Regras de Primitivação

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Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra
Matemática
Licenciatura em Biologia
Ano Letivo 2021/2022 Tabela 1
PRIMITIVAS IMEDIATAS
Na lista de primitivas que se segue considera-se uma função f : I −→ R derivável em I, onde
I é um intervalo de R. Além disso, denotamos por C a constante de primitivação (arbitrária) e
por a uma constante.
Função Primitiva
f ′ · sin f − cos f + C
f ′ · cos f sin f + C
f ′ · tan f − ln | cos f |+ C
f ′ · cot f ln | sin f |+ C
f ′ · sec f ln | sec f + tan f |+ C
f ′ · csc f ln | csc f − cot f |+ C
f ′ · sec2 f tan f + C
f ′ · csc2 f − cot f + C
f ′ · sec f · tan f sec f + C
f ′ · csc f · cot f − csc f + C
f ′√
1− f2
arcsin f + C
ou
− arccos f + C
f ′
1 + f2
arctan f + C
ou
-arccotf + C
f ′
|f | ·
√
f2 − 1
arcsecf + C
ou
−arccscf + C
Função Primitiva
a ax+ C
fm · f ′ fm+1
m+ 1
+ C (m ∈ R\{−1})
f ′
f
ln |f |+ C
af · f ′ af
ln a
+ C (a ∈ R+\{1})
f ′ · sinh f cosh f + C
f ′ · cosh f sinh f + C
f ′ · tanh f ln | cosh f |+ C
f ′ · coth f ln | sinh f |+ C
f ′ · sech2f tanh f + C
f ′ · csch2f − coth f + C
f ′ · sechf · tanh f −sechf + C
f ′ · cschf · coth f −cschf + C
f ′√
1 + f2
argsinhf + C
f ′√
f2 − 1
argcoshf + C
f ′
1− f2
argtanhf + C, se f(x) ∈ (−1, 1)
ou
argcothf + C, se |f(x)| > 1
f ′
|f | ·
√
1− f2
-argsechf + C
f ′
|f | ·
√
1 + f2
argcschf + C
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Ano Letivo 2021/2022 Tabela 2
REGRAS DE PRIMITIVAÇÃO
I - Potências de funções trigonométricas e hiperbólicas
1. Potências ı́mpares de sinx, cosx, sinhx e coshx.
Destaca-se uma unidade à potência ı́mpar e o factor resultante passa-se para a co-função
através das fórmulas fundamentais:
cos2 x+ sin2 x = 1
cosh2 x− sinh2 x = 1.
2. Potências pares de sinx, cosx, sinhx e coshx.
Passam-se para o arco duplo através das fórmulas:
sin2 x =
1
2
(1− cos 2x)
cos2 x =
1
2
(1 + cos 2x)
sinh2 x =
1
2
(cosh 2x− 1)
cosh2 x =
1
2
(cosh 2x+ 1).
3. Potências pares e ı́mpares de tanx, cotx, tanhx e cothx.
Destaca-se tan2 x (tanh2 x) ou cot2 x (coth2 x) e aplica-se uma das fórmulas:
tan2 x = sec2 x− 1 tanh2 x = 1− sech 2x
cot2 x = csc2 x− 1 coth2 x = 1 + csch 2x
4. Potências pares de secx, cscx, sech x e csch x.
Destaca-se sec2 x (sech 2x) ou csc2 x (csch 2x) e ao factor resultante aplica-se uma das
fórmulas:
sec2 x = 1 + tan2 x sech 2x = 1− tanh2 x
csc2 x = 1 + cot2 x csch 2x = coth2 x− 1
5. Potências ı́mpares de secx, cscx, sech x e csch x.
Destaca-se sec2 x (sech 2x) ou csc2 x (csch 2x) e primitiva-se por partes começando por
esse factor.
II - Produtos de potências das funções sinx e cosx (sinhx e coshx)
1. Potência ı́mpar de sinx (sinhx) por qualquer potência de cosx (coshx).
Destaca-se sinx (sinhx) e passa-se o factor resultante para a co-função, através da fórmula
fundamental:
sin2 x = 1− cos2 x (sinh2 x = cosh2 x− 1).
2. Potência ı́mpar de cosx (coshx) por qualquer potência de sinx (sinhx).
Destaca-se cosx (coshx) e passa-se o factor resultante para a co-função, através da fórmula
fundamental:
cos2 x = 1− sin2 x (cosh2 x = 1 + sinh2 x).
3. Potência par de sinx (sinhx) por potência par de cosx (coshx).
Aplicam-se as fórmulas:
sin 2x = 2 sinx cosx sinh 2x = 2 sinhx coshx
sin2 x =
1− cos 2x
2
sinh2 x =
cosh 2x− 1
2
cos2 x =
1 + cos 2x
2
cosh2 x =
cosh 2x+ 1
2
.
III - Produtos em que aparecem factores do tipo sinmx ou cosnx, ou
produtos em que aparecem factores do tipo sinhmx ou coshnx
Aplicam-se as fórmulas:
sinx sin y = 1
2 (cos(x− y)− cos(x+ y)) sinhx sinh y = 1
2 (cosh(x+ y)− cosh(x− y))
cosx cos y = 1
2 (cos(x+ y) + cos(x− y)) coshx cosh y = 1
2 (cosh(x+ y) + cosh(x− y))
sinx cos y = 1
2 (sin(x+ y) + sin(x− y)) sinhx cosh y = 1
2 (sinh(x+ y) + sinh(x− y))
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FRAÇÕES RACIONAIS
Consideremos a fracção
f(x)
g(x)
, em que f(x) e g(x) são polinómios.
1. Se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, efectua-se a divisão
de f(x) por g(x); obtém-se então
f(x)
g(x)
= Q(x) +
R(x)
g(x)
,
sendo agora
R(x)
g(x)
uma fracção própria.
2. Decompõe-se o denominador da fracção própria em factores; os factores obtidos são da
forma
(x− a)m,
correspondendo a ráızes reais a de multiplicidade m, ou da forma
[(x− p)2 + q2]n,
correspondendo estes às ráızes complexas p± qi de multiplicidade n.
3. Decompõe-se então a fracção própria numa soma de elementos simples, de acordo com os
factores obtidos:
(a) cada factor do tipo (x− a)m dá origem a
A1
(x− a)m
+
A2
(x− a)m−1
+ . . .+
Am
x− a
,
com A1, A2, . . . , Am constantes a determinar;
(b) cada factor do tipo [(x− p)2 + q2]n dá origem a
P1 x+Q1
[(x− p)2 + q2]n
+
P2 x+Q2
[(x− p)2 + q2]n−1
+ . . .+
Pn x+Qn
(x− p)2 + q2
,
com P1, Q1, P2, Q2, . . . , Pn, Qn constantes a determinar.
4. Cálculo das constantes
As constantes Ai, Pi e Qi podem ser determinadas conjuntamente pelo método dos coefi-
cientes indeterminados. Há no entanto uma forma alternativa de calcular essas constantes,
que descrevemos em seguida.
(a) Cálculo dos coeficientes relativos a factores do tipo (x−a)m (seja ψ(x) tal que g(x) =
ψ(x)(x− a)m):
i. se m = 1, apenas temos de determinar uma constante A1, que é dada por:
A1 =
[
R(x)
ψ(x)
]
x=a
.
ii. se m > 1, efectua-se a divisão [
R(x)
ψ(x)
]
x=a+h
dispondo os polinómios por ordem crescente dos seus monómios, até chegar ao
grau m− 1:[
R(x)
ψ(x)
]
x=a+h
= A1 + a2 h+A3 h
2 + . . .+Am h
m−1 + . . .
onde A1, A2, . . . , Am são as constantes que pretendemos determinar.
(b) Cálculo dos coeficientes relativos a factores do tipo [(x− p)2 + q2]n (seja ψ(x) tal que
g(x) = ψ(x)[(x− p)2 + q2]n):
i. se n = 1, obtemos as constantes P1 e Q1 fazendo[
P1 x+Q1 =
R(x)
ψ(x)
]
x=p+qi
.
ii. se n > 1, as constantes calculam-se pelo método dos coeficientes indeterminados
(as constantes P1 e Q1 ainda podem ser obtidas como em i.).
Nota: Caso apareçam elementos simples da forma
1
[(x− p)2 + c]n
,
com n > 1, estes podem ser primitivados usando a seguinte fórmula de recorrência:
P
(
1
[(x− p)2 + c]n
)
=
1
c
[
1
2n− 2
× x− p
[(x− p)2 + c]n−1
+
2n− 3
2n− 2
× P
(
1
[(x− p)2 + c]n−1
)]
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PRIMITIVAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Sejam a, b, c e d constantes reais. A notação R(...) indica que se trata de uma função
racional (envolvendo apenas somas, diferenças, produtos e quocientes) do que se encontra entre
parêntesis.
Tipo de Função Substituição
1
(x2 + a2)k
, k ∈ N, k > 1 x = a tan t
P (x)
(ax2 + bx+ c)k
, k ∈ N, k > 1, b2 − 4ac 1,
onde P (x) é um polinómio de grau inferior a 2k x = p+ qt
R(arx, asx, ...) amx = t onde m = m.d.c.(r, s, ...)
R(loga x) t = loga x
R
(
x,
(
ax+ b
cx+ d
) p
q
,
(
ax+ b
cx+ d
) r
s
, ...
)
ax+ b
cx+ d
= tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x, (ax+ b)
p
q , (ax+ b)
r
s , ...) ax+ b = tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x, x
p
q , x
r
s , ...) x = tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x,
√
a2 − b2x2) x = a
b sin t ou x = a
b cos t ou x = a
b tanh t
R(x,
√
a2 + b2x2) x = a
b tan t ou x = a
b sinh t
R(x,
√
b2x2 − a2) x = a
b sec t ou x = a
b cosh t
R(x,
√
x,
√
a− bx) x = a
b sin2 t ou x = a
b cos2 t
R(x,
√
x,
√
a+ bx) x = a
b tan2 t
Tipo de Função Substituição
R(x,
√
x,
√
bx− a) x = a
b sec2 t
R(x,
√
ax2 + bx+ c) se a > 0 faz-se
√
ax2 + bx+ c = x
√
a+ t
se c > 0 faz-se
√
ax2 + bx+ c =
√
c+ tx
se ax2 + bx+ c = a(x− r1)(x− r2),
√
ax2 + bx+ c = (x− r1)t ou
√
ax2 + bx+ c = (x− r2)t
xm(a+ bxn)
p
q se m+1
n ∈ Z faz-se a+ bxn = tq
se m+1
n + p
q ∈ Z faz-se a+ bxn = xntq
R(sinx, cosx):
(a) se R é ı́mpar em sinx, isto é,
R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx) cosx = t
(b) se R é ı́mpar em cosx, isto é,
R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx) sinx = t
(c) se R é par em sinx e cosx, isto é,
R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) tanx = t, sendo então (supondo x ∈ (0, π2 ))
sinx = t√
1+t2
, cosx = 1√
1+t2
(d) nos restantes casos (e até nos anteriores) tan x
2 = t, sendo então sinx = 2t
1+t2 , cosx = 1−t2
1+t2
R(sinmx, cosmx) mx = t
R(ex, sinhx, coshx) x = ln t
R(sinhx, coshx):
(a) R é ı́mpar em sinhx coshx = t
(b) R é ı́mpar em coshx sinhx = t
(c) R é par em sinhx e coshx tanhx = t, sendo então sinhx = t√
1−t2 , coshx = 1√
1−t2
(d) nos restantes casos (e até nos anteriores) tanh x
2 = t, sendo então sinh tx = 2t
1−t2 , coshx = 1+t2
1−t2
R(sinhmx, coshmx) mx = t
Observação: Quando se efectua uma substituição, aparece frequentemente uma expressão do
tipo
√
f2(t). No caso geral terá de se escrever√
f2(t) = |f(t)|.