calculando a matematica 1Q5

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a) \( A > 0 \) 
 b) \( A 0 \) 
 b) \( \gamma 0 \) 
 **Explicação:** Para que a função de onda seja normalizável, a integral \( \int_{-
\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx \) deve convergir. Isso ocorre se \( \gamma > 0 \). 
 
20. Um sistema quântico é descrito pela função de onda \( \psi(x) = A \cos(kx) \). Se \( k = 
\frac{\pi}{3} \, \text{nm}^{-1} \) e \( A \) é a constante de normalização, qual é o valor de \( A 
\) se a partícula está confinada em uma caixa de tamanho \( L = 3 \, \text{nm} \)? 
 a) \( \frac{1}{\sqrt{L}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{2L}} \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{3L}} \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{4L}} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{\sqrt{2L}} \) 
 **Explicação:** Para normalizar \( \psi(x) \), devemos garantir que \( \int_0^L |\psi(x)|^2 
dx = 1 \). A integral resulta em \( \frac{L}{2} \), levando a \( |A|^2 \frac{L}{2} = 1 \), e portanto 
\( A = \frac{1}{\sqrt{2L}} \). 
 
21. Um sistema quântico tem um estado de energia \( E = 3 \, \text{eV} \). Se a temperatura 
do sistema é \( T = 300 \, \text{K} \), qual é a probabilidade de encontrar a partícula nesse 
estado? 
 a) \( 0.1 \) 
 b) \( 0.2 \) 
 c) \( 0.3 \) 
 d) \( 0.4 \) 
 **Resposta:** a) \( 0.1 \) 
 **Explicação:** A probabilidade é dada por \( P = \frac{e^{-E/kT}}{Z} \), onde \( k = 8.617 
\times 10^{-5} \, \text{eV/K} \). Calculando \( P \) resulta em aproximadamente \( 0.1 \). 
 
22. Um sistema quântico tem uma função de onda \( \psi(x) = A e^{-\beta x^2} \). Se \( 
\beta = 1 \, \text{nm}^{-2} \), qual é a energia total da partícula? 
 a) \( 0.5 \, \text{eV} \) 
 b) \( 1.0 \, \text{eV} \) 
 c) \( 1.5 \, \text{eV} \) 
 d) \( 2.0 \, \text{eV} \) 
 **Resposta:** b) \( 1.0 \, \text{eV} \) 
 **Explicação:** A energia total é dada pela soma da energia cinética e potencial. Para 
um estado quântico gaussiano, a energia média é \( E = \frac{3}{2} \hbar \omega \), onde \( 
\omega = \sqrt{2\beta/m} \). Calculando \( E \) resulta em \( 1.0 \, \text{eV} \). 
 
23. Um estado de um sistema quântico é descrito pela função de onda \( \psi(x) = A e^{-
x^2} \). Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre \( x = -1 \) e \( x = 1 \)? 
 a) \( 0.6827 \) 
 b) \( 0.5 \) 
 c) \( 0.9545 \) 
 d) \( 0.3173 \) 
 **Resposta:** c) \( 0.9545 \) 
 **Explicação:** A probabilidade é dada por \( P = \int_{-1}^{1} |\psi(x)|^2 dx \). A função \( 
|\psi(x)|^2 = A^2 e^{-2x^2} \) e a normalização resulta em \( A = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{\pi}}} \). 
O integral de \( e^{-2x^2} \) entre -1 e 1 é aproximadamente \( 0.9545 \). 
 
24. Um elétron em um campo elétrico uniforme \( E = 200 \, \text{N/C} \) possui uma 
energia potencial de \( U = -eEx \). Qual é a variação de energia potencial quando o elétron 
se desloca de \( x_1 = 0 \) para \( x_2 = 2 \, \text{m} \)? 
 a) \( -3.2 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 b) \( -6.4 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 c) \( -1.6 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 d) \( -4.8 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 **Resposta:** b) \( -6.4 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 **Explicação:** A variação de energia potencial é dada por \( \Delta U = U(x_2) - U(x_1) = 
-eE(x_2 - x_1) \). Com \( e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \), temos \( \Delta U = -1.6 \times 
10^{-19} \times 200 \times (2 - 0) = -6.4 \times 10^{-19} \, \text{J} \). 
 
25. Um sistema quântico tem um nível de energia de \( E_1 = 4 \, \text{eV} \). Qual é a 
energia do próximo nível, \( E_2 \), se o sistema é um oscilador harmônico? 
 a) \( 8 \, \text{eV} \) 
 b) \( 12 \, \text{eV} \) 
 c) \( 16 \, \text{eV} \) 
 d) \( 20 \, \text{eV} \) 
 **Resposta:** b) \( 12 \, \text{eV} \)