Matrizes e Sistemas Lineares

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PUC GOIA´S
DEPARTAMENTO DE COMPUTAC¸A˜O
CMP1055 Fundamentos de Computac¸a˜o III
Marco A. F. Menezes
AULA 2
Refereˆncias: esta aula esta´ baseada nos seguintes livros,
1. Kenneth Hardy. Linear algebra for engineers and scientists using MAT-
LAB. Pearson, 2005.
2. A. C. B. Alves e M. A. F. Menezes. Introduc¸a˜o a` pesquisa operacional.
Goiaˆnia: editora da PUC Goia´s, 2010.
Aula anterior
Unidade 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Ideia
Problema Uma rede consiste em um digrafo. Redes sa˜o usadas para
formular uma variedade de problemas f´ısicos tais como fluxo de tra´fego, redes
ele´tricas, redes de fluxo de fluido em redes de tubulac¸a˜o. Considere um
problema de fluxo de tra´fego, a saber: suponha uma rede com ma˜o u´nica
indicando o fluxo do tra´fego. O nu´mero de ve´ıculos que entram ou saem da
rede, por hora, nas junc¸o˜es A, B, C, e D sa˜o mostrados na tabela abaixo.
Ve´rtice Entrada Sa´ıda
A 450 x1 + x4
B x1 + 250 x2
C x2 x3 + 350
D x3 + x4 350
1
Denote x1, x2, x3, e x4 o nu´mero de ve´ıculos por hora passando pelas ruas
AB, BC, CD e AD, respectivamente. Assuma que a rede esta´ em equil´ıbrio,
isto e´, nenhum novo ve´ıculo aparece na rede, nenhum esta´ perdido, e a en-
trada e´ igual a sa´ıda em cada ve´rtice A, B, C e D. Formule a rede atrave´s
de um modelo matema´tico e resolva o problema de encontrar o nu´mero de
ve´ıculos por hora em cada ve´rtice, se a rua AD e´ fechada para obras da
prefeitura devido ao desmatamento provocado pela construc¸a˜o de casas de
luxo em a´rea de preservac¸a˜o.
1.1 Matrizes
Matriz Matriz e´ uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Denotamos:
A = [aij], i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
Tambe´m, Rm×n denota o conjunto de todas as matrizes m×n com coeficientes
reais.
Exemplo Considere a matriz
A =


1 2 3 4
5 6 7 8
9 1 2 3

 .
Excluindo as linhas 1 e 3, e as colunas 1 e 2,
A1 = [7 8]
e´ uma submatriz de A.
Definic¸a˜o 1.1 Duas matrizes A = [aij] e B = [bij], m× n, sa˜o chamadas
matrizes iguais se cada par de entradas correspondentes em A e B sa˜o iguais.
Denotamos A = B.
Exemplo As matrizes
A =
[
x 2 3
4 5 y
]
e B =
[
1 2 z
4 5 6
]
sa˜o, ambas, 2× 3 e A = B se, e so´ se, x = 1, y = 6 e z = 3.
2
Definic¸a˜o 1.2 Chamamos adic¸a˜o de matrizes a operac¸a˜o tal que a soma
de duas matrizes A = [aij] e B = [bij], m× n, e´ a matriz A+B = [aij + bij],
m× n, obtida pela adic¸a˜o de cada par de entrada correspondente em A e B.
Exemplo As matrizes
A =
[
2 1
0 1
]
e B =
[
1 −1
2 0
]
sa˜o, ambas, 2× 2 e
A + B =
[
2 1
0 1
]
+
[
1 −1
2 0
]
=
[
2 + 1 1 + (−1)
0 + 2 1 + 0
]
=
[
3 0
2 1
]
.
Definic¸a˜o 1.3 Seja A = [aij] uma matriz m× n e t um escalar (nu´mero
real ou nu´mero complexo). Chamamos multiplicac¸a˜o de matriz por um es-
calar a operac¸a˜o tal que um mu´ltiplo escalar de A por t e´ a matriz tA = [taij],
m× n, obtida pela multiplicac¸a˜o de todas as entradas de A por t.
Exemplo Considere a matriz A do exemplo anterior e t = −2. Enta˜o,
tA = −2
[
2 1
0 1
]
=
[
(−2)2 (−2)1
(−2)0 (−2)1
]
=
[ −4 −2
0 −2
]
.
Definic¸a˜o 1.4 Chamamos multiplicac¸a˜o de matrizes a operac¸a˜o tal que
o produto de duas matrizes A = [aij], m × n, e B = [bij], n × p, e´ a matriz
C = [cij], m× p, obtida assim:
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj.
Exemplo As matrizes
A =
[
1 2 5
3 0 4
]
e B =


2 1
3 6
1 7


3
sa˜o, respectivamente, 2× 3 e 3× 2 e
C = AB =
[
1 2 5
3 0 4
] 
2 1
3 6
1 7


C =
[
1(2) + 2(3) + 5(1) 1(1) + 2(6) + 5(7)
3(2) + 0(3) + 4(1) 3(1) + 0(6) + 4(7)
]
C =
[
13 48
10 31
]
.
Note que, neste exemplo, AB 6= BA.
Matriz nula Exemplo: a matriz
O =
[
0 0 0
0 0 0
]
e´ a matriz nula, 2× 3.
Matriz quadrada Uma matriz A = [aij], n × n, e´ chamada matriz
quadrada de ordem n.
Matriz diagonal Uma matriz A = [aij], n × n, e´ chamada matriz dia-
gonal se todas as entradas fora da diagonal principal sa˜o iguais a zero.
Matriz identidade Uma matriz A = [aij], n × n, e´ chamada matriz
identidade se ela e´ uma matriz diagonal com todas as entradas na diagonal
principal igual a 1. Denotamos a matriz identidade n× n por In ou I.
Exemplo A matriz
A =
[
1 0
0 1
]
e´ uma matriz quadrada, pois 2× 2; e´ uma matriz diagonal, pois as entradas
(1, 2) e (2, 1) sa˜o iguais a zero; e´ a matriz identidade A = I2.
Matriz transposta A matriz transposta de uma matriz A, m × n, e´ a
matriz AT , n×m, formada escrevendo as colunas de A como as linhas de AT .
Equivalentemente, AT pode ser formada escrevendo as linhas de A como as
colunas de AT .
4
Exemplo Considere a matriz
A =


1 2
3 4
5 6

 .
A sua matriz transposta e´:
AT =
[
1 3 5
2 4 6
]
.
Propriedades da transposta
• Se A ∈ Rm×n, enta˜o (AT )T = A.
• Se A e´ m× r e B e´ r × n, enta˜o (AB)T = BT AT .
Definic¸a˜o 1.5 Uma matriz A, n × n, e´ chamada matriz sime´trica se
AT = A. Ainda, A e´ chamada matriz anti-sime´trica se AT = −A.
Exemplo A matriz 

1 −2 3
−2 0 4
3 4 −7


e´ sime´trica, e a matriz 

0 −2 3
2 0 −4
−3 4 0


e´ anti-sime´trica.
Definic¸a˜o 1.6 Uma matriz A = [aij], m×n, e´ chamada matriz triangular
superior se aij = 0 quando i > j; isto e´, todas as entradas abaixo da diagonal
principal sa˜o zero. A e´ chamada matriz triangular inferior se aij = 0 quando
i < j; isto e´, todas as entradas acima da diagonal principal sa˜o zero.
Exemplo Considere as matrizes
A =
[
2 0 1
0 3 −2
]
e B =
[
1 0
−5 1
]
.
5
Observe que A e´ uma matriz triangular superior, enquanto que B e´ uma
matriz triangular inferior.
Teorema 1.1 Sejam A e B matrizes quadradas triangular superior (in-
ferior) de ordem n. Enta˜o o produto AB e´ uma matriz triangular superior
(inferior).
Demonstrac¸a˜o
Definic¸a˜o 1.7Uma matriz A, n×n, e´ chamadamatriz invert´ıvel (na˜o sin-
gular) se existe uma matriz X, n×n, que satisfaz as duas seguintes equac¸o˜es:
AX = In e XA = In.
Chamamos X a matriz inversa de A. Se na˜o existe inversa, dizemos que A
e´ uma matriz na˜o invert´ıvel (singular). A matriz inversa de uma matriz A e´
denotada por A−1.
Exemplo Considere as matrizes
A =
[
2 1
5 3
]
e X =
[
3 −1
−5 2
]
.
Verifique que AX = I2 e XA = I2. Enta˜o, X e´ uma matriz inversa de A e A
e´ uma inversa de X. Ou seja, A e X sa˜o matrizes invert´ıveis.
Resoluc¸a˜o
Teorema 1.2 Seja X uma matriz inversa de A. Enta˜o, X e´ u´nica.
Demonstrac¸a˜o
Definic¸a˜o 1.8 Uma matriz quadrada P de ordem n e´ chamada matriz
de permutac¸a˜o se P e´ obtida por rearranjo de linhas (colunas) na matriz
identidade In.
Exemplo Considere a matriz identidade I3. A matriz

0 1 0
0 0 1
1 0 0


e´ uma matriz de permutac¸a˜o, porque permutamos as linhas de I3 nessa ordem
(1, 2, 3) para (2, 3, 1).
6
Teorema 1.3 Seja P , n × n, uma matriz de permutac¸a˜o. Enta˜o, P T e´
uma matriz de permutac¸a˜o. Ale´m disso, P e´ invert´ıvel e P−1 = P T .
Demonstrac¸a˜o
Definic¸a˜o 1.9 Uma matriz X e´ chamada matriz inversa a` direita da
matriz A, n × n, se AX = In e X e´ chamada matriz inversa a` esquerda da
matriz A, n× n, se XA = In.
Teorema 1.4 Se A e´ uma matriz, n × n, e existe uma u´nica matriz X
tal que AX = In, enta˜o XA = In. Ou seja, X = A
−1.
Demonstrac¸a˜o
Operac¸o˜es elementares com linhas
(i) Trocar a ordem de duas linhas: Li ↔ Lj.
(ii) Multiplicar uma linha por uma constante na˜o nula t: tLi → Li.
(iii) Subtrair uma linha a outra: Li − Lj → Li.
(iv) Combinando (ii) e (iii): Li − tLj → Li.
Definic¸a˜o 1.10 Duas matrizes m × n M e M ′ sa˜o chamadas matrizes
linha equivalente, se existir uma sequeˆncia finita de operac¸o˜es elementares
com linhas que muda uma matrizpara outra matriz. Denotamos M ∼ M ′.
Definic¸a˜o 1.11 Uma matriz U esta´ na forma linha escalonada (ou forma
escalonada) se duas condic¸o˜es sa˜o satisfeitas.
(a) As linhas na˜o nulas em U esta˜o acima de quaisquer linhas nulas.
(b) A primeira entrada (pivoˆ) na˜o nula em uma linha na˜o nula esta´ a` direita
da primeira entrada (pivoˆ) na˜o nula na linha imediatamente acima dela.
Exemplo A matriz 

3 0 9 −4
0 2 4 6
0 0 0 2
0 0 0 0


7
esta´ na forma escalonada, e cada matriz mostrada abaixo na˜o esta´ na forma
esclonada: 

5 0 3
0 0 0
0 −2 5

 e


5 0 3
0 0 1
0 2 0

 .
Por queˆ?
Resoluc¸a˜o
Observac¸a˜o Formas linha escalonada na˜o sa˜o u´nicas.
Definic¸a˜o 1.12 Uma matriz esta´ na forma linha escalonada reduzida (ou
forma reduzida) se duas condic¸o˜es sa˜o satisfeitas.
(a) A matriz ja´ esta´ na forma escalonada.
(b) Em toda coluna pivoˆ, o elemento pivoˆ tem valor igual a 1 e todas as
outras entradas nesta coluna sa˜o iguais a zero.
Teorema 1.5 Toda matriz M tem uma forma escalonada linha reduzida
M∗ que e´ u´nica.
Demonstrac¸a˜o
Exemplo A matriz 

1 0 3 0
0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 0 0


esta´ na forma reduzida.
Definic¸a˜o 1.13 Seja A uma matriz m × n. O posto de A, denotado
por posto(A) ou rank(A), e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas em uma forma
escalonada para A. Escrevemos posto(A) = r, em que r e´ um inteiro na˜o
negativo.
Exemplo Para qualquer matriz nula O que tem todas as entradas iguais
a zero, posto(A) = 0. Calculando a forma escalonada (reduzida) em cada
caso, temos
A =


1 2
2 4
0 0

 ∼


1 2
0 0
0 0

 ,
8
B =
[
1 2
3 4
]
∼
[
1 0
0 1
]
,
que mostra que posto(A) = 1 e posto(B) = 2.
1.2 Sistemas lineares
Equac¸o˜es lineares Chamamos uma equac¸a˜o com varia´veis (ou inco´gni-
tas) x1, x2, . . . , xn de equac¸a˜o linear quando ela pode ser escrita na forma
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b.
Os nu´meros a1, a2, . . . , an sa˜o chamados coeficientes para as varia´veis e o
nu´mero b e´ chamado de termo constante.
Exemplo A equac¸a˜o
3, 2x1 − 5, 4x2 = 7, 9
e´ linear, com coeficiente 3,2 para x1, e -5,4 para x2 e o termo constante e´
igual a 7,9. A equac¸a˜o
4x21 + 7, 2x2 = 1
na˜o e´ linear. Ela e´ uma equac¸a˜o na˜o linear. A expressa˜o
5x1 − x2 + 8x3 ≥
√
2
na˜o e´ uma equac¸a˜o. Ela e´ uma inequac¸a˜o.
Exemplo A equac¸a˜o
(x1 + 2)
2 − x21 + 3x2 = 9
pode ser simplificada para
4x1 + 3x2 = 5
que e´ linear.
Sistemas lineares Uma lista ordenada de m equac¸o˜es lineares com as
mesmas n varia´veis x1, x2, . . . , xn e´ chamada sistema linear m× n (leˆ-se: m
por n). Uma soluc¸a˜o para um sistema linear (S) com varia´veis x1, x2, . . . , xn
e´ um conjunto de n nu´meros c1, c2, . . . , cn tais que a designac¸a˜o
x1 = c1, x2 = c2, . . . , xn = cn
9
satisfaz toda equac¸a˜o em (S) simultaneamente. Esta soluc¸a˜o pode ser escrita
com uma n-upla, a saber:
(x1, x2, . . . , xn) = (c1, c2, . . . , cn).
Exemplo O sistema linear
(S1)
{
x1 + x2 + x3 = 2
x3 = 1
e´ 2× 3. Existe soluc¸a˜o? Se sim, fornec¸a uma?
Resoluc¸a˜o
Definic¸a˜o 1.14 Considere (S) um sistema linear. Se (S) na˜o tem soluc¸a˜o,
dizemos que (S) e´ um sistema incompat´ıvel (inconsistent). Se (S) tem uma
ou mais soluc¸o˜es, dizemos que (S) e´ um sistema compat´ıvel (consistent).
Resolver (S) significa encontrar o conjunto soluc¸a˜o para (S) ou determinar
que (S) e´ incompat´ıvel.
Operac¸o˜es elementares com equac¸o˜es
(i) Trocar a ordem de duas equac¸o˜es (interchange): Ei ↔ Ej.
(ii) Multiplicar uma equac¸a˜o por uma constante na˜o nula t (scaling):
tEi → Ei.
(iii) Subtrair uma equac¸a˜o a outra: Ei − Ej → Ei.
(iv) Combinando (ii) e (iii) (replacement): Ei − tEj → Ei.
Exemplo Considere o sistema linear
(S2)


x1 + x2 + x3 = 1
x1 + x2 = 0
−x1 + 3x2 + 7x3 = 0
2x1 − 6x2 − 14x3 = 0.
Realize algumas operac¸o˜es elementares com equac¸o˜es no sistema linear (S2)
com o objetivo de resolveˆ-lo.
10
Resoluc¸a˜o
Definic¸a˜o 1.15 Dois sistemas lineares (S) e (S)′ sa˜o chamados sistemas
lineares equivalentes se (S)′ e´ o resultado de uma ou mais operac¸o˜es e-
lementares sobre as equac¸o˜es de (S) e escrevemos (S) ∼ (S)′ para designar
equivaleˆncia.
Teorema 1.6 Se (S) e (S)′ sa˜o dois sistemas lineares equivalentes, enta˜o
(S) e (S)′ teˆm exatamente o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o
Exemplo Vamos desenvolver a forma matricial do sistema linear 4× 4


x2 − 2x3 + 2x4 = 2
2x1 + 3x2 + 6x3 + 3x4 = 11
−4x1 − 13x2 + 2x3 + x4 = −15
−x2 + 2x3 + x4 = 1.
Resoluc¸a˜o
A matriz aumentada de um sistema linear Considere um sistema
linear (S). A matriz M = [A | b] e´ chamada matriz aumentada para (S),
porque ela e´ formada unindo o vetor coluna b a A como uma coluna extra a`
direita.
Exemplo Considere o exemplo anterior. Encontre a matriz aumentada.
Resoluc¸a˜o
Teorema 1.7 Seja (S) um sistema linear m × n representado por sua
matriz aumentada M = [A | b], m× (n + 1). Enta˜o um, e somente um, dos
seguintes casos pode ocorrer.
1 Se posto(A) < posto(M), enta˜o (S) e´ incompat´ıvel.
2 Se posto(A) = posto(M) = n, enta˜o (S) e´ compat´ıvel determinado, isto
e´, tem uma u´nica soluc¸a˜o.
3 Se posto(A) = posto(M) < n, enta˜o (S) e´ compat´ıvel indeterminado,
isto e´, tem uma infinidade de soluc¸o˜es.
11
Demonstrac¸a˜o
Exemplos Aplique o teorema e tire concluso˜es sobre o sistema (S).
(i) Considere um sistema linear (S), 4 × 2, com matriz aumentada M =
[A | b], tal que
A =


1 1
−1 1
2 4
3 3

 e b =


1
1
5
6

 .
(ii) Considere um sistema linear (S), 4 × 2, com matriz aumentada M =
[A | b], tal que
A =


1 1
−1 1
2 4
3 3

 e b =


1
1
4
3

 .
(iii) Considere um sistema linear (S), 3 × 3, com matriz aumentada M =
[A | b], tal que
A =


1 −2 4
−2 5 5
5 −12 −6

 e b =


1
−1
3

 .
Resoluc¸a˜o
Teorema 1.8 Um sistema linear (S), m×n, com m < n, e´ incompat´ıvel
ou e´ compat´ıvel indeterminado. Se posto(A) = m, enta˜o (S) e´ compat´ıvel
indeterminado para toda coluna de termos constantes b.
Demonstrac¸a˜o
Teorema 1.9 Um sistema linear (S), n × n, com posto(A) = n, e´ com-
pat´ıvel determinado para toda coluna de termos constantes b.
Demonstrac¸a˜o
Sistema linear homogeˆneoUm sistema linear e´ chamado sistema linear
homogeˆneo se o termo constante em toda equac¸a˜o e´ igual a zero.
12
Exemplo O seguinte sistema (S1) e´ homogeˆneo, enquanto o sistema (S2)
na˜o:
(S1)


x1 + 2x2 = 0
3x1 + 8x2 = 0
5x1 − 6x2 = 0,
(S2)


x1 + 2x2 + x3 = 0
−x1 − x2 + 2x3 = 0
2x1 + 3x2 − 7x3 = 9.
Teorema 1.10 Seja (S) um sistema linear homogeˆneo m×n com matriz
de coeficientes A.
(a) Se posto(A) = n, enta˜o (S) tem somente a soluc¸a˜o trivial, isto e´, todas
as varia´veis do sistema sa˜o iguais a zero.
(b) Se m < n, enta˜o (S) tem uma infinidade de soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o
Submatriz quadrada Considere uma matriz quadrada A, n × n. Seja
aij cada entrada para A. Excluindo a linha i e a coluna j em A, obtemos
uma submatriz quadrada de A de ordem n− 1 denotada por Aij.
Exemplo Considere a matriz quadrada
A =


1 2 3
4 5 6
7 8 9

 .
Obtenha A11 e A23.
Resoluc¸a˜o
Definic¸a˜o 1.16 Seja Cn o conjunto de todas as matrizes quadradas de
ordem n com coeficientes reais. Definimos o determinante como a func¸a˜o
det : Cn → R, em que det(A) pode ser calculado de forma recursiva, da
seguinte maneira:
(a) n = 1, A = [a11]⇒ det(A) = a11.
13
(b) n = 2,
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
⇒ det(A) = a11a22 − a12a21.
(c) n ≥ 3,
det(A) =
n∑
j=1
aij(−1)i+jdet(Aij),
para um dado i, com i = 1, 2, . . . , n, em que(−1)i+jdet(Aij) = cij
e´ denominado cofator do elemento aij.
Exemplo Calcule o determinante da matriz quadrada
A =


0 3 0 4
1 2 5 4
3 1 4 2
−1 2 2 3

 .
Resoluc¸a˜o
Teorema 1.11 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.
(a) Se todos os elementos da i-e´sima linha (ou coluna) de A forem nulos,
enta˜o det(A) = 0.
(b) det(A) = det(AT ).
(c) det(AB) = det(A)det(B).
Demonstrac¸a˜o
Definic¸a˜o 1.17 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Definimos a
matriz adjunta de A, denotada por adjA, como
adjA = A¯T ,
em que chamamos de matriz dos cofatores, denotada por A¯, a matriz obtida
de A, em que cada elemento e´ o cofator de seu respectivo em A.
14
Exemplo Calcule a matriz adjunta da matriz
A =
[
1 1
2 1
]
.
Resoluc¸a˜o
Teorema 1.12 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Enta˜o,
A adjA = det(A) I.
Demonstrac¸a˜o
Teorema 1.13 Uma uma matriz quadrada A e´ invert´ıvel se, e somente
se, det(A) 6= 0.
Demonstrac¸a˜o
Teorema 1.14 - Regra de Cramer Seja (S) um sistema linear n × n
definido por Ax = b, em que a matriz A, n× n, e´ invert´ıvel. As n inco´gnitas
em x sa˜o unicamente determinadas pelas expresso˜es
xj =
det(Aj)
det(A)
, j = 1, 2, . . . , n,
em que Aj e´ a matriz n×n obtida substituindo a coluna j em A pela matriz
coluna b.
Demonstrac¸a˜o
Eliminac¸a˜o para frente (Forward elimination) A primeira fase de re-
soluc¸a˜o de um sistema linear e´ chamada eliminac¸a˜o para frente, que e´ acom-
panhada das operac¸o˜es elementares com equac¸o˜es.
Substituic¸a˜o retroativa (Back-Substitution) Uma segunda fase. Este
procedimento resolve um ’sistema triangular superior’ por substituic¸a˜o.
Exemplo Resolva usando forward elimination e, quando necessa´rio, back-
substitution.
15
1 O sistema linear 

x1 + x2 + x3 = 1
2x1 − 2x2 − x3 = 0
−x1 + 3x2 + 7x3 = 0
tem uma u´nica soluc¸a˜o.
2 O sistema linear {
x1 + x2 = 2
2x1 + 2x2 = 4
tem uma infinidade de soluc¸o˜es.
3 O sistema linear {
x1 + x2 = 1
x1 + x2 = −1
na˜o tem soluc¸a˜o.
Resoluc¸a˜o
Eliminac¸a˜o para tra´s (Backward elimination) Uma outra segunda fase.
Este procedimento resolve um ’sistema triangular superior’ por eliminac¸a˜o
para tra´s fazendo os coeficientes das varia´veis pivoˆ iguais a 1.
Exemplo Considere o exemplo anterior. Resolva cada problema usando
forward elimination e, quando necessa´rio, backward elimination.
Resoluc¸a˜o
Eliminac¸a˜o de Gauss Utiliza-se forward elimination com back-substitu-
tion quando necessa´rio.
Eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan Utiliza-se forward elimination com back-
ward elimination quando necessa´rio.
Teorema 1.15 Uma matriz A, n×n, e´ invert´ıvel se, e so´ se, posto(A) = n.
Demonstrac¸a˜o
Ca´lculo de A−1 (Me´todo de Gauss-Jordan) Dada uma matriz A, n× n,
tal que posto(A) = n,
[A | In] ∼ [In | A−1].
16
Definic¸a˜o 1.18 Uma matriz E, m×m, e´ chamada matriz elementar se
ela e´ o resultado da realizac¸a˜o de uma u´nica operac¸a˜o elementar com linha
sobre a matriz identidade Im.
Exemplo Considere a matriz
I2 =
[
1 0
0 1
]
.
Tomando a operac¸a˜o elementar L1 ↔ L2,
E1 =
[
0 1
1 0
]
e´ uma matriz elementar. Por outro lado, a matriz[
0 1
0 0
]
na˜o e´ uma matriz elementar, porque se realizarmos uma (u´nica) operac¸a˜o
elementar com linhas sobre I2 na˜o conseguimos obteˆ-la.
Teorema 1.16 Suponha que uma u´nica operac¸a˜o elementar com linhas
e´ realizada sobre uma matriz A, m × n, resultando em uma matriz B. Se
E e´ a matriz elementar obtida pela realizac¸a˜o da mesma operac¸a˜o elementar
com linhas sobre Im, enta˜o
EA = B.
Demonstrac¸a˜o
Exemplo Considere a matriz
A =
[
4 5 6
1 2 3
]
.
Tomando a operac¸a˜o elementar L1 ↔ L2, obtemos a matriz elementar
E1 =
[
0 1
1 0
]
17
e
E1A =
[
1 2 3
4 5 6
]
= B.
Teorema 1.17 Para toda matriz elementar E existe uma matriz elemen-
tar correspondente F tal que
FE = EF = I.
Da´ı, F = E−1.
Demonstrac¸a˜o
Exemplo Considere c 6= 0 e t 6= 0. Inicialmente, apresentaremos uma
operac¸a˜o elementar e sua matriz elementar. Em seguida, apresentaremos sua
operac¸a˜o elementar inversa e a matriz elementar inversa.
• Operac¸a˜o elementar, L1 ↔ L2; matriz elementar,
E =
[
0 1
1 0
]
;
Operac¸a˜o elementar inversa, L1 ↔ L2; matriz elementar inversa,
F =
[
0 1
1 0
]
.
• Operac¸a˜o elementar, cL2 → L2; matriz elementar,
E =
[
1 0
0 c
]
;
Operac¸a˜o elementar inversa, 1
c
L2 → L2; matriz elementar inversa,
F =
[
1 0
0 1
c
]
.
• Operac¸a˜o elementar, L1 − tL2 → L1; matriz elementar,
E =
[
1 −t
0 1
]
;
18
Operac¸a˜o elementar inversa, L1 + tL2 → L1; matriz elementar inversa,
F =
[
1 t
0 1
]
.
Teorema 1.18 Sejam A e B matrizes n× n.
1 Se A e´ invert´ıvel, enta˜o A−1 e´ invert´ıvel e
(A−1)−1 = A.
2 Se A e B sa˜o invert´ıveis, enta˜o AB e´ invert´ıvel e
(AB)−1 = B−1A−1.
3 Se A e´ invert´ıvel, enta˜o cA e´ invert´ıvel para qualquer escalar c 6= 0 e
(cA)−1 =
1
c
A−1.
4 A e´ invert´ıvel se, e somente se, AT e´ invert´ıvel e
(AT )−1 = (A−1)T .
Demonstrac¸a˜o
Teorema 1.19 Sejam A uma matriz n × n e I a matriz identidade de
ordem n. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A e´ invert´ıvel.
(b) Existe uma matriz X tal que XA = I.
(c) A equac¸a˜o Ax = b tem uma u´nica soluc¸a˜o x para todo b.
(d) A equac¸a˜o Ax = 0 tem apenas a soluc¸a˜o x = 0.
(e) posto(A) = n.
(f) A forma escalonada reduzida para A e´ I.
19
(g) A e´ um produto de matrizes elementares.
(h) Existe uma matriz X tal que AX = I.
Demonstrac¸a˜o
Observac¸a˜o Dizemos matriz triangular unita´ria a` matriz quadrada tri-
angular inferior ou superior, cujos elementos na diagonal principal sa˜o iguais
a um.
Fatorac¸a˜o Chamamos A = LU uma fatorac¸a˜o LU de A, em que L e´
uma matriz triangular inferior unita´ria de multiplicadores e U e´ uma matriz
triangular superior. Por exemplo, considere
A =
[
4 5
1 2
]
.
Tome a operac¸a˜o elementar com linhas L2 − (14)L1 → L2, com multiplicador
m21 =
1
4
. Com esta operac¸a˜o elementar, segue-se que a matriz elementar
obtida de I2 e´
E =
[
1 0
−1
4
1
]
.
Da´ı,
EA =
[
4 5
0 3
4
]
= U.
Logo, A = E−1U ⇒ L = E−1. Note que
L =
[
1 0
m21 1
]
e´ uma matriz triangular inferior unita´ria com o multiplicador m21 na respec-
tiva posic¸a˜o (2, 1) de L.
Teorema 1.20 Seja A, n× n, uma matriz invert´ıvel. Se o procedimento
de eliminac¸a˜o para frente sobre A (forward reduction) pode ser executado u-
sando somente a operac¸a˜o elementar com linhas, combinando a multiplicac¸a˜o
de uma linha por uma constante na˜o nula com subtrair uma linha a outra
(replacement), enta˜o A pode ser fatorada na forma A = LU , onde L e´ uma
matriz triangular inferior unita´ria de multiplicadores e U e´ uma matriz tri-
angular superior.
20
Demonstrac¸a˜o
Exemplo Considere a matriz
A =


0 −3 5
4 19 17
2 8 9

 .
Observe que necessitamos de uma troca de linhas para que a fatorac¸a˜o LU
funcione, porque a entrada na posic¸a˜o (1, 1) e´ igual a zero.
Resoluc¸a˜o
Teorema 1.21 Seja A, n × n, uma matriz invert´ıvel. As linhas de A
podem ser reordenadas usando uma matriz de permutac¸a˜o, n × n, tal que
PA = LU , onde L e´ uma matriz triangular inferior unita´ria de multipli-
cadores e U e´ uma matriz triangular superior. Ale´m disso, A = P T LU .
Demonstrac¸a˜o
Resolvendo sistemas lineares com n equac¸o˜es e n inco´gnitas
Suponha que na˜o seja necessa´ria a troca de linhas. O problema e´ dadas
uma matriz A, n × n, e uma matriz coluna b, n × 1, encontrar uma matriz
coluna x, n × 1, tal que Ax = b. A ideia aqui e´ realizar uma fatorac¸a˜o LU
sobre A, em seguida encontrar y tal que Ly = b e, finalmente, encontrar x
tal queUx = y. Ou seja, usando associatividade de matrizes,
Ax = b ⇒ (LU)x = L(Ux) = b ⇒ Ly = b, para y = Ux.
Observac¸a˜o (Soluc¸a˜o de Ax = b atrave´s da decomposic¸a˜o LU) A
seguir, enunciamos o algoritmo de fatorac¸a˜o (decomposic¸a˜o) LU considerando
um sistema compat´ıvel determinado, para o caso em que a troca de linhas
na˜o e´ necessa´ria.
21
Algoritmo 1.1 Decomposic¸a˜o LU .
Dados: n, uma matriz quadrada A, n× n, e um vetor de termos inde-
pendentes b.
L := I.
Para k = 1, . . . , n− 1
Para i = k + 1, . . . , n
m := aik
akk
.
aik := 0.
lik := m.
Para j = k + 1, . . . , n
aij := aij −makj.
y1 := b1.
Para i = 2, . . . , n
soma := 0.
Para j = 1, . . . , i− 1
soma := soma + lijyj.
yi := bi − soma.
xn :=
yn
ann
.
Para i = n− 1, . . . , 1
soma := 0.
Para j = i + 1, . . . , n
soma := soma + aijxj.
xi :=
(yi−soma)
aii
.
Observac¸a˜o Ao te´rmino dos passos deste algoritmo, os elementos da
matriz U estara˜o armazenados nas posic¸o˜es originalmente reservadas a` matriz
A, portanto, perderemos os elementos de A.
Flop Aqui, assumimos um flop como a unidade de operac¸a˜o de ponto
flutuante que corresponde a um produto acompanhado de uma adic¸a˜o envol-
vendo nu´meros reais.
Nota computacional O nu´mero aproximado de flops requeridos para a
soluc¸a˜o de um sistema Ax = b, sendo A uma matriz n × n, pelo me´todo de
fatorac¸a˜o (decomposic¸a˜o) LU e´: supondo a primeira linha da matriz inalte-
rada, na obtenc¸a˜o dos zeros na primeira coluna, realizamos n(n− 1) flops e,
na segunda coluna, (n− 1)(n− 2) flops e, na terceira coluna, (n− 2)(n− 3)
22
flops e, assim por diante, resultando no seguinte somato´rio,
n−1∑
k=1
(n− k + 1)(n− k) = (n
2 − 1)n
3
=
n3 − n
3
.
Resumindo:
• Decomposic¸a˜o - n3−n
3
;
• Substituic¸o˜es - 2(n− 1)2;
• Total - n3+6n2−13n+6
3
. Complexidade do algoritmo 2.1, O(n3).
Resoluc¸a˜o do problema do in´ıcio desta aula
Exerc´ıcios para casa Lista 1.
Pro´xima aula Unidade 1 - Matrizes e Sistemas Lineares: resoluc¸a˜o da
Lista 1.
23