2014.2

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Física
Exame Geral de Doutorado
Segundo Semestre de 2014
Eletrodinâmica Clássica
05/08/2014 - 09:00 às 12:00 h
(Escolha três dentre as quatro questões)
Exame Geral de Doutorado 2014.2 � Eletrodinâmica Clássica 1
Questão 1 � Eletrostática
1. Uma esfera dielétrica de raio a e constante dielétrica � se encontra na
presença de um campo elétrico externo uniforme E0 = zˆ E0, conforme
a Fig. A. O potencial elétrico resultante é
Φ1(r, θ) = Ar cos θ ; r < a
Φ2(r, θ) = Br cos θ +
C
r2 cos θ ; r ≥ a
,
onde A, B e C são constantes.
(a) [50%] Use as condições de contorno apropriadas para determinar os
coe�cientes A, B e C.
(b) [20%] Determine a polarização P no interior da esfera e calcule o
momento de dipolo desta distribuição.
(c) [30%] Suponha agora que o campo elétrico externo na posição da
esfera é criado por um �o in�nito de densidade de carga λ a uma
distânciaR >> a, conforme a Fig. B. Suponha que a polarização no
interior da esfera pode ser considerada aproximadamente constante
e calcule a força F atuando sobre a esfera, que é dada por
F =
∫
(P · ∇)Eext dV .
 
a 
ϵ 
r 
θ 
z 
�
�
 
ϵ
�
 
R 
λ 
(A) (B) 
Exame Geral de Doutorado 2014.2 � Eletrodinâmica Clássica 2
Questão 2 � Magnetostática
2. Um anel com carga elétrica positiva Q uniformemente distribuída se
encontra em x2 + y2 = R2 e gira com velocidade angular ω = ω0 zˆ.
(a) [15%] Determine o campo magnético Banel gerado pelo anel sobre
o eixo z.
(b) [15%] Uma linha de corrente I0 está localizada em y = 0; z = H.
Determine o campo magnético Blinha gerado por esta corrente na
origem. A corrente �ui na direção positiva do eixo x.
Suponha agora que H >> R
(c) [30%] Determine o torque sobre o anel.
(d) [30%] Encontre a energia de interação entre a linha de corrente e o
anel.
(e) [10%] Escreva o vetor momento de dipolo na orientação de energia
mínima.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 � Eletrodinâmica Clássica 3
Questão 3 � Circuitos; Equações de Maxwell
3. Uma corrente que varia lentamente passa por um �o longo e reto, retor-
nando por um tubo condutor coaxial de raio r = a, conforme a �gura
abaixo. A corrente, portanto, é uniforme por todo o �o e dada por
I(t) = I0 cos(ω t). O campo elétrico induzido é longitudinal, paralelo
ao �o.
(a) [40%] Assumindo que o campo se anula em r →∞, encontre E(r, t)
(b) [30%] Encontre a densidade de corrente de deslocamento JD(r, t)
(c) [20%] Encontre a relação entre ID e I.
(d) [10%] Supondo que o diâmetro do cilindro é a = 2.0 mm, qual deve
ser a frequência para que ID = 10
−6 I0?
 
a 
r 
I(t) 
I(t) 
Exame Geral de Doutorado 2014.2 � Eletrodinâmica Clássica 4
Questão 4 � Propagação de Ondas Eletromagnéticas
4. A ionosfera terrestre pode ser descrita como uma região de densidade
uniforme de elétrons livres Ne ≈ 105 elétrons/cm3, iniciando a uma
altitude de cerca de 100 km. A constante dielétrica desta região pode
ser aproximada por
�(ω) = �0
[
1− ω
2
P
ω (ω + i γ)
]
≈ �0
[
1− ω
2
P
ω2
]
onde ω2P ≡
Ne e
2
�0me
,
e γ ≈ 105 rad/s é a taxa de amortecimento por colisão eletrônica.
(a) [10%] Faça uma estimativa da frequência de plasma ωP , veri�cando
que ωP >> γ, o que justi�ca a aproximação na equação acima.
Determine a frequência ω para a qual a constante dielétrica será
metade daquela do vácuo.
(b) [30%] A propagação da onda eletromagnética na ionosfera é deter-
minada pelo índice de refração (que pode ser complexo)
n˜(ω) =
√
�(ω)
�0
= nr(ω) + i κ(ω)
A re�etividade para uma onda que incide perpendicularmente sobre
uma interface entre o vácuo e um meio com índice de refração n˜ é
R(ω) =
∣∣∣∣n˜(ω)− 1n˜(ω) + 1
∣∣∣∣2
Obtenha n˜(ω) e R(ω) para (i) ω > ωP e (ii) ω < ωP .
(c) [30%] O fator de propagação de uma onda monocromática plana
viajando na direção zˆ é exp
[
i
(
n˜(ω)ωc z − ω t
)]
. Mostre que a
atenuação da intensidade da onda é dada por
dI(z)
dz
= −α I(z) com α = 2ω
c
κ ,
e calcule o comprimento de penetração α−1 para uma onda de fre-
quência ω = ωP/2.
(d) [30%] As velocidades de fase e de grupo da onda são dadas por
vf(ω) =
c
nr(ω)
, vg(ω) =
c
d [ω nr(ω)] /dω
.
Obtenha as velocidades de fase e de grupo para ω > ωP , comen-
tando este resultado.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 � Eletrodinâmica Clássica 5
Formulário
∇ · E = ρ�0 ∇ ·B = 0
∇× E = − ∂∂ t B ∇×B = µ0J+ µ0�0 ∂∂ t E
D = �0E+P = �E B = µ0 (H+M) = µH
Constantes físicas
µ0 = 4pi × 10−7 A ·m �0 = 8, 85× 10−12 F/m
c = 3, 0× 108 m/s me = 9, 1× 10−31 kg