Exercícios de Cálculo Numérico

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA</p><p>CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS</p><p>DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA</p><p>LISTA DE EXERCÍCIOS II DE MAT 271 – CÁLCULO NUMÉRICO – UFV- 2024-I</p><p>(Prof. Amarísio da Silva Araújo)</p><p>Obs: Use arredondamento com, no mínimo, 5 casas decimais.</p><p>1 – Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução �̅� de</p><p>cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro</p><p>absoluto menor que 𝜀 = 0.001.</p><p>a) 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥 − 1 = 0; �̅� ∈ [−2.5 , − 1], com aproximação inicial 𝑥0 = −1.5;</p><p>b) 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 2 = 0; �̅� ∈ [0.01 , 1], com aproximação inicial 𝑥0 = 0.01.</p><p>c) 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 2 = 0; �̅� ∈ [2 , 4], com aproximação inicial 𝑥0 = 2.0.</p><p>d) 𝑒−𝑥2</p><p>− 𝑥 = 0; �̅� ∈ [0.5, 1], com aproximação inicial 𝑥0 = 0.5.</p><p>2 – A equação 𝑒−𝑥2</p><p>− 𝑥 = 0 é equivalente à equação 𝑥 = 𝜑(𝑥), onde</p><p>𝜑(𝑥) = 𝑒−𝑥2</p><p>, e possui uma solução única �̅� ∈ [0.5, 1]. Usando o Método das</p><p>Aproximações Sucessivas, com a função 𝜑 e a aproximação inicial 𝑥0 = 0.5,</p><p>calcule os seis termos seguintes da sequência 𝑥𝑛+1 = 𝜑(𝑥𝑛), 𝑛 = 0,1,2, ….</p><p>É possível concluir que a sequência está convergindo para �̅� ?</p><p>3 – Seja a equação 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0. Mostre que esta equação é equivalente à</p><p>equação 𝑥 = 𝜑(𝑥), onde 𝜑(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑥2 . Usando o Método das Aproximações</p><p>Sucessivas, com a função 𝜑 e a aproximação inicial 𝑥0 = 1, calcule os 9 termos</p><p>seguintes da sequência 𝑥𝑛+1 = 𝜑(𝑥𝑛), 𝑛 = 0,1,2, ….</p><p>É possível concluir que a sequência está convergindo para �̅� ?</p><p>4 – A equação 𝑥3 − 2𝑥2 − 5 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 tem apenas uma solução �̅� 𝜖 ℝ.</p><p>Encontre uma aproximação de �̅� , usando o Método de Newton com 6</p><p>iterações, com 𝑥0 = 2.1.</p><p>5 – A equação 𝑥2 − 3𝑒𝑥 = 0 tem uma única solução �̅� 𝜖 [−2 , −1]. Encontre</p><p>uma aproximação de �̅� , usando o Método das Aproximações Sucessivas com</p><p>8 iterações, com 𝑥0 = −1.5 e 𝜑(𝑥) = −√3𝑒𝑥 .</p><p>GABARITO:</p><p>EXERCÍCIO 1:</p><p>a) �̅� ≅ 𝑥4 = −1.93456</p><p>b) �̅� ≅ 𝑥6 = 0.15859</p><p>c) �̅� ≅ 𝑥4 = 3.14619</p><p>d) �̅� ≅ 𝑥3 = 0.65292</p><p>EXERCÍCIO 2:</p><p>𝑥1 = 0.77880; 𝑥2 = 0.54524;</p><p>𝑥3 = 0.74283; 𝑥4 = 0.57591;</p><p>𝑥5 = 0.71772; 𝑥6 = 0.59743.</p><p>EXERCÍCIO 3:</p><p>𝑥0 = 1, 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 0.75, 𝑥3 = 3.1111, 𝑥4 = 0.4247, 𝑥5 = 7.8973, 𝑥6 = 0.1427,</p><p>𝑥7 = 56.1461, 𝑥8 = 0.0181, 𝑥9 = 3098.1833...</p><p>EXERCÍCIO 4: 𝑥6 = 2.72671259.</p><p>EXERCÍCIO 5: 𝑥8 = −1.03541857.</p>