3 - Algebra de Boole

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Organização de Computadores
 Álgebra de Boole
Prof. Dr. Remy Eskinazi
remy.eskinazi@gmail.com
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Conceitos da Lógica Digital
Objetivos
Construir circuitos digitais a partir de expressões booleanas;
Entender os axiomas da algebra de Boole
Fazer simplificações de expressões booleanas
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Conceitos da Lógica Digital
Expressões Lógicas – Aplicações de Portas
É uma expressão algébrica formada de
Variáveis lógicas
Símbolos representativos 
Sinal de Igualdade
F = X + Y.Z 
X
Y
Z
F
Plan1
		X		Y		Z		F
		0		0		0		0
		0		0		1		1
		0		1		0		0
		0		1		1		0
		1		0		0		1
		1		0		1		1
		1		1		0		1
		1		1		1		1
Plan2
		
Plan3
		
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Conceitos da Lógica Digital
Cálculos com Expressões Lógicas
Prioridades:
()
AND
OR
XOR
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Exemplo:
Seja A = 1, B = C = 0, D = 1. Calcular: X = A + (B.C) xor D.
=> X = 0
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Conceitos da Lógica Digital
Um pouco mais de detalhe 
Álgebra booleana 
Lógica digital
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Conceitos da Lógica Digital
Álgebra Booleana
Retribuição da comunidade científica ao matemático inglês George Boole (1815-1864) que desenvolveu uma análise matemática sobre Lógica.
1938 – Claude Shannon (MIT) utilizou os conceitos de álgebra para o projeto de circuitos de chaveamento que usavam relés.
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Conceitos da Lógica Digital
Álgebra Booleana
Trata de variáveis e operações a serem realizadas com essas variáveis.
Exemplos de expressões:
A lâmpada acenderá se o sinal de A estiver presente.
A lâmpada acenderá se a chave A e a chave B estiverem fechadas.
A lâmpada somente acenderá se o sinal A não estiver presente.
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Conceitos da Lógica Digital
Álgebra Booleana
Reconhece a existência de três operações fundamentais:
NOT, ~ ou –
OR, + ou V ou U
AND, .
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Conceitos da Lógica Digital
Propriedades da Álgebra Booleana
Definem como realizar a simplificação de expressões lógicas booleanas.
Plan1
				X		Y		Z		F
				0		0		0		0
				0		0		1		1
				0		1		0		0
				0		1		1		0
				1		0		0		1
				1		0		1		1
				1		1		0		1
				1		1		1		1
				AND		OR		Propriedade
		Axiomas		A . B = B . A		A + B = B + A		Comutativa
				A . (B + C) = A .B + A . C		A + (B . C) = (A +B) . (A + C)		Distributiva
				1 . A = A		0 + A = A		Identidade
				A . ~A = 0		A + ~A = 1		Complemento
				0 . A = 0		1 + A = 1		Teorema de 0 e 1
Plan2
		
Plan3
		
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Propriedades da Álgebra Booleana
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Propriedades da Álgebra Booleana
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Conceitos da Lógica Digital
Circuitos Combinacionais 
Um circuito construído com um conjunto de portas pode ser classificado como um circuito combinacional ou um circuito seqüencial.
Num circuito combinacional o valor da saída depende somente do valor atual de suas entradas.
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Circuitos Combinacionais 
Construir os circuitos para as expressões abaixo:
X = (ABC) + (ABC) + (ABC) + (ABC)
Y = (A+B+C) . (A+B+C) . (A+B+C)
Z = A+(BC+D) xor [(A+B) +(CDE)]
W = [ (A+B+C). (C.D + A) xor(A.B)]
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Conceitos da Lógica Digital
Circuitos Combinatórios 
Exemplo 2: Adição Binária - Meio Somador
A
B
HA
C
S
Plan1
		A		B		Soma		Vai Um
		0		0		0		0
		0		1		1		0
		1		0		1		0
		1		1		0		1
Plan2
		
Plan3
		
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Conceitos da Lógica Digital
Circuitos Combinatórios 
Exemplo 2: Adição Binária - Somador Completo
Ai
Bi
FA
Ci
Si
Ci-1
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Conceitos da Lógica Digital
Circuitos Combinatórios 
Exemplo 1: Projeto de um Multiplicador de 2 bits
Circuito Combinatório
-
Multiplicador 2 x 2 bits
Entrada A
Entrada B
4 bits do produto R
R3
R2
R1
R0
B1
B0
A1
A0
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Resumo
As propriedades da álgebra booleana permitem a simplificação de circuitos lógicos;
Podemos extrair a função lógica através da tabela verdade;
Podemos simplificar estas expressões pelo uso das propriedades e axiomas booleanos
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Exercícios
Tocci / Widmer – Sistemas Digitais, Cap. 4
Exercícios Pags. 141 -143