zx49 geometria

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c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, 
temos \( \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \), que simplifica para \( x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 
2 \). 
 
71. Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 \cos(x) \). 
 a) \( 3x^2 \cos(x) - x^3 \sin(x) \) 
 b) \( 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \) 
 c) \( 3x^2 \cos(x) + x^3 \sin(x) \) 
 d) \( 3x^2 \cos(x) - 3x^3 \sin(x) \) 
 **Resposta: a) \( 3x^2 \cos(x) - x^3 \sin(x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = x^3 (-\sin(x)) + 3x^2 \cos(x) = 3x^2 
\cos(x) - x^3 \sin(x) \). 
 
72. Calcule a integral \( \int (5x^2 - 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3}x^3 - 2x + C \) 
 b) \( \frac{5}{3}x^3 - 2 + C \) 
 c) \( \frac{5}{3}x^3 - 2x^2 + C \) 
 d) \( \frac{5}{3}x^3 - 2x + 1 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{3}x^3 - 2x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 5x^2 \, dx = \frac{5}{3}x^3 \) 
e \( \int -2 \, dx = -2x \). 
 
73. Determine o valor de \( \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A primitiva é \( x^3 - 2x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( (1 - 2 + 1) - 
(0) = 0 \). 
 
74. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 4** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = 4 \). 
 
75. Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^4 + 1) \). 
 a) \( \frac{4x^3}{x^4 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^4 + 1} \) 
 c) \( \frac{4}{x^4 + 1} \) 
 d) \( \frac{4x^3}{4x^4 + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{4x^3}{x^4 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^4 + 1} \cdot (4x^3) = 
\frac{4x^3}{x^4 + 1} \). 
 
76. Calcule a integral \( \int (2x^3 + 3x^2 - 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - x + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - x + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 1 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \), 
\( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), e \( \int -1 \, dx = -x \). 
 
77. Determine o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^5}{5} - x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( 
\left( \frac{1}{5} - 1 + 2 \right) - (0) = 2 \). 
 
78. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 5** 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5 \). 
 
79. Encontre a derivada de \( f(x) = x^5 + \ln(x) \). 
 a) \( 5x^4 + \frac{1}{x} \) 
 b) \( 5x^4 + x \) 
 c) \( 5x^5 + \frac{1}{x} \) 
 d) \( 5x^5 + 1 \) 
 **Resposta: a) \( 5x^4 + \frac{1}{x} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência e a derivada do logaritmo: \( f'(x) = 5x^4 + 
\frac{1}{x} \). 
 
80. Calcule a integral \( \int (3x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \) 
 b) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x + C \) 
 c) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + C \) 
 d) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 1 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 3x^4 \, dx = \frac{3}{5}x^5 \), 
\( \int -2x^2 \, dx = -\frac{2}{3}x^3 \), e \( \int 1 \, dx = x \).