância 𝛼 = 5%, teremos p-valor > 𝛼 e não devemos rejeitar a hipótese</p><p>nula.</p><p>Gabarito: C</p><p>5. (FGV/2013 – SUDENE-PE) Para estimar a proporção p de moradores de uma cidade favoráveis à</p><p>realização de um certo evento de grande porte, uma amostra aleatória de 900 pessoas foi observada e</p><p>mostrou, na amostra, 64% de pessoas favoráveis ao evento.</p><p>Se quisermos testar H0: p  0,6 versus H1: p > 0,6, ao nível de significância de 5%, a região crítica aproximada</p><p>e a correspondente decisão serão:</p><p>Use: √𝟎, 𝟐𝟒 = 𝟎, 𝟓</p><p>a) (0,61; 0,64), não rejeitar H0</p><p>b) (0,61; 0,64), rejeitar H0</p><p>c) [0,627; ), rejeitar H0</p><p>d) (-; 0,627], rejeitar H0</p><p>e) [0,627, ), não rejeitar H0</p><p>Comentários:</p><p>Por se tratar de um teste unilateral à direita, a região de não rejeição apresenta somente um limite superior</p><p>LSUP.</p><p>1,33</p><p>9%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>156</p><p>243</p><p>Logo, iremos rejeitar a hipótese nula se encontramos um valor X > LSUP, ou seja, a região crítica é da forma</p><p>(LSUP; ), como indicado nas alternativas C e E: (0,627; ). Considerando que o valor observado X = 64% =</p><p>0,64 está contemplado pela região crítica (isto é, 0,64 > 0,627), então devemos rejeitar a hipótese nula. Com</p><p>isso, concluímos que única resposta possível é a alternativa C.</p><p>De todo modo, façamos os cálculos. O limite da região crítica é definido pela seguinte transformação:</p><p>𝑧𝐶 = 𝐿𝑆𝑈𝑃 − 𝑝√𝑝. 𝑞𝑛</p><p>𝐿𝑆𝑈𝑃 = 𝑝 + 𝑧𝐶 × √𝑝. 𝑞𝑛</p><p>Para um nível de significância 𝛼 = 5% em um teste unilateral à direita, temos P(Z 4</p><p>e) 2,5 𝑧1)</p><p>Para termos 𝛼 = 𝛽, precisamos que as probabilidades sejam iguais:</p><p>�̂�𝐶 0,64 0,5</p><p>𝛼 𝛽</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>161</p><p>243</p><p>𝑃(𝑍 𝑧1)</p><p>Lembrando que 𝑧0 é um valor negativo e que 𝑧1 é um valor positivo, pela simetria da curva normal padrão,</p><p>é necessário que: 𝑧0 = −𝑧1</p><p>Substituindo as expressões calculadas acima, 𝑧0 = 𝑝−0,640,048 e 𝑧1 = 𝑝−0,50,05 , temos: �̂� − 0,640,048 = − �̂� − 0,50,05</p><p>0,050 × (�̂� − 0,64) = −0,048 × (�̂� − 0,5) 50 × (�̂� − 0,64) = −48 × (�̂� − 0,5) 50�̂� − 32 = −48�̂� + 24 98�̂� = 56</p><p>�̂� = 5698 ≅ 0,57</p><p>Portanto o valor observado �̂� ≅ 0,57 está no intervalo (0,55;0,58).</p><p>Gabarito: A</p><p>𝑧1</p><p>𝑃(𝑍 > 𝑧1)</p><p>𝑧0</p><p>𝑃(𝑍</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>162</p><p>243</p><p>QUESTÕES COMENTADAS – MULTIBANCAS</p><p>Testes para a Distribuição Binomial</p><p>1. (FGV/2017 – IBGE) Um teste de hipóteses será realizado para verificar se uma moeda é, de fato,</p><p>honesta. Suspeita-se que, ao invés de um equilíbrio, P(Cara) = P(Coroa) = 0,5, há uma tendência para que</p><p>as chances sejam de 3:2 favorável a Cara. Assim sendo, as hipóteses formuladas são:</p><p>Ho: Moeda equilibrada (1:1)</p><p>Ha: Moeda desequilibrada (3:2)</p><p>A decisão deverá seguir um critério bem simples. A tal moeda será lançada quatro vezes, rejeitando-se a</p><p>hipótese nula caso aconteçam mais do que três Caras. Com tal critério, é correto afirmar que:</p><p>a) P(Erro Tipo I) = 1/8 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,125);</p><p>b) P(Erro Tipo I) = 0,25 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,25);</p><p>c) P(Erro Tipo I) = 3/16 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,4)4;</p><p>d) P(Erro Tipo I) = 1/16 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,6)4;</p><p>e) P(Erro Tipo I) = 3/8 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,75)4;</p><p>Comentários:</p><p>Essa questão trabalha com o teste de hipóteses para a distribuição binomial. A hipótese nula será rejeitada,</p><p>caso ocorram mais de 3 CARAS em 𝑛 = 4 lançamentos, ou seja, caso ocorram 𝑘 = 4 CARAS. Assim, a</p><p>probabilidade do erro tipo I (rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira) é a probabilidade de obtermos 𝑘 = 4 CARAS, considerando 𝑝 = 0,5 = 12 e 𝑞 = 1 − 𝑝 = 12 (moeda equilibrada):</p><p>𝛼 = 𝑃[𝑋 = 4] = 𝐶4,4. (12)4 . (12)0 = 1 × 116 × 1 = 116</p><p>E a probabilidade do erro tipo II (rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa) é a probabilidade de não obtermos 𝑘 = 4 CARAS (probabilidade complementar), considerando o parâmetro indicado na hipótese alternativa: 𝛽 = 1 − 𝑃[𝑌 = 4]</p><p>A hipótese alternativa indica a proporção de 3 CARAS para cada 2 COROAS, isto é, 3 CARAS a cada 5</p><p>lançamentos. Assim, a probabilidade de sucesso é:</p><p>𝑝 = 35 = 0,6</p><p>E a probabilidade de fracasso é complementar 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,4. Assim, a probabilidade de obtermos 𝑘 = 4</p><p>CARAS, considerando essa probabilidade é: 𝑃[𝑌 = 4] = 𝐶4,4. (0,6)4. (0,4)0 = 1 × (0,6)4 × 1 = (0,6)4</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>163</p><p>243</p><p>E a probabilidade do erro tipo II é: 𝛽 = 1 − (0,6)4</p><p>Gabarito: D</p><p>2. (FGV/2015 – TJ/RO) Considere o experimento que consiste no lançamento de uma moeda quatro</p><p>vezes. Para testar se a moeda é honesta, é feito um teste de hipóteses Ho: p = 0,5 contra Ha: p ≠ 0,5, onde</p><p>p é a proporção de caras. O critério de decisão estipula que se o número de caras for diferente de dois a</p><p>hipótese nula deve ser rejeitada.</p><p>Se, de fato, p = 0,25 a probabilidade de que o Erro do Tipo II seja cometido é:</p><p>a) 1/256;</p><p>b) 3/128;</p><p>c) 27/128;</p><p>d) 101/128;</p><p>e) 125/128.</p><p>Comentários:</p><p>Aqui, temos mais uma questão sobre o teste de hipóteses para a distribuição binomial. A probabilidade do</p><p>erro tipo II é a probabilidade de não rejeição da hipótese nula, considerando o parâmetro verdadeiro: p =</p><p>0,25. Sabendo que a hipótese nula será rejeitada se o número de CARAS for diferente de 2, então não</p><p>rejeitaremos a hipótese nula, se o número de CARAS for igual a 2: 𝛽 = 𝑃[𝑌 = 2]</p><p>Considerando que a moeda será lançada 𝑛 = 4 vezes e sendo 𝑝 = 0,25 = 14 (logo, 𝑞 = 1 − 𝑝 = 34), a</p><p>probabilidade de obtermos 2 CARAS é:</p><p>𝑃[𝑌 = 2] = 𝐶4,2. (14)2 . (34)2</p><p>A combinação é:</p><p>𝐶4,2 = 4!(4 − 2)! 2! = 4 × 3 × 2!2! 2! = 4 × 32 = 6</p><p>Logo, a probabilidade do erro tipo II é:</p><p>𝑃[𝑌 = 2] = 6 × 116 × 916 = 27128</p><p>Gabarito: C</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>164</p><p>243</p><p>3. (FGV/2014 – SEDUC/AM) Sabe-se que certa proporção populacional p de “sucessos” ou é igual a 0,2</p><p>ou é igual a 0,5. Para testar H0: p = 0,2 versus H1: p = 0,5, com base numa amostra aleatória de cinco</p><p>observações, será usado o seguinte critério: se o número de “sucessos” nessa amostra for maior do que 1,</p><p>rejeita-se H0. A probabilidade de erro tipo 2 desse critério é igual a</p><p>a) 0,05;</p><p>b) 0,1875;</p><p>c) 0,215;</p><p>d) 0,3785;</p><p>e) 0,5.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado informa que a hipótese nula será rejeitada se o número de sucessos for maior que 1, logo, ela</p><p>não será rejeitada se o número de sucessos for menor ou igual a 1, isto é, igual a 0 ou 1. Assim, a</p><p>probabilidade do erro tipo 2 (não rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa) é a probabilidade de obtermos k =</p><p>0 ou k = 1 sucesso, considerando a probabilidade da hipótese alternativa p = 0,5: 𝛽 = 𝑃[𝑌 = 0] + 𝑃[𝑌 = 1]</p><p>Considerando uma amostra de tamanho 𝑛 = 5 e sendo 𝑝 = 0,5 (logo, 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,5), a probabilidade de</p><p>obtermos 0 sucesso é: 𝑃[𝑌 = 0] = 𝐶5,0. (0,5)0. (0,5)5 = 1 × 1 × 0,03125 = 0,03125</p><p>E a probabilidade de obter 1 sucesso é: 𝑃[𝑌 = 1] = 𝐶5,1. (0,5)1. (0,5)4 = 5 × 0,5 × 0,0625 = 0,15625</p><p>Logo, a probabilidade do erro tipo II é: 𝛽 = 0,03125 + 0,15625 = 0,1875</p><p>Gabarito: B</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>165</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>4. (FCC/2019 – AFAP) Em uma eleição para presidente de um clube estão inscritos somente dois</p><p>candidatos (X e Y). Um teste estatístico foi realizado para averiguar se a proporção p de associados do</p><p>clube que preferem X difere da proporção de associados do clube que preferem Y. Foram formuladas,</p><p>então, as hipóteses H0: p = 0,5 (hipótese nula, ou seja, as proporções das preferências por X e por Y são as</p><p>mesmas) e H1: p ≠ 0,5 (hipótese alternativa, ou seja, as proporções das preferências por X e por Y são</p><p>diferentes). Com base em uma amostra aleatória de tamanho 5 dos associados, com reposição, foi</p><p>estabelecida uma regra para o teste: “caso o número de associados da amostra que tem sua preferência</p><p>por X não pertencer ao conjunto {1, 2, 3, 4}, rejeita-se H0”:</p><p>Se α for o nível de significância desse teste, então,</p><p>a) 0,01 ≤ 𝛼 0,1 (hipótese alternativa), sendo p a probabilidade de um componente</p><p>sair com defeito. Se na verdade a probabilidade de 1 componente sair com defeito for igual a 20%, obtém-</p><p>se que a potência deste teste é, em%, igual a</p><p>a) 18,08</p><p>b) 5,23</p><p>c) 16,00</p><p>d) 14,85</p><p>e) 12,00</p><p>Comentários:</p><p>A potência do teste é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula, sendo ela falsa. Sabendo</p><p>que a hipótese</p><p>nula será rejeitada se mais que 1 componente sair com defeito, então a potência do teste (1 − 𝛽)</p><p>corresponde à probabilidade de mais que 1 componente sair com defeito, considerando a probabilidade</p><p>verdadeira de defeito: (1 − 𝛽) = 𝑃[𝑌 > 1] = 1 − (𝑃[𝑌 = 0] + 𝑃[𝑌 = 1])</p><p>A probabilidade de obtermos k = 0 peça defeituosa, em uma amostra de n = 4 peças, considerando p = 20%</p><p>= 0,2 (logo, q = 1 - 0,2 = 0,8) é: 𝑃[𝑌 = 0] = 𝐶4,0. (0,2)0. (0,8)4 = 1 × 1 × 0,4096 = 0,4096</p><p>E a probabilidade de obtermos k = 1 peça defeituosa é: 𝑃[𝑌 = 1] = 𝐶4,1. (0,2)1. (0,8)3 = 4 × 0,2 × 0,512 = 0,4096</p><p>Assim, a potência do teste é: (1 − 𝛽) = 𝑃[𝑌 > 1] = 1 − (0,4096 + 0,4096]) = 1 − 0,8192 = 0,1808 = 18,08%</p><p>Gabarito: A</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>167</p><p>243</p><p>6. (FGV/2014 – DPE/RJ) Com o objetivo de avaliar o nível de satisfação dos cidadãos com os serviços</p><p>oferecidos pela Defensoria Pública é elaborado um teste de hipóteses, supondo, inicialmente, que 90% ou</p><p>mais dos usuários estão satisfeitos. Uma amostra de tamanho n = 2 deverá ser realizada e a hipótese não</p><p>refutada caso ambos os indivíduos se declarem satisfeitos. Contudo, há os que dizem que esse percentual</p><p>é, na verdade, de “apenas” 80%. Dadas essas informações, os erros do tipo I e II para o teste proposto são,</p><p>respectivamente, iguais a</p><p>a) 1 - (0,9)2 e (0,8)2;</p><p>b) (0,9)2 e 1 - (0,8)2;</p><p>c) 1 - (0,9)2 e 1 - (0,8)2;</p><p>d) (0,9)2 e (0,8)2;</p><p>e) 1 - 2(0,9)2 e 1 - (0,8)2.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado pede a probabilidade do erro tipo I e do erro tipo II, considerando que a hipótese nula não será</p><p>rejeitada caso os 2 indivíduos estejam satisfeitos, na amostra de n = 2.</p><p>Assim, a probabilidade do erro tipo I (rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira) é a probabilidade de o</p><p>número de indivíduos satisfeitos ser diferente de 2 (probabilidade complementar), considerando o</p><p>parâmetro da hipótese nula p = 90% = 0,9: 𝛼 = 1 − 𝑃[𝑋 = 2]</p><p>E a probabilidade de obtermos k = 2 indivíduos satisfeitos, em uma amostra de n = 2, com uma probabilidade</p><p>de p = 0,9 (logo, q = 1 - q = 0,1), é: 𝑃[𝑋 = 2] = 𝐶2,2. (0,9)2. (0,1)0 = 1 × (0,9)2 × 1 = (0,9)2</p><p>Assim, a probabilidade do erro tipo I é: 𝛼 = 1 − (0,9)2</p><p>A probabilidade do erro tipo II (não rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa) é a probabilidade de o número</p><p>de indivíduos satisfeitos ser igual a 2, considerando o parâmetro alternativo p = 80% = 0,8 (logo, q = 0,2): 𝛽 = 𝑃[𝑌 = 2] = 𝐶2,2. (0,8)2. (0,2)0 = 1 × (0,8)2 × 1 = (0,8)2</p><p>Gabarito: A</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>168</p><p>243</p><p>QUESTÕES COMENTADAS - MULTIBANCAS</p><p>Teste para a Variância</p><p>1. (FCC/2016 – TRT/20ª Região) Com a utilização do teste do qui-quadrado, deseja-se averiguar se a</p><p>variância (σ²) de uma população normalmente distribuída e de tamanho infinito é igual a 2. Uma amostra</p><p>aleatória de tamanho 19 é extraída desta população obtendo-se uma variância amostral igual a 2,25.</p><p>Foram formuladas então as hipóteses H0: σ²= 2 (hipótese nula) e H1:σ² ≠ 2 (hipótese alternativa).</p><p>Admitindo-se um nível de significância 𝜶 e efetuando-se o teste de significância bilateral, tem-se, com</p><p>base nos dados da amostra, que o valor da estatística 𝓧𝒄𝒂𝒍𝒄𝟐 (qui-quadrado calculado) utilizado para a</p><p>conclusão do teste é igual a</p><p>a) 21,375</p><p>b) 13,500</p><p>c) 24,000</p><p>d) 20,250</p><p>e) 18,750</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado trata do teste para a variância, em que utilizamos a distribuição qui-quadrado. A estatística</p><p>desse teste é dada por:</p><p>𝒳𝑐𝑎𝑙𝑐2 = (𝑛 − 1𝜎2 ) 𝑠2</p><p>O enunciado informa que a variância populacional considerada na hipótese nula é 𝜎2 = 2; que o tamanho</p><p>da amostra é n = 19 e que a variância amostral observada é 𝑠2 = 2,25. A estatística desse teste é:</p><p>𝒳𝑐𝑎𝑙𝑐2 = (19 − 12 ) × 2,25 = 9 × 2,25 = 20,25</p><p>Gabarito: D</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>169</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>QUESTÕES COMENTADAS – MULTIBANCAS</p><p>p-valor</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Alunos de um departamento de uma universidade estudaram</p><p>por dois livros diferentes, A e P. Foram retiradas amostras aleatórias simples dos que estudaram pelo livro</p><p>A e dos que estudaram pelo livro P, tendo sido observadas as notas dos alunos em um exame padronizado.</p><p>Um teste t de Student foi aplicado com a hipótese nula H0: μA = μP e a hipótese alternativa H1: μA > μP, em</p><p>que μA e μP representam, respectivamente, as médias populacionais das notas dos alunos, no exame</p><p>padronizado, que estudaram pelo livro A e pelo livro P. O valor p obtido foi 0,03.</p><p>A partir da situação apresentada, julgue os itens subsequentes, considerando o nível de significância de</p><p>0,05.</p><p>A hipótese H0 deve ser rejeitada, o que indica que μA > μP.</p><p>Comentários:</p><p>Sendo o p-valor = 0,03 e o nível de significância 𝛼 = 0,05, temos p μP.</p><p>Gabarito: Certo</p><p>2. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Alunos de um departamento de uma universidade estudaram</p><p>por dois livros diferentes, A e P. Foram retiradas amostras aleatórias simples dos que estudaram pelo livro</p><p>A e dos que estudaram pelo livro P, tendo sido observadas as notas dos alunos em um exame padronizado.</p><p>Um teste t de Student foi aplicado com a hipótese nula H0: μA = μP e a hipótese alternativa H1: μA > μP, em</p><p>que μA e μP representam, respectivamente, as médias populacionais das notas dos alunos, no exame</p><p>padronizado, que estudaram pelo livro A e pelo livro P. O valor p obtido foi 0,03.</p><p>A partir da situação apresentada, julgue os itens subsequentes, considerando o nível de significância de</p><p>0,05.</p><p>Se a hipótese alternativa fosse 𝐻1: 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝑃, a hipótese nula não seria rejeitada.</p><p>Comentários:</p><p>Se a hipótese alternativa fosse 𝐻1: 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝑃, o teste seria bilateral, em que o nível de significância seria 𝛼 2⁄ =0,025 de cada lado. Assim, se o resultado do teste fosse t tal que p-valor = P(T > t) = 0,03, então o resultado</p><p>do teste estaria na região de não rejeição, como ilustrado abaixo:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>170</p><p>243</p><p>Assim, a hipótese nula não seria rejeitada.</p><p>Gabarito: Certo</p><p>3. (Cebraspe/2017 – TCE-PE) Para avaliar se a proporção p de itens defeituosos enviados por um</p><p>fornecedor estava acima do valor pactuado de 0,025, um analista, a partir de uma amostra aleatória de</p><p>itens enviada por esse fornecedor, testou a hipótese nula H0: p  0,025 contra a hipótese alternativa H1: p</p><p>> 0,025, utilizando nível de significância 𝜶 = 1%. A respeito dessa situação hipotética, julgue o seguinte</p><p>item.</p><p>Caso o P-valor do teste efetuado pelo analista seja igual a 0,005, é correto concluir que a afirmação proposta</p><p>na hipótese nula seja verdadeira.</p><p>Comentários:</p><p>Caso o p-valor do teste seja p = 0,005 e o nível de significância seja 𝛼 = 0,01, então temos p</p><p>julgue os itens seguintes.</p><p>Caso o p-valor do teste H0: p = 0,5 versus H1: p ≠ 0,5 seja igual a 0,0295, então, se a hipótese alternativa fosse</p><p>alterada para H1: p 𝑝 −𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟. Nesse caso, devemos rejeitar a hipótese nula, o que chamamos de teste significativo (ou evidência</p><p>estatística).</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>FGV</p><p>5. (FGV/2015 – CODEBA) Considere uma pesquisa feita junto a uma amostra de pessoas</p><p>representativas da população brasileira. Foi questionado e cada pessoa informou o seu salário. Após a</p><p>coleta dos dados, a média amostral foi igual a R$ 1000.</p><p>De posse desse indicador e de sua variância amostral, o instituto de pesquisa realiza um teste de hipóteses</p><p>para averiguar se a média da população brasileira é igual a R$ 1100.</p><p>O par de valores que levaria o instituto a rejeitar a hipótese colocada é:</p><p>a) P-valor = 1% e nível de significância de 0,1%.</p><p>b) P-valor = 10% e nível de significância de 1%.</p><p>c) P-valor = 2% e nível de significância de 1%.</p><p>d) P-valor = 100% e nível de significância de 200%.</p><p>e) P-valor = 5% e nível de significância de 10%.</p><p>Comentários:</p><p>A hipótese nula é rejeitada quando o p-valor (probabilidade de obter um valor igual ou mais extremo) for</p><p>menor do que o nível de significância 𝛼. As únicas alternativas em que há essa relação são as alternativas D</p><p>e E.</p><p>Em relação à alternativa D, não é possível definir um nível de significância de 200%, por se tratar de uma</p><p>probabilidade (probabilidade do erro tipo I). Logo, a resposta é a alternativa E.</p><p>Gabarito: E</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>172</p><p>243</p><p>QUESTÕES COMENTADAS – MULTIBANCAS</p><p>Teste Qui-quadrado</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2017 – TER-PE) Assinale a opção que apresenta procedimento ou teste estatístico</p><p>utilizado no tratamento de dados nominais.</p><p>a) qui-quadrado</p><p>b) comparação entre médias</p><p>c) verificação de média, mediana e moda</p><p>d) verificação de desvio padrão</p><p>e) análise de variância</p><p>Comentários:</p><p>Dentre os testes/procedimentos indicados nas alternativas, o único que pode ser utilizado para variáveis</p><p>nominais (ou categóricas) é o teste qui-quadrado. Os demais exigem que as variáveis sejam quantitativas,</p><p>pois apenas para essas variáveis podemos calcular média e desvio padrão/ variância.</p><p>Gabarito: A</p><p>2. (Cebraspe/2020 – Ministério da Economia)</p><p>Considerando que a tabela precedente mostra o cruzamento de duas variáveis categorizadas A e B, que</p><p>foram codificadas em três níveis numéricos de resposta: −1, 0 e 1, julgue o item que se segue.</p><p>A tabela a seguir mostra a distribuição percentual esperada sob a hipótese de independência entre as</p><p>variáveis A e B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>173</p><p>243</p><p>Comentários:</p><p>Sob a hipótese de independência entre as variáveis, os valores esperados são calculados como:</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>B\A -1 0 1 Total</p><p>-1</p><p>20 × 20100 = 4</p><p>20 × 70100 = 14</p><p>20 × 10100 = 2 20</p><p>0</p><p>60 × 20100 = 12</p><p>60 × 70100 = 42</p><p>60 × 10100 = 6 60</p><p>1</p><p>20 × 20100 = 4</p><p>20 × 70100 = 14</p><p>20 × 10100 = 2 20</p><p>Total 20 70 10 100</p><p>Que é diferente da tabela indicada no item.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>3. (Cebraspe/2021 – TCE-RJ)</p><p>Considerando que a tabela precedente mostra a distribuição de frequências de uma variável quantitativa</p><p>X, julgue o item a seguir.</p><p>Suponha que um analista deseje avaliar a aderência entre a distribuição de frequências da variável X com a</p><p>distribuição hipotética a seguir. Nessa situação, o valor da estatística qui-quadrado do teste de aderência</p><p>será superior a 6.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>174</p><p>243</p><p>Comentários:</p><p>O teste qui-quadrado de aderência busca verificar se uma determinada distribuição teórica (no caso, a tabela</p><p>da frequência hipotética) se adequa à população, considerando os resultados observados na amostra (no</p><p>caso, a tabela da frequência absoluta).</p><p>A estatística do teste é dada pelo somatório:</p><p>𝒳2 =∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2𝐸𝑖</p><p>Nesse caso, os valores observados 𝑂𝑖 são os valores da 1ª tabela e os valores esperados 𝐸𝑖 são os valores da</p><p>2ª tabela.</p><p>Para X = 0, temos: (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2𝐸𝑖 = (5 − 10)210 = 2510 = 2,5</p><p>Para X = 1, temos: (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2𝐸𝑖 = (10 − 10)210 = 0</p><p>Para X = 2, temos: (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2𝐸𝑖 = (20 − 20)220 = 0</p><p>Para X = 3, temos: (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2𝐸𝑖 = (15 − 10)210 = 2510 = 2,5</p><p>A soma desses valores é: 𝒳2 = 2,5 + 2,5 = 5</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>175</p><p>243</p><p>Portanto, a estatística do teste é inferior a 6.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>4. (Cebraspe/2021 – TCE-RJ)</p><p>Considerando que o cruzamento de duas variáveis categorizadas A e B cujos niveis de resposta são 'Sim' e</p><p>'Não' tenha produzido a tabela de contingência precedente, julgue o próximo item.</p><p>O valor da estatística qui-quadrado referente ao teste de independência entre as variáveis A e B é igual ou</p><p>inferior a 6.</p><p>Comentários:</p><p>O teste qui-quadrado de independência considera como hipótese nula que as variáveis são independentes,</p><p>ou seja, que os valores observados estão proporcionalmente distribuídos entre os campos. Para realizar o</p><p>teste, vamos primeiro replicar a tabela acima inserindo os totais:</p><p>B - Sim B - Não Totais</p><p>A - Sim 22 8 30</p><p>A - Não 8 12 20</p><p>Totais 30 20 50</p><p>Agora, calculamos os valores esperados, considerando a hipótese nula de independência das variáveis, dados</p><p>por:</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>B - Sim B - Não Totais</p><p>A - Sim</p><p>30 × 3050 = 18</p><p>30 × 2050 = 12 30</p><p>A - Não</p><p>20 × 3050 = 12</p><p>20 × 2050 = 8 20</p><p>Totais 30 20 50</p><p>Em seguida, calculamos, para cada campo, o quadrado dos desvios, dividido pelo valor esperado:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>176</p><p>243</p><p>(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>B - Sim B - Não</p><p>A - Sim</p><p>(22 − 18)218 = 1618</p><p>(8 − 12)212 = 1612</p><p>A - Não</p><p>(8 − 12)212 = 1612</p><p>(12 − 8)28 = 168</p><p>A estatística do teste é dada pelo somatório de todos os campos:</p><p>𝒳2 =∑(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>𝒳2 = 1618 + 1612 + 1612 + 168 = 89 + 43 + 43 + 2 = 8 + 12 + 12 + 189 = 509 ≅ 5,56</p><p>Ou seja, o valor da estatística é inferior a 6.</p><p>Gabarito: Certo</p><p>5. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Cada membro de uma amostra aleatória de alunos respondeu</p><p>ou sim ou não a uma das seguintes questões.</p><p>Q1: Se algum colega seu estivesse deprimido, você o encaminharia ao serviço de atendimento psicológico?</p><p>Q2: Se você estivesse deprimido, procuraria o serviço de atendimento psicológico?</p><p>Um teste qui-quadrado foi executado para analisar os dados com o nível de significância de 0,05 e hipótese</p><p>nula H1: pQ1 = pQ2, em que pQ1 e pQ2 são as proporções de alunos que responderam sim às questões Q1 e</p><p>Q2 respectivamente na população.</p><p>Com base nessa situação hipotética, julgue o item que se segue.</p><p>Se os dados coletados para Q1 forem 20 sim e 2 não, e para Q2 forem 2 sim e 7 não, então o teste qui-</p><p>quadrado será válido.</p><p>Comentários:</p><p>Uma das premissas do teste qui-quadrado é que não haja muitos valores esperados pequenos (menores que</p><p>5). Normalmente, utiliza-se o limite de 20%. Nesse caso, teríamos os seguintes valores:</p><p>Q1 Q2 Total</p><p>Sim 20 2 22</p><p>Não 2 7 9</p><p>Total 22 9 31</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>177</p><p>243</p><p>E os valores esperados seriam:</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>Q1 Q2 Total</p><p>Sim</p><p>22 × 2231 ≅ 15,6</p><p>22 × 931 ≅ 6,38 22</p><p>Não</p><p>22 × 931 ≅ 6,38</p><p>9 × 931 ≅ 2,6 9</p><p>Total 22 9 31</p><p>Observa-se que ¼ = 25% dos valores esperados são inferiores a 5. Além disso, o tamanho da amostra é</p><p>pequeno (inferior a 40). Por isso, o teste qui-quadrado não seria válido nessas condições.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>6. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Cada membro de uma amostra aleatória de alunos respondeu</p><p>ou sim ou não a uma das seguintes questões.</p><p>Q1: Se algum colega seu estivesse deprimido, você o encaminharia ao serviço de atendimento psicológico?</p><p>Q2: Se você estivesse deprimido, procuraria o serviço de atendimento psicológico?</p><p>Um teste qui-quadrado foi executado para analisar os dados com o nível de significância de 0,05 e hipótese</p><p>nula H1: pQ1 = pQ2, em que pQ1 e pQ2 são as proporções de alunos que responderam sim às questões Q1 e</p><p>Q2 respectivamente na população.</p><p>Com base nessa situação hipotética, julgue o item que se segue.</p><p>Se os dados coletados para Q1 forem 14 sim e 6 não, e para Q2 forem 6 sim e 14 não, então o valor da</p><p>estatística qui-quadrado (sem o uso da correção de continuidade) será igual a 6,4.</p><p>Comentários:</p><p>Nessa situação, temos os seguintes valores observados:</p><p>Q1 Q2 Total</p><p>Sim 14 6 20</p><p>Não 6 14 20</p><p>Total 20 20 40</p><p>E os valores esperados são:</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>178</p><p>243</p><p>Q1 Q2 Total</p><p>Sim</p><p>20 × 2040 = 10</p><p>20 × 2040 = 10 20</p><p>Não</p><p>20 × 2040 = 10</p><p>20 × 2040 = 10 20</p><p>Total 20 20 40</p><p>Em seguida, calculamos, para cada campo, o quadrado dos desvios, dividido pelo valor esperado: (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>B - Sim B - Não</p><p>A - Sim</p><p>(14 − 10)210 = 1,6</p><p>(6 − 10)210 = 1,6</p><p>A - Não</p><p>(6 − 10)210 = 1,6</p><p>(14 − 10)210 = 1,</p><p>A estatística do teste é dada pelo somatório de todos os campos:</p><p>𝒳2 =∑(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>𝒳2 = 1,6 + 1,6 + 1,6 + 1,6 = 6,4</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>7. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Cada membro de uma amostra aleatória de alunos respondeu</p><p>ou sim ou não a uma das seguintes questões.</p><p>Q1: Se algum colega seu estivesse deprimido, você o encaminharia ao serviço de atendimento psicológico?</p><p>Q2: Se você estivesse deprimido, procuraria o serviço de atendimento psicológico?</p><p>Um teste qui-quadrado foi executado para analisar os dados com o nível de significância de 0,05 e hipótese</p><p>nula H1: pQ1 = pQ2, em que pQ1 e pQ2 são as proporções de alunos que responderam sim às questões Q1 e</p><p>Q2 respectivamente na população.</p><p>Com base nessa situação hipotética, julgue o item que se segue.</p><p>Considere que, para a hipótese alternativa H1: pQ1 ≠ pQ2 , tenha sido obtido um valor p (ou nível descritivo</p><p>ou probabilidade de significância) igual a 0,08. Nessa situação, se a hipótese alternativa for H1: pQ1 > pQ2,</p><p>então a hipótese nula será rejeitada.</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>179</p><p>243</p><p>O enunciado informa que o p-valor observado em um teste bilateral foi p = 0,08, sem informar se o resultado</p><p>observado do teste foi pQ1 > pQ2 ou pQ1 pQ2 e o resultado do</p><p>teste tiver sido pQ1</p><p>é fixada uma linha de corte igual a R$ 1.448,00, ou seja, dois salários mínimos</p><p>para a renda média (Rm). Considerando a prioridade da inclusão dos que de fato necessitam, as hipóteses</p><p>do teste devem ser:.</p><p>a) Ho: Rm = 1.448 contra Ha: Rm  1.448;</p><p>b) Ho: Rm  1.448 contra Ha: Rm 1.448;</p><p>e) Ho: Rm  1.448 contra Ha: Rm = 1.448;</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>12</p><p>243</p><p>Comentário:</p><p>Nessa questão, precisamos interpretar o texto para encontrar as hipóteses nula e alternativa. O enunciado</p><p>informa que fará um teste para verificar se um grupo de pessoas merece receber assistência gratuita ou não,</p><p>considerando a renda média de referência de R$ 1.448,00.</p><p>O enunciado também informa que a prioridade é garantir a assistência a todos que precisam, ou seja, àqueles</p><p>que apresentam baixa renda média, mesmo que isso implique em prestar o serviço gratuito a alguns</p><p>indivíduos capazes de pagar, por erro.</p><p>Isso significa que o teste deve indicar que o serviço não deve ser prestado apenas em casos excepcionais,</p><p>em que a renda for realmente superior ao valor de referência. Em outras palavras, a renda maior que a</p><p>referência deve constar como hipótese alternativa, pois só iremos concordar com ela se o teste for</p><p>estatisticamente significativo.</p><p>Portanto, a hipótese nula é de que a renda é menor ou igual ao valor de referência e a hipótese alternativa</p><p>é de que a renda é maior que o valor de referência: 𝐻0: 𝑅𝑚 ≤ 1.448 𝐻𝑎: 𝑅𝑚 > 1.448</p><p>Gabarito: D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>13</p><p>243</p><p>TIPOS DE ERROS</p><p>O nível de significância 𝜶 corresponde à probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula, sendo ela verdadeira.</p><p>Mas essa situação não é desejável, certo? No mundo ideal, gostaríamos de aceitar a hipótese nula quando</p><p>ela for verdadeira e rejeitá-la quando ela for falsa.</p><p>Realmente, essa situação de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira é um erro, chamado de erro</p><p>tipo I. Essa situação pode ser chamada de falso positivo.</p><p>Normalmente, o nível de significância é pré-definido, mas ele pode diminuir quando o tamanho da amostra</p><p>aumenta, sem alterar os limites da Região de Não Rejeição. Também é possível diminuir o nível de</p><p>significância, sem alterar o tamanho da amostra, aumentando a Região de Não Rejeição.</p><p>Por outro lado, existe a possibilidade de não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa, que também é um</p><p>erro, chamado de erro tipo II, que pode ser chamada de falso negativo.</p><p>A probabilidade desse erro é indicada como 𝜷.</p><p>Erro tipo I (probabilidade 𝛼): rejeitar 𝐻0 dado que 𝐻0 é verdadeira</p><p>Erro tipo II (probabilidade 𝛽): não rejeitar 𝐻0 dado que 𝐻0 é falsa</p><p>Os erros correspondem aos respectivos eventos, ou seja, o erro tipo I é o evento de rejeitar a hipótese nula</p><p>quando esta é verdadeira e o erro tipo II é o evento de não rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa. As</p><p>probabilidades desses eventos são, respectivamente, 𝛼 (isto é, o nível de significância) e 𝛽.</p><p>Nós vamos conviver com esses erros, ok? Sempre que o resultado estiver na Região de Não Rejeição, vamos</p><p>decidir não rejeitar a hipótese nula e sempre que o resultado estiver na Região Crítica, vamos rejeitar a</p><p>hipótese nula. Seguiremos essa regra, mesmo sabendo que existe um risco (𝛽 e 𝛼, respectivamente), de</p><p>estarmos tomando a decisão errada.</p><p>Nos gráficos que construímos para os testes de hipóteses, que têm como premissa a hipótese nula, podemos</p><p>identificar a região de rejeição, cuja probabilidade é α.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>14</p><p>243</p><p>Considerando o exemplo em que a hipótese nula é 𝐻0: 𝜇 = 2 e que vamos rejeitá-la se a média amostral</p><p>observada for �̅� 𝑘 → 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑟 𝐻0 , 𝑝0𝑝1 = 𝑘 → 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜</p><p>De modo geral, um teste ótimo irá rejeitar a hipótese nula quando a razão for pequena e</p><p>não irá rejeitá-la quando a razão for grande.</p><p>(FCC/2019 – Secretaria</p><p>for maior, 𝛼 > 0,031, e não a rejeitamos, caso contrário. Assim, a única alternativa correta é a</p><p>alternativa A.</p><p>Gabarito: A</p><p>FCC</p><p>10. (FCC/2014 – CNMP) Durante uma semana, observa-se a quantidade de determinadas ocorrências,</p><p>esperando que diariamente ocorram 20 destes tipos de ocorrências. Para esta análise, foram levantados</p><p>os seguintes dados em uma semana escolhida aleatoriamente:</p><p>Deseja-se saber, ao nível de significância de α, se as frequências são iguais em todos os dias da semana,</p><p>utilizando o teste do qui-quadrado. Foram formuladas as hipóteses H0: as frequências são iguais em todos</p><p>os dias da semana (hipótese nula) e H1: as frequências são diferentes. Observação: o valor crítico do qui-</p><p>quadrado tabelado da distribuição qui-quadrado, ao nível de significância de 𝜶 e com o respectivo número</p><p>de graus de liberdade do teste, apresentou um valor superior ao valor do qui-quadrado observado.</p><p>O valor do qui-quadrado observado é</p><p>a) inferior ao número de graus de liberdade do teste e H0 não é rejeitada.</p><p>b) inferior ao número de graus de liberdade do teste e H0 é rejeitada.</p><p>c) superior ao número de graus de liberdade do teste e H0 não é rejeitada.</p><p>d) superior ao número de graus de liberdade do teste e H0 é rejeitada.</p><p>e) superior ao número de graus de liberdade do teste e H0 é rejeitada para qualquer nível de significância 𝛽 tal 𝛼 𝒳𝐶2 para o atual nível de significância 𝛼, então para um nível</p><p>de significância inferior a 𝛼, teremos um valor crítico 𝒳𝐶2 ainda menor e assim continuaremos a ter 𝒳𝑇2 >𝒳𝐶2. Assim, a decisão será pela não rejeição da hipótese nula e a conclusão será que o grau de desempenho</p><p>não depende da cidade.</p><p>Dessa forma, sabemos que a alternativa correta é a alternativa B. Mesmo assim, vamos calcular a estatística</p><p>do teste. Para isso, primeiro calculamos os valores esperados:</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>Portanto:</p><p>Cidade I Cidade II Cidade III Total</p><p>Ruim</p><p>33 × 100300 = 11</p><p>33 × 100300 = 11</p><p>33 × 100300 = 11 33</p><p>Regular</p><p>120 × 100300 = 40</p><p>120 × 100300 = 40</p><p>120 × 100300 = 40 120</p><p>Bom</p><p>147 × 100300 = 49</p><p>147 × 100300 = 49</p><p>147 × 100300 = 49 147</p><p>Total 100 100 100 300</p><p>Agora, calculamos, para cada campo, o quadrado dos desvios, dividido pelo valor esperado: (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>Portanto:</p><p>Cidade I Cidade II Cidade III</p><p>Ruim</p><p>(11 − 11)211 = 0</p><p>(10 − 11)211 ≅ 0,091</p><p>(12 − 11)211 ≅ 0,091</p><p>Regular</p><p>(40 − 40)240 = 0</p><p>(40 − 40)240 = 0</p><p>(40 − 40)240 = 0</p><p>Bom</p><p>(49 − 49)249 = 0</p><p>(50 − 49)249 ≅ 0,02</p><p>(48 − 49)249 ≅ 0,02</p><p>Agora, somamos todos os valores para obter a estatística do teste:</p><p>𝒳2 =∑(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>186</p><p>243</p><p>𝒳2 ≅ 0,091 + 0,091 + 0,02 + 0,02 = 0,222</p><p>Portanto,</p><p>a estatística é superior a 0,22.</p><p>Gabarito: B</p><p>12. (FCC/2018 – TRT/14ª Região) Dois grupos independentes (G1 e G2) são formados por trabalhadores</p><p>de uma cidade. G1 é composto por uma amostra aleatória, com reposição, de 100 empregados da empresa</p><p>E1 e G2 por uma amostra aleatória, com reposição, de 60 empregados de uma outra empresa E2. Deseja-</p><p>se testar a hipótese, utilizando a distribuição qui-quadrado, se as medianas dos salários dos empregados</p><p>de G1 e G2 são iguais ao nível de significância de 5%. Foram formuladas as hipóteses H0: As medianas de</p><p>G1 e G2 são iguais (hipótese nula) e H1: As medianas de G1 e G2 são diferentes (hipótese alternativa).</p><p>A tabela abaixo apresenta o resultado de um levantamento realizado em relação à mediana (Md) dos</p><p>salários do grupo combinado (das duas amostras juntas).</p><p>A conclusão do teste é que H0</p><p>a) não é rejeitada e o valor do qui-quadrado é igual a 2.</p><p>b) é rejeitada e o valor do qui-quadrado é igual a 2/3.</p><p>c) não é rejeitada e o valor do qui-quadrado é igual a 4.</p><p>d) não é rejeitada e o valor do qui-quadrado é igual a 2/3</p><p>e) é rejeitada e o valor do qui-quadrado é igual a 4</p><p>Comentários:</p><p>Considerando a hipótese nula de que as medianas são iguais (e igual à mediana do grupo combinado, Md),</p><p>então as pessoas deveriam ser distribuídas de forma proporcional.</p><p>Assim, o valor esperado de cada campo da tabela deve ser calculado como:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>187</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>Portanto:</p><p>G1 G2 Total</p><p>Nº empregados ganhando acima de Md</p><p>64 × 100160 = 40</p><p>64 × 60160 = 24 64</p><p>Nº empregados ganhando abaixo de Md</p><p>96 × 100160 = 60</p><p>96 × 60160 = 36 96</p><p>Total 100 60 160</p><p>Agora, calculamos, para cada campo, o quadrado dos desvios, dividido pelo valor esperado: (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>Portanto:</p><p>G1 G2</p><p>Nº empregados ganhando acima de</p><p>Md</p><p>(34 − 40)240 = 0,9</p><p>(30 − 24)224 = 1,5</p><p>Nº empregados ganhando abaixo de</p><p>Md</p><p>(66 − 60)260 = 0,6</p><p>(30 − 36)236 = 1</p><p>Agora, somamos todos os valores para obter a estatística do teste:</p><p>𝒳2 =∑(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>𝒳2 = 0,9 + 0,6 + 1,5 + 1 = 4</p><p>O grau de liberdade da distribuição é dado por:</p><p>n = (L – 1)x(C – 1) = (2 – 1)x(2 – 1) = 1</p><p>Para n = 1 grau de liberdade, o nível crítico informado no enunciado é c = 3,84. Como a estatística do teste</p><p>(𝒳2 = 4) supera esse limite, 𝒳2 > 𝑐, a hipótese nula deve ser rejeitada.</p><p>Gabarito: E</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>188</p><p>243</p><p>13. (FCC/2016 – TRT/20ª Região) Com a utilização do teste do qui-quadrado, deseja-se averiguar se a</p><p>variância (σ²) de uma população normalmente distribuída e de tamanho infinito é igual a 2. Uma amostra</p><p>aleatória de tamanho 19 é extraída desta população obtendo-se uma variância amostral igual a 2,25.</p><p>Foram formuladas então as hipóteses H0:σ²= 2 (hipótese nula) e H1:σ² ≠ 2 (hipótese alternativa).</p><p>Admitindo-se um nível de significância 𝜶 e efetuando-se o teste de significância bilateral, tem-se, com</p><p>base nos dados da amostra, que o valor da estatística 𝓧𝒄𝒂𝒍𝒄𝟐 (qui-quadrado calculado) utilizado para a</p><p>conclusão do teste é igual a</p><p>a) 21,375</p><p>b) 13,500</p><p>c) 24,000</p><p>d) 20,250</p><p>e) 18,750</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado trata do teste para a variância, em que utilizamos a distribuição qui-quadrado. A estatística</p><p>desse teste é dada por:</p><p>𝒳𝑐𝑎𝑙𝑐2 = (𝑛 − 1𝜎2 ) 𝑠2</p><p>O enunciado informa que a variância populacional considerada na hipótese nula é 𝜎2 = 2; que o tamanho</p><p>da amostra é n = 19 e que a variância amostral observada é 𝑠2 = 2,25. A estatística desse teste é:</p><p>𝒳𝑐𝑎𝑙𝑐2 = (19 − 12 ) × 2,25 = 9 × 2,25 = 20,25</p><p>Gabarito: D</p><p>VUNESP</p><p>14. (VUNESP/2014 – TJ-PA) Em uma pesquisa de opinião com 1.000 questionários, foi feita uma tabela</p><p>de dupla entrada com as variáveis idade e opinião. Os resultados foram:</p><p>O valor crítico de Qui-quadrado para rejeitar a independência das variáveis com nível de significância de</p><p>5% é aproximadamente</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>189</p><p>243</p><p>a) 2,7</p><p>b) 3,84</p><p>c) 4,6</p><p>d) 5,99</p><p>e) 6,06</p><p>Para resolver essa questão considere a tabela constante ao final desta seção, fornecida nessa prova.</p><p>Comentários:</p><p>Essa questão trata do teste qui-quadrado e pede o valor crítico do teste. Para isso, precisamos do nível de</p><p>significância fornecido na questão (𝛼 = 5%) e do número de graus de liberdade, dado por: 𝑘 = (𝐿 − 1) × (𝐶 − 1)</p><p>Em que L é o número de linhas e C é o número de colunas dos valores observados. Na tabela fornecida, há L</p><p>= 2 linhas e C = 2 colunas. Portanto, há k = 1x1 = 1 grau de liberdade.</p><p>Pela tabela fornecida, podemos observar que o valor da distribuição com 1 grau de liberdade associado a 𝛼 = 5% é 𝜒2 = 3,841 ≅ 3,84.</p><p>Gabarito: B</p><p>15. (VUNESP/2014 – TJ-PA) Em uma pesquisa de opinião com 1.000 questionários, foi feita uma tabela</p><p>de dupla entrada com as variáveis idade e opinião. Os resultados foram:</p><p>O valor do Qui-quadrado é aproximadamente</p><p>a) 1,8</p><p>b) 4,6</p><p>c) 6,4</p><p>d) 8,6</p><p>e) 10,0</p><p>Comentários:</p><p>Para calcular a estatística do teste (valor do qui-quadrado), primeiro calculamos os valores esperados,</p><p>considerando a hipótese nula de que a opinião e a idade das pessoas são independentes (ou seja, os valores</p><p>seriam em tese distribuídos de modo proporcional):</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>190</p><p>243</p><p>𝐸𝑖𝑗 = 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>Opinião Menos de 30 anos Mais de 30 anos Total</p><p>Ótimo/Bom</p><p>200 × 5001000 = 100</p><p>200 × 5001000 = 100 200</p><p>Regular/Ruim</p><p>800 × 5001000 = 400</p><p>800 × 5001000 = 400 800</p><p>Total 500 500 1000</p><p>Agora, calculamos, para cada campo, o quadrado dos desvios, dividido pelo valor esperado: (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>Opinião Menos de 30 anos Mais de 30 anos</p><p>Ótimo/Bom</p><p>(120 − 100)2100 = 4</p><p>(80 − 100)2100 = 4</p><p>Regular/Ruim</p><p>(380 − 400)2400 = 1</p><p>(420 − 400)2400 = 1</p><p>Agora, somamos todos os valores para obter a estatística do teste:</p><p>𝒳2 =∑(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗</p><p>𝒳2 = 4 + 4 + 1 + 1 = 10</p><p>Gabarito: E</p><p>16. (VUNESP/2018 – Prefeitura de Itapevi/SP) Na análise de contingência com o emprego do teste qui-</p><p>quadrado, os valores esperados são calculados com base na hipótese</p><p>a) alternativa</p><p>b) de verossimilhança</p><p>c) de clusters</p><p>d) de nulidade</p><p>e) Q de Cochran</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>191</p><p>243</p><p>Assim como os demais testes de hipóteses, em que os cálculos são feitos com base na hipótese nula (ou de</p><p>nulidade), no teste qui-quadrado, os valores esperados também são calculados com base na hipótese nula.</p><p>Gabarito: D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>192</p><p>243</p><p>QUESTÕES COMENTADAS – MULTIBANCAS</p><p>Outros Testes Não Paramétricos</p><p>1. (CESPE/2010 – ABIN) Com relação a métodos não paramétricos, julgue o item a seguir.</p><p>O teste de Wilcoxon é o equivalente não paramétrico do teste t-Student para comparação de duas médias,</p><p>e o teste de Kruskal-Wallis é o equivalente não paramétrico da análise de variâncias para um fator.</p><p>Comentários:</p><p>O teste de Wilcoxon é um teste não paramétrico com os mesmos objetivos do teste t de Student, para</p><p>comparação de 2 populações, quando não podemos supor que as populações apresentam distribuição</p><p>normal. Já o teste de Kruskal-Wallis compara mais de</p><p>2 populações, sendo o correspondente não</p><p>paramétrico da Análise de Variância.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>193</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>LISTA DE QUESTÕES – MULTIBANCAS</p><p>Conceitos Fundamentais</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2019 – TJ-AM) A respeito dos testes de hipóteses, julgue o próximo item.</p><p>Sendo 𝛼 o nível de significância de um teste estatístico, seu valor será sempre constante em 0,05.</p><p>2. (Cebraspe/2015 – Telebras) Com relação às técnicas de amostragem estatística, julgue o próximo</p><p>item.</p><p>Considerando as informações colecionadas em uma amostra, a metodologia do teste de hipóteses tem o</p><p>objetivo de determinar a possibilidade de a hipótese nula ser verdadeira, uma vez que é indissolúvel a relação</p><p>entre a declaração da hipótese nula e a especificação da hipótese alternativa, sendo esta necessariamente</p><p>verdadeira caso a hipótese nula seja falsa.</p><p>3. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Alunos de um departamento de uma universidade estudaram</p><p>por dois livros diferentes, A e P. Foram retiradas amostras aleatórias simples dos que estudaram pelo livro</p><p>A e dos que estudaram pelo livro P, tendo sido observadas as notas dos alunos em um exame padronizado.</p><p>Um teste t de Student foi aplicado com a hipótese nula H0: μA = μP e a hipótese alternativa H1: μA > μP, em</p><p>que μA e μP representam, respectivamente, as médias populacionais das notas dos alunos, no exame</p><p>padronizado, que estudaram pelo livro A e pelo livro P. O valor p obtido foi 0,03.</p><p>A partir da situação apresentada, julgue os itens subsequentes, considerando o nível de significância de</p><p>0,05.</p><p>As hipóteses do teste t de Student aplicado são simples.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>194</p><p>243</p><p>4. (Cebraspe/2015 – Telebras)</p><p>Um varejista de motocicletas e acessórios encontrou uma caixa de parafusos especiais de origem</p><p>desconhecida para um modelo da marca Honda. Esses parafusos são produzidos apenas no Japão e</p><p>Taiwan. As características da resistência à tração X dos parafusos são apresentadas na tabela. Uma</p><p>amostra de 20 parafusos da caixa foi testada e encontrou-se a resistência à tração média �̅�.</p><p>Considere o teste a respeito da procedência dos parafusos constituído das seguintes hipóteses. H0: os</p><p>parafusos procedem do Japão: μ = 100; e H1: os parafusos procedem de Taiwan: μ = 110. A regra da decisão</p><p>do teste é não rejeitar H0 se �̅� 1.448;</p><p>e) Ho: Rm  1.448 contra Ha: Rm = 1.448;</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>195</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>GABARITO</p><p>1. ERRADO</p><p>2. CERTO</p><p>3. ERRADO</p><p>4. ERRADO</p><p>5. LETRA D</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>196</p><p>243</p><p>LISTA DE QUESTÕES – MULTIBANCAS</p><p>Tipos de Erros</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2018 – IJSN-ES) Considerando os conceitos associados a probabilidade e estatística,</p><p>julgue o item.</p><p>A hipótese nula (H0) é a afirmação feita acerca do valor de um parâmetro populacional e o erro tipo I ocorre</p><p>quando a hipótese nula é falsa e não é rejeitada.</p><p>2. (Cebraspe/2016 – TCE-PAM) Uma amostra aleatória, com n = 16 observações independentes e</p><p>identicamente distribuídas (IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e desvio padrão</p><p>desconhecidos e distribuição normal. Tendo essa informação como referência inicial, julgue o seguinte</p><p>item.</p><p>A potência de um teste de hipóteses corresponde à probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, dado que a</p><p>hipótese nula é correta.</p><p>3. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) Em estudo acerca da situação do CNPJ das empresas de determinado</p><p>município, as empresas que estavam com o CNPJ regular foram representadas por 1, ao passo que as com</p><p>CNPJ irregular foram representadas por 0. Considerando que a amostra {0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1,</p><p>1, 0, 1, 1, 1, 1} foi extraída para realizar um teste de hipóteses, julgue o item subsequente.</p><p>O poder do teste pode ser facilmente calculado pelo complementar do erro tipo II (𝛽).</p><p>4. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Alunos de um departamento de uma universidade estudaram</p><p>por dois livros diferentes, A e P. Foram retiradas amostras aleatórias simples dos que estudaram pelo livro</p><p>A e dos que estudaram pelo livro P, tendo sido observadas as notas dos alunos em um exame padronizado.</p><p>Um teste t de Student foi aplicado com a hipótese nula H0: μA = μP e a hipótese alternativa H1: μA > μP, em</p><p>que μA e μP representam, respectivamente, as médias populacionais das notas dos alunos, no exame</p><p>padronizado, que estudaram pelo livro A e pelo livro P. O valor p obtido foi 0,03.</p><p>A partir da situação apresentada, julgue os itens subsequentes, considerando o nível de significância de</p><p>0,05.</p><p>A função poder do teste, Π(μA – μP), assume o valor Π(0) = 0,03.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>197</p><p>243</p><p>5. (Cebraspe/2020 – TJ-PA)</p><p>O teste de hipóteses se assemelha ao julgamento de um crime. Em um julgamento, há um réu, que</p><p>inicialmente se presume inocente. As provas contra o réu são, então, apresentadas, e, se os jurados</p><p>acham que são convincentes, sem dúvida alguma, o réu é considerado culpado. A presunção de</p><p>inocência é vencida. Michael Barrow. Estatística para economia, contabilidade e administração. São Paulo:</p><p>Ática, 2007, p. 199 (com adaptações).</p><p>João foi julgado culpado pelo crime de assassinato e condenado a cumprir pena de 20 anos de reclusão.</p><p>Após 10 anos de prisão, André, o verdadeiro culpado pelo delito pelo qual João fora condenado, confessou</p><p>o ilícito e apresentou provas irrefutáveis de que é o verdadeiro culpado, exclusivamente. Considerando a</p><p>situação hipotética apresentada e o fragmento de texto anterior, julgue os itens que se seguem.</p><p>I Pode-se considerar que a culpa de João seja uma hipótese alternativa.</p><p>II No julgamento, ocorreu um erro conhecido nos testes de hipótese como erro do tipo I.</p><p>III Se a hipótese nula fosse admitida pelos jurados como verdadeira e fosse efetivamente João o culpado</p><p>pelo crime, o erro cometido teria sido o chamado erro do tipo II.</p><p>Assinale a opção correta</p><p>a) Apenas o item I está certo.</p><p>b) Apenas o item II está certo.</p><p>c) Apenas os itens I e III estão certos.</p><p>d) Apenas os itens II e III estão certos.</p><p>e) Todos os itens estão certos.</p><p>6. (Cebraspe/2017 – TCE-PE) Para avaliar se a proporção p de itens defeituosos enviados por um</p><p>fornecedor estava acima do valor pactuado de 0,025, um analista, a partir de uma amostra aleatória de</p><p>itens enviada por esse fornecedor, testou a</p><p>hipótese nula H0: p  0,025 contra a hipótese alternativa H1: p</p><p>> 0,025, utilizando nível de significância 𝜶 = 1%. A respeito dessa situação hipotética, julgue o seguinte</p><p>item.</p><p>O nível de significância representa a probabilidade de se aceitar a hipótese H0: p  0,025 quando, na verdade,</p><p>a proporção p for superior a 0,025.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>198</p><p>243</p><p>FGV</p><p>7. (FGV/2017 – TJ-AL) Sobre a formulação geral de teste de hipóteses, empregando a distribuição</p><p>Normal, é correto afirmar que:</p><p>a) fixo o tamanho da amostra e o valor simulado na região crítica, quanto maior a probabilidade do erro do</p><p>Tipo I, menor será a do Tipo II;</p><p>b) os erros do Tipo I e do Tipo II são complementares quando o teste de hipóteses é unicaudal;</p><p>c) a potência de um teste é uma função monótona quando o teste é do tipo bicaudal;</p><p>d) em um teste unicaudal, quando o p-valor coincide com o nível de significância, a hipótese nula é rejeitada;</p><p>e) tanto a rejeição quanto a não rejeição da hipótese nula implicam a geração de evidências estatísticas.</p><p>8. (FGV/2016 – IBGE) Os testes clássicos de inferência estão baseados na obtenção ou não de</p><p>evidência estatística contrária à hipótese suposta, previamente, verdadeira. A construção está associada</p><p>a uma série de conceitos e definições. Entre esses elementos estão:</p><p>a) a não ocorrência de um evento, supostamente, de alta probabilidade produz evidência à rejeição da</p><p>hipótese nula;</p><p>b) a não rejeição da hipótese nula produz evidência estatística associada a um evento de baixa probabilidade;</p><p>c) a potência do teste depende da escolha do valor da amostra e do nível de significância adotado;</p><p>d) os erros do Tipo I e Tipo II, que têm probabilidades complementares;</p><p>e) a estatística do teste deve ser conhecida, além de depender, na sua expressão, do valor do parâmetro a</p><p>ser testado.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>199</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>9. (FGV/2014 – DPE-RJ) Suponha que para a realização de um teste de hipóteses sobre determinado</p><p>parâmetro estão disponíveis duas alternativas. Na tabela abaixo são apresentadas as probabilidades de</p><p>rejeição da hipótese nula quando ela é falsa.</p><p>Então, pode-se afirmar que</p><p>a) a probabilidade do erro do tipo I no teste alternativo 1, com a hipótese θ = θ₂, é igual a 0,16.</p><p>b) a probabilidade do erro do tipo II no teste alternativo 2, com a hipótese θ = θ3, é igual a 0,85.</p><p>c) o teste da alternativa 2 é menos potente do que o teste para a alternativa 1.</p><p>d) o teste da alternativa 1 é tendencioso o que não ocorre com o teste da alternativa 2.</p><p>e) as probabilidades indicam que os testes das alternativas 1 e 2 são ambos do tipo bilateral.</p><p>10. (FGV/2017 – TJ-AL) Para verificar se a proporção geral de recursos meramente protelatórios é muito</p><p>elevada, elabora-se o seguinte teste de hipóteses: HO: 𝒑 ≤ 𝟎, 𝟕𝟓 contra Ha: 𝒑 > 𝟎, 𝟕𝟓.</p><p>Para sua realização, uma amostra de tamanho n = 5 é extraída, sendo o critério de rejeição de HO</p><p>estabelecido caso o número de recursos daquele tipo seja maior do que 4.</p><p>Se a verdadeira probabilidade é igual a 0,80, as probabilidades de ocorrência dos erros tipos I e II são,</p><p>respectivamente:</p><p>a) (0,75)5 e (0,80)5;</p><p>b) 1 − (0,80)5 e 1 − (0,75)5;</p><p>c) 1 − (0,75)5 e (0,80)5;</p><p>d) (0,75)5 e 1 − (0,80)5;</p><p>e) 1 − (0,80)5 e (0,75)5.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>200</p><p>243</p><p>FCC</p><p>11. (FCC/2014 – CNMP) Com relação a testes de hipóteses estatísticas e denominando H0 como sendo</p><p>a hipótese nula e H1 a hipótese alternativa, a definição de potência de um teste corresponde à</p><p>probabilidade de</p><p>a) não rejeitar H0, quando H0 é verdadeira.</p><p>b) não rejeitar H0, quando H0 é falsa.</p><p>c) não rejeitar H0, independentemente de H0 ser falsa ou verdadeira.</p><p>d) rejeitar H0, quando H0 é verdadeira.</p><p>e) rejeitar H0, quando H0 é falsa.</p><p>12. (FCC/2015 – SEFAZ-PI) Seja X a variável aleatória que representa o número de sucessos em 6 ensaios</p><p>de Bernoulli independentes e onde a probabilidade de sucesso, em cada ensaio, é sempre igual a p. Deseja-</p><p>se testar a hipótese nula H₀: p = 0,7 contra a hipótese alternativa Hₐ: p = 0,5.</p><p>Se rejeita-se H₀ quando ocorrerem menos do que 4 sucessos, a probabilidade do erro do tipo II é igual a</p><p>a) 3/8.</p><p>b) 25/64.</p><p>c) 11/32.</p><p>d) 21/128.</p><p>e) 19/64.</p><p>13. (FCC/2015 – SEFAZ-PI) Sabe-se que uma urna contém uma proporção de p bolas pretas e de (1 − p)</p><p>bolas brancas. O valor de p é desconhecido, mas sabe-se que é 3/5 ou é 1/2. A fim de se chegar a uma</p><p>conclusão, seleciona-se ao acaso e com reposição 10 bolas da urna e observa-se o número de bolas pretas.</p><p>Um teste de hipóteses é proposto, esse considera testar a hipótese nula H0: p = 1/2 contra a hipótese</p><p>alternativa Ha: p = 3/5. Se o teste rejeitar H0 quando pelo menos 8 bolas pretas forem encontradas, o nível</p><p>de significância do teste é igual a</p><p>a) 15/256</p><p>b) 7/128</p><p>c) 9/128</p><p>d) 17/256</p><p>e) 25/512</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>201</p><p>243</p><p>14. (FCC/2019 – SEFAZ-BA) Acredita-se que a probabilidade (p) de ocorrência de um determinado</p><p>evento em 1 dia seja igual a 50%. Para averiguar se essa informação é correta, foi extraída uma amostra</p><p>aleatória de 10 dias de um levantamento e foram formuladas as hipóteses H0: p = 0,5 (hipótese nula) e H1:</p><p>p ≠ 0,5 (hipótese alternativa). A regra estabelecida foi rejeitar H0 caso na amostra tenha se verificado um</p><p>número de dias n tal que n 8. A probabilidade de se cometer um erro tipo I é igual a</p><p>a) 21/1024.</p><p>b) 5/256.</p><p>c) 11/512.</p><p>d) 5/512.</p><p>e) 1/512.</p><p>15. (FCC/2014 – SEFAZ-PE) Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial, tendo parâmetros</p><p>n = 9 (n representando o número de ensaios) e p desconhecido (p representando a probabilidade de</p><p>sucesso em cada ensaio). Desejando-se testar a hipótese nula H0: p = 0,5 versus a hipótese alternativa H1:</p><p>p > 0,5, considerou-se rejeitar H0 se X for superior a 6. Nessas condições, o nível de significância do teste é</p><p>igual a</p><p>a) 25/256.</p><p>b) 23/256.</p><p>c) 37/256.</p><p>d) 5/256.</p><p>e) 42/256.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>202</p><p>243</p><p>GABARITO</p><p>1. ERRADO</p><p>2. ERRADO</p><p>3. CERTO</p><p>4. ERRADO</p><p>5. LETRA E</p><p>6. ERRADO</p><p>7. LETRA A</p><p>8. LETRA A</p><p>9. LETRA C</p><p>10. LETRA D</p><p>11. LETRA E</p><p>12. LETRA C</p><p>13. LETRA B</p><p>14. LETRA C</p><p>15. LETRA B</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>203</p><p>243</p><p>LISTA DE QUESTÕES - MULTIBANCAS</p><p>Testes para Distribuições Uniformes</p><p>1. (FCC/2019 – TRT-SP) De uma variável aleatória X uniformemente distribuída no intervalo (0, θ) é</p><p>extraída uma única observação com vista a testar a hipótese H₀: θ = 10 (hipótese nula) contra H₁: θ > 10</p><p>(hipótese alternativa). O critério de decisão consiste em rejeitar H₀ caso o valor observado exceder 8. A</p><p>probabilidade de ser cometido um erro tipo II, admitindo que o verdadeiro valor de θ seja 12, é de</p><p>a) 2/3</p><p>b) 4/5</p><p>c) 1/2</p><p>d) 3/4</p><p>e) 5/6</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>204</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>GABARITO</p><p>1. LETRA A</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>205</p><p>243</p><p>LISTA DE QUESTÕES – MULTIBANCAS</p><p>Testes para a Média</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2019 – TJ-AM) Um pesquisador deseja comparar a diferença entre as médias de duas</p><p>amostras independentes oriundas de uma ou duas populações gaussianas. Considerando essa situação</p><p>hipotética, julgue o próximo item.</p><p>Para que qualquer teste possa ser realizado, as amostras devem ter distribuição normal.</p><p>2. (Cebraspe/2019 – TJ-AM) Um pesquisador deseja comparar a diferença entre as médias de duas</p><p>amostras independentes oriundas de uma ou duas populações gaussianas. Considerando essa situação</p><p>hipotética, julgue o próximo item.</p><p>Para que a referida comparação seja efetuada, é necessário que ambas as amostras tenham N > 30.</p><p>3. (Cebraspe/2019 – TJ-AM) Um pesquisador deseja comparar a diferença entre as médias de duas</p><p>amostras independentes oriundas de uma ou duas populações gaussianas. Considerando essa situação</p><p>hipotética, julgue o próximo item.</p><p>Caso o pesquisador realize um teste t de Student e encontre um valor de p = 0,95, considerando-se 𝛼 = 0,05,</p><p>será correto concluir que ambas as amostras provêm da mesma população.</p><p>4. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) Em um teste estatístico para a média populacional 𝝁 com nível de</p><p>significância 𝜶 = 𝟓% a hipótese nula H0 deverá ser rejeitada se �̅� > 𝟑𝟎 ou �̅� 30) = 0,05</p><p>d) Trata-se de um teste t de Student com 10 graus de liberdade.</p><p>e) A hipótese nula desse teste é H0: 𝜇 = 10 ou 𝜇 = 30</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>206</p><p>243</p><p>5. (Cebraspe/2018 – PF) O tempo gasto (em dias) na preparação para determinada operação policial</p><p>é uma variável aleatória X que segue distribuição normal com média M, desconhecida, e desvio padrão</p><p>igual a 3 dias. A observação de uma amostra aleatória de 100 outras operações policiais semelhantes a</p><p>essa produziu uma média amostral igual a 10 dias.</p><p>Com referência a essas informações, julgue o item que segue, sabendo que P(Z > 2) = 0,025, em que Z</p><p>denota uma variável aleatória normal padrão.</p><p>Considerando-se o teste da hipótese nula H0: M ≤ 9,5 dias contra a hipótese alternativa H1: M > 9,5 dias,</p><p>adotando-se o nível de significância igual a 1%, não haveria evidências estatísticas contra a hipótese H0.</p><p>6. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) A respeito de uma amostra de tamanho n = 10, com os valores</p><p>amostrados {0,10, 0,06, 0,10, 0,12, 0,08, 0,10, 0,05, 0,15, 0,14, 0,11}, extraídos de determinada população,</p><p>julgue o item seguinte.</p><p>Dado que a variância populacional é desconhecida e os dados seguem uma distribuição normal, é correto</p><p>afirmar que o teste t para a média populacional possui 10 graus de liberdade.</p><p>FGV</p><p>7. (FGV/2015 – TCM-SP) Em termos ideais, a legislação municipal recomenda que os gastos com</p><p>despesas de merenda escolar, na rede de ensino fundamental, sejam de pelo menos R$80 em média, por</p><p>aluno, por mês. Através de uma amostra de dezesseis escolas foi calculada a média de R$74, sendo a</p><p>variância populacional conhecida igual a 144. São fornecidos também valores da distribuição normal</p><p>padrão e respectivas probabilidades, conforme abaixo:</p><p>z 1,28 1,64 1,96 2,33</p><p>P(|Z| > z) 20% 10% 5% 2%</p><p>Assim sendo, na tentativa de demonstrar que aquela recomendação não está sendo respeitada, é</p><p>proposto, pelo TCM- SP, um teste de hipótese sobre o qual é correto afirmar que:</p><p>a) o conjunto de hipóteses deve ser Ho: μ ≤ 80 contra Ha: μ > 80;</p><p>b) ao nível de significância de 5% a hipótese nula será rejeitada;</p><p>c) o p-valor associado ao conjunto adequado de hipóteses é de 2%;</p><p>d) o conjunto de hipóteses deve ser Ho: μ ≥ 74 contra Ha: μ 𝟐𝟎, em que 𝝁 é a média de uma variável normalmente distribuída com variância 16.</p><p>O critério de decisão correspondente ao teste uniformemente mais poderoso de tamanho 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟓</p><p>rejeitará H0 se o valor da média amostral for</p><p>a) menor do que 21,354</p><p>b) maior do que 20,656.</p><p>c) maior do que 21,354.</p><p>d) menor do que 20,656.</p><p>e) maior do que 19,344.</p><p>Nota: Para essa questão considere a tabela normal constante no final desta seção de questões.</p><p>9. (FGV/2014 – DPE-RJ) Para testar a renda média dos cidadãos efetivamente atendidos pela</p><p>Defensoria Pública do Estado foi realizado um levantamento a partir dos registros já existentes, que</p><p>geraram uma amostra aleatória de tamanho n=100, para a qual foi calculada a média amostral igual a R$</p><p>920,00 por mês. Deseja-se demonstrar, cabalmente, que, em média, os beneficiários ganham menos do</p><p>que R$ 1.000 por mês. Além disso, o desvio-padrão populacional é conhecido, sendo igual a 500. Portanto,</p><p>se Φ(-2,00) = 2,28% e Φ(-1,5) = 6,68%, onde Φ(.) é a distribuição acumulada da Normal Padrão. Então,</p><p>neste caso, a hipótese nula seria</p><p>a) rejeitada ao nível de 2,28% e não rejeitada com significância de 6,68%.</p><p>b) não rejeitada ao nível de 2,28% e rejeitada com significância de 6,68%.</p><p>c) rejeitada tanto com 97,72% quanto com 93,32% de grau de confiança.</p><p>d) rejeitada ao nível de significância de 1,14% e 3,34%, bilateral.</p><p>e) não rejeitada tanto ao nível de significância de 2,28% quanto de 6,68%.</p><p>10. (FGV/2019 – DPE-RJ) Acredita-se que o valor do rendimento médio das pessoas que procuram ajuda</p><p>na Defensoria Pública do Rio de Janeiro seja inferior a R$ 2.000. Para tentar gerar uma evidência estatística</p><p>de que isso é verdade, foi proposto um teste de hipóteses com base numa amostra de tamanho n = 64,</p><p>tendo sido apurado um rendimento médio de R$ 1.952, com desvio-padrão de R$ 256. Para a realização</p><p>do teste será usada a aproximação da T-Student pela distribuição Normal, para qual sabe-se que: P(Z ></p><p>1,28) = 0,10, P(Z > 1,5) = 0,07, P(Z > 1,75) = 0,04 e P(Z > 2) = 0,02</p><p>Assim sendo, é correto concluir que:</p><p>a) ao nível de significância de 4% rejeita-se a hipótese nula;</p><p>b) ao nível de significância de 10% não é possível rejeitar a hipótese nula;</p><p>c) o conjunto de hipóteses a ser testado é Ho: 𝜇 = 2000 contra Ha: 𝜇 ≥ 2000;</p><p>d) o p-valor correspondente ao teste bilateral e a observação obtida a partir da amostra, �̅�=1952 é igual a</p><p>14%;</p><p>e) se o conjunto de hipóteses formulado fosse Ho: 𝜇 = 2000 contra Ha: 𝜇 ≠ 2000, ao nível de significância</p><p>de 7% a Ho seria rejeitada.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>208</p><p>243</p><p>11. (FGV/2013 – SUDENE-PE) Para testar H0:   50 versus H1: > 50, em que  é a média populacional</p><p>de uma variável N(,2), uma amostra aleatória de tamanho 100 foi obtida e mostrou uma média amostral</p><p>igual a 50,7 com um desvio padrão amostral igual a 5.</p><p>O p‐valor aproximado associado a esses dados e a decisão ao nível de significância de 5% são,</p><p>respectivamente,</p><p>a) 0,01 e rejeitar Ho.</p><p>b) 0,08 e rejeitar Ho.</p><p>c) 0,08 e não rejeitar Ho.</p><p>d) 0,92 e rejeitar Ho.</p><p>e) 0,92 e não rejeitar Ho.</p><p>Nota: Para essa questão considere a tabela normal constante no final desta seção de questões.</p><p>12. (FGV/2014 – SEDUC-AM) Os diâmetros da seção reta de componentes cilíndricos produzidos por</p><p>uma determinada empresa são normalmente distribuídos. O processo industrial prevê uma média de 1 cm</p><p>e um desvio padrão de</p><p>0,1 cm para esses diâmetros.</p><p>Para avaliar se, num determinado momento, o processo ainda está ajustado para a média de 1 cm, o</p><p>controle de qualidade da empresa resolve adotar a seguinte estratégia: obter uma amostra aleatória de</p><p>tamanho 64 e rejeitar a hipótese H de que a média é igual a 1cm com base no intervalo de 95% de confiança</p><p>para a média. Obtida a amostra, verificou-se uma média amostral igual a 1,01 cm.</p><p>Supondo que o desvio padrão populacional continua igual a 0,1 cm, o intervalo de confiança para a média</p><p>e a respectiva decisão, ao nível de significância de 5%, são:</p><p>a) (0,9855, 1,0345), não rejeitar H</p><p>b) (0,9645, 1,0555), não rejeitar H</p><p>c) (0,9855, 1,0345), rejeitar H</p><p>d) (0,9645, 1,0555), rejeitar H</p><p>e) (0,9635, 1,0655), rejeitar H</p><p>Nota: Para essa questão considere a tabela normal constante no final desta seção de questões.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>209</p><p>243</p><p>Tabela da Distribuição Normal Padrão: P(Z 𝟕 (hipótese alternativa). O valor encontrado para a média amostral (�̅�) foi o maior valor tal que, ao nível</p><p>de significância de 5%, H0 não foi rejeitada. Tem-se que �̅� é igual a</p><p>a) 7,41</p><p>b) 7,21</p><p>c) 7,32</p><p>d) 7,24</p><p>e) 6,59</p><p>14. (FCC/2016 – Prefeitura de Teresina/PI) Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z μB. Sendo Z a estatística</p><p>apropriada ao teste e K o valor observado dessa estatística, sob H0, baseado nas amostras, a probabilidade</p><p>de Z ser maior do que K é igual a</p><p>a) 2,5%</p><p>b) 1,8%</p><p>c) 5,0%</p><p>d) 1,3%</p><p>e) 2,0%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>212</p><p>243</p><p>17. (FCC/2018 – TRT-SP) Nos registros dos últimos anos, verifica-se que o número médio de pessoas</p><p>atendidas em uma repartição pública por dia é igual a 20. Deseja-se testar a hipótese de que o número</p><p>médio de pessoas atendidas por dia (μ) em outra repartição independente da primeira é o mesmo que o</p><p>verificado na primeira repartição utilizando o teste t de Student. Foram formuladas então as seguintes</p><p>hipóteses: H₀: μ = 20 (hipótese nula) e H₁: μ ≠ 20 (hipótese alternativa).</p><p>Com base em 16 dias escolhidos aleatoriamente na segunda repartição obteve-se uma média igual a 22</p><p>pessoas atendidas por dia com um desvio padrão igual a 5. Se, tanto para a primeira repartição como para</p><p>a segunda, a distribuição da população formada pelo número de pessoas atendidas é normalmente</p><p>distribuída e de tamanho infinito, obtém-se que o valor da estatística t calculado para comparação com o</p><p>t tabelado da distribuição t de Student com os respectivos graus de liberdade apresenta valor de</p><p>a) 0,400</p><p>b) 1,250</p><p>c) 0,625</p><p>d) 1,600</p><p>e) 2,500</p><p>18. (FCC/2014 – Metrô-SP) Considere que o tempo que um usuário da linha de metrô violeta leva da</p><p>estação A até a estação B é uma variável aleatória com distribuição normal, com média μ e desvio padrão</p><p>desconhecido σ. Uma amostra aleatória com reposição de 25 usuários desta linha apresentou como tempo</p><p>total e soma dos quadrados dos tempos que os usuários levam para percorrer o trajeto de A até B, os</p><p>valores 750 min e 22716 (min)², respectivamente. Deseja-se testar a hipótese nula de que μ = 33 min contra</p><p>a hipótese alternativa de que μ</p><p>de modo aleatório declararam seu tempo</p><p>de trabalho semanal, obtendo-se para tempo médio e para desvio padrão, respectivamente, os valores 42</p><p>horas e 3 horas. Considere-se que a distribuição de frequência das horas trabalhadas pelos médicos é</p><p>normal.</p><p>Procedendo a um teste de hipóteses sobre a média para verificar a afirmação do sindicato sobre a média</p><p>de horas semanais trabalhada pelos médicos, cujas hipóteses são: H0: µx ≤ 40 contra H1: µx > 40, sendo o</p><p>valor de t calculado obtido por 𝒕 = �̅�−𝝁𝒔 × √𝒏 conclui-se que:</p><p>a) t = 1,33 e aceita-se H0 ao nível de significância de 10%.</p><p>b) t = 2,67 e rejeita-se H0 ao nível de 5%.</p><p>c) t = 2,67 e aceita-se H0 ao nível de 5%.</p><p>d) t = 3,23 e aceita-se H0 ao nível de 5%.</p><p>e) t = 3,23 e rejeita-se H0 ao nível de 20%.</p><p>Para resolver essa questão considere a tabela constante ao final desta seção, fornecida nessa prova.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>214</p><p>243</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>215</p><p>243</p><p>GABARITO</p><p>1. ERRADO</p><p>2. ERRADO</p><p>3. CERTO</p><p>4. LETRA B</p><p>5. CERTO</p><p>6. ERRADO</p><p>7. LETRA B</p><p>8. LETRA B</p><p>9. LETRA B</p><p>10. LETAR D</p><p>11. LETRA C</p><p>12. LETRA A</p><p>13. LETRA A</p><p>14. LETRA B</p><p>15. LETRA D</p><p>16. LETRA D</p><p>17. LETRA D</p><p>18. LETRA E</p><p>19. LETRA E</p><p>20. LETRA B</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>216</p><p>243</p><p>LISTA DE QUESTÕES – MULTIBANCAS</p><p>Testes para a Proporção</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2016 – TCE-PR) Por meio de uma pesquisa, estimou-se que, em uma população, o</p><p>percentual p de famílias endividadas era de 57%. Esse resultado foi observado com base em uma amostra</p><p>aleatória simples de 600 famílias.</p><p>Nessa situação, considerando a hipótese nula H0: p ≥ 60%, a hipótese alternativa H1: p 0,6, ao nível de significância de 5%, a região crítica aproximada</p><p>e a correspondente decisão serão:</p><p>Use: √𝟎, 𝟐𝟒 = 𝟎, 𝟓</p><p>a) (0,61; 0,64), não rejeitar H0</p><p>b) (0,61; 0,64), rejeitar H0</p><p>c) [0,627; ), rejeitar H0</p><p>d) (-; 0,627], rejeitar H0</p><p>e) [0,627, ), não rejeitar H0</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>218</p><p>243</p><p>Tabela da Distribuição Normal Padrão: P(Z 4</p><p>e) 2,5</p><p>7. LETRA A</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>221</p><p>243</p><p>LISTA DE QUESTÕES – MULTIBANCAS</p><p>Testes para a Distribuição Binomial</p><p>1. (FGV/2017 – IBGE) Um teste de hipóteses será realizado para verificar se uma moeda é, de fato,</p><p>honesta. Suspeita-se que, ao invés de um equilíbrio, P(Cara) = P(Coroa) = 0,5, há uma tendência para que</p><p>as chances sejam de 3:2 favorável a Cara. Assim sendo, as hipóteses formuladas são:</p><p>Ho: Moeda equilibrada (1:1)</p><p>Ha: Moeda desequilibrada (3:2)</p><p>A decisão deverá seguir um critério bem simples. A tal moeda será lançada quatro vezes, rejeitando-se a</p><p>hipótese nula caso aconteçam mais do que três Caras. Com tal critério, é correto afirmar que:</p><p>a) P(Erro Tipo I) = 1/8 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,125);</p><p>b) P(Erro Tipo I) = 0,25 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,25);</p><p>c) P(Erro Tipo I) = 3/16 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,4)4;</p><p>d) P(Erro Tipo I) = 1/16 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,6)4;</p><p>e) P(Erro Tipo I) = 3/8 e P(Erro Tipo II) = 1 - (0,75)4;</p><p>2. (FGV/2015 – TJ/RO) Considere o experimento que consiste no lançamento de uma moeda quatro</p><p>vezes. Para testar se a moeda é honesta, é feito um teste de hipóteses Ho: p = 0,5 contra Ha: p ≠ 0,5, onde</p><p>p é a proporção de caras. O critério de decisão estipula que se o número de caras for diferente de dois a</p><p>hipótese nula deve ser rejeitada.</p><p>Se, de fato, p = 0,25 a probabilidade de que o Erro do Tipo II seja cometido é:</p><p>a) 1/256;</p><p>b) 3/128;</p><p>c) 27/128;</p><p>d) 101/128;</p><p>e) 125/128.</p><p>3. (FGV/2014 – SEDUC/AM) Sabe-se que certa proporção populacional p de “sucessos” ou é igual a 0,2</p><p>ou é igual a 0,5. Para testar H0: p = 0,2 versus H1: p = 0,5, com base numa amostra aleatória de cinco</p><p>observações, será usado o seguinte critério: se o número de “sucessos” nessa amostra for maior do que 1,</p><p>rejeita-se H0. A probabilidade de erro tipo 2 desse critério é igual a</p><p>a) 0,05;</p><p>b) 0,1875;</p><p>c) 0,215;</p><p>d) 0,3785;</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>222</p><p>243</p><p>e) 0,5.</p><p>4. (FCC/2019 – AFAP) Em uma eleição para presidente de um clube estão inscritos somente dois</p><p>candidatos (X e Y). Um teste estatístico foi realizado para averiguar se a proporção p de associados do</p><p>clube que preferem X difere da proporção de associados do clube que preferem Y. Foram formuladas,</p><p>então, as hipóteses H0: p = 0,5 (hipótese nula, ou seja, as proporções das preferências por X e por Y são as</p><p>mesmas) e H1: p ≠ 0,5 (hipótese alternativa, ou seja, as proporções das preferências por X e por Y são</p><p>diferentes). Com base em uma amostra aleatória de tamanho 5 dos associados, com reposição, foi</p><p>estabelecida uma regra para o teste: “caso o número de associados da amostra que tem sua preferência</p><p>por X não pertencer ao conjunto {1, 2, 3, 4}, rejeita-se H0”:</p><p>Se α for o nível de significância desse teste, então,</p><p>a) 0,01 ≤ 𝛼 0,1 (hipótese alternativa), sendo p a probabilidade de um componente</p><p>sair com defeito. Se na verdade a probabilidade de 1 componente sair com defeito for igual a 20%, obtém-</p><p>se que a potência deste teste é, em%, igual a</p><p>a) 18,08</p><p>b) 5,23</p><p>c) 16,00</p><p>d) 14,85</p><p>e) 12,00</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>223</p><p>243</p><p>6. (FGV/2014 – DPE/RJ) Com o objetivo de avaliar o nível de satisfação dos cidadãos com os serviços</p><p>oferecidos pela Defensoria Pública é elaborado um teste de hipóteses, supondo, inicialmente, que 90% ou</p><p>mais dos usuários estão satisfeitos. Uma amostra de tamanho n = 2 deverá ser realizada e a hipótese não</p><p>refutada caso ambos os indivíduos se declarem satisfeitos. Contudo, há os que dizem que esse percentual</p><p>é, na verdade, de “apenas” 80%. Dadas essas informações, os erros do tipo I e II para o teste proposto são,</p><p>respectivamente, iguais a</p><p>a) 1 - (0,9)2 e (0,8)2;</p><p>b) (0,9)2 e 1 - (0,8)2;</p><p>c) 1 - (0,9)2 e 1 - (0,8)2;</p><p>d) (0,9)2 e (0,8)2;</p><p>e) 1 - 2(0,9)2 e 1 - (0,8)2.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>224</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>GABARITO</p><p>1. LETRA D 4. LETRA D</p><p>2. LETRA C 5. LETRA A</p><p>3. LETRA B 6. LETRA A</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>225</p><p>243</p><p>LISTA DE QUESTÕES - MULTIBANCAS</p><p>Teste para a Variância</p><p>1. (FCC/2016 – TRT/20ª Região) Com a utilização do teste do qui-quadrado, deseja-se averiguar se a</p><p>variância (σ²) de uma população normalmente distribuída e de tamanho infinito é igual a 2. Uma amostra</p><p>aleatória de tamanho 19 é extraída desta população obtendo-se uma variância amostral igual a 2,25.</p><p>Foram formuladas então as hipóteses H0: σ²= 2 (hipótese nula) e H1:σ² ≠ 2 (hipótese alternativa).</p><p>Admitindo-se um nível de significância 𝜶 e efetuando-se o teste de significância bilateral, tem-se, com</p><p>base nos dados da amostra, que o valor da estatística 𝓧𝒄𝒂𝒍𝒄𝟐 (qui-quadrado calculado) utilizado para a</p><p>conclusão do teste é igual a</p><p>a) 21,375</p><p>b) 13,500</p><p>c) 24,000</p><p>d) 20,250</p><p>e) 18,750</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>226</p><p>243</p><p>GABARITO</p><p>1. LETRA D</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>227</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>LISTA DE QUESTÕES – MULTIBANCAS</p><p>p-valor</p><p>CEBRASPE</p><p>1. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Alunos de um departamento de uma universidade estudaram</p><p>por dois livros diferentes, A e P. Foram retiradas amostras aleatórias simples dos que estudaram pelo livro</p><p>A e dos que estudaram pelo livro P, tendo sido observadas as notas dos alunos em um exame padronizado.</p><p>Um teste t de Student foi aplicado com a hipótese nula H0: μA = μP e a hipótese alternativa H1: μA > μP, em</p><p>que μA e μP representam, respectivamente, as médias populacionais das notas dos alunos, no exame</p><p>padronizado, que estudaram pelo livro A e pelo livro P. O valor p obtido foi 0,03.</p><p>A partir da situação apresentada, julgue os itens subsequentes, considerando o nível de significância de</p><p>0,05.</p><p>A hipótese H0 deve ser rejeitada, o que indica que μA > μP.</p><p>2. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Alunos de um departamento de uma universidade estudaram</p><p>por dois livros diferentes, A e P. Foram retiradas amostras aleatórias simples dos que estudaram pelo livro</p><p>A e dos que estudaram pelo livro P, tendo sido observadas as notas dos alunos em um exame padronizado.</p><p>Um teste t de Student foi aplicado com a hipótese nula H0: μA = μP e a hipótese alternativa H1: μA > μP, em</p><p>que μA e μP representam, respectivamente, as médias populacionais das notas dos alunos, no exame</p><p>padronizado, que estudaram pelo livro A e pelo livro P. O valor p obtido foi 0,03.</p><p>A partir da situação apresentada, julgue os itens subsequentes,</p><p>considerando o nível de significância de</p><p>0,05.</p><p>Se a hipótese alternativa fosse 𝐻1: 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝑃, a hipótese nula não seria rejeitada.</p><p>3. (Cebraspe/2017 – TCE-PE) Para avaliar se a proporção p de itens defeituosos enviados por um</p><p>fornecedor estava acima do valor pactuado de 0,025, um analista, a partir de uma amostra aleatória de</p><p>itens enviada por esse fornecedor, testou a hipótese nula H0: p  0,025 contra a hipótese alternativa H1: p</p><p>> 0,025, utilizando nível de significância 𝜶 = 1%. A respeito dessa situação hipotética, julgue o seguinte</p><p>item.</p><p>Caso o P-valor do teste efetuado pelo analista seja igual a 0,005, é correto concluir que a afirmação proposta</p><p>na hipótese nula seja verdadeira.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>228</p><p>243</p><p>4. (Cebraspe/2014 – TJ-SE) Com o propósito de produzir inferências acerca da proporção populacional</p><p>(p) de pessoas satisfeitas com determinado serviço oferecido pelo judiciário brasileiro, foi considerada</p><p>uma pequena amostra de 30 pessoas, tendo cada uma de responder 1, para o caso de estar satisfeita, ou</p><p>0, para o caso de não estar satisfeita. Os dados da amostra estão registrados a seguir.</p><p>0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1</p><p>Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.</p><p>Caso o p-valor do teste H0: p = 0,5 versus H1: p ≠ 0,5 seja igual a 0,0295, então, se a hipótese alternativa fosse</p><p>alterada para H1: p pQ2,</p><p>então a hipótese nula será rejeitada.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>233</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>8. (Cebraspe/2015 – FUB – Estatístico) Cada membro de uma amostra aleatória de alunos respondeu</p><p>ou sim ou não a uma das seguintes questões.</p><p>Q1: Se algum colega seu estivesse deprimido, você o encaminharia ao serviço de atendimento psicológico?</p><p>Q2: Se você estivesse deprimido, procuraria o serviço de atendimento psicológico?</p><p>Um teste qui-quadrado foi executado para analisar os dados com o nível de significância de 0,05 e hipótese</p><p>nula H1: pQ1 = pQ2, em que pQ1 e pQ2 são as proporções de alunos que</p><p>responderam sim às questões Q1 e</p><p>Q2 respectivamente na população.</p><p>Com base nessa situação hipotética, julgue o item que se segue.</p><p>O valor da estatística qui-quadrado depende do fato de o teste aplicado ser de aderência, de independência</p><p>ou de homogeneidade</p><p>FGV</p><p>9. (FGV/2019 – DPE-RJ) O nível de escolaridade dos cidadãos que necessitam recorrer à Defensoria</p><p>Pública do RJ segue, supostamente, uma distribuição multinomial com parâmetros p1 = 0,4, p2 = 0,3, p3 =</p><p>0,2 e p4 = 0,1, que são as probabilidades de que pertençam à classe menos instruída (Cp1) até a classe</p><p>mais instruída (Cp4). Para testar a veracidade da suposição, é extraída uma amostra com os seguintes</p><p>resultados:</p><p>São fornecidas as informações da distribuição Qui-Quadrado:</p><p>Caso um teste de aderência seja aplicado para a hipótese de que a distribuição é mesmo uma multinomial,</p><p>a decisão é que:</p><p>a) rejeita-se a hipótese de distribuição multinomial ao nível de significância 𝛼 = 0,05;</p><p>b) não é possível rejeitar a hipótese de distribuição multinomial ao nível de significância 𝛼 = 0,10;</p><p>c) não é possível rejeitar a hipótese de distribuição multinomial ao nível de significância 𝛼 = 0,06;</p><p>d) rejeita-se a hipótese de distribuição multinomial ao nível de significância 𝛼 = 0,025</p><p>e) não é possível rejeitar a hipótese de distribuição multinomial ao nível de significância 𝛼 = 0,04.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>234</p><p>243</p><p>FCC</p><p>10. (FCC/2014 – CNMP) Durante uma semana, observa-se a quantidade de determinadas ocorrências,</p><p>esperando que diariamente ocorram 20 destes tipos de ocorrências. Para esta análise, foram levantados</p><p>os seguintes dados em uma semana escolhida aleatoriamente:</p><p>Deseja-se saber, ao nível de significância de α, se as frequências são iguais em todos os dias da semana,</p><p>utilizando o teste do qui-quadrado. Foram formuladas as hipóteses H0: as frequências são iguais em todos</p><p>os dias da semana (hipótese nula) e H1: as frequências são diferentes. Observação: o valor crítico do qui-</p><p>quadrado tabelado da distribuição qui-quadrado, ao nível de significância de 𝜶 e com o respectivo número</p><p>de graus de liberdade do teste, apresentou um valor superior ao valor do qui-quadrado observado.</p><p>O valor do qui-quadrado observado é</p><p>a) inferior ao número de graus de liberdade do teste e H0 não é rejeitada.</p><p>b) inferior ao número de graus de liberdade do teste e H0 é rejeitada.</p><p>c) superior ao número de graus de liberdade do teste e H0 não é rejeitada.</p><p>d) superior ao número de graus de liberdade do teste e H0 é rejeitada.</p><p>e) superior ao número de graus de liberdade do teste e H0 é rejeitada para qualquer nível de significância 𝛽 tal 𝛼</p><p>de Manaus/AM) De um estudo, obtiveram-se informações de uma amostra aleatória</p><p>extraída de uma população. Em um teste de hipóteses, foram formuladas as hipóteses Hₒ (hipótese nula) e</p><p>Hₗ (hipótese alternativa) para analisar um parâmetro da população com base nos dados da amostra. O nível</p><p>de significância deste teste corresponde à probabilidade de</p><p>a) não rejeitar Hₒ, dado que Hₒ é falsa.</p><p>b) rejeitar Hₒ, dado que Hₒ é falsa</p><p>c) rejeitar Hₒ, dado que Hₒ é verdadeira</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>17</p><p>243</p><p>d) não rejeitar Hₒ, independente de Hₒ ser falsa ou verdadeira</p><p>e) rejeitar Hₒ, independente de Hₒ ser falsa ou verdadeira</p><p>Comentários:</p><p>O nível de significância (𝛼), ou seja, a probabilidade do erro tipo I, corresponde à probabilidade de rejeitar a</p><p>hipótese nula, sendo ela verdadeira.</p><p>Gabarito: C</p><p>(FGV/2013 – TJ-AM) A respeito do erro do tipo I, assinale a afirmativa correta.</p><p>a) é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando a mesma é verdadeira.</p><p>b) é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando a mesma é falsa.</p><p>c) é o nível de significância de um teste de hipóteses.</p><p>d) é o evento de rejeitar a hipótese nula quando esta é verdadeira.</p><p>e) é o evento de não rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa.</p><p>Comentários:</p><p>O erro tipo I é o evento de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira, como indicado na alternativa D,</p><p>que é diferente da sua probabilidade.</p><p>As alternativas A e C confundem o evento erro tipo I com a sua probabilidade. Tanto a probabilidade de se</p><p>rejeitar a hipótese nula, quanto o nível de significância 𝛼 corresponde à probabilidade do erro tipo I.</p><p>A alternativa B define o poder do teste, que é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, sendo ela falsa,</p><p>igual a 1 − 𝛽.</p><p>Já a alternativa E define o erro tipo II, que é o evento de não rejeitar a hipótese nula, sendo ela falsa.</p><p>Gabarito: D</p><p>(2018 – HCPA/RS) Considere as afirmações abaixo em relação ao erro em pesquisa.</p><p>I - O erro tipo I acontece quando a hipótese nula é rejeitada incorretamente.</p><p>II - Alfa define a probabilidade aceitável de falsos-positivos em um teste de hipótese.</p><p>III - O erro tipo II é igual a 1 menos alfa.</p><p>IV - O poder do estudo é igual a 1 menos beta.</p><p>Quais estão corretas?</p><p>a) Apenas I</p><p>b) Apenas IV</p><p>c) Apenas I e II</p><p>d) Apenas I, II e IV</p><p>e) Apenas II, III e IV</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>18</p><p>243</p><p>Em relação à afirmação I, o erro tipo I corresponde à rejeição da hipótese nula sendo ela verdadeira.</p><p>Portanto, a afirmação I está correta.</p><p>Em relação à afirmação II, 𝛼 representa a probabilidade do erro tipo I, definida como aceitável. Considerando</p><p>que um resultado positivo do teste é a rejeição da hipótese nula, 𝛼 representa “falsos-positivos”. Portanto,</p><p>a afirmação II está correta.</p><p>Em relação à afirmação III, a probabilidade do erro tipo II (𝛽) não é complementar de 𝛼. Portanto, a</p><p>afirmação III está incorreta.</p><p>Em relação à afirmação IV, o poder do teste é dado por 1 − 𝛽, portanto a afirmação IV está correta.</p><p>Gabarito: D</p><p>Função Potência</p><p>A função potência é a função que representa o poder do teste (1 − 𝛽), o qual corresponde à probabilidade</p><p>de rejeitar a hipótese nula, sendo ela falsa. Ela é descrita em função do parâmetro verdadeiro 𝜇1, podendo</p><p>ser denotada por 𝜋: 𝜋(𝜇1)</p><p>Quanto maior a diferença entre o parâmetro descrito na hipótese nula 𝜇𝑜 e o parâmetro verdadeiro 𝜇1,</p><p>maior será o poder do teste.</p><p>Para visualizar isso, vamos considerar o mesmo exemplo em que a hipótese nula é 𝝁𝒐 = 𝟐, a qual será</p><p>rejeitada se a média amostral observada for �̅� 2). Nesse tipo de situação, quanto maior for o verdadeiro parâmetro,</p><p>maior o poder do teste. Assim, a função potência é estritamente crescente, isto é, ela apenas cresce:</p><p>Por fim, no teste bilateral, o parâmetro verdadeiro pode ser menor ou maior do que o parâmetro indicado</p><p>na hipótese nula (por exemplo, 𝐻𝑎: 𝜇 ≠ 2). Nesses casos, se o parâmetro verdadeiro for inferior, então</p><p>quanto menor o verdadeiro parâmetro, maior o poder do teste; e se o parâmetro verdadeiro for superior,</p><p>então quanto maior o verdadeiro parâmetro, maior o poder do teste. Logo, a função potência é decrescente</p><p>para 𝜇1 𝜇𝑜, como ilustrado abaixo:</p><p>Portanto, em testes bilaterais, a função potência não é estritamente monótona, isto é, ela não apresenta</p><p>um único sentido (crescente ou decrescente).</p><p>𝜋</p><p>𝜇1</p><p>Teste à Esquerda</p><p>𝜋</p><p>𝜇1</p><p>Teste à Direita</p><p>𝜋</p><p>𝜇1</p><p>Teste Bilateral</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>20</p><p>243</p><p>Além da diferença entre os parâmetros, o poder do teste também é afetado por outros 2 fatores:</p><p>o Tamanho da amostra 𝒏: quanto maior o tamanho da amostra, maior o poder do teste;</p><p>o Nível de significância 𝜶: quanto maior o nível de significância, maior o poder do teste.</p><p>O aumento de cada um desses dois fatores diminui a região de não rejeição. Assim, a probabilidade de não</p><p>rejeitar a hipótese nula sendo ela falsa (𝛽) se torna menor e, consequentemente, o poder do teste (1 − 𝛽)</p><p>se torna maior.</p><p>Para o nosso exemplo, em que a hipótese alternativa é 𝜇</p><p>1. LETRA A</p><p>2. ERRADO</p><p>3. ERRADO</p><p>4. CERTO</p><p>5. ERRADO</p><p>6. CERTO</p><p>7. ERRADO</p><p>8. ERRADO</p><p>9. LETRA A</p><p>10. LETRA C</p><p>11. LETRA B</p><p>12. LETRA E</p><p>13. LETRA D</p><p>14. LETRA B</p><p>15. LETRA E</p><p>16. LETRA D</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>240</p><p>243</p><p>LISTA DE QUESTÕES – MULTIBANCAS</p><p>Outros Testes Não Paramétricos</p><p>1. (CESPE/2010 – ABIN) Com relação a métodos não paramétricos, julgue o item a seguir.</p><p>O teste de Wilcoxon é o equivalente não paramétrico do teste t-Student para comparação de duas médias,</p><p>e o teste de Kruskal-Wallis é o equivalente não paramétrico da análise de variâncias para um fator.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>241</p><p>243</p><p>GABARITO</p><p>1. CERTO</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>242</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>qualquer valor do</p><p>parâmetro verdadeiro 𝜇1.</p><p>Assim, dizemos que o teste para n = 100 é mais poderoso do que para n = 25.</p><p>Na figura anterior, também podemos observar que ambas as funções assumem o menor valor (ambas a 5%)</p><p>para 𝜇1 = 60, isto é, quando a hipótese nula é verdadeira. Esse valor corresponde ao nível de significância 𝛼, também chamado de tamanho do teste.</p><p>Já, o teste uniformemente mais poderoso (UMP) é aquele que maximiza o poder do teste (minimiza 𝛽) para</p><p>testar determinada hipótese nula 𝐻𝑜: 𝜃 ∈ 𝛩𝑜 frente à determinada hipótese alternativa 𝐻1: 𝜃 ∈ 𝛩1,</p><p>considerando determinado nível de significância 𝛼 (ou tamanho 𝛼).</p><p>O teste UMP atende às seguintes condições:</p><p>• a probabilidade de rejeitar a hipótese nula, quando ela é falsa, é maior do que a de qualquer outro</p><p>teste, com o mesmo nível de significância 𝛼.</p><p>Sendo 𝑌∗ o teste UMP e 𝑌 qualquer outro teste com o mesmo nível de significância, temos: 𝜋𝑌∗(𝜃) ≥ 𝜋𝑌(𝜃), ∀ 𝜃 ∈ 𝛩1</p><p>• a probabilidade de rejeitar a hipótese nula, quando ela é verdadeira, é, no máximo2, igual a 𝛼: sup𝜃∈𝛩𝑜 𝜋𝑌∗(𝜃) = 𝛼</p><p>Os testes UMP só existem em situações especiais, por exemplo, para distribuições da família exponencial.</p><p>Função potência</p><p>Função do poder do teste (1 − 𝛽), que varia com o parâmetro verdadeiro</p><p>O poder do teste aumenta com o aumento dos seguintes fatores:</p><p>• Diferença entre o parâmetro verdadeiro e o parâmetro da hipótese nula;</p><p>• Tamanho amostral 𝑛;</p><p>• Nível de significância 𝛼 (ou tamanho do teste).</p><p>2 O termo “sup” representa supremo, sendo definido como o menor limite superior de um conjunto de dados.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>22</p><p>243</p><p>(CESPE/2019 – TJ-AM) A respeito dos testes de hipóteses, julgue o próximo item.</p><p>O poder de um teste estatístico varia conforme o tamanho amostral.</p><p>Comentários:</p><p>O poder do teste, que representa a probabilidade de rejeitar a hipótese nula, quando ela é falsa, dado por 1 − 𝛽, aumenta conforme o tamanho da amostra aumenta, conforme o nível de significância 𝜶 aumenta,</p><p>e conforme a diferença entre o valor do parâmetro observado 𝜃 e o valor do parâmetro para a hipótese nula 𝜃0 aumenta.</p><p>Portanto, a afirmativa está correta.</p><p>Gabarito: Certa</p><p>(FGV/2019 – DPE-RJ – Adaptada) A respeito da formulação, execução, decisão e critérios de avaliação de</p><p>testes de hipóteses, julgue as afirmativas a seguir:</p><p>I – Em testes bilaterais, envolvendo a distribuição normal, a função potência é estritamente monótona.</p><p>II – Um teste é uniformemente mais poderoso para dado nível de significância se esse nível minimiza a</p><p>probabilidade do erro do Tipo II para valores compatíveis com Ho.</p><p>Comentários:</p><p>Em relação à primeira afirmativa, a função potência para testes bilaterais decresce para valores menores</p><p>que a média e cresce para valores maiores que a média.</p><p>Portanto, a função não é estritamente monótona e a afirmativa está incorreta.</p><p>Em relação à segunda afirmativa, o teste é considerando uniformemente mais poderoso, para determinado</p><p>nível de significância (𝛼), quando maximizar o poder do teste (ou minimizar o erro tipo II) para testar a</p><p>hipótese nula frente à hipótese alternativa.</p><p>Logo, o item II está correto.</p><p>Resposta: Item I errado; Item II certo.</p><p>(FGV/2022 – PC/AM) Em relação ao poder de um teste de hipóteses, NÃO é possível afirmar que</p><p>a) é definido como a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, quando essa é falsa.</p><p>b) é igual à unidade deduzida da probabilidade de erro do tipo II.</p><p>c) quanto maior o tamanho da amostra, maior o poder do teste de hipóteses.</p><p>d) é afetado pelo verdadeiro valor do parâmetro que é testado.</p><p>e) independe do nível de significância fixado pelo pesquisador.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>23</p><p>243</p><p>Comentários:</p><p>A questão pede a alternativa INCORRETA a respeito do poder do teste.</p><p>Em relação à alternativa A, o poder do teste corresponde à probabilidade de rejeitar a hipótese nula, sendo</p><p>ela falsa. Logo, a alternativa A está correta.</p><p>Em relação à alternativa B, o poder do teste é o complementar da probabilidade do erro tipo II. Ou seja,</p><p>sendo 𝛽 a probabilidade do erro tipo II, o poder do teste é 1 − 𝛽. Logo, a alternativa B está correta.</p><p>Em relação à alternativa C, quanto maior o tamanho da amostra (mantendo as demais características</p><p>constantes), maior o poder do teste, de fato. Afinal, o poder do teste corresponde a uma decisão correta e</p><p>quanto maior o tamanho da amostra, mais precisa é a estimativa e, consequentemente, maior a</p><p>probabilidade de tomar uma decisão correta. Logo, a alternativa C está correta.</p><p>Em relação à alternativa D, a função do poder do teste (chamada função potência) é dependente do valor</p><p>verdadeiro do parâmetro: quanto maior a diferença entre o parâmetro verdadeiro e o parâmetro indicado</p><p>na hipótese nula, maior o poder do teste. Logo, a alternativa D está correta.</p><p>Em relação à alternativa E, o nível de significância também influencia o poder do teste - quanto maior o nível</p><p>de significância, maior o poder do teste. Afinal, o nível de significância está associado à região crítica e,</p><p>consequentemente, à probabilidade de rejeição da hipótese nula. Logo, a alternativa E está incorreta.</p><p>Gabarito: E</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>24</p><p>243</p><p>TESTES DE HIPÓTESES PARA DISTRIBUIÇÕES UNIFORMES</p><p>As distribuições contínuas uniformes são aquelas que assumem um valor constante em determinado</p><p>intervalo (𝑎, 𝑏) e 0 para todos os demais valores, como ilustrado a seguir:</p><p>Como a área sob toda função representa a probabilidade de todo o Espaço Amostral (U) com probabilidade</p><p>P(U) = 100% = 1, temos: Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 (𝑏 − 𝑎) × 𝑘 = 1</p><p>𝑘 = 1𝑏 − 𝑎</p><p>Ou seja, os limites do intervalo são os únicos parâmetros da distribuição.</p><p>Assim, os testes de hipóteses com esse tipo de distribuição consistem em aceitar a hipótese nula relativa aos</p><p>parâmetros da distribuição (𝑎, 𝑏), caso o valor observado esteja em determinado intervalo e rejeitar a</p><p>hipótese nula, caso contrário.</p><p>Por exemplo, vamos supor que a hipótese nula seja de que uma distribuição uniforme esteja definida no</p><p>intervalo entre a = 1 e b = 5, a qual será rejeitada se o valor observado for 𝑋 > 4.</p><p>Para calcular o nível de significância 𝜶 desse teste, isto é, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula sendo</p><p>ela verdadeira, precisamos da probabilidade 𝑃(𝑋 > 4), considerando a distribuição uniforme no intervalo</p><p>(1,5) (parâmetros definidos na hipótese nula).</p><p>A probabilidade associada a um intervalo genérico (m, o) também pode ser calculada utilizando-se a fórmula</p><p>da área:</p><p>a b</p><p>k</p><p>a b</p><p>k</p><p>m o</p><p>𝑃(𝑚</p><p>de obter</p><p>um resultado no intervalo 𝑃(𝑋 ≤ 4), considerando a distribuição uniforme no intervalo (2, 6):</p><p>𝛽 = 𝑃(2 10</p><p>(hipótese alternativa).</p><p>O critério de decisão consiste em rejeitar H₀ caso o valor observado exceder 8. A probabilidade de ser</p><p>cometido um erro tipo II, admitindo que o verdadeiro valor de θ seja 12, é de</p><p>a) 2/3</p><p>b) 4/5</p><p>c) 1/2</p><p>d) 3/4</p><p>e) 5/6</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>26</p><p>243</p><p>==1365fc==</p><p>A questão forneceu os parâmetros da verdadeira distribuição, para que seja possível calcular a probabilidade</p><p>do erro tipo II 𝛽, isto é, a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula, sendo ela falsa.</p><p>O enunciado informa que a hipótese nula será rejeitada se o valor observado exceder 8. Logo, a hipótese</p><p>nula não será rejeitada se o valor observado não exceder 8, ou seja, 𝑋 ≤ 8.</p><p>Considerando que a verdadeira distribuição corresponde ao intervalo (0,12), então 𝑃(𝑋 ≤ 8), que é igual à</p><p>probabilidade de 0 ≤ 𝑥 ≤ 8, é dada por: 𝛽 = 𝑃(𝑋 ≤ 8) = 𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 8) = 8 − 012 − 0 = 812 = 23</p><p>Gabarito: A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>27</p><p>243</p><p>TESTES DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA</p><p>Nessa seção, veremos os testes de hipóteses para a média de populações, que podem ter a variância</p><p>conhecida ou não. Essas duas situações estão associadas a distribuições distintas de probabilidade: no</p><p>primeiro caso, utilizamos a distribuição normal e, no segundo, a distribuição de t-Student.</p><p>Teste para Média com Variância Conhecida</p><p>Quando a população tiver variância conhecida 𝝈𝟐 e distribuição normal, a média amostral �̅� também terá</p><p>distribuição normal. Se a população apresentar outra distribuição, mas o tamanho da amostra for</p><p>suficientemente grande, também podemos aproximar a distribuição da média amostral a uma normal</p><p>(Teorema Central do Limite). Assim, utilizamos a seguinte transformação entre a normal e a normal padrão:</p><p>𝑧 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜</p><p>Os testes que levam em consideração uma distribuição normal (ainda que seja por aproximação) são</p><p>chamados de Testes Z.</p><p>Para calcular os limites das regiões RC e RNR, partimos de um nível de confiança 1 − 𝛼 fornecido (ou do nível</p><p>de significância 𝛼) e do tipo de teste (bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral à direita). Com essas</p><p>informações, calculamos o valor de 𝑧 que corresponde ao limite entre a região de não rejeição e a região</p><p>crítica, que podemos chamar de 𝒛𝑪 (𝑧 crítico).</p><p>No caso do teste bilateral, haverá dois valores de 𝑧𝐶 (um à esquerda e outro à direita). Como as regiões</p><p>críticas de cada lado são do mesmo tamanho, então, pela simetria da curva normal padrão, os valores críticos</p><p>serão iguais em módulo (ou seja, terão o mesmo valor absoluto), porém um será negativo e outro positivo.</p><p>Por exemplo, vamos supor que o nível de confiança desejado seja 1 − 𝛼 = 90% (ou seja, nível de</p><p>significância 𝛼 = 10%) em um teste bilateral, conforme ilustrado a seguir.</p><p>LSUP LINF</p><p>𝑅𝑁𝑅 1 − 𝛼 = 90%</p><p>𝑅𝐶 𝛼 2⁄ = 5% 𝜇</p><p>𝑅𝐶 𝛼 2⁄ = 5%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>28</p><p>243</p><p>Precisamos dos valores que delimitam 5% da distribuição abaixo de LINF e 5% acima de LSUP. Pela simetria da</p><p>normal padrão, o limite superior estará associado a um valor crítico da normal padrão 𝑧𝐶 e o limite inferior</p><p>a −𝑧𝐶.</p><p>A seguir, temos um excerto da tabela normal que apresenta as probabilidades 𝑃(0 0) = 50%.</p><p>Então, para que 5% da distribuição seja superior a 𝑧𝐶, precisamos buscar o valor de 𝑧𝐶 que delimite uma</p><p>probabilidade de 50% - 5% = 45% entre 0 e 𝑧𝐶: 𝑃(0 0) − 𝑃(𝑍 > 𝑧𝐶) = 50% − 5% = 45% = 0,45</p><p>Pela tabela anterior, observamos que o valor mais próximo é 𝑧𝐶 = 1,64, pois 𝑃(0 2,41.</p><p>A razão 𝑧𝑡 = �̅�−𝜇𝜎�̅� calculada com base na média amostral �̅� observada no teste pode ser</p><p>chamada estatística do teste.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>30</p><p>243</p><p>Outra forma de decidir se vamos rejeitar ou não a hipótese nula é comparar a estatística do teste (também</p><p>chamado de escore reduzido observado) com o valor crítico da normal padrão 𝑧𝐶, em vez de comparar �̅� e</p><p>os limites superior/inferior estabelecidos, como fizemos anteriormente.</p><p>Assim, a hipótese nula será rejeitada se a estatística do teste for maior que o limite crítico superior 𝑧𝐶 ou</p><p>menor que o limite crítico inferior −𝑧𝐶. Como esses limites</p><p>possuem o mesmo valor absoluto, basta</p><p>comparar o valor absoluto da estatística com o valor crítico absoluto 𝒛𝑪 e rejeitar a hipótese nula se a</p><p>estatística for superior.</p><p>Vamos supor que, no exemplo acima, tenhamos observado �̅� = 1,55. Como 1,55 𝑧𝐶, rejeitamos a hipótese inicial.</p><p>(2019 – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba) Um atleta, querendo levantar</p><p>dinheiro para participar de campeonatos, compra uma máquina de empacotar biscoitos caseiros em</p><p>embalagens de 300g. Para aferir se a máquina está embalando corretamente o atleta tomou uma amostra</p><p>de 1500 embalagens, que apresentou uma média de 285g e desvio padrão de 15g. Com os resultados do</p><p>experimento realizado pelo atleta proporcionam evidências suficientes para concluir que a máquina não está</p><p>trabalhando conforme o esperado. Nível de confiança de 99%. Sabendo que F(z) é a função de distribuição</p><p>acumulada da normal padrão, onde F(1,3) ≅ 0,90, F(1,64) ≅ 0,95, F(1,96) ≅ 0,975, F(2,58) ≅ 0,995</p><p>Observando o problema acima, responda, qual teste deve ser realizado e quais os valores críticos?</p><p>a) Teste bilateral e valores críticos 1,96 e -1,96</p><p>b) Teste bilateral e valores críticos 1,3 e -1,3</p><p>c) Teste unilateral à esquerda e valor crítico igual a 2,33</p><p>d) Teste unilateral à direita e valor crítico igual a 2,33</p><p>e) Teste bilateral e valores críticos 2,58 e -2,58</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>31</p><p>243</p><p>Nesse caso, a máquina precisa empacotar corretamente, nem a mais (senão, o atleta terá prejuízo), nem a</p><p>menos (senão, o cliente será lesado). Portanto, o teste deve ser bilateral.</p><p>Para um nível de confiança 1 − 𝛼 = 99%, isto é, nível de significância de 𝛼 = 1%, a área á direita do limite</p><p>superior (e à esquerda do limite inferior) deve ser 𝛼 2⁄ = 0,5%, como ilustrado a seguir.</p><p>Considerando que a tabela padrão apresentada apresenta a função de distribuição acumulada, precisamos</p><p>do valor de z que corresponde a uma probabilidade acumulada F(z) = P(Z ≤ z) = 0,5% + 99% = 99,5%.</p><p>Pela tabela, vemos que esse valor é z = 2,58, pois F(2,58) ≅ 0,995.</p><p>Portanto, os valores críticos, na curva normal padrão, são -2,58 e 2,58.</p><p>Gabarito: E.</p><p>(VUNESP/2019 – TJ-SP) Um teste de hipóteses consistirá em testar, ao nível de significância de 5%, se a vida</p><p>média µ das lâmpadas produzidas por uma indústria é igual a 2 000 horas, em face da hipótese alternativa</p><p>de µ ser diferente de 2 000 horas. A população das vidas das lâmpadas produzidas é normalmente</p><p>distribuída, de tamanho infinito e variância conhecida. Com base em uma amostra aleatória de 100 lâmpadas</p><p>da população que apresentou uma vida média de 2 050 horas, foi realizado o teste. Seja z o valor do escore</p><p>da distribuição normal padrão (Z) tal que a probabilidade P(ǀZǀ ≤ z) = 95%. O valor do escore reduzido</p><p>encontrado, por meio dos dados da amostra, para comparar com o valor de z foi igual a 2,5.</p><p>O desvio padrão populacional é de</p><p>a) 500 horas</p><p>b) 400 horas</p><p>c) 280 horas</p><p>d) 100 horas</p><p>e) 200 horas</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado apresenta os seguintes dados:</p><p>o Média 𝜇 = 2000 (hipótese nula a ser testada);</p><p>o Tamanho da amostra 𝑛 = 100;</p><p>o Valor observado �̅� = 2050; e</p><p>o Escore reduzido encontrado (estatística do teste): 𝑧 = 2,5.</p><p>Para calcular o desvio padrão populacional 𝜎, com base nesses dados, devemos utilizar a transformação</p><p>entre a normal e a normal padrão:</p><p>LSUP LINF</p><p>𝑅𝑁𝑅 1 − 𝛼 = 99%</p><p>𝑅𝐶 𝛼 2⁄ = 0,5% 𝜇</p><p>𝑅𝐶 𝛼 2⁄ = 0,5%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>32</p><p>243</p><p>𝑧 = �̅� − 𝜇𝜎√100</p><p>Substituindo os dados fornecidos, temos: 2,5 = 2050 − 2000𝜎10</p><p>2,5. 𝜎10 = 50 𝜎 = 50 × 4 = 200</p><p>Gabarito: E</p><p>(2018 – Economista da Secretaria de Estado de Saúde/DF) O preenchimento automático de garrafas de água</p><p>de uma determinada marca segue o modelo de distribuição normal com média µ = 500 ml e desvio padrão</p><p>de 20 mL. Em uma amostra de 4 garrafas, foi encontrado o volume médio de 485 mL.</p><p>Aplicando-se o teste de hipótese: 𝐻0: 𝜇 = 500 ml 𝐻1: 𝜇 600</p><p>Suponha que o tamanho da amostra seja n = 100, a variância seja conhecida e igual a σ2 = 400 e a</p><p>probabilidade de ocorrer o erro do tipo I, 2,5%.</p><p>1,48</p><p>𝛼 = 7%</p><p>1 − 𝛼 = 93%</p><p>1,5</p><p>1,48</p><p>𝛼 = 5%</p><p>1 − 𝛼 = 95%</p><p>1,5</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>34</p><p>243</p><p>O poder do</p><p>teste, quando a média, sob a hipótese alternativa, for 𝜇 = 608 é, aproximadamente:</p><p>a) 82,3%;</p><p>b) 87,2%;</p><p>c) 92,2%;</p><p>d) 97,7%;</p><p>e) 100%.</p><p>Para resolver essa questão, considere a tabela normal padrão P(Z > Z0) fornecida na prova, parcialmente</p><p>replicada a seguir.</p><p>Comentários:</p><p>Essa questão trabalha pede o poder do teste. O primeiro passo é calcularmos o limite da região crítica,</p><p>considerando o parâmetro indicado na hipótese nula 𝜇, sabendo que se trata de um teste unilateral à direita</p><p>(limite crítico superior somente): 𝐿 = 𝜇 + 𝑧. 𝜎√𝑛</p><p>Para isso, o enunciado informa que:</p><p>• O parâmetro indicado na hipótese nula é 𝜇 = 600;</p><p>• A variância da população é σ2 = 400, logo o desvio padrão é 𝜎 = √400 = 20;</p><p>• O tamanho da amostra é 𝑛 = 100, logo a raiz quadrada é √𝑛 = 10.</p><p>Para obtermos o valor de z, o enunciado informa que a probabilidade de ocorrer o erro tipo I (nível de</p><p>significância) é 𝛼 = 2,5% = 0,025. Assim, precisamos do valor de Z0 tal que P(Z > Z0) = 0,025:</p><p>Z0</p><p>𝛼 = 2,5%</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>35</p><p>243</p><p>Pela tabela, observamos que Z0 = 1,96 ≅ 2. Agora, podemos encontrar o limite superior:</p><p>𝐿 = 600 + 2 × 2010 = 600 + 4 = 604</p><p>O poder do teste corresponde à probabilidade de rejeitar a hipótese nula (ou seja, de observarmos um</p><p>resultado maior que esse limite), considerando que o parâmetro verdadeiro é 𝜇 = 608 (hipótese nula falsa).</p><p>Para isso, utilizamos a fórmula da transformação para 𝐿 = 604, considerando o parâmetro verdadeiro:</p><p>𝑧 = 604 − 6082010 = −42 = −2</p><p>Assim, o poder do teste é 1 − 𝛽 = 𝑃(𝑍 > −2), ilustrada a seguir:</p><p>Pela simetria da normal padrão, temos: 𝑃(𝑍 2)</p><p>Pela tabela observamos que 𝛽 = 𝑃(𝑍 > 2) = 0,0228.</p><p>Logo, o poder do teste é: 1 − 𝛽 = 1 − 0,0228 = 0,9772 ≅ 97,7%</p><p>Gabarito: D</p><p>Teste para Média com Variância Desconhecida</p><p>Quando a variância da população for desconhecida, precisamos estimá-la pela variância amostral.</p><p>O estimador não tendencioso para a variância (variância amostral) é: 𝑠2 = ∑ (𝑋𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1𝒏 − 𝟏</p><p>Em que 𝑛 é o tamanho da amostra.</p><p>-2</p><p>Poder do teste</p><p>𝛽</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>36</p><p>243</p><p>Alternativamente, podemos calcular o estimador não tendencioso para a variância como: 𝑠2 = (∑ 𝑥2𝑛 − �̅�2) × 𝑛𝑛−1</p><p>Que decorre da fórmula da variância populacional 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2.</p><p>Como dividimos por 𝑛, na fórmula da variância populacional, e por 𝑛 − 1, na fórmula da</p><p>variância amostral, precisamos multiplicar a fórmula da variância populacional por 𝒏 e</p><p>dividir por 𝒏 − 𝟏, para obter a variância amostral.</p><p>Esse estimador vale para populações infinitas OU amostras extraídas com reposição.</p><p>Caso a população seja finita de tamanho 𝑁, e a amostra seja extraída sem reposição, é necessário aplicar o</p><p>fator de correção, multiplicando a fórmula da variância amostral por</p><p>𝑵−𝒏𝑵−𝟏.</p><p>Com a estimativa para a variância populacional, calculamos a estimativa para a variância da média amostral</p><p>(basta substituir 𝜎2 por 𝑠2, na fórmula da variância da média amostral, que conhecemos): 𝑠�̅�2 = 𝑠2𝑛</p><p>E o desvio padrão da média amostral será (a raiz quadrada):</p><p>𝑠�̅� = √𝑠�̅�2 = √𝑠2𝑛</p><p>𝑠�̅� = 𝑠√𝑛</p><p>Quando a população seguir distribuição normal (ou quando o tamanho da amostra permitir essa</p><p>aproximação), mas com variância desconhecida, utilizamos a distribuição t-Student, que é similar à normal,</p><p>porém mais achatada no centro e com caudas mais largas, ou seja, apresenta maior variabilidade.</p><p>Por ser baseado nessa distribuição de t-Student, esse teste pode ser chamado de teste T.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 15</p><p>Polícia Federal (Agente de Polícia) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>37</p><p>243</p><p>Sabendo que a média da distribuição é o parâmetro 𝝁 indicado na hipótese nula, a estatística do teste, que</p><p>corresponde à transformação da média amostral observada �̅� para a distribuição padronizada, é:</p><p>𝑡 = �̅�−𝜇𝑠�̅� = �̅�−𝜇𝑠√𝑛</p><p>Essa estatística deve ser comparada ao valor crítico tabelado 𝑡𝐶, considerando o nível de significância</p><p>desejado, o tipo de teste (bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral à direita) e 𝒏 − 𝟏 graus de liberdade.</p><p>Alternativamente, podemos utilizar a fórmula da transformação para calcular os limites das regiões RC/RNR,</p><p>considerando o valor crítico 𝑡𝐶.</p><p>Reorganizando a expressão acima, obtemos a fórmula para os limites críticos:</p><p>𝐿 = 𝜇 ± 𝑡𝐶 × 𝑠�̅� = 𝜇 ± 𝑡𝐶 × 𝑠√𝑛</p><p>Por exemplo, suponha o mesmo nível de confiança 1 − 𝛼 = 90% do nosso exemplo anterior, um teste</p><p>bilateral e uma amostra de tamanho 𝑛 = 5.</p><p>Nessa situação, precisamos do valor de 𝑡, considerando 𝑛 − 1 = 4 graus de liberdade.</p><p>A seguir, temos parte da tabela de t-Student, que apresenta os valores de 𝑡 para os quais as probabilidades 𝑃(𝑇</p>