Parte-1

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Linhas de Transmissão
Linhas de Transmissão
Prof. Wallace Alves Martins
Laboratório de Sinais, Multimídia e Telecomunicações (SMT)
Departamento de Engenharia Eletrônica e de Computação (DEL)
Escola Politécnica (Poli)
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
wallace.martins@smt.ufrj.br
Teoria Eletromagnética II (EEL535)
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Linhas de Transmissão
Sumário
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Motivação
Muito mais do que linhas de transmissão de alta-tensão
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Motivação
Velocidade de propagação & distância
Qualquer transferência de energia não ocorre de forma instantânea
Exemplo: a luz do sol leva mais de 8 min para chegar na Terra
Não há “percepção instantânea” de eventos distantes no espaço
Comunicação é onipresente em sistemas de engenharia
Não nos referimos apenas a sistemas de telecomunicações
Exemplo: qualquer circuito lida com comunicações
A família 74F (high speed CMOS) pode variar de 0 para 1 em 1,5 ns
Velocidade de propagação no meio ≈ 1,4× 108 m/s
Neste caso, temos o comprimento 1,4× 108 · 1,5× 10−9 ≈ 21,1 cm
Se tal circuito está ligado a outro módulo distante 30,0 cm, então o fio
de ligação em questão não pode ser considerado um curto
Parâmetros concentrados versus parâmetros distribuídos
Circuitos digitais com tempos-de-subida muito pequenos (unidades de
ns) têm de lidar com sinais com componentes de frequência em GHz
Em tais condições, nada é um “simples fio”
Temos sempre combinações de capacitores, indutores e resistores
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Motivação
Definição
Linhas de transmissão
Conexões que transportam energia eletromagnética de um ponto a outro
A definição acima é bastante geral
Inclui linha de dois-fios, cabo coaxial, par trançado, linha de placas
paralelas (strip), fibra óptica, guia de ondas, enlace de rádio, axônio
Estudaremos as seguintes linhas de transmissão:
Formadas por dois condutores em qualquer configuração
Com campos elétrico e magnético perpendiculares entre si e
perpendiculares à direção de propagação de potência
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Tipos comuns de linhas de transmissão
Exemplo: cabo a dois-fios
€
Utilizado em algumas conexões entre antenas e circuitos de RF
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Tipos comuns de linhas de transmissão
Exemplo: linha de potência
€
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Tipos comuns de linhas de transmissão
Exemplo: par trançado
€
Muito utilizado em redes de telefonia fixa e redes Ethernet
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Tipos comuns de linhas de transmissão
Exemplo: cabo coaxial
€
Utilizado em
algumas conexões entre antenas e circuitos de RF
algumas conexões em redes de computadores
distribuição de sinais de TV a cabo
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Linhas de Transmissão
Conceitos preliminares
Tipos comuns de linhas de transmissão
Exemplo: placas paralelas
€
Utilizado em algumas conexões em placas de circuitos eletrônicos
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Introdução
Tipos de parâmetros
Geométricos: dimensões dos condutores e isolantes
Definidos pela configuração física da linha
Afetam os parâmetros elétricos
De materiais: condutividade, permissividade e permeabilidade
Definidos pelos tipos de condutores e isolantes utilizados
Afetam os parâmetros elétricos
Elétricos: capacitância, condutância, indutância, e resistência
Parâmetros dados por unidade de comprimento
Parâmetros distribuídos
Passaremos ao cálculo dos parâmetros elétricos das linhas
Mas antes revisitaremos os conceitos básicos de tensão e corrente
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre tensão
Definição
Potencial elétrico (escalar) — unidade: volts [V]
O potencial V no ponto P em relação ao ponto de referência R é dado por
V , WeQP
=
∫ R
P
Fe
QP
· dl =
∫ R
P
E · dl ,
onde
QP: carga pontual de teste
We: trabalho realizado pelo campo ao mover QP de P para R
Grandeza escalar que “substitui” o vetor intensidade de campo elétrico
Conexão principal entre teoria de campo e teoria de circuito
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre tensão
Potencial elétrico devido a distribuições de cargas
É comum adotarmos o ponto de referência no “infinito”
Nestes casos, é comum dizermos que o potencial no infinito é nulo
Inadequado para distribuições de carga que se estendem infinitamente
Potencial elétrico devido à uma carga pontual
Potencial elétrico a uma distância R de uma carga pontual Q é dado por
V =
∫ R
P
E · dl =
∫ ∞
R
Edx =
∫ ∞
R
Q
4piε0x2
dx = Q4piε0R
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre tensão
Potencial elétrico devido a distribuições de cargas
Pelo princípio da superposição, temos:
Potencial elétrico devido a N cargas pontuais
V = 14piε0
N∑
n=1
Qn
Rn
Potencial elétrico devido a cargas continuamente distribuídas
V = 14piε0
∫
ν
ρνdν
R ou
1
4piε0
∫
S
ρSdS
R ou
1
4piε0
∫
l
ρldl
R
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre tensão
Potencial elétrico devido a distribuições de cargas
Exemplo
Encontre o potencial elétrico ao longo do eixo (normal) de um anel
uniformemente carregado no espaço livre. A densidade linear de cargas é Q′
e o raio do anel é a
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre tensão
Potencial elétrico devido a distribuições de cargas
Exercício
Encontre o potencial elétrico em um ponto arbitrário devido a uma linha
infinita de cargas de densidade uniforme Q′, no espaço livre. Antes,
determine o vetor intensidade de campo elétrico de tal linha.
Resposta: V = Q
′
2piε0
rR
r
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre tensão
Definição
Tensão
Tensão entre os pontos A e B é dada por
VAB , VA −VB =
∫ B
A
E · dl
Diferença de potenciais (ddp)
Independente do potencial de referência
Devido à natureza conservativa do campo eletrostático, temos∮
C
E · dl = 0⇒
∑
ao longo de C
Vi = 0
Lei de Kirchhoff das tensões (circuitos CC)
Trabalho líquido zero ⇒ soma algébrica das tensões em torno de
qualquer caminho fechado de um circuito CC é zero
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre tensão
Relação diferencial entre campo e potencial
Considere a figura a seguir
Sabemos que
dV = VB −VA = −E · dl = −Edl cos(α) = −Exdx ⇔ Ex = −dVdx
Analogamente, pode-se obter Ey = −dVdy e Ez = −dVdz
Gradiente do potential & campo elétrico
E = Ex x^+ Eyy^+ Ez z^ = −
(
∂V
∂x x^+
∂V
∂y y^+
∂V
∂z z^
)
, −∇V
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre tensão
Relação diferencial entre campo e potencial na eletrostática
Exercício
Encontre o vetor
intensidade de campo elétrico a partir do potencial
elétrico ao longo do eixo (normal) de um anel uniformemente carregado no
espaço livre. A densidade linear de cargas é Q′ e o raio do anel é a.
Resposta: E = Q
′az
2ε0
√
(z2+a2)3
z^
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre capacitores com dielétricos homogêneos
Definição
Capacitância de um capacitor linear — unidade: farad [F]
Medida da “capacidade” de retenção de cargas
C , QV
Corpos metálicos imersos em dielétricos carregados com cargas iguais
de polaridades opostas
Capacitância é a constante de proporcionalidade entre Q e V
Depende da geometria e das propriedades do dielétrico
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre capacitores com dielétricos homogêneos
Capacitor esférico
Exemplo
Considere um capacitor esférico, que consiste de dois condutores esféricos
concêntricos. Seja a o raio do condutor interno e b o do externo (b > a).
Encontre a capacitância do capacitor, assumindo que o mesmo esteja
preenchido com um dielétrico com permissividade ε
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre capacitores com dielétricos homogêneos
Capacitor de placas paralelas
Exercício
Considere um capacitor de placas paralelas, que consiste de duas placas
metálicas paralelas, cada uma com área S , carregadas com Q e −Q. O
espaço entre as placas é preenchido com um dielétrico homogêneo com
permissividade ε. Suponha que a separação das placas, d, é bem pequena
em relação às dimensões das placas, de modo que os efeitos das bordas
podem ser desconsiderados. Calcule a capacitância do capacitor.
Resposta: C = ε Sd
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Capacitância por unidade de comprimento
Capacitância em linhas de transmissão
Linhas de transmissão são tidas como relativamente longas
Portanto, é usual definir capacitância por unidade de comprimento
Capacitância de uma linha de transmissão — unidade: [F/m]
C ′ , Cl =
Q′
V ,
onde Q′ denota carga por unidade de comprimento
Resolva os exercícios a seguir
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Capacitância por unidade de comprimento
Cabo coaxial
Exercício
Um cabo coaxial é uma linha de transmissão que consiste em um condutor
cilíndrico interno (um fio) e um condutor cilíndrico (tubular) oco externo,
sendo os condutores coaxiais entre si. Essa mesma estrutura é às vezes
denominada capacitor cilíndrico. Seja a o raio do condutor interno e b o do
externo (b > a). O cabo é preenchido com um dielétrico homogêneo com
permissividade ε. Encontre a capacitância por comprimento unitário, C ′,
do cabo.
Resposta: C ′ = 2piεln(b/a)
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Capacitância por unidade de comprimento
Linha de transmissão microstrip
Exercício
Considere uma linha de transmissão composta por uma fita condutora de
largura w sobre um substrato dielétrico de permissividade ε e espessura h.
Considere que há um plano aterrado sob o substrato. Tal linha é chamada
“linha microstrip”. Desconsiderando os efeitos de bordas, determine a
capacitância por comprimento unitário dessa linha.
Resposta: C ′ = εwh
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Capacitância por unidade de comprimento
Linha de transmissão strip
Exercício
Considere uma linha de transmissão composta por uma fita condutora de
largura w entre dois planos condutores (placas grandes) num mesmo
potencial. A permissividade do dielétrico é ε e “a distância” (vide figura)
da fita para os planos é h. Tal linha é chamada “linha strip”. Assumindo
que h � w, determine a capacitância por comprimento unitário dessa linha.
Resposta: C ′ = 2εwh
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Capacitância por unidade de comprimento
Linha de transmissão de dois fios finos e simétricos
Exercício
Considere uma linha de transmissão composta por dois fios finos e
simétricos no ar. A carga por comprimento unitário da linha é Q′ e os raios
dos cabos condutores é a, sendo eles muito menores do que a distância, d,
entre os condutores. Nessas circunstâncias, calcule a capacitância por
unidade de comprimento.
Resposta: C ′ = piε0
ln d−aa
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Capacitância por unidade de comprimento
Condutor de fio fino sobre um plano aterrado
Exercício
Considere uma linha de transmissão composta por um fio fino e um plano
condutor aterrado. O meio é o ar, o fio é paralelo ao plano, a altura do eixo
do fio em relação ao plano é h e o raio do fio é a � h. Nessas
circunstâncias, calcule a capacitância por unidade de comprimento.
Resposta: C ′ = 2piε0
ln( 2h−aa )
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Digressão sobre ruptura dielétrica em sistemas eletrostáticos
Introdução
Ocorre quando o campo no dielétrico chega ao valor crítico
O material dielétrico passa a se comportar como ótimo condutor
Sistemas gasosos e líquidos se recuperam após a ruptura
Sistemas sólidos, geralmente, não se recuperam
Fenômeno de difícil análise devido a não-linearidades inerentes
Na prática, é importante identificar pontos de maior vulnerabilidade
Comum próximo a partes pontiagudas de superfícies condutoras
Descarga “corona”: ar ionizado que pode brilhar no escuro
Coroa luminosa em volta da superfície do condutor
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Digressão sobre ruptura dielétrica em sistemas eletrostáticos
Ruptura em um capacitor de placas paralelas
Exemplo
Considere o capacitor de placas (quadradas) paralelas já estudado com lado
a = 1 m e d = 2 cm. Determine sua tensão de ruptura, sabendo que a
intensidade de ruptura do campo elétrico no ar é 3 MV/m.
Resposta: V = 60 kV
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Digressão sobre ruptura dielétrica em sistemas eletrostáticos
Tensão de ruptura em um cabo coaxial
Exercício
Os raios de um cabo coaxial são a e b = 7 mm. O cabo está preenchido com
um dielétrico homogêneo de permissividade relativa εr = 2,56 e rigidez
dielétrica Ecr = 20 MV/m (poliestireno)
1 Encontre a para o qual a tensão de ruptura do cabo é máxima
2 Qual é a tensão de ruptura máxima do cabo?
Respostas: (a) a ≈ 2,57 mm ; (b) V ≈ 51,5 kV
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre corrente
Definição
Forma pontual da lei de Ohm
Em materiais condutores lineares, o vetor densidade de corrente elétrica é
J = σE
onde σ é a condutividade do condutor [S/m]
A condutividade geralmente é uma função da temperatura
Em um condutor elétrico perfeito (CEP), temos σ −→∞
Corrente elétrica através de uma superfície
I =
∫
S
J · dS =
∫
S
σE · dS
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Revisão sobre corrente
Lei de Ohm
Resistência — unidade: ohm [Ω]
R = VabI =
− ∫ ab E · dl∫
S σE · dS
Condutância — unidade: siemens [S
S = IVab
=
∫
S σE · dS
− ∫ ab E · dl
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Condutância por unidade de comprimento
Condutância em linhas de transmissão
É usual trabalharmos com condutância por unidade de comprimento
Condutância de uma linha de transmissão — unidade: [S/m]
G′ , Gl =
I
Vl
Dualidade entre condutância e capacitância
G = IV =
1
V
∫
S
J · dS = σ
εV
∫
S
D · dS = σ
ε
Q
V =
σ
ε
C
Encontre a condutância por unidade de comprimento dos exercícios
dados anteriormente
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Indutância por unidade de comprimento
Definição
Autoindutância — unidade: henry [H]
L = Φi
Fem devida à autoindução
Vind = −dΦdt = −L
di
dt
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Indutância por unidade de comprimento
Indutância em linhas de transmissão
É usual trabalharmos com indutância por unidade de comprimento
Indutância de uma linha de transmissão — unidade: [H/m]
L′ , Ll =
Φ
il
Dualidade entre indutância e capacitância em linhas de transmissão
É possível mostrar que
L′C ′ = εµ
Encontre a indutância por unidade de comprimento dos exercícios
dados anteriormente
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Resistência por unidade de comprimento
Resistência em linhas de transmissão
É usual trabalharmos com resistência por unidade de comprimento
Porém, não há uma relação de dualidade que facilite os cálculos a
partir do conhecimento dos parâmetros anteriores (capacitância,
condutância e indutância por unidade de comprimento)
“Basta” aplicar a lei de Ohm
Não faremos essa análise em detalhe por limitações de tempo
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Linhas de Transmissão
Parâmetros das linhas de transmissão
Resumo
Exemplos de parâmetros elétricos
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Equações telegráficas
Parâmetros distribuídos
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Eletromagnetismo harmônico no tempo
Hipóteses preliminares
As equações de Maxwell tratam de campos variantes em geral
Frequentemente, a variação temporal de tais campos é
(aproximadamente) senoidal
Fontes externas dos campos senoidais
Materiais lineares
Trataremos agora do caso particular de campos em estado estacionário
senoidal
Também conhecidos como campos harmônicos do tempo
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Eletromagnetismo harmônico no tempo
Definições preliminares
Tensão harmônica no tempo: v(t) = V0 cos(ωt + θ)
Frequência angular: ω = 2pif [rad/s]
Frequência: f [Hz]
Período: T = 2pi
ω
= 1f [s]
Valor eficaz ou RMS (root-mean square)
Vrms = V =
√
1
T
∫ T
0
v2(t)dt = V0√
2
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Representação fasorial para campos harmônicos no tempo
Definição de fasor
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Representação fasorial para campos harmônicos no tempo
Definição de fasor e propriedades
Identidade de Euler: ejφ = cos(φ) + j sen(φ)
Definição de fasor
V = V0ejθ = V ejθ
em que
v(t) = Re
{
V ejωt
}
= V cos(ωt + θ)
Derivação & integração no tempo
dv
dt ↔ jωV∫
v dt ↔ Vjω
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Representação fasorial para campos harmônicos no tempo
Fasor & campo eletromagnético
No caso de campos elétricos e magnéticos, temos os fasores E, D, H, B
Para o campo elétrico, por exemplo, temos
E(x, y, z) = Ex(x, y, z)x^+ Ey(x, y, z)y^+ Ez(x, y, z)z^
onde
Ex(x, y, z) = Ex(x, y, z)e
jθx(x,y,z)
Ex(x, y, z, t) = Ex(x, y, z) cos[ωt + θx(x, y, z)]
Sendo assim, o vetor campo elétrico (harmônico no tempo) é dado por
E(x, y, z, t) = Re
{
E(x, y, z)ejωt
}
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Equações de Maxwell no domínio da frequência
Forma fasorial das equações de Maxwell
Supondo meios lineares com parâmetros ε, µ, σ
D = εE, B = µH e J = σE
Na verdade, ε, µ, σ são funções de ω
Forma integral ∮
C
E · dl = −jω
∫
S
B · dS∮
C
H · dl =
∫
S
(J+ jωD) · dS∮
S
D · dS =
∫
v
ρ dv∮
S
B · dS = 0
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Equações de Maxwell no domínio da frequência
Forma fasorial das equações de Maxwell
No caso diferencial, temos
Forma diferencial
∇×E = −jωB
∇×H = J+ jωD
∇ ·D = ρ
∇ ·B = 0
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Linhas de Transmissão
Equações das linhas de transmissão
Equações de Maxwell no domínio da frequência
Parâmetros distribuídos
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Linhas de Transmissão
Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Tipos de linhas de transmissão
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Linhas de transmissão com terminação
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Potência em linhas de transmissão
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Ressonância em linhas de transmissão
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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Linhas de Transmissão
Casamento de impedância
Sumário
1 Conceitos preliminares
2 Parâmetros das linhas de transmissão
3 Equações das linhas de transmissão
4 Parâmetros de propagação das linhas de transmissão
5 Tipos de linhas de transmissão
6 Linhas de transmissão com terminação
7 Potência em linhas de transmissão
8 Ressonância em linhas de transmissão
9 Casamento de impedância
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