Resistência dos Materiais -E-book

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RESISTÊNCIA 
DOS MATERIAIS 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
2 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
UNIDADE I .................................................................................................................... 3 
INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS .......................................................... 4 
1.1 Evolução histórica ........................................................................... 4 
1.2 Princípio de Saint-Venant ................................................................ 5 
1.3 Conceitos ........................................................................................ 7 
1.4 O Ensaio de Tração e Compressão .................................................. 11 
UNIDADE II .................................................................................................................. 18 
LEI DE HOOKE .......................................................................................................... 19 
2.1 Tensão de Tração (Σ) e Deformação (Ԑ) ........................................... 20 
2.2 Funcionamento da máquina para o ensaio de tração ...................... 25 
2.3 Funcionamento da máquina para o ensaio de compressão ............. 29 
2.4 Análise da tensão admissível nos materiais ..................................... 31 
2.5 Aplicação do módulo de elasticidade dos materiais ....................... 33 
UNIDADE III ................................................................................................................ 38 
TENSÕES DE CISALHAMENTO ................................................................................. 39 
3.1 Conceito ....................................................................................... 39 
3.2 Cisalhamento puro ........................................................................ 41 
3.3 Tensão de Cisalhamento Máxima ................................................... 42 
3.4 Momento de Inércia (I) ................................................................... 46 
3.5 Fórmula - Momento de Inércia (I) .................................................... 47 
UNIDADE IV ................................................................................................................ 53 
LINHA ELÁSTICA E TORÇÃO .................................................................................... 54 
4.1 Conceito ....................................................................................... 54 
4.2 Deflexão de uma viga ..................................................................... 54 
4.3 Relação Momento-Curvatura ......................................................... 58 
4.4 Torção .......................................................................................... 65 
4.5 Potência ........................................................................................ 72 
Referências ............................................................................................................ 76 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
3 
 
 
 
 
 
UNIDADE I 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
4 
 
INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre 
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que 
atuam dentro do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo da deformação do corpo 
e o estudo da sua estabilidade, quando ele está submetido a forças externas. 
No projeto de qualquer estrutura ou máquina, é necessário primeiro usar os 
princípios da estática para determinar as forças que atuam tanto sobre a máquina como 
no interior de seus vários membros. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua 
estabilidade dependem não só das cargas internas como também do tipo de material do 
qual esses elementos são feitos. Assim, a determinação precisa e a compreensão do 
comportamento do material são de vital importância para o desenvolvimento das 
equações usadas na resistência dos materiais. Com o passar do tempo, depois que 
muitos dos problemas fundamentais da resistência dos materiais foram resolvidos, 
tornou-se necessário usar técnicas de matemática avançada e de computador para 
resolver problemas mais complexos. Como resultado, essa matéria ampliou-se para 
outras disciplinas de mecânica avançada, tais como a teoria da elasticidade e a teoria da 
plasticidade. A pesquisa nesses campos está em andamento não só para satisfazer a 
demanda pela resolução de problemas avançados de engenharia, como também para 
justificar o uso mais amplo e as limitações em que a teoria fundamental da resistência 
dos materiais é baseada. 
1.1 Evolução histórica 
A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII, época em 
que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e vigas 
feitas de vários materiais. Entretanto, para a compreensão adequada, foi necessário 
estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades mecânicas de um 
material. Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no 
início do século XVIII. Nessa época, estudos sobre o assunto, tanto experimentais como 
teóricos, foram realizados, principalmente na França, por notáveis como Saint-Venant, 
Poisson, Lamé e Navier. 
Figura 1: Saint-Venant, Poisson, Lamé e Navier. 
 
Fonte: Wikipédia. 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
5 
 
1.2 Princípio de Saint-Venant 
Em pontos de um corpo suficientemente afastados do local da aplicação de 
cargas externas, a grandeza dos efeitos internos (tensões, deformações, etc.) 
independem da maneira particular de como é aplicada a carga. Os efeitos do ponto de 
aplicação da carga só se fazem sentir localmente. Assim, é possível substituir uma carga 
externa por uma outra qualquer mecanicamente equivalente, sem prejuízo na 
determinação dos esforços internos em pontos suficientemente afastados do ponto de 
aplicação da carga. 
Figura 2: Comportamento do material na aplicação da carga. 
 
Fonte: Wikipédia. 
 
Como esses estudos baseavam-se em aplicações da mecânica de corpos 
materiais, foram denominados "resistência dos materiais". Nos dias atuais, contudo, em 
geral são denominados "mecânica de corpos deformáveis" ou, simplesmente, "mecânica 
dos materiais" ou, como é mais comum, "resistência dos materiais". Com o passar dos 
anos, depois de muitos dos problemas fundamentais da mecânica dos materiais terem 
sido resolvidos, tornou-se necessário usar técnicas avançadas da matemática e da 
computação para resolver problemas mais complexos. Como resultado, esse assunto 
expandiu-se para outras áreas da mecânica avançada, como a teoria da elasticidade e a 
teoria da plasticidade. A pesquisa nessas áreas é contínua, não apenas para atender à 
necessidade de resolver problemas avançados de engenharia, mas também para 
justificar a maior utilização e as limitações a que está sujeita a teoria fundamental da 
mecânica dos materiais. 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
6 
 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) 
 
Quantidade Símbolo Dimensional Unidade Básica 
Comprimento L metro (m) 
Tempo T segundo (s) 
Massa M quilograma (kg) 
Força F Newton (N) 
 
A força é derivada das unidades básicas pela segunda lei de Newton. Por 
definição, um Newton é a força que fornece a um quilograma de massa a aceleração de 
um metro por segundo ao quadrado. A equivalência entre unidades é 1 N = 1 kg ⋅1 m/s2 . 
Outras unidades derivadas do SI: 
 Quantidade Unidade Básica 
Área metro quadrado (m2) 
Tensão Newton por metro quadrado (N/m2) ou Pascal (Pa) 
 
No sistema internacional (SI), as forças concentradas são expressas em Newton 
[N]. As forças distribuídas ao longo de um comprimento são expressas com as unidades 
de força pelo comprimento [N/m], [N/cm], [N/mm], etc. 
Prefixos de Unidades: 
 Prefixo Símbolo Fator 
Giga G 109 
Mega M 106 
Quilo k 103 
Deci d 10-1 
Centi c 10-2 
Mili m 10-3 
Micro µ 10-6 
Nano n 10-9 
 
Na prática, muitas vezesprefere-se usar o QuiloNewton (kN), o QuiloPascal (kPa), 
o MegaPascal (MPa) ou o GigaPascal (GPa). 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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1 N ≈ 10−1 kgf 
10 kN ≈ 1 tf 
1 MPa = 1 N/mm2 = 103kN / m2 ≈ 1 kgf / cm2 
 
1.3 Conceitos 
Todos os tipos de materiais apresentam características diferentes por terem 
composições químicas e físicas em sua estrutura. Para conhecer melhor o seu 
comportamento, são aplicados testes em laboratório por meio dos quais podemos 
verificar as modificações em sua estrutura. Dessa forma, obtemos informações 
importantes, bem como podemos saber como o material vai se comportar com uma 
força nele aplicada. 
O objetivo da Resistência dos Materiais possibilita a determinação adequada do 
dimensionamento das peças, por meio de avaliações e das forças externas aplicadas 
sobre o material, verificando seus efeitos. 
Para fazer o dimensionamento, é preciso entender como as forças externas estão 
sendo aplicadas. Dessa forma, serão determinadas as dimensões da peça ou estrutura, 
para que possa resistir ao esforço, para garantir a segurança e a utilização do tipo de 
material com base no carregamento máximo que pode ser aplicado, gerando, assim, a 
sua economia. 
CONCEITOS E DEFINIÇÕES NA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Figura 3: Do livro HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
8 
 
 
 
SOLICITAÇÕES DAS FORÇAS 
Analisando o comportamento que uma estrutura de um corpo possa apresentar, 
isso é o resultado de um sistema de forças que atuam sobre ela, gerando intensidade e 
direção. Essas forças podem ser concentradas, distribuídas e conjugadas. Desse modo, 
os efeitos provocados neste corpo podem ser classificados em: 
Esforços normais ou axiais: que atuam no sentido do eixo de um corpo. 
• Tração; 
• Compressão; 
• Flexão. 
 
Esforços transversais: atuam na direção perpendicular ao eixo de um corpo. 
• Cisalhamento; 
• Torção. 
 
1) ESFORÇOS NORMAIS OU AXIAIS 
 
 
 
 
P 
 
 
 
P 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9 
 
I. TRAÇÃO 
É a força aplicada sobre um corpo numa direção perpendicular à sua superfície de 
corte e num sentido tal que, possivelmente, provoque a sua ruptura. Basicamente, a 
tração trata-se de utilizar um corpo e exercer sobre ele esforços com sentidos opostos, 
tracionando-o. Sendo assim, ação ou efeito de tracionar, de puxar. Na mecânica, um 
corpo é submetido à ação de uma força (P) que tende a alongá-lo. 
 
Figura 4: Ação da Tração. 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
 
II. COMPRESSÃO 
É a força atuante que tende a produzir uma redução do volume de um elemento 
ou, como tratado em resistência dos materiais e engenharia, uma redução de uma de 
suas dimensões, axial, com a atuação da força, e um aumento da seção transversal a este 
mesmo eixo, quando a deformação da peça nesta direção é permitida, pois se deve 
considerar que teoricamente, neste caso, seu volume mantenha-se constante. A 
compressão ocorre quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido dirigido 
para o interior da peça. Assim, é o ato ou efeito de comprimir(-se); redução do volume de 
um corpo por meio de pressão (P). 
Figura 5: Ação da Compressão. 
 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
 
III. FLEXÃO 
É o comportamento de um corpo sobre uma ação transversal gerando uma 
deformação que tende a modificar sua estrutura em eixo longitudinal. 
 
P 
 
 
 
P 
 P 
 
P 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
10 
 
Figura 6: Flexão da viga. 
 
 
 
 
2) ESFORÇOS TRANSVERSAIS: 
 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
I. Cisalhamento 
São duas forças atuando de forma paralela e próximas de uma estrutura nos 
sentidos contrários, onde são conectadas em um sistema de fixação. É aquela que 
ocorre quando um corpo tende a resistir à ação de duas forças agindo próxima e 
paralelamente, mas em sentidos contrários. 
Figura 7: Cisalhamento. 
 
Fonte: Autoral. 
 
 
 
COMPRESSÃO 
TRAÇÃO 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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II. Torção 
É um tipo de solicitação que tende a girar as seções de um corpo, uma em relação 
à outra. 
Figura 8: Torção no eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
1.4 O Ensaio de Tração e Compressão 
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga 
sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material 
e deve ser determinada por métodos experimentais. Um dos testes mais importantes 
nesses casos é o ensaio de tração ou compressão. Embora seja possível determinar 
muitas propriedades mecânicas importantes de um material por esse teste, ele é usado 
primariamente para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação 
normal média em muitos materiais usados na engenharia, como metais, cerâmicas, 
polímeros e compósitos. 
 
Diagrama Tensão x Deformação Convencional 
Tensão nominal ou de engenharia (σ): Determina-se com os dados registrados, 
dividindo-se a carga aplicada (P) pela área da seção transversal inicial do corpo de prova 
(A). 
 
𝜎 =
𝑃
 𝐴 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
12 
 
Deformação nominal ou de engenharia (ε): É obtida da leitura do extensômetro, 
ou dividindo-se a variação do comprimento de referência, (δ), pelo comprimento de 
referência inicial (L). 
𝜀 =
𝛿
 𝐿 
 
 
Exercício 01: 
 
Seja a barra submetida a vários carregamentos, conforme figura abaixo, calcule a 
tensão normal em cada trecho da mesma, considerando uma área transversal constante 
de 0,5cm². 
Figura 9: Ação das forças de Tração e Compressão. 
 
 
 
Solução: 
As forças internas estão apresentadas no diagrama de corpo livre abaixo: 
 
Figura 10: Decomposição das forças de Tração e Compressão. 
 
 
Com essas forças, podemos construir o diagrama de esforços internos atuantes 
na barra, considerando esforços de tração sendo positivo e esforços de compressão 
sendo negativos. 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
13 
 
Figura 11: Gráfico da ação de cada força de Tração e Compressão. 
 
 
 
Desta forma, podemos calcular a tensão para cada trecho como se segue: 
𝜎 =
𝑃
 𝐴 
 
𝜎 =
5
 0,5 
= 10𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜎 =
−3
 0,5 
= −6𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜎 =
−7
 0,5 
= −14𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
Figura 12 - Diagrama Tensão x Deformação convencional e real para material dúctil (aço) 
(sem escala). 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
14 
 
Análise do Diagrama Tensão-Deformação Permite Caracterizar Diversas 
Propriedades do Material. 
• Limite de proporcionalidade: o limite de proporcionalidade representa o 
valor máximo da tensão abaixo da qual o material comporta-se de forma 
linear. Nesta fase, o material consegue restaurar sua configuração original 
após cessar a aplicação da carga. 
Módulo de elasticidade (ou módulo de Young): Corresponde à inclinação 
(coeficiente angular) do segmento linear no gráfico de tensão deformação. Nos 
materiais metálicos, o módulo de elasticidade é considerado uma propriedade insensível 
com a microestrutura, visto que o seu valor é fortemente dominado pela resistência das 
ligações atômicas, sendo apresentado conforme a relação: 
E = σ / ε. 
Onde pode ser observada a proporcionalidade entre a tensão aplicada (σ) e a 
deformação (ε). 
 
• Limite de elasticidade: ligeiramente acima do limite de 
proporcionalidade, existe um ponto na curva tensão-deformação ao qual 
corresponde o limite de elasticidade; representa a tensão máxima que 
pode ser aplicada à barra sem que apareçam deformações residuais ou 
permanentes após a retirada integral da carga externa. Para muitos 
materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são 
praticamente iguais, sendo usados como sinônimos. 
• Limite de escoamento: a partir deste ponto, aumentam as deformações 
sem que se altere praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite 
de escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se. Este 
comportamento é chamado de escoamento. A tensão que causa o 
escoamento é chamada de tensão de escoamento (σE). 
• Limite de resistência: se ao término do escoamento, umacarga adicional 
é aplicada ao corpo-de-prova, a tensão continuará a aumentar com a 
deformação específica continuamente até atingir um valor de tensão 
máxima referido como limite de resistência (σr). 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
Onde: 
F é a força ou carga instantânea aplicada em uma direção ortogonal à seção reta 
(A); 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
15 
 
A representa a área da seção do corpo de prova (antes da aplicação da força). 
• Deformação Plástica: à medida que o material continua a ser deformado 
além do regime elástico, a tensão deixa de ser proporcional à deformação 
e, portanto, a lei de Hooke não mais será obedecida, ocorrendo uma 
deformação permanente e não recuperável, denominada deformação 
plástica. Para a maioria dos materiais metálicos, a transição do 
comportamento elástico para o plástico é gradual, ocorrendo uma 
curvatura no ponto de surgimento da deformação plástica, a qual aumenta 
mais rapidamente com a elevação de tensão. 
• Tensão de ruptura: é a tensão correspondente à ruptura do material 
(σrup). 
• Ductilidade: representa uma medida do grau de deformação plástica que 
o material suportou até a fratura. Um material que experimenta uma 
deformação plástica muito pequena ou mesmo nenhuma quando da sua 
fratura é chamado de frágil. A ductilidade pode ser expressa 
quantitativamente tanto pelo alongamento percentual como pela redução 
de área percentual. Pode-se obter o alongamento percentual AL% da 
seguinte maneira: 
 
𝐴𝐿% = (
𝐿𝑓 − 𝐿0
𝐿0
) 𝑥 100 
 
Onde Lf representa o comprimento da porção útil do corpo de prova no momento 
da fratura e L0 o comprimento útil original. Um conhecimento da ductilidade dos 
materiais é importante, pois dá uma indicação do grau segundo no qual uma estrutura irá 
se deformar plasticamente antes de fraturar, além de especificar o grau de deformação 
permissível durante operações de fabricação. 
 
• Tenacidade: a Tenacidade representa uma medida da capacidade de um 
material em absorver energia até a fratura. Esta é uma propriedade 
desejável para casos de peças sujeitas a choques e impactos, como 
engrenagens, correntes, etc. Portanto, a geometria do corpo de prova, 
bem como a maneira como a carga é aplicada, são fatores importantes nas 
determinações de tenacidade. Além disso, a tenacidade à fratura é uma 
propriedade indicativa da resistência do material à fratura quando este 
possui uma trinca. 
• Resiliência: é definida como a capacidade de um material absorver 
energia quando é deformado elasticamente, e, após o descarregamento, 
recuperar essa energia. Os materiais resilientes são aqueles que possuem 
limites de escoamento elevados e módulos de elasticidade pequenos, 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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normalmente ligas que são utilizadas na fabricação de molas. Pode ser 
representada pela seguinte equação: 
 
𝑈𝑓 =
𝜎2
2𝜀
 
 
Onde o módulo de resiliência uf relaciona a tensão de escoamento (σ esc) com o 
módulo de elasticidade. 
• Encruamento: o encruamento é um fenômeno modificativo da estrutura 
dos metais, em que a deformação plástica causará o endurecimento e 
aumento de resistência do metal. O encruamento de um metal pode ser 
definido, então, como sendo o seu endurecimento por deformação 
plástica. 
• Região elástica: o trecho da curva compreendido entre a origem e o limite 
de elasticidade recebe o nome de região elástica. Nesta fase, o material 
tem um comportamento elástico. 
• Região plástica: o trecho da curva entre o limite de elasticidade e o ponto 
de ruptura do material (tensão de ruptura) é chamado de região plástica. 
Esta região representa o comportamento plástico. 
• Estricção ou Empescoçamento: ao atingir a tensão de ruptura, a área da 
seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo-
de-prova e não mais ao longo de todo o seu comprimento nominal. 
• Tensão de ruptura real: em vez de utilizarmos a área de seção transversal 
e o comprimento originais do corpo-de-prova, para calcularmos a tensão 
e a deformação específica poderíamos utilizar a área da seção transversal 
e o comprimento reais, no instante em que a carga é medida. Desta forma 
a curva tensão-deformação teria a forma da curva mais fina apresentada 
na figura acima, onde se pode ver a tensão de ruptura real. 
• Coeficiente de Poisson: o coeficiente de Poisson (ν) é um parâmetro 
resultante da razão entre as deformações lateral e axial. Uma vez que as 
deformações laterais e a deformação axial sempre terão sinais opostos, o 
sinal negativo foi incluído nesta relação para que ν seja sempre um número 
positivo. O coeficiente de Poisson mede a rigidez do material na direção 
perpendicular à direção de aplicação da carga uniaxial. Os valores de ν para 
diversos metais estão entre 0,25 e 0,35 e no máximo 0,50. O coeficiente de 
Poisson é definido, então, como sendo o valor positivo ν que satisfaz a 
relação: 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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𝑉 = − (
𝜀𝑥
𝜀𝑧
) = −(
𝜀𝑦
𝜀𝑧
) 
 
Onde 𝜀 é representado a extensão lateral ou transversal, e a extensão segundo a 
direção do esforço uniaxial aplicado. 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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UNIDADE II 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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LEI DE HOOKE 
Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais, 
quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, 
isto é, quando a carga gradualmente diminui até zero, a deformação sofrida durante o 
carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Quando a barra volta 
completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se 
o retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a 
deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação 
permanente. 
A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert Hooke 
em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como: 
𝜎 = 𝐸𝜀 
 
Onde: 
σ= tensão normal; 
E = módulo de elasticidade do material; 
ε= deformação específica. 
 
O Módulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do 
diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material. A lei de HOOKE é válida 
para a fase elástica dos materiais. Por este motivo, quaisquer que sejam os 
carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição de efeitos, ou seja, 
pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois somá-los. 
Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, 
o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais. 
Tabela 01: Peso Específico e Módulo de Elasticidade dos Materiais. 
Material Peso Específico (kN/m³) Módulo de Elasticidade (GPa) 
Aço 78,5 200 a 210 
Alumínio 26,9 70 a 80 
Bronze 83,2 98 
Cobre 88,8 120 
Ferro Fundido 77,7 100 
Madeira 0,6 a 1,2 a 12 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
20 
 
2.1 Tensão de Tração (Σ) e Deformação (Ԑ) 
Verificar as Tensão de Tração e Deformação Sendo Submetidos nos Materiais. 
Tensão de tração (σ) e Deformação (ԑ): 
Figura 13: Deformação. 
 
 
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙: 𝜎 =
𝐹
𝐴
 
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒: 𝜎 = 𝐸. 𝜀 
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑈𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎: 𝜀 =
∆𝐿
𝐿
 𝜀 =
𝜎
𝐸
 
 
Igualando-se as expressões acima: 
 
∆𝐿
𝐿
=
𝜎
𝐸
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
∆𝐿
𝐿
=
𝐹
𝐴. 𝐸
 
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∆𝐿 =
𝐹. 𝐿
𝐸. 𝐴
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
21 
 
σ (Letra grega - sigma); 
E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young; 
F = Força Normal; 
ε (Letra grega - épsilon); 
A = Área da seção transversal; 
 L = Comprimento. 
 
Cálculo da área: 
● 𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜: 𝐴 =
𝜋.𝑑²
4
 
● 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝐴 = 𝐿² 
● 𝑅𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜: 𝐴 = 𝑏. ℎ 
 
Exercício 02: 
Supondo que o eixo da figura acima possua um diâmetro de 55 mm e está 
submetido a uma força de 230.000 N, calcule a tensão normal atuante e a variação linear 
no comprimento(ΔL). Dado que: E = 97 Gpa L = 32 cm. 
 
𝐴 =
𝜋. 𝑑²
4
=
𝜋. 55²
4
= 2.375,82𝑚𝑚² 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
=
230.000
2.375,82
= 96,8𝑁/𝑚𝑚² 
 
∆𝐿 =
𝐹. 𝐿
𝐸. 𝐴
=
𝐹 . 𝐿
𝐴 . 𝐸
= 𝜎.
𝐿
𝐸
=
96,8
𝑁
𝑚𝑚2 𝑥 320𝑚𝑚
97.000 
𝑁
𝑚𝑚2
= 0,31𝑚𝑚 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
22 
 
Exercício 03: 
Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática 
de comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro Ø = 5cm e Módulo de 
Elasticidade E=20.000 kN/cm2, submetida a uma força axial de tração P=30 kN. 
 
Figura 14: Ação da força de Tração na estrutura. 
 
 
𝐴 =
𝜋∅
4
 𝐴 =
3,14𝑥52
4
 𝐴 = 19,6𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝜎 =
𝑃
 𝐴 
 𝜎 =
30
 19,6 
= 1,
53
𝑐𝑚²
 𝑜𝑢 15,3𝑀𝑃𝑎 
 
𝛿 =
𝑃𝐿
𝐸𝐴
 𝛿 =
30𝑥500
20.000𝑥19,6
= 0,0382𝑐𝑚 
 
𝜀 =
𝛿
𝐿
 𝜀 =
0,0382
500
= 0,0000764 𝑜𝑢 𝑥1000 = 0,0764(%°) 
 
 
Exercício 04: 
Um ensaio de tração para um aço-liga resultou no diagrama tensão-deformação 
mostrado na figura abaixo. Calcule o módulo de elasticidade e o limite de escoamento 
com base em uma deformação residual de 0,2%. Identifique no gráfico o limite de 
resistência e a tensão de ruptura. 
 
 
 
 
 
P P 
L = 5m 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
23 
 
Figura 15: Do livro HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 
 
 
 
Módulo de elasticidade. Devemos calcular a inclinação da porção inicial em linha 
reta do gráfico ampliado. Essa reta se estende do ponto O até um ponto estimado A, cujas 
coordenadas aproximadas são (0,0016 mm/mm. 345 Mpa). 
Portanto: 
𝐸 = 
345 𝑀𝑃𝑎
0,0016𝑚𝑚/𝑚𝑚
= 215 𝐺𝑃𝑎 
 
Observe que a equação da reta OA é, portanto, σ = 215(10³)ϵ. 
 
Limite de escoamento: para uma deformação residual de 0,2% ou 0,0020 
mm/mm, traçamos, no gráfico, uma reta paralela a AO (tracejada) até interceptar a curva 
σ-ϵ em A’. O limite de escoamento é aproximadamente: 
𝜎 = 469 𝑀𝑃𝑎 
 
Limite de resistência: essa tensão é definida pelo pico do gráfico σ-ϵ, ponto B na 
figura. 
𝜎𝑟 = 745,2 𝑀𝑃𝑎 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
24 
 
Tensão de ruptura: quando o corpo de prova é deformado até seu máximo 
de 𝜖𝑟𝑢𝑝 = 0,23 𝑚𝑚/𝑚𝑚, ocorre ruptura no C. Por isso: 
𝜎𝑟𝑢𝑝 = 621 𝑀𝑃𝑎 
 
Exercício 05: 
Uma barra de material homogêneo e isótropo tem 500mm de comprimento e 16mm 
de diâmetro. Sob ação da carga axial de 12kN, o seu comprimento aumenta em 300x10-6m e 
seu diâmetro reduz em 2,4x10-6m. Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de 
Poisson do material. 
Figura 16: Ação da força de Tração sobre a estrutura e sua deformação. 
 
∆𝐶 𝐶 ∆𝐶 
 
𝐴 = 𝜋𝑟2 
𝜎𝑥 =
𝑃
𝐴
 
𝐸 =
𝜎𝑥
𝜀𝑥
 
𝜀𝑥 =
𝛥𝑐
𝐶
 
𝜀𝑦 =
𝛥𝐷
𝐷
 
𝜈 =
−𝜀𝑦
𝜀𝑥
 
 
𝐷 = 16𝑚𝑚
= 0,016𝑚 
𝑟 = 8𝑚𝑚
= 0,008𝑚 
𝐴 = 𝜋 (8𝑥10−3𝑚)2 = 201𝑥10−6𝑚² 
𝜎𝑥 =
12𝑥10³𝑁
201𝑋10−6𝑚²
= 59,7𝑥106𝑃𝑎
= 59,7𝑀𝑃𝑎 
𝐸 =
59,7𝑀𝑃𝑎
600𝑥10−6
= 99,5𝑥103 = 99,5𝐺𝑃𝑎 
𝜀𝑥 =
300𝑥10−6𝑚
500𝑥10−3𝑚
= 600𝑥10−6 
𝜀𝑦 =
−24𝑥10−6𝑚
16𝑥10−3𝑚
= −150𝑥10−6 
𝜈 =
−(−150𝑥10−6)
600𝑥10−6
= 0,25 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
25 
 
2.2 Funcionamento da máquina para o ensaio de tração 
O ensaio de tração consiste na aplicação de uma força de tração axial num corpo 
de prova padronizado, promovendo a deformação do material na direção do esforço, que 
tende a alongá-lo até fraturar (Figura 17). Devido à facilidade de execução e 
reprodutibilidade dos resultados, este ensaio é amplamente utilizado. Com ele é possível 
determinar o gráfico de Tensão-Deformação e medir as propriedades de Resistência à 
Tração, Módulo de Elasticidade, Tensão no Escoamento, Tensão na Ruptura, 
Deformação no Escoamento, Deformação na Ruptura, etc. 
A tensão, que é expressa em Megapascal (Mpa), Newton por milímetro quadrado 
(N/mm2), é calculada dividindo a força F ou carga aplicada, pela área da seção inicial da 
parte útil do corpo de prova. 
Figura 17 – Representação de um ensaio de tração. 
 
 
Fonte: https://biopdi.com.br/artigos/ensaio-de-tracao/ 
 
CORPO DE PROVA 
Para a execução do ensaio de tração, a confecção do corpo de prova é de 
fundamental importância. O comprimento e formato do corpo de prova, a velocidade de 
aplicação da carga e as imprecisões dos ensaios afetam diretamente nos resultados 
obtidos. A fim de tornar os ensaios reprodutíveis, normas técnicas que garantem a 
padronização das dimensões e formatos dos corpos de prova são utilizadas, como ASTM 
E8M e ABNT MB-4. 
A forma e as dimensões do corpo de prova variam de acordo com a rigidez do material 
ensaiado, a capacidade da máquina e a geometria do produto acabado de onde foi retirado, 
de modo a garantir que ocorra a fratura na região útil do corpo de prova para poder validar o 
ensaio. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
26 
 
As propriedades mecânicas do material são medidas na parte útil do corpo de 
prova (região Lo) e as regiões extremas, que são fixadas nas garras da máquina, são 
conhecidas como cabeças (D). As cabeças devem ter seção maior do que a parte útil para 
que a ruptura do corpo de prova não ocorra nelas, e suas dimensões e formas dependem 
do tipo de fixação da máquina. 
Figura 18 – Corpos de prova para ensaio de tração segundo norma técnica. 
 
Fonte: https://biopdi.com.br/artigos/ensaio-de-tracao/ 
 
ENSAIO DE TRAÇÃO EM MATERIAIS 
Ensaio de Tração Típico em Metais 
Considerando agora um ensaio de tração típico para aços (Figura 19), inicialmente, 
ocorre deformação elástica, ou seja, a tensão e deformação tendem a aumentar 
linearmente e quando a carga é retirada o corpo poderia relaxar as tensões e retomar à 
sua forma original. Dessa região do gráfico, é possível obter-se o módulo de elasticidade 
do material, que é proporcional à sua rigidez. 
Prosseguindo o ensaio, há um ponto em que o corpo entra no regime plástico de 
deformação. Esse ponto é denominado limite de proporcionalidade (b), isto é, o 
alongamento é permanente. Em seguida, o corpo deforma-se até que a tensão limite de 
resistência seja atingida (c), onde se inicia a estricção. Por fim, o ensaio segue até a 
ruptura do corpo (d). 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
27 
 
Figura 19 – Gráfico de Tensão deformação de um ensaio de tração. 
 
Fonte: https://biopdi.com.br/artigos/ensaio-de-tracao/ 
 
Além das propriedades mecânicas, através da curva, é possível avaliar a 
resiliência e tenacidade de um material. Em outras palavras, a capacidade de um 
material absorver energia no regime elástico e plástico, respectivamente. Ainda, por 
meio da análise macroscópica da fratura, do perfil das regiões do gráfico e das normas 
técnicas, é possível classificar um material em dúctil ou frágil. 
Na figura abaixo, são apresentados os Ensaios de tração típicos para materiais 
dúcteis e frágeis, sendo que os Materiais dúcteis tendem a apresentar grande 
deformação plástica, ocorrendo estricção no corpo de prova durante o ensaio. Esse é o 
caso do cobre, aços de baixo carbono ou da maioria dos polímeros. No caso de materiais 
frágeis, ocorre pouca ou nenhuma deformação plástica, pois o material armazena toda a 
energia aplicada para deformá-lo e fratura catastroficamente, isso ocorre com ferro 
fundido cinzento, aço temperado e materiais cerâmicos. 
 
Figura 20 – Ensaios de tração típicos para o aço baixo carbono, cobre e ferro fundido cinzento. 
 
 
Fonte: https://biopdi.com.br/artigos/ensaio-de-tracao/ 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
28 
 
 
A forma e a magnitude do gráfico de tensão-deformação de um metal dependerão 
da sua composição, tratamento térmico, histórico prévio de deformação plástica e da 
taxa de deformação, temperatura, e estado de tensão imposto durante o ensaio. 
C = Tensão limite de resistência seja atingida. 
 
Ensaio de Tração Típico em Poliméricos 
Os materiais poliméricos são geralmente compostos orgânicos baseados em 
carbono, hidrogênio e outros elementos não-metálicos que são constituídos de 
moléculas muito grandesIII 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
39 
 
TENSÕES DE CISALHAMENTO 
3.1 Conceito 
Ao contrário das tensões normais perpendiculares à secção transversal, as 
tensões de cisalhamento se desenvolvem no plano paralelo à força aplicada. Assim, a 
tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam as 
diversas partes das máquinas e estruturas. A Figura abaixo mostra situações em que 
aparecem tensões de cisalhamento (τ). 
 
Figura 30: Ação da Tração. 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
A tensão de cisalhamento é fisicamente diferente da tensão normal. Enquanto o 
esforço normal tende a desagregar as moléculas em sua coesão em extensão ou a reuni-
las em compressão, o esforço de cisalhamento tende a cortá-las por deslizamento de 
uma face sobre outra, ou entre dois planos contínuos. As tensões normais resultam de 
esforços perpendiculares ao plano de corte, enquanto as tensões de cisalhamento 
resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano. Podemos determinar o valor médio 
da tensão de cisalhamento: 
 
𝜏𝑚𝑒𝑑 =
𝐹
𝐴
 
 𝜏𝑚𝑒𝑑 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑚é𝑑𝑖𝑎). 
𝐹 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎. 
𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 
 
Ao contrário do que dizemos para a tensão normal, não podemos considerar a 
distribuição de tensão uniformemente distribuída. A figura a, b, c e d nos mostra o tipo 
de acoplamento de cisalhamento simples, denominado de juntas sobrepostas. Nas 
figuras b e d, estão representados os diagramas de corpo livre dos acoplamentos. 
 
 F 
F 
A 
B 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
40 
 
Figura 31: Do livro HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 
 
 
 
Na figura e, f, g e h, dizemos que o rebite está submetido a cisalhamento duplo. 
Neste caso, há duas secções resistentes para a força F aplicada e, como consequência, 
cada seção receberá a metade da carga F aplicada, ou seja, a força de cisalhamento será 
F/2. Na figura a seguir, as forças de cisalhamento estão representadas pela letra V, mas 
em outras situações também se utiliza a letra F. 
Figura 32: Do livro HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 
 
As forças de cisalhamento também são denominadas de forças cortantes. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
41 
 
3.2 Cisalhamento puro 
Vimos que as forças axiais provocam tensões normais nos elementos estruturais. 
No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas em 
relação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas em 
componentes paralelos e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componente 
normal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal σ (sigma), e a 
componente vertical V irá provocar tensão de cisalhamento τ (tau). Conclusão: as 
tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte, enquanto as 
tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano. 
Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD, onde a área da seção 
transversal do rebite é denominada por A. Sob a ação da força F, surgem esforços 
cortantes (tangenciais) à seção transversal do rebite e, portanto, tensões de 
cisalhamento τ cuja intensidade média é 
 
𝜏𝑚𝑒𝑑 =
𝐹
𝐴
 
 
 
Exercício 09: 
Duas chapas são unidas a uma terceira por meio de um rebite, como mostra a 
Figura abaixo. 
Figura 33: Duas chapas unidas a uma terceira por meio de um rebite. 
 
 
 
 
 
Se a força F é de 1,0kN e a seção transversal do rebite é de 2,0 cm², a tensão de 
corte atuante no rebite, em Mpa, vale: 
 
𝜏𝐶𝑖𝑠 =
𝐹
𝑛𝐴
 
 
𝜏𝐶𝑖𝑠 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒. 
𝐹 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎. 
 
 
 B 
 
 
F 
F 
F 
A 
C 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
42 
 
𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 
𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 
 
 
𝐹 = 1𝑘𝑁 = 1000𝑁 
𝐴 = 2𝑐𝑚2 = 2.10²mm² 
𝑛 = 2 
𝜏𝐶𝑖𝑠 =
𝐹
𝑛𝐴
=
1000𝑁
2 𝑥 200𝑚𝑚²
=
25000𝑁
𝑚𝑚²
= 2,5𝑀𝑃𝑎 
 
Exercício 10: 
A punção circular B com diâmetro 4mm exerce uma força de 2kN na parte superior 
da chapa A com altura de 2mm. Determine a tensão de cisalhamento média na chapa 
provocada por essa carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 34: Punção na chapa A. 
 
𝐴𝐴 = 2𝜋𝑟 = 2𝑥3,14𝑥2 = 12,56𝑚𝑚² 
𝜏𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝐴𝐴ℎ
= 
2000
12,56𝑥2
= 79,617834395𝑀𝑃𝑎 = 79,6𝑀𝑃𝑎 
 
3.3 Tensão de Cisalhamento Máxima 
 
Vamos determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção 
transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. E também expressar a resposta 
em termos da área A da seção transversal. 
 
 
 A 
B 
2kN 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
43 
 
Figura 35: Ação do Cisalhamento. 
 
 
Fonte: Autoral 
 
Como solução, temos que a tensão de cisalhamento máxima é: 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉𝑄
𝐼𝑥𝑏
 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎. 
𝑉 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
𝑄 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜. 
𝐼𝑥 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎. 
𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒. 
 
Onde: 
𝑄 = (
𝜋𝑟2
2
) 𝑥 (
4𝑟
3𝜋
) =
2𝑟³
3
 
 
𝐼𝑥 =
𝜋𝑟4
4
 
 
𝑏 = 2𝑟 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
44 
 
Assim: 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉𝑄
𝐼𝑥𝑏
 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉
2𝑟³
3
𝜋𝑟4
4 2𝑟
=
4𝑉
3𝜋𝑟²
=
4𝑉
3𝐴
 
 
Resposta: A tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal 
circular de raio r e sujeito à força cortante V é de 𝜏𝑚á𝑥 =
3𝑉
3𝐴
. 
 
Exercício 11: 
O raio da haste de aço é 30 mm. Se ela for submetida a um cisalhamento V = 25 kN, 
determine a tensão de cisalhamento máxima. 
Figura 36: Cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 
𝑉𝑄𝑚á𝑥
𝐼𝑡
=
3𝑉
3𝐴
=
4𝑉
3𝜋𝑟2
= 
4𝑥25𝑥103
3𝑥𝜋𝑥0,030²
= 11,79𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
 
V = 50kN 
r = 30mm 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
45 
 
Exercício 12: 
Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V = 125 kN, determine a 
tensão de cisalhamento máxima na viga. 
Figura 37: Cisalhamento. 
 
 
 
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
 
 
T=Tensão cisalhamento. 
V=Força Cortante. 
Q=Momento estático. 
I=Momento de inércia. 
T= espessura. 
 
𝑄𝑚á𝑥 = ∑𝐴′. 𝑦′ 
 
𝑄𝑚á𝑥 = ∑𝐴′. 𝑦′ = (25 𝑥 125)(62,5) + (25 𝑥 200)(137,5) = 8882.812,5𝑚𝑚³ 
 
𝐼 = ∑(𝐼𝑖 + 𝐴𝑖 𝑥 𝑑𝑖
2) 
 
𝐼 = 2 (
200 𝑥 253
12
 + 5000 𝑥 137,52) +
25 𝑥 250³
12
= 222.135.416,7𝑚𝑚4 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
46 
 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉𝑄𝑚á𝑥
𝐼𝑡
=
(125.000𝑁) 𝑥 (882.812,5𝑚𝑚3)
(222.135.416,7𝑚𝑚4) 𝑥 (25𝑚𝑚)
= 19,87𝑀𝑃𝑎 
 
3.4 Momento de Inércia (I) 
Momento de inércia é uma grandeza que mede a resistência que uma determinada 
área oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eixo. Normalmente 
é representado pelas letras I e J. 
 
Teorema das Eixos Paralelos 
 
I = Momento de Inércia. 
h = Altura. 
b = Base. 
CG = Centro de Gravidade. 
dy = Distância da Altura até CG. 
Dx = Distância da Base até CG. 
 
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ³
12
 
 
𝐼𝑦 =
𝑏ℎ³
12
 
 
𝐼𝑥′ = 𝐼𝑥 + 𝐴 . 𝑑𝑥2 = 
𝑏ℎ³
12
+ 𝑏 . ℎ .
ℎ
 2
2
 
 
𝐼𝑥′ =
𝑏ℎ³
3
 
 
𝐼𝑦′ = 𝐼𝑦 + 𝐴 . 𝑑𝑦2 = 
𝑏ℎ³
12
+ ℎ . 𝑏 .
𝑏
2
2
 
𝐼𝑦′ =
ℎ𝑏³
3
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
47 
 
3.5 Fórmula - Momento de Inércia (I) 
 
• Seção retangular (b x h). 
 
 
 
 
 
 
• Seção quadrada de lado a: 
 
 
 
 
• Seção circular – diâmetro d: 
 
𝐼 =
𝜋. 𝑑4
32
 
 
 
 
• Seção circular vazada: (D) e (d): 
 
D = diâmetro externo. 
d = interno. 
 
 
𝐼 =
𝜋. [𝐷4 − 𝑑4]
32
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
48 
 
Exercício 13: 
Calcule a tensão de cisalhamento máxima da seção retangular com altura 40mm 
e base 20mm, com a força cortante 80kN. 
 
 
 
 
 
 
 
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
 
 
𝜏 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒. 
𝑉 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
𝑄 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜. 
𝐼 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎. 
𝑡 = 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎. 
 
V = Força cortante: 
 
V = 80.10³N = 80000N 
 
 
 
0,2m 
0,4m 
 
80kN 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
49 
 
 
Q = Momento Estático: 
𝑄= 𝛴𝑦′. 𝐴′ 
𝑄 = 0,1𝑚 𝑥 0,2𝑚 𝑥 0,2𝑚 
𝑄 = 0,004𝑚³ 
 
I = Momento de Inércia: 
 
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ³
12
 
𝐼𝑥 =
0,2 𝑥 0,4³
12
 
𝐼𝑥 = 1066,7. 10−6𝑚4 
 
t = Espessura 
 
t = 0,2m 
 
 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
 
𝜏𝑚á𝑥 =
80𝑘𝑁 𝑥 4. 10−3𝑚3 
1066,7. 10−6𝑚4 𝑥 2. 10−1𝑚
=
80000𝑁 𝑥 0,004𝑚3 
0,001066667𝑚4 𝑥 0,2𝑚
= 1,50. 106𝑃𝑎 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 1,50𝑀𝑝𝑎 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
50 
 
Aplicação da Teoria de Resistência dos Materiais 
Exercício 14: 
O acoplamento de gancho e haste está sujeito a uma força de tração de 5kN. 
Determine a tensão normal média em cada haste, na haste de A diâmetro 40 mm e haste 
B de diâmetro 30 mm, e a tensão de cisalhamento médio no pino C, com diâmetro 25 mm, 
entre os elementos. 
Figura 39: Acoplamento de gancho e haste. 
 
 
 
𝜏𝐶𝑖𝑠 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒. 
𝐹 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎. 
𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 
𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 
𝐷 = 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜. 
 
Cálculo de Área da Haste: 
 
𝐴 =
𝜋𝐷2
4
 
 
𝐴𝐴 =
3,14 𝑥 0,04²
4
= 0,001256637𝑚² 
 
𝐴𝐵 =
3,14 𝑥 0,03²
4
= 0,000706858𝑚² 
 
 
 
C 
B A 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
51 
 
 
Tensão Normal: 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
 
𝜎𝐴 =
5000
0,001256637
= 3978873,77𝑁/𝑚² = 3978873,77𝑃𝑎 = 3,97𝑀𝑃𝑎 
 
𝜎𝐵 =
5000
0,000706858
= 7073553,02𝑁/𝑚² = 7073553,02𝑃𝑎 = 7,07𝑀𝑃𝑎 
 
Tensão de Cisalhamento: 
𝐴 =
𝜋𝐷2
4
 
𝐴𝐶 =
3,14 𝑥 0,025²
4
= 0,000490874𝑚² 
𝜏 =
𝑉
𝑛𝐴
 
 
𝜏𝐶 =
5000
2 𝑥 0,000490874
=
5092956,64𝑁
𝑚2 = 5092956,64𝑃𝑎 = 5,09𝑀𝑃𝑎 
 
Exercício 15: 
Achar os diâmetros dos parafusos de aço da conexão (diâmetros iguais) para que 
possamos aplicar F = 20 kN com segurança, sabendo que a tensão admissível ao 
cisalhamento do aço é τadm= 100MPa. Resposta do diâmetro em múltiplo de 1/8 pol. 
 
Figura 40: Tensão de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
F 
 
 F 
 
F 
 
 F 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
52 
 
 
Veja a placa da esquerda e vamos analisá-la. Usando a definição de tensão de 
cisalhamento média, vamos calcular a tensão atuante na conexão, fazendo com que essa 
não seja maior que τadm. Note que cada parafuso tende a ser cisalhado em duas seções, 
ou seja, para cada parafuso temos A = 2 AT, e como temos três parafusos, o total de áreas 
cisalhadas é 3×(2× AT). 
 
𝜏 =
𝑉
3𝐴
=
𝐹
3 𝑥 (2 𝑥 
𝜋 𝑥 𝑑2
4 )
= 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝐹
6 𝑥 
𝜋 𝑥 𝑑2
4
 
𝑑 = √
𝐹
6 𝑥 
𝜋 𝑥 𝜏𝑎𝑑𝑚
4
= √
20.000
6 𝑥 
𝜋 𝑥 100
4
= √
20.000
471,23
= √27,587377 = 5,252368𝑚𝑚 
𝑑 = 1/4" 
 
 
TABELA 
Mm pol. 
0,79 1/32” 
3,18 1/8” 
4,76 3/16” 
6,35 1/4” 
7,94 5/16” 
9,53 3/8” 
11,11 7/16” 
12,7 1/2” 
15,88 5/8” 
19,05 3/4" 
22,23 7/8” 
25,4 1” 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
53 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE IV 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
54 
 
LINHA ELÁSTICA E TORÇÃO 
4.1 Conceito 
Hibbeler (2010, p. 421) define linha elástica como “diagrama da deflexão do eixo 
longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga”. As 
cargas transversais atuantes nas vigas causam deformações nas mesmas, curvando seu 
eixo longitudinal. No projeto de uma viga, é necessária a verificação das deformações 
que ocorrerão em vários pontos do seu eixo. Normalmente, em projetos estruturais, há 
um limite para essas deformações (TIMOSHENKO, 1967, p. 147). 
O traçado da linha elástica é dependente das restrições impostas pelos apoios, 
bem como suas localizações. A Figura 41 a seguir exemplifica duas linhas elásticas de 
vigas; P é um carregamento pontual ao qual a viga está submetida. 
Figura 41 – Linha elástica em vigas. 
 
Fonte: HIBBELER, 2010, p. 421. 
 
4.2 Deflexão de uma viga 
 
A análise da deflexão de uma viga, chamada de “flecha”, deve ser limitada para 
que se forneça estabilidade, para se prevenir a formação de trincas ou ruptura de 
materiais frágeis. Assim, antes de se encontrar a flecha e a deflexão, é importante fazer 
um esboço da forma deformada da viga, que é representada pela linha elástica. 
Figura 42: Linha elástica em vigas. 
 
Fonte: HIBBELER, 2010, p. 421. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
55 
 
Diagrama de momento fletor 
 
Este esboço da linha elástica procura representar o comportamento da viga em 
relação aos seus carregamentos e apoios. De maneira geral, a linha elástica tende a 
seguir a orientação dada pelo diagrama de momento fletor. 
• Um momento positivo tende a fazer a concavidade da viga ficar virada para 
cima. 
Figura 43: Momento fletor. 
 
Fonte: Autoral. 
 
 
 
• Um momento negativo tende a fazer a concavidade ficar virada para baixo. 
 
Figura 44: Momento fletor. 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
56 
 
Os Efeitos no Momento Fletor 
• Momento Positivo: Compressão superior e Tração inferior. 
Figura 45: Momento fletor. 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
• Momento Negativo: Tração superior e Compressão inferior. 
Figura 46: Momento fletor. 
 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
Ensaios do momento fletor máximo em uma viga de concreto no laboratório. 
Figura 47: Momento fletor. 
 
Momento Fletor + M Momento Fletor – M 
 
COMPRESSÃ
TRAÇÃO 
 
COMPRESSÃO 
TRAÇÃO 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
57 
 
Curva característica de um Ensaio de Flexão para diferentes seções transversais: 
Figura 48: Ensaio de Flexão. 
 
 
 
VIGA SOB UM CARREGAMENTO SIMPLES 
 
Figura 49: Viga sob um carregamento simples. 
 
 
 
 
 
Devido aos apoios, a flecha nestes locais vale zero. Dentro da região de momento 
negativo AC, a concavidade da curva deve ser para baixo. O ponto de inflexão – o local de 
momento fletor zero – marca o ponto de alteração da direção da concavidade. A partir do 
ponto C – região de momento positivo –, a concavidade da linha elástica aponta para 
cima. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
58 
 
Nota-se também que os deslocamentos ΔA e ΔE são especialmente críticos. No 
ponto E, o giro da curva elástica é zero, e a flecha da viga pode ser máxima. 
Se ΔA ou ΔE é maior dependerá da intensidade das forças e das distâncias. 
Figura 50: Linha elástica. 
 
 
Pode-se construir um esboço da linha elástica desta viga engastada. Lembre-se 
de que o engaste é um tipo de apoio que possui três reações: duas forças e um momento. 
Desse modo, Momento é o tipo de reação que impede o giro, e por isso a rotação no 
engaste é zero. 
 
4.3 Relação Momento-Curvatura 
 
Antes de se obter a rotação e a flecha em qualquer ponto da linha elástica, é 
necessário relacionar o momento interno ao raio de curvatura ρ da linha elástica. Para 
tal, considera-se a figura mostrada da qual retira-se um elemento diferencial dx 
localizado a uma distância x da origem. 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
59 
 
Figura 51: Relação momento-curvatura. 
 
 
Deve-se “localizar” a coordenada y exatamente sobre o eixo neutro, e posicionar 
sua origem ali. A partir do eixo neutro, mede-se os comprimentos deformados ds’ através 
de sua localização y. 
Figura 52: Relação momento-curvatura. 
 
Há relação entre a deformação, a localização y e o raio de curvatura ρ. 
Considerando que se trabalha na região linear elástica, as seguintes relações são válidas: 
1
𝜌
= −
𝜖
𝑦
 𝜖 =
𝜎
𝐸
 
Pode-se obter: 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
 
 
ρ – Raio da curvatura no ponto da linha elástica (1/ρ é chamado de ρ é chamado de 
curvatura); 
M – Esforço interno de flexão no ponto considerado; 
E – Módulo de elasticidade do material; 
I – Momento de inércia em relação ao eixo neutro. 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
60 
 
O sinal de ρ depende da direção do momento. Quando M for positivo, ρ fica acima 
da viga; quando M for negativo, ρ fica abaixo da viga. 
Figura 53: Relação momento-curvatura. 
 
 
 
Método da Integração 
 
Essa equação representa uma equação diferencial de segunda ordem. “Sua 
solução, denominada elástica, dá a forma exata da linha elástica, considerando,é claro, 
que as deflexões na viga ocorram apenas por flexão” (HIBBELER, 2010, p. 423). 
A equação da linha elástica será definida pelas coordenadas v e x. Assim, para que 
se possa escrever a flecha v = f(x), deve-se representar a curvatura (1/ρ é chamado de ρ) 
em termos de v e de x. Toma-se a definição do cálculo para que se possa escrever: 
1
𝜌
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥²
[1 + (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
)
2
]
3
2
 
Junto com a equação anterior, obtém-se: 
 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥²
[1 + (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
)
2
]
3
2
=
𝑀
𝐸𝐼
 
Se o momento fletor pode ser representado por uma função simples de x, para 
qualquer valor de x, a declividade θ = dν /dx e a deflexão “v” podem ser encontradas 
(BEER, 2013, p. 816). Na maioria dos problemas, a rigidez da flexão será constante ao 
longo do comprimento da viga. Considerando este o caso, obtêm-se o seguinte conjunto 
de equações (“M(x)” é o momento fletor; “V(x)”, o esforço cortante e “w(x)”, o carregamento 
aplicado): 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
61 
 
 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
= 𝑉(𝑥) 𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= −𝑤(𝑥) 
 
 
 
𝑀 =
1
2
 𝑤𝐿𝑥 −
1
2
𝑤𝑥² 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
1
2
 𝑤𝐿𝑥 −
1
2
𝑤𝑥2 
 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
1
2
 𝑤𝐿𝑥 −
1
2
𝑤𝑥2 
 
𝟏ª 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂çã𝒐 𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
4
 𝑤𝐿𝑥² −
1
6
𝑤𝑥3 + 𝐶1 
𝟐ª 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂çã𝒐 𝐸𝐼𝑦 =
1
12
 𝑤𝐿𝑥3 −
1
24
𝑤𝑥4 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
𝐸𝐼𝑦 =
1
12
 𝑤𝐿𝑥3 −
1
24
𝑤𝑥4 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐴: (𝑥 = 0, 𝑦 = 0) 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐵: (𝑥 = 𝐿, 𝑦 = 0) 
𝐶2 = 0 
0 =
1
12
 𝑤𝐿4 −
1
24
𝑤𝐿4 + 𝐶1𝐿 
 
𝐶1 = −
1
24
𝑤𝐿3 
 
𝐸𝐼𝑦 =
1
12
 𝑤𝐿𝑥3 −
1
24
𝑤𝑥4 −
1
24
𝑤𝐿3𝑥 
 
𝑦 =
𝑤
24𝐸𝐼
 (2𝐿𝑥3 − 𝑥4 − 𝐿3𝑥 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
62 
 
 
𝑦𝑐 =
𝑤
24𝐸𝐼
 (2𝐿
𝐿3
8
−
𝐿4
16
− 𝐿3
𝐿
2
) = −
5𝑤𝐿4
384𝐸𝐼
 
 
𝛿 = 
5 . 𝑤 . 𝐿4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
 
Utilização do Cálculo de Flecha em Viga pelo Método da Linha Elástica 
 
Exercício 16: 
Qual a deflexão no meio do vão de uma viga de concreto bi apoiada de 
comprimento L = 4 m, carregamento w = 12 kN/m, módulo de elasticidade E = 24520 MPa 
e seção retangular de 18 cm de largura por 40 cm de altura. 
Figura 54: Uma viga bi apoiada submetida a carregamento uniformemente distribuído. 
 
 
 
 
 
 
Na utilização da equação, utilizaremos os valores em kN e cm. 
• Módulo de elasticidade E = 24520 MPa = 2452 kN/cm². 
• Carregamento w = 12 kN/m = 0,12kN/cm. 
Na equação do momento de inércia da seção retangular: 
𝐼 = 
𝑏 . ℎ³
12
 
𝐼 = 
18 . 40³
12
= 96.000𝑐𝑚4 
Na equação da deflexão no centro do vão, chegamos no resultado: 
 40 cm 
18 cm 
 
4,0 m 
w = 12kN/m 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
63 
 
𝛿 = 
5. 𝑤 . 𝐿4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
𝛿 = 
5 . 0,12 . 4004
384 . 2452 . 96.000
=
15.360.000.000
90.390.528.000
= 0,169𝑐𝑚 = 1,69𝑚𝑚 
 
Exercício 17: 
Qual a deflexão no meio do vão de uma viga de concreto bi apoiada de 
comprimento L = 4 m, carregamento w = 12 kN/m, módulo de elasticidade E = 24520 MPa 
e seção retangular de 40 cm de largura por 18 cm de altura. 
 
Na utilização da equação, utilizaremos os valores em kN e cm. 
• Módulo de elasticidade E = 24520 MPa = 2452 kN/cm². 
• Carregamento w = 12 kN/m = 0,12kN/cm. 
Na equação do momento de inércia da seção retangular: 
𝐼 = 
𝑏 . ℎ³
12
 
𝐼 = 
40 . 18³
12
= 19.440𝑐𝑚4 
Na equação da deflexão no centro do vão, chegamos no resultado: 
𝛿 = 
5 . 𝑤 . 𝐿4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
𝛿 = 
5 . 0,12 . 4004
384 . 2452 . 19.440
=
15.360.000.000
18.304.081.920
= 0,839𝑐𝑚 = 8,39𝑚𝑚 
 
Exercício 18: 
O momento fletor da viga da figura é M=25 kN.m. Sabendo-se que a tensão 
admissível do material utilizado na viga é 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 6 kN/cm2 e que se trata de um perfil 
retangular com b = 4 cm (largura), deve-se determinar a altura (h) do perfil. 
 
Retângulo: 
W = Momento Resistente. 
I = Momento de Inércia. 
𝑊 =
𝐼
𝑦
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 =
ℎ
2
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
64 
 
 
Para retângulos tem-se: 
 
Momento de Inércia: 
𝐼 =
𝑏. ℎ³
12
 
 
Módulo Resistente: 
𝑊 =
𝑏. ℎ³
12
𝑦
2
=
2𝑏. ℎ³
12. ℎ
=
𝑏. ℎ²
6
 
 
Sendo tensão definida: 
𝜎 =
𝑀
𝑊
 
 
O Módulo Resistente pode também ser expresso por: 
𝑊 =
𝑀
𝜎
 
 
Ou seja: 
𝑏. ℎ²
6
=
𝑀
𝜎
 => ℎ2 =
6. 𝑀
𝑏. 𝜎
 
 
Logo, determina-se a altura h da viga: 
ℎ = √
6. 𝑀
𝑏. 𝜎
= √
6 𝑥 2500𝑘𝑁. 𝑐𝑚
4 𝑐𝑚 𝑥 6 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
= 25𝑐𝑚
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
65 
 
4.4 Torção 
 
Uma força aplicada a uma estrutura de uma peça, gerando um momento de torção 
ou torque no seu eixo longitudinal. Todo material tem resistência à torção, isso acontece 
pelas internas de cisalhamento. Assim, tem-se uma força interna combatendo a força 
externa, gerando o equilíbrio. 
Figura 55: Torção. 
 
 
Fonte: Autoral. 
 
 
Eixos de Seção Circular 
 
A tensão de torção pode ser expressa pelas seguintes equações: 
 
Para eixos se seção transversal cheia: 
 
𝐽 =
𝜋
2
. 𝑐4 
 
Para eixos de seção transversal vazada: 
 
𝜏 =
16 𝑇𝑐
𝜋(𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4)
 
 
T = torque [N.m]. 
c = diâmetro cheio [m]. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
66 
 
𝑐𝑜 = diâmetro externo [m]. 
𝑐𝑖 = diâmetro interno [m]. 
 
Exercício 19: 
Questão 5.1 – Hibbeler - Um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento 
admissível τadm = 84 MPa. Se o diâmetro do eixo for 37,5 mm, determine o torque 
máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo 
de 25 mm de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de 
cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso. 
Figura 56: Tensão de cisalhamento. 
 
 
 
𝐼𝑝 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜. 
𝜌 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜. 
𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑔𝑒 𝑛𝑎 𝑠𝑒çã𝑜. 
𝜏 = 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎). 
 
1º Caso: 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇
𝐼𝑃
. 𝜌 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 
𝑇
𝜋. 𝑐4
32
.
𝑑
2
 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 
𝑇 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 .
𝜋. 𝑐³
16
 
𝑇 ≤ 84
𝑁
𝑚𝑚2
 . 
𝜋. 37,5𝑚𝑚³
16
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
67 
 
𝑇 ≤ 870.000𝑁. 𝑚𝑚 = 0,87𝑘𝑁. 𝑚 
2º Caso: 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇
𝐼𝑃
. 𝑟 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 
𝑇
𝜋. (𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4)
32
.
𝑑
2
 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 
𝑇 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 . 
𝜋. (𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4)
16 . 𝑐
 
𝑇 ≤ 84
𝑁
𝑚𝑚2
 . 
𝜋. (37,54 − 254)
16 . 37,5
 
 
𝑇 ≤ 698.000𝑁. 𝑚𝑚 = 0,698𝑘𝑁. 𝑚 
 
Tensão Mínima: 
𝜏𝑚í𝑛 =
𝑇
𝜋. (𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4)
32
.
𝑑
2
 
𝜏𝑚í𝑛 =
16 . 𝑇. 𝑑
 𝜋. (𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4)
= 56𝑀𝑃𝑎 
 
𝜏𝑚í𝑛 =
16 . 698.000 . 25
 𝜋. (37,54 − 254)
= 56𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
Deformação por Torção de um Eixo Circular 
 
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal. O efeito do torque é uma preocupação primária em projetos de eixos ou 
eixos de acionamento utilizados em veículos e estruturas diversas. 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
68 
 
Figura 57: Livro Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler - 7º edição. 
 
 
 
Fórmula da Torção 
Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica. Uma variação linear 
na deformação por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de 
cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção transversal. 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
69 
 
Figura 58: Livro Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler - 7º edição. 
 
 
 
 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜. 
𝜏 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 
𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
𝐽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙. 
𝑐 = 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜. 
𝜌 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎. 
 
 
• Tensão de cisalhamento máxima no eixo ( 𝜏 ) 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
 𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
70 
 
• Momento polar de inércia da área da seção transversal ( 𝐽 ) 
O eixo tem uma seção transversal circular maciça. 
 
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4 
 
 
Figura 59: Livro Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler - 7º edição. 
O eixo tem uma seção transversal tubular. 
𝐽 =
𝜋
2
(𝑐0
4 − 𝑐𝑖
4) 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
71 
 
Figura 60: Livro Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler - 7º edição. 
 
Exercício 20: 
Questão 5.19 – Hibbeler - O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5 mm e 
diâmetro interno de 57,5 mm. Se estiver firmemente preso à parede em C e for submetido 
ao torque uniformemente distribuído ao longo de todo o seu comprimento, determine a 
tensão de cisalhamento máxima absoluta no tubo. Discuta a validade desse resultado. 
 
Figura 61: Tubo de cobre. 
 
T = torque [N.m]. 
c = diâmetro cheio [m]. 
𝑐𝑜 = diâmetro externo [m]. 
𝑐𝑖 = diâmetro interno [m]. 
d = distância [m]. 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑇. 𝑐 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑇. (𝑐𝐴 + 𝑐𝐵 + 𝑐𝐶) 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 625 
𝑁. 𝑚 
𝑚
𝑥 (0,3𝑚 + 0,225𝑚 + 0,1𝑚) = 390,625𝑀𝑝𝑎 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇.
𝑑
2
𝜋
2 . (
𝑐𝑜
2
4
−
𝑐𝑖
2
4
)
 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
390,625 . 0,03125
𝜋
2 . (0,031254 − 0,028754)
= 28,73𝑀𝑝𝑎 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
72 
 
 
4.5 Potência 
É definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. Para um eixo rotativo 
com torque, a potência é: 
 
𝑃 = 𝑇. 𝜔 
 
A velocidade angular do eixo é dada por: 𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
A potência é expressa em watts:1𝑊 =
1𝑁𝑚
𝑠
 
T = Torque aplicado. 
dϴ = Ângulo de rotação. 
Analisando a máquinas e mecanismos, a frequência de rotação de um eixo é em 
hertz (1Hz = 1 ciclo/s), sendo o número de revoluções que o eixo realiza por segundo. 
Para cada 1 ciclo = 2π rad, 
Ponde representa na fórmula: 
 
𝜔 = 2. 𝜋. 𝑓 
 
• Visto que a equação para a potência é: 
 
𝑃 = 2𝜋𝑓𝑇 
 
• Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é: 
 
𝐽
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑚á𝑥
 
P = Potência em W. 
f = frequência (rotação do eixo/s). 
T = Torque. 
c = raio. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
73 
 
Para eixo maciço: 
𝐽 =
𝜋. 𝑐4
2
 
Para eixo tubular: 
𝐽 =
𝜋. (𝑐𝑒
4 − 𝑐𝑖
4)
2
 
 
 
Exercício 21: 
Exemplo – Hibbeler - Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do 
motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de 
cisalhamento admissível 𝜏𝑎𝑑𝑚= 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com 
precisão de mm. 
 
Figura 62: Livro Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler - 7º edição. 
 
 
O torque no eixo é determinado pela Equação: 
 
𝑃 = 𝑇𝜔 
 
Expressando: 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
74 
 
• 𝑃 em newtons-metro por segundo. 
• 𝜔 em radianos/segundo, temos 
 
𝑃 = 3.750
𝑁. 𝑚
𝑠
 
 
𝜔 =
175 𝑟𝑒𝑣
𝑚𝑖𝑛
(
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
1 𝑟𝑒𝑣
) (
1𝑚𝑖𝑛
60𝑠
) 
 
𝜔 = 18,33
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
 
 
Assim: 
𝑃 = 𝑇𝜔; 3.750
𝑁. 𝑚
𝑠
= 𝑇(18,33
𝑟𝑎𝑑
𝑠
) 
 
𝑇 =
3.750
𝑁. 𝑚
𝑠
18,33
𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 204,6𝑁. 𝑚 
Aplicando a Equação: 
𝐽
𝑐
=
𝜋
2
𝑐4
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑎𝑑𝑚
 
 
𝑐 = (
2𝑇
𝜋𝜏𝑎𝑑𝑚
)
1
3
= [
2(204,6𝑁. 𝑚)(
1.000𝑚𝑚
𝑚 )
𝜋(100𝑁. 𝑚𝑚2)
]
1
3
= 10,92𝑚𝑚 
 
𝑐 = 10,92𝑚𝑚 
 
Visto que 2c = 21,84mm, selecione um eixo com diâmetro de 22mm. 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
75 
 
Exercício 22: 
Exemplo – Hibbeler - Um eixo tubular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro 
externo de 42 mm é usado para transmitir 90 kW de potência. Determine a frequência de 
rotação do eixo de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50 MPa. 
 
𝐽 =
𝜋. (𝑐𝑒
4 − 𝑐𝑖
4)
2
 
𝐽 =
𝜋. (0,0214 − 0,0154)
2
 
𝐽 =
4,5856. 10−7𝑚4
2
= 2,2596847. 10−7𝑚4 
 
𝐽
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑎𝑑𝑚
 
𝑇 =
𝜏𝑎𝑑𝑚. 𝐽
𝑐
 
𝑇 =
50. 106. 2,2596847. 10−7𝑚4
0,021
=
11,298423
0,021
= 538,02018𝑁𝑚 
 
𝑃 = 2. 𝜋. 𝑓. 𝑇 
𝑓 =
𝑃
2. 𝜋. 𝑇
 
𝑓 =
90.000
2. 𝜋. 538,02018
= 26,623434𝐻𝑧 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
76 
 
Referências 
 
ASKELAND, Donald. R.; PHULÉ, Pradeep P. Ciência e Engenharia dos Materiais. 2.ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
ASSAN, Aloisio Ernesto. Resistência dos materiais. v.1. São Paulo: UNICAMP, 2010. 
BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON JR. Russell. Resistência dos materiais. 3.ed. São 
Paulo: Pearson Makron Books, 2010. 
BOTELHO, Manoel Henrique Campos. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 
2.ed. Edgard Blucher, 2015. 
CALLISTER JR, William D.; RETHWISCH, David G. Ciência e Engenharia de Materiais: 
uma introdução. 8.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7.ed. Rio de Janeiro: Pearson Education, 
2014. 
MELCONIAN, Sarki. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19.ed. São Paulo: 
Érica, 2012. 
UGURAL, Ansel C. Mecânica dos Materiais. Rio de Janeiro: LTC, 2015. (Versão física e 
eletrônica). Disponível em: .𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎. 
 
 
• Tensão de cisalhamento máxima no eixo ( 𝜏 ) 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
 𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
70 
 
• Momento polar de inércia da área da seção transversal ( 𝐽 ) 
O eixo tem uma seção transversal circular maciça. 
 
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4 
 
 
Figura 59: Livro Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler - 7º edição. 
O eixo tem uma seção transversal tubular. 
𝐽 =
𝜋
2
(𝑐0
4 − 𝑐𝑖
4) 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
71 
 
Figura 60: Livro Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler - 7º edição. 
 
Exercício 20: 
Questão 5.19 – Hibbeler - O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5 mm e 
diâmetro interno de 57,5 mm. Se estiver firmemente preso à parede em C e for submetido 
ao torque uniformemente distribuído ao longo de todo o seu comprimento, determine a 
tensão de cisalhamento máxima absoluta no tubo. Discuta a validade desse resultado. 
 
Figura 61: Tubo de cobre. 
 
T = torque [N.m]. 
c = diâmetro cheio [m]. 
𝑐𝑜 = diâmetro externo [m]. 
𝑐𝑖 = diâmetro interno [m]. 
d = distância [m]. 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑇. 𝑐 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑇. (𝑐𝐴 + 𝑐𝐵 + 𝑐𝐶) 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 625 
𝑁. 𝑚 
𝑚
𝑥 (0,3𝑚 + 0,225𝑚 + 0,1𝑚) = 390,625𝑀𝑝𝑎 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇.
𝑑
2
𝜋
2 . (
𝑐𝑜
2
4
−
𝑐𝑖
2
4
)
 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
390,625 . 0,03125
𝜋
2 . (0,031254 − 0,028754)
= 28,73𝑀𝑝𝑎 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
72 
 
 
4.5 Potência 
É definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. Para um eixo rotativo 
com torque, a potência é: 
 
𝑃 = 𝑇. 𝜔 
 
A velocidade angular do eixo é dada por: 𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
A potência é expressa em watts:1𝑊 =
1𝑁𝑚
𝑠
 
T = Torque aplicado. 
dϴ = Ângulo de rotação. 
Analisando a máquinas e mecanismos, a frequência de rotação de um eixo é em 
hertz (1Hz = 1 ciclo/s), sendo o número de revoluções que o eixo realiza por segundo. 
Para cada 1 ciclo = 2π rad, 
Ponde representa na fórmula: 
 
𝜔 = 2. 𝜋. 𝑓 
 
• Visto que a equação para a potência é: 
 
𝑃 = 2𝜋𝑓𝑇 
 
• Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é: 
 
𝐽
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑚á𝑥
 
P = Potência em W. 
f = frequência (rotação do eixo/s). 
T = Torque. 
c = raio. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
73 
 
Para eixo maciço: 
𝐽 =
𝜋. 𝑐4
2
 
Para eixo tubular: 
𝐽 =
𝜋. (𝑐𝑒
4 − 𝑐𝑖
4)
2
 
 
 
Exercício 21: 
Exemplo – Hibbeler - Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do 
motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de 
cisalhamento admissível 𝜏𝑎𝑑𝑚= 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com 
precisão de mm. 
 
Figura 62: Livro Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler - 7º edição. 
 
 
O torque no eixo é determinado pela Equação: 
 
𝑃 = 𝑇𝜔 
 
Expressando: 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
74 
 
• 𝑃 em newtons-metro por segundo. 
• 𝜔 em radianos/segundo, temos 
 
𝑃 = 3.750
𝑁. 𝑚
𝑠
 
 
𝜔 =
175 𝑟𝑒𝑣
𝑚𝑖𝑛
(
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
1 𝑟𝑒𝑣
) (
1𝑚𝑖𝑛
60𝑠
) 
 
𝜔 = 18,33
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
 
 
Assim: 
𝑃 = 𝑇𝜔; 3.750
𝑁. 𝑚
𝑠
= 𝑇(18,33
𝑟𝑎𝑑
𝑠
) 
 
𝑇 =
3.750
𝑁. 𝑚
𝑠
18,33
𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 204,6𝑁. 𝑚 
Aplicando a Equação: 
𝐽
𝑐
=
𝜋
2
𝑐4
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑎𝑑𝑚
 
 
𝑐 = (
2𝑇
𝜋𝜏𝑎𝑑𝑚
)
1
3
= [
2(204,6𝑁. 𝑚)(
1.000𝑚𝑚
𝑚 )
𝜋(100𝑁. 𝑚𝑚2)
]
1
3
= 10,92𝑚𝑚 
 
𝑐 = 10,92𝑚𝑚 
 
Visto que 2c = 21,84mm, selecione um eixo com diâmetro de 22mm. 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
75 
 
Exercício 22: 
Exemplo – Hibbeler - Um eixo tubular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro 
externo de 42 mm é usado para transmitir 90 kW de potência. Determine a frequência de 
rotação do eixo de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50 MPa. 
 
𝐽 =
𝜋. (𝑐𝑒
4 − 𝑐𝑖
4)
2
 
𝐽 =
𝜋. (0,0214 − 0,0154)
2
 
𝐽 =
4,5856. 10−7𝑚4
2
= 2,2596847. 10−7𝑚4 
 
𝐽
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑎𝑑𝑚
 
𝑇 =
𝜏𝑎𝑑𝑚. 𝐽
𝑐
 
𝑇 =
50. 106. 2,2596847. 10−7𝑚4
0,021
=
11,298423
0,021
= 538,02018𝑁𝑚 
 
𝑃 = 2. 𝜋. 𝑓. 𝑇 
𝑓 =
𝑃
2. 𝜋. 𝑇
 
𝑓 =
90.000
2. 𝜋. 538,02018
= 26,623434𝐻𝑧 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
76 
 
Referências 
 
ASKELAND, Donald. R.; PHULÉ, Pradeep P. Ciência e Engenharia dos Materiais. 2.ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
ASSAN, Aloisio Ernesto. Resistência dos materiais. v.1. São Paulo: UNICAMP, 2010. 
BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON JR. Russell. Resistência dos materiais. 3.ed. São 
Paulo: Pearson Makron Books, 2010. 
BOTELHO, Manoel Henrique Campos. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 
2.ed. Edgard Blucher, 2015. 
CALLISTER JR, William D.; RETHWISCH, David G. Ciência e Engenharia de Materiais: 
uma introdução. 8.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7.ed. Rio de Janeiro: Pearson Education, 
2014. 
MELCONIAN, Sarki. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19.ed. São Paulo: 
Érica, 2012. 
UGURAL, Ansel C. Mecânica dos Materiais. Rio de Janeiro: LTC, 2015. (Versão física e 
eletrônica). Disponível em: <https://mega.nz/file/8RMnxR5L#6-
vUbU3zM9miLjRR4Mn88qITzJNSQddINJBYyKSBscw>.