701689474-Aprendendo-Matematica-do-Zero-III-matematica-do-zero

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Apresentação...............................................................................
 1. Razão.................................................................................. 
 1.1. Razões Especiais........................................................
 1.1.1. Velocidade Média...............................................
 1.1.2. Densidade Demográfica.....................................
 1.1.3. Escala.................................................................
 1.1.4. Resumo..............................................................
 2. Proporção...........................................................................
 2.1. Propriedades das Proporções...................................
 3. Proporcionalidade..............................................................
 3.1. Grandezas Diretamente Proporcionais......................
 3.2. Grandezas Inversamente Proporcionais....................
 4. Divisão Proporcional.........................................................
 4.1. Divisão em Partes Diretamente Proporcionais...........
 4.2. Divisão em Partes Inversamente Proporcionais........
 4.3. Divisão Direta e Inversamente Proporcionais............
 5. Regra de Sociedade...........................................................
 6. Regra de Três.....................................................................
 6.1. Regra de Três Simples...............................................
 6.2. Regra de Três Composta...........................................
 7. Porcentagem......................................................................
 7.1. Cálculo da Porcentagem............................................
 7.1.1. Método Tradicional............................................
 7.1.2. Regra de Três....................................................
 7.1.3. Multiplique e Desloque......................................
 7.1.4. Mentalmente...................................................... 
 7.2. Aumentos e Descontos Percentuais..........................
 7.3. Aumentos e Descontos Percentuais Sucessivos.......
 8. Lista de Questões...............................................................
 9. Gabarito..............................................................................
 3
 5
 6
 6
 7
 8
 9
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11
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14
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 10. Questões Comentadas.....................................................
 11. Conteúdo Extra.................................................................
 12. Considerações Finais....................................................... 
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Conjuntos Numéricos
Adição
Multiplicação
Operações com números inteiros 
Operações com números decimais 
Regra de Sinais
Expressões numéricas
Lista de questões
Símbolos Matemáticos
Passo a passo de todas 
as operações.
Divisão
Divisores de um número
Nomenclaturas de Frações
MMC e MDC
Passo a passo de todas 
as operações.
Lista de questões
E-BOOK 2
E-BOOK 1
COMBO
Subtração
EU QUERO
3
 Apresentação
É com enorme alegria que damos início ao nosso curso de
matemática Aprendendo Matemática do Zero III. 
Olá, queridos alunos! Tudo bem?
Resolução bem detalhada 
Nos E-Books anteriores (Aprendendo Matemática do Zero I e II),
demos inicio a nossa jornada rumo ao conhecimento introdutório
de uma das mais importantes ciências: a matemática.
Este E-Book é uma continuidade, por isso é de fundamental
importância que você já tenha lido os primeiros. Citarei aqui os
assuntos que foram abordados.
Critérios de Divisibilidade
Tipos de Frações
Simplificação de Frações
Números Compostos
Números Primos
Operações com Frações
Transformar nº decimal em Fração
Números primos entre 1 e 1000
Resolução bem detalhada 
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https://aprendendomatematicadozero.kpages.online/combo
Se você ainda não adquiriu os anteriores, basta clicar na
imagem e será direcionado a nossa página de venda. Professor,
não adquirir os e-books, mas já sei todos os conteúdos que foram
abordados. Óootimo! Então, você não precisa adquiri-los. O
importante, querido aluno, é não pular as etapas. 
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Para que seu estudo seja ainda mais eficiente, recomendamos
que faça o estudo das aulas em PDF realizando grifos e
anotações próprias no material. Isso será fundamental para as
revisões futuras do conteúdo. Mantenha também a resolução de
questões como um dos pilares de seus estudos. Elas são
essenciais para a fixação do conteúdo teórico.
Neste material trabalharemos assuntos que simplesmente
despencam em provas, seja no ENEM, seja em concursos
públicos. Veremos Regra de 3, Porcentagem, Grandezas
Diretamente e Inversamente Proporcionais. 
Todos esses assuntos estão interligados e tudo que você precisa
para aprendê-los já vimos nos e-books anteriores. Anote todas as
informações que achar importante, porque os conteúdos serão
minuciosamente explicados e os exercícios são criteriosamente
selecionados seguindo uma ordem crescente de dificuldade para
a sua melhor compreensão.
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Razão
Razão é, sem dúvidas, um dos conceitos mais importantes de
toda a Matemática. Em nosso dia a dia é possível encontrar
situações-problema que envolvam esse conteúdo matemático.
Vamos começar com algumas definições formais que serão
fundamentais para um bom entendimento das resoluções das
questões.
A ordem dos elementos no cálculo da razão é muito importante.
Por conta disso, cada elemento recebe um nome diferente.
1.
A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo
segundo, ou seja, a razão de 𝑎 para 𝑏 é representada como: 
𝑎
𝑏 (com b ≠ 0)
Assim, quando aparecer a palavra razão, devemos sempre nos
lembrar que haverá uma divisão!! 
ANOTE AÍ
Razão ≈ Divisão
Imagine que você está resolvendo uma questão de Matemática e
o enunciado pede a razão entre o número de homens e mulheres.
Ora, razão é o mesmo que divisão. Logo, você deverá dividir o
número de homens pelo número de mulheres.
𝑎 antecedente 
𝑏 consequente
O que você deverá responder?
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Razão entre n.º de homens e mulheres = 
Isto quer dizer que há, nesta sala, 5 homens para cada 3
mulheres.
A velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o
tempo.
Suponhamos que um carro de Fórmula 1 percorreu 328𝑘𝑚 em
2ℎ. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso 
n.º de homens 
n.º de mulheres
Tudo que aprendemos no e-book anterior sobre frações, iremos
usar neste assunto.
Imagine, por exemplo, que há 30 homens e 18 mulheres em uma
sala. A razão do número de homens para o número de mulheres
é:
30
18
15
9
=
÷ 2
÷ 2
5
3
=
÷ 3
÷ 3
Razões Especiais
Pode ser cobrado na sua prova o conhecimento de algumas
razões especiais, de modo que você precisa relembrar os seus
termos.
1.1.
Velocidade Média1.1.1.
V = distância percorrida
tempo gasto
V = 328 𝑘𝑚 
2 ℎ 
= 164 𝑘𝑚/ℎ 
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É a razão entre o númeroc) 144
d) 152
e) 164
8) Repartiram R$300,00 de gratificações pelos empregados em
partes inversamente proporcionais aos dias que faltaram ao
trabalho. Quanto recebeu cada um, se faltaram ao trabalho dois,
três e seis dias respectivamente?
a) 150, 100 e 50.
b) 75, 125 e 100. 
c) 130, 70 e 100.
d) 150, 100 e 75.
e) 125, 100 e 25.
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9) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos
de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta
de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos
de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo
de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público,
então a diferença positiva entre os números de processos que
cada um arquivou é:
a) 48
b) 50
c) 52
d) 54
e) 56
10) Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a dois de seus
funcionários uma gratificação no valor de R$500,00. Essa quantia
foi dividida entre eles, em partes que eram diretamente
proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que
cumpriram no mês e, ao mesmo tempo, inversamente
proporcionais às suas respectivas idades. Se um dos funcionários
tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de plantões e, o outro, de 45
anos, cumpriu 18 horas, coube ao mais jovem receber:
a) R$302,50.
b) R$310,00. 
c) R$312,50.
d) R$325,00.
e) R$325,00.
11) Três sócios sofreram uma perda total de R$180.000,00. Os
três entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o
primeiro durante 11 meses, o segundo, 12 meses, e o terceiro, 13
meses, qual o prejuízo que coube ao sócio mais antigo?
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a) R$55.000,00.
b) R$60.000,00.
c) R$65.000,00.
d) R$65.500,00.
e) R$70.000,00.
12) Uma empresa teve um lucro de R$441.600,00. O primeiro
sócio empregou R$100.000,00 durante um ano e seis meses; o
segundo R$120.000,00 por um ano e quatro meses; e o terceiro
R$150.000,00, durante um ano. Qual o lucro do sócio com maior
parcela nessa sociedade?
a) R$175.800,00.
b) R$172.000,00.
c) R$160.200,00.
d) R$153.600,00.
e) R$144.000,00.
13) Para arrumar 120 salas, duas pessoas gastam cinco dias. Se
precisamos que as salas sejam arrumadas em um único dia, será
necessário contratar mais n pessoas que trabalhem no mesmo
ritmo das duas iniciais. O valor de n é: 
a) 6
b) 8
c) 10
d) 11
e) 13
14) Um robô, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, efetua
7.500 pontos de solda em uma estrutura metálica. Quantas horas
por dia o robô deve trabalhar para efetuar 6.000 pontos de solda
em 4 dias?
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a) 16 horas
b) 14 horas
c) 12 horas
d) 10 horas
e) 6 horas
15) Cinco mergulhadores retiram 30 peças do fundo do mar em
seis dias, mergulhando 8 horas por dia cada um. Quantos dias,
com 12 horas de mergulho por dia, serão necessários para 4
mergulhadores retirarem 90 dessas peças ?
a) 12 dias
b) 15 dias
c) 18 dias
d) 20 dias
e) 24 dias
16) Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 6
baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas pedras
lançará em 10 baterias de 12 minutos cada?
a) 625
b) 600
c) 500
d) 425
e) 400
17) Dos 500 alunos de uma escola, 32% gostam de estudar
matemática e 28% gostam de português. O número de alunos
que gostam de outras matérias é:
a) 160
b) 140
c) 200
b) 260
c) 300
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18) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor.
Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10%
de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta
a) uma diminuição de 10%
b) uma diminuição de 2%
c) um aumento de 2%
d) um aumento de 8%
e) um aumento de 10%
19) Um comerciante aumentou em 20% o preço de suas
mercadorias. Com isso, as vendas diminuíram, e ele resolveu
oferecer aos clientes um desconto de 30% sobre o preço com
aumento. Desse modo, qual é, em reais, o preço com desconto
de uma mercadoria que inicialmente custava R$200,00?
a) 144,00
b) 168,00
c) 180,00
d) 188,00
e) 196,00
20) Duas irmãs, Ana e Lúcia, têm uma conta de poupança
conjunta. Do total do saldo, Ana tem 70% e Lúcia 30%. Tendo
recebido um dinheiro extra, o pai das meninas resolveu fazer um
depósito exatamente igual ao saldo na caderneta. Ele disse às
meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as
duas. Nessas condições, a participação de Ana no novo saldo:
a) diminui para 60%
b) diminui para 65%
c) permaneceu em 70%
d) aumentou para 80%
e) aumentou para 85%
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Gabarito9.
1) b
2) b
3) e
4) d
5) e
6) e
7) a
8) a
9) c
10) c
11) c
12) d 
13) b
14) a
15) b
16) e
17) c
18) d
19) b
20) a
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Questões Comentadas10.
1) Se 2.400 candidatos participaram de um concurso que
apresentou 120 vagas, então a razão entre o número de vagas e
o número de candidatos foi de:
a) 1
2 b) 1
20 c) 1
200 d) 1
240 e) 1
2000
Resolução:
Associamos razão a uma divisão. 
Razão entre n.º de vagas (120) e nº de candidatos (2400) = 
Agora basta simplificar
120
2400
12
240
= 1
20
=
÷ 1
2
÷ 12
Gabarito: letra b
120
2400
2) Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual
seria a densidade demográfica da região onde mora. Ele
conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: a área da
cidade era de 2.651 𝑘𝑚², e a quantidade de pessoas que residiam
na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas
informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua
cidade é de:
a) 15 habitantes/𝑘𝑚²
b) 57 habitantes/𝑘𝑚²
c) 58 habitantes/𝑘𝑚²
d) 59 habitantes/𝑘𝑚²
e) 155 habitantes/𝑘𝑚²
Resolução:
Utilizando-se a relação matemática que define a
densidade demográfica: 
área
D 
n.º de habitantes
Densidade Demográfica
Temos que o nº de habitantes é 151.107 e a área é
2651 𝑘𝑚².
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D = 151107
2651
Gabarito: letra b
Poderíamos ir simplificando, mas como nas alternativas temos números
inteiros, vamos dividir o numerador pelo denominador e verificar a resposta.
2 6 5 1 1 5 1 1 0 7 
5 7 1 3 2 5 5−
1 8 5 5 7
−
 0 
1 8 5 5 7
Portanto, a cidade tem uma densidade demográfica de 57 habitantes/𝑘𝑚²
3) Uma equipe de ambientalistas apresentou um mapa de uma
reserva ambiental em que faltava a especificação da escala
utilizada para a sua confecção. O problema foi resolvido, pois um 
dos integrantes da equipe lembrava-se de que a distância real de
72 𝑘𝑚, percorrida na reserva, equivalia a 3,6 𝑐𝑚 no mapa. Qual foi
a escala utilizada na confecção do mapa?
a) 1 : 20
b) 1 : 2000
c) 1 : 20000
d) 1 : 200000
e) 1 : 2000000
Resolução:
Utilizando-se a relação matemática que define a
escala: 
Temos que o comprimento do desenho é 3,6 𝑐𝑚 e o
comprimento real é 72 𝑘𝑚.comprimento real
comprimento do desenho
E
Escala
E = 3,6 𝑐𝑚 
72 𝑘𝑚
Precisamos deixar na mesma unidade de medida.
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
Multiplicando 72 por 100000, temos 
No numerador temos um número decimal, uma dica importante: 
E = 3,6 𝑐𝑚 
72 𝑘𝑚
3,6 𝑐𝑚 
7200000 𝑐𝑚 = 
 × 100000
𝑘𝑚 ℎ𝑚 𝑑𝑎𝑚 𝑐𝑚𝑚 𝑑𝑚 𝑚𝑚
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Gabarito: letra e
Neste caso, multiplicaremos por 10, pois 3,6 passará a ser 36.
4) Em uma empresa, o atendimento ao público é feito por 45
funcionários que se revezam, mantendoa relação de três homens
para duas mulheres. É correto afirmar que, nessa empresa, dão
atendimento:
a) 18 homens
b) 16 mulheres
c) 25 homens
d) 18 mulheres
e) 32 homens
Resolução:
Inicialmente, chamaremos de:
“ℎ” a quantidade de homens nessa empresa.
Se a relação é de três homens para duas mulheres, então, podemos montar
a seguinte proporção:
Em uma fração, sempre ELIMINE as vírgulas multiplicando por 10,100,1000,...
ANOTE AÍ
E = 3,6 𝑐𝑚 
72 𝑘𝑚
3,6 𝑐𝑚 
7200000 𝑐𝑚 = 
× 1
0
× 10
36 𝑐𝑚 
72000000 𝑐𝑚 = 
Pronto, agora simplificamos. 
E = 3,6 𝑐𝑚 
72 𝑘𝑚
3,6 𝑐𝑚 
7200000 𝑐𝑚 = 36 𝑐𝑚 
72000000 𝑐𝑚 = 1 𝑐𝑚 
2000000 𝑐𝑚 = 
÷ 3
6
÷ 36
Significa que 1 𝑐𝑚 no desenho corresponde a 2000000 𝑐𝑚 no real.
“𝑚” a quantidade de mulheres nessa empresa.
ℎ
𝑚 = 3
2
Vamos deixar as incógnitas no numerador e os números no denominador,
para isso utilizaremos a Propriedade 4.
ℎ
3
=
𝑚
2
(permutamos 𝑚 e 3)
Pela Propriedade 3, podemos prolongar essa proporção. Para tanto, basta
adicionar os numeradores e adicionar os denominadores.
ℎ
3
= 𝑚
2 = ℎ + 𝑚
3 + 2
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O enunciado nos diz que ℎ + 𝑚 = 45, sendo assim:
ℎ
3
= 𝑚
2 = 3 + 2
ℎ + 𝑚 = 45
5 = 9
1 = 9
÷ 5
÷ 5
Agora é só perceber que ℎ
3 = 9 e que 𝑚
2 = 9
ℎ
3
= 𝑚
2 = ℎ + 𝑚
3 + 2 = 45
5 = 9
1 = 9
Utilizando a Propriedade 1, temos
ℎ
3
= 9
⇔
ℎ = 9 3
⇒
ℎ = 27
𝑚
2
= 9
⇔
𝑚 = 9 2
⇒
𝑚 = 18
Portanto, ℎ = 27 homens e 𝑚 = 18 mulheres 
Gabarito: letra d
5) Dos funcionários de uma empresa sabe-se que o número de
homens está para o de mulheres assim como 12 está para 13.
Relativamente ao total de funcionários dessa empresa, é correto
afirmar que o número de funcionários do sexo masculino
corresponde a:
a) 40% b) 42% c) 45% d) 46% e) 48%
Resolução:
A quantidade de homens e mulheres dessa empresa será representada por,
respectivamente, “ℎ” e “𝑚”, sendo que o número de homens está para o de
mulheres assim como 12 está para 13. Assim, teremos:
Vamos deixar as incógnitas no numerador e os números no denominador,
para isso utilizaremos a Propriedade 4.
ℎ
𝑚 = 12
13
12
ℎ =
𝑚
13
(permutamos 𝑚 e 12)
Pela Propriedade 3, podemos prolongar essa proporção. Para tanto, basta
adicionar os numeradores e adicionar os denominadores. 
= ℎ + 𝑚
12 + 1312
ℎ =
𝑚
13
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O total de funcionários dessa empresa, ou seja, a soma dos homens e das
mulheres representa 100%. Portanto, podemos escrever: 𝑚 + ℎ = 100%
Agora é só perceber que ℎ
12 = 4% e que 𝑚 = 4%
Utilizando a Propriedade 1, temos
Assim, o número de funcionários do sexo masculino corresponde a 48%
Gabarito: letra e
13
= =
= 100%
25 = 4%
1 = 4%
÷ 2
5
÷ 25
= ℎ + 𝑚
12 + 1312
ℎ =
𝑚
13
ℎ
12
𝑚
13 = 100%
25 = 4%
1 = 4%ℎ + 𝑚
12 + 13
= 4% ⇔
ℎ = 12 4%
⇒
ℎ = 48%
=
⇔
𝑚 = 13 4%
⇒
𝑚 = 52%
ℎ
12
𝑚
13 4%
6) A quantia de R$133.900,00 foi dividida entre Marcelo e
Carolina, na razão direta de suas idades. Se Marcelo tem 29 anos
e Carolina tem 36 anos, a parte que coube a Carolina
corresponde, em reais, a:
a) R$ 48.600,00.
b) R$ 52.800,00.
c) R$ 59.740,00.
d) R$ 68.600,00.
e) R$ 74.160,00.
Resolução:
Passo 1
Identificar as incógnitas Marcelo = M Carolina = C
Passo 2
Montar a proporção
=𝑎 𝑏 𝑘
=𝑎 𝑏 𝑘
Pessoas Idades Constante de
Proporcionalidade =M 29 𝑘 =C 36 𝑘
Marcelo Carolina
Estamos diante de uma questão sobre divisão em partes diretamente
proporcionais. 
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Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
 M por 29𝑘
 C por 36𝑘
O total da quantia é R$133.900,00
M + C = 133900
29𝑘 + 36𝑘 = 133900
65𝑘 = 133900
133900
65𝑘 =
𝑘 = 2060
Passo 4
calcular o valor de cada
parte substituindo o
valor de 𝑘.
=M 29 𝑘
Marcelo
=M 59740=M 29 2060
𝑘 = 2060 Valor
=C 36 𝑘
Carolina
=C=C 36 2060
𝑘 = 2060 Valor
Sendo assim, a parte de Carolina é R$74.160,00
74160
Gabarito: letra e
7) Três técnicos judiciários arquivaram um total de 382
processos, em quantidades inversamente proporcionais às suas
respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é
correto afirmar que o número de processos arquivados pelo mais
velho foi:
a) 112 b) 126 c) 144 d) 152 e) 164
Resolução:
Passo 1
Identificar as incógnitas
1º Técnico = A
Passo 2
Montar a proporção
1º Técnico 3º Técnico
=𝑎 𝑐
𝑘
=C 36
𝑘=A 28
𝑘
Estamos diante de uma questão sobre divisão em partes inversamente
proporcionais. 
2º Técnico = B
3º Técnico = C
Técnicos
=𝑎 𝑐
𝑘
Idades
Constante de
Proporcionalidade 
2º Técnico
=B 32
𝑘
Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
O total de processos é 382
A + B + C = 382
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A por 𝑘
28
B por 𝑘
32
 = 382𝑘
32 + 𝑘
36
72𝑘 + 63𝑘 + 56𝑘
2016
 = 382
 = 382191𝑘
2016
 = 382191𝑘 2016
 = 770112191𝑘
770112
191𝑘 =
𝑘 = 4032
C por 𝑘
36
𝑘
28 +
Passo 4
calcular o valor de
cada parte substituindo
o valor de 𝑘.
𝑘 = 4032 Processos
144=A
𝑘 = 4032 Processos
126=B
2º Técnico
= 𝑘B 32 =B 32
4032
1º Técnico
= 𝑘A 28 =A 28
4032
𝑘 = 4032 Processos
112=C
3º Técnico
= 𝑘C 36 =C 36
4032
Portanto, o mais velho (o técnico que possui 36 anos de idade) arquivou
112 processos
Gabarito: letra a
8) Repartiram R$300,00 de gratificações pelos empregados em
partes inversamente proporcionais aos dias que faltaram ao
trabalho. Quanto recebeu cada um, se faltaram ao trabalho dois,
três e seis dias respectivamente?
a) 150, 100 e 50.
b) 75, 125 e 100. 
c) 130, 70 e 100.
d) 150, 100 e 75.
e) 125, 100 e 25.
Resolução:
Estamos diante de uma questão sobre divisão em partes inversamente
proporcionais. 
Passo 1
Identificar as incógnitas
1º Empregado = A
2º Empregado = B
3º Empregado = C
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A por 𝑘
2
B por 𝑘
3
 = 300𝑘
3 + 𝑘
6
3𝑘 + 2𝑘 + 𝑘
6
 = 300
 = 3006𝑘
6
 = 300𝑘
C por 𝑘
6
𝑘
2 +
Passo 4
calcular o valor de
cada parte substituindo
o valor de 𝑘.
𝑘 = 300 Gratificação
150=A
𝑘 = 300 Gratificação
100=B
2º Empregado
= 𝑘B 3 =B 3
300
1º Empregado
= 𝑘A 2 =A 2
300
𝑘 = 300 Gratificação
50=C
3º Empregado
= 𝑘C 6 =C 6
300
Logo, os valores foram R$150,00, R$100,00 e R$50,00.
Gabarito: letra a
Passo 2
Montar a proporção
1º Empregado 3º Empregado
=𝑎 𝑐
𝑘
=C 6
𝑘=A 2
𝑘
Empregados
=𝑎 𝑐
𝑘
Faltas
Constante de
Proporcionalidade 
2º Empregado
=B 3
𝑘
Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
O total da gratificação é 300
A + B + C = 300
9) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos
de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta
de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos
de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo
de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público,
então a diferença positiva entre os números de processos que
cada um arquivou é:
a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56
Resolução:
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Passo 1
Identificar as incógnitas 1º Funcionário = A 2º Funcionário = B
Passo 2
Montar a proporção
Funcionários
T. de Serviço
Constante de
Proporcionalidade 
1º Funcionário 2º Funcionário
Primeiramente, vamos identificar quais grandezas são diretamente
proporcionais e quais são inversamente proporcionais.
Analisando o enunciado da questão, temos: 
Idade diretamente 
Tempo de Serviço inversamente
= 𝑘𝑎 𝑐
𝑏
Idade = 𝑘𝑎 𝑐
𝑏
= 𝑘A 3
27 = 𝑘B 9
42
Para ummelhor entendimento, representaremos os dados na forma de uma
tabela:
1º Funcionário 27 3
42 9
Idade Tempo de Serviço
2º Funcionário
Funcionários
Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
A por 𝑘
3
B por
O total de processos é 164
A + B = 164
 = 164+
81𝑘
9
+ 42𝑘 = 164
 = 164123𝑘
9
 = 164123𝑘 9
 = 1476123𝑘
1476
123𝑘 =
𝑘 = 12
27
𝑘
9
42
𝑘
3
27 𝑘
9
42
Passo 4
calcular o valor de cada parte
substituindo o valor de 𝑘.
𝑘 = 12 Processos
108=A
1º Funcionário
= 𝑘A 3
27 = 12A 3
27
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56=B= 𝑘B 9
42 = 12B 9
42
A diferença positiva dos valores: 108 – 56 = 52
𝑘 = 12 Processos2º Funcionário
Gabarito: letra c
10) Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a dois de seus
funcionários uma gratificação no valor de R$500,00. Essa quantia
foi dividida entre eles, em partes que eram diretamente
proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que
cumpriram no mês e, ao mesmo tempo, inversamente
proporcionais às suas respectivas idades. Se um dos funcionários
tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de plantões e, o outro, de 45
anos, cumpriu 18 horas, coube ao mais jovem receber:
a) R$302,50.
b) R$310,00. 
c) R$312,50.
d) R$325,00.
e) R$325,00.
Resolução:
Primeiramente, vamos identificar quais grandezas são diretamente
proporcionais e quais são inversamente proporcionais.
Analisando o enunciado da questão, temos: 
Horas de Plantão diretamente 
Idade inversamente
Para um melhor entendimento, representaremos os dados na forma de uma
tabela:
1º Funcionário 36 24
45 18
Idade Horas de Plantão
2º Funcionário
Funcionários
Passo 2
Montar a proporção
Funcionários
Idade
Constante de
Proporcionalidade 
1º Funcionário 2º Funcionário
= 𝑘𝑎 𝑐
𝑏
Horas de Plantão = 𝑘𝑎 𝑐
𝑏
= 𝑘A 36
24 = 𝑘B 45
18
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Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
A por 𝑘
36
B por
O total da gratificação é 500
A + B = 500
 = 500+
120𝑘
180
+ 72𝑘 = 500
 = 500192𝑘
180
 = 500192𝑘 180
 = 90000192𝑘
90000
192𝑘 =
𝑘 = 468,75
24
𝑘
45
18
𝑘
36
24 𝑘
45
18
Passo 4
calcular o valor de
cada parte substituindo
o valor de 𝑘.
𝑘 = 468,75 Gratificação
312,50=A
1º Funcionário
= 𝑘A 36
24 =A 36
468,7524
𝑘 = 468,75 Gratificação
187,50=B
2º Funcionário
= 𝑘B 45
18 =B 45
468,7518
Portanto, o mais jovem (36 anos) recebeu: R$312,50
Gabarito: letra c
11) Três sócios sofreram uma perda total de R$180.000,00. Os
três entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o
primeiro durante 11 meses, o segundo, 12 meses, e o terceiro, 13
meses, qual o prejuízo que coube ao sócio mais antigo?
a) R$55.000,00.
b) R$60.000,00.
c) R$65.000,00.
d) R$65.500,00.
e) R$70.000,00.
Resolução:
Estamos diante de uma questão sobre Regra de Sociedade,
especificamente, o 3º caso.
Os capitais dos sócios são iguais e os tempos de permanência de cada
um na empresa são diferentes.
Nessa situação, a divisão do prejuízo será diretamente proporcional aos
tempos de cada um.
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Passo 1
Identificar as incógnitas 1º Sócio = A
Passo 2
Montar a proporção =𝑎 𝑏 𝑘
=𝑎 𝑏 𝑘
Sócios Tempo Constante de
Proporcionalidade 
=A 11 𝑘 =C 13 𝑘
1º Sócio 3º Sócio
2º Sócio = B 3º Sócio = C
=B 12 𝑘
2º Sócio
Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
 A por 11𝑘
 B por 12𝑘
 C por 13𝑘
O total do prejuízo foi R$180.000,00
A + B + C = 180000
11𝑘 + 12𝑘 + 13𝑘 = 180000
36𝑘 = 180000
180000
36𝑘 =
𝑘 = 5000
Passo 4
calcular o valor de cada
parte substituindo o
valor de 𝑘.
=A 11 𝑘
1º Sócio
=A 55000=A 11 5000
𝑘 = 5000 Prejuízo
=B 12 𝑘
2º Sócio
=B=B 12 5000
𝑘 = 5000 Prejuízo
O mais antigo estava na empresa há 13 meses e sua parcela a pagar será
de R$65.000,00
60000
Gabarito: letra c
=C 13 𝑘
3º Sócio
=C=C 13 5000
𝑘 = 5000 Prejuízo
65000
12) Uma empresa teve um lucro de R$441.600,00. O primeiro
sócio empregou R$100.000,00 durante um ano e seis meses; o
segundo R$120.000,00 por um ano e quatro meses; e o terceiro
R$150.000,00, durante um ano. Qual o lucro do sócio com maior
parcela nessa sociedade?
a) R$175.800,00.
b) R$172.000,00.
c) R$160.200,00.
d) R$153.600,00.
e) R$144.000,00.
Resolução:
Estamos diante de uma questão sobre Regra de Sociedade,
especificamente, o 4º caso.
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Os capitais e os tempos de permanência são diferentes, caso composto.
Agora, tanto a grandeza do capital, como a grandeza do tempo, são
grandezas diretamente proporcionais.
𝑎 𝑏 𝑑 𝑘= 
Capital Investido
Observe os dados distribuídos na tabela a seguir: 
R$100.000,00 18
16
Valor Investido Tempo (em meses)
1º Sócio
2º Sócio
3º Sócio
Lucro
R$120.000,00
R$150.000,00 12
Vamos esquecer os zeros dos milhares, para facilitar os cálculos.
Passo 1
Identificar as incógnitas 1º Sócio = A
Passo 2
Montar a proporção
Sócios Tempo Constante de
Proporcionalidade 
2º Sócio = B 3º Sócio = C
=𝑎 𝑏 𝑑 𝑘
A
1º Sócio
=100 18 𝑘
2º Sócio 3º Sócio
A = 1800 𝑘
B=120 16 𝑘 C=150 12 𝑘
B = 1920 𝑘 C = 1800 𝑘
Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
 A por 1800𝑘
 B por 1920𝑘
 C por 1800𝑘
O lucro total foi R$441.600,00
A + B + C = 441,6
1800𝑘 + 1920𝑘 + 1800𝑘 = 441,6
5520𝑘 = 441,6
441,6
5520𝑘 =
𝑘 = 0,08
Passo 4
calcular o valor de cada
parte substituindo o
valor de 𝑘.
=A 1800 𝑘
1º Sócio
=A 1441800 0,08=A
𝑘 = 0,08 Lucro
=C 1800 𝑘
3º Sócio
=C 1441800 0,08=C
𝑘 = 0,08 Lucro
=B 1920 𝑘
2º Sócio
=B 153,61920 0,08=B
𝑘 = 0,08 Lucro
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Logo,
R$100.000,00 18
16
Valor Investido Tempo (em meses)
1º Sócio
2º Sócio
3º Sócio
Lucro
R$120.000,00
R$150.000,00 12
R$144.000,00
R$153.600,00
R$144.000,00
Gabarito: letra d
13) Para arrumar 120 salas, duas pessoas gastam cinco dias. Se
precisamos que as salas sejam arrumadas em um único dia, será
necessário contratar mais n pessoas que trabalhem no mesmo
ritmo das duas iniciais. O valor de n é: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 11 e) 13
Resolução:
Foram dados 3 valores e pedido um quarto, ou seja, estamos com uma
questão sobre Regra de Três Simples. 
Pessoas Dias
2 5
𝑥 1
Precisamos nos perguntar: “Se aumenta as pessoas, aumenta ou diminui
os dias gasto para realizar a tarefa?” 
Passo 5:
A relação entre as grandezas é inversamente proporcional, já que, quanto
MAIS pessoas, MENOS dias serão necessários. (seta no sentido contrário). 
Pessoas Dias
2 5
𝑥 1
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
Passo 4:
esquematize uma tabela, colando as grandezas no cabeçalho.
na primeira linha, ponha as grandezas diferentes que estão
relacionadas.
na segunda linha, repita o mesmo processo da primeira.
coloque uma seta para baixo na coluna da grandeza
desconhecida, "𝑥".
identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais
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Passo 6: inverta os valores das grandezas inversamente proporcionais.
Pessoas Dias
2 1
𝑥 5
Passo 7: montar a proporção, colocando a razão da incógnita à esquerda
da igualdade. 
 𝑥 = 10
2
𝑥
1
5
 = 
Como já havia duas pessoas trabalhando e foram necessárias 10 pessoas
para completar a tarefa, então, o número de pessoas contratadas foi igual
a: 10 – 2 = 8 pessoas
Gabarito: letra b
14) Um robô, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, efetua
7.500 pontos de soldaem uma estrutura metálica. Quantas horas
por dia o robô deve trabalhar para efetuar 6.000 pontos de solda
em 4 dias?
a) 16 horas
b) 14 horas
c) 12 horas
d) 10 horas
e) 6 horas
Resolução:
Horas Dias Pontos
8 10 7500
𝑥 4 6000
Horas X Dias: quanto maior a quantidade de horas, menos dias serão
necessários. Inversamente proporcional (seta no sentindo contrário).
Passo 4:
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
esquematize uma tabela, colando as grandezas no cabeçalho.
na primeira linha, ponha as grandezas diferentes que estão
relacionadas.
na segunda linha, repita o mesmo processo da primeira.
coloque uma seta para baixo na coluna da grandeza
desconhecida, "𝑥".
Passo 5: identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais
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Horas X Pontos: quanto maior a quantidade de horas, mais pontos
serão feitos. Diretamente proporcional (seta no mesmo sentindo).
Horas Dias Pontos
8 10 7500
𝑥 4 6000
Passo 6: inverta os valores das grandezas inversamente proporcionais.
Horas Dias Pontos
8 4 7500
𝑥 10 6000
Podemos simplificar a segunda coluna por 2 e a terceira coluna por 1500.
Horas Dias Pontos
8 2 5
𝑥 5 4
Passo 7: montar a proporção, colocando a razão da incógnita à esquerda
da igualdade. 
8
𝑥
2
5
 = 
𝑥 = 16
5
4× ÷2
÷51
1
Simplificando
1
2
8
𝑥
1
2
 = 
Por conseguinte, serão necessárias 16 horas
Gabarito: letra a
15) Cinco mergulhadores retiram 30 peças do fundo do mar em
seis dias, mergulhando 8 horas por dia cada um. Quantos dias,
com 12 horas de mergulho por dia, serão necessários para 4
mergulhadores retirarem 90 dessas peças ?
Resolução:
a) 12 dias
b) 15 dias
c) 18 dias
d) 20 dias
e) 24 dias
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
esquematize uma tabela, colando as grandezas no cabeçalho.
na primeira linha, ponha as grandezas diferentes que estão
relacionadas.
na segunda linha, repita o mesmo processo da primeira.
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Dias Mergulhadores
6 5 30
𝑥 4 90
8
12
Peças Horas
Dias X Mergulhadores: quanto maior a quantidade de dias, menos
mergulhadores serão necessários. Inversamente proporcional (seta no
sentindo contrário).
Dias X Peças: quanto maior a quantidade de dias, mais peças serão
retiradas. Diretamente proporcional (seta no mesmo sentindo).
Dias X Horas: quanto maior a quantidade de dias, menos horas serão
necessárias. Inversamente proporcional (seta no sentindo contrário).
Dias Mergulhadores
6 5 30
𝑥 4 90
8
12
Peças Horas
Passo 6: inverta os valores das grandezas inversamente proporcionais.
Podemos simplificar a terceira coluna por 30 e a quarta coluna por 4.
Dias Mergulhadores
6 4 1
𝑥 5 3
3
2
Peças Horas
Passo 7: montar a proporção, colocando a razão da incógnita à esquerda
da igualdade. 
6
𝑥
4
5
 = 
𝑥 = 30
1
3× ÷2
÷3
2
Simplificando
1
6
𝑥
2
5
 = 
Por conseguinte, serão necessárias 15 dias
Gabarito: letra b
Dias Mergulhadores
6 4 30
𝑥 5 90
12
8
Peças Horas
3
2×
1
1
𝑥 =
2
30
2 
= 15
Passo 4:coloque uma seta para baixo na coluna da grandeza
desconhecida, "𝑥".
Passo 5: identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais
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@matematica.do.zero 85
16) Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 6
baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas pedras
lançará em 10 baterias de 12 minutos cada?
a) 625 b) 600 c) 500 d) 425 e) 400
Resolução:
Pedras Baterias Minutos
300 6 15
𝑥 10 12
Pedras X Baterias: quanto maior a quantidade de pedras, mais baterias
serão necessárias. Diretamente proporcional (seta no mesmo sentindo).
Pedras X Minutos: quanto maior a quantidade de pedras, mais minutos
serão necessários. Diretamente proporcional (seta no mesmo sentindo).
Pedras Baterias Minutos
300 6 15
𝑥 10 12
Podemos simplificar a segunda coluna por 2 e a terceira coluna por 3.
Pedras Baterias Minutos
300 3 5
𝑥 5 4
Passo 4:
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
esquematize uma tabela, colando as grandezas no cabeçalho.
na primeira linha, ponha as grandezas diferentes que estão
relacionadas.
na segunda linha, repita o mesmo processo da primeira.
coloque uma seta para baixo na coluna da grandeza
desconhecida, "𝑥".
Passo 5: identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais
Como nesse exemplo não temos grandezas inversamente proporcionais,
vamos pular o passo 6.
Passo 7: montar a proporção, colocando a razão da incógnita à esquerda
da igualdade. 
300
𝑥
3
45
 = 5× ÷5
1
Simplificando
1
300
𝑥
3
4 = 
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𝑥 = 1200
Portanto, lançara 400 pedras
Gabarito: letra e
𝑥 =
3
1200
3 
= 400
17) Dos 500 alunos de uma escola, 32% gostam de estudar
matemática e 28% gostam de português. O número de alunos
que gostam de outras matérias é:
a) 160 b) 140 c) 200 d) 260 e) 300
Resolução:
Temos que 32% dos alunos gostam de estudar matemática e 28%
português. Somando 32% + 28% = 60% 
Ou seja, 100% – 60% = 40% dos alunos gostam de outras matérias.
Basta calcular 40% de 500:
40% de 500 = 40
100 × 500 = 1
40 × 5 = 200 10% = 50 
10% = 50 
+
40% = 200 
10% = 50 
10% = 50 
Gabarito: letra c
18) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor.
Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10%
de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta
a) uma diminuição de 10%
b) uma diminuição de 2%
c) um aumento de 2%
d) um aumento de 8%
e) um aumento de 10%
Resolução:
Não foi dado nenhum valor inicial, apenas porcentagens. Então, vamos
supor R$100,00 como sendo este valor.
Primeiro, houve um aumento de 20%.
Passo 1: 20% de 100 = 20
100 + 20 = 120
calcular o valor do aumento
Passo 2:somar ao valor inicial
Ficamos com R$120,00 que terá um desconto de 10%.
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Gabarito: letra d
Resolução:
Primeiro, houve um aumento de 20%.
Passo 1: 20% de 200 = 40
200 + 40 = 240
calcular o valor do aumento
Passo 2:somar ao valor inicial
Ficamos com R$240,00 que terá um desconto de 30%.
Passo 3: 10% de 120 = 12
120 − 12 = 108
calcular o valor do desconto
Passo 4:diminuir do novo valor 
Chegamos em R$108,00, logo houve um aumento de 8%.
19) Um comerciante aumentou em 20% o preço de suas
mercadorias. Com isso, as vendas diminuíram, e ele resolveu
oferecer aos clientes um desconto de 30% sobre o preço com
aumento. Desse modo, qual é, em reais, o preço com desconto
de uma mercadoria que inicialmente custava R$200,00?
a) 144,00 b) 168,00 c) 180,00 d) 188,00 e) 196,00 
Passo 3: 30% de 240 = 72
240 − 72 = 168
calcular o valor do desconto
Passo 4:diminuir do novo valor 
Chegamos em R$168,00. Já temos o gabarito. 
Poderíamos ter utilizado a fórmula.
V = V (1 X %) (1 X %)f i 1 2+− +−
Resolvendo pela fórmula, colocamos o sinal positivo no aumento e
negativo no desconto.
V = 200 (1 + 0,20) (1 − 0,30) = 200 1,20 0,70 = 168f
Gabarito: letra b
20) Duas irmãs, Ana e Lúcia, têm uma conta de poupança
conjunta. Do total do saldo, Ana tem 70% e Lúcia 30%. Tendo
recebido um dinheiro extra, o pai das meninas resolveu fazer um
depósito exatamente igual ao saldo na caderneta. Ele disse às
meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as
duas. Nessas condições, a participação de Ana no novo saldo:
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Resolução:
Não sabemos qual era o saldo inicial, logo vamos supor R$100,00.Deste saldo, 70% era de Ana e 30% era de Lúcia.
Gabarito: letra a
a) diminui para 60%
b) diminui para 65%
c) permaneceu em 70%
d) aumentou para 80%
e) aumentou para 85%
70% de R$100,00 = R$70,00
30% de R$100,00 = R$30,00
O pai das meninas fez um deposito exatamente igual ao saldo anterior, ou
seja, R$100,00. Sendo dividido igualmente entre elas: cada uma recebeu
R$ 50,00.
Ana = R$70,00 + R$50,00 = R$120,00
Lúcia = R$30,00 + R$50,00 = R$80,00
De R$200,00 na conta, R$120,00 é de Ana. Precisamos determinar qual 
 porcentagem esse valor representa do total. 
Para isso, montamos a fração. No denominador sempre colocamos o total
(200) e no numerador ficará a quantidade de partes do total que estamos
lidando (120). 
200
120
Como vimos no assunto, podemos encontrar a porcentagem dessa fração
de três formas diferentes.
1ª Forma
Multiplicando por 100%.
120
200
=× 100% 12000%
200
60%=
2ª Forma
120
200 = 60
100 60% 
÷2
÷2
3ª Forma
1 2 0 0
120 0,6
2 0 0 1 2 0 0
0 , 6 −
 0 
200Temos que = = 0,60 60% 
Zero acrescentado
Logo, diminui para 60%.
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Conteúdo Extra11.
Em alguns momentos do material, você se deparou com algumas
unidades de medidas (𝑘𝑚 ℎ𝑚 𝑑𝑎𝑚 𝑚 𝑑𝑚 𝑐𝑚 𝑚𝑚). 
Esse assunto é tão importante que daria para fazer um e-book
apenas com ele. Em todo o mundo as unidades de medida
seguem um padrão determinado pelo Sistema Internacional de
Unidades (SI). 
Às vezes, ao tentar resolver um exercício torna-se necessário por
parte do aluno fazer uma conversão de uma unidade de medida
para outra. Como conteúdo extra, vamos ver um resumo das
principais unidades de medidas e como convertê-las de forma
muito prática. 
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
𝑘𝑚𝑘𝑚 ℎℎ𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑎𝑚𝑑𝑎𝑚 𝑚𝑚 𝑑𝑚𝑑𝑚 𝑐𝑚𝑐𝑚
Esquerda para direita 
0,4 k𝑚 = 400 𝑚 3,25 𝑚 = 0,00325 k𝑚
70,25 𝑐𝑚 = 702,5 𝑚𝑚 83,1 𝑚𝑚 = 8,31 𝑐𝑚
1,251 𝑚 = 125,1 𝑐𝑚 2 𝑐𝑚 = 0,02 𝑚
1 casa para direita 1 casa para esquerda
3 casas para direita 3 casas para esquerda
2 casas para direita 2 casas para esquerda
 × 10
Direita para esquerda
 ÷ 10
Unidades de Comprimento
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Unidades de Área
 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100
 × 100 × 100 × 100 × 100 × 100 × 100
 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100
𝑘𝑚²𝑘𝑚² ℎℎ𝑚²𝑚² 𝑚𝑚²𝑚𝑚²𝑑𝑎𝑚²𝑑𝑎𝑚² 𝑚²𝑚² 𝑑𝑚²𝑑𝑚² 𝑐𝑚²𝑐𝑚²
1,5 𝑘𝑚² = 1500000 𝑚² 9,65 𝑚² = 0,00000965 𝑘𝑚²
3 𝑐𝑚² = 0,0003 𝑚²6,332 𝑚² = 63320 𝑐𝑚²
22,4 𝑚𝑚² = 0,224 𝑐𝑚²41,78 𝑐𝑚² = 4178 𝑚𝑚²
6 casas para direita 6 casas para esquerda
4 casas para esquerda4 casas para direita
2 casas para direita 2 casas para esquerda
Esquerda para direita 
 × 100
Direita para esquerda
 ÷ 100
70,25 𝑐𝑔 = 702,5 𝑚𝑔 83,1 𝑚𝑔 = 8,31 𝑐𝑔
1 casa para direita 1 casa para esquerda
96,32 𝑐𝑚³ = 96320 𝑚𝑚³ 74,3 𝑚𝑚³ = 0,0743 𝑐𝑚³
 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000
 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000
 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000
𝑘𝑚³𝑘𝑚³ ℎℎ𝑚³𝑚³ 𝑚𝑚³𝑚𝑚³𝑑𝑎𝑚³𝑑𝑎𝑚³ 𝑚³𝑚³ 𝑑𝑚³𝑑𝑚³ 𝑐𝑚³𝑐𝑚³
Unidades de Volume
Esquerda para direita 
 × 1000
Direita para esquerda
 ÷ 1000
8 k𝑚³ = 8000000000 𝑚³ 2 𝑚³ = 0,000000002 k𝑚³
6,465 𝑚³ = 6465000 𝑐𝑚³ 8,1 𝑐𝑚³ = 0,0000081 𝑚³
3 casas para esquerda3 casas para direita
9 casas para direita 9 casas para esquerda
6 casas para direita 6 casas para esquerda
1,251 𝑔 = 125,1 𝑐𝑔 2 𝑐𝑔 = 0,02 𝑔
0,4 k𝑔 = 400 𝑔 3,25 𝑔 = 0,00325 k𝑔
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
𝑘𝑔𝑘𝑔 ℎℎ𝑔𝑔 𝑚𝑔𝑚𝑔𝑑𝑎𝑔𝑑𝑎𝑔 𝑔𝑔 𝑑𝑔𝑑𝑔 𝑐𝑔𝑐𝑔
Unidades de Massa
Esquerda para direita 
 × 10
Direita para esquerda
 ÷ 10
3 casas para direita 3 casas para esquerda
2 casas para direita 2 casas para esquerda
90
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@matematica.do.zero
70,25 𝑐𝑙 = 702,5 𝑚𝑙 83,1 𝑚𝑙 = 8,31 𝑐𝑙
1 casa para direita 1 casa para esquerda
Resumindo temos:
 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100
 × 100 × 100 × 100 × 100 × 100 × 100
 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100
𝑘𝑚²𝑘𝑚² ℎℎ𝑚²𝑚² 𝑚𝑚²𝑚𝑚²𝑑𝑎𝑚²𝑑𝑎𝑚² 𝑚²𝑚² 𝑑𝑚²𝑑𝑚² 𝑐𝑚²𝑐𝑚²
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
ℎℎ𝑚𝑚
@matematica.do.zero
 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000
 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000
𝑘𝑚³𝑘𝑚³ ℎℎ𝑚³𝑚³ 𝑚𝑚³𝑚𝑚³𝑑𝑎𝑚³𝑑𝑎𝑚³ 𝑚³𝑚³ 𝑑𝑚³𝑑𝑚³ 𝑐𝑚³𝑐𝑚³
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
ℎℎ𝑔𝑔
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
𝑘𝑔𝑘𝑔 𝑚𝑔𝑚𝑔𝑑𝑎𝑔𝑑𝑎𝑔 𝑔𝑔 𝑑𝑔𝑑𝑔 𝑐𝑔𝑐𝑔
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
𝑘𝑙𝑘𝑙 ℎℎ𝑙𝑙
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
𝑚𝑙𝑚𝑙𝑑𝑎𝑙𝑑𝑎𝑙 𝑙𝑙 𝑑𝑙𝑑𝑙 𝑐𝑙𝑐𝑙
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
Unidades de Medidas
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
 ÷ 10 ÷ 10
𝑘𝑚𝑘𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑎𝑚𝑑𝑎𝑚 𝑚𝑚 𝑑𝑚𝑑𝑚 𝑐𝑚𝑐𝑚Comprimento
Área
Volume
Massa
Capacidade
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝑚𝑚
Além dessas, existem outras conversões que são bastante
utilizadas e que de vez em quando você precisará saber para
resolver algumas questões. Vamos a elas: 
Unidades de Capacidade
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
𝑘𝑙𝑘𝑙 ℎℎ𝑙𝑙 𝑚𝑙𝑚𝑙𝑑𝑎𝑙𝑑𝑎𝑙 𝑙𝑙 𝑑𝑙𝑑𝑙 𝑐𝑙𝑐𝑙
Esquerda para direita 
0,4 k𝑙 = 400 𝑙 3,25 𝑙 = 0,00325 k𝑙
3 casas para direita 3 casas para esquerda
1,251 𝑙 = 125,1 𝑐𝑙 2 𝑐𝑙 = 0,02 𝑙
2 casas para direita 2 casas para esquerda
 × 10
Direita para esquerda
 ÷ 10
91
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1 Polegada
1 𝑐𝑚³
1 𝑚³
1 Milha
1 Pé
1 quilograma 
1 Tonelada 
1 Quilate 
1 Jarda
1 Hectare 
1 Are
1 Acre
1 𝑑𝑚³
10001000
1000 𝑘1000 𝑘
0,20,2 
30,48 𝑐𝑚30,48 𝑐𝑚
91,4 𝑐𝑚91,4 𝑐𝑚
1,6 𝑘𝑚1,6 𝑘𝑚
100 𝑚²100 𝑚²
10000 𝑚²10000 𝑚²
1000 𝑙1000 𝑙
1 𝑙1 𝑙
1 𝑚𝑙1 𝑚𝑙
Conversões ImportantesConversões Importantes
2,54 𝑐𝑚2,54 𝑐𝑚
1 Palmo 22 𝑐𝑚22 𝑐𝑚
10000 𝑚²10000 𝑚²
𝑔𝑔
𝑔𝑔
𝑔𝑔
7 dias
1000 anos
10 anos
3 meses
28, 29, 30 ou 31 dias
60 segundos
60 minutos
24 horas
2 meses
2 anos
6 meses
12 meses
100 anos
1 minuto1 minuto
1 hora1 hora
1 dia1 dia
1 mês1 mês
1 bimestre1 bimestre
1 trimestre1 trimestre
1 semestre1 semestre
1 ano1 ano
1 década1 década
1 século1 século
1 milênio1 milênio
Unidade de TempoUnidade de Tempo
1 semana1 semana
15 dias 1 quinzena1 quinzena
1 biênio1 biênio
92
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@matematica.do.zero 93
Considerações Finais12.
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado
do material.
Esse foi o nosso terceiro e-book e muitos ainda virão,
começamos do básico e iremos até os conteúdos mais
avançados.
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembrem-se que vocês
podem fazer perguntas e sugestões no direct da página
@matematica.do.zero. 
Estou sempre à disposição. 
Um forte abraço e até a próxima!
 
 
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Pirataria é Crime
Essa lei todo mundo conhece, mas é sempre bom
revisar o porquê e como você pode ser prejudicado com
essa prática.
Professor investe seu tempo para elaborar o curso
Pirata revende as aulas protegidas por direitos autorais,
praticando concorrência desleal e em flagrante desrespeito à Lei 
de Direitos Autorais (Lei 9.610/98)
Paga o crime organizado. O dinheiro da pirataria é usado para a
prática de outros crimes.
Pirata fere os Termos de Uso, adultera as aulas e retira a
identificação dos arquivos PDF
O professor que elaborou o curso não ganha nada e a pessoa
que praticou todos os ilícitos anteriores (pirata) fica com o lucro.
Deixando de lado esse mar de sujeira, aproveitamos para
agradecera todos que adquiriram este e-book de maneira
honesta e permitem que a página continue existindo. 
@matematica.do.zero
Licensed to Andréia de Oliveira Rodrigues Paulino - andreiaoliverpaulin2018@gmail.com - HP10816885556381de habitantes de uma região e a área
dessa região. 
n.º de habitantes
área
7
Isso significa que para cada hora percorrida, o carro se deslocou
164 𝑘𝑚. 
É importante notar que deve haver conformidade entre as
unidades. Por exemplo, se a velocidade é dada em 𝑘𝑚/ℎ, a
distância deve ser usada em 𝑘𝑚 e o tempo em ℎ. 
Densidade Demográfica1.1.2.
D = 
Santa Cruz do Capibaribe ocupa uma área aproximada de
335,526 𝑘𝑚². De acordo com o censo realizado pelo IBGE em
2011, a cidade tinha uma população aproximada de 89.772
habitantes. Qual era, então, a densidade demográfica de Santa
Cruz do Capibaribe
As unidades físicas que representam a velocidade mais usuais
são o quilômetro por hora (𝑘𝑚/ℎ) e o metro por segundo
(𝑚/𝑠), e existe uma relação de conversão muito usual entre elas:
(𝑘𝑚/ℎ) (𝑚/𝑠)
 ÷ 3,6
 × 3,6
18 𝑘𝑚/ℎ = 5 𝑚/𝑠 
 ÷ 3,6
36 𝑘𝑚/ℎ = 10 𝑚/𝑠 
 ÷ 3,6
15 𝑚/𝑠 = 54 𝑘𝑚/ℎ 
 × 3,6
20 𝑚/𝑠 = 72 𝑘𝑚/ℎ 
× 3,6
ANOTE AÍ
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É a razão constante entre qualquer medida de comprimento em
um desenho e a medida correspondente no objeto real. 
Escala1.1.3.
Tome muito cuidado, querido aluno, porque no assunto de Escala
a medida do desenho e a medida real deverão ter a mesma
unidade de medida (ambas em 𝑘𝑚 ℎ𝑚 𝑑𝑎𝑚 𝑚 𝑑𝑚 𝑐𝑚 𝑚𝑚).
Se você não sabe quais as unidades de medida de comprimento,
não se preocupe, vou deixar uma tabela aqui e também uma
frase que te ajudará a lembrar a ordem correta.
8
Portanto, a densidade demográfica da cidade de Santa Cruz do
Capibaribe era de 267,556 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚², aproximadamente.
comprimento real
comprimento do desenhoE = 
Em um mapa, a distância entre as cidades A e B é de 5 𝑐𝑚 e,
sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 25 𝑘𝑚,
qual a escala utilizada no mapa
D = 89772
335,526
= 267,556 
E = 5 𝑐𝑚
25 𝑘𝑚
Múltiplos Unidade
 𝑘𝑚 
Karen hoje deu muitos doces com mel
Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
É importante que você saiba efetuar a conversão de unidades de
medida, pois as distancias em um mapa geralmente são dadas
em 𝑐𝑚 e as distâncias na vida real são dadas em 𝑘𝑚.
 ℎ𝑚 𝑑𝑎𝑚 𝑚 𝑑𝑚 𝑐𝑚 𝑚𝑚
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@matematica.do.zero
Para realizar a conversão, precisamos construir a seguinte tabela,
respeitando a ordem para os múltiplos e submúltiplos do metro.
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
Da esquerda para a direita multiplica por 10
Da direita para a esquerda divide por 10
Significa que 1 𝑐𝑚 no desenho corresponde a 500000 𝑐𝑚 no real,
ou seja, a 5 𝑘𝑚 no real.
Queremos transformar de 𝑘𝑚 para 𝑐𝑚, logo vamos multiplicar por
10 cinco vezes, ou seja, multiplicar por 100000.
𝑘𝑚 
 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
E = 5 𝑐𝑚
25 𝑘𝑚 = 5 𝑐𝑚
2500000 𝑐𝑚 = 1 𝑐𝑚
500000 𝑐𝑚
distância percorrida
tempo gasto
área
D 
comprimento real
comprimento do desenho
E
n.º de habitantes
V 
Velocidade Média
Escala
Densidade Demográfica
9
Resumo1.1.4.
ℎ𝑚 𝑚𝑚𝑑𝑎𝑚 𝑚 𝑑𝑚 𝑐𝑚
𝑘𝑚 ℎ𝑚 𝑚𝑚𝑑𝑎𝑚 𝑚 𝑑𝑚 𝑐𝑚
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𝑎 𝑐
𝑎 𝑐 𝑒
10
Proporção
Proporção é simplesmente a igualdade entre duas ou mais
razões. 
2.
3ª forma: 𝑎 𝑐
𝑏 = 𝑑
Os números 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 são chamados, respectivamente, 1º, 2º, 3º
e 4º termos.
Proporção
𝑏Simples
Múltipla
= 𝑑
𝑏 = 𝑑 = 𝑓
Uma proporção simples pode ser denotada das seguintes
formas:
1ª forma: 𝑎 𝑐
𝑏 = 𝑑
Nesse caso, dizemos que 𝑎 e 𝑐 são os antecedentes; 𝑏 e 𝑑 são
os consequentes. 
2ª forma:
𝑎 : 𝑏 = 𝑐 : 𝑑
Nesse caso, dizemos que 𝑎 e 𝑑 são os extremos; 𝑏 e 𝑐 são os
meios.
antecedentes
consequentes
extremos
meios
1º termo
2º termo
3º termo
4º termo
Assim, podemos obter as seguintes designações:
antecedente
consequente
antecedente
consequente=
extremo
meio
meio
extremo=
1º termo
2º termo
3º termo
4º termo=ou ou
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Propriedade Fundamental: 1º1º
𝑎 𝑐= 𝑑 𝑏 𝑐 = 𝑎 𝑑
3 10 = 2 15 
Ela é importantíssima, guarde no seu . 
11
2.
Entender essas nomenclaturas é importante para compreender
as propriedades, porém a leitura mais usual que utilizamos é:
 "𝑎 está para 𝑏, assim como 𝑐 está para 𝑑"
 Propriedades das Proporções2.1.
O estudo das proporções é bastante facilitado por meio de
algumas propriedades, as quais auxiliam nos cálculos
necessários à resolução das questões. 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
𝑏 ⇔
2
3
10
15
=
⇔ ⇔
30 = 30
É comum chamar esta propriedade de "multiplicação cruzada".
Propriedade da soma ou da diferença2º2º
A soma (ou diferença) entre os dois primeiros termos de uma
proporção está para o primeiro termo, assim como a soma (ou
diferença) entre os dois últimos está para o terceiro termo. 
𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑= 𝑐𝑎
2
3
4
6=
⇒
2 + 3
2
4 + 6
4
=
⇒
5
2
10
4=
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@matematica.do.zero
Propriedade da soma ou diferença
dos antecedentes e consequentes
3º3º
12
2.
A soma (ou diferença) entre os dois primeiros termos de uma
proporção está para o segundo termo, assim como a soma (ou
diferença) entre os dois últimos está para o quarto termo.
A soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou 
 diferença) dos consequentes.
Propriedade da permutação4º4º
𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑= 𝑑𝑏
2
3
4
6=
⇒
2 + 3
3
4 + 6
6
=
⇒
5
3
10
6=
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑
𝑎 𝑐= 𝑑𝑏
2
3
4
6= 2 + 4
3 + 6
6
9
==
Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando (ou
subtraindo) os numeradores das frações e somando (ou
subtraindo) os denominadores.
Uma proporção não se altera se permutarmos seus meios ou
extremos.
Se 𝑎 𝑐= 𝑑𝑏 então
𝑎 𝑏= 𝑑𝑐
𝑑 𝑐= 𝑎𝑏
(permutamos b e c)
(permutamos a e d)
2
3
4
6=
2
4
3
6=
6
3
4
2=
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@matematica.do.zero 13
2.
Você deve estar se perguntando QUANDO e COMO irá usar
essas propriedades, vamos fazer um exercício para entender
melhor a importância delas.
Ex. : Sabe-se que e que 𝑥 + 𝑦 = 72. Determine os valores
de 𝑥 e 𝑦.
𝑥
𝑦 = 3
5
Resolução:
Temos que 
𝑥
𝑦 = 3
5
Vamos deixar as incógnitas no numerador e os números no denominador,
para isso utilizaremos a Propriedade 4.
𝑥
3
=
𝑦
5
(permutamos 𝑦 e 3)
Pela Propriedade 3, podemos prolongar essa proporção. Para tanto, basta
adicionar os numeradores e adicionar os denominadores.
𝑥
3
=
𝑦
5 = 𝑥 + 𝑦
3 + 5
O enunciado nos diz que 𝑥 + 𝑦 = 72, sendo assim:
𝑥
3
=
𝑦
5 = 𝑥 + 𝑦
3 + 5 = 72
8 = 9
1 = 9
÷ 8
÷ 8
Agora é só perceber que 𝑥
3 = 9 e que 𝑦
5 = 9
𝑥
3
=
𝑦
5 = 𝑥 + 𝑦
3 + 5 = 72
8 = 9
1 = 9
Utilizando a Propriedade 1, temos
𝑥
3
= 9
⇔
𝑥 = 9 3
⇒
𝑥 = 27
𝑦
5
= 9
⇔
𝑦 = 9 5
⇒
𝑦 = 45
Portanto, 𝑥 = 27 e 𝑦 = 45 
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@matematica.do.zero 14
Proporcionalidade
Você já deve ter escutado alguma vez na vida que duas coisas
são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Vamos agora definir essas expressões.
3.
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais
quando, AUMENTANDO uma delas, a outra também AUMENTA
na mesma proporção, ou, DIMINUINDO uma delas, a outra
também DIMINUI na mesma proporção.
À medida que as horas aumentam, as impressões também
aumentam, ou seja, horas e impressões são grandezas
diretamenteproporcionais.
 Grandezas Diretamente Proporcionais3.1.
Falando de uma maneira mais informal, são grandezas que
crescem juntas e diminuem juntas.
Por exemplo, em uma gráfica são feitas impressões de livros
escolares. Em 2 horas, são realizadas 40 impressões; em 3
horas, 60 impressões; em 4 horas, 80 impressões.
A tabela a seguir representa essa situação hipotética:
ImpressõesHoras
2 40
3 60
4 80
A constante de proporcionalidade entre as grandezas é
encontrada pela razão entre o tempo de trabalho da máquina e o 
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@matematica.do.zero 15
2. =2
40 2.
1
20
÷ 2
÷ 2 2. =3
60 2.
1
20
÷ 3
÷ 3 2. =4
80 2.
1
20
÷ 4
÷ 4
2. =4
80 2.
1
202. =3
602. =2
40
Ou seja,
constante de proporcionalidade (𝑘) 
De maneira geral, denotamos:
=𝑎
𝑏 𝑘 ou =𝑎 𝑏 𝑘
Muitos professores preferem a primeira forma, eu,
particularmente, prefiro a segunda ( ) acho bem mais
simples, utilizaremos ela em nossas resoluções. 
𝑎 𝑏 𝑘
Por exemplo, um automóvel move-se a 40 𝑘𝑚/ℎ e demora cerca
de 6 horas para chegar ao seu destino. Já em 80 𝑘𝑚/ℎ, ele
demora 3 horas para chegar ao seu destino.
Podemos afirmar que duas grandezas são inversamente
proporcionais quando, AUMENTANDO uma delas, a outra
DIMINUI na mesma proporção, ou, DIMINUINDO uma delas, a
outra AUMENTA na mesma proporção.
 Grandezas Inversamente Proporcionais3.2.
= 
Falando de uma maneira mais informal, se uma cresce , então a
outra diminui . Se uma diminui , a outra cresce .
A tabela a seguir representa essa situação hipotética:
 número de cópias realizadas.
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constante de proporcionalidade (𝑘) 
De maneira geral, denotamos:
Nesse caso, encontramos a constante de proporcionalidade
por meio do produto entre as grandezas.
40 6 = 240 80 3 = 240
Ou seja,
40 6 = 80 3 = 240
Entre essas opções, utilizaremos a terceira:
Observe que dobrar a velocidade implica em gastar metade do
tempo para chegar, ou seja, as grandezas velocidade e tempo
são inversamente proporcionais. 
TempoVelocidade
40 6
80 3
=𝑎
𝑐
𝑘1ou𝑎 𝑐 = 𝑘 =𝑎 𝑐
𝑘ou
=𝑎 𝑐
𝑘
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 Divisão Proporcional
Este é um dos principais tópicos desse e-book, pois esse assunto
simplesmente despenca em provas. Então, atenção total a cada
aspecto que apresentarei a seguir.
4.
Divisão em Partes Diretamente Proporcionais4.1.
Podemos definir Divisão Proporcional como sendo a partição de
um determinado valor em partes diretamente ou inversamente
proporcionais a um grupo de números.
Temos também o caso misto, em que um valor pode ser dividido
em partes diretamente proporcionais a um grupo de números e
em partes inversamente proporcionais a um outro grupo de
números.
Sendo assim, inicialmente estudaremos o caso da divisão em
números diretamente proporcionais. Em seguida, faremos a
análise da situação em que estará presente a divisão
inversamente proporcional. E, por fim, veremos problemas em
que a divisão ocorrerá de modo misto.
Quando realizamos uma divisão diretamente proporcional
estamos dividindo um número de maneira proporcional a uma
sequência de outros números.
Vamos ver um exemplo e nele colocarei o passo a passo de tudo
que você precisa fazer.
Ex. : João possui três filhos: Ana, Thiago e Jorge. Ele decidiu
dividir R$200,00 de forma diretamente proporcional à idade de
cada filho. Determine quanto cada um receberá, sabendo que 
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Ana está com 4, Thiago com 6 e Jorge com 10 anos.
Resolução:
Passo 1
Identificar as incógnitas Ana = A Thiago = T Jorge = J
Passo 2
Montar a proporção =𝑎 𝑏 𝑘
=𝑎 𝑏 𝑘
Filhos Idade Constante de
Proporcionalidade 
=A 4 𝑘 =T 6 𝑘 =J 10 𝑘
Ana Thiago Jorge
Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
 A por 4𝑘
 T por 6𝑘
 J por 10𝑘
O total entre os filhos é R$200,00
A + T + J = 200
4𝑘 + 6𝑘 + 10𝑘 = 200
20𝑘 = 200
200
20𝑘 =
𝑘 = 10
Passo 4
calcular o valor de cada parte
substituindo o valor de 𝑘. =A 4 𝑘
Ana
=A 40=A 4 10
𝑘 = 10 Valor
=T 6 𝑘
Thiago
T 60=T 6 10=
𝑘 = 10 Valor
Jorge
=J 100=J 10 10
𝑘 = 10 Valor
=J 10 𝑘
Portanto, Ana receberá R$40,00, Thiago receberá R$60,00 e Jorge,
R$100,00
Para ter mais certeza dos seus cálculos, a soma das partes tem que dar o
todo, ou seja, 40 + 60 + 100 tem que ser igual aos 200 que foram divididos.
Se o enunciado da questão só mencionar a palavra
“proporcional”, sem afirmar se é diretamente ou inversamente
proporcional, assuma sempre que é diretamente proporcional! 
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Divisão em Partes Inversamente Proporcionais4.2.
Para dividir em partes inversamente proporcionais, iremos fazer
semelhante ao que fizemos no tópico anterior. 
Ex. : Um pai decidiu dividir uma mesada de R$315,00 entre seus
dois filhos, Anderson e Bruna. Foi decidido que a divisão seria
inversamente proporcional às faltas de cada um na escola
naquele mês. Se Anderson faltou três vezes e Bruna quatro
vezes, quanto recebeu o filho que menos faltou 
Perceba a diferença:
Diretamente proporcional 
Inversamente proporcional 
𝑎 𝑏 𝑘= 
=𝑎 𝑐
𝑘
Resolução:
Passo 1
Identificar as incógnitas Anderson = A Bruna = B
Passo 2
Montar a proporção
Filhos
=𝑎 𝑐
𝑘
Faltas
Constante de
Proporcionalidade Anderson Bruna
Passo 3
=𝑎 𝑐
𝑘
=B 4
𝑘=A 3
𝑘
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
A por 𝑘
 3
B por 𝑘
4
O total entre os filhos é R$315,00
A + B = 315
 = 315𝑘
 3 + 𝑘
4
4𝑘
12
+ 3𝑘 = 315
 = 3157𝑘
12
 = 3157𝑘 12
 = 37807𝑘
3780
7𝑘 =
𝑘 = 540
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Passo 4
calcular o valor de cada parte
substituindo o valor de 𝑘.
Anderson 𝑘 = 540 Valor
Anderson foi o filho que menos faltou e recebeu R$180,00.
Anderson faltou menos (3) e recebeu mais R$180,00
=A 3
𝑘 = 540A 3 A 180=
Bruna 𝑘 = 540 Valor
=B 4
𝑘 = 540B 4 B 135=
Bruna faltou mais (4) e recebeu menos R$135,00
Divisão Direta e Inversamente Proporcionais4.3.
Novamente deixo avisado que existem outras formam de resolver
essas questões, tanto a diretamente proporcional, como a
inversamente proporcional, não explicarei elas aqui, porque não
quero confundir a sua cabeça.
( )
Você deverá associar divisão diretamente proporcional a uma
multiplicação ( ). E deverá associar divisão inversamente
proporcional a uma divisão . 
𝑎 𝑏 𝑘 = 
=𝑎 𝑐
𝑘
Este assunto é menos frequente, entretanto você precisa está
preparado para qualquer questão. Recomendo que releia os
tópicos anteriores (4.1. e 4.2.), se entendê-los com perfeição, irá
compreender este tópico com facilidade, mesmo sendo mais
difícil.
O conceito misto implica a divisão de um número em certa
quantidade de partes, de tal forma que cada uma dessas partes
seja, ao mesmo tempo, diretamente proporcional a pelo menos
uma sucessão de números dados e inversamente proporcional a
pelo menos uma outra. 
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Na hora de montar a proporção iremos fazer uma "mistura".
Tínhamos que:
Ex. : No quadro a seguir, têm-se as idades e os tempos de
serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal
de certa circunscrição judiciária.
Diretamente
Proporcional
Inversamente
Proporcional
𝑎 𝑏 𝑘= 
=𝑎 𝑐
𝑘
multiplicação
Divisão
Misto = 𝑘𝑎 𝑐
𝑏
multiplicaçãoDivisão
36 8
30 12
Idade 
(em anos)
Tempo de Serviço
(em anos)
João
Maria
Esses funcionários foram incumbidos de digitar 84 laudas de um
processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de
suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal.
Quantas laudas digitou cada funcionário
Resolução:
Passo 1
Identificar as incógnitas João = J Maria = M
Passo 2
Montar a proporção
Funcionários
T. de Serviço
Constante de
Proporcionalidade 
João Maria
Primeiramente, vamos identificar quais grandezas são diretamente
proporcionais e quais são inversamente proporcionais.
Analisando o enunciado da questão, temos: 
Idade diretamente 
Tempo de Serviço inversamente
= 𝑘𝑎 𝑐
𝑏
Idade = 𝑘𝑎 𝑐
𝑏
= 𝑘J 8
36 = 𝑘M 12
30
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Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
J por 𝑘
8
M por
O total de laudas é 84
J + M = 84
 = 84+
108𝑘
24
+ 60𝑘 = 84
 = 84168𝑘
24
 = 84168𝑘 24
 = 2016168𝑘
2016
168𝑘 =
𝑘 = 12
Passo 4
calcular o valor de cada parte
substituindo o valor de 𝑘. 𝑘 = 12 Laudas
J 54=
𝑘 = 12 Laudas
M 30=
Maria
= 𝑘M 12
30 = 12M 12
30
36
𝑘
12
30
𝑘
8
36 𝑘
12
30
João
= 𝑘J 8
36 = 12J 8
36
Logo, João digitou 54 laudas e Maria, 30 laudas.
A divisão proporcional também é muito usada em situações
relacionadas à Matemática Financeira, Contabilidade,
Administração, na divisão de lucros e prejuízos proporcionais aos
valores investidos pelos sócios de uma determinada empresa.
Vamos analisar essas situações na próxima seção.
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Não parece justo, né verdade? O lucro precisa ser proporcional
ao investimento, ou seja, se você investiu o dobro, então o lucro
(ou prejuízo) será o dobro. Sendo assim, dos R$3.000,00 seria
R$2.000,00 seu e R$1.000,00 do seu amigo. 
A Regra de Sociedade pode ser dividida em simples e
composta, sendo que a simples é dividida em três casos. 
23
 Regra de Sociedade 
A regra de sociedade está ligada à divisão de lucros e prejuízos
entre administradores de uma empresa. A divisão das finanças
precisa ser diretamente proporcional ao investimento de cada
pessoa, como também ao tempo durante o qual esse capital
permaneceu empregado.
5.
Imagine, querido aluno, que você decidi abrir uma loja junto com
seu amigo. Porém você tem R$10.000,00 para iniciar, enquanto
ele, apenas R$5.000,00. No primeiro mês o lucro seja de
R$3.000,00 e seu amigo fala: "quero meus R$1500,00". 
Regra de Sociedade
Composta
Simples
Capitais iguais e tempos iguais 
Capitais diferentes e tempos iguais 
Capitais iguais e tempos diferentes 
Capitais diferentes e tempos diferentes
Vamos analisar caso por caso.
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Os capitais investidos são iguais e os tempos de permanência
dos sócios na empresa são iguais. Este é o caso mais óbvio e
simples.
1º Caso
Vamos seguir com o exemplo da loja aberta por você e seu
amigo, que irá se chamar Lucas. Só que neste caso, os capitais
iniciais foram iguais: cada um investiu R$10.000,00. 
Então, se a empresa lucrar R$3.000,00 no primeiro mês, será
dividido pela metade, R$1.500,00 para cada. Se em 12 meses
tiver um lucro de R$75.000,00, seu lucro será de R$37.500,00. 
Funcionaria da mesma forma se o saldo fosse negativo.
2º Caso
Os capitais investidos são diferentes e os tempos de
permanência dos sócios na empresa são iguais. 
Este caso é aquele primeiro exemplo que falamos no início,
quando você e Lucas abriram a empresa investindo R$10.000,00
e R$5.000,00, respectivamente. 
Desta vez responderemos de uma maneira mais formal. Em um
ano (12 meses) o lucro total da empresa foi R$75.000,00, quanto
receberá cada um
Passo 1
Identificar as incógnitas Você = V Lucas = L
Resolução:
Nessa situação, a divisão do lucro será diretamente proporcional aos
valores dos capitais. Para simplificar os cálculos, vamos esquecer os
zeros dos milhares: 
Passo 2
Montar a proporção
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=𝑎 𝑏 𝑘=𝑎 𝑏 𝑘
Sócios Capital
Investido
Constante de
Proporcionalidade V 10 𝑘= L 5 𝑘=
Você Lucas
Passo 3
Encontrar o valor de 𝑘.
Para isso, substituiremos
 V por 10𝑘
 L por 5𝑘
O lucro total foi R$75.000,00
(usaremos 75 para facilitar)
V + L = 75
10𝑘 + 5𝑘 = 75
15𝑘 = 75
75
15𝑘 =
𝑘 = 5
Passo 4
calcular o valor de cada parte
substituindo o valor de k. =V 10 𝑘
Você
=V 50=V 10 5
𝑘 = 5 Valor
=L 5 𝑘
Lucas
=L 25=L 5 5
𝑘 = 5 Valor
Portanto, Você receberá R$50.000,00 e Lucas receberá R$25.000,00.
3º Caso
Os capitais dos sócios são iguais e os tempos de permanência
de cada um na empresa são diferentes.
Em um ano (12 meses) o lucro total da empresa foi R$75.000,00.
Só que dessa vez, você iniciou a empresa sozinho investindo
R$5.000,00. Quatro meses depois, Lucas pediu para virar sócio
investindo o mesmo valor. Depois de 7 meses, uma outra amiga,
Rebeca, investindo o mesmo valor também virou sócia. Quanto
cada um receberá 
Resolução:
Perceba que todos investiram o mesmo valor R$5,000,00, mas o tempo de
permanência na empresa é diferente. Nessa situação, a divisão do lucro
será diretamente proporcional aos tempos de cada um.
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Passo 3 O lucro total foi R$75.000,00
V + L + R = 75
12𝑘 + 8𝑘 + 5𝑘 = 75
25𝑘 = 75
75
25𝑘 =
𝑘 = 3
Passo 4
=V 12 𝑘
Você
=V 36=V 12 3
𝑘 = 3 Valor
Logo, Você receberá R$36.000,00, Lucas receberá R$24.000,00 e Rebeca,
R$15.000,00 
Você iniciou a empresa 
Depois de 4 meses, Lucas entrou
12 meses de permanência
8 meses de permanência
Depois de 7 meses, Rebeca entrou 5 meses de permanência
O passo a passo é igual ao anterior, vamos fazer um pouco mais resumido.
Passo 1 Você = V Lucas = L Rebeca = R
Passo 2 =𝑎 𝑑 𝑘
=V 12 𝑘 =R 5 𝑘
Você Rebeca
=L 8 𝑘
Lucas
=L 8 𝑘
Lucas
=L 24=L 8 3
𝑘 = 3 Valor
R 5 𝑘=
Rebeca
=R 15=R 5 3
𝑘 = 3 Valor
4º Caso
Os capitais e os tempos de permanência são diferentes.
Nessa situação, estamos diante da Regra de Sociedade
Composta, em que a divisão do lucro/prejuízo será diretamente
proporcional ao produto dos capitais pelos respectivos tempos de
associação.
Perceba que tanto a grandeza do capital, como a grandeza do
tempo, são grandezas DIRETAMENTE proporcionais. 
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Este 4º caso é uma junção entre o 2º caso e o 3º.
2º Caso
3º Caso
𝑎 𝑏 𝑘= 
𝑎 𝑑 𝑘= 
Capital Investido
Tempo
4º Caso 𝑎 𝑏 𝑑 𝑘= 
Capital Investido
Tempo
Em um ano (12 meses) o lucro total da empresa foi R$75.000,00.
Só que dessa vez, você iniciou a empresa sozinho investindo
R$6.000,00. Quatro meses depois, Lucas pediu para virar sócio
investindo R$11.000,00. Depois de 7 meses, uma outra amiga,
Rebeca, investindo R$18.000,00 também virou sócia. Quanto
cada um receberá 
Resolução:
Note que, agora, tanto o capital, como o tempo são diferentes, por isso
estamos diante de um caso composto.
Observe os dados distribuídos na tabela a seguir: 
R$6.000,00 12
8
Valor Investido Tempo na associação
Você
Lucas
Rebeca
Lucro
R$11.000,00
R$18.000,00 5
Passo 1 Você = V Lucas = L Rebeca = R
Passo 2 =𝑎 𝑏 𝑑 𝑘
V 6 12 𝑘 
Você
= L 11 8 𝑘
Lucas
= R 18 5 𝑘
Rebeca
=
V 72 𝑘 = L 88 𝑘= R 90 𝑘=
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75
250𝑘 =
𝑘 = 0,3
Passo 4
=V 72 𝑘
Você
V 21,6==V 72 0,3
𝑘= 0,3 Valor
=L 88 𝑘
Lucas
=L 26,4=L 88 0,3
𝑘 = 0,3 Valor
=R 90 𝑘 
Rebeca
=R 27=R 90 0,3
𝑘 = 0,3 Valor
R$6.000,00 12
8
Valor Investido Tempo na associação
Você
Lucas
Rebeca
Lucro
R$11.000,00
R$18.000,00 5
Portanto,
R$21.600,00
R$26.400,00
R$27.000,00
Passo 3 O lucro total foi R$75.000,00
V + L + R = 75
72𝑘 + 88𝑘 + 90𝑘 = 75
250𝑘 = 75
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A parte boa é que o método para resolver a regra de três simples
e a regra de três composta é exatamente o mesmo. Vamos
conhecê-lo:
29
 Regra de Três
A regra de três é um método que utilizamos para encontrar
valores desconhecidos quando estamos trabalhando com
grandezas direta ou inversamente proporcionais. Esse método
de resolução tem bastante aplicação não só na matemática,
como na física, química e em situações constantes do dia a dia.
6.
Todo mundo já se viu diante de um conteúdo na escola e se
perguntou “pra que eu vou usar isso?”, não é? A gente sabe. A
questão é que conteúdos como a regra de três podem ser uma
verdadeira mão na roda em situações práticas do nosso
cotidiano, mas, muitas vezes deixamos de aproveitá-las porque
não sabemos como aplicar.
Bom, existem dois tipos de regras de três: a simples e a
composta. 
Na regra de três simples, três valores são conhecidos e temos
como objetivo encontrar um quarto valor. Na regra de três
composta, são conhecidos mais de três valores.
Esquematize uma tabela, colando as
grandezas no cabeçalho.
Na segunda linha, repita o mesmo processo
da primeira.
Na primeira linha, ponha as grandezas
diferentes que estão relacionadas.
1.º1.º
2.º2.º
3.º3.º
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Identifique se as grandezas são diretamente
ou inversamente proporcionais
Inverta os valores das grandezas
inversamente proporcionais
Monte a proporção, colocando a razão da
incógnita à esquerda da igualdade.
30
Não precisa se assustar com a quantidade de etapas, a maioria é
muito simples. Você só precisará tomar MUITO cuidado com o
passo 5, pois nas questões não será informado se as grandezas
são diretamente ou inversamente proporcionais, ou seja, você
terá que analisar e classificá-las. 
Vamos obsevar uma tabela, na qual demonstra algumas relações
diretas ou inversas entre grandezas comumente cobradas em
provas:
Grandezas Relação
Nº de funcionário X Serviço 
Descrição
Mais funcionários contratados demanda
mais serviço produzidoDireta
Nº de funcionário X Tempo Mais funcionários contratados exigem
menos tempo de trabalhoInversa
Nº de funcionário X Eficiência Mais eficiência (dos funcionários) exige
menos funcionários contratadosInversa
Nº de funcionário X Grau 
de dificuldade
Quanto maior o grau de dificuldade, mais
funcionários deverão ser contratados Direta 
Serviço X Tempo Mais serviço produzido exige mais
tempo para realizá-loDireta
Serviço X Eficiência Quanto maior for a eficiência dos
funcionários, mais serviço será produzidoDireta 
Serviço X Grau de dificuldade Quanto maior for o grau de dificuldade,
menos serviços serão produzidosInversa
Tempo X Eficiência Quanto maior for a eficiência, menos
tempo será necessárioInversa
Tempo X Grau de dificuldade Quanto maior o grau de dificuldade,
mais tempo será necessárioDireta
Coloque uma seta para baixo na coluna da
grandeza desconhecida, " ".𝑥4.º4.º
5.º5.º
6.º6.º
7.º7.º
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@matematica.do.zero 31
Nessa tabela, considere que a grandeza eficiência esteja
associada aos trabalhadores, bem como o grau de dificuldade ao
serviço produzido. 
Nem sempre será fácil identificar se as grandezas são direta ou
inversamente proporcionais. Quando isso acontecer,
experimente trocar a ordem. Note que algumas vezes foi feito
isso na tabela.
Nº de funcionário X Eficiência
Enfim, experimente nos dois sentidos que um deles você chegará
a uma conclusão. Tanto faz a ordem que escolher para relacionar
duas grandezas, a relação entre elas terá que ser a mesma.
Se aumentarmos o n.º de funcionário, precisaremos de mais
ou menos eficiência para realizar um serviço? Fica um pouco
confuso, trocando a ordem fica mais simples analisar. 
Quanto mais eficiência dos funcionários, menos funcionários
necessitaremos para realizar determinado serviço. 
Regra de Três Simples6.1.
Regra de Três Simples é o método que utilizaremos quando
estiverem envolvidas apenas duas grandezas, cada grandeza
possui dois valores, ou seja, serão quadro valores no total, em
que três serão fornecidos, para que assim, descubramos o
quarto.
Aqui usaremos e abusaremos da propriedade fundamental: o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
2 6= 15 6 𝑥 = 2 15𝑥 ⇒
⇒
6 𝑥 = 30 𝑥 =
⇒
𝑥 = 5
⇒6
30
multiplicação cruzada
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@matematica.do.zero 32
Ex.: Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 𝑘𝑚.
Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para
percorrer 840 𝑘𝑚, consumirá:
Resolução:
Esquematize uma tabela, colando as grandezas no cabeçalho.
Consumo ( 𝑙 ) Distância (𝑘𝑚)
Passo 2:
Passo 1:
Deixe sempre a grandeza da incógnita (a pergunta que foi feita) na primeira 
coluna. Neste caso a pergunta foi o consumo. 
Na primeira linha, ponha as grandezas diferentes que estão
relacionadas.
Consumo ( 𝑙 ) Distância (𝑘𝑚)
50 600
Passo 3: Na segunda linha, repita o mesmo processo da primeira.
Consumo ( 𝑙 ) Distância (𝑘𝑚)
50 600
𝑥 840
Note que utilizamos “𝑥” para representar o valor faltante, que neste caso é o
consumo em litros.
Passo 4: Coloque uma seta para baixo na coluna da grandeza
desconhecida, "𝑥".
Consumo ( 𝑙 ) Distância (𝑘𝑚)
50 600
𝑥 840
Passo 5: Identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais
Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, colocaremos uma
seta para baixo (no mesmo sentindo). 
Quando as grandezas forem inversamente proporcionais, colocaremos
uma seta para cima (no sentindo contrário).
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@matematica.do.zero 33
Passo 7: Montar a proporção, colocando a razão da incógnita à esquerda
da igualdade.
Portanto, o carro consumirá 70 litros para percorrer 840 𝑘𝑚.
Para saber se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais, você nem precisa utilizar os valores da tabela, basta testar o
aumento de uma grandeza em relação ao aumento ou à diminuição da
outra.
Precisamos nos perguntar: : “Se aumenta a distância percorrida, aumenta
ou diminui o consumo?” Ora, se aumentarmos a distância, então mais
consumo haverá. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais (seta
na mesma direção). 
Consumo ( 𝑙 ) Distância (𝑘𝑚)
50 600
𝑥 840
Como neste exemplo não temos grandezas inversamente proporcionais,
vamos pular o passo 6.
 = 50
𝑥
600
840
 = 50
𝑥
40
56
÷ 15
÷ 15
Antes de multiplicar cruzado,
podemos simplificar
40 𝑥 = 50 56
𝑥 = = 7040
2800
40 𝑥 = 2800
Você pode simplificar os números na própria tabela, aqueles que estão na mesma coluna. 
ANOTE AÍ
Fizemos um longo processo para chegar no resultado, mas a
verdade é que, quando você pegar a prática, irá fazer MUITO
mais rápido, fará um "resumo" do que foi visto.
Essa mesma questão seria resolvida assim:
Litros 𝑘𝑚
50 600
𝑥 840
𝑥 = = 70600
50 840
Estamos fazendo bem detalhado, porque quando chegarmos na
regra de três composta, você entenderá tudo perfeitamente.
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Ex.: Para chegar ao trabalho, José gasta 2ℎ 30𝑚𝑖𝑛 dirigindo à
velocidade média de 75 𝑘𝑚/ℎ. Se aumentar a velocidadepara 90
𝑘𝑚/ℎ, o tempo gasto, em minutos, para José fazer o mesmo
percurso será: 
Resolução:
Esquematize uma tabela, colando as grandezas no cabeçalho.
Tempo (𝑚𝑖𝑛) Velocidade (𝑘𝑚/ℎ)
Passo 2:
Passo 1:
Na primeira linha, ponha as grandezas diferentes que estão
relacionadas.
Passo 3: Na segunda linha, repita o mesmo processo da primeira.
Precisamos nos perguntar: “Se aumenta a velocidade média , aumenta ou
diminui o tempo gasto no percurso?” 
Passo 4: Coloque uma seta para baixo na coluna da grandeza
desconhecida, "𝑥".
150 75
𝑥 90
Temos que 1ℎ é igual a 60 minutos, por isso 2ℎ 30𝑚𝑖𝑛 é igual a 150 𝑚𝑖𝑛.
Passo 5: Identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais
A relação entre essas grandezas é inversamente proporcional, já que,
quanto MAIOR a velocidade de um móvel, MENOR será o tempo do
percurso. (seta no sentido contrário). 
Tempo (𝑚𝑖𝑛) Velocidade (𝑘𝑚/ℎ)
150 75
𝑥 90
Passo 6: Inverta os valores das grandezas inversamente proporcionais.
De fato, caro aluno, as setas precisam estar no mesmo sentido! Para isso,
basta inverter os valores da grandeza “velocidade”:
Tempo (𝑚𝑖𝑛) Velocidade (𝑘𝑚/ℎ)
150 90
𝑥 75
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Como citei no exemplo anterior, para acelerar a resolução podemos
simplificar na própria tabela. Note que na segunda coluna podemos
simplificar por 15.
Professor, notei apenas que poderia simplificar por 5, mas não por 15.
Ótimo, quando você simplificasse por 5, notaria que poderia simplificar
novamente por 3. 
Simplificar não é obrigatório, entretanto ajuda demais, pois os números se
tornam pequenos. Simplificando por 15 na segunda coluna, temos:
Tempo (𝑚𝑖𝑛) Velocidade (𝑘𝑚/ℎ)
150 6
𝑥 5
150
𝑥
6
5
 = 
6 𝑥 = 150 5
𝑥 =
6
750
6 𝑥 = 750
𝑥 = 125 
Passo 7: Montar a proporção, colocando a razão da incógnita à esquerda
da igualdade.
Logo, o tempo gasto será de 125 minutos.
Regra de Três Composta6.2.
A regra de três composta nada mais é que uma extensão da
regra de três simples, muda apenas o fato de que mais de duas
grandezas estarão abrangidas no enunciado da questão, em
outras palavras, teremos mais de duas colunas em nossa tabela.
Ex.: Numa grande obra de aterramento, no dia de ontem, foram
gastas 8 horas para descarregar 160𝑚³ de terra de 20 caminhões.
Hoje, ainda restam 125𝑚³ de terra para serem descarregados no
local. Considerando que o trabalho deverá ser
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feito em apenas 5 horas, e mantida a mesma produtividade de
ontem, hoje será necessário um número de caminhões igual a:
Resolução:
Esquematize uma tabela, colando as grandezas no cabeçalho.
Caminhões Horas
Passo 2:
Passo 1:
Como a pergunta foi a quantidade de caminhões, coloquei a grandeza logo
na esquerda, pois é onde a incógnita (𝑥) irá ficar.
Na primeira linha, ponha as grandezas diferentes que estão
relacionadas.
Passo 3: Na segunda linha, repita o mesmo processo da primeira.
Caminhões Horas Serviço
20 8 160
Uns dos desafios da regra de três composta é a montagem da tabela, pois
é necessário relacionar corretamente as grandezas envolvidas aos seus
respectivos valores. Se errar nessa etapa, perderá toda a questão. 
Passo 4: Coloque uma seta para baixo na coluna da grandeza
desconhecida, "𝑥".
Passo 5: Identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais
Serviço
Caminhões Horas Serviço
20 8 160
𝑥 5 125
Precisamos nos perguntar: “Se aumenta a quantidade de caminhões,
aumenta ou diminui o tempo gasto para realizar o mesmo serviço?” 
Primeiro, vamos analisar a grandeza da segunda coluna (horas), depois a
da terceira (Serviço). Sempre relacionando com a grandeza em que se
encontra a incógnita (caminhões).
A relação entre essas grandezas é inversamente proporcional, já que,
quanto MAIOR a quantidade de caminhões, MENOR será o tempo gasto.
(seta no sentido contrário). 
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Caminhões Horas Serviço
20 8 160
𝑥 5 125
Agora, vamos analisar a outra grandeza.
Precisamos nos perguntar: “Se aumenta a quantidade de serviço,
aumenta ou diminui a quantidade de caminhões?” 
A relação entre essas grandezas é diretamente proporcional, já que,
quanto MAIOR a quantidade de serviço, MAIS caminhões serão
necessários. (seta no mesmo sentido). 
Caminhões Horas Serviço
20 8 160
𝑥 5 125
Passo 6: Inverta os valores das grandezas inversamente proporcionais.
As setas precisam estar no mesmo sentido! Vamos inverter os valores da
segunda coluna.
Caminhões Horas Serviço
20 5 160
𝑥 8 125
Podemos simplificar por 5 os valores da terceira coluna.
Caminhões Horas Serviço
20 5 32
𝑥 8 25
Passo 7: Montar a proporção, colocando a razão da incógnita à esquerda
da igualdade. 
20
𝑥
5
8
 = 
4 𝑥 = 20 5
𝑥 =
4
100
4 𝑥 = 100
𝑥 = 25 
Na direita, multiplicamos as frações:
32
25× ÷5
÷81
1
Simplificando
4
5
20
𝑥
4
5
 = 
Por conseguinte, serão necessários 25 caminhões
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Nesse último exemplo, tivemos uma grandeza diretamente e
outra inversamente proporcional. Quero deixar claro que isso
não é regra, poderíamos ter tido todas as grandezas diretamente 
ou todas inversamente proporcionas. 
Ex. : Uma gráfica tem capacidade operacional para imprimir
12.500 livros de 120 páginas cada em 15 dias, utilizando 4
máquinas impressoras iguais e trabalhando 8 horas diárias.
Tendo recebido uma encomenda de 18.000 livros de 150 páginas
cada, que deverão ser entregues em 24 dias, o proprietário
resolveu comprar mais máquinas impressoras iguais às já
existentes na gráfica. Trabalhando 6 horas diárias para o
cumprimento da encomenda, o número de máquinas impressoras
que o proprietário deverá comprar é:
Máquinas Livros Páginas Dias Horas
4 812500 120 15
Portanto, prezado aluno, sempre analise TODAS as grandezas.
Resolução:
Esquematize uma tabela, colando as grandezas no cabeçalho.
Passo 2:
Passo 1:
Como a pergunta foi a quantidade de maquinas, coloquei a grandeza logo
na esquerda, pois é onde a incógnita (𝑥) irá ficar.
Na primeira linha, ponha as grandezas diferentes que estão
relacionadas.
Máquinas Livros Páginas Dias Horas
O enunciado é enorme e temos várias grandezas, porém a forma de
resolver é exatamente a mesma.
Passo 3: Na segunda linha, repita o mesmo processo da primeira.
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Máquinas Livros Páginas Dias Horas
4 812500 120 15
𝑥 618000 150 24
Passo 5: Identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais
Vamos analisar grandeza por grandeza, sempre comparando com a
grandeza da incógnita (máquinas).
Máquinas X Livros: quanto maior a quantidade de máquinas, mais livros
serão produzidos. Diretamente proporcional (seta no mesmo sentindo).
Máquinas X Páginas: quanto maior a quantidade de máquinas, mais
páginas serão produzidas. Diretamente proporcional (seta no mesmo
sentindo).
Máquinas X Dias: quanto maior a quantidade de máquinas, menos dias
serão necessários. Inversamente proporcional (seta no sentindo
contrário).
Máquinas X Horas: quanto maior a quantidade de máquinas, menos
horas serão necessárias. Inversamente proporcional (seta no sentindo
contrário).
Máquinas Livros Páginas Dias Horas
4 812500 120 15
𝑥 618000 150 24
Passo 4: Coloque uma seta para baixo na coluna da grandeza
desconhecida, "𝑥".
Máquinas Livros Páginas Dias Horas
4 812500 120 15
𝑥 618000 150 24
Passo 6: Inverta os valores das grandezas inversamente proporcionais.
As setas precisam estar no mesmo sentido! Vamos inverter os valores da
quarta e quinta coluna.Máquinas Livros Páginas Dias Horas
4 612500 120 24
𝑥 818000 150 15
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Passo 7: Montar a proporção, colocando a razão da incógnita à esquerda
da igualdade. 
4
𝑥
25
36
4
5
8
5
3
4
 = 
2 𝑥 = 4 3
𝑥 =
2
12
2 𝑥 = 12
𝑥 = 6 
Na direita, multiplicamos as frações:
×
÷5
÷4
12
5
Simplificando
1
1
4
𝑥
40
60
 = 
Portanto, se o serviço será realizado com seis máquinas, então o
proprietário precisa adquirir duas máquinas, já que, no início do serviço já
existiam quatro delas.
×
1
1×
÷3
4
𝑥
2
3
 = 
÷ 20
÷ 20
Podemos simplificar a segunda coluna por 500, a terceira coluna por 30, a
quarta coluna por 3 e a quinta coluna por 2, ficamos com:
Máquinas Livros Páginas Dias Horas
4 325 4 8
𝑥 436 5 5
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pp pp
100100==
Porcentagem, representada pelo símbolo %, é a divisão de um
número qualquer por 100. 
ANOTE AÍ
Assim, tenha em mente que Porcentagem é toda razão cujo
consequente (denominador) é 100, conhecida como razão
centesimal. De fato, a expressão por cento quer dizer dividido
por cem.
Há três formas de representar uma porcentagem:
Porcentagem
Forma 
Percentual
Forma 
Fracionária
Forma 
Unitária
3030 100100
3030 0,300,30
41
Porcentagem7.
1
10011 = 0,01= 25
1002525 = 0,25=
5
10055 = 0,05= 30
1003030 = 0,30=
10
1001010 = 0,10= 50
1005050 = 0,50=
15
1001515 = 0,15= 75
1007575 = 0,75=
20
1002020 = 0,20= 100
100100100 = 1,00=
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Vou reforçar uma dica que já foi dada anteriormente, usaremos
bastante aqui.
"de" corresponde a "x"
5% de 80 = 5
100 × 80 = 400
100
= 4
7% de 25 = 7
100 × 25 = 175
100
= 1,75
12% de 19 = 12
100 × 19 = 228
100
= 2,28
20% de 135 = 20
100 × 135 = 2700
100
= 27
35% de 120 = 35
100 × 120 = 4200
100
= 42
Se você preferir a forma unitária, também dará certo.
5% de 80 = 0,05 × 80 = 4
7% de 25 = × 25 =
12% de 19 = 0,12 × 19 = 2,28
20% de 135 = 0,20 × 135 = 27
35% de 120 = 0,35 × 120 = 42
0,07 1,75
O cálculo geralmente é feito a partir de uma multiplicação de
frações ( ) ou de números decimais ( ), por isso o
domínio dessas operações é fundamental para a compreensão
de como calcular corretamente uma porcentagem.
e-book 2 e-book 1
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Recomendo que resolva pela forma fracionária, uma vez que
por ela podemos simplificar.
43
20% de 60 = 20
100 × 60 = 12
1 = 12 ÷10
÷10
3
15% de 24 = 15
100 × 24 = 36
10 = 3,620
10
12 ÷5
÷2
100100
5050
33,3333,33
2525
2020
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
4
1
4
1
4
1
4
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
10101
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
Quanto mais dominarmos o assunto de frações, mais fácil se
tornará os problemas que envolvem porcentagem, perceba a
relação:
Note que quando escrevemos a porcentagem 100% é o mesmo
que considerar um inteiro, ou seja, quando consideramos 100%
de algo, estamos levando em conta o total daquilo.
Em muitos exercícios, você precisará fazer a transformação de
fração para porcentagem: 
Suponha que em uma escola a cada 20 alunos, 13 jogam futebol.
Vamos determinar a porcentagem de meninos que jogam futebol. 
Primeiro, precisamos montar a fração. No denominador sempre 
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colocamos o total (20) e no numerador ficará a quantidade de
partes do total que estamos lidando (13):
44
13
20
Agora queremos saber a qual porcentagem corresponde essa
fração. Vamos encontrar de três formas diferentes.
1ª Forma
Multiplicando por 100%.
13
20 =× 100% 1300%
20
65%=
2ª Forma
Encontrando a forma fracionária, para isso precisamos deixar o
denominador igual a 100.
13
20 = 65
100 65% 
×5
×5
Viu como foi fácil? Mas preste muita atenção:
Para dar certo, você precisa multiplicar (ou dividir) o mesmo fator
tanto pelo numerador, quanto pelo denominador.
3ª Forma
Encontrando a forma unitária, para isso basta dividir o numerado
pelo denominador.
2 0 1 3 0
0 , 6 5 1 2 0−
 1 0 0
 1 0 0−
 0 
13
20 = 0,65 65% Temos que
Veja que, na forma unitária, depois da vírgula temos 2 números
no mínimo.
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6 0
6 0,3
78,526 × 100 = 7852,6 3,14 × 100 = 314
0,65 × 100 = 065 = 65 0,426 × 100 = 42,6
78,5 ÷ 100 = 0,785 34 ÷ 100 = 0,34
982 ÷ 100 = 9,82 1,6 ÷ 100 = 0,016
45
Se em algum caso estiver apenas 1 número depois da vírgula,
acrescente um zero. Por exemplo, se fossem 6 alunos que
jogassem futebol, teríamos:
2 0 6 0
0 , 3 −
 0 
20Temos que = = 0,30 30% 
Zero acrescentado
Não é 3%
Se você esquecer de acrescentar o zero, pode achar que 0,3
representa 3%, porém 3% é igual a 0,03 e não 0,3. 
Pronto, essas são as três formas. Estamos constantemente
multiplicando ou dividindo por 100, guarde essa dica:
100100Multiplicação porMultiplicação por
Desloque a vírgula DUAS casas para a direita×100×100
Desloque a vírgula duas casas para a esquerda ÷100÷100
100100Divisão porDivisão por
Nesses casos não precisamos usar o algoritmo da multiplicação
ou divisão, basta deslocar a vírgula. Serve para 10, 100, 1000,...
10 uma vírgula 
100 duas vírgulas 
1000 três vírgulas 
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@matematica.do.zero 46
Os problemas que envolvem porcentagem são bastante
recorrentes, portanto saber calculá-la é essencial. 
Cálculo da Porcentagem7.1.
Este é o método que já vimos, basta multiplicar o valor pela
porcentagem em sua forma fracionária ou decimal.
Método Tradicional7.1.1.
30% de 240 = 30
100 × 240 = 7200
100
= 72
22% de 40 = 0,22 × 40 = 8,8 
28% de 136 = 28
100 × 136 = 3808
100
= 38,08
60% de 180 = 0,60 × 180 = 108 
Fazendo assim, dificilmente errará alguma questão. Entretanto,
dependendo dos números, podemos demorar muito tempo para
chegar ao resultado final e na maioria das provas o tempo é muito
precioso.
Regra de Três
Para calcular porcentagem de algo utilizando regra de três, temos
que ter em mente que 100% sempre irão ser equivalentes ao todo
e estamos diante de uma Regra de três diretamente proporcional. 
7.1.2.
A estratégia de resolução depende do tipo de problema com o
qual se está lidando. Há vários caminhos, o que você vai precisar
fazer é escolher um deles. 
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https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm
@matematica.do.zero 47
30% de 240 = Quantidade Porcentagem (%)
240 100
𝑥 30
240
𝑥
100
30 = 
100 𝑥 = 240 30
𝑥 =
100
7200
100 𝑥 = 7200
𝑥 = 72 
Ex.: Um senhor pegou emprestado com um amigo uma quantia
de R$ 3.000,00 para quitar uma dívida no banco. Entretanto esse
senhor teve um gasto inesperado com seu carro e gastou a
quantia de R$ 600,00. Quantos por cento esse senhor gastou do
total
Os alunos, geralmente, sentem-se mais seguros utilizando este
método, principalmente, quando estão diante de uma questão
contextualizada.
Resolução:
Na hora de montar a tabela, lembre-se que 100% representa o total (3000).
Neste exemplo já temos a segunda quantidade (600), o que falta é a
porcentagem.
Porcentagem (%) Quantidade (R$)
100 3000
𝑥 600
100
𝑥
3000
600 = 
3000 𝑥 = 100 600
𝑥 =
3000
60000
3000 𝑥 = 60000
𝑥 = 20 
Logo, ele gastou 20% do total.
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@matematica.do.zero48
Este é um Macete bem útil, sobretudo, porque sempre dá certo.
Multiplique e desloque a vírgula duas casas para a esquerda.
Multiplique e Desloque7.1.3.
6% de 52 = 3,12 8% de 50 = 4,00
×
2% de 150 = 3,00 5% de 35 = 1,75
25% de 70 = 17,50 40% de 18 = 7,20
11% de 14 = 1,54 20% de 30 = 6,00
×
× ×
× ×
× ×
O que veremos neste tópico é difícil encontrarmos em livros,
porém a grande maioria das questões eu resolvo desta forma,
tenho certeza que você também irá conseguir. 
Mentalmente7.1.4.
Lembra que 5% é igual a ? Então, simplificando temos que5
100
5% é igual a ,ou seja, calcular 5% é o mesmo que dividir
o número por 20.
1
20
Usaremos esse mesmo raciocínio nas demais porcentagens. 
Desloque a vírgula duas casas para a esquerda11
1% de 25 = 0,25 1% de 150 = 1,50
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@matematica.do.zero 49
1% de 77 = 0,77 1% de 387 = 3,87
1% de 131 = 1,31 1% de 799 = 7,99
1% de 100 = 1,00 1% de 500 = 5,00
 É o mesmo que dividir o número por 2055
5% de 10 = 10 ÷ 20 = 0,5
5% de 40 = 40 ÷ 20 = 2
5% de 95 = 95 ÷ 20 = 4,75
5% de 120 = 120 ÷ 20 = 6
Desloque a vírgula uma casa para a esquerda1010
10% de 77 = 7,7 10% de 3,8 = 0,38
10% de 25 = 2,5 10% de 15,6 = 1,56
10% de 131 = 13,1 10% de 799 = 79,9
10% de 148 = 14,8 10% de 521 = 52,1
 É o mesmo que dividir o número por 52020
20% de 35 = 35 ÷ 5 = 7
20% de 50 = 50 ÷ 5 = 10
20% de 62 = 62 ÷ 5 = 12,4
20% de 250 = 250 ÷ 5 = 50
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@matematica.do.zero 50
 É o mesmo que dividir o número por 42525
25% de 10 = 10 ÷ 4 = 2,5
25% de 60 = 60 ÷ 4 = 15
25% de 200 = 200 ÷ 4 = 50
25% de 316 = 316 ÷ 4 = 79
 É metade, basta dividir o número por 25050
50% de 15 = 15 ÷ 2 = 7,5
50% de 40 = 40 ÷ 2 = 20
50% de 82 = 82 ÷ 2 = 41
50% de 148 = 148 ÷ 2 = 74
 Vírgula duas casas para a esquerda11
 É o mesmo que dividir o número por 2055
Vírgula uma casa para a esquerda1010
 É o mesmo que dividir o número por 52020
 É o mesmo que dividir o número por 42525
 É metade, basta dividir o número por 25050
Macete
Aprendeu? Pronto, agora é a hora de praticar, veja como funciona.
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@matematica.do.zero
22% de 40 = 20% = 8 
1% = 0,4 +
22% = 8,8 
1% = 0,4 
Iremos fazer combinações e chegar ao resultado.
60% de 180 = 50% = 90 
10% = 18 +
Se 10% de 80 é 8, então 30% é 24
30% ao triplicar 10%.
51
60% = 108 
De todos o meu preferido é o de 10%, além de ser o mais fácil, a
partir dele você pode conseguir outras porcentagens.
5% ao dividir 10% por 2. 
Por exemplo, você pode obter:
Se 10% de 80 é 8, então 5% é 4
2,5% ao dividir 10% por 4.
Se 10% de 80 é 8, então 2,5% é 2
20% ao multiplicar 10% por 2.
Se 10% de 80 é 8, então 20% é 16
10% = 2,3 
10% = 9 
5% = 4,5 
30% de 23 = 10% = 2,3 
+
30% = 6,9 
10% = 2,3 
E assim por diante, sempre fazendo combinações.
15% de 90 = 
+
15% = 13,5
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Muitas vezes inverter as porcentagens pode nos ajudar bastante.
Isso, não é nenhuma mágica, ocorre porque em uma
multiplicação a ordem dos fatores não altera o resultado.
52
35% de 20 = 35
100 × 20 = 20
100 × 35 = 20% de 35 
ANOTE AÍ
AA dede BB == BB dede AA 
17% de 10 = 10% de 17 = 1,7
88,3% de 10 = 10% de 88,3 = 8,83
28% de 50 = 50% de 28 = 14
45% de 20 = 20% de 45 = 9
Este tópico é fundamental para o seu sucesso nas questões de
porcentagem, pois a maioria delas abordam o acréscimo ou a
redução de valores percentuais.
Aumentos e Descontos Percentuais7.2.
Digamos que um produto custa R$70,00 e sofrerá um aumento
de 30% em seu valor. Qual será esse novo valor
Passo 1:
30% de 70 = 21 
70 + 21 = 91 
calcular o valor do aumento
por qualquer método
Passo 2:
Somar ao valor inicial
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Assim, o valor após o aumento será de R$91,00.
53
Dá mesma maneira funciona quando tivermos um desconto.
Assim, o valor após o desconto será de R$49,00.
Digamos que um produto custa R$70,00 e sofrerá um desconto
de 30% em seu valor. Qual será esse novo valor
Passo 1:
30% de 70 = 21 
70 − 21 = 49 
calcular o valor do desconto
Passo 2:
Diminuir do valor inicial
Vamos fazer outro exemplo. Digamos que um produto custa
R$320,00 e sofrerá um aumento de 20% em seu valor. Qual será
esse novo valor
Passo 1:
20% de 320 = 64 
320 + 64 = 384
calcular o valor do aumento
por qualquer método
Passo 2:
Somar ao valor inicial
10% = 32 
10% = 32 
20% = 64 
Assim, o valor após o aumento será de R$384,00.
Se tivesse ocorrido um desconto de 20% no produto de
R$320,00, teríamos. 
Passo 1:
20% de 320 = 64 
320 − 64 = 256 
calcular o valor do desconto
Passo 2:
Diminuir do valor inicial
Assim, o valor após o desconto seria de R$256,00.
De forma genérica, chegamos a uma fórmula que você poderá
usar e ganhar tempo.
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Ou seja, para aumentarmos um valor em X%, basta multiplicar
esse valor por (1 + X%). Vamos testar em nossos exemplos
anteriores.
Seja V o valor inicial do produto e considere que esse valor será
aumentando em X%. Qual será o valor final V
i
f
Passo 1:
X% de V = X% V 
V = V + X% V
calcular o valor do aumento
Passo 2:
Somar ao valor inicial f i i
V = V (1 + X%)f i
i i
V = V (1 + X%)f i
Valor Final
Valor Inicial
Porcentagem (forma unitária)
Encontramos que:
Aumentar 30% em um produto que custa R$70,00.
V = 70 (1 + 0,3) = 70 1,3 = 91f
Aumentar 20% em um produto que custa R$320,00.
V = 320 (1 + 0,2) = 320 1,2 = 384f
Veja que chegamos no mesmo resultado, para aumentar algo em
30% multiplicamos por 1,3. Para aumentar algo em 20%
multiplicamos por 1,2. E isso vale para qualquer outro aumento.
A fórmula também funciona para descontos, só que agora
usaremos o sinal de menos.
V = V (1 − X%)f i
Valor Final
Valor Inicial
Porcentagem (forma unitária)
Ou seja, para reduzirmos um valor em X%, basta multiplicar esse
valor por (1 − X%). Vamos testar em nossos exemplos anteriores:
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Diminuir 30% em um produto que custa R$70,00.
V = 70 (1 − 0,3) = 70 0,7 = 49f
Diminuir 20% em um produto que custa R$320,00.
V = 320 (1 − 0,2) = 320 0,8 = 256f
Para diminuir algo em 30% multiplicamos por 0,7. Para diminuir
algo em 20% multiplicamos por 0,8. E isso vale para qualquer
outro desconto.
Resumindo temos que:
V = V (1 + X%)f i
V = V (1 − X%)f i
Aumento de X%
Desconto de X%
Valor Inicial ( )Vi
Este assunto é cheio de pegadinha, mas você, querido aluno,
estará super preparado e não cairá em nenhuma delas. Aqui
podemos ter 3 casos: aumentos sucessivos, descontos
sucessivos ou aumentos e descontos sucessivos.
Aumentos e Descontos Percentuais Sucessivos7.3.
1º Caso
É quando temos aumentos sucessivos.
Ex.: Calcular dois aumentos sucessivos de 10% e 20% sobre
uma mercadoria que custa R$100,00.
Resolução:
Muitos alunos pensam: "moleza, 10% + 20% é 30%. Vou calcular 30% de
R$100,00". Mas não é bem assim, precisamos seguir a "linha temporal". 
Primeiro houve um aumento de 10%, então vamos ver quanto ficou o novo
valor.
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Passo1:
10% de 100 = 10
100 + 10 = 110 
calcular o valor do aumento
Passo 2:
Somar ao valor inicial
Ótimo, temos R$110,00 o qual houve um segundo aumento, só que agora
de 20%, vamos calcular.
Passo 3:
20% de 110 = 22
110 + 22 = 132
calcular o valor do aumento
Passo 4:
Somar ao novo valor 
A mercadoria passou a custar R$132,00. Portanto, os dois aumentos
sucessivos de 10% e 20% equivalem a um único aumento de 32%.
Professor, aquela fórmula também se aplica aqui? Siiim!
Porém cada porcentagem terá o seu fator de multiplicação.
V = V (1 + X %) (1 + X %)f i
Valor Final
Valor Inicial
1ª Porcentagem
1 2
2ª Porcentagem
V = 100 (1 + 0,1) (1 + 0,2) = 100 1,1 1,2 = 132f
Ex.:Calcular três aumentos sucessivos de 10%, 15% e 20%
sobre R$580,00.
Resolução:
Você já sabe que não podemos adicionar as porcentagens. Devemos
primeiro aplicar uma porcentagem e, sobre o resultado obtido, aplicar a
outra.
Passo 1:
10% de 580 = 58
580 + 58 = 638 
calcular o valor do aumento
Passo 2:
Somar ao valor inicial
Ficamos com R$638,00 que terá um aumento de 15%.
Passo 3:
15% de 638 = 95,7
638 + 95,7 = 733,7 
calcular o valor do aumento
Passo 4:
Somar ao novo valor 
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V = 580 (1 + 0,1) (1 + 0,15) (1 + 0,2) = 580 1,1 1,15 1,2 = 880,44f
2º Caso
57
Agora temos R$733,70 que terá um aumento de 20%.
Passo 5:
20% de 733,7 = 146,74
733,7 + 146,74 = 880,44
calcular o valor do aumento
Passo 6:
Somar ao novo valor 
A mercadoria passou a custar R$880,44. 
Podemos utilizar a fórmula para resolver, como temos 3 porcentagens
(10%, 15% e 20%), teremos 3 fatores de multiplicação
É quando temos descontos sucessivos.
Ex.: Um veículo novo custa R$ 30.000,00 e sofre depreciações
de 20% e 15% nos dois primeiros anos. Qual o valor do veículo
após a depreciação?
Resolução:
Passo 1:
20% de 30000 = 6000
30000 − 6000 = 24000
calcular o valor do desconto
Passo 2:
Diminuir do valor inicial
Depois da primeira depreciação, o carro passou a valer R$24.000,00. A
segunda depreciação foi de 15%, vamos calcular. 
Passo 3:
15% de 24000 = 3600
24000 − 3600 = 20400
calcular o valor do desconto
Passo 4:
Diminuir do novo valor
Logo, O valor do carro após dois anos é R$20,400,00. 
Podemos utilizar a fórmula para resolver, como temos 2 porcentagens (20%
e 15%), teremos 2 fatores de multiplicação. Lembrando que em desconto o
sinal é negativo.
V = 30000 (1 − 0,2) (1 − 0,15) = 30000 0,8 0,85 = 20400f
Analisaremos a depreciação em cada ano.
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3º Caso
58
É quando temos aumentos e descontos percentuais sucessivos.
Basicamente é a junção entre o 1º e 2º caso. 
A fórmula será a seguinte:
Resolução:
Passo 1:
25% de 640 = 160
640 + 160 = 800
calcular o valor do aumento
Passo 2:
Somar ao valor inicial
Depois do primeiro mês, a mercadoria passou a valer R$800,00.
Passo 3:
25% de 800 = 200
800 − 200 = 600
calcular o valor do desconto
Passo 4:
Diminuir do novo valor 
Essa questão parece ser óbvia para muitos alunos e por isso caem na
pegadinha. Com o aumento de 25% e desconto de 25%, não vamos voltar
ao valor inicial de R$640,00. Precisamos fazer a "linha temporal".
V = V (1 X %) (1 X %) (1 X %)...f i 1 2 3+− +− +−
Usamos o sinal positivo, quando temos um aumento e o sinal
negativo, quando temos um desconto.
Confesso que prefiro fazer seguindo a "linha temporal", sem
usar a fórmula. Porém dá mais trabalho, então use a que achar
melhor.
Ex.: Uma mercadoria que custava R$640,00 sofreu dois
reajustes mensais e sucessivos da seguinte forma: 1º mês um
aumento de 25% e no 2º mês um desconto de 25%. Qual o valor
atual da mercadoria 
1º mês: aumento de 25%
2º mês: desconto de 25%.
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Resolvendo pela fórmula, colocamos o sinal positivo no aumento e
negativo no desconto.
Ex.: Qual a taxa equivalente a um aumento de 25%, desconto de
15% e aumento de 28% gerados de forma sucessivas
Resolução:
Passo 1:
25% de 100 = 25
100 + 25 = 125
calcular o valor do aumento
Passo 2:
Somar ao valor inicial
Ficamos com R$125,00 que terá um desconto de 15%.
Passo 3:
15% de 125 = 18,75
125 − 18,75 = 106,25
calcular o valor do desconto
Passo 4:
Diminuir do novo valor 
Ficamos com R$106,25 que terá um aumento de 28%.
Não foi dado nenhum valor inicial, apenas porcentagens. Então, pegue essa
dica:
Aumentar algo em X% e depois reduzir em X% do novo valor, não dá na mesma! 
ANOTE AÍ
Portanto, o valor atual da mercaria é de R$600,00.
V = 640 (1 + 0,25) (1 − 0,25) = 640 1,25 0,75 = 600f
Sempre que não houver valor inicial, suponha R$100,00 como sendo este valor.
ANOTE AÍ
Veja, 20% de 100 = 20 3% de 100 = 3 45% de 100 = 45
Ou seja, se ao final da conta chegarmos em R$105,50, houve um aumento
de 5,5%. Se ao final da conta chegarmos em R$93,00, houve um desconto
de 7%.
100 é um número mágico na porcentagem, sempre que puder, use ele.
Passo 5:
28% de 106,25 = 29,75
106,25 + 29,75 = 136
calcular o valor do aumento
Passo 6:
Somar ao novo valor 
Chegamos em R$136,00, logo houve um aumento de 36%.
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Lista de Questões8.
1) Se 2.400 candidatos participaram de um concurso que
apresentou 120 vagas, então a razão entre o número de vagas e
o número de candidatos foi de:
a) 1
2
b) 1
20
c) 1
200
d) 1
240
e) 1
2000
2) Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual
seria a densidade demográfica da região onde mora. Ele
conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: a área da
cidade era de 2.651 𝑘𝑚², e a quantidade de pessoas que residiam
na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas
informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua
cidade é de:
a) 15 habitantes/𝑘𝑚²
b) 57 habitantes/𝑘𝑚²
c) 58 habitantes/𝑘𝑚²
d) 59 habitantes/𝑘𝑚²
e) 155 habitantes/𝑘𝑚²
3) Uma equipe de ambientalistas apresentou um mapa de uma
reserva ambiental em que faltava a especificação da escala
utilizada para a sua confecção. O problema foi resolvido, pois um 
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dos integrantes da equipe lembrava-se de que a distância real de
72 𝑘𝑚, percorrida na reserva, equivalia a 3,6 𝑐𝑚 no mapa. Qual foi
a escala utilizada na confecção do mapa?
a) 1 : 20
b) 1 : 2000
c) 1 : 20000
d) 1 : 200000
e) 1 : 2000000
4) Em uma empresa, o atendimento ao público é feito por 45
funcionários que se revezam, mantendo a relação de três homens
para duas mulheres. É correto afirmar que, nessa empresa, dão
atendimento:
a) 18 homens
b) 16 mulheres 
c) 25 homens
d) 18 mulheres
e) 32 homens
5) Dos funcionários de uma empresa sabe-se que o número de
homens está para o de mulheres assim como 12 está para 13.
Relativamente ao total de funcionários dessa empresa, é correto
afirmar que o número de funcionários do sexo masculino
corresponde a:
a) 40%
b) 42% 
c) 45%
d) 46%
e) 48%
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6) A quantia de R$133.900,00 foi dividida entre Marcelo e
Carolina, na razão direta de suas idades. Se Marcelo tem 29 anos
e Carolina tem 36 anos, a parte que coube a Carolina
corresponde, em reais, a:
a) R$ 48.600,00.
b) R$ 52.800,00.
c) R$ 59.740,00.
d) R$ 68.600,00.
e) R$ 74.160,00.
7) Três técnicos judiciários arquivaram um total de 382
processos, em quantidades inversamente proporcionais às suas
respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é
correto afirmar que o número de processos arquivados pelo mais
velho foi:
a) 112
b) 126