Análise de Estruturas de Concreto

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Análise de segunda ordem global de estruturas de concreto armado utilizando
programas computacionais de dimensionamento
Conference Paper · October 2012
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Elisabeth Junges
Federal University of Espírito Santo
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Henriette Lebre La Rovere
Universidade Federal de Santa Catarina
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ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 1 
Análise de segunda ordem global de estruturas de concreto armado 
utilizando programas computacionais de dimensionamento 
Overall second-order analysis of reinforced concrete structures using design computer 
programs 
Elisabeth Junges (1); Henriette Lebre La Rovere (2); Daniel Domingues Loriggio (3) 
 
(1) Doutoranda-Bolsista CNPq, Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil, Universidade 
Federal de Santa Catarina 
(2) Professor Associado, Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina 
(3) Professor Titular, Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina 
bethjunges@gmail.com 
 
Resumo 
 
Neste trabalho descrevem-se os métodos de análise dos efeitos de segunda ordem global usados em 
programas computacionais de análise e dimensionamento de estruturas de concreto armado. Os 
parâmetros de estabilidade global e os principais aspectos envolvidos na análise também são abordados. 
São investigados três programas que são amplamente utilizados pelos engenheiros de estruturas no Brasil: 
SAP2000, AltoQI Eberick e Sistema CAD/TQS. Visando auxiliar aos engenheiros na utilização destes 
programas e na interpretação dos resultados de análise não linear, elabora-se um texto detalhado sobre o 
método de análise implementado em cada programa, incluindo-se explicações sobre o funcionamento do 
programa e suas particularidades. Alguns exemplos de estruturas simples de concreto armado são 
analisados utilizando-se os diferentes programas, tecendo-se comentários sobre os resultados obtidos. Ao 
final do trabalho apresenta-se uma comparação entre os recursos disponíveis em cada programa, 
assinalando-se as vantagens e as dificuldades encontradas na utilização dos mesmos. 
Palavra-Chave: análise estrutural, efeitos de segunda ordem, concreto armado, programas de dimensionamento 
 
Abstract 
 
This paper describes the analytical methods to account for overall second-order effects used in general 
computer programs for the design of reinforced concrete structures. The overall stability parameters and the 
main aspects involved in the analysis are also addressed. Three computer programs widely employed by 
structural engineers in Brazil are investigated: SAP2000, AltoQI Eberick and CAD /TQS System. Aiming to 
help the engineers on the use of such programs and on the interpretation of the nonlinear analysis results, a 
detailed text on the analytical method implemented in each program is elaborated, including an explanation 
on each program operation and on its particular features. A few examples of simple reinforced concrete 
structures are analyzed using the different computer programs, and comments on the obtained results are 
drawn. At the end of the work, a comparison between the resources available in each program is presented, 
pointing out the advantages and the difficulties found in its use. 
 
Keywords: reinforced concrete, second-order effects, structural analysis, design computer programs 
 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 2 
1 Introdução 
 
 Os efeitos globais de segunda ordem em estruturas usuais de concreto armado 
devem ser considerados quando estes efeitos se tornarem relevantes frente aos esforços 
e deformações de primeira ordem. Estes efeitos, chamados de segunda ordem ou 
também de efeitos P-delta, são decorrentes da alteração da posição inicial da estrutura, 
que se deforma e encontra uma nova posição de equilíbrio, levando ao incremento dos 
esforços solicitantes internos. O comportamento de estruturas de concreto armado frente 
a este efeito é não linear, e é denominado também como não linearidade geométrica. 
Além da não linearidade geométrica, estruturas de concreto armado também apresentam 
não linearidade física, devido ao comportamento não linear do material. 
 Para avaliar se os esforços de segunda ordem globais são consideráveis em uma 
estrutura, sem a necessidade de uma análise não linear, existem parâmetros de 
instabilidade que podem ser calculados com os dados de uma análise linear, como o Z e 
 (gama z e alfa), que são indicados pela NBR 6118/2007. Caso seja necessário calcular 
a estrutura considerando os efeitos globais de segunda ordem, tanto a nãolinearidade 
física quanto a geométrica devem ser consideradas, sendo que a não linearidade física, 
usualmente, é considerada de forma simplificada. 
 A consideração da não linearidade geométrica na análise de segunda ordem global 
pode ser realizada por diferentes métodos matemáticos. Alguns métodos são mais 
conhecidos, como o método da matriz de rigidez geométrica, que incorpora uma matriz de 
rigidez geométrica e necessita de processo iterativo (KG), e também o processo P-delta, 
que possui algumas variações, mas a mais conhecida é a baseada em adicionar cargas 
horizontais fictícias para considerar o efeito da não linearidade geométrica, realizando 
também iterações sucessivas até a convergência dos resultados. Há também métodos 
mais simplificados, como o indicado pela NBR 6118/2007, que utiliza o parâmetro de 
instabilidade Z como majorador dos esforços horizontais. 
 Atualmente, devido principalmente ao avanço da tecnologia do concreto, que tem 
permitido resistências cada vez maiores, estruturas cada vez mais esbeltas têm sido 
projetadas e, portanto, suscetíveis a maiores deformações e efeitos de segunda ordem. 
Com isso, para realizar uma análise estrutural adequada, necessita-se considerar a não 
linearidade física e geométrica. Estas análises são mais complexas que uma análise 
elástico-linear, porém, existem no mercado vários programas computacionais de análise e 
dimensionamento de estruturas que dispõem de ferramentas para realizar análises com 
consideração das não linearidades. 
 Com a grande utilização destes programas por parte dos engenheiros estruturais 
nos escritórios de projeto, surge a curiosidade sobre quais os recursos disponíveis e 
questionamento quanto à teoria implementada para realizar análise não linear geométrica 
e verificação da estabilidade global disponível nesses programas comerciais. 
 Portanto, diante das estruturas mais esbeltas que vem sendo projetadas, e da 
utilização de programas computacionais para o projeto de estruturas, percebe-se a 
importância de se detalhar a formulação implementada nesses programas para esclarecer 
o engenheiro estrutural sobre o assunto. O objetivo central deste trabalho é estudar os 
métodos de análise dos efeitos de segunda ordem globais disponíveis em três programas 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 3 
comerciais de análise e dimensionamento de estruturas de concreto armado: SAP2000, 
AltoQI Eberick e Sistema CAD/TQS. 
 Primeiramente são descritos os principais aspectos envolvidos na análise de 
segunda ordem global, com um resumo das recomendações da NBR 6118/2007, bem 
como dos métodos de análise não linear geométrica mais utilizados. São analisados 
alguns exemplos de estruturas para tecer alguns comentários sobre os modelos de 
análise e parâmetros de estabilidade dos programas. Ao final, alguns comentários são 
feitos sobre a utilização de cada programa, recursos disponíveis, vantagens e dificuldades 
encontradas, e sobre os resultados dos exemplos calculados com o uso dos programas. 
 
2 Análise estrutural de segunda ordem de estruturas de concreto 
armado 
 
 A análise estrutural com consideração dos efeitos de segunda ordem, que leva em 
conta a não linearidade física e a geométrica, tem como objetivo garantir a estabilidade da 
estrutura (verificar o estado limite último de instabilidade) e fornecer as solicitações de 
cálculo para o seu adequado dimensionamento. 
 
2.1 Classificação da estrutura 
 
 A NBR 6118/2007 permite desconsiderar os efeitos de segunda ordem em uma 
estrutura onde esses efeitos são pequenos (acréscimo menor que 10% nos esforços 
relevantes da estrutura). Esta norma classifica a estrutura de nós fixos, quando há 
dispensa da consideração dos efeitos de segunda ordem, ou em estrutura de nós móveis, 
quando então é necessário considerá-los. Pode-se usar pra fazer essa classificação dois 
processos aproximados: parâmetro de instabilidade  e o coeficiente z, descritos a 
seguir. 
 
2.1.1 Parâmetro de instabilidade  
 O parâmetro  é aplicável a estruturas reticuladas simétricas e é calculado, 
conforme descrito na NBR 6118/2007, pela equação seguinte: 
 
 √
 
 
 (Equação 1) 
onde: 
 é a altura total da estrutura; 
 é a somatória das cargas verticais atuantes na estrutura com valor característico; 
 representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção 
considerada, que para o caso de pórticos pode ser considerado o valor da rigidez de um 
pilar equivalente de seção constante. Pode-se adotar Eci (módulo de elasticidade tangente 
inicial do concreto) e Ic (momento de inércia) considerando a seção bruta dos pilares. 
 A estrutura será classificada como de nós móveis quando  for maior que 1: 
 
 se (Equação 2) 
 se (Equação 3) 
sendo n o número de andares. 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 4 
 Observa-se que são utilizados esforços característicos e rigidez integral da seção 
no cálculo de , visto que o limite 1 já foi deduzido considerando e rigidez 
reduzida , conforme explica FRANCO ( 1985 apud MONCAYO, 2011). 
 
2.1.2 Coeficiente z 
 Segundo NBR 6118/2007 item 15.5.3, o coeficiente z, definido pela próxima 
expressão, deve ser calculado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira 
ordem, para cada caso de carregamento, considerando de forma aproximada a não 
linearidade física conforme item 15.7.3 desta mesma norma. Este coeficiente é aplicado a 
estruturas reticuladas de no mínimo 4 andares. 
 
 
 
 
 
 
 (Equação 4) 
onde: 
 é o momento de tombamento, dado pela soma dos momentos de todas as forças 
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base 
da estrutura; 
 é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na 
combinação considerada e valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus 
respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de primeira ordem. 
 A estrutura será considerada de nós fixos se e de nós móveis se 
 ; acima de 1,3 indica grandes deslocamentos e que a estrutura pode estar instável 
e valores abaixo de 1 ou negativos são incoerentes e indica que a estrutura é instável. 
 
2.2 Não Linearidade Física 
 
 Para estruturas classificadas como de nós móveis, a não linearidade física (NLF) 
deve obrigatoriamente ser considerada na análise de segunda ordem global. Uma opção 
para esta consideração é reduzir a rigidez dos elementos estruturais, conforme especifica 
o item 15.7.3 da NBR 6118/2007, considerando de forma aproximada a não linearidade 
física na análise dos esforços globais de segunda ordem: 
Lajes: 
Vigas: para As’ ≠ As 
Pilares: 
 Pode-se ainda utilizar um único coeficiente redutor quando a estrutura de 
contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares ede segunda ordem, podem ser 
obtidos por meio da majoração adicional dos esforços horizontais, da combinação de 
carregamento considerada, por , não sendo necessária assim uma análise não 
linear. Este processo só é válido para . 
 
2.3.2 Processo P-Δ 
 O processo P- consiste em adicionar cargas externas equivalentes ao vetor de 
forças externas de forma a representar o efeito P-. A Figura 1 explica o cálculo dessas 
forças para barras verticais de pórtico plano. A força horizontal fictícia H é adicionada de 
forma a representar o efeito p-delta na barra vertical do pórtico. 
 
Figura 1. Descrição do Processo P- em um pórtico plano 
 
 O processo pode ser generalizado e aplicado a barras de todas as direções, que 
tenham esforço normal, processo chamado de P- Genérico (LORIGGIO, 2011). O 
sistema de equações de equilíbrio de uma estrutura, discretizada em elementos ligados 
por nós, pela formulação da análise matricial utilizando o método dos deslocamentos fica: 
 
 { } [ ] {{ } { } { }} (Equação 5) 
onde: 
b) Isolando um pilar: 
c) Isolando um andar: 
d) Cagas fictícias no 
pórtico: 
a) Pórtico Plano: 
Hand 
Land 
aand 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
Htotal 
 
*and.: andar 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 6 
{ }: vetor dos deslocamentos (incógnitas do problema); 
[ ]: matriz da rigidez da estrutura; 
{ }: esforços externos aplicados nos nós; 
{ }: esforços nodais equivalentes a cargas aplicadas ao longo dos elementos da 
estrutura; 
{ }: esforços horizontais equivalentes ao efeito da não linearidade geométrica, 
modificados a cada iteração. 
 É necessário um processo iterativo de cálculo para convergência dos resultados, o 
processo de cálculo pode ser definido pelas seguintes etapas: 
1) Análise elástico-linear (com consideração da NLF de forma simplificada); 
2) Análise elástico-linear com esforços fictícios calculados a partir da análise na etapa 1; 
3) Análise elástico-linear com esforços fictícios calculados a partir da etapa anterior. 
Repetição da etapa 3 até a convergência dos resultados, conforme critério estabelecido. 
 A convergência geralmente é rápida. Caso não haja convergência significa que o 
carregamento aplicado superou a carga crítica da estrutura. 
 
2.3.3 Método da Matriz de Rigidez Geométrica KG 
 Neste método considera-se aproximadamente a configuração deformada do 
elemento nas equações de equilíbrio. Resumidamente consiste em alterar a matriz de 
rigidez do elemento por meio da adição de uma matriz de rigidez geométrica, função da 
carga axial, de forma a considerar a não linearidade geométrica. O sistema de equações 
fica: 
 {[ ] [ ]} { } { } { } (Equação 6) 
 
onde [ ] é a matriz de rigidez geométrica que para um elemento de pórtico plano é: 
 
 [ ] 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Equação 7) 
 
onde é o esforço normal e o comprimento do elemento. 
 A resolução do sistema requer cálculo iterativo até haver convergência dos 
resultados, já que a matriz de rigidez geométrica é função dos esforços normais. A cada 
iteração a matriz de rigidez é recalculada e o sistema resolvido novamente. Por 
simplificação foi mostrada aqui a matriz para elemento de pórtico plano; a matriz 
para elemento de pórtico espacial pode ser encontrada em BANKI (1999). 
 
2.4 Efeitos construtivos 
 
 A construção de um edifício de múltiplos andares não é feita instantaneamente. As 
cargas verticais são adicionadas em etapas à medida que a estrutura é construída. Desta 
forma, as deformações axiais ocorridas nos lances dos pilares devido ao acréscimo de 
carga proveniente de um novo andar são compensadas construtivamente. Na modelagem 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 7 
de um pórtico não existem essas compensações, o carregamento é aplicado de uma só 
vez, causando a deformação axial dos pilares, o que resulta em diagramas de momento 
fletor não coerentes com a estrutura real, principalmente nos andares superiores. Uma 
maneira simplificada de se considerar o efeito construtivo, de forma a corrigir os 
diagramas de momentos fletores, é aumentar artificialmente a área da seção transversal 
dos pilares, para que fiquem com uma maior rigidez. 
 
2 Análise de segunda ordem por programas comerciais 
 
 Descrevem-se três programas comerciais amplamente utilizados pelos engenheiros 
civis em escritórios de projeto: SAP2000, AltoQi Eberick e o Sistema CAD/TQS. Buscou-
se detalhar os aspectos relacionados à análise não linear geométrica. As informações 
foram extraídas dos próprios manuais dos programas. 
 
2.1 SAP 2000 V11 
 
 O SAP2000 é um programa comercial que utiliza o método dos elementos finitos 
para discretização da estrutura, possibilitando, assim, a análise de estruturas de formas e 
configurações diversas, e também de diferentes materiais. Este programa é amplamente 
utilizado, principalmente para a análise de esforços e deslocamentos. Descreve-se 
apenas a análise não linear geométrica que o programa realiza. 
 O SAP2000 é capaz de realizar análise não linear geométrica de duas formas: a 
análise denominada “Efeito P-delta” (global e local), que leva em conta parcialmente a 
configuração deformada no equilíbrio dos elementos, ou a análise denominada “Grandes 
Deslocamentos”, que leva em conta a configuração deformada no equilíbrio dos 
elementos, considerando grandes deslocamentos e rotações, utilizando a Formulação 
Lagrangeana Atualizada. Em ambos os casos as deformações específicas dentro do 
elemento são sempre admitidas como pequenas. A análise “Efeito P-Delta” é aplicada 
quando grandes tensões estão presentes na estrutura, caso da maioria das estruturas 
aporticadas de concreto armado, logo, será dada mais ênfase a esta formulação. Já para 
o caso onde a estrutura sofre grandes deslocamentos e rotações, é indicada a análise 
escolhendo-se a opção de “Grandes Deslocamentos”. 
 A análise não linear geométrica realizada pelo SAP2000 considerando o efeito P- 
consiste, em relação à sua formulação, em adicionar à matriz de rigidez elástica do 
elemento uma matriz de rigidez geométrica, KG, que no caso de pórticos planos é a matriz 
detalhada no item 2.3.3, sendo que no programa também podem ser analisadas 
estruturas espaciais. Assim, o efeito P- é integrado ao longo do comprimento de cada 
elemento de pórtico, levando em conta a deflexão do elemento. Para isso, admite-se uma 
função cúbica para representar a deflexão transversal do elemento sob flexão e uma 
função linear entre as extremidades para o elemento sob esforço cortante. 
 No manual do programa consta que, para análise não linear, tanto física e/ou 
geométrica, é utilizado um processo iterativo e incremental para a resolução do sistema 
de equações não lineares. Para cada incremento de carga é usada uma matriz de rigidez 
constante no processo iterativo (Método de Newton-Raphson Modificado). Se a 
convergência não é atingida, é então tentado o método de Newton-Raphson original 
(matriz de rigidez tangente). Se ambos falharem o incremento de carga é diminuído, e o 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 8 
processo é repetido. O usuário tem também a opção de definir qual método deseja aplicar 
e pode controlar separadamente o número de iterações permitidas tanto para o cálculo 
com o método Newton-Raphson original como para o modificado. O manual ainda explica 
que colocando zero para ambos os parâmetros o programa automaticamente irá definir o 
número de iterações. A análise iterativa com o Método de Newton-Raphson Modificado é 
em geral mais rápida que com o Newton-Raphson original, mas este último é geralmente 
mais eficiente, especialmente para cabos e para análise não linear geométrica. Pode-se 
ainda definir o erro relativotolerado para determinar a convergência em cada processo 
iterativo, sendo calculado em função da carga residual e a força que atua na estrutura.
 Para realizar a análise não linear geométrica, após o lançamento da estrutura, o 
que inclui geometria, definições de materiais e casos de carregamento (“load patterns”), 
deve-se criar um tipo de análise (“load case”) não linear que deve incluir as cargas que 
provocarão os efeitos de segunda ordem (“load patterns”). As configurações para análise 
não linear são acessadas nesta mesma janela em “Nonlinear Solution Control”. 
 A não linearidade física de forma simplificada, conforme indica a NBR 6118/2007, 
pode ser considerada no SAP 2000, dispensando uma análise não linear. Pode-se 
considerá-la utilizando seção genérica para definir a seção transversal dos elementos, 
onde são indicados diretamente os valores de momento de inércia, podendo aí diminuir a 
inércia, para consequentemente diminuir a rigidez à flexão, sem influenciar outras 
características, como a rigidez axial. A análise não linear física também pode ser 
realizada pelo programa, por meio de molas não lineares nas extremidades dos 
elementos, mas não será aqui detalhada. 
 Como não é um programa voltado exclusivamente à análise e dimensionamento de 
estruturas de concreto armado, ele não calcula parâmetros para avaliação da estabilidade 
da estrutura. Mas é possível avaliar a magnitude dos esforços de segunda ordem, 
comparando os resultados obtidos em uma análise linear com os de uma análise não 
linear. 
 O programa ainda tem a opção de realizar uma análise não linear por etapas (“step 
by step”), partindo a cada nova etapa do final da etapa anterior por meio da opção 
“Continue from State at End of Nonlinear Case”. Deve-se indicar de qual caso de 
carregamento deseja-se partir, as cargas do caso de referência entram no cálculo do caso 
atual e é utilizada a matriz de rigidez obtida no final da análise da etapa anterior. Esta 
opção é útil para se considerar os efeitos de construção, quando há carregamento da 
estrutura por etapas. 
 
2.2 AltoQi Eberick 
 
 O programa AltoQi Eberick é destinado à análise, dimensionamento e 
detalhamento de estruturas de concreto armado, seguindo as prescrições da 
normatização brasileira sobre o assunto. As informações aqui apresentadas foram obtidas 
do manual do programa AltoQI Eberick V6. 
 O programa utiliza como parâmetro de instabilidade o coeficiente z. O coeficiente 
z é calculado para cada combinação de cálculo nas direções X e Y, os máximos valores 
em X e Y são adotados como valores críticos. A ação do vento é calculada 
automaticamente pelo programa, por meio da especificação dos valores de velocidade e 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 9 
coeficiente necessários, conforme prescrições da NBR 6123/1988. As imperfeições 
globais também são calculadas pelo programa conforme item 11.3.3.4 da NBR 
6118/2007. 
 O Eberick utiliza o processo P-Delta para consideração dos efeitos de segunda 
ordem (não linearidade geométrica) no cálculo da estrutura. Pode-se alterar o número 
máximo de iterações e a precisão mínima, que define a diferença máxima que pode 
ocorrer entre o valor do deslocamento horizontal no pavimento obtido em um 
processamento e o valor obtido na iteração anterior. Deve-se, também, indicar uma 
combinação vertical de cálculo, que será utilizada para definir a carga axial nas barras 
durante a análise P-Delta. 
 O manual explica que, a princípio, a aplicação do processo P-Delta deveria ser feita 
separadamente para cada combinação de carregamentos. Mas como isso aumentaria 
muito o número total de iterações necessárias no processamento da estrutura e, 
consequentemente, o tempo de processamento, o Eberick adota uma simplificação, a 
favor da segurança. Ao invés de combinar as ações e calcular os efeitos de segunda 
ordem sobre as combinações, o programa executa a seguinte sequência: 
1) calcula os esforços devidos à carga permanente, carga adicional e acidental; 
2) define uma combinação vertical característica (que pode ser alterada pelo usuário) que 
determina as cargas axiais de cálculo nas barras; 
3) para cada caso de carregamento horizontal, vento e desaprumo, combina cada caso de 
carregamento com o esforço axial gerado; calcula o esforço horizontal fictício 
iterativamente; obtém, com isso, casos de carregamento horizontais majorados em 
relação aos originais e, então, efetua as combinações normalmente. 
 Em relação à não linearidade física, o Eberick permite considerar de maneira 
aproximada, conforme descrito no item 2.3.2, para a análise dos esforços globais de 2ª 
ordem. Possui, também, a opção de considerar o efeito construtivo, de forma simplificada, 
por meio da majoração da rigidez axial dos pilares. 
 
3.3 Sistema CAD/TQS 
 
 O programa comercial TQS é destinado à análise e dimensionamento de estruturas 
de concreto armado. A estrutura do programa é formada por módulos com diferentes 
funções, sendo que o módulo responsável pela análise estrutural, aqui estudada, é o 
Pórtico TQS. A versão do programa utilizada é o CAD/TQS 15.8 UNIPRO. As informações 
aqui listadas foram obtidas no manual do programa. 
 Em termos de não linearidade física o programa disponibiliza duas opções: não 
linearidade física considerada de forma aproximada, por meio da definição dos 
coeficientes redutores de rigidez; ou análise mais refinada, baseada no cálculo de rigidez 
por meio de diagramas momento-curvatura (M x 1/r). Esta última opção é utilizada pelo 
Pórtico NLFG para verificação do ELU após dimensionamento da estrutura (descrito 
adiante). 
 Para consideração da NLG têm-se duas possibilidades: análise não-linear 
geométrica baseada na alteração da matriz de rigidez da estrutura, denominada pelo 
programa como Processo P-; ou não linearidade geométrica aproximada por meio de 
majoração dos esforços horizontais utilizando coeficiente de estabilidade. 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 10 
 O programa calcula a ação do vento, por meio das informações fornecidas pelo 
usuário, seguindo as recomendações da NBR 6123/1988. As imperfeições globais 
também são calculadas pelo TQS conforme item 11.3.3.4 da NBR 6118/2007. Os efeitos 
construtivos podem ser considerados na análise, de forma aproximada, por meio da 
majoração da rigidez axial dos pilares, aumentando-se a área da seção transversal dos 
pilares por meio do fator MULAXI de aumento da seção dos pilares. Este fator só é 
aplicado no modelo de pórtico espacial e à análise do comportamento da estrutura 
perante a atuação das ações verticais, sendo desconsiderada para as ações horizontais, 
como o vento. 
 
3.3.1 Coeficientes de estabilidade global e classificação da estrutura 
 O TQS dispõe, além dos dois parâmetros z e , do parâmetro denominado FAVt e, 
no cálculo usando o Processo P- dispõe também do coeficiente denominado RM1M2. 
 O cálculo do coeficiente z é feito para cada um dos casos de vento definidos no 
edifício. O cálculo de ∆Mtot,d e M1,tot,d utiliza resultados obtidos da análise linear do pórtico 
espacial ELU, e depende da aplicação de forças horizontais na estrutura. Os 
deslocamentos horizontais provocados pelas cargas verticais não são considerados e o 
resultado final não depende da magnitude das forças horizontais (vento). 
 O fator de amplificação de esforços horizontais FAVt é calculado para cada 
combinação ELU, utilizando-se exatamente a mesma formulação do coeficiente z, a 
diferença é que os deslocamentos horizontais provocados pelas cargas verticais são 
considerados e o resultado final passa a depender da magnitude das forças horizontais. 
Quando os deslocamentos horizontais provocados pelas cargas verticais atuam no 
mesmo sentido do vento presente na combinação analisada, o FAVt é maior que o z, e 
em situações contrárias, o FAVt é menor que o z. O programa permite especificar as 
parcelas dos deslocamentos horizontais que são geradas pelas ações verticaisa serem 
consideradas no cálculo de FAVt. 
 Para o cálculo do coeficiente , a rigidez equivalente (Ecs.Ic) é calculada por meio 
de uma formulação que considera uma barra vertical submetida a uma carga horizontal. O 
manual comenta que o valor limite 1 especificado no item 15.5.2 da NBR 6118 leva em 
consideração um majorador de cargas verticais de 1,4 e um coeficiente de não-
linearidade física igual a 0,7. Como no cálculo do parâmetro efetuado pelo sistema 
levam-se em consideração os coeficientes redutores de rigidez, torna-se necessário então 
recalibrar o valor de 1 para a correta classificação da estrutura. 
 O coeficiente de estabilidade RM2/M1 é calculado com os resultados obtidos pelo 
processo P-Δ, quando este for realizado, seguindo a mesma formulação do z: 
 
 
 
 
 (Equação 8) 
sendo M1 o momento das forças horizontais em relação à base do edifício e M2 a 
somatória das forças verticais multiplicadas pelo deslocamento dos nós da estrutura sob 
ação das forças horizontais, resultante do cálculo de P-Δ em uma combinação não-linear. 
 Os valores do coeficiente z são apresentados para cada um dos casos de vento 
definidos no edifício. Os valores de FAVt e  são apresentados para cada combinação 
última definida no edifício, caso a opção de cálculo dos efeitos de segunda ordem esteja 
 
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ativada para o processo simplificado (0,95 z). Se a estrutura for calculada pelo processo 
P-delta, é calculado o coeficiente RM2M1. 
 
3.3.2 Análise de segunda ordem global aproximada 
 A análise aproximada, descrita no item 2.3.1, pode ser realizada pelo TQS usando 
tanto o coeficiente z, quanto o coeficiente FAVt, como majorador dos esforços 
horizontais. Os esforços totais na estrutura são calculados a partir de uma combinação 
linear de casos de carregamento verticais e horizontais. Nessa análise, as solicitações 
devidas às ações verticais são calculadas com a majoração axial da rigidez de pilares 
(MULAXI > 1) para simular os efeitos construtivos, o que é desconsiderado no cálculo das 
solicitações devido às ações horizontais. 
 
3.3.3 Análise de segunda ordem global pelo Processo P-∆ 
 A análise NLG denominada P- pelo TQS, na verdade trata-se da incorporação da 
matriz de rigidez geométrica KG, como descrito em 2.3.3. Na formulação deste modelo 
são adotadas as seguintes hipóteses: Navier-Bernoulli; pequenas deformações e 
rotações; material elástico linear; e uso do método dos elementos finitos como ferramenta 
de discretização (MEDEIROS, 1999). Tem-se, ainda, a possibilidade de considerar a 
influência das forças axiais decorrentes dos deslocamentos nodais perpendiculares à 
barra, por meio da adição da matriz (mais detalhes em MEDEIROS e FRANÇA (1989)), 
ficando a critério de o engenheiro considerar ou não essa parcela. Assim, a matriz de 
rigidez secante da estrutura ( ) é formada pela soma de três parcelas: 
 (Equação 9) 
 Para a solução do sistema de equações não lineares é utilizado o método de 
Newton-Raphson modificado, no qual a matriz de rigidez elástico-linear é usada como 
matriz secante e o vetor de forças é aplicado com apenas um incremento (MEDEIROS, 
1999). Pode-se especificar o número máximo de iterações e a tolerância para 
convergência do processo iterativo. 
 No CAD/TQS há dois tipos de análise P- disponíveis: o P- convencional e o P- 
de dois passos. A diferença entre os dois processos está baseada na consideração de 
efeitos construtivos. Na análise pelo P- os efeitos de segunda ordem são determinados 
a partir da aplicação das ações verticais e horizontais concomitantemente. Logo, caso se 
considere o majorador da rigidez axial dos pilares (MULAXI) maior que 1, o deslocamento 
da estrutura devido às ações horizontais pode ficar contra a segurança, visto que a área 
dos pilares é maior, levando a deslocamentos menores que os reais, comprometendo os 
resultados. 
 Para considerar os efeitos construtivos na análise sem comprometer os resultados, 
o TQS formulou o processo denominado P-∆ em dois passos. O primeiro passo do 
processo consiste no cálculo linear da estrutura, sem iterações, com a aplicação somente 
das ações verticais, sem majoração das rigidezes axiais dos pilares, e sem armazenar a 
distribuição de forças normais (necessárias para formar a matriz de rigidez geométrica) e 
os esforços nos elementos. No segundo passo é feito o cálculo não-linear, iterativo, com a 
aplicação somente das ações horizontais, e sem majorar as rigidezes axiais dos pilares. 
Na primeira iteração, consideram-se as deformações obtidas no primeiro passo, e a cada 
nova iteração, corrige-se sucessivamente essa matriz com os acréscimos de esforços 
 
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normais provocados pelas ações horizontais, repetindo o processo até a obtenção da 
convergência. Os resultados finais são obtidos pela soma das parcelas obtidas nos dois 
passos. 
 
3.3.5 Pórtico não linear físico e geométrico 
 O Pórtico NLFG é um modelo espacial que abrange toda a estrutura e que pode 
ser utilizado na verificação dos elementos perante as solicitações normais no ELU. Nesse 
modelo, cada viga e pilar são discretizados em inúmeras barras, cujas rigidezes à flexão 
são calculadas a partir das relações momento-curvatura, obtidas de acordo com a 
geometria, armadura detalhada e esforços atuantes nesses elementos. A posição final de 
equilíbrio da estrutura é calculada iterativamente, levando-se em conta os efeitos globais 
e locais de segunda ordem de forma conjunta. Podem ser também considerados os 
efeitos gerados pela fluência e por imperfeições geométricas globais e locais. Por se tratar 
de um processo de verificação, o edifício necessita estar processado globalmente antes 
de iniciar a análise pelo Pórtico NLFG, inclusive o dimensionamento e detalhamento de 
vigas e pilares. 
 
3 Análise de exemplos 
 
 Foram estudados exemplos no SAP2000 e no CAD/TQS. Os resultados estão 
mostrados a seguir. 
3.1 Análise pelo SAP2000 
 
 O exemplo estudado foi extraído da dissertação de mestrado de BANKI (1999). 
Trata-se de um pórtico plano engastado na base, que representa um pórtico de 
contraventamento de uma estrutura, submetida a carregamentos verticais e horizontais. O 
pórtico com os dados do carregamento, geometria e material, está mostrado na Figura 2. 
A não linearidade física não foi considerada nesse exemplo. A princípio, o pórtico foi 
discretizado em 12 barras. Escolheu-se inicialmente a opção “Efeito P-delta” no programa 
SAP2000 e as configurações referentes ao cálculo não linear foram deixadas conforme o 
padrão do programa. 
 BANKI (1999) calculou, além dos parâmetros de instabilidade  e z ( e z = 
1,10), os deslocamentos de segunda ordem pelo método P-, pela matriz de rigidez KG, e 
também pela KGM, e ainda por funções de instabilidade, as quais não serão mostradas 
aqui. Os resultados obtidos para o deslocamento horizontal no topo da edificação pelo 
programa SAP2000 estão mostrados na tabela a seguir, junto com os obtidos por BANKI 
(1999). Foram estudadas seis discretizações diferentes, onde a barra vertical (pilar) entre 
um pavimento e outro foi inicialmente modelada com apenas um elemento, e, após, foi 
dividida em 2, 5, 10, 20 e 40 elementos por andar. 
 Na análise linear, foi observada uma pequena diferença no deslocamento lateral no 
topo do pórtico indicado por Banki e o obtido pelo SAP2000. Percebe-se que o aumento 
da discretização não mostrou alteração dos resultados do SAP2000, assim como para o 
KG–Banki, apenas uma pequena diferença da primeira para a segunda malha. A 
discretização foi significativa apenas para o processo P-. Observa-se, também, uma 
 
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pequena diferença no deslocamento final obtido por Banki usando o processo KG e pelo 
SAP2000 (0,08%), que pode ser considerada desprezível. 
 
 
obs.: medidasem cm 
 
Dados: 
 
 Módulo de elasticidade E: 
27000 MPa 
 
 Seção transversal das 
vigas: 13 x 55 cm 
 
 Seção transversal dos 
pilares: 30 x 20 cm 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Pórtico plano estudado: dados da geometria, carregamento e material 
 
Tabela 1 - Deslocamentos no topo do pórtico 
Processo 
Deslocamento horizontal no topo (cm) 
1 elemento 2 5 10 20 40 
1ª ordem - Banki 4,309 
1ª ordem - SAP2000 4,315 
P- - Banki 4,782 4,783 4,850 4,862 4,865 4,866 
KG - Banki 4,866 4,866 4,867 4,867 4,867 4,867 
KGM - Banki 4,864 4,866 4,866 4,866 4,866 4,866 
KG - SAP2000 4,872 4,871 4,871 4,871 4,871 4,871 
 
 Também foi utilizada a opção “Grandes Deslocamentos” do SAP2000 para a 
análise do exemplo. A diferença no deslocamento lateral do topo do pórtico em relação ao 
obtido com a opção “Efeito P-Delta” (KG) foi menor que 2%. Portanto pode-se considerar 
que a análise no SAP 2000 usando a opção “Efeito P-Delta” foi satisfatória para a 
estrutura estudada. 
 Para o mesmo pórtico, a carga aplicada foi aumentada de forma a desejar 
ultrapassar a carga crítica do pórtico, com o objetivo de saber como o programa se 
comporta, se apresentaria, por exemplo, alguma instabilidade numérica, interrompendo a 
análise. O programa finalizou a análise não linear normalmente, porém, demorou um 
tempo maior. Ao visualizar os resultados, pode-se perceber que o pórtico não estava com 
comportamento estável devido à deformada incompatível do pórtico com a carga aplicada. 
Fica então esta importante observação ao se realizar a análise não linear geométrica no 
 
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SAP2000, o programa pode continuar a análise além da carga crítica e apresentar os 
resultados, sem aviso de que a estrutura está instável. 
 
3.2 Análise pelo Sistema CAD/TQS 
 
 Para analisar as diferentes configurações disponíveis no CAD/TQS, em termos de 
análise de segunda ordem global, foi lançado um edifício no Sistema CAD/TQS. O 
exemplo estudado foi extraído da dissertação de MONCAYO (2011). 
 Como se pode observar na Figura 3, trata-se de um edifício simétrico, formado por 
vigas e pilares, com lajes maciças. Foi considerada nas lajes uma carga distribuída 
acidental de 1,5 kN/m² e carga permanente 2,8 kN/m² para os pavimentos tipo. Adotou-se 
concreto com resistência à compressão fck de 25 MPa. O número de pavimentos foi 
alterado de 10 para 12. Os pilares foram todos considerados engastados na base, 
podendo receber a carga de vento. As ligações entre pilares e vigas foram consideradas 
todas rígidas. Não houve preocupação em verificar as dimensões dos elementos 
estruturais para o projeto estrutural, pois foi apenas realizada a análise estrutural para 
verificação da estabilidade global. 
 A ação horizontal considerada foi a de vento, cuja força aplicada no edifício foi 
calculada pelo TQS, adotando-se as seguintes características: velocidade básica 60m/s; 
S1=1,0; S2 definido pela categoria IV e classe B de edificação; S3=1,0 e coeficiente de 
arrasto Ca calculado pelo programa. As combinações de cargas ELU estudadas foram: 
 Nd = g (peso próprio + carga permanente) + q (carga acidental + 0.6 vento) 
sendo:g = q =1,4 e o vento considerado em 4 direções. 
 
 
Figura 3 - Planta de formas do edifício estudado (MONCAYO, 2011) 
 
(medidas em cm) 
0º 
90º 
180º 
270º 
 
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Como o edifício tem geometria e carregamento simétricos nas duas direções, não 
há deslocamentos horizontais devido às forças verticais, logo os coeficientes z e FAVt 
resultam em valores iguais. Por este motivo, foi estudado também um exemplo com 
geometria assimétrica. A planta de formas da Figura 3 foi alterada, eliminando-se os 
pilares P1 a P4 e as lajes L1 a L3 e viga V1. 
 A análise foi realizada considerando a não linearidade física de forma simplificada, 
utilizando os coeficientes de redução da rigidez à flexão (0.8 para pilares e 0.4 para as 
vigas). Os resultados analisados são os coeficientes de estabilidade z, FAVt e RM1M2, 
este último calculado com os esforços obtidos pela análise P- de 2 passos e P- 
convencional (1 passo). Para cada caso, edifício simétrico e não simétrico, a análise foi 
realizada primeiramente sem a consideração dos efeitos construtivos e após 
considerando este efeito (MULAXI=100). Os resultados obtidos para cada caso estão nas 
tabelas seguintes.
 Para o edifício simétrico, pode-se perceber que não há diferença entre o z e FAVt, 
já que não ocorrem deslocamentos horizontais devido a forças verticais. Nota-se, 
também, que a consideração do efeito construtivo em uma estrutura simétrica não afeta 
os esforços de segunda ordem, pois o coeficiente RM1M2, calculado com resultados do 
P- de 2 passos, não apresentou diferença. No entanto, percebe-se que, calculando a 
estrutura com a área majorada dos pilares pelo P- de 1 passo, há uma diminuição do 
coeficiente RM1M2, em ambas as direções; isso se deve ao fato de nesta análise a 
rigidez majorada dos pilares ser considerada no cálculo dos deslocamentos horizontais 
devido às ações horizontais, ocorrendo assim uma diminuição dos deslocamentos e, 
consequentemente, dos efeitos de segunda ordem globais. Por isso, quando se deseja 
considerar o efeito construtivo deve-se usar o P- de 2 passos, conforme já indica o 
manual do TQS. 
Tabela 2 – Coeficientes de estabilidade para o edifício simétrico 
Caso 
Vento 
Sem consid. efeito constr. Com consid. efeito constr. 
z = FAVt 
RM1M2 
z = FAVt 
RM1M2 
(2 passos = 1 passo) (2 passos) (1 passo) 
0/180
o
 1,115 1,116 1,115 1,116 1,091 
90/270
o
 1,087 1,088 1,087 1,088 1,075 
 
 Os resultados do edifício não simétrico estão na Tabela 3. Neste caso, há diferença 
entre os valores do z e FAVt na direção que não possui simetria (90/270º), pois no 
cálculo do FAVt há consideração dos deslocamentos horizontais devido às cargas 
verticais e no z não há. Nota-se que no sentido 270º o FAVt foi maior, já que a ação do 
vento é adicionada ao deslocamento horizontal provocado pela assimetria. No sentido 
90º, FAVt deveria apresentar um valor inferior ao z, pois o vento age em sentido contrário, 
sendo seu deslocamento horizontal compensado pela assimetria. Mas o TQS, neste caso, 
adota o valor de z para o FAVt, de forma a ficar a favor da segurança. 
 Sobre a consideração dos efeitos construtivos, percebe-se que, para um edifício 
assimétrico esta consideração influencia nos esforços de segunda ordem globais, o que 
pode ser observado pelos diferentes valores do FAVt e RM1M2, para 90/270º. Observa-se 
 
ANAIS DO 54º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2012 – 54CBC 16 
novamente que a análise da estrutura usando P- de 1 passo com consideração dos 
efeitos construtivos leva a resultados não coerentes. 
 
Tabela 3 – Coeficientes de estabilidade para o edifício assimétrico 
Caso 
Vento 
z 
Sem consid. efeitos constr. Com consid. efeitos constr. 
FAVt 
RM1M2 
FAVt 
RM1M2 
(2 passos) (1 passo) (2 passos) (1 passo) 
0/180
o
 1,089 1,089 1,089 1,089 1,089 1,089 1,074 
90
o
 1,101 1,101 1,033 1,033 1,101 1,056 1,028 
270
o
 1,101 1,152 1,171 1,171 1,138 1,147 1,126 
 
4 Comentários finais sobre os programas 
 
4.1 SAP2000 
 Em relação ao programa SAP2000, o seu uso, de uma maneira geral, deve ser 
feito por engenheiros que tenham fundamentação teórica sobre o assunto, para que não 
haja erros grosseiros e comprometedores, já que exige conhecimento sobre o método de 
elementos finitos, modelagem, e análise estrutural. 
 Quanto à análise não linear geométrica, o programa não mostrou grande 
complexidade para realizar tal análise, porém, sentiu-se que o grande número de 
parâmetros para configuração da análise não linear requer estudo do manual para correto 
entendimento e configuração destes pelo usuário. 
 Uma importante constatação feita a partir do exemplo investigado é que ao se 
analisar uma estrutura por análise não lineargeométrica, com uma carga elevada de tal 
forma a provocar a instabilidade da estrutura, o SAP consegue continuar a análise além 
da carga crítica e apresentar resultados. O projetista deve, então, ter grande atenção ao 
analisar os resultados, inclusive a deformada da estrutura, para observar se a estrutura 
apresentou instabilidade, caso contrário poderá cometer um erro grave. 
 
4.2 Sistema CAD/TQS 
 O Sistema CAD/TQS apresenta várias ferramentas para lançamento, análise e 
dimensionamento, com muitas configurações e refinamentos disponíveis. Por este motivo, 
notou-se que, para poder usufruir corretamente de todas essas ferramentas do sistema, o 
profissional deve possuir, além de adequado conhecimento técnico, experiência e 
sensibilidade no cálculo de estruturas e dedicar tempo ao estudo do programa. 
 Pode-se, pelos edifícios analisados, avaliar os parâmetros de instabilidade 
disponíveis z, FAVt e RM1M2 e a consideração dos efeitos construtivos. Quanto ao 
coeficiente FAVt, a NBR 6118/2007, ao explicar o cálculo do z, não diz que o 
deslocamento horizontal devido às forças verticais é desconsiderado, ou seja, interpreta-
se que o coeficiente FAVt nada mais é que o z que normalmente se calcula. Em relação à 
consideração dos efeitos construtivos, pode-se constatar que esta consideração influencia 
nos efeitos de segunda ordem globais de estruturas assimétricas. Em relação ao 
parâmetro , torna-se trabalhoso utilizar este parâmetro, pois é necessário realizar uma 
análise desconsiderando a não linearidade física, para poder comparar o valor encontrado 
 
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com o valor limite estipulado na NBR6118, ou então, por experiência e observação, o 
engenheiro ter valores limites recalculados. 
 Por fim, o TQS apresenta muitas ferramentas e configurações, que podem ser 
muito úteis para o projeto estrutural, como o Pórtico NLFG, mas que devem ser 
cuidadosamente utilizadas, principalmente por profissionais com pouco conhecimento 
técnico e experiência profissional, de forma a evitar erros graves. 
 
4.3 AltoQI Eberick 
 O programa AltoQi Eberick possui menos ferramentas e opções de análise 
estrutural. Isto pode, por um lado, ser considerado bom, pois se pode facilmente entender 
todas as configurações disponíveis, sendo então, uma ferramenta mais fácil de ser 
utilizada, principalmente para projetistas iniciantes. Sentiu-se falta do coeficiente , 
necessário para edificações menores que 4 andares. Em relação à análise global, o 
programa dispõe somente do processo P-delta, o que não é necessariamente uma 
deficiência do programa, já que satisfaz a necessidade da análise dos efeitos de segunda 
ordem com boa precisão. 
 
2 Referências 
ALTOQI EBERICK V6. Ajuda do AltoQi Eberick V6. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118: Projeto e 
execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 2007. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6123: Forças 
devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988. 
BANKI, A. L. Estudo sobre a inclusão da não linearidade geométrica em projetos de 
edifícios. Florianópolis, 1999. Dissertação de Mestrado, UFSC. 
FRANCO, M. Problemas de estabilidade nos edifícios de concreto armado. In: Reunião 
Anual do Ibracon: Colóquio sobre estabilidade global das estruturas de concreto armado. 
Anais... São Paulo,1985. 
LORIGGIO, D. D. Notas de aula: Análise não linear de estruturas - ECV4314, 
ECV/PPGEC/UFSC, Florianópolis, 2011. 
MEDEIROS, S. R. P. (1999). Módulo TQS para análise não linear geométrica de pórticos 
espaciais. Jornaul TQS News, n.11, São Paulo. 
MEDEIROS, S. R. P.; FRANÇA, R. L. S. (1989). Um programa para análise não linear em 
microcomputadores. In: Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, 1989, São Paulo. 
Anais... Escola Politécnica da USP, São Paulo. 
MONCAYO, W. J. Z. Análise de segunda ordem global em edifícios com estrutura de 
concreto armado. São Carlos, 2011. Dissertação de mestrado, Escola de Egenharia de 
São Carlos da Universidade de São Paulo. 
SAP2000 PLUS. Integrated Finite Elements Analysis and Design of Structures. Computers 
and Structures, Inc. Berkeley, California, USA. Version 11, 2009. 
SISTEMA CAD/TQS. Manual CAD/TQS versão 15.8 UNIPRO, 2010. 
View publication stats
https://www.researchgate.net/publication/276934332