folhas do livro aev

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15. **Problema 15:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 2} \). 
 a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 2}} \) 
 b) \( \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 2}} \) 
 d) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 2}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 2}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 2}} \cdot 3x^2 = 
\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 2}} \). 
 
16. **Problema 16:** Calcule a integral \( \int (6x^5 - 2x^3 + 4x) \, dx \). 
 a) \( x^6 - \frac{1}{2}x^4 + 2x^2 + C \) 
 b) \( x^6 - \frac{1}{4}x^4 + 2x^2 + C \) 
 c) \( 6x^6 - \frac{2}{4}x^4 + 4x^2 + C \) 
 d) \( 6x^6 - 2x^4 + 4x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^6 - \frac{1}{2}x^4 + 2x^2 + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 6x^5 \, dx = x^6 \), \( \int -2x^3 \, dx = -
\frac{1}{2}x^4 \), e \( \int 4x \, dx = 2x^2 \). 
 
17. **Problema 17:** Determine o valor de \( \int_{1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx \). 
 a) \( -6 \) 
 b) \( -4 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** a) \( -6 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 \). Avaliando de 1 a 3: \( 
\left[\frac{1}{4}(3^4) - 2(3^2)\right] - \left[\frac{1}{4}(1^4) - 2(1^2)\right] = \left[\frac{81}{4} - 
18\right] - \left[\frac{1}{4} - 2\right] = \left[\frac{81}{4} - \frac{72}{4}\right] - \left[\frac{1}{4} - 
\frac{8}{4}\right] = \frac{9}{4} + \frac{7}{4} = -6 \). 
 
18. **Problema 18:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( 2 \) 
 **Explicação:** O numerador pode ser fatorado como \( (x - 1)(x + 1) \). Cancelando \( (x - 
1) \), obtemos \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \). 
 
19. **Problema 19:** Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x^2) \). 
 a) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 b) \( \sec^2(x^2) \) 
 c) \( 2x \tan(x^2) \) 
 d) \( 2 \sec^2(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot 2x = 2x \sec^2(x^2) 
\). 
 
20. **Problema 20:** Calcule a integral \( \int (7x^6 - 5x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( \frac{7}{7}x^7 - \frac{5}{3}x^3 + 3x + C \) 
 b) \( x^7 - \frac{5}{3}x^3 + 3x + C \) 
 c) \( x^7 - \frac{5}{5}x^3 + 3x + C \) 
 d) \( 7x^7 - 5x^3 + 3x + C \) 
 **Resposta:** b) \( x^7 - \frac{5}{3}x^3 + 3x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 7x^6 \, dx = x^7 \), \( \int -5x^2 \, dx = -
\frac{5}{3}x^3 \), e \( \int 3 \, dx = 3x \). 
 
21. **Problema 21:** Determine o valor de \( \int_{1}^{2} (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( 6 \) 
 b) \( 8 \) 
 c) \( 10 \) 
 d) \( 12 \) 
 **Resposta:** a) \( 6 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x \). Avaliando de 1 a 2: \( 
\left[\frac{1}{2}(2^4) - (2^3) + 4(2)\right] - \left[\frac{1}{2}(1^4) - (1^3) + 4(1)\right] = [8 - 8 + 
8] - [\frac{1}{2} - 1 + 4] = 6 \). 
 
22. **Problema 22:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \) 
 **Explicação:** Como \( \sin(x) \) se aproxima de \( x \) quando \( x \) se aproxima de 0, 
temos \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0 
\). 
 
23. **Problema 23:** Encontre a derivada de \( f(x) = e^{3x} \). 
 a) \( 3e^{3x} \) 
 b) \( e^{3x} \) 
 c) \( 9e^{3x} \) 
 d) \( 6e^{3x} \) 
 **Resposta:** a) \( 3e^{3x} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{kx} \) é \( ke^{kx} \). Portanto, \( f'(x) = 3e^{3x} \). 
 
24. **Problema 24:** Calcule a integral \( \int (8x^3 - 4x + 5) \, dx \). 
 a) \( 2x^4 - 2x^2 + 5x + C \) 
 b) \( 2x^4 - 2x + 5x + C \) 
 c) \( 8x^4 - 2x^2 + 5x + C \) 
 d) \( 8x^4 - 2x + 5x + C \) 
 **Resposta:** a) \( 2x^4 - 2x^2 + 5x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 8x^3 \, dx = 2x^4 \), \( \int -4x \, dx = -2x^2 \), e \( 
\int 5 \, dx = 5x \). 
 
25. **Problema 25:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 3 \) 
 c) \( 4 \) 
 d) \( 5 \)