Material do Professor 03 - Matemática - Adriano Caribé

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Raciocínio Lógico – Prof. Adriano Caribé 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
INTRODUÇÃO 
 
As noções matemáticas sobre conjunto e elemento são primitivas, ou seja, são ideias que não admitem definição. 
A primeira ideia que temos quando falamos de conjuntos é a de agrupamento com dois ou mais elementos. Mas a 
Matemática também aceita a ideia de conjunto vazio (conjunto sem elemento), bem como a de conjunto unitário (conjunto 
com apenas um elemento). 
 
REPRESENTAÇÃO 
 
Convencionalmente, os conjuntos são representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto: A; B; C... e a descrição dos 
seus elementos pode ser feita de algumas maneiras: 
 
1a maneira: Listagem 
 
Consta de enumerarmos os seus elementos, colocando-os entre chaves. 
 
EXEMPLO: 
 
A = {1; 3; 5; 7; 9} 
 
A relação existente entre cada elemento e o conjunto é chamada relação de pertinência. 
Se 3 é elemento de A, dizemos que 3 pertence a A e indicamos, simbolicamente, por 3 ∈ A. 
Se 2 não é elemento de A, dizemos que 2 não pertence a A e indicamos, simbolicamente, por 2 ∉ A. 
 
EXEMPLO: 
 
B = {0; 2; 4; {6}} 
 
Vemos que: 
 
0 ∈ B 
2 ∈ B 
5 ∉ B 
6 ∉ B 
{6} ∈ B 
 
Note que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. 
 
EXEMPLO: 
 
C = {7} 
 
Este é um exemplo de um conjunto unitário. 
 
2a maneira: Propriedade ou lei de formação 
 
Consiste em usar uma propriedade característica dos elementos do conjunto. 
 
EXEMPLO: 
A = {x ∈ N / x é par} 
 
2 ∈ A 
10 ∈ A 
7 ∉ A 
 
Note que este é um conjunto com infinitos elementos. 
 
 
 2
EXEMPLO: 
B = {x ∈ Z / – 3 < x ≤ 2} 
 
Representando B por listagem temos B = {–2; –1; 0; 1; 2} 
 
EXEMPLO: 
C = {x ∈ R / 2 < x ≤ 5} 
 
Note que o conjunto C não pode ser representado por listagem. 
 
3 ∈ C 5 ∈ C 
2 ∉ C 7 ∉ C 
pi ∈ C 21 ∈ C 
 
3a maneira: Diagrama de Venn-Euler 
 
Consiste em representar os elementos do conjunto por pontos no interior de uma linha fechada. 
 
EXEMPLO: 
A = {1; 3; 5; 7; 9} ⇔ 
 
 
 
CONJUNTOS ESPECIAIS 
CONJUNTO VAZIO 
É o conjunto que não possui elementos. 
O conjunto vazio pode ser representado por ∅ ou { }. 
CONJUNTO UNIVERSO 
Quando vamos trabalhar com determinado assunto de Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual 
pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo. 
CONJUNTO UNITÁRIO 
É um conjunto que possui um único elemento. 
 
 
CONJUNTOS IGUAIS 
 
Dois conjuntos, A e B, são iguais quando todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A. 
 
EXEMPLOS: 
 
{1; 3; 5} = {5; 3; 1} 
 
{1; 1; 1; 2; 2} = {1; 2} 
 
Note que em um conjunto a ordem dos elementos não é importante e que elementos repetidos são contados apenas uma vez. 
 
CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO 
 
A cardinalidade de um conjunto A, indicada por n(A), é o numero de elementos que compõem o conjunto. 
 
EXEMPLOS: 
 
Se A = {1; 3; 5; 7}, então n(A) = 4 
Se B = {1; 1; 1; 1; 3; 3; 3}, então n(B) = 2 
 
 3
A
B
BA ⊂
A B
RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
 
Dados dois conjuntos A e B, se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A está contido em B e 
indicamos por A ⊂ B. 
Se A está contido em B, podemos dizer também que A é subconjunto de B ou que A é parte de B ou ainda que B contém A 
(B ⊃ A). 
 
A ⊄ B: A não está contido em B. 
A ⊃ B: A contém B. 
A ⊃ B: A não contém B. 
 
EXEMPLOS: 
 
{1; 3; 5} ⊂ {1; 3; 5; 7} 
{2; 3; 7} ⊄ {2; 3; 5; 8} 
{1; 2} ⊂ {1; {2}; 3} 
{1; 2} ⊄ {2; 3} 
 
PROPRIEDADES DA INCLUSÃO 
 
P1) ∅ ⊂ A; ∀ A (o vazio está contido em qualquer conjunto) 
P2) A ⊂ A; ∀ A (todo conjunto está contido nele mesmo) 
P3) A ⊂ U; ∀ A (todo conjunto está contido no universo) 
P4) A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C (propriedade transitiva da relação de inclusão). 
 
 
 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
 
UNIÃO OU REUNIÃO 
 
A união de dois conjuntos é o conjunto formado por todos os elementos que pertençam a pelo menos um deles. 
 
A ∪ B: lê-se A unido a B 
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B} 
 
EXEMPLO: 
 
A = {1; 2; 3} 
B = {2; 3; 4; 5} 
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5} 
 
PROPRIEDADES DA UNIÃO 
 
P1) A ∪ B = B ∪ A 
P2) A ∪ U = U 
P3) A ∪ ∅ = A 
P4) A ∪ B = B se e somente se A ⊂ B 
 
 
 
 
INTERSECÇÃO 
 
A intersecção de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos comuns aos dois 
 
 
A ∩ B: lê-se A inter B 
A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B} 
 
EXEMPLO: 
 
A = {1; 2; 3} 
B = {2; 3; 4; 5} 
A ∩ B = {2;3} 
 
 
 4
A B
A
B
PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO 
 
P1) A ∩ B = B ∩ A 
P2) A ∩ U = A 
P3) A ∩ ∅ = ∅ 
P4) A ∩ B = A se e somente se A ⊂ B 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Se dois conjuntos não têm elementos em comum, isto é, se A ∩ B = ∅, então dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
 
DIFERENÇA 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de A menos B. O conjunto formado por todos os elementos de A que não estão em B. 
 
DIFERENÇA 
 
A – B: lê-se A menos B 
A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B} 
 
EXEMPLO: 
 
A = {1; 2; 3; 4} 
B = {3; 4; 5} 
A – B = {1; 2} 
 
PROPRIEDADES DA DIFERENÇA 
 
P1) A – U = ∅ 
P2) A – ∅ = A 
P3) A ⊂ B ⇔ A –B = ∅ 
 
 
COMPLEMENTAR 
 
A operação complementar de um conjunto em relação a outro é a única das operações entre conjuntos que tem uma 
condição para existir. O complementar de A em relação a B só está definido se A está contido em B. E neste caso é igual a B 
menos A. Caso A não esteja contido em B dizemos que a operação complementar de A em relação a B não esta definida. 
 
A
BC : lê-se complementar de A em relação a B 
 
 
Se A ⊂ B, então ABC = B – A 
Se A ⊄ B, então ∃ ABC 
 
 
EXEMPLO: 
 
A = {2; 3; 4} 
B = {1;2; 3; 4; 5; 6} 
C = {5; 6; 7} 
A
BC = {1; 5; 6} 
∃ CBC , pois C ⊄ B 
 
 
 
 
 
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COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO 
 
O complementar de A em relação ao universo, representado apenas por A , é o conjunto formado por todos os elementos 
do universo que não estão em A 
 
AC∪ = CA = A (complementar de A cm relação ao universo) 
A : lê-se complementar de A em relação ao universo 
A : U – A 
 
PROPRIEDADES DO COMPLEMENTAR 
 
P1) AA = 
P2) ∅ = U 
P3) U = ∅ 
 
PROBLEMAS DE CARDINALIDADE DE CONJUNTOS 
 
Para resolver problemas de cardinalidade de conjuntos devemos fazer um diagrama e a partir dos dados do problema 
devemos tentar preencher cada espaço do diagrama com o número de elementos que ali se encontram. Em alguns casos pode-se 
fazer necessário o uso de incógnitas e equações para resolver o problema. Vejamos alguns exemplos resolvidos: 
 
01. Numa cidade existem apenas dois jornais: A e B. Sabe-se que 15% dos moradores não leem jornal, 50% leem o jornal A e 
65% leem o jornal B. Qual a porcentagem dos moradores desta cidade que leem os dois jornais? 
 
RESOLUÇÃO 
Para resolver problemas como este, devemos fazer um diagrama e analisando os dados do problema tentar preenchê-lo. 
Como 15% não leem jornal, temos: 
 
Como 50% leem o jornal A então 50% não leem, logo sabemos que fora do conjunto A devemos ter 50% dos elementos 
o que nos leva a deduzir que 35% leem apenas B. 
 
Finalmente concluímos que 30% leem A e B e 20% apenas A. 
 
Portanto a resposta é 30% leem os dois jornais. 
 
 
 6
02. Foi feita uma pesquisa de consumo para avaliar o uso de três marcas de sabão em pó: A, B e C. Os resultados da pesquisa 
estão dispostos na tabela abaixo: 
 
 Número de 
Pessoas 
Usam o sabão A 120 
Usam o sabão B 130 
Usam o sabão C 140 
Usam A e B 50 
Usam A e C 40 
Usam B e C 30 
Usam A, B e C 10 
Não usam nenhum dos 
três 20 
 
 Calcule:a) o número de pessoas consultadas; 
b) o número de pessoas que usam apenas C. 
 
RESOLUÇÃO 
Começamos a preencher o diagrama com aqueles que usam as três marcas e com aqueles que não usam nenhuma das 
três: 
 
Como 50 pessoas usam A e B e, destas, 10 usam também C, então concluímos que 40 usam A e B, mas não usam C. 
 
Usando raciocínio análogo para (A e C) e (B e C), temos: 
 
Como 120 usam A e já temos no diagrama 80 elementos no conjunto A, então concluímos que 40 usam apenas A. 
Analogamente concluímos que 60 usam apenas B e 80 usam apenas C. 
 
Portanto temos as seguintes respostas: 
a) 300 pessoas foram consultadas. 
b) 80 pessoas usam apenas C. 
 
 
 
 
 
 7
C
A B
03. Considerando os conjuntos representados e sabendo-se: 
 
n (A ∪ B) = 30 
n (A ∩ B) = 6 
n (B ∪ C) = 20 
n (A – C) = 13 
n (B – C) = 10, 
 
Calcule: 
 
a) n (A ∩ B ∩ C) 
b) n (B – (C ∪ A)) 
 
RESOLUÇÃO 
Uma estratégia que pode ser usada em alguns problemas de cardinalidade é colocar uma incógnita em cada espaço do 
diagrama, transformar cada dado do problema em uma equação e, em seguida resolver o sistema formado. 
 
x + y + z + w + v = 30 (I) 
y + z = 6 (II) 
y + z + w + v = 20 (III) 
x + y = 13 (IV) 
y + v = 10 (V) 
 
Substituindo (III) em (I), obtemos x = 10 
Substituindo x = 10 em (IV), obtemos y = 3 
Substituindo y = 3 em (II), obtemos z = 3 
Substituindo z = 3 em (V), obtemos v = 7 
Substituindo y = 3, z = 3 e v = 7 em (III), obtemos w = 7 
 
Logo o diagrama fica da seguinte forma: 
 
Portanto as respostas são: 
a) n (A ∩ B ∩ C) = 3 
b) n (B – (C ∪ A)) = 7 
 
 
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
01. Sendo A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 3; 5; 7; 9}, C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e o universo U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, determine: 
 
a) A ∪ B 
 
b) B ∩ C 
 
c) B – A 
 
d) ACC 
 
e) BCC 
 
f) BA ∪ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Sejam A e B dois subconjuntos de um universo U, Sabendo-se que: 
 
I) n (∪) = 200 
II) n (A ∪ B) = 160 
III) n (A) = 100 
IV) n )B( = 70 
 
determine: 
 
a) n (A ∩ B) 
b) n (A – B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, 
inglês e espanhol. 
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses 
idiomas. 
Quantos alunos desta escola falam Inglês mas não falam Espanhol? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9
04. Uma pesquisa realizada com um grupo de pessoas revelou a seguinte preferência pelas revistas A, B e C. Sabe-se que, 
precisamente: 
 
109 leem a revista A. 
203 leem a revista B. 
162 leem a revista C. 
25 leem as revistas A e B. 
41 leem as revistas B e C. 
28 leem as revistas A e C. 
5 leem as três revistas. 
115 não leem nenhuma das três revistas. 
 
Das informações anteriores, conclui-se que exatamente: 
 
( ) 500 pessoas foram consultadas. 
( ) 51 pessoas leem somente a revista A. 
( ) 176 pessoas não leem as revistas B ou C. 
( ) 94 pessoas leem pelo menos duas revistas. 
( ) 223 pessoas leem as revistas A ou B e não leem a revista C. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01. Uma prova de Matemática constava de apenas 3 questões. Sabe-se que dos 35 alunos que fizeram a prova, 
precisamente: 
 
I) 15 acertaram a primeira questão 
 II) 8 acertaram somente a segunda questão 
 III) 3 acertaram somente a terceira questão 
IV)11 acertaram a segunda e a terceira questões 
V) nenhum aluno errou todas as questões 
 
O número de alunos que acertou as três questões foi de: 
 
a) 01 d) 04 
b) 02 e) 05 
c) 03 
 
 
02. Numa classe de 50 alunos, 4 faltaram à prova de Português e 3, à de Matemática. Se 2 faltaram a ambas as provas, 
então o número de alunos que fizeram as duas é: 
 
a) 41 d) 48 
b) 45 e) 49 
c) 47 
 
 
 
03. Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280 
pessoas assistem ao canal “A”, 250 assistem ao canal “B” e 70 não assistem a nenhum dos dois canais. O número de pessoas 
que assistem a “A” e não assistem a “B”, é: 
 
a) 30 d) 200 
b) 150 e) 210 
c) 180 
 
 
 
04. Em uma escola, 5000 alunos inscreveram-se para cursar as disciplinas A e B. Desses alunos, 2825 matricularam-se na 
disciplina A e 1027 na disciplina B. Por falta de condições acadêmicas, 1324 não puderam matricular-se em nenhuma das 
disciplinas. O número de alunos matriculados, simultaneamente, nas duas disciplinas é: 
 
a) 156 d) 1027 
b) 176 e) 1728 
c) 297 
 
 
 
 
 10 
 
05. Considerando os conjuntos representados. 
 
Sabendo-se: 
 
n(A ∪ B) = 24 
n(A ∩ B) = 4 
n(B ∪ C) = 16 
n(A - C) = 11 
n(B - C) = 10, 
 
pode-se afirmar: 
01) n(A - B) = 8 
02) n(A ∩ B ∩ C) = 1 
03) n(B - (C ∪ A)) = 12 
04) n(A ∩ B) ∪ C = 4 
05) n(C) = 6 
 
 
 
 
 
 
 
06. Fez-se um levantamento com 200 alunos de uma escola, para se analisar o índice de aprovação nas disciplinas 
Português, Matemática e Inglês. Verificou-se que precisamente: 
 
- 145 alunos passaram em, pelo menos, uma destas disciplinas. 
- 80 alunos passaram em Português, 60 passaram em Matemática e 62, em Inglês. 
- 45 alunos passaram apenas em Português e 27 passaram apenas em Matemática. 
- 22 alunos passaram em Matemática e em Inglês. 
- 15 alunos passaram em Português e Inglês, mas não passaram em Matemática. 
 
A partir dos dados levantados, pode-se concluir que precisamente: 
 
01) 55 alunos foram reprovados nas três disciplinas. 
 
02) 122 alunos passaram em Matemática ou Inglês. 
 
03) 09 alunos passaram em todas as disciplinas. 
 
04) 11 alunos passaram em Matemática e Português e não passaram em Inglês. 
 
05) 25 alunos passaram apenas em Inglês. 
 
06) 97 alunos passaram apenas em uma disciplina, 
 
07) 39 alunos passaram em, pelo menos, duas disciplinas. 
 
 
 
 
07. Dados os conjuntos A e B contidos no universo U, sabe-se que: 
 
n (U) = 36 
n (A) = 16 
n (B) = 14 
n (C) = 15 
n (A ∩ B) = 6 
n (A ∩ C) = 8 
n (B ∩ C) = 7 
n (A ∩ B ∩ C) = 4 
 
 
Determine n[ U - (A ∪ B ∪ C)] 
 
 
 
 
A B 
C 
 11 
 
08. Considere 3 conjuntos, A, B e C de um universo U. 
Sabe-se que: 
 
1) A é subconjunto de B 
2) n (U) = 70 
3) n (B U C) = 55 
4) n (B I C) = 20 
5) n (A U B) = 42 
6) n (C - A) = 25 
7) n (B - A) = 25. 
 
 
Pode-se afirmar 
01) n (A I B I C) = 7 
02) n (A) = 17 
03) n (B - (A U C)) = 13 
04) n ( C ) = 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. (BB2010) Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: 
Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que: 
 
I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são 
formados em Economia. 
II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis. 
III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia. 
IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia. 
 
Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois 
daqueles cursos citados é 
 
(A) 58% 
(B) 56% 
(C) 54% 
(D) 52% 
(E) 48% 
 
 
 
 
10. (ESAF-2012)Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas 
familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima. Das 
empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O 
número de empresasdo Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é 
 
a) 21. 
b) 14. 
c) 16. 
d) 19. 
e) 12. 
 
 
 
 
 
 12 
 
 11. (ESAF-2010) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, sendo que 20 pessoas estão usando 
óculos e 36 pessoas estão usando calça jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calça 
jeans que homens com calça jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com óculos, e iii) 
metade dos homens de calça jeans estão usando óculos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são 
homens que estão usando óculos mas não estão usando calça jeans? 
 
 
a) 5%. 
b) 10%. 
c) 12%. 
d) 20%. 
e) 18%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (FCC-2006) Numa sala de 30 alunos, 17 foram aprovados em Matemática, 10 em História, 9 em Desenho, 7 
em Matemática e em História, 5 em Matemática e Desenho, 3 em História e Desenho e 2 em Matemática, História 
e Desenho. Sejam: 
 
• v o número de aprovados em pelo menos uma das três disciplinas; 
• w o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas; 
• x o número de aprovados em uma e uma só das três disciplinas; 
• y o número de aprovados em duas e somente duas das três disciplinas; 
• z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três disciplinas. 
 
Os valores de v, w , x, y, z s ão, respectivamente, 
 
a) 30, 17, 9, 7, 2 
b) 30, 12, 23, 3, 2 
c) 23, 12, 11, 9, 7 
d) 23, 11, 12, 9, 7 
e) 23, 11, 9, 7, 2 
 
 
 
 
 
 13. (FCC-2009) Nos últimos n anos, ocorreram 22 edições de um congresso médico, sempre realizadas em uma única dentre 
as três seguintes cidades: São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte. Esse congresso nunca ocorreu duas vezes no mesmo 
ano, mas houve anos em que ele não foi realizado. Sabe-se ainda que, nesse período de n anos, houve 24 anos em que o 
congresso não ocorreu em São Paulo, 23 anos em que não aconteceu no Rio de Janeiro e 27 anos em que não foi realizado em 
Belo Horizonte. Nessas condições, o valor de n é igual a 
 
a) 29 
b) 30 
c) 31 
d) 32 
e) 33 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 
 
 
14. (ESAF-2004) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de 
políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como "A", "B" e "C") não eram mutuamente 
excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de 
apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do 
total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 
5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. 
 
Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: 
 
 
a) 17% 
 
b) 5% 
 
c) 10% 
 
d) 12% 
 
e) 22% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01) B 06) C E C C C C E 11) B 
02) B 07) 08 12) D 
03) C 08) E C C E 13) D 
04) B 09) B 14) A 
05) C C E E C 10) E