Raciocínio Lógico Matemático encontro 04

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Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins 
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online. 
 
 
 
 
1º Bloco I. Álgebra Linear. 
2º Bloco I. Operações Com Matrizes. 
3º Bloco 
I. Determinantes; 
II. Propriedades dos Determinantes. 
4º Bloco 
I. Continuação de Determinantes; 
II. Sistemas Lineares. 
5º Bloco I. Exercícios Relativos ao Encontro. 
 
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins 
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I. ÁLGEBRA LINEAR 
 Matriz: 
Nada mais é que uma tabela, retangular, que serve para organizar dados numéricos. 
Uma matriz possui um numero “m” de linhas (horizontais) e “n” de colunas (verticais) que chamamos de ordem da 
matriz. Portanto toda matriz é de ordem “m x n”, que se lê: ordem “m” por “n”. 
Representação de uma Matriz: uma matriz pode ser representada por parênteses ( ) ou colchetes [ ], com os dados 
dentro deles, além de uma letra maiúscula do alfabeto dando-lhe nome – lembrando que a ordem da matriz é dada 
pelo numero de linhas e colunas – vejamos: 
A m x n = �𝑎𝑖𝑗� Rm x n, 
i ∈ {1, 2, 3, ..., m} 
j ∈ {1, 2, 3, ..., n}, 
No qual aij é o elemento da “i” linha com “j” coluna; generalizando: 
A3 x 3 = �
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
� 
B2 x 3 = �
4 7 85 3 9� matriz de ordem 2 x 3 
C3 x 2 = �
2 51 817 10� matriz de ordem 3 x 2 
D2 x 2 = �
7 1318 25� matriz quadrada de ordem 2 x 2, ou somente 2 
E3 x 3 = �
9 30 8822 6 5611 55 28� matriz quadrada de ordem 3 
Obs.: Matriz Quadrada: é aquela que tem o mesmo número de linhas e de colunas. 
Lei de formação: As matrizes possuem uma lei de formação que define seus elementos, a partir da posição de 
cada um deles na matriz, e podemos assim representar: 
D2 x 2 = �𝑑𝑖𝑗�R2 x 2, dij = 2i – j, matriz de 2 linhas e 2 colunas, vejamos: 
D = �𝑑11 = 2. (1) − 1 = 1 𝑑12 = 2. (1) − 2 = 0
𝑑21 = 2. (2) − 1 = 3 𝑑22 = 2. (2) − 2 = 2� = �1 03 2� 
Logo: 
D = �1 03 2� 
 Tipos de matrizes: 
1. Matriz Linha: é aquela que possui somente uma linha: 
A1 x 3 = [4 7 8] 
2. Matriz Coluna: é aquela que possui somente uma coluna: 
B3 x 1 = �
11322� 
3. Matriz Nula: é aquela que possui todos os elementos nulos, ou zero: 
A2 x 3 = �
0 0 00 0 0� 
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4. Matriz Quadrada: é aquela que possui o numero de linhas igual ao numero de colunas: 
A3 x 3 = �
1 2 32 4 63 6 9� 
 Características das matrizes quadradas – e somente delas: 
1. Tem diagonal principal e secundaria: 
A3 x 3 = �
1 2 32 4 63 6 9� diagonal principal 
 A3 x 3 = �
1 2 32 4 63 6 9� diagonal secundaria 
2. Formam matriz identidade: Aquela cujos elementos da diagonal principal são todos 1 e o restante são zeros: 
A3 x 3 = �
1 0 00 1 00 0 1� 
3. Formam matriz diagonal: Aquela cujos elementos da diagonal principal são diferentes de zero e o restante são 
zeros. 
A3 x 3 = �
1 0 00 2 00 0 3� 
4. Formam matriz triangular: Aquela cujos elementos da diagonal principal são todos 1 e os elementos de um dos 
triângulos formados pela diagonal principal são zeros. 
A3 x 3 = �
1 2 30 1 20 0 1� 
Matriz Transposta (At): É aquela em que ocorre a troca “ordenada” das linhas pelas colunas. 
Veja: 
A = �𝑎𝑖𝑗� Rm x n = At = �𝑎𝑡𝑗𝑖�R n x m. 
Exemplo: 
A2 x 3 = �
1 4 76 8 9� → At3 x 2 = �1 64 87 9�, 
Veja que o que era linha virou coluna e o que era coluna virou linha, de maneira ordenada. 
Matriz Simétrica: é aquela cujo At = A (só é possível com as matrizes quadradas) 
A3 x 3 = �
1 2 32 4 63 6 9� ↔ At3 x 3 = �1 2 32 4 63 6 9� 
Observem que elas são exatamente iguais. 
 
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I. OPERAÇÕES COM MATRIZES 
1. Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais quando possuem o mesmo numero de linhas e colunas 
(mesma ordem), e os elementos correspondentes são iguais. 
X2 x 2 = �
1 03 2� e Y2 x 2 = �1 03 2� 
2. Soma de matrizes: só é possível somar matrizes de mesma ordem, e basta somar os elementos 
correspondentes. 
X2 x 3 = �
3 2 54 7 9� e Y2 x 3 = �5 4 79 3 6�; 
S = X + Y; S = matriz soma de X e Y 
S = �3 + 5 2 + 4 5 + 74 + 9 7 + 3 9 + 6� 
S2 x 3 = �
8 6 1213 10 15� 
3. Produto de uma constante por uma matriz: basta multiplicar a constante por todos os elementos da matriz. 
X2 x 2 = �
1 43 2� 
P = 3 ∙ X; matriz do produto de 3 pela matriz X 
P = �3 𝑥 1 3 𝑥 43 𝑥 3 3 𝑥 2� 
P2 x 2 = �
3 129 6 � 
4. Produto de matrizes: para multiplicar duas matrizes existe uma exigência que deve ser seguida – uma vez que 
se não for satisfeita essa exigência se torna impossível o produto das matrizes. Após verificar a exigência basta 
realizar a operação conforme demonstração adiante. 
Exigência: O número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao numero de linhas da segunda: 
A2 x 3 x B3 x 2 → (2 x 3) x (3 x 2) 
E a nova matriz terá a ordem das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda: 
A2 x 3 x B3 x 2 → (2 x 3) x (3 x 2) 
Portanto a matriz P (produto de A por B) será de ordem 2 x 2 → P2 x 2. 
A2 x 3 = �
3 2 54 7 9� e B3 x 2 = �1 35 84 6� 
P = A2 x 3 x B3 x 2 
P2 x 2 = �
𝑝11 𝑝12
𝑝21 𝑝22
� 
P2 x 2 = �
𝑝11 = (3 𝑥 1 + 2 𝑥 5 + 5 𝑥 4) 𝑝12 = (3 𝑥 3 + 2 𝑥 8 + 5 𝑥 6)
𝑝21 = (4 𝑥 1 + 7 𝑥 5 + 9 𝑥 4) 𝑝22 = (4 𝑥 3 + 7 𝑥 8 + 9 𝑥 6)� 
P2 x 2 = �
𝑝11 = 33 𝑝12 = 55
𝑝21 = 75 𝑝22 = 122� 
P2 x 2 = �
33 5575 122� 
Obs.: pij = produto dos elementos da linha “i” da primeira matriz pelos elementos da coluna “j” da segunda 
matriz, ordenadamente. Exemplo: p11 = produto dos elementos da primeira linha da primeira matriz pelos 
elementos da primeira coluna da segunda matriz = (3 𝑥 1 + 2 𝑥 5 + 5 𝑥 4) = 33 
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Matriz Inversa (A-1): outro tipo de matriz quadrada que será obtida multiplicando-se a matriz “A” pela sua matriz 
inversa “A-1” e o resultado (produto) será a matriz identidade. 
A2 x 2 = �
1 24 1� e A-12 x 2 = �𝑎 𝑏𝑐 𝑑� 
A x A-1 = In 
�1 24 1� x �𝑎 𝑏𝑐 𝑑� = �1 00 1� 
�1𝑎 + 2𝑐 1𝑏 + 2𝑑4𝑎 + 1𝑐 4𝑏 + 1𝑑� = �1 00 1� 
�
 1𝑎 + 2𝑐 = 1 1𝑏 + 2𝑑 = 0 4𝑎 + 1𝑐 = 0 4𝑏 + 1𝑑 = 1 → �
 𝐼 � 1𝑎 + 2𝑐 = 1 4𝑎 + 1𝑐 = 0 𝐼𝐼 � 1𝑏 + 2𝑑 = 0 4𝑏 + 1𝑑 = 1 
Resolvendo o sistema I: 
𝐼 �
 1𝑎 + 2𝑐 = 1 4𝑎 + 1𝑐 = 0(∗ −2) 
𝐼 � 1𝑎 − 2𝑐 = 1 
−8𝑎 − 2𝑐 = 0 + 
------------------------------- 
 −7𝑎 = 1 (∗ −1) 
 7𝑎 = −1 
 𝑎 = −1
7
 
Substituindo “a” em uma das duas equações temos: 4(−17 ) + 1𝑐 = 0 
−47 + 1𝑐 = 0 
𝑐 = 47 
Resolvendo o sistema II: 
𝐼𝐼 � 1𝑏 + 2𝑑 = 0 (∗ −4)4𝑏 + 1𝑑 = 1 
𝐼𝐼 �−4𝑏 − 8𝑑 = 0 4𝑏 + 1𝑑 = 1 + 
-------------------------------- 
−7𝑑 = 1 (∗ −1) 7𝑑 = −1 
𝑑 = − 17 
Substituindo “d” em uma das duas equações temos: 1𝑏 + 2(−17 ) = 0 
𝑏 −
27 = 0 
𝑏 = 27 
Lei do Direito Autoral
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a = -1/7 
b = 2/7 
c = 4/7 
d = -1/7 
A-12 x 2 = �
−1/7 2/74/7 −1/7� 
Exercício de Fixação: 
Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão [A . (B . C)]2 tem 
ordem igual a: 
a) 2 x 2 
b) 3 x 3 
c) 4 x 4 
d) 6 x 6 
e) 12 x 12 
 
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I. DETERMINANTES 
Um determinante é o valor de uma matriz quadrada! 
Observe que só há determinante se tiver uma matriz quadrada! 
1. Determinante de uma Matriz de Ordem 1 ou de 1ª ordem: 
Se a matriz é de 1ª ordem, significa que ela tem apenas uma linha e uma coluna, portanto só um elemento que é 
o próprio determinante da matriz. 
A1 x 1 = [4] 
Det A = 4 
B1 x 1 = [ -7 ] 
Det B = -7 
2. Determinante de uma Matriz de Ordem 2 ou de 2ª ordem: 
Será calculado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal menos a multiplicação dos elementos da 
diagonal secundaria. 
A2 x 2 =�
2 47 17� 
Det A = (2 x 17) – (4 x 7) 
Det A = (34) – (28) 
Det A = 6 
B2 x 2 =�
2 −53 7 � 
Det B = (2 x 7) – (–5 x 3) 
Det B = (14) – (–15) 
Det B = 14 + 15 
Det B = 29 
3. Determinante de uma Matriz de Ordem 3 ou de 3ª ordem: 
Será calculado pela REGRA DE SARRUS, que consiste em: 
1. Repetir as duas primeiras colunas ao lado da matriz; 
2. Multiplicar os elementos da diagonal principal e das outras duas diagonais que seguem a mesma direção, e 
somá-los; 
3. Multiplicar os elementos da diagonal secundaria e das outras duas diagonais que seguem a mesma direção, 
e somá-los; 
4. O valor do determinante será dado pela operação matemática: ITEM 2 – ITEM 3 (da referida regra, acima). 
A3 x 3 = �
2 4 73 5 81 9 6� 2 43 51 9 
A3 x 3 = �
2 4 73 5 81 9 6� 2 43 51 9 
 
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Det A = (2x5x6 + 4x8x1 + 7x3x9) – (7x5x1 + 2x8x9 + 4x3x6) 
Det A = (60 + 32 + 189) – (35 + 144 + 72) 
Det A = (281) – (251) 
Det A = 30 
OBS.: Se estivermos diante de uma matriz triangular ou matriz diagonal, o seu determinante será calculado pelo 
produto dos elementos da diagonal principal, somente. 
A3 x 3 = �
2 4 70 5 80 0 6� 2 40 50 0 
 A3 x 3 = �
2 4 70 5 80 0 6� 2 40 50 0 
Det A = (2x5x6 + 4x8x0 + 7x0x0) – (7x5x0 + 2x8x0 + 4x0x6) 
Det A = (60 + 0 + 0) – (0 + 0 + 0) 
Det A = 60 (produto da diagonal principal = 2 x 5 x 6) 
 
 B3 x 3 = �
2 0 00 5 00 0 6� 2 00 50 0 
 B3 x 3 = �
2 0 00 5 00 0 6� 2 00 50 0 
Det B = (2x5x6 + 0x0x0 + 0x0x0) – (0x5x0 + 2x0x0 + 0x0x6) 
Det B = (60 + 0 + 0) – (0 + 0 + 0) 
Det B = 60 (produto da diagonal principal = 2 x 5 x 6) 
II. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
1. Determinante de Matriz Transposta 
Se A é uma matriz de ordem “n” e At sua transposta, então: 
Det. At = Det. A 
A2 x 2 = �
2 31 4� 
Det. A = 2 x 4 – 3 x1 
Det. A = 8 – 3 
Det. A = 5 
At2 x 2 = �
2 13 4� 
Det. At = 2 x 4 – 1 x 3 
Det. At = 8 – 3 
Det. At = 5 
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2. Determinante de uma Matriz com Fila Nula 
Se uma das filas (linha ou coluna) da matriz A for toda nula, então: 
Det. A = 0 
A2 x 2 = �
2 30 0� 
Det. A = 2 x 0 – 3 x 0 
Det. A = 0 – 0 
Det. A = 0 
3. Determinante de uma matriz cuja fila foi multiplicada por uma constante 
Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz A por um número k, o determinante da nova matriz 
será k vezes o determinante de A. 
Det. A‘ (k vezes uma fila de A) = k * Det. A 
A2 x 2 = �
2 13 2� 
Det. A = 2 x 2 – 1 x 3 
Det. A = 4 – 3 
Det. A = 1 
A‘2 x 2 = �
4 23 2� Px 2 
Det. A‘ = 4 x 2 – 2 x 3 
Det. A‘ = 8 – 6 
Det. A‘ = 2  Det. A‘ = 2 Det. A 
4. Determinante de uma Matriz multiplicada por uma constante 
Se multiplicarmos uma matriz A de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn 
pelo determinante de A. 
Det (k.A) = kn * Det. A 
A2 x 2 = �
2 14 3� 
Det. A = 2 x 3 – 1 x 4 
Det. A = 6 – 4 
Det. A = 2 
3 x A2 x 2 = �
6 312 9� 
Det. 3A = 6 x 9 – 3 x 12 
Det. 3A = 54 – 36 
Det. 3A = 18 
Det (k.A) = kn * Det. A 
Det (3.A) = 32 * 2 
Det (3.A) = 9 * 2 
Det (3.A) = 18 
 
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I. CONTINUAÇÃO DE DETERMINANTES 
5. Determinante de uma Matriz com Filas paralelas iguais 
Se uma matriz A de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas com os elementos respectivamente iguais, então: 
Det. A = 0 
A2 x 2 = �
2 32 3� 
Det. A = 2 x 3 – 3 x 2 
Det. A = 6 – 6 
Det. A = 0 
6. Determinante de uma Matriz com Filas paralelas proporcionais 
Se uma matriz A de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas com os elementos respectivamente proporcionais, então: 
Det. A = 0 
A2 x 2 = �
3 64 8� 
Det. A = 3 x 8 – 6 x 4 
Det. A = 24 – 24 
Det. A = 0 
7. Determinante de uma Matriz com Troca de filas Paralelas 
Se em uma matriz A de ordem n ≥ 2 trocarmos de posição duas filas paralelas obteremos uma nova matriz B tal 
que: 
Det. A = – Det. B 
A2 x 2 = �
5 42 3� 
Det. A = 5 x 3 – 2 x 4 
Det. A = 15 – 8 
Det. A = 7 
B2 x 2 = �
4 53 2� 
Det. B = 4 x 2 – 5 x 3 
Det. B = 8 – 15 
Det. B = -7 
Det. A = – Det. B 
Det. A = – (-7) 
Det. A = 7 
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8. Determinante do Produto de Matrizes 
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então: 
Det. (A x B) = Det. A x Det. B 
A2 x 2 = �
1 22 3� 
Det. A = 1 x 3 – 2 x 2 
Det. A = 3 – 4 
Det. A = -1 
B2 x 2 = �
2 53 4� 
Det. B = 2 x 4 – 5 x 3 
Det. B = 8 – 15 
Det. B = -7 
AxB2 x 2 = �
8 1313 22� 
Det. (AxB) = 8 x 22 – 13 x 13 
Det. (AxB) = 176 – 169 
Det. (AxB) = 7 
Det. (A x B) = Det. A x Det. B 
Det. (AxB) = (-1) x (-7) 
Det. (AxB) = 7 
9. Determinante de uma Matriz Triangular 
O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. (visto anteriormente) 
10. Determinante de uma Matriz Inversa 
Seja B a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de B e A é dado por: 
𝐃𝐞𝐭 (𝑩) = 𝟏
𝐃𝐞𝐭 (𝑨) 
A2 x 2 = �
1 24 1� 
Det. A = 1x1 – 2x4 
Det. A = 1 – 8 
Det. A = -7 
 
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B = A-12
x 2 = �
−
𝟏
𝟕
𝟐
𝟕
𝟒
𝟕
−
𝟏
𝟕
� 
Det. B = (-1/7x-1/7) – (2/7x4/7) 
Det. B = 1/49 – 8/49 
Det. B = -7/49 
Det. B = -1/7 
 𝐃𝐞𝐭.𝑩 = 𝟏
𝐃𝐞𝐭(𝑨) 
 𝐃𝐞𝐭.𝑩 = 𝟏
−𝟕
 
 𝐃𝐞𝐭.𝑩 = −𝟏
𝟕
 
II. SISTEMAS LINEARES 
Sistema linear é um conjunto de equações com mais de uma variável! 
�
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟕
𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟑 
�
𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟒
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟓
𝒙 + 𝟐 𝒚 + 𝒛 = 𝟖 
Representação de um Sistema Linear na Forma de Matriz 
Todo sistema linear pode ser escrito na forma de uma matriz. Isso será importante mais adiante quando da 
resolução dos sistemas. 
�
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟕
𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟑 
Forma de Matriz: 
�
𝟐 (𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒙) 𝟑 (𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒚)
𝟒 (𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒙) −𝟓 (𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒚)� x �𝒙𝒚� = �𝟕𝟑�→ termos independentes 
Matriz incompleta: 
�𝟐 𝟑
𝟒 −𝟓
� 
Matriz de X: 
�𝟕 𝟑
𝟑 −𝟓
� Substitui-se os coeficientes de x pelos termos independentes 
Matriz de Y: 
�𝟐 𝟕
𝟒 𝟑
� Substitui-se os coeficientes de y pelos termos independentes 
Solução de um Sistema Linear: 
Resolveremos os sistemas pelo método dos determinantes, para isso precisamos saber que o valor das variáveis 
será calculado dividindo-se o determinante da matriz da variável pelo determinante da matriz incompleta, do sistema. 
O valor de x é dado por: x = 
𝒅𝒆𝒕𝒆𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝑿
𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂 
O valor de y é dado por: y = 
𝒅𝒆𝒕𝒆𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝑿
𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂 
 
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Obs.: 
 Se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero (Det. ≠ 0), teremos um sistema possível e 
determinado; 
 Se o determinante da matriz incompleta for igual a zero (det. = 0), temos duas situações: 
1. Se os determinantes de todas as matrizes das variáveis também forem iguais a zero, teremos um sistema 
possível e indeterminado; 
2. Se o determinante de pelo menos uma das matrizes das variáveis for diferente de zero, ai teremos um sistema 
impossível. 
 
 
SPD: sistema possível e determinado. 
SPI: sistema possível e indeterminado. 
SI: sistema impossível. 
Resolvendo um Sistema Linear: 
�
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟕
𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟑 
Matriz incompleta: 
�𝟐 𝟑
𝟒 −𝟓
� det. = -22 
Matriz de X: 
�𝟕 𝟑
𝟑 −𝟓
� det. X = -44 
Matriz de Y 
�𝟐 𝟕
𝟒 𝟑
� det. Y = -22 
Valor de x é: 
x = −𝟒𝟒
−𝟐𝟐
= 𝟐 
Valor de y é: 
y = −𝟐𝟐
−𝟐𝟐
= 𝟏 
Solução: x= 2 e y = 1 
�
𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟒
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟓
𝒙 + 𝟐 𝒚 + 𝒛 = 𝟖 
Matriz incompleta: 
�
𝟏 𝟏 −𝟏
𝟐 −𝟏 𝟏
𝟏 𝟐 𝟏
� det. = -9 
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins 
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online. 
 
 
Matriz de X: 
�
𝟒 𝟏 −𝟏
𝟓 −𝟏 𝟏
𝟖 𝟐 𝟏
� det. X = -27 
Matriz de Y: 
�
𝟏 𝟒 −𝟏
𝟐 𝟓 𝟏
𝟏 𝟖 𝟏
� det. Y = -18 
Matriz de Z: 
�
𝟏 𝟏 𝟒
𝟐 −𝟏 𝟓
𝟏 𝟐 𝟖
� det. Z = -9 
valor de x é: x = 
−𝟐𝟕
−𝟗
= 𝟑 
valor de y é: y = 
−𝟏𝟖
−𝟗
= 𝟐 
valor de z é: z = 
−𝟗
−𝟗
= 𝟏 
Solução: x= 3, y = 2 e z = 1 
 
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I. EXERCÍCIOS RELATIVOS AO ENCONTRO 
1. Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os 
elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: 
a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
2. O determinante da matriz X = �
2 2 𝑏 00 −𝑎 𝑎 −𝑎0 0 5 𝑏0 0 0 6 � onde a e b são inteiros positivos tais que a >1 e b >1, é igual a: 
a) - 60a. 
b) 0. 
c) 60a. 
d) 20ba2. 
e) a (b-60). 
3. Considere as três matrizes abaixo. 
A = �𝟏
𝟐
�; B = �𝟐 𝟑
𝟐 𝟑
�; C = �𝟎 𝟏
𝟎 𝟏
� 
Pode-se afirmar que: 
a) não é possível somar as matrizes B e C. 
b) a matriz B é simétrica. 
c) a matriz C é uma matriz identidade. 
d) a matriz C é a inversa de B. 
e) o produto de matrizes BxA é igual a �𝟖
𝟖
� 
4. Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e 
"j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da 
soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos 
x31 e x13 é igual a: 
a) 16 
b) 18 
c) 65 
d) 26 
e) 169 
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5. O determinante da matriz �
𝟐 𝟏 𝟎
𝒂 𝒃 𝒄
𝟒 + 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝒄� é: 
a) 0 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 2bc + c - a 
6. Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos 
os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: 
a) Multiplicado por -1. 
b) Multiplicado por -16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por -2/3. 
7. O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1a linha por 2 e os três 
elementos da 2a coluna por -1, o determinante será: 
a) -x2 
b) -2x 
c) -2x2 
d) x2 
e) 4x2 
8. Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma 
solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver infinitas 
soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e 2X + WY = Z, pode-se afirmar que se W = -2 e 
Z = 4, então o sistema é: 
a) impossível e determinado 
b) impossível ou determinado 
c) impossível e indeterminado 
d) possível e determinado 
e) possível e indeterminado 
GABARITO 
1 - D 
2 - A 
3 - E 
4 - C 
5 - A 
6 - E 
7 - B 
8 - E