Volume 6-2-23

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Exemplo:
4 2 2 5
3 0 2 9
11 4 3 6
16 8 8 4
1 2 0 4
3 0 2 9
11 4 3 6
16 8 8 4
–
–
–
=–1
+
×
 (Substituímos a linha 1 pela soma desta com a linha 2, 
previamente multiplicada por –1.)
Matriz de Vandermonde
É toda matriz quadrada com as seguintes características:
i) Os elementos da primeira linha são todos iguais a 1.
ii) As colunas são formadas por potências de mesma base.
Genericamente, temos:
1 1 1 1
1 2 3
1
2
2
2
3
2 2
1
1
2
1
�
�
�
� � � � �
a a a a
a a a a
a a a
n
n
n n − −
33
1 1n
n
na − −

















�
Propriedade
O determinante de uma matriz de Vandermonde é 
dado pelo produto de todas as diferenças possíveis entre 
os elementos da segunda linha, de modo que, em cada 
diferença, o índice do primeiro termo (minuendo) seja maior 
do que o índice do segundo termo (subtraendo).
Exemplo:
Calcular o determinante da matriz A = 
1 1 1 1
2 3 1 4
4 9 1 16
8 27 1 64












.
det (A) = (3 – 2).(1 – 2).(1 – 3).(4 – 2).(4 – 3).(4 – 1) ⇒
det (A) = 1.(–1).(–2).2 . 1 . 3 ⇒ det (A) = 12
Existência da matriz inversa
Uma matriz A, quadrada, é inversível se, e 
somente	se,	det	A	≠	0.
Demonstração:
Sabemos que:
A.A–1 = I
Então, det (A.A–1) = det (I), mas det (I) = 1.
Aplicando o Teorema de Binet, temos:
det A.det A–1 = 1 
Logo, temos:
det A–1 = 1
det A
EXERCÍCIOS DE 
APRENDIZAGEM
01. (UFRR–2017) Dadas as matrizes =





A 23 0
3 2
 e 
=





B 0 23
2 3
. Qual o valor de det (A) + det (B)?
A) 2
B) 1
C) 23
D) 3
E) 0
02. (UERN–2015) Considere a seguinte matriz A = (aij)3×3: 
−






2 1 log 8
1 2 4
3 log 4 1
2
2
Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é
A) 8.
B) 9.
C) 15.
D) 24.
03. (IFAL–2016) O valor do determinante cos x sen x
sen x cos x
− é:
A) 1
B) cos 2x
C) sen 2x
D) tg 2x
E) cos2 x – sen2 x
04. (PUC RS) Dadas as matrizes A = [ 1 2 3] e =






B
4
5
6
, 
o determinante det (A.B) é igual a
A) 18.
B) 21.
C) 32.
D) 126.
E) 720.
05. (IFAL) Se =
−





 =
−





A 1 2
1 0
 e B 1 2
1 0
, o determinante 
da matriz (AB)–1 é
A) −
1
10
.
B) 21
10
.
C) 13
10
.
D) −13
10
.
E) N.d.a. 
Determinantes
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
47Bernoulli Sistema de Ensino
https://youtu.be/kh5PXcmR5v4
https://youtu.be/_2NbGq9vqxk
https://youtu.be/dl9UuNVhI6E
https://youtu.be/EWcTtvTJOUQ
06. (FUVEST-SP) O determinante da inversa da matriz 
a seguir é






1
–1
1
5
0
–2
4
1
0
3
A) − 52
5
.
B) − 48
5
.
C) − 5
48
.
D) 5
52
.
E) 5
48
.
 
07. (UERJ–2017) Observe a matriz:
3 t 4
3 t 4
+ −
−






Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior 
valor real de t deve ser igual a
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
08. (UECE) Se n é um número inteiro positivo e X é a 
matriz 






1 0 0
1 2 0
1 1 3
, então o valor do determinante da 
matriz Y = Xn é:
A) 2n
B) 3n
C) 6n
D) 9n
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS 
01. (Unicamp-SP–2019) Sabendo que a e b são números 
reais, considere a matriz quadrada de ordem 3, 
=






A
1 a 1
b 1 a
2 b 2
.
Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A 
tem sempre o mesmo valor, então o determinante de 
A é igual a
A) 0.
B) 2.
C) 5.
D) 10.
02. (Feevale-RS–2016) O determinante da matriz 






sen (x) 0 1
1 sec (x) 0
0 0 cot g (x)
 é
A) 0.
B) 1.
C) sen x.
D) cos x.
E) tg x.
03. (IFSul–2015) Sejam as matrizes A2×2, em que 
= ≤
>





=
×
a 2 ,se i j
j ,se i j
, B I ,
i j
j
i 2 e I é a matriz identidade. 
Sabendo que At é a matriz transposta de A, qual é o 
determinante de (At + B)? 
A) 11 
B) –11 
C) 9 
D) –9 
04. (UECE–2017) Uma matriz quadrada X = (aij) é simétrica 
quando aij = aji. Se o determinante da matriz simétrica 
M
1 2 3
x 1 y
z w 1
=










 é igual a 8, então, o valor da soma 
x + y + z + w pode ser 
A) 9 ou 11. 
B) 9 ou 25. 
C) 11 ou 25. 
D) 9 ou 13. 
05. (UEPB) Se a matriz com det (A) = 1 e = −





−A 1 1
m 0
,1 
o valor de m é
A) –1.
B) 1.
C) 0.
D) 2.
E) –2.
06. (UECE) Uma matriz quadrada P = (aij) é simétrica quando 
aij = aji. Por exemplo, a matriz 
−
−










2 3 5
3 7 4
5 4 1
 é simétrica.
Se a matriz =
+ −
−
+










M
x y x y xy
1 y x 2y
6 x 1 1
 é simétrica, pode-se 
afirmar corretamente que o determinante de M é igual a 
A) –1.
B) –2.
C) 1.
D) 2.
Frente B Módulo 23
48 Coleção 6V
https://youtu.be/6KzT6DlPyhk
https://youtu.be/9Ywuwl78UUw
https://youtu.be/uAALuVBh6_M
https://youtu.be/wO4GA78_oxo
https://youtu.be/cFevNdNdPXs
https://youtu.be/zMm1s2IZmYA