Apostila Calculo1 com Exercicios_pag43

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<p>39</p><p>�</p><p>f1(x)</p><p>dx</p><p>(2) =</p><p>f2(x)</p><p>dx</p><p>(2)→ a = 8</p><p>� lim</p><p>x→2−</p><p>f(x) = lim</p><p>x→2+</p><p>f(x)→ 2a+ b = 8→ b = −8</p><p>6. Veja o esboço do grá�co de f abaixo:</p><p>A olho nu, parecem realmente ser traçados de duas funções contínuas no mesmo</p><p>grá�co. Isso ocorre por que existem in�nitos números racionais e in�nitos números</p><p>irracionais entre quaisquers dois números reais.Isso faz com que o nosso "pontilhado</p><p>de números racionais"pareça ser uma parábola e nosso "pontilhado de números</p><p>irracionais"pareça uma reta contínua.</p><p>Ok, agora vamos à questão. Queremos provar que f(x) é derivável em e apenas em</p><p>x = 0.</p><p>A primeira parte (mostrar que é derivável em x = 0) é mais simples, basta mostrar</p><p>que g(x) = x2 e h(x) = 0 são ambas iguais a zero nesse ponto e suas derivadas são</p><p>iguais a zero.</p><p>A segunda parte exige um pouco mais, precisamos provar que a função não é deri-</p><p>vável em nenhum outro ponto diferente de zero.</p><p>Para mostrar isso, vamos utilizar a técnica de demonstração por absurdo. Essa</p><p>técnica consiste basicamente em supor verdadeiro o que queremos provar ser falso,</p><p>chegando assim a um absurdo matemático.</p><p>Sendo assim, suponhamos por absurdo que exista um ponto xp ∈ R tal que xp 6= 0</p><p>e f(x) é derivável em xp.</p><p>Assim, temos que lim</p><p>∆x→0</p><p>f(xp + ∆x)− f(xp)</p><p>∆x</p><p>existe.</p><p>Porém, note que xp pode ser real ou irracional, assim como xp + ∆x. Isso por que</p><p>há in�nitos racionais e irrácionais em qualquer intervalo próximo a xp.</p><p>Portanto, como supomos por absurdo que o limite existe temos quatro possibilidades</p><p>respectivamente: (xp + ∆x) e xp são números racionais, (xp + ∆x) é racional e xp</p><p>é irracional, (xp + ∆x) é irracional e xp é racional ou então (xp + ∆x) e xp são</p><p>irracionais.</p>