MÉTODO RANKINE

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MÉTODO RANKINE
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar o método de Rankine para definição do cálculo 
do empuxo lateral de solo. Além disso, verificará as considerações, bem como limitações, deste 
método simplificado. Por fim, você verá um exemplo de cálculo utilizando o método de Rankine.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer o método de cálculo de empuxos laterais de Rankine.•
Verificar as considerações do método de Rankine.•
Compreender a importância do surgimento de trincas de tração em solos argilosos.•
Desafio
Imagine que um trecho de uma rodovia está sendo construído em um local montanhoso e 
acidentado. Em virtude dos cortes efetuados no terreno, algumas encostas estão muito suscetíveis 
a acidentes geotécnicos.
Como engenheiro projetista, você deve dimensionar e projetar um muro de arrimo de gravidade, 
capaz de estabilizar um talude instável.
Um dos primeiros passos é tomar conhecimento das cargas atuantes sobre a estrutura. Sendo 
assim, calcule o empuxo ativo atuante no tardoz do muro. Considere peso específico natural do 
solo igual a 18kN/m3 e nível d'água aflorante na superfície do terreno.
Para sua resposta, considere também as informações da imagem a seguir:
Infográfico
Veja como se desenvolvem os diagramas de pressão horizontal para solos arenosos e coesivos.
Conteúdo do livro
Acompanhe na obra "Mecânica dos Solos Aplicada", no capítulo Método de Rankine, o método de 
Rankine para cálculo de empuxos laterais.
Boa leitura.
MECÂNICA 
DOS SOLOS 
APLICADA
Cleber Floriano
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
F635m Floriano, Cleber.
 Mecânica dos solos aplicada / Cleber Floriano. – Porto 
 Alegre : SAGAH, 2017.
 263 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-064-1
 1. Mecânica do solo. 2. Engenharia. I. Título. 
CDU 624.131 
Livro_MecanicaSolo.indb 2Livro_MecanicaSolo.indb 2 13/03/2017 16:48:2313/03/2017 16:48:23
Método de Rankine
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Conhecer o método de cálculo de empuxos laterais de Rankine.
 Verifi car as considerações do método de empuxos laterais de Rankine.
 Aplicar um exemplo pelo método de Rankine.
Introdução
Neste capítulo, vamos estudar o método de Rankine para definição do 
cálculo do empuxo lateral de solo. Verificaremos as considerações, bem 
como limitações deste método simplificado. Por fim, faremos um exemplo 
de cálculo utilizando o método de Rankine.
Teoria de Rankine
O método de Rankine é um método analítico de cálculo de empuxos laterais 
ativos e passivos que atuam em uma estrutura de contenção com um tardoz 
vertical. As hipóteses tomadas para esta teoria são: 
 Resistência ao cisalhamento do solo obedece à lei de Coulomb e estado
de tensões bidirecional;
 A superfície do retroaterro é horizontal;
 Existindo nível freático no interior do solo, sua superfície é paralela
ao terreno da superfície;
 Quando existir sobrecarga na superfície do terreno, a sua distribuição
é uniforme;
 Não existe atrito entre solo e tardoz do muro;
 A direção do empuxo é ortogonal à face do muro.
Com base nestas hipóteses pode-se estabelecer o Empuxo ativo e Empuxo 
passivo de Rankine.
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Empuxo ativo de Rankine
Como visto, o estado ativo é a condição do solo se movendo contra a estrutura. 
Segundo as hipóteses estabelecidas, a defi nição do empuxo ativo baseia-se em 
relações geométricas do círculo de Mohr ativo. A partir deste círculo, pode-se 
obter uma equação para o cálculo da tensão horizontal ativa para qualquer 
profundidade do solo ou também junto ao tardoz da estrutura de contenção. 
Fazemos primeiramente as seguintes correspondências:
σ’v = σvertical - a tensão vertical efetiva é a tensão maior no 
estado crítico ativo.
σ’ha = σ(menor ativa) - a tensão horizontal efetiva é a tensão menor 
no estado crítico ativo.
Aplicando-se trigonometria, podemos obter a seguinte expressão:
Ou pode ser apresentada da seguinte forma:
Onde: 
Ø’ - é o ângulo de atrito interno efetivo do solo.
c’ - é a coesão (intercepto coesivo) efetiva do solo.
Sabendo-se que:
Tem-se:
Sendo esta a equação que define o valor das tensões laterais ativas para 
um solo qualquer considerando o critério de ruptura de Coulomb. 
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Figura 1. Círculo de Mohr ativo.
O empuxo de solo é definido a partir da área do diagrama de tensões deter-
minado a partir destas tensões horizontais efetivas. Normalmente, divide-se 
as áreas em triângulos para facilitar o cálculo dos empuxos, como veremos 
no exemplo a seguir.
É importante notar que quanto maior a coesão efetiva e o ângulo de atrito do solo, 
menor será a tensão horizontal ativa σ’ha. Assim como o valor calculado de σ’ha cresce 
linearmente com a tensão vertical σ’v numa distribuição triangular ao longo do pa-
ramento do muro.
Por outro lado, com base em diagrama de vetores podemos definir que o 
peso (W) da cunha ativa corresponde a seguinte equação:
Onde: 
γ - é o peso específico do solo.
H - é a altura da contenção.
ϕ’ - é o ângulo de atrito interno do solo.
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Assim, tem-se que o Empuxo ativo (Ea), é definido como:
Para o caso particular de solos puramente friccionais, ou seja, que não 
apresentam coesão, que é o caso dos solos arenosos secos, por exemplo, tem-se 
a seguinte equação para o cálculo do empuxo:
No caso de solos coesivos quando não há sobrecargas, surge uma tensão 
horizontal negativa na superfície ao resolver a equação, , 
pois a tensão vertical σ’v passa a ser nula. Essa tensão vertical fisicamente é 
transformada em coesão aparente. O que podemos notar é que nos solos coesi-
vos, a mobilização do empuxo ativo gera trincas de tração com profundidades 
equivalentes ao valor da σ’ha =0.
Assim, a profundidade da trinca de tração (ht) pode ser determinada por:
Figura 2. Profundidade de trinca de tração em solos coesivos. 
Fonte: Adaptada de Azambuja (2010).
Você pode considerar a possibilidade da trinca de tração estar saturada com água e 
ali atuarem pressões hidrostáticas em solos argilosos. Assim, no cálculo dos empuxos 
assume-se um empuxo de água no topo da contenção. 
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Teoria de Rankine – Empuxo passivo
Como visto antes, o estado passivo é a condição da estrutura se movendo 
contra o solo. O empuxo passivo é equacionado de forma similar ao empuxo 
ativo. Segundo as hipóteses estabelecidas, a defi nição do empuxo passivo 
baseia-se em relações geométricas do círculo de Mohr passivo. A partir deste 
círculo, pode-se obter uma equação para o cálculo da tensão horizontal passiva 
para qualquer profundidade do solo ou também junto à frente da estrutura de 
contenção, ou seja, a posição onde a estrutura comprime o solo.
Considere, primeiramente, as seguintes correspondências:
σ’v = σvertical - a tensão vertical efetiva é a tensão maior no 
estado crítico passivo.
σ’hp = σ(maior passiva) - a tensão horizontal efetiva é a tensão maior 
no estado crítico passivo.
Com um pouco de trigonometria, podemos obter a seguinte expressão:
Ou pode ser apresentada da seguinte forma:
Onde: 
Ø’ - é o ângulo de atrito interno efetivo do solo.
c’ - é a coesão (intercepto coesivo) efetiva do solo.
Sabendo que:
Tem-se:
Sendo esta a equação que define o valor das tensões laterais passivas para 
um solo qualquer considerando o critério de ruptura de Coulomb. 
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MecanicaSolos_U4C02.indd 225MecanicaSolos_U4C02.indd 225 13/03/2017 16:23:0613/03/201716:23:06
Figura 3. Círculo de Mohr passivo.
É importante notar que quanto maior a coesão efetiva e o ângulo de atrito do solo, 
maior será a tensão horizontal passiva σ’hp. Assim como o valor calculado de σ’hp 
cresce linearmente com a tensão vertical σ’v numa distribuição triangular ao longo 
do paramento do muro.
No caso particular de solos arenosos não coesivos, a pressão lateral pas-
siva é nula para pressões verticais efetivas nulas. Por outro lado, nos solos 
coesivos (argilosos), existem pressões laterais passivas disponíveis mesmo 
na superfície do terreno.
Assim como no empuxo ativo, o empuxo passivo de solo é definido a partir 
da área do diagrama de tensões determinado a partir destas tensões horizontais 
efetivas. Normalmente, divide-se as áreas em triângulos para facilitar o cálculo 
dos empuxos como veremos no exemplo a seguir.
Variações do método de Rakine para 
empuxo ativo
A formulação de Rankine pode também ser deduzida para terrenos inclinados, 
desde que o talude seja tão extenso que ultrapasse o ponto de interceptação do 
terreno com a linha de ruptura da cunha ativa e que o ângulo de inclinação 
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do terreno (β) seja inferior ao do atrito interno, como pode ser observado na 
Figura 4.
É importante notar nesta situação que a resultante das pressões (empuxo 
ativo) possui direção paralela ao talude.
Figura 4. Empuxo ativo de Rankine - distribuição de tensões em terreno inclinado.
Exemplo de cálculo utilizando o método 
de Rankine
O objetivo é defi nir o diagrama de pressões e determinar os Empuxos ativos 
resultantes e suas posições no espaço (o empuxo passivo é similar). Para 
isso, é necessário que se tenha em mãos os dados geométricos e também os 
parâmetros geotécnicos do solo que está promovendo o empuxo.
No exemplo que segue não há presença de nível freático, mas se considera 
a aplicação de uma sobrecarga de 10 kN/m² na superfície do terreno, como 
demonstra a Figura 5.
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Figura 5. Exemplo de uma parede (corte) vertical de 4 m de profundidade no qual está 
submetido a tensões ativas (poderia pensar na situação do tardoz de um muro de con-
tenção também).
 
a) Determinação dos coeficientes de empuxo pela formulação de Rankine.
Definição das pressões verticais efetivas:
Verifica-se que esta equação é geral para uma situação com presença de 
nível freático e sobrecarga no topo. 
b) Definição das pressões horizontais efetivas:
c) Definição do diagrama de pressões horizontais:
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O diagrama de pressões horizontais pode ser observado a seguir:
d) Determinação dos empuxos laterais:
O empuxo, ortogonal à face do muro, corresponde à área do diagrama de 
pressões horizontais efetivas. Seu ponto de aplicação corresponde ao centro 
de massa do diagrama, o que para um diagrama retangular é H/2, e para um 
diagrama triangular é H/3.
Assim tem-se,
O diagrama final de empuxos é mostrado a seguir:
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O empuxo de água é apresentado como um diagrama adicional aos empuxos de 
solo causado pelas tensões efetivas horizontais. Por este motivo é tão importante o 
efeito da água no tardoz de uma contenção, ou mesmo na escavação. Para calcular 
o empuxo de água, basta a equação geral: σágua = γw . z. O diagrama de pressão de 
água (poro-pressões no solo ou pressões neutras) é triangular. Note que na prática, 
as pressões verticais de água são idênticas às pressões horizontais. 
1. Imagine a situação de um solo 
arenoso com ϕ=35° sendo escavado 
verticalmente em 10 m. Na 
sequência, instala-se uma cortina 
atirantada. Qual o empuxo passivo 
no topo da cortina? 
a) -10kN
b) 0
c) 10kN
d) 3,69kN
e) 0,27kN
2. Considere uma escavação vertical 
de 5 m em um terreno horizontal 
com solo de c’=10kPa, ϕ=30° e 
ɤ=17kN/m3. Qual a tensão horizontal 
ativa a 5 m de profundidade?
a) 16,76kPa
b) 39,84kPa
c) 33,52kPa
d) 8,38kPa
e) 220,35kPa
3. Considere um maciço de solo 
argiloso com c’=12kPa, ϕ=27° e 
ɤ=18kN/m3. Se ele for escavado 
verticalmente, deverão se formar 
trincas de tração no seu topo. Qual 
será a profundidade destas trincas?
a) 0,81 m
b) 1,17 m
c) 2,17 m
d) 3,17 m
e) 4,34 m
4. Considere uma estrutura enterrada 
em um terreno que, após 
sofrer um nível considerável de 
deslocamento, está mobilizando 
empuxo passivo em uma de 
suas faces. Sabendo que o solo é 
arenoso com ϕ=30° e ɤ=17kN/m3, 
qual a tensão horizontal passiva a 2 
m de profundidade? 
a) 0kPa
b) 11,322kPa
c) 102kPa
d) -51kPa
e) 3kPa
5. Considere o maciço de solo da 
imagem com c’=0kPa, ϕ=32° 
e ɤ=18kN/m3. A inclinação do 
terrapleno é de 15° e o muro 
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possui 8 m de altura. Qual o 
empuxo ativo atuante no muro?
 
a) Ea = 195,9kN/m e yEa = 4 m
b) Ea = 97,95kN/m e yEa = 2,66 m
c) Ea = 195,9kN/m e yEa = 4 m
d) Ea = 97,95kN/m e yEa = 7 m
e) Ea = 0
AZAMBUJA, E. Empuxos, muros e cortinas. [S.l.: s.n.], 2010. Notas de Aula.
Leituras Recomendadas
BROOKS, H.; NIEALSEN, J. P. Basic of retaining wall design: a design for earth retaining 
structures. 10. ed. Newport Beach: HBA Publications, 1992.
CAPUTO, H. P.; CAPUTO, A. N. Mecânica dos solos e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2016. v. 2.
CLAITON, C. R. I.; MILITITSKY, J.; WOODS, R. I. Earth pressure and earth-retaining structures. 
2nd ed. Glasgow: CRC, 1993.
CRAIG, R.F.; KNAPPETT, J. A. Craig mecânica dos solos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
FERNANDES, M. M. Mecânica dos solos: introdução à engenharia geotécnica. São 
Paulo: Oficina de Textos, 2014. v. 2.
FUNDAÇÃO INSTITUTO DE GEOTÉCNICA DO MUNICÍPIO DO RIO DE JANEIRO. Manual 
técnico de encostas. Rio de Janeiro: GeoRio, 2000. v. 2.
HACHICH, W. et al. (Org.). Fundações: teoria e prática. São Paulo: PINI, 1998. 
MOLITERNO, A. Caderno de muros de arrimo. São Paulo: Edgard Blücher, 1994.
TAYLOR, D. W. Fundamentals of soil mechanics. New York: John Wiley & Sons, 1948.
U.S. ARMY CORPS OF ENGINEERS. Retaining and Flood Walls. Engineer Manual EM 1110-
2-2502. Report No. FHWA/RD-81-184, Federal Highway Administration. Washington: 
FHWA, 1989.
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Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
 
Dica do professor
Acompanhe neste vídeo, as principais formulações da teoria de Rankine para cálculo dos empuxos 
ativo e passivo.
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Exercícios
1) Com relação ao comportamento de solos arenosos, assinale a alternativa correta. 
A) Os materiais fofos apresentam grande redução de volume por conta do efeito da dilatância.
B) Os materiais fofos apresentam uma grande expansão durante o seu cisalhamento, por isso a 
queda na sua resistência aumenta.
C) Os materiais compactos apresentam grande expansão durante o cisalhamento, por isso a 
queda acentuada na sua resistência.
D) Os materiais compactos apresentam unicamente um comportamento expansivo ao longo do 
ensaio triaxial.
E) Os materiais compactos e fofos apresentam comportamento muito similar quando 
carregados.
2) Sabe-se que a saturação é capaz de promover um comportamento diferenciado entre as 
areias fofas e compactas quando carregadas. À luz disso, por que uma areia fofa pode se 
liquefazer? 
A) Pois ao expandir-se durante o carregamento, a areia fofaaumenta sua sucção, o que pode 
gerar a liquefação.
B) Pois a areia fofa apresenta menor resistência.
C) A areia fofa, ao ser carregada, apresenta contração e se torna mais compacta, portanto é 
impossível que se liquefaça.
D) Porque durante o carregamento ela se expande, reduzindo sua tensão efetiva a zero.
E) Porque pode ocorrer excesso de poro-pressão, já que a areia precisa se comprimir durante o 
cisalhamento, reduzindo à sua tensão efetiva a zero.
3) Se fizermos uma analogia entre o comportamento das areias e das argilas, uma areia 
compacta seria o equivalente a qual tipo de argila? 
A) De uma argila normalmente adensada, devido à formação de pico de resistência ao ser 
carregada.
B) De uma argila normalmente adensada, devido à expansão durante o carregamento.
 
C) De uma argila pré-adensada.
D) De uma argila que não apresenta minerais expansivos.
 
E) De uma argila em qualquer estado
4) Em algumas encostas naturais, rupturas podem ocorrer de forma drenada, ainda que os seus 
materiais constituintes sejam solos residuais argilosos ou silto-argilosos. Ainda assim, por 
que ensaios triaxiais não-drenados (CIU) são executados nestas condições? 
A) Em virtude da baixa permeabilidade desses materiais, pois um ensaiado drenado levaria muito 
tempo.
B) Porque solos residuais apresentam comportamento não-drenado.
C) Porque ensaios drenados (CID) são muito caros.
D) Em virtude de ensaios drenados (CID) serem destinados unicamente a areias.
E) Os ensaios deveriam ser unicamente drenados (CID), portanto é incorreto adotar a modalide 
não-drenada (CIU) nestas condições.
5) Em relação à trajetória de tensões, um exemplo de extensão axial é: 
A) Base de uma fundação.
B) Talude de escavação sem estrutura de contenção.
C) Fundo de escavação de poços .
D) O empuxo passivo na frente de um muro.
E) A extensão axial está presente em todas as situações.
Na prática
Em situações de projeto em solos argilosos, é comum que seja considerada a possibilidade de uma 
trinca de tração estar saturada com água em virtude de precipitações pluviométricas intensas e/ou 
prolongadas . Portanto, surge uma carga atuante adicional sobre a estrutura que pode exercer um 
efeito importante na sua estabilidade. Este empuxo hidrostático pode ser calculado por um 
diagrama de distribuição de tensões triangular, da mesma forma que os empuxos da massa de solo.
 
 
Na prática, drenos são projetados no sentido de aliviar ou eliminar essas pressões hidrostáticas. 
Entretanto, esses drenos, muitas vezes, acabam colmatando ("entupindo") por conta da falta de 
uma manutenção adequada. Por esta razão é que hipóteses mais conservadoras de projetos são 
adotadas, como a consideração de saturação total das trincas.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Obras de Terra - Empuxo ativo, método de Rankine.
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Influence of Stress Paths on Soil Strength
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Empuxos de terra.
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Mohr Circles Stress Paths and Geotechnics - Parry
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