estatística 7

UFPB

Josy P. Fernandes Trindade
em 16/12/2024
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Estat́ıstica
Departamento de Estat́ıstica / UFPB
Regressão
Análise de Regressão
Elementos da Regressão
Considere o problema de prever valores para uma variável
de interesse Y , que denominaremos de ”variável resposta”.
Suponha que Y possua uma relação linear com uma
variável x, de tal maneira que possamos considerar que x
explica Y e por conta disso, chamaremos x de variável
explicativa.
A análise de regressão linear consiste em escrever Y como
função linear de x, com o objetivo de utilizar informações
de x, em geral mais acesśıveis, para prever Y .
Exemplos:
y é o total das vendas (em reais)
por dia de um supermercado.
x é o número de clientes por dia de
um supermercado.
ŷ “ a` bx
2 11
Análise de Regressão
Elementos da Regressão
Considere o problema de prever valores para uma variável
de interesse Y , que denominaremos de ”variável resposta”.
Suponha que Y possua uma relação linear com uma
variável x, de tal maneira que possamos considerar que x
explica Y e por conta disso, chamaremos x de variável
explicativa.
A análise de regressão linear consiste em escrever Y como
função linear de x, com o objetivo de utilizar informações
de x, em geral mais acesśıveis, para prever Y .
Exemplos:
y é o total das vendas (em reais)
por dia de um supermercado.
x é o número de clientes por dia de
um supermercado.
ŷ “ a` bx
2 11
Análise de Regressão
Elementos da Regressão
Considere o problema de prever valores para uma variável
de interesse Y , que denominaremos de ”variável resposta”.
Suponha que Y possua uma relação linear com uma
variável x, de tal maneira que possamos considerar que x
explica Y e por conta disso, chamaremos x de variável
explicativa.
A análise de regressão linear consiste em escrever Y como
função linear de x, com o objetivo de utilizar informações
de x, em geral mais acesśıveis, para prever Y .
Exemplos:
y é o total das vendas (em reais)
por dia de um supermercado.
x é o número de clientes por dia de
um supermercado.
ŷ “ a` bx
2 11
Modelo de regressão linear simples
Yi “ a` bxi ` εi, com i “ 1, . . . , n, (1)
em que
Yi: variável resposta (ou dependente);
xi: variável explicativa (ou independente);
εi: erro aleatório;
a: intercepto (representa o ponto onde a reta corta o eixo das ordenadas);
b: coeficiente angular (representa o quanto varia a média de Y para o aumento de uma unidade em X).
3 11
Interpretação dos coeficientes
Para ilustrar a interpretação dos coeficientes,
vamos considerar o seguinte exemplo:
x: horas de estudo e
y: nota na prova
de uma amostra de alunos da disciplina de
estat́ıstica. Encontramos a reta de regressão:
ŷ “ 1` 2x.
Vamos ver isso graficamente, desenhando o
plano cartesiano.
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ŷ “ 1` 2x (ŷ “ a` bx)
a
x
ŷ “ 1` 2p2q (ŷ “ a` bx)
x` 1
ŷ “ 1` 2p2` 1q (ŷ “ a` bpx` 1q)
b
4 11
Interpretação dos coeficientes
No plano cartesiano, vamos desenhar a reta
de regressão:
modelo: Y “ a` bx` ε.
O modelo real.
reta de regressão: ŷ “ a` bx.
Equação para uma amostra qualquer.
reta ajustada: ŷ “ 1` 2x.
Equação obtida a partir da amostra do
nosso exemplo.
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ŷ “ 1` 2x (ŷ “ a` bx)
a
x
ŷ “ 1` 2p2q (ŷ “ a` bx)
x` 1
ŷ “ 1` 2p2` 1q (ŷ “ a` bpx` 1q)
b
4 11
Interpretação dos coeficientes
Interpretação do coeficiente a
Para interpretar o intercepto a, basta fa-
zer x “ 0 na equação
ŷ “ a` bx.
Para o nosso exemplo, fazer x “ 0 é
equivalente ao aluno não estudar (estu-
dar 0 horas). Então, quando o aluno não
estuda, sua nota
ŷ “ 1` 2x “ 1` 2p0q “ 1.
Portanto, a “ 1 é a nota média
quando o aluno não estuda.
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ŷ “ 1` 2x (ŷ “ a` bx)
a
x
ŷ “ 1` 2p2q (ŷ “ a` bx)
x` 1
ŷ “ 1` 2p2` 1q (ŷ “ a` bpx` 1q)
b
4 11
Interpretação dos coeficientes
Interpretação do coeficiente b
Vamos começar escolhendo um valor de
x (um tempo de estudo), por exemplo
x “ 2. Assim, o aluno que estuda x “ 2
horas, tira em média
ŷ “ 1` 2x “ 1` 2p2q “ 5
na prova de estat́ıstica.
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ŷ “ 1` 2x (ŷ “ a` bx)
a
x
ŷ “ 1` 2p2q (ŷ “ a` bx)
x` 1
ŷ “ 1` 2p2` 1q (ŷ “ a` bpx` 1q)
b
4 11
Interpretação dos coeficientes
Interpretação do coeficiente b
Agora, vamos adicionar uma unidade a
x, isto é, vamos de x “ 2 horas de es-
tudo para x “ 3 horas de estudo.
Quando isso acontece, o aluno tira em
média
ŷ “ 1` 2px` 1q “ 1` 2p2` 1q “ 7
na prova de estat́ıstica.
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ŷ “ 1` 2x (ŷ “ a` bx)
a
x
ŷ “ 1` 2p2q (ŷ “ a` bx)
x` 1
ŷ “ 1` 2p2` 1q (ŷ “ a` bpx` 1q)
b
4 11
Interpretação dos coeficientes
Interpretação do coeficiente b
Para interpretar o coeficiente angular b,
basta adicionar uma unidade a x fazendo
x˚ “ x` 1 e então verificar que o novo
ŷ˚ é igual a
ŷ˚ “ a`bpx˚q “ a`bpx`1q “ a`bx`b
ŷ˚ “ ŷ ` b.
Para o nosso exemplo,
ŷ˚ “ 1`2px`1q “ 1`2x`2 “ ŷ`2.
Portanto, a cada uma hora de es-
tudo adicional a nota do aluno au-
menta em 2 unidades.
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ŷ “ 1` 2x (ŷ “ a` bx)
a
x
ŷ “ 1` 2p2q (ŷ “ a` bx)
x` 1
ŷ “ 1` 2p2` 1q (ŷ “ a` bpx` 1q)
b
4 11
Reta de Regressão
Seja tpx1, y1q, px2, y2q, . . . , pxn, ynqu uma amostra aleatória de tamanho n, na qual, de cada i-ésima unidade
amostral, com i “ 1, . . . , n, foi observado os valores xi e yi, das variáveis X e Y , respectivamente.
A reta de regressão é definido por:
ŷ “ a` bx,
em que
a “ ȳ ´ bx̄,
b “
Sxy
Sxx
,
Sxy “
ř
xy ´ nx̄ȳ,
Sxx “
ř
x2 ´ nx̄2.
5 11
Reta de Regressão
Exemplo 1:
Considere as amostras de três variáveis apresentadas na tabela a seguir. Obtenha as seguintes retas de
regressão:
ŷ “ a` bx;
ŵ “ a` bx.
Amostras das variáveis X, Y e W .
x y w
1 1 9
3 4 8
5 5 5
7 6 2
9 8 0
6 11
Exemplo 3: reta ŷ “ a` bx.
Para obter a reta ŷ “ a` bx, podemos seguir os seguintes passos:
2 4 6 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
1. Crie as colunas: x2 e xy.
2. Obtenha os somatórios de todas as colunas.
3. Calcule:
x̄ “
ř
x
n “ 25
5 “ 5.
ȳ “
ř
y
n “ 24
5 “ 4,8.
Sxx “
ÿ
x2 ´ nx̄2 “ 165´ 5p52q “ 165´ 125 “ 40
Sxy “
ÿ
xy ´ nx̄ȳ “ 152´ 5p5qp4, 8q “ 152´ 120 “ 32
x y
1 1
3 4
5 5
7 6
9 8
b “
Sxy
Sxx
“
32
40
“ 0,8
a “ ȳ ´ bx̄ “ 4,8´ 0,8p5q “ 0,8.
ŷ “ 0,8` 0,8x.
7 11
Exemplo 3: reta ŷ “ a` bx.
Para obter a reta ŷ “ a` bx, podemos seguir os seguintes passos:
1. Crie as colunas: x2 e xy.
2. Obtenha os somatórios de todas as colunas.
3. Calcule:
x̄ “
ř
x
n “ 25
5 “ 5.
ȳ “
ř
y
n “ 24
5 “ 4,8.
Sxx “
ÿ
x2 ´ nx̄2 “ 165´ 5p52q “ 165´ 125 “ 40
Sxy “
ÿ
xy ´ nx̄ȳ “ 152´ 5p5qp4, 8q “ 152´ 120 “ 32
x y x2 xy
1 1 12 “1 1 ¨ 1 “1
3 4 32 “9 3 ¨ 4 “12
5 5 52 “25 5 ¨ 5 “25
7 6 72 “49 7 ¨ 6 “42
9 8 92 “81 9 ¨ 8 “72
b “
Sxy
Sxx
“
32
40
“ 0,8
a “ ȳ ´ bx̄ “ 4,8´ 0,8p5q “ 0,8.
ŷ “ 0,8` 0,8x.
7 11
Exemplo 3: reta ŷ “ a` bx.
Para obter a reta ŷ “ a` bx, podemos seguir os seguintes passos:
1. Crie as colunas: x2 e xy.
2. Obtenha os somatórios de todas as colunas.
3. Calcule:
x̄ “
ř
x
n “ 25
5 “ 5.
ȳ “
ř
y
n “ 24
5 “ 4,8.
Sxx “
ÿ
x2 ´ nx̄2 “ 165´ 5p52q “ 165´ 125 “ 40
Sxy “
ÿ
xy ´ nx̄ȳ “ 152´ 5p5qp4, 8q “ 152´ 120 “ 32
x y x2 xy
1 1 1 1
3 4 9 12
5 5 25 25
7 6 49 42
9 8 81 72
ř
x “25
ř
y “24
ř
x2 “165
ř
xy “152
b “
Sxy
Sxx
“
32
40
“ 0,8
a “ ȳ ´ bx̄ “ 4,8´ 0,8p5q “ 0,8.
ŷ “ 0,8` 0,8x.
7 11
Exemplo 3: reta ŷ “ a` bx.
Para obter a reta ŷ “ a` bx, podemos seguir os seguintes passos:
1. Crie as colunas: x2 e xy.
2. Obtenha os somatórios de todas as colunas.
3. Calcule:
x̄ “
ř
x
n “ 25
5 “ 5.
ȳ “
ř
y
n “ 24
5 “ 4,8.
Sxx “
ÿ
x2 ´ nx̄2 “ 165´ 5p52q “ 165´ 125 “ 40
Sxy “
ÿ
xy ´ nx̄ȳ “ 152´ 5p5qp4, 8q “ 152´ 120 “ 32
x y x2 xy
1 1 1 1
3 4 9 12
5 5 25 25
7 6 49 42
98 81 72
ř
x “25
ř
y “24
ř
x2 “165
ř
xy “152
b “
Sxy
Sxx
“
32
40
“ 0,8
a “ ȳ ´ bx̄ “ 4,8´ 0,8p5q “ 0,8.
ŷ “ 0,8` 0,8x.
7 11
Exemplo 3: reta ŵ “ a` bx.
Para obter a reta ŵ “ a` bx, podemos seguir os seguintes passos:
2 4 6 8
0
2
4
6
8
x
w
1. Crie as colunas: x2 e xw.
2. Obtenha os somatórios de todas as colunas.
3. Calcule:
x̄ “
ř
x
n “ 25
5 “ 5.
w̄ “
ř
w
n “ 24
5 “ 4,8.
Sxx “
ÿ
x2 ´ nx̄2 “ 165´ 5p52q “ 165´ 125 “ 40
Sxw “
ÿ
xw ´ nx̄w̄ “ 72´ 5p5qp4, 8q “ 72´ 120 “ ´48
x w
1 9
3 8
5 5
7 2
9 0
b “
Sxw
Sxx
“
´48
40
“ ´1,2
a “ w̄ ´ bx̄ “ 4,8´ p´1,2qp5q “ 10,8.
ŵ “ 10,8´ 1,2x.
8 11
Exemplo 3: reta ŵ “ a` bx.
Para obter a reta ŵ “ a` bx, podemos seguir os seguintes passos:
1. Crie as colunas: x2 e xw.
2. Obtenha os somatórios de todas as colunas.
3. Calcule:
x̄ “
ř
x
n “ 25
5 “ 5.
w̄ “
ř
w
n “ 24
5 “ 4,8.
Sxx “
ÿ
x2 ´ nx̄2 “ 165´ 5p52q “ 165´ 125 “ 40
Sxw “
ÿ
xw ´ nx̄w̄ “ 72´ 5p5qp4, 8q “ 72´ 120 “ ´48
x w x2 xw
1 9 12 “1 1 ¨ 9 “9
3 8 32 “9 3 ¨ 8 “24
5 5 52 “25 5 ¨ 5 “25
7 2 72 “49 7 ¨ 2 “14
9 0 92 “81 9 ¨ 0 “0
b “
Sxw
Sxx
“
´48
40
“ ´1,2
a “ w̄ ´ bx̄ “ 4,8´ p´1,2qp5q “ 10,8.
ŵ “ 10,8´ 1,2x.
8 11
Exemplo 3: reta ŵ “ a` bx.
Para obter a reta ŵ “ a` bx, podemos seguir os seguintes passos:
1. Crie as colunas: x2 e xw.
2. Obtenha os somatórios de todas as colunas.
3. Calcule:
x̄ “
ř
x
n “ 25
5 “ 5.
w̄ “
ř
w
n “ 24
5 “ 4,8.
Sxx “
ÿ
x2 ´ nx̄2 “ 165´ 5p52q “ 165´ 125 “ 40
Sxw “
ÿ
xw ´ nx̄w̄ “ 72´ 5p5qp4, 8q “ 72´ 120 “ ´48
x w x2 xw
1 9 1 9
3 8 9 24
5 5 25 25
7 2 49 14
9 0 81 0
ř
x “25
ř
w “24
ř
x2 “165
ř
xw “72
b “
Sxw
Sxx
“
´48
40
“ ´1,2
a “ w̄ ´ bx̄ “ 4,8´ p´1,2qp5q “ 10,8.
ŵ “ 10,8´ 1,2x.
8 11
Exemplo 3: reta ŵ “ a` bx.
Para obter a reta ŵ “ a` bx, podemos seguir os seguintes passos:
1. Crie as colunas: x2 e xw.
2. Obtenha os somatórios de todas as colunas.
3. Calcule:
x̄ “
ř
x
n “ 25
5 “ 5.
w̄ “
ř
w
n “ 24
5 “ 4,8.
Sxx “
ÿ
x2 ´ nx̄2 “ 165´ 5p52q “ 165´ 125 “ 40
Sxw “
ÿ
xw ´ nx̄w̄ “ 72´ 5p5qp4, 8q “ 72´ 120 “ ´48
x w x2 xw
1 9 1 9
3 8 9 24
5 5 25 25
7 2 49 14
9 0 81 0
ř
x “25
ř
w “24
ř
x2 “165
ř
xw “72
b “
Sxw
Sxx
“
´48
40
“ ´1,2
a “ w̄ ´ bx̄ “ 4,8´ p´1,2qp5q “ 10,8.
ŵ “ 10,8´ 1,2x.
8 11
Qualidade do Ajuste da Regressão
Definição (Coeficientes de Determinação):
O Coeficientes de Determinação é uma medida de qualidade do ajuste que pode ser interpretado como a
proporção da variação da resposta Y explicada por X . O R2 é o quadrado da correlação, isto é,
R2
“ r2
“ pcorrelaçãoq2, 0 ď R2
ď 1.
Se o R2 estiver próximo de zero, dizemos que o modelo não se ajusta bem ao dados.
Quanto mais próximo de um estiver o R2, melhor é o ajuste.
9 11
Exemplo 4:
Calcule o coeficiente de determinação para as retas ajustadas no Exemplo 3.
Reta ŷ “ 0,8` 0,8x
Syy “
ÿ
y2
´ nȳ2
“ 142´ 5p4, 82
q “ 26, 8,
Sxx “ 40 e Sxy “ 32. Desta forma, a correlação é:
rxy “
Sxy
a
SxxSyy
“
32
a
p40qp26,8q
“ 0,977.
Portanto, o coeficiente de determinação é
R2
“ 0,9772
“ 0,955.
Resposta: a reta ŷ “ 0,8` 0,8x explica 95,5% da
variabilidade total de Y .
Reta ŵ “ 10,8´ 1,2x
Sww “
ÿ
w2
´ nw̄2
“ 174´ 5p4,82
q “ 58,8,
Sxx “ 40 e Sxw “ ´48. Desta forma, a correlação
é:
rxw “
Sxw
?
SxxSww
“
´48
a
p40qp58,8q
“ ´0,9897.
Portanto, o coeficiente de determinação é
R2
“ p´0,9897q2 “ 0,9795.
Resposta: a reta ŵ “ 10,8´ 1,2x explica 97,95%
da variabilidade total de W .
10 11
Referências Bibliográficas
Os livros BUSSAB e MORETTIN (2017), COSTA NETO (2002) estão dispońıvel na Minha Biblioteca, que é
uma base de livros eletrônicos, em português, que reúne milhares de t́ıtulos acadêmicos das diversas áreas do
conhecimento. Para acessar a Biblioteca você deve fazer o login no SIGAA da UFPB e acessar seguindo esta
sequência no menu: Biblioteca ´ ą Pesquisar Livros Digitais ´ ą Minha Biblioteca.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estat́ıstica Básica. 9ª. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. Dispońıvel em:
xhttps://sigaa.ufpb.bry.
COSTA NETO, P. L. O. Estat́ıstica. 2ª. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. Dispońıvel em:
xhttps://sigaa.ufpb.bry.
11 / 11
https://sigaa.ufpb.br
https://sigaa.ufpb.br
	3. Regressão
	3.1 Introdução
	3.2 O modelo de regressão linear simples
	3.3 Interpretação dos coeficientes
	3.3 Reta de Regressão
	3.4 Qualidade do Ajuste da Regressão
estatística 7

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