Prova_2006_1_mestrado

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Instituto de Física – Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Prova de Seleção à Pós-Graduação – 1
o
 Semestre 2006 
A prova é constituída de oito (8) questões de mesmo peso. 
Todas as respostas devem vir acompanhadas de justificativa. 
 
 
 
1. Em um espetáculo circense, um artista apresentou-se sentado sobre um carrinho em uma pista tipo 
“montanha russa” e que termina em um “loop” no plano vertical. Supondo que o “loop” é uma 
circunferência de raio R, que o atrito entre o carrinho e a pista pode ser desprezado e que o artista está 
amarrado ao carrinho, qual é a menor velocidade escalar v que o carrinho deverá ter no topo do “loop” 
para permanecer em contato com a pista? Para determinar v, responda às perguntas abaixo, sabendo 
que até o item (f) o referencial está fixo à Terra: 
a) Coloque as forças (representadas por setas) que atuam no sistema carrinho-artista nos 
seguintes pontos do “loop”: ponto mais baixo, ponto mais à direita e ponto mais alto ou topo. 
Qual a origem (quem produz) e tipo (eletromagnética, forte, fraca ou gravitacional) de cada 
força? 
 
b) Represente por setas a força resultante nos mesmos pontos. 
c) Represente por setas a aceleração nos mesmos pontos. 
d) Representa por setas a velocidade nos mesmos pontos 
e) Escreva a lei de Newton (vetorial) no topo do “loop”. 
f) Escolha um sistema de coordenadas fixo no topo do “loop” e obtenha o valor da velocidade 
escalar v mínima para permanecer na pista. 
g) Considere agora um referencial fixo no carrinho. O sistema de coordenadas a considerar segue 
o carrinho e tem o eixo X sempre apontado para o centro do “loop”. Como fica a Lei de 
Newton e o cálculo de v? 
h) Diga o que você entende pelas expressões “força centrípeta” e “força centrífuga”? 
 
 
2. Um mol de gás ideal, inicialmente a uma temperatura T e ocupando um volume V, pode realizar um dos 
seguintes processos termodinâmicos: 
 
a) Expansão isotérmica reversível até o volume 2V, em contato com um reservatório térmico a 
temperatura T. 
b) Expansão livre até o volume 2V, em um recipiente de paredes adiabáticas. 
 
Para cada um dos processos, calcule: 
 
i) variação de temperatura; 
ii) variação de energia interna; 
iii) trabalho realizado; 
iv) calor fornecido; 
v) variação de entropia do gás; 
vi) variação de entropia do universo. 
 
Comente o resultado obtido no item (vi) com base na 2ª Lei da Termodinâmica. Exprima todos os seus 
resultados em termos de V, T e R (constante universal dos gases). 
 
 
3. Em 1907, Einstein formulou um modelo para calcular o calor específico de um sólido que explicou 
uma conhecida discrepância entre as medidas experimentais e o resultado previsto pela termodinâmica 
clássica, dando grande impulso à nova teoria quântica. 
FORÇA RESULTANTE ACELERAÇÃO 
 
VELOCIDADE 
 
Suponha que um sólido seja formado por N átomos (N >>1). Levando-se em conta apenas as vibrações 
atômicas, dentro da aproximação harmônica, a hamiltoniana do sólido pode ser escrita como 
∑
=
++=
N
i
iii qqEH
3
1
222
0 )( ω& , 
onde qi são coordenadas normais generalizadas e iω são as freqüências associadas aos 3N modos 
normais de vibração. O sólido pode então ser entendido como um conjunto de 3N osciladores 
harmônicos desacoplados, onde E0 é a energia potencial mínima. 
 
(a) Usando o Teorema da Equipartição da Energia, obtenha o resultado clássico para a capacidade 
térmica a volume constante (CV) do sólido. Este resultado foi primeiramente descoberto de 
forma empírica e é conhecido como a Lei de Dulong e Petit. 
(b) Considere agora que os osciladores agora são quânticos, de modo que cada um deles pode ter 
energia iii n ωε h)( 2
1+= . Calcule a função de partição de um oscilador (Z1). 
(c) Suponha agora, como Einstein, que todos os modos normais têm a mesma freqüência ω . 
Calcule a função de partição do sistema de 3N osciladores e a energia média do sólido a 
temperatura T. 
(d) Compare a energia do estado fundamental (limite 0→T ) com o valor clássico E0. Discuta 
fisicamente. 
(e) Obtenha CV como função de T. 
(f) Mostre que no limite kT ωh>> , CV se aproxima do valor clássico obtido no item (a). 
(g) Discuta o limite kT ωh e En 
respectivamente. Despreze o spin do elétron. Coloque o átomo num campo elétrico fraco e uniforme, 
ε , que aponta na direção +z. A presença deste campo externo altera levemente os níveis de energia do 
átomo que podem ser recalculados por teoria de perturbação. O hamiltoniano perturbativo é ze'H ε= . 
 
a) Mostre que o desvio de energia do estado fundamental, ∆E, se anula em primeira ordem de 
perturbação em ε . 
b) Mostre que o desvio de energia em segunda ordem tem a forma: 
2
2
1
E αε−=∆ 
sendo α a polarizabilidade do átomo. Mostre de sua fórmula que α é positivo. 
c) Estime a ordem de grandeza de α. 
d) Derive a regra de seleção = 0, se 'mm ≠ . 
e) Considere agora os quatro estados do nível n=2 do átomo e calcule, em primeira ordem, as 
energias e os estados deste sub-espaço. 
 
Fatos importantes sobre o átomo de hidrogênio: 
2
B
2
2
4
22 na
e
n
me
En −=−=
h
 
sendo m a massa do elétron e 
2
2
B
me
a
h= o raio de Bohr. 
 
a
r
a
r
a
r
e
a
r
a
e
a
r
a
e
a
2
3
210
2
3200
3
100
cos
32
1
2
32
1
16
2
−
−
−




=





 −=
=
θ
π
ψ
π
ψ
π
ψ
 
 
5. Positrônium é um átomo exótico que liga elétrons e pósitrons. Estas são partículas de mesma massa e 
spin 1/2 mas de cargas opostas. Um hamiltoniano fenomenológico descrevendo o desdobramento, 
devido ao spin, do nível de energia 1S é 
1 2
H AS.S
→ →
= 
 
sendo A um parâmetro a ser determinado pelo experimento e, 
→
kS , k =1,2, os operadores de spin do 
elétron e pósitron, respectivamente. 
 
a) Encontre as energias dos quatro estados de H tendo spin total j bem definidos e projeção de 
spin total m. Rotule estes estados pelo ket |jm>. Mostre claramente a relação entre a base dos 
spins individuais e a nova base de spin total. 
b) O valor encontrado para a freqüência do fóton emitido na transição de j=1 (tripleto) e j=0 
(singleto) é de Hzx 11102=ν . Determine, desta medida, o valor do parâmetro 
fenomenológico A. 
 
 
 
6. Uma esfera condutora de raio a , isolada e descarregada, está situada em um campo elétrico uniforme 
E0 ẑ . Este campo elétrico tem sua origem em uma distribuição de cargas situada em um ponto muito 
distante da esfera e permanece inalterado pela presença da mesma. 
a) Calcule o campo no interior da esfera. 
b) Faça um esboço das linhas linha de campo dento e fora da esfera. 
c) Quais as condições de contorno para o potencial em er a r= → ∞ . 
d) Usando as condições de contorno do item (c) e a solução geral da equação de Laplace para 
campos com simetria axial (dada abaixo) calcule o campo fora da esfera. 
 
 
Dados: φ
φθ
θ
θ
ˆ
sen
1ˆ1ˆ
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
rr
r
r
 
 
Solução geral da equação de Laplace para campos com simetria axial: 
 
( )( ) ( )1
0
cos
n n
n n n
n
V A r B r P θ
∞
− +
=
= +∑ 
 
 
N ( )cosn
n
r P θ ( ) ( )1
cos
n
n
r P θ− +
 
0 1 r
-1 
1 cosr θ r2 cosθ 
2 ( )2
2
3cos 1
2
r
θ −
 
( )2
3
3cos 1
2
r
θ
−
−
 
 
 
( ) ( ) ( )
1
1
0 se 
cos cos cos 2
se 
2 1
m n
m n
P P d
m n
n
θ θ θ
+
−
≠
=
=
+



∫ 
 
 
 
 
7. Na figura abaixo, uma barra condutora de comprimento L desliza (sem atrito) com velocidade 
constante v ao longo de trilhos condutores. Nesta região existe um campo magnético, B, gerado pela 
corrente, i, que flui em um longo fio condutor paralelo aos trilhos, como mostra a figura. 
 
a) Faça um esboço das linhas de campo em torno do fio. 
b) Calcule a FEM induzida na barra. 
c) Se a resistência da barra é R, qual a corrente induzida 
no circuito. 
d) Qual a força exercida por um agente externo para 
manter a barra em movimento uniforme. 
 
 
 
 
 
8. Uma das técnicas utilizadaspara se implantar átomos em materiais é produzir íons destes átomos, 
acelerá-los até a energia desejada e enviá-los sobre o material de interesse. Isto é possível porque um 
íon no interior da matéria tem uma trajetória bastante retilínea e um alcance (distância percorrida dentro 
do material) de valor médio bem definido, a menos de pequenas flutuações estatísticas. 
Para se chegar ao valor teórico do alcance é preciso obter a perda de energia cinética do íon por 
unidade de comprimento, dE/dx, para depois integrá-la. Vamos desenvolver um modelo simplificado, 
clássico e não-relativístico, para o cálculo do dE/dx de um próton (massa M e carga +e) e de energia 
cinética E, da ordem de 1 MeV, e velocidade v, incidindo em um material condutor. Para isto 
consideraremos que a perda de energia do próton vem de colisões binárias do mesmo com elétrons 
livres (massa m e carga -e), bastante lentos, que podem ser considerados em repouso. O cálculo é 
semelhante ao que você viu em Mecânica Clássica quando estudou o espalhamento de Rutherford, com 
a diferença que naquele caso o alvo era um núcleo de mesma carga e agora é um elétron de carga 
oposta. 
Como o próton perde pouca energia em cada colisão, vamos considerar sua energia constante e obter a 
perda da mesma a partir da energia (momento) transferida ao elétron. 
 
a) Justifique qualitativamente a possibilidade de se fazer um cálculo clássico (não-quântico) e 
não-relativístico no caso apresentado. 
b) Por que os elétrons podem ser considerados “lentos” neste caso? 
c) Do ponto de vista do resultado da colisão, qual a diferença entre ter um próton como projétil 
colidindo com um núcleo ou ter um elétron como projétil, levando em conta a massa e a carga 
dos mesmos. 
d) Justifique qualitativamente por que somente a componente do impulso, perpendicular à 
trajetória, produzido pela passagem do próton e sentido pelo elétron é relevante. 
e) Calcule a componente perpendicular média do impulso. Sugestão: considere uma superfície 
gaussiana cilíndrica, centrada na trajetória do próton e passando pela posição do elétron (ou 
seja, raio igual ao parâmetro de impacto b). 
f) Nas condições do item anterior, obtenha a expressão do momento final transferido ao elétron e 
a energia cinética correspondente. 
 
Observação: a integração no parâmetro de impacto b leva a expressão: dE/dx=(Ae
4
n/mV
2 )ln(bmax/bmin), 
onde n é o número médio de elétrons por unidade de volume do material e A uma constante que 
depende do sistema de unidades utilizado (você não precisa fazer esta integração). A escolha 
criteriosa dos limites de integração permite obter uma expressão muito semelhante à calculada mais 
precisamente por Bethe. 
 
 
i 
 
 
a 
L 
v