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Direitos Reservados: 
Virtus Consultoria e Serviços Ltda. 
Autor: 
T. Hojo & Paulo Maezono 
Total de Páginas 
58 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS 
 
 
 
 
 
 
Edição 3 - 2012 
 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Introdução e índice 2 de 58
 
SOBRE OS AUTORES 
 
 
 
Eng. Paulo Koiti Maezono 
Formação 
Graduado em engenharia elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo em 1969. 
Mestre em Engenharia em 1978, pela Escola Federal de Engenharia de Itajubá, com os créditos 
obtidos em 1974 através do Power Technology Course do P.T.I – em Schenectady, USA. Estágio 
em Sistemas Digitais de Supervisão, Controle e Proteção em 1997, na Toshiba Co. e EPDC – 
Electric Power Development Co. de Tokyo – Japão. 
Engenharia Elétrica 
Foi empregado da CESP – Companhia Energética de São Paulo no período de 1970 a 1997, com 
atividades de operação e manutenção nas áreas de Proteção de Sistemas Elétricos, Supervisão e 
Automação de Subestações, Supervisão e Controle de Centros de Operação e Medição de 
Controle e Faturamento. Participou de atividades de grupos de trabalho do ex GCOI, na área de 
proteção, com ênfase em análise de perturbações e metodologias estatísticas de avaliação de 
desempenho. 
Atualmente é consultor e sócio da Virtus Consultoria e Serviços Ltda. em São Paulo – SP. A Virtus 
tem como clientes empresas concessionárias de serviços de energia elétrica, empresas projetistas 
na área de Transmissão de Energia, fabricantes e fornecedores de sistemas de proteção, controle 
e supervisão. Já colaborou com o Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas 
da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo e Instituto Presbiteriano Mackenzie. 
Área Acadêmica 
Foi professor na Escola de Engenharia e na Faculdade de Tecnologia da Universidade 
Presbiteriana Mackenzie no período de 1972 a 1987. É colaborador na área de educação 
continuada da mesma universidade, de 1972 até 2009. 
Foi colaborador do Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da EPUSP – 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, desde 1999 até 2009, com participação no 
atendimento a projetos especiais da Aneel, Eletrobrás e Concessionárias. 
 
Eng. Toshiaki Hojo 
Graduado em engenharia elétrica pela Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de 
São Paulo em 1975, com curso de especialização em Sistemas Elétricos de Potência (“Power 
System Engineering Course”) pela General Electric Co. – USA em 1982. 
Foi empregado da CESP – Companhia Energética de São Paulo no período de 1976 a 1998 e da 
CTEEP – Transmissão Paulista de 1998 a 2001. 
Foi engenheiro consultor e associado da Virtus Consultoria e Serviços Ltda. em São Paulo – SP 
de 2001 a 2008. Está na TBE desde 2008. 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Introdução e índice 3 de 58
 
INDICE 
 
1.  INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 5 
1.1  SINAIS PARA REPRESENTAÇÃO DE CORRENTES / TENSÕES NOMINAIS E RELAÇÕES 
NOMINAIS .................................................................................................................................................................... 5 
1.1.1  Exemplos para TC´s ...................................................................................................................................... 5 
1.1.2  Exemplos para TP´s: ..................................................................................................................................... 6 
1.2  ESCOLHA DOS TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS ............................................................ 7 
1.3  NORMAS TÉCNICAS ...................................................................................................................................... 8 
1.3.1  ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) ..................................................................................... 8 
1.3.2  IEC (International Electro technical Commission) ....................................................................................... 8 
1.3.3  ANSI (American National Standards Institute) ............................................................................................. 8 
1.3.4  VDE (Verband Deutscher Elektrotechniker) ................................................................................................ 8 
2.  TRANSFORMADORES DE CORRENTE ............................................................................................................ 9 
2.1  INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................. 9 
2.2  REPRESENTAÇÃO GRÁFICA E POLARIDADE DE UM TC ....................................................................... 9 
2.3  RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO DO TC ............................................................................................... 10 
2.4  CIRCUITO EQUIVALENTE DO TC ............................................................................................................. 11 
2.5  CARACTERIZAÇÃO DE UM TRANSFORMADOR DE CORRENTE ....................................................... 12 
2.5.1  Carga Nominal. ........................................................................................................................................... 12 
2.5.2  Classe de Exatidão Nominal. ...................................................................................................................... 13 
2.5.3  Fator de Sobrecorrente do TC. ................................................................................................................... 13 
2.5.4  Fator Térmico Nominal. .............................................................................................................................. 14 
2.5.5  Corrente Térmica Nominal. ........................................................................................................................ 14 
2.5.6  Corrente Dinâmica Nominal. ...................................................................................................................... 15 
2.6  TRANSFORMADORES DE CORRENTE PARA SERVIÇO DE MEDIÇÃO. ............................................. 15 
2.7  TRANSFORMADOR DE CORRENTE PARA SERVIÇO DE PROTEÇÃO. ................................................ 16 
2.7.1  Classe A ....................................................................................................................................................... 16 
2.7.2  Classe B ....................................................................................................................................................... 17 
2.7.3  Classe de Exatidão segundo ANSI .............................................................................................................. 18 
2.7.4  Classe de Exatidão segundo ABNT ............................................................................................................. 20 
2.7.5  Classe de Exatidão Equivalente em ANSI e ABNT ..................................................................................... 22 
2.8  EXEMPLOS DE BURDEN ............................................................................................................................. 23 
2.9  TABELA COMPARATIVA DE CARGA (“BURDEN”) SEGUNDO NORMAS .......................................... 25 
2.10  TABELA COMPARATIVA DE CLASSE EXATIDÃO SEGUNDO ANSI E IEC PARA PROTEÇÃO ....... 25 
2.11  DEFINIÇÃO DE JOELHO (KNEE POINT) DA CURVA DE MAGNETIZAÇÃO DO NÚCLEO DO TC ... 26 
2.12  BURDEN NOMINAL ..................................................................................................................................... 26 
3.  REQUISITOS DE TC’S PARA PROTEÇÃO CONSIDERADOS POR NORMA OU ALGUNS 
FABRICANTES DE RELÉS .........................................................................................................................................em uma tensão mais alta, 
reduzindo assim a corrente I. 
Dessa maneira, a tensão V1 torna-se uma tensão intermediária, a qual, com a ajuda do 
transformador, é reduzida a uma tensão secundária final. 
Conhecendo-se o valor das capacitâncias do divisor de tensão, podemos determinar a tensão 
intermediária V1 e a relação de transformação. 
A indutância necessária para a compensação do divisor de tensão capacitivo é normalmente 
incluída no transformador intermediário, consistindo das indutâncias normais de dispersão 
dos enrolamentos do transformador e de uma indutância adicional em série. 
O circuito completo para um divisor capacitivo de potencial é mostrado na figura seguinte, 
onde o transformador intermediário é representado de maneira convencional, sendo R1 a 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 51 de 58
 
resistência primária, L1 a indutância série, R2 e L2 a resistência e a indutância secundárias 
referidas ao lado primário e Zm a impedância de magnetização resultante da resistência Rm 
em paralelo com a indutância Lm. A indutância série total L1 + L2 inclui as indutâncias normais 
de dispersão mais a indutância adicional necessária para obter a compensação desejada da 
capacitância equivalente Ce = Ca + Cb do divisor de tensão capacitivo. A impedância Z 
representa a carga nos terminais secundários. 
V
Cb
R1
Ca
 Im
 I
ZV2
Z1
R2
Rm
L1 L2
Lm
Z2
Zm
 
Figura 6-10 - Divisor Capacitivo de Potencial - Circuito Completo 
6.4.1 Divisor Capacitivo de Potencial em Vazio. 
Na figura seguinte, é mostrado o diagrama equivalente do DCP com o enrolamento 
secundário aberto. É interessante observar que a única diferença entre um DCP e um TP 
comum é a capacitância em série com o enrolamento primário. 
A tensão em vazio Vvazio é obtida pela seguinte equação: 
Vvazio = V1 - Ze.Im - Z1.Im 
Vvazio = 
ZZZ
Z
e1m
m

.V1 
V1
Ce R1
Ze
 Im
Vvazio
Z1
R2
Rm
L1 L2
Lm
Z2
Zm
TP Comum 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 52 de 58
 
Figura 6-11 - Divisor Capacitivo de Potencial em Vazio 
A equação acima expressa como a tensão secundária a vazio desvia da tensão ideal V1. 
Assim, é possível se determinar o erro de relação 0 e o erro de ângulo de fase 0 do DCP 
a vazio: 
0 + j 0 = 
V
VV
1
1vazio  = - 
ZZZ
ZZ
e1m
e1


 
As condições a vazio são graficamente mostradas na figura seguinte. O erro de relação 0 
pode ser corrigido através da relação de espiras do transformador. Para assegurar que o 
erro de ângulo de fase 0 seja conservado, em limites razoáveis é essencial que a maior 
parte da indutância de compensação esteja no circuito primário ao transformador. 
 0 + j 0
Im
 
 
R1 Im
V1
V1
V1
= 1
Vvazio = V1 - Ze.Im - Z1.Im 0 + j 0 =
Vvazio - V1
 V1
Vvazio
= 1 + 0 + j 0
V1
 L1 Im
V1
 Ce V1
Im
 
Figura 6-12 - Diagrama Fasorial do DCP em Vazio 
6.4.2 Divisor Capacitivo de Potencial em Carga 
Consideremos o DCP mostrado na figura a seguir, com uma carga de impedância Z, que 
consome uma corrente I e a potência aparente S. 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 53 de 58
 
V
Cb
R1
Ca
 Im
 I
ZV2
Z1
R2
Rm
L1 L2
Lm
Z2
Zm
 
Figura 6-13 - Divisor Capacitivo de Potencial em Carga 
A relação entre a tensão primária V e a tensão secundária V2 é dada pela equação: 
V2 = 
ZZZ
Z
e1m
m

 . 
CC
C
ba
b

 . V - Z2 + 
 
ZZZ
ZZ.Z
e1m
e1m

 . I 
Foi visto também que: 
V1 = 
CC
C
ba
b

 . V 
Vvazio = 
ZZZ
Z
e1m
m

.V1 
e a expressão entre colchetes da equação de V2: 
Z2 + 
 
ZZZ
ZZ.Z
e1m
e1m

  
representa a impedância interna entre os pontos em que temos Vvazio, na figura 4.4.2 do 
Divisor Capacitivo de Potencial a vazio, se o lado de entrada é imaginado curto circuitado. 
Assim, a equação de V2 acima corresponde ao circuito equivalente da figura seguinte, onde 
é possível observar como os elementos componentes influenciam nas propriedades de 
medição do DCP. 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 54 de 58
 
Ze Z1
Zm
Z2
ZVvazio V2
I
 
Figura 6-14 - Circuito Equivalente 
Para maior facilidade no estudo de dependência de carga, podemos desprezar a 
impedância de magnetização Zm, pois a mesma é na prática, da ordem de 50 a 500 vezes 
a impedância (Ze + Z1). 
Isto conduz ao circuito mostrado na figura seguinte que é um circuito simplificado, através 
do qual se analisarão algumas propriedades características dos divisores capacitivos de 
potencial. 
Vvazio
Ce
 I
ZV2
RL
Z1 + Z2Ze
 
Figura 6-15 - Circuito Simplificado 
A queda de tensão (Ze + Z1 + Z2) I expressa a variação da tensão secundária com a carga. 
Quando o circuito é exatamente sintonizado para a frequência angular n, as quedas de 
tensões reativas 
C
I
n e
e n LI cancelam-se, sendo os erros em carga 1 e 1 na figura que 
mostra o erro de relação e o erro de ângulo de fase, determinados unicamente pela queda 
R.I. 
Os erros resultantes  e são obtidos pela soma dos erros a vazio e com carga conforme 
figura a seguir, considerando a carga indutiva com ângulo de fase . 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 55 de 58
 
 0 + j 0
I
 
 
V1
V1
= 1
Vvazio
V1
1 + j 1
  + j 
R I
V1

V2
= 1 +  + j 
V1
 L I
V1
 Ce V1
I
 
Figura 6-16 - Erro de Relação e Ângulo de Fase 
No transformador de potencial há sempre uma queda de tensão reativa devido a indutância 
de dispersão nos enrolamentos. Essa queda de tensão pode ser evitada nos DCP´s por 
adequada sintonização. 
Uma variação de freqüência provoca alteração no erro de relação e ângulo de fase do 
DCP, assim como uma modificação na carga Z também provoca alteração no erro de 
relação e ângulo de fase. 
6.5 Exemplos de DCP 
1
2
3
1 - Divisor de Tensão Capacitivo
2 - Transformador de Potencial Intermediário
3 - Conexão para Carrier
 
Figura 6-17 - DCP ASEA 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 56 de 58
 
F
ilt
ro
C
a
rr
ie
r
S
2
S
1
L2
L4
T
1
1
15
 V
66
,4
 V
0 066
,4
 V
1
15
 V
20
 V
20
 V
20
 V
80
 V
80
 V
80
 V
13
0N
N N N 4N 4N
50
50
 V
C
2
C
1A
C
1B
C
1C
 
Figura 6-18 - DCP GE 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 57 de 58
 
Tr
H1
H2 E
G
F
L
S
K
P
x1
x2
x3
y1
y2
y3
H2HF
Rd
Rd
C2
C1a
C1b
 
Figura 6-19 - DCP HAEFELY 
7. FERRORESSONÂNCIA 
Em TP´s ligados entre fase e neutro em sistemas isolados pode ocorrer em certas condições, 
um fenômeno de oscilação ressonante entre a capacitância da rede e a indutância dos TP´s. 
É a chamada ferroressonância. 
Apesar de no Brasil não ser comum sistemas com neutro isolado, o fenômeno da 
ferroressonância deve ser pesquisado e evitado pois pode provocar sobretensões muito 
elevadas ou até mesmo a destruição térmica do TP. 
O fenômeno da ferroressonância pode ocorrer em circuitos contendo um capacitor e um 
reator incorporado num núcleo de ferro (indutância não linear). 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 58 de 58
 
Tanto o TP capacitivo como o indutivo pode ser envolvidos no fenômeno da ferroressonância. 
TP Indutivo 
A ferroressonância num TP indutivo é uma oscilação entre a indutância do TP e a 
capacitância da rede. A ferroressonância pode acontecer somente em redes isoladas, porém, 
mesmo em redes aterradas, há a possibilidade de algum trecho ficar isolado em certas 
circunstâncias. 
Uma oscilação é normalmente iniciada pela súbita mudança na tensão da rede. O fenômeno 
da ferroressonância pode ocorrer tanto nas freqüências harmônicas como subharmônicas. 
Geralmente é difícil se determinar quando há risco de ocorrência de ferroressonância porém, 
tão logo se verifique um “não aterramento” do TP devido a alguma circunstância, deverão ser 
tomadas medidas preventivas. (considerar inclusivea condição de conexão de TP´s em 
sistemas capacitivos). 
A eliminação da ferroressonância é feita normalmente com a conexão de um resistor de 27 a 
60 ohms, 200 W, no enrolamento do delta aberto. O valor do resistor deve permitir circulação 
de uma corrente tão alta quanto possível, mas abaixo do valor do coeficiente térmico do TP. 
TP Capacitivo 
O TP capacitivo, com o seu capacitor e o transformador indutivo de acoplamento por si só já é 
um circuito ferro ressonante. O fenômeno é iniciado pela variação súbita da tensão. 
Uma oscilação subharmônica pode ser iniciada e é preciso que seja eliminada para evitar 
danos no TP. 
A norma IEC especifica que os TP´s capacitivos devem ter dispositivos anti ferro-ressonância. 
Normalmente são constituídos de um reator saturável e um resistor em cada fase. 
8. BIBLIOGRAFIA 
 “Current Transformers for Differential Relaying – Requeriments and Dimensioning” – 
Gerhard Ziegler – Belo Horizonte, November 2005. 
 “Critérios para a Escolha de Transformadores para Instrumentos” - Eng. Ricardo Rocha 
Lage. 
 “Uma Interpretação da Norma de Transformadores para Instrumentos” - Johann Meier 
 “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência - Volume I” - Geraldo Kindermann 
 “Transformadores para Instrumentos” - Eng. Carlos A. Biella e Décio J. Perez 
 “Instrument Transformers for Relaying” - W. A. Elmore 
 “Protection Application Handbook” - ABB 
 “Manuais dos Relés 7SA6, 7UT6” - Siemens 
 “Manuais de TC´s e TP´s” - Arteche 
.....
Janela de Dados Móvel
 
4 
Edição MODIFICAÇÃO DATA POR DATA APROV. 
 
PROJETO 
CURSO DE PROTEÇÃO 
DETALHE 
Noções de Proteção Digital 
Direitos Reservados: 
Virtus Consultoria e Serviços Ltda. 
Autor: 
Paulo Koiti Maezono 
Instrutores: 
Paulo Koiti Maezono 
 
Total de Páginas 
130 
 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO 
 
 
 
 
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL 
 
Edição 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Índice 2 de 130
 
 
SOBRE O AUTOR 
 
 
 
 
Eng. Paulo Koiti Maezono 
 
 
Formação 
 
Graduado em engenharia elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo em 1969. 
Mestre em Engenharia em 1978, pela Escola Federal de Engenharia de Itajubá, com os créditos 
obtidos em 1974 através do Power Technology Course do P.T.I – em Schenectady, USA. Estágio 
em Sistemas Digitais de Supervisão, Controle e Proteção em 1997, na Toshiba Co. e EPDC – 
Electric Power Development Co. de Tokyo – Japão. 
 
 
Engenharia Elétrica 
 
Foi empregado da CESP – Companhia Energética de São Paulo no período de 1970 a 1997, com 
atividades de operação e manutenção nas áreas de Proteção de Sistemas Elétricos, Supervisão e 
Automação de Subestações, Supervisão e Controle de Centros de Operação e Medição de 
Controle e Faturamento. Participou de atividades de grupos de trabalho do ex GCOI, na área de 
proteção, com ênfase em análise de perturbações e metodologias estatísticas de avaliação de 
desempenho. 
 
Atualmente é consultor e sócio da Virtus Consultoria e Serviços S/C Ltda. em São Paulo – SP. A 
Virtus tem como clientes empresas concessionárias no Brasil e na América do Sul, empresas 
projetistas na área de Transmissão de Energia, fabricantes e fornecedores de sistemas de 
proteção, controle e supervisão. 
 
 
Área Acadêmica 
 
Foi professor na Escola de Engenharia e na Faculdade de Tecnologia da Universidade 
Presbiteriana Mackenzie no período de 1972 a 1987. É colaborador na área de educação 
continuada da mesma universidade, de 1972 até 2009. 
 
Foi colaborador do Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da EPUSP – 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, desde 1999 até 2009, com participação no 
atendimento a projetos especiais da Aneel, Eletrobrás e Concessionárias de Serviços de 
Eletricidade. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Índice 3 de 130
 
 
ÍNDICE 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 5 
2. SITUAÇÃO NO BRASIL ........................................................................................................................................ 6 
3. COMPARAÇÃO DE TECNOLOGIAS ................................................................................................................. 9 
3.1 TECNOLOGIAS EMPREGADAS EM SISTEMAS DE PROTEÇÃO ............................................................. 9 
3.2 TECNOLOGIA ELETROMECÂNICA ............................................................................................................ 9 
3.3 TECNOLOGIA MISTA .................................................................................................................................. 11 
3.4 TECNOLOGIA ESTÁTICA ........................................................................................................................... 12 
3.5 TECNOLOGIA DIGITAL .............................................................................................................................. 14 
4. CONFIGURAÇÃO BÁSICA E PRINCÍPIOS DE FUNCIONAMENTO......................................................... 17 
4.1 BLOCOS FUNCIONAIS ................................................................................................................................ 17 
4.2 BLOCO DE CONVERSÃO DE SINAIS ANALÓGICOS EM DADOS DIGITAIS ....................................... 20 
4.2.1 Filtro Anti-Aliasing ..................................................................................................................................... 21 
4.2.2 Circuito Sample & Hold (S/H) .................................................................................................................... 28 
4.2.3 Multiplexador .............................................................................................................................................. 30 
4.2.4 Unidade Conversora A/D ............................................................................................................................ 31 
4.3 BLOCO DE PROCESSAMENTO ARITMÉTICO ......................................................................................... 38 
5. NOÇÕES BÁSICAS DE FILTRAGEM DIGITAL E ALGORITMOS ........................................................... 40 
5.1 IDÉIA DA FILTRAGEM DIGITAL ............................................................................................................... 40 
5.2 IDÉIA DE ALGORITMOS COM BASE EM SENÓIDES .............................................................................. 43 
5.2.1 Cálculo de Defasamento ............................................................................................................................. 43 
5.2.2 Cálculo da Amplitude .................................................................................................................................. 44 
5.2.3 Cálculo da Diferença de Ângulo de Fase ................................................................................................... 48 
5.2.4 Alguns Algoritmos para Características de Impedâncias ........................................................................... 50 
6. PROCESSOS DE FILTRAGEM E ALGORITMOS .......................................................................................... 52 
6.1 CONCEITOS BÁSICOS ................................................................................................................................. 52 
6.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ................................................................................................... 52 
6.3 ALGORITMOS DE FOURIER E DERIVADOS ............................................................................................ 54 
6.4 FILTRO DE WALSH ...................................................................................................................................... 62 
6.5 FILTRO KALMAN .........................................................................................................................................63 
6.6 TEMPO DE RESPOSTA NUM FILTRO DIGITAL ....................................................................................... 63 
6.7 FILTRAGEM DE COMPONENTE DC .......................................................................................................... 64 
6.8 TEMPO DE OPERAÇÃO DA PROTEÇÃO E A TAXA DE AMOSTRAGEM ............................................. 66 
6.9 ALGORITMOS NÃO FASORIAIS ................................................................................................................ 67 
6.9.1 Equações Diferenciais no Domínio do Tempo ............................................................................................ 67 
6.9.2 Ondas Trafegantes ...................................................................................................................................... 69 
7. EXEMPLO DE UM RELÉ DIGITAL COMERCIAL E SEUS RECURSOS .................................................. 70 
7.1 CONVERSÃO A/D ......................................................................................................................................... 70 
7.2 FILTROS DIGITAIS ....................................................................................................................................... 71 
7.3 FILTRAGEM ADAPTATIVA ........................................................................................................................ 72 
8. IMPACTOS DA TECNOLOGIA DIGITAL EM PROJETOS, INSTALAÇÕES E NA OPERAÇÃO. ........ 73 
8.1 INSTALAÇÕES E PROJETOS ....................................................................................................................... 73 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Índice 4 de 130
 
 
8.1.1 Substituição de Equipamentos “Stand Alone” por Funções Digitais ......................................................... 73 
8.1.2 Sistemas de Comando e Controle por Lógicas Embutidas em Relés ou Outros Dispositivos Eletrônicos 
Inteligentes ............................................................................................................................................................... 74 
8.1.3 Disponibilidade de Novas Funções de Proteção ......................................................................................... 74 
8.1.4 Constatações ............................................................................................................................................... 75 
8.2 OPERAÇÃO .................................................................................................................................................... 76 
8.2.1 Integração com a Supervisão ...................................................................................................................... 77 
8.2.2 Acesso Remoto ............................................................................................................................................ 77 
8.2.3 Constatação ................................................................................................................................................ 78 
9. CONFIABILIDADE E MANUTENÇÃO DA PROTEÇÃO DIGITAL ............................................................ 79 
9.1 SISTEMAS DE AUTO VERIFICAÇÃO, MONITORAMENTO CONTÍNUO E AUTO-TESTE ................. 79 
9.2 CONFIABILIDADE OPERACIONAL DE RELÉS DIGITAIS ...................................................................... 83 
9.3 MANUTENÇÃO DE RELÉS DIGITAIS ........................................................................................................ 89 
9.4 EXEMPLO DE PERIODICIDADE DE INTERVENÇÃO NA PROTEÇÃO ................................................. 90 
10. BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................................ 93 
11. ANEXO – BASE MATEMÁTICA ................................................................................................................... 94 
11.1 FUNÇÕES PERIÓDICAS ............................................................................................................................... 94 
11.2 FUNÇÕES ORTOGONAIS ............................................................................................................................ 94 
11.3 ANÁLISE DE FOURIER ................................................................................................................................ 95 
11.3.1 Série de Fourier e Coeficientes ............................................................................................................... 95 
11.3.2 Simetria Ímpar ........................................................................................................................................ 97 
11.3.3 Simetria Par ............................................................................................................................................ 98 
11.3.4 Simetria de Meia Onda ........................................................................................................................... 99 
11.3.5 Espectro de Harmônicas ....................................................................................................................... 100 
11.3.6 Construindo Série de Fourier de Gráficos e Tabelas ........................................................................... 100 
11.3.7 Forma Complexa (Exponencial) da Série de Fourier ........................................................................... 101 
11.3.8 Transformada de Fourier ..................................................................................................................... 102 
11.3.9 Propriedades da Transformada de Fourier .......................................................................................... 105 
11.3.10 Forma de Onda Amostrada – Transformada Discreta de Fourier ....................................................... 109 
11.3.11 Transformada Rápida de Fourier ......................................................................................................... 112 
11.4 FUNÇÃO DE WALSH .................................................................................................................................. 113 
11.5 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E PROCESSOS RANDÔMICOS ................................................... 116 
11.5.1 Introdução à Estatística [15] ................................................................................................................ 116 
11.5.2 Funções de Probabilidade e Distribuições de Freqüência [15] ........................................................... 118 
11.5.3 Densidade da Probabilidade ................................................................................................................ 124 
11.5.4 Processos Randômicos e Método dos Mínimos Quadrados [9] ........................................................... 125 
 
 
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Introdução 5 de 130
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Desde os anos 60 tem-se pensado no uso de computadores digitais na proteção de sistemas 
elétricos de potência. As primeiras funções pensadas para serem executadas através de 
computadores foram aquelas efetuadas através dos centros de operação como, por exemplo, 
rejeição de carga e de detecção de oscilação de potência [1]. Na época, toda a pesquisa 
relativa a proteção através de computadores estava baseada em minicomputadores. A 
pesquisa relativa a algoritmos de proteção, que já vinha sendo estudada desde os anos 50 
pelos primeiros visionários, começou a ter avanço significativo nos anos 70. Salienta-se que 
nos EUA, o comitê de relés para Sistemas de Potência do IEEE, estabeleceu o “Computer 
Relaying Subcommittee” no ano de 1971 que trabalhou no período 1971-1978 [1]. 
 
No fim dos anos 70, com o relativo avanço dos microprocessadores, já era dominante a idéia 
de se utilizar sistemas específicos apenas para proteção. 
 
Com o desenvolvimentode microprocessadores de alguma capacidade de processamento e 
com o barateamento dos mesmos, a área de proteção digital teve avanço significativo no 
começo dos anos 80, sendo que os primeiros produtos comerciais foram lançados nos 
meados daquela década. 
 
1970 1980 1990 2000
Viabilidade P&D 1a. Geração 2a. Geração 3a. Geração 4a. Geração
Tipo Bipolar “Bit Slice” Tipo MOS Tipo RISC
Microondas tipo FDM Microondas tipo TDM
Fibra Óptica TDM
Ref. Toshiba Co. - Japão
 
 
Figura 1.1 – Evolução Histórica segundo Toshiba Co. 
 
Hoje, com o avanço significativo da tecnologia de hardware incluindo processadores 
confiáveis e rápidos, conversores A/D e memórias e a consolidação de muitos algoritmos já 
aplicados e melhorados com a experiência, a proteção numérica de tecnologia digital 
microprocessada é o caminho natural para a área elétrica devido aos aspectos como 
economia, performance, confiabilidade, flexibilidade e principalmente devido à integração com 
sistemas de controle e supervisão que permitem a total automação das subestações e 
centrais de geração de energia elétrica em qualquer nível de tensão e de aplicação. 
 
 
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Introdução 6 de 130
 
 
2. SITUAÇÃO NO BRASIL 
Novas Instalações Elétricas 
 
Sistemas de proteção com relés numéricos de tecnologia digital microprocessada já possuem 
blindagem e proteção adequadas para surtos, bom como condição para operar em altas 
temperaturas ambientais. Podem, devem e estão sendo aplicados em sistemas industriais, 
comerciais e em sistemas elétricos de potência (geração, transmissão e distribuição). 
 
Sua principal contribuição funcional é a capacidade de integração com sistemas locais de 
controle e supervisão, bem como a possibilidade de completo acesso remoto, permitindo 
instalações não atendidas diretamente pelo ser humano. Os ajustes. Parametrizações e a 
aquisição de dados podem ser feitos remotamente, inclusive o diagnóstico de falhas internas 
a esses dispositivos eletrônicos inteligentes (acronismo “IED” em inglês). 
 
Sua principal contribuição tecnológica sob o ponto de vista de confiabilidade operacional da 
proteção digital é a possibilidade de autodiagnose das falhas e defeitos internos ao relé, 
através de processos de monitoramento e verificação automáticos, bem como, em algumas 
proteções, de funções de auto teste. 
 
Instalações Existentes 
 
Ainda no Brasil a maior parte da proteção e controle é realizada através de dispositivos de 
tecnologia eletromecânica e/ou eletrônica estática. Na área de geração e transmissão de 
energia elétrica, menos de 5% (cinco porcento) das instalações possuem proteções 
numéricas de tecnologia digital (segundo dados do ONS – Operador Nacional do Sistema 
Elétrico em 2001). 
 
As empresas concessionárias de serviços de energia elétrica (principalmente as grandes 
empresas) estão atualmente na fase de substituir sistemas de proteção antigos por aqueles 
digitais, dando prioridade à substituição de relés de tecnologia estática que estão no fim da 
sua vida útil (20 anos no máximo). 
 
Especialistas em Proteção e Procedimentos 
 
É desejável que um profissional da área de Proteção tenha sua formação baseada em 
conceitos de proteção de equipamentos, instalações e sistemas, independentemente da 
tecnologia do dispositivo empregado para a proteção. Entretanto, alguns conceitos ou 
posturas devem ser revistos principalmente nas áreas de: 
 
 Manutenção da Proteção, quando se envolve dispositivo digital. 
 
O advento de sistemas de auto verificação, de monitoramento contínuo e eventualmente 
de auto teste nos modernos dispositivos eletrônicos inteligentes (“IED’s”) fazem com que 
grande parte da intervenção periódica preventiva para esses dispositivos torne-se 
desnecessária. 
 
 
 
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Introdução 7 de 130
 
 
Por outro lado, as instalações externas a esses dispositivos como circuitos de comando e 
alimentação auxiliar continuam exigindo ensaios funcionais periódicos para garantia da 
confiabilidade. 
 
A manutenção corretiva também muda de figura. Não se faz mais reparos de cartelas 
eletrônicas em laboratório próprio ou contratado. Simplesmente se faz a reposição de 
partes da proteção ou mesmo do relé em si, com o apoio do fabricante. Ter relé de 
reserva para troca imediata e tempo suficiente para posterior reposição é uma boa política 
de manutenção. 
 
 Operação. 
 
Os ajustes e reajustes das proteções podem ser feitos remotamente, não se exigindo a 
presença física na subestação do técnico em proteção. Geralmente, excetuando os casos 
mais complexos, apenas no comissionamento essa presença seria necessária. 
 
Procedimentos de operação podem ser revistos, uma vez que na maior parte dos casos 
um ajuste ou reajuste da proteção não requer desligamento do terminal ou do 
equipamento de potência para a execução da atividade. Isso vem de encontro com as 
novas políticas do Setor Elétrico onde um desligamento (interrupção) pode significar ônus 
financeiro extra para a Empresa 
 
 Pós Operação. 
 
Ainda se depende da recepção de dados de sinalizações dos relés e alarmes nas 
subestações, além da coleta ou encaminhamento de oscilogramas (papel), para aqueles 
registradores de perturbações de tecnologia eletromecânica e de tecnologia estática 
(ainda aplicados no sistema), para posterior análise de desempenho de relés 
eletromecânicos e estáticos. 
 
Com o advento de registradores de perturbações e relés de proteção digitais, os dados de 
eventos e oscilografia passaram a ser adquiridos remotamente através de meios de 
comunicação, reduzindo drasticamente o tempo e a quantidade de H x horas envolvidas. 
 
Para concessionárias de serviços de energia elétrica, mesmo considerando que menos de 
5% das instalações têm tecnologia digital, essa facilidade é significativa uma vez que as 
novas instalações (expansões) e as trocas iniciadas nos sistemas de EAT requerem cada 
vez mais essa facilidade. Este aspecto torna-se cada vez mais importante devido à 
redução da quantidade de técnicos especializados em análise e proteção, como se tem 
observado no país. 
 
 Projetos Integrados de sistemas de proteção, controle e supervisão. 
 
Lógicas de controle e comando que eram feitas através de relés e dispositivos 
eletromecânicos podem agora ser feitos digitalmente, seja através de recursos embutidos 
nos relés digitais de proteção ou através de módulos de controle digitais integrados a 
sistemas de supervisão. A quantidade de cabos de controle e de cablagem de painéis 
pode ser diminuída significativamente. 
 
 
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Introdução 8 de 130
 
 
 
Os profissionais da área têm a necessidade de se atualizarem quanto a esses recursos, 
principalmente em prol da economia e da simplicidade dos projetos de controle e 
supervisão de instalações elétricas. 
 
O técnico especialista em proteção já não pode se ater exclusivamente a itens de 
proteção, mas deve adquirir e incorporar conhecimentos de controle e supervisão da 
instalação, uma vez que o relé digital tem parte significativa no todo. O mesmo deve 
participar da elaboração do projeto elétrico executivo da instalação. Os ajustes da 
proteção já incorporam aspectos de parametrização que dependem do projeto de controle 
e supervisão. 
 
 Especificação de sistemas. 
 
A especificação de um sistema de proteção já não pode ser feita de modo independente 
dos sistemas de controle e supervisão, devido à integração entre os mesmos em prol da 
sinergia que pode ser incorporada, resultando em economia e simplicidade. 
 
Assim, protocolos e dispositivos de comunicação entre os dispositivos eletrônicos de 
proteção, controle e supervisão devem ser escolhidos de tal modo que se garanta o 
máximo de integração com o mínimo de custo. 
 
Um grande problema é a compatibilidade entre sistemas de diferentes fornecimentos que 
na maior parte dos casos necessitam ser integrados para uma mesma instalação, quantoa redes e sistemas de comunicação para um sistema de supervisão ou base de dados 
únicos. Cuidados na especificação de sistemas e previsão de serviços de integração são 
sempre necessários. 
 
Há uma tendência lenta, mas contínua, no sentido de se ter entendimento entre 
fabricantes quanto a normas e protocolos comuns, de modo que se possa ter maior 
facilidade na integração de dispositivos de diferentes origens. 
 
 
 
 
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Comparação de Tecnologias 9 de 130
 
 
3. COMPARAÇÃO DE TECNOLOGIAS 
3.1 TECNOLOGIAS EMPREGADAS EM SISTEMAS DE PROTEÇÃO 
O histórico mundial na evolução da tecnologia empregada em relés de proteção pode ser 
observado na figura a seguir: 
 
1960 1970 1980 1990 2000
Eletromecânico Estático Digital
 
 
 
Figura 3.1 – Evolução Tecnológica de Relés de Proteção 
 
Evidentemente, nos países desenvolvidos, o emprego da proteção digital tem ocorrido num 
ritmo mais acentuado. 
 
E como pano de fundo, tem-se o aumento da complexidade do Sistema de Potência, os 
requisitos sociais e econômicos para a prestação dos serviços de energia elétrica e, o 
desenvolvimento, evolução e barateamento das tecnologias associadas à Proteção. 
 
Na área de evolução tecnológica, tem-se: 
 
Componentes 
 
Eletromecânico  Transistor  Microprocessador 
 
Telecomunicações 
 
Carrier  Frequency Divided Modulation Time Divided Modulation 
 
Analógico  Digital  Fibra Ótica 
 
3.2 TECNOLOGIA ELETROMECÂNICA 
Desde o advento de sistemas elétricos no fim do século passado e até os anos 80, a 
tecnologia eletromecânica era empregada em grande escala para os relés de proteção. 
 
 
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Comparação de Tecnologias 10 de 130
 
 
 
São dispositivos de medição de módulos e ângulos de grandezas elétricas senoidais e 
dispositivos de chaveamento, baseados em princípios do eletromagnetismo como: 
 
 Unidades de atração magnética 
 Unidades de indução magnética (disco e cilindro magnético) 
 Unidades D´Arsonval (bobina móvel) 
 Unidades térmicas 
 
A composição dessas unidades, através de circuitos elétricos adequados permite a 
formação dos chamados dispositivos eletromecânicos nas mais diversas funções, como: 
 
 Comparadores de amplitude 
 Comparadores de ângulo de fase 
 Unidades auxiliares 
 Unidades de temporização 
 Elementos térmicos 
 Etc. 
 
E a composição desses elementos permite a construção de Relés de Proteção, com funções 
e aplicações específicas. 
 
Vantagens 
 
Uma proteção eletromecânica apresenta as seguintes características que podem ser 
consideradas vantajosas: 
 
Durabilidade e Robustez. Com a devida manutenção, um relé eletromecânico pode 
apresentar tempo de vida útil superior de 40 anos. 
 
Tolerância a Altas Temperaturas de Operação. A temperatura ambiente de instalação da 
proteção ou a temperatura de operação não são fatores críticos para o bom funcionamento 
desses relés. 
 
Baixa sensibilidade a surtos eletromagnéticos. Há necessidade de uma energia de surto 
relativamente grande para danificar um relê eletromecânico. Os surtos normais que ocorrem 
em uma instalação elétrica, em geral, não afetam as proteções eletromecânicas. 
 
Confiabilidade. Em decorrência do desenvolvimento contínuo da tecnologia de construção 
desses relés, ao longo de dezenas de anos, têm-se como resultados dispositivos de alta 
confiabilidade, seja do ponto de vista de segurança contra operações desnecessárias como 
do ponto de vista de dependabilidade. 
 
Desvantagens 
 
Por outro lado, as seguintes características de um relé eletromecânico podem ser 
consideradas desvantagens: 
 
 
 
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Comparação de Tecnologias 11 de 130
 
 
Custo. Uma proteção eletromecânica tem um custo que pode ser considerado, hoje, elevado 
em função da tecnologia que envolve dispositivos de alta precisão, inclusive no aspecto 
mecânico, que demandam infra-estrutura e mão de obra especializada na sua fabricação. 
Ainda mais para funcionalidades mais complexas, a composição e o ajuste de elementos 
eletromecânicos apresenta custos elevados. 
 
Custo da Instalação e Cablagens. O uso de relés eletromecânicos não permite usufruir a 
maior parte dos recursos hoje existentes de comunicações (digitais, em fibras ópticas), 
demandando instalações onerosas e pesadas quanto a painéis e cablagens. 
 
Precisão. Quanto mais preciso um dispositivo eletromecânico, maior seu custo, em função 
dos necessários recursos de eletromagnetismo e de mecânica fina. E há limite para essa 
precisão em função da própria tecnologia. 
 
Manutenção especializada. A manutenção de relés e dispositivos eletromecânicos exige 
capacitação específica e muita experiência de campo e de laboratório. Conseqüentemente, 
pode ser considerada uma manutenção cara. A possibilidade de obsoletismo associada a 
falta de componentes de reposição é muito grande. Os fabricantes das proteções 
eletromecânicas já não possuem especialistas na manutenção desses relés 
eletromecânicos. 
 
Limitação de Funcionalidades. Funcionalidades requeridas para redução de custos de 
manutenção e garantia da confiabilidade não são, na maior parte dos dispositivos 
eletromecânicos, possíveis de serem implementados. E também quanto às funções de 
proteção desejadas, quanto mais elaborada a função, mais complexa a proteção 
eletromecânica. Quanto mais complexa uma proteção eletromecânica, menor a sua 
confiabilidade ou a sua velocidade. 
 
Considerando as vantagens e desvantagens citadas, ainda podem existir aplicações onde a 
proteção eletromecânica seria necessária, pelo menos até o presente. São aplicações em 
ambientes agressivos a componentes eletrônicos, estáticos ou microprocessados, onde o 
custo da preparação do ambiente para modernas tecnologias exigiria investimento 
desproporcional ao benefício esperado. 
 
3.3 TECNOLOGIA MISTA 
Pouco se utilizou a eletrônica convencional como aplicação maciça, na área de proteção por 
relés. Esta tecnologia foi utilizada, na maior parte dos casos e a partir dos anos 50, na 
composição de elementos específicos como as unidades lógicas e elementos direcionais de 
relés eletromecânicos (tecnologia mista). 
 
Através da utilização de diodos, tiristores, associação de resistores e capacitores, 
construíram-se dispositivos que propiciaram maior rapidez e precisão nos relés de proteção, 
menor carga ligada aos TC´s e TP´s, além de uma maior facilidade de manutenção pela 
eliminação de muitas partes móveis com tecnologia eletromecânica. 
 
 
 
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Comparação de Tecnologias 12 de 130
 
 
Na realidade, com exceção das proteções mais simples como as de sobrecorrente ou 
sobretensão, os atuais relés chamados eletromecânicos são, na realidade, proteções com 
tecnologia mista. 
 
3.4 TECNOLOGIA ESTÁTICA 
A partir da segunda metade dos anos 60 e com ênfase nos anos 70, iniciou-se a maciça 
utilização de tecnologia eletrônica com componentes semicondutores, inclusive com 
circuitos integrados, na chamada tecnologia estática para confecção de relés de proteção. 
 
Os dispositivos eletromecânicos, nessas proteções, se restringiram a partes muito 
específicas como os contatores de saída, onde o chaveamento de circuitos exigia algo mais 
robusto. E mesmo assim, não na totalidade dos casos. 
 
Todas as funções de proteção, das mais simples às composições mais complexas foram 
concebidas e fabricadas com a tecnologia estática, com maciça utilização de circuitos 
integrados, acopladores, conversores, fontes DC / DC e filtros. Várias gerações de relés 
estáticos, cada geração incorporando inovações, se sucederam desde o fim dos anos 60 até 
os anos 80. 
 
Os chamados relés analógicos são aqueles nos quais as quantidades AC medidas (dos Tp´s 
e Tc´s) são manipuladas na forma analógica e subseqüentemente convertidas em ondas 
quadradas de tensão (binário). Circuitos lógicos e amplificadores operacionais comparam 
amplitudes e ângulos de fasedas ondas quadradas ou sinais retificados, para tomar 
decisões. São típicos da tecnologia estática. 
 
 
TP's e TC's
Conversor
de Sinal
Chaveamentos e
amplificação de sinais
com transistores
 
 
Figura 3.2 – Tecnologia Estática para Relés de Proteção 
 
 
 
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Comparação de Tecnologias 13 de 130
 
 
Vantagens 
 
Entre as vantagens das proteções estáticas, podem ser citadas as seguintes: 
 
Menor Custo. Se comparadas com as eletromecânicas com as mesmas funções. 
 
Maior velocidade. Como conseqüência direta da tecnologia empregada, foi possível a 
fabricação de relés muito rápidos, que finalmente chegaram a atender as exigências de 
determinados sistemas e situações críticas. 
 
Baixo Consumo e Menor Carga. As dificuldades observadas no passado quanto ao 
consumo de energia das proteções eletromecânicas e quanto à carga imposta nos lados 
secundários dos transformadores de instrumentos (TP´s e TC´s) passaram a não mais 
existir para terminais com proteções de tecnologia estática. 
 
Facilidade de manutenção. A manutenção tornou-se mais simples e direta. Isto se refletiu 
diretamente nos custos de manutenção. A mantenabilidade foi incrementada com circuitos 
de autodiagnose naqueles relés de geração mais recente. 
 
Confiabilidade. A experiência no uso de relés estáticos ao longo de 15 a 25 anos, nos 
Sistemas Interligados Brasileiros, demonstrou que essas proteções eram tão confiáveis 
quanto as eletromecânicas, porém para uma vida útil bem menor (máximo 20 anos). 
 
Deve-se observar, entretanto, que todas essas vantagens, no caso da experiência brasileira, 
foram adquiridas gradualmente, ao longo dos anos. Principalmente quanto à confiabilidade 
dessas proteções, que depende direta e integralmente da sua correta manutenção. 
 
Cerca de 10 anos foram necessários para que as empresas concessionárias de energia 
elétrica dos Sistemas Interligados pudessem absorver e dominar, totalmente, a manutenção 
dessas proteções. Ao sair de uma tecnologia eletromecânica convencional, partindo para 
uma nova tecnologia estática no início dos anos 70, foram necessários anos de experiência 
e de capacitação e formação de mão de obra especializada para fazer frente aos desafios. 
 
Relés com tecnologia estática estão, hoje, aplicadas na proteção da maior parte das linhas 
de transmissão de Extra Alta Tensão do nosso País. Para linhas de Alta Tensão, ainda 
existe uma parte significativa de proteções eletromecânicas (tecnologia mista) instaladas. 
 
Desvantagens 
 
As seguintes desvantagens das proteções estáticas podem ser citadas: 
 
Maior sensibilidade a surtos. Componentes eletrônicos exigem menor energia de surto que 
os eletromecânicos para se danificarem. Instalações nas subestações e usinas tiveram que 
ser melhoradas quanto à proteção para surtos desses tipos de relés. 
 
Envelhecimento. Os relés estáticos possuem componentes que perdem suas características 
num prazo de 8 a 20 anos. Capacitores eletrolíticos têm que ser substituídos a cada 8 anos 
em média. Circuitos inteiros de medição podem perder sua característica em 20 anos, o que 
 
 
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Comparação de Tecnologias 14 de 130
 
 
pode demandar na necessidade de troca da proteção. Para os sistemas brasileiros, este é 
um aspecto muito sério. 
 
Limitação de Funcionalidades. Funcionalidades requeridas de proteção continuaram difíceis 
de serem implementadas nos relés estáticos. Basicamente, o uso de componentes e 
sistemas eletrônicos para a execução da função desejada, se complexa, torna-se dificultoso 
e caro. 
3.5 TECNOLOGIA DIGITAL 
Conseqüência do uso de recursos que tiveram avanço significativo nos anos 80 e 90, 
principalmente microprocessadores, memórias e conversores A/D. A conseqüência imediata 
do uso dessa moderna tecnologia é o barateamento do custo da proteção, com a redução 
de circuitos que exigiam engenharia complexa para a sua realização. 
 
Os chamados relés numéricos são, na essência, computadores (inclusive com 
processamento paralelo) que realizam as diversas funções de proteção. Isto é, passou-se a 
usar programas computacionais para realizar as funcionalidades desejadas, que antes eram 
feitos por sistemas eletromecânicos ou circuitos eletrônicos. 
 
São relés nos quais os valores AC medidos são seqüencialmente adquiridos por 
amostragem e convertidos na forma de dados numéricos através de multiplexadores e 
conversores analógicos / digitais. Microprocessadores executam operações aritméticas e/ou 
lógicas, com base em algoritmos que emulam funções de proteção (sobrecorrente, 
sobretensão, impedância, diferencial, etc.). 
 
TP's e
TC's Amostragem
(S/H)
Conversor
A/D
Processamento
Aritmético com
Microprocessador
Multiplex
tempo
0 1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1
 
 
Figura 3.3 – Tecnologia Digital para Relés de Proteção 
 
Vantagens 
 
Hoje são evidentes as seguintes vantagens proporcionadas pela proteção digital, 
relativamente aos relés de tecnologia eletromecânica ou estática: 
 
 
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Comparação de Tecnologias 15 de 130
 
 
 
Custo. Cada vez menor, inversamente proporcional ao mercado atendido. Sendo que a 
porção cada vez mais significativa deste custo relaciona-se ao algoritmo emulador da função 
de proteção. E o fato de se ter várias funcionalidades agregadas em um único dispositivo, o 
custo global de supervisão, controle e proteção se torna mais baixo. 
 
Funcionalidades agregadas. Uma proteção digital pode agregar um conjunto de outras 
funções que no passado eram feitas por dispositivos separados. Assim, é muito comum, 
hoje em dia, ter-se proteção de linha, transformador ou de alimentador com funções de 
MEDIÇÃO, LOCALIZAÇÃO DE DEFEITOS, OSCILOGRAFIA, REGISTRO DE EVENTOS, 
MONITORAMENTO DO DISJUNTOR E FALHA DE DISJUNTOR. Para linhas e 
alimentadores, também se tem agregada a função de RELIGAMENTO AUTOMÁTICO, 
inclusive com check de sincronismo onde necessário. 
 
Tamanho. Como as funcionalidades são realizadas por software e não por dispositivos 
eletromagnéticos ou eletrônicos e, também em função da agregação de outras funções 
numa mesma proteção, já não há necessidade de grandes painéis como aqueles bastante 
conhecidos nas subestações convencionais. Alguns “racks” substituem vários painéis de 
proteção, comando, controle e supervisão. 
 
Comunicação. A comunicação de dados em ambiente digital é uma tecnologia já 
suficientemente evoluída e diretamente aplicável na área de Proteção. Todas as tecnologias 
hoje disponíveis (sistemas digitais de comunicação, seja com rádios digitais ou com fibras 
ópticas, processadores de comunicação, rede de fibras, LAN, WAN, etc.) permitem uma 
integração da proteção com outras funções e permitem facilidades inimagináveis no 
passado. 
 
Integração com supervisão e controle, com acesso remoto. Em decorrência das 
funcionalidades agregadas e as facilidades de comunicação, principalmente com o uso de 
rede de fibras ópticas dentro de uma subestação, tem-se a integração da supervisão, 
comando, controle e proteção. Esta rede local pode se comunicar com uma rede ampla 
(WAN), outras redes ou diretamente com qualquer centro ou pessoa através de meios de 
comunicação. Esse meio pode ser: fibra óptica, rádio digital, rádio analógico, onda 
portadora, satélite, linha dedicada. Podem-se utilizar canais contratados ou até telefone ou 
celular automaticamente discado para ligação automática com computador remoto ou 
acionamento de “pagers”. 
 
Custo da instalação. Para uma nova subestação, observa-se que, com o uso de fibras 
ópticas, se reduz substancialmente os cabos de comando e controle de cobre. 
Principalmente se a ARQUITETURA contemplar processamento distribuído, com aquisição 
dedados e comandos junto aos processos. 
 
Interface Homem x Máquina. Como todo computador, a interação entre o humano e a 
proteção digital, juntamente com todas as informações agregadas (como a seqüência de 
eventos, oscilografia, localização de defeitos) e também com supervisão e controle, torna-
se rápida e amigável, com facilidades e flexibilidades para ajustes e ensaios impossíveis de 
serem pensados no passado. Isso pode ser feito local ou remotamente, para 
acompanhamento do desempenho, reajustes e outras intervenções. 
 
 
 
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Flexibilidade e sofisticação a baixo custo. Tudo o que pode ser feito por um computador 
digital pode ser feito por uma proteção numérica. Assim, funcionalidades de proteção antes 
impossíveis de serem realizadas a custo razoáveis são possíveis com relés numéricos. 
 
Facilidades para Auto-monitoramento e Auto-verificação. Um computador pode ser 
programado para monitorar continuamente vários subsistemas do seu “hardware” e 
“software” e introduzir lógicas e procedimentos para garantir a confiabilidade necessária e 
desejada para a proteção. Circuitos de autodiagnose implementados em computadores 
(relés numéricos) são muito mais flexíveis e poderosos que aqueles dedicados, 
desenvolvidos para relés estáticos dos anos 80. 
 
Confiabilidade. A confiabilidade dos relés digitais é conseqüência direta da contínua 
monitoração das próprias condições de funcionamento e também da implementação de 
circuitos tolerantes a falhas. Há uma redução de atuações não corretas, melhorando seu 
desempenho operacional. 
 
Cuidados 
 
Sensibilidade a Surtos. Tanto os relés com tecnologia estática como os relés digitais 
necessitam de proteção especial e blindagem para surtos e interferências eletromagnéticas, 
tanto nos circuitos que chegam e saem da proteção como para as interferências irradiadas. 
Surtos ou interferências de baixa energia já são suficientes para danificar os modernos 
circuitos digitais. Assim, cuidados especiais são tomados para separar a parte “suja” 
(Cablagens ligadas a TP’s, TC’s, comandos de disjuntores, alimentação CC) que estão 
sujeitos a surtos, da parte “limpa”. 
 
Sensibilidade a Temperaturas elevadas. Todo dispositivo estático ou digital é sensível a 
altas temperaturas. Apesar do avanço da tecnologia, apenas os componentes 
especialmente desenvolvidos para tal suportam temperaturas antes suportadas pelos 
dispositivos eletromecânicos. 
 
Software não portável e às vezes não atualizável. Os algoritmos emuladores de funções de 
proteção são desenvolvidos em linguagem assembler ou, mais recentemente, em linguagem 
de alto nível como o “C”. Esses códigos são exclusivos para cada tipo de processador e 
ambiente de processamento e não são portáveis (apesar de que está ocorrendo tendência 
no sentido de se buscar portabilidade). Alguns relés digitais do passado possuem algoritmos 
não muito adequados e não podem ser alterados. 
 
Entretanto, com a experiência dos fabricantes e a conseqüente otimização desses 
algoritmos, esta dificuldade se tornará cada vez menos relevante. Não se cogita, para o 
usuário, a possibilidade de alterar ou efetuar manutenção do software (algoritmos e funções) 
de proteção. 
 
Tecnologia relativamente nova na área de Proteção. Como toda nova tecnologia, a sua 
absorção e repasse pelos usuários envolvem um processo demorado e custoso. E o novo 
enfoque de utilização de computador para emular relê ou função de Proteção, que requer 
novas posturas de operação e de manutenção, implica em mudança cultural de absorção 
lenta. Esta tendência, entretanto, de uso de relés numéricos é inexorável e inevitável.
 
 
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4. CONFIGURAÇÃO BÁSICA E PRINCÍPIOS DE FUNCIONAMENTO 
4.1 BLOCOS FUNCIONAIS 
A figura a seguir mostra os principais blocos funcionais e seu relacionamento com as 
instalações externas: 
 
Bloco de
Conversão
Analógico - Digital
Lógicas da Proteção e Outras
Entradas
Analógicas Entradas Digitais
Saídas
Digitais
Alimentação Auxiliar
Comunicações
e Sincronismo
Série ParalelaDC / DC
Condicionamento
de Sinal
Condicionamento
de Sinal
Condiciona-
mento de
Sinal
Filtragem
Digital
Dados
Digitais
Brutos
Dados
Históricos -
Oscilografia
Parte Externa
Isolação,
Supressores, etc.
Conversão de Sinais analógicos
para Dados Digitais
Processamentos Aritméticos
 
 
Figura 4.1 – Blocos Funcionais de um Relé Digital Microprocessado 
 
O bloco de conversão analógico / digital tem a finalidade de converter os sinais oriundos dos 
TP’s e TC’s em dados digitais processáveis através de microprocessadores. 
 
O bloco de processamento aritmético, que pode ter de um a vários processadores, efetua 
todas as lógicas, filtragens digitais, cálculos de algoritmos, supervisão e gerenciamento 
interno da proteção digital. 
 
Esses blocos são detalhados, posteriormente, neste mesmo documento. 
 
O condicionamento dos sinais que entram e saem do relé é muito importante considerando 
que uma proteção digital executa operações aritméticas de alta velocidade (inferior a 0,3 
microssegundo) usando sinais de nível relativamente baixo (2 a 5 Volts). 
 
 
 
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Considerando que o relé estará instalado em um ambiente hostil de alta ou extra alta 
tensão, sujeito a surtos e interferências eletromagnéticas de vários tipos e intensidades, ele 
deve ser dotado de blindagem, supressores de surtos e isolações em um nível mais intenso 
que aquele que era adotado para relés analógicos (estáticos). 
 
Os surtos e ruídos incluem: 
 
 Aqueles que ocorrem no lado da alta tensão, como surtos de chaveamento de 
equipamentos de manobra, curtos-circuitos e descargas atmosféricas. 
 
 Ruídos induzidos de outros equipamentos da mesma estação, como o chaveamento de 
circuito DC. 
 
 Ruídos que ocorrem na proteção em si, como chaveamento de relés auxiliares. 
 
 Interferência eletromagnética irradiada por diversas fontes. 
 
Os caminhos pelos quais esses surtos e ruídos chegam à proteção incluem: 
 
 TC’s e TP’s e respectivos circuitos secundários. 
 Sistema de serviço auxiliar. 
 Circuitos de entrada e saída do relé. 
 Pelo ar. 
 
As seguintes medidas são, portanto, tomadas para condicionamento dos sinais que entram 
e saem do relé e para os sinais internos ao relé: 
 
1) Capacitores de “bypass” (para drenagem de surtos) e/ou filtro de linha são utilizados nos 
circuitos de entrada de TC’s, TP’s e Alimentação auxiliar. 
 
Filtros para surtos e ruídos
Frequência de corte da ordem de centenas de kHz (não afeta proteção)
Também são utilizados VARISTORES para supressão de surtos
 
 
Figura 4.2 – Filtros de linha e Varistores para Surtos 
 
Deve-se salientar que os níveis de proteção para surtos e ruídos estão normalizados: 
 
 
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1. IEEE – Standard C37.90A 
2. IEC – Standard 255-4 
 
2) Transformadores (circuito de TP’s e TC’s) e fotoacopladores (entradas digitais) são 
usados para isolar circuitos internos dos externos. Para a alimentação auxiliar, o próprio 
conversor DC / DC proporciona separação. 
 
3) São feitas blindagens de toda a proteção com material condutivo, para interferências 
irradiadas. 
 
4) A fiação interna é separada em grupos: de circuitos de alta potência e de baixa potência. 
Cada grupo de fios juntados de modo a evitar transferência de ruído dos circuitos de alta 
potência para os de baixa potência. 
 
5) Para sinais de importância especial, cabos trançados ou blindados são utilizados. 
 
6) O projeto do circuito é feito de modo que os circuitos de suprimento de energia e de 
aterramento sejam reforçados. 
 
7) Capacitores de “bypass” são instalados em pontos importantes doscircuitos internos. 
 
8) Circuitos são blindados quando necessários. 
 
A figura a seguir mostra parte do condicionamento citado: 
 
RELÉ
TP's
TC's
Disjuntores
Alimentação
Auxiliar
Seccionadoras
DC/DC
FONTE DE
RUÍDOS
Parte LimpaParte Suja
 
 
Figura 4.3 – Separação entre as partes “sujas” e “limpas” 
 
 
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4.2 BLOCO DE CONVERSÃO DE SINAIS ANALÓGICOS EM DADOS DIGITAIS 
Os sinais analógicos provenientes da medição de grandezas elétricas do sistema elétrico 
protegido variam continuamente de magnitude no decorrer do tempo. Por outro lado, no 
bloco de processamento aritmético que executa os cálculos, as quantidades digitais têm sua 
magnitude variada discretamente no tempo. 
 
Assim o bloco de conversão de sinais analógicos em dados digitais tem a finalidade de 
efetuar essa conversão de modo mais preciso possível, dadas as limitações de tecnologia e 
os requisitos de proteção do sistema, sem esquecer o aspecto econômico / comercial de 
uma proteção digital num mercado altamente competitivo. 
 
A figura a seguir mostra os principais componentes desse bloco: 
 
 
Filtro Anti
- Aliasing
S/H
Filtro Anti
- Aliasing
S/H
Filtro Anti
- Aliasing
S/H
Filtro Anti
- Aliasing
S/H
Clock
MPX A / D A
Bloco Conversor Analógico - Digital
Transdutores
de Entrada
Multiplex
Conversor A/D
Canal 1 a n Canal 1 a n
Instante t0 Instante t1
Canal 1
Canal 2
Canal 3
Canal n
TP's
e
TC's
 
 
 
Figura 4.4 – Configuração do Conversor Analógico - Digital 
 
 
 
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4.2.1 Filtro Anti-Aliasing 
Erro de Aliasing 
 
Um filtro “Anti-Aliasing” é usado para evitar possíveis erros na reconstrução digital dos 
dados de entrada, após o bloco de conversão Analógico / Digital mostrado na figura 
anterior, quando se usa a técnica de amostragem e retenção S/H – “Sample and Hold”. O 
resultado da digitalização do sinal pode incorporar erros chamados de erros de “aliasing”. 
 
Basicamente é um erro de magnitude do sinal à freqüência FUNDAMENTAL, para mais ou 
para menos. 
 
Qualquer sinal de entrada amostrada a N*60 Hz (Brasil, EUA) ou N*50 Hz (Europa, 
Paraguai) pode apresentar o chamado “aliasing” se o sinal de entrada contém harmônicas 
da ordem N±1, 2.(N±1), .... x.( N±1). 
 
 
Para se compreender esse tipo de erro, apresenta-se na figura a seguir um exemplo de um 
sinal composto de uma senóide fundamental (60 Hz) e uma senóide de 11ª. Harmônica 
entrando na proteção para taxa de amostragem de 12 por ciclo, isto é, harmônica (N-1): 
 
amostragens
 
 
 
Figura 4.5 – Exemplo de erro de Aliasing no processo S/H 
 
Observa-se que a resultante da digitalização resultará na senóide fundamental somado a 
um aparente sinal de 60 Hz (mostrado em tracejado na figura), proporcionando um erro de 
magnitude para mais em 60 Hz. 
 
O exemplo a seguir mostra um sinal composto de uma senóide fundamental (60 Hz) e uma 
senóide de 7ª. Harmônica entrando na proteção para taxa de amostragem de 8 por ciclo, 
isto é, harmônica (N-1): 
 
 
 
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-1
-0.5
0
0.5
1
P
or
 U
ni
da
de
SENOIDE COM SETIMA HARMONICA COMO ENTRADA
8 AMOSTRAGENS POR CICLO
Fundamental
de entrada
Harmônca
de entrada
Fundamental
Aparente de Saída
Fundamental Aparente
gerada pela amostragem
sobre a harmônica
 
 
Figura 4.6 – Exemplo de erro de Aliasing no processo S/H 
 
Observa-se que a resultante da digitalização resultará na senóide fundamental somado a 
um aparente sinal de 60 Hz (mostrado em tracejado na figura), proporcionando um erro de 
magnitude para menos em 60 Hz. 
 
Daí se verifica a obrigatoriedade de um filtro analógico de entrada, para evitar erros de 
medição que afetam a FUNDAMENTAL. 
 
 
Outra Função do Filtro Analógico de Entrada 
 
Rejeitar (atenuar) as freqüências não utilizadas para a proteção, como a componente DC e 
outras de alta freqüência. Entretanto, deve-se observar que: 
 
 Há filtragem digital numa etapa posterior, antes do processamento propriamente dito, 
que pode eliminar componente DC e outras freqüências. 
 
Pode-se dizer que, para cada aplicação de proteção (funções predominantes de proteção), 
o filtro deve se adequar aos algoritmos e filtros digitais para a redução desse erro ao 
mínimo aceitável. 
 
 
Taxa de Amostragem e o Erro de Aliasing 
 
Considerando o domínio de freqüências de 60 Hz e as freqüências normalmente geradas 
no sistema elétrico, pode-se dizer que o erro de aliasing ocorre basicamente devido às 
baixas taxas de amostragem para a conversão A/D. 
 
 
 
 
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Critério de Nyquist 
 
O chamado critério de Nyquist preconiza que, para evitar o erro de “aliasing”, todo sinal 
cuja freqüência seja superior à metade (1/2) da freqüência de amostragem precisa ser 
filtrada (atenuada). Isto é, a freqüência de corte seria fixada para metade da freqüência de 
amostragem. 
 
Esse critério deriva do “Teorema de Amostragem de Nyquist” que postula que se um sinal 
contém somente as freqüências menores que a freqüência de corte fc, então todas as 
informações no sinal podem ser capturadas com uma taxa de amostragem de 2 x fc, 
 
Assim, para um relé com 12 amostragens por ciclo (720 Hz) deverá haver filtro analógico 
para atenuar todo sinal superior a 360 Hz (6ª. Harmônica). 
 
Na prática, entretanto, pode haver filtros para atenuação de sinais com freqüência superior 
a (1/3) da freqüência de amostragem. Entretanto, esse estreitamento pode introduzir 
problemas, conforme comentado posteriormente. 
 
 
Filtros Analógicos [1] 
 
Há diversos tipos de filtros que, de um modo geral, podem ser classificados em: 
 
 Filtro passa baixa. 
 Filtro passa alta. 
 Filtro passa banda. 
 
O filtro passa baixa deve atenuar todo sinal superior a uma dada freqüência, conforme 
mostra a figura teórica (ideal) a seguir sobreposta à curva real (tracejada). Por outro lado, 
o filtro passa alta deve atenuar todo sinal inferior a uma dada freqüência. O filtro passa 
banda faz com que se tenha atenuação para valores inferiores e superiores a uma banda 
de freqüências: 
 
Ganho
Frequênciafc
1
0
Atenuação
Frequênciafc
0
 
 
Figura 4.7 – Filtro passa baixa 
 
 
 
 
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O filtro passa baixa é mostrado na figura anterior é muito utilizado. Em tracejado, a 
característica de um filtro real, enquanto que em linha cheia tem-se a característica ideal. 
Ganho 0 (zero) significa atenuação “infinita” (ou bloqueio de sinal) para aquela freqüência. 
Ganho 1 (um) significa atenuação “zero” (ou passagem livre do sinal) para aquela 
freqüência. 
 
 Nesse caso, a componente DC do sinal de entrada (freqüência 0) é filtrado posteriormente 
(filtro digital). 
 
Na figura a seguir mostra-se o filtro passa alta: 
 
Frequênciafc
Ganho
1
0
Atenuação
dB
Frequênciafc
1
0
 
 
Figura 4.8 – Filtro passa alta 
 
Observa-se que esse filtro atenua as freqüências abaixo da freqüência de corte. 
 
Para se ter um filtro passa banda, se faz uma associação dos dois anteriores, conforme 
mostrado na figura a seguir. 
 
Frequênciafc2fc1
Ganho
1
0
 
 
Figura 4.9 – Filtro passa banda 
 
Filtros Ativos e Passivos 
 
Filtros passivos são aqueles que usam componentes que não geram tensões, como 
resistores, indutores, capacitores e transformadores. 
 
 
 
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Ganho
Frequênciafc
1
0
 
 
Figura 4.10 – Exemplo de Filtro Passivo (passa baixa) 
 
Para se conseguir boas características de filtragem, um filtro analógico pode ser ativo, istoé, conter amplificador operacional associado a componentes passivos (R, C). Os tipos de 
filtros utilizados na prática têm o nome dos idealizadores das funções de transferência 
adotados no projeto do filtro (Buttherworth, Chebyshev e Bessel). 
 
+
-
 
 
Figura 4.11 – Filtro Ativo Butterworth para 360 Hz [9] 
 
A figura a seguir mostra a característica do filtro anti-aliasing de um relé da Toshiba Co. de 
terceira geração (1995 – 1997): 
 
frequência
(Hz)f0 12 f0
atenuação em
dB
 
 
Figura 4.12 – Filtro ativo, passa banda 
 
Trata-se de um filtro passa banda de dois estágios, com amplificadores operacionais 
associados a resistores e capacitores para relé de 12 amostragens por ciclo. Observa-se 
que esse filtro atenua também a componente DC que eventualmene se sobrepõe à 
senóide (freqüência 0). 
 
 
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Características Dinâmicas do Filtro 
 
Adicionalmente à característica em regime do filtro analógico, há de se considerar a 
resposta dinâmica do filtro, para qualquer aplicação. 
 
Os aspectos mais importantes dessa característica dinâmica são: o tempo de elevação 
(“rise time”), o qual indica quanto tempo um filtro passa baixa leva para atingir o seu valor 
final para um degrau introduzido na entrada; e o “overshoot” que indica o nível acima do 
valor final que resposta atinge, transitoriamente, em resposta a um degrau na entrada. 
 
Na prática seria a introdução de defasamento entre os sinais de entrada e de saída do 
filtro, que corresponde um atraso no tempo no fluxo de informações, o que implica numa 
fase posterior de processamento em tempo maior na operação da Proteção. 
 
Um aspecto importante a observar é que, quanto mais a freqüência de corte do filtro se 
aproxima da freqüência fundamental, o mencionado defasamento aumenta. 
 
E quando se deseja uma resposta em freqüência o mais próximo do ideal, piora a resposta 
dinâmica no tempo, com “overshoot”. A figura a seguir [9] ilustra o citado atraso de tempo e 
o “overshoot”, para dois tipos de respostas em freqüência: 
 
 
Ganho
Hzfc
1
0
Tempo
0
Resposta em Frequência Resposta para um Degrau 
 
Figura 4.13 – Conflito entre Respostas em Freqüência e no Tempo 
 
 
 
A figura a seguir mostra um exemplo de filtro passivo projetado para 12 amostragens por 
ciclo com freqüência de corte de 360 Hz, e o “rise time” [9]: 
 
 
 
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Ganho
720 Hz
1
0
1,26 k 2,52 k
0,1 F 0,1 F
360 Hz
0,7
1 2 3 4
ms
1
Saída
 
 
Figura 4.14 – Filtro Passivo Para 12 Amostragens por Ciclo e Característica Dinâmica 
 
Para este exemplo tem-se um valor razoável de saída com cerca de 0,8 ms após a 
aplicação de um degrau na entrada. Esse atraso corresponderá a um defasamento de 
certa ce 11 graus para fasor de 60 Hz. Note que o intervalo de amostragem é ( 1000 x 1 
/720 = 1,39 ms). 
 
Um filtro ativo pode influenciar tanto o ganho como esse atraso no tempo, conforme 
ilustrado na figura a seguir para os chamados filtros Chebyshev, Butterworth comparados 
com o filtro passivo RC mostrado [9]: 
 
1 ms 2 ms720 Hz360 Hz
1 1
Cherbichev
Butterworth
RC
Cherbichev
Butterworth
RC
Ganho
 
 
 
Figura 4.15 – Comparação dos filtros Chebyshev e Butterworth com Filtro RC para 360 Hz 
 
 
 
 
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Características desejáveis para um filtro 
 
 Tempo de resposta rápido, com pouco defasamento (largura de banda razoável). 
 Comportamento transitório aceitável. 
 Simples para projetar, construir e fabricar em série (manufatura). 
 
Em conjunto com a filtragem digital que será visto posteriormente, deve apresentar as 
seguintes características: 
 
 Resposta tipo “passa banda” sobre a fundamental, pois os demais componentes não 
são de interesse para as funções de proteção. 
 Rejeição de componentes DC exponenciais e de Rampa. 
 Atenuação de harmônicas ou rejeição para limitar os efeitos das não linearidades. 
 
4.2.2 Circuito Sample & Hold (S/H) 
O circuito efetua amostragem de uma grandeza analógica a intervalos pré determinados 
(taxa de amostragem) e efetua a retenção do sinal amostrado até que se complete a etapa 
seguinte de conversão A/D. É feita amostragem simultânea para todos os canais, a cada 
intervalo de amostragem 
 
O circuito consiste basicamente de um capacitor e uma chave eletrônica usando FET – 
“Field Efect Transistor”, como ilustrado na figura a seguir: 
 
sinal do clock
de controle
saídaentrada
sinal do clock
de controle
saídaentrada
fechado
intervalo de amostragem
chaveamento
fechado
intervalo de amostragem
chaveamento
CH
 
 
 
Figura 4.16 – Princípio de um circuito Sample & Hold 
 
Fechando-se a chave CH tem-se através do capacitor uma tensão igual ao do sinal de 
entrada naquele instante. Abrindo a chave, permanece no capacitor a tensão que havia no 
sinal amostrado imediatamente antes da abertura. 
 
 
 
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Repetindo ciclos de abertura e fechamento é possível obter sinais amostrados por faixa de 
tempo, com intervalo pré-determinado conforme é mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
Figura 4.17 – Sinais Analógicos Amostrados 
 
 
A cada amostragem se tem nova medição, porém retendo as medições anteriores 
(“buffer”). Isto é, a cada nova amostragem, aquela mais antiga é descartada. Pode-se 
observar o princípio através das “janelas de dados” se movendo ao longo do tempo, 
conforme mostrado na figura a seguir. 
 
.....
Janela de Dados Móvel
 
 
 
Figura 4.18 – Janela de Dados para Amostragem 
 
 
Características da Taxa de Amostragem 
 
 A taxa de amostragem deve levar em conta os harmônicos eventualmente desejáveis 
para cálculos nas funções de proteção (dependendo da função de proteção). 
 
 É desejável que o intervalo de amostragem corresponda a ângulo elétrico que facilite a 
aplicação de algoritmos de cálculo, reduzindo sua complexidade. Também o tempo de 
 
 
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atuação da função de proteção está estreitamente ligado aos algoritmos utilizados e a 
taxa de amostragem. 
 
 A maior parte dos cálculos importantes das funções de proteção são efetuadas a 
intervalo de amostragem. Assim, uma taxa muito alta com cálculos intensivos pode 
esbarrar na capacidade e velocidade de processamento dos microprocessadores 
empregados. 
 
 A taxa de amostragem deve estar em harmonia com a tecnologia disponível e com as 
características do sistema de comunicações empregadas para a proteção (se 
empregadas). 
 
Por exemplo, a taxa de amostragem não deve ser superior a um determinado valor que 
supere a capacidade de conversão A/D da etapa posterior ao multiplexador. 
 
4.2.3 Multiplexador 
Um multiplexador é uma chave eletrônica que permite que um único conversor A/D faça 
a medição de vários canais de entrada, eliminando o alto custo de se ter vários 
conversores. 
 
Sua função é colocar os sinais analógicos amostrados e retidos nos vários canais 
agrupados para cada intervalo de amostragem, conforme mostra a figura a seguir: 
 
Canal 1 a n Canal 1 a n
Instante t0 Instante t1
MUX
Canal 1
Canal 2
Canal 3
Canal n
Controles e
Referência
PGA A/D
Conversor
Analógico / Digital
Canal n
 
 
 
Figura 4.19 – Multiplexação para permitir o uso de um único A/D 
 
 
 
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O amplificador de ganho programável (PGA) permite que, para cada canal de entrada do 
MUX se tenha diferentes ganhos e faixas de variação, uma vez que vários canais são 
varridos seqüencialmente. 
 
O uso de um A/D com multiplexadorlimita a taxa de amostragem do bloco de conversão 
analógico – digital. Por exemplo, um A/D que poderia amostrar a 10 kHz para um único 
canal seria limitado a (10/12 = 830 Hz) por canal, para um conjunto de 12 canais. Isto é, as 
características do A/D dependem da quantidade de canais multiplexados e da taxa de 
amostragem e vice-versa. 
 
4.2.4 Unidade Conversora A/D 
Um conversor A/C (ADC em inglês) tem a finalidade de efetuar a conversão de grandezas 
analógicas em digitais (binários) para uso subseqüente de processadores aritméticos. O 
número digital representa a grandeza de entrada para aquela amostra daquele canal com 
resolução finita. 
 
Resolução 
 
A resolução do ADC é representada pelo número de bits que compõem o número digital. 
Um ADC de n bits tem uma resolução de 1 parte em 2n. Por exemplo: 
 
Conversor de 12 bits: tem resolução de 1 / 212 = 1 para 4.096 
 
 Isto corresponde a 2,44 mV para 10 V. 
 
Conversor de 16 bits: tem resolução de 1 / 216 = 1 para 65.536 
 
 Isto corresponde a 0,153 mV para 10 V. 
 
Tipos de ADC 
 
Muitos tipos de ADC estão disponíveis. Diferem entre si quanto à resolução, precisão e 
velocidade. Os mais populares tipos de ADC são: 
 
 Conversor Paralelo (“Flash”) 
 Conversor de Aproximações Sucessivas 
 Tipo Tensão para Freqüência 
 Tipo Integrador 
 
Conversor Paralelo 
 
É o mais simples dos conversores A/D. Ele usa uma tensão de referência correspondente 
à escala plena do sinal de entrada. Possui divisor de tensão composto de (2n + 1) 
resistores em série, sendo n a resolução do ADC em bits. 
 
 
 
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O valor da tensão de entrada é determinado utilizando um comparador para cada um dos 
(2n) tensões de referência criadas no divisor de tensão. A figura a seguir mostra um 
exemplo de ADC do tipo Conversor Paralelo de 2 bits. 
 
+
-
+
-
+
-
+
-
Comparadores
Codificador
Saída
Binária
V EntradaV Referência
R/2
R/2
R
R
R
 
 
 
Figura 4.20 – Esquema de ADC do tipo Conversor Paralelo, para 2 bits. 
 
Este tipo de conversor é muito rápido (até 500 MHz) devido aos bits serem determinados 
em paralelo. O método requer uma grande quantidade de comparadores, portanto 
geralmente limitando a resolução a 8 bits (256 comparadores). São geralmente 
encontrados em osciloscópios digitais e digitalizadores de transitórios. 
 
Conversor de Aproximações Sucessivas 
 
Esta unidade A/D utiliza um Conversor Digital para Analógico (DAC em inglês) e um 
comparador. Ela faz a chamada “busca binomial” iniciando com um valor de saída 0 (zero). 
 
Ela ajusta provisoriamente cada bit do DAC, começando pelo bit mais significativo. A 
busca efetua a comparação da saída analógica do DAC com a tensão que está sendo 
medida. Se o ajuste do bit para “1” causa uma saída do DAC maior do que a tensão de 
entrada, então esse bit é ajustado para “0”. Caso contrário, é mantido em “1”. Passa-se 
para o bit seguinte e assim sucessivamente. 
 
 
 
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+
-
DAC
Comparador
Conversor
Digital -
Analógico
Saída
Digital
V Entrada
V Referência
Lógica de Controle
e Registros de
Comparação
….
…
.
Bit mais significativo
Bit menos significativo
…
.
Gerador de
Tensão de
Referência
 
 
Figura 4.21 – Esquema de ADC do tipo Conversor de Aproximações Sucessivas 
 
 Este tipo de conversor é mais lento que o do tipo Paralelo, pois as comparações são feitas 
em série, sucessivamente, com tempo adicional para ajustar cada bit. Entretanto podem 
ser encontrados esses tipos de ADC para taxas de conversão até 200 kHz. 
 
Este tipo de ADC é relativamente barato para implementar resoluções de 12 e 16 bits. Por 
conseqüência é o ADC mais comumente utilizado e pode ser encontrado em muitos 
sistemas de aquisição de dados baseados em PC’s. 
 
Conversor do Tipo Tensão para Freqüência 
 
A figura a seguir mostra o princípio do ADC Tensão para Freqüência. Ele converte a 
tensão de entrada em um trem de pulsos digitais com a freqüência proporcional à tensão 
de entrada. 
Conversor
Tensão para
Frequência
Contador de
Pulsos
Trem de
Pulsos
Digitais
Saídas
Digitais
Circuito de
Timing
Tensão
de
Entrada 
 
Figura 4.22– Esquema de ADC do tipo Tensão para Freqüência 
 
A freqüência é determinada efetuando-se a contagem dos pulsos para um determinado 
intervalo de tempo e a tensão é inferida através de uma relação conhecida. 
 
 
 
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A conversão Tensão para Freqüência tem um alto grau de rejeição a ruídos pelo fato da 
tensão de entrada ser efetivamente integrada no período de contagem. Este tipo de ADC é 
utilizado para conversão de sinais lentos e ruidosos. Ele é útil para aquisição remota de 
sinais em ambientes ruidosos. O trem de pulsos digitais é transmitido através de um par de 
fios até o contador. Isso elimina o ruído que poderia ser introduzido na transmissão de um 
sinal analógico. 
 
Conversor do Tipo Integração 
 
Este tipo de ADC usa a técnica de integração, que mede o tempo para carga e descarga 
de um capacitor para determinar a tensão de entrada. A figura a seguir mostra a chamada 
integração “Dual-slope”, que é uma técnica muito utilizada. 
 
V ENTRADA / V REFERENCIA
T i T d
Tempo de
Integração
Tempo de
Descarga
Corrente Fixa
de Descarga
I  VENTRADA
V
ca
p
a
ci
to
r
= T i / T d
 
 
Figura 4.23– Integração e Descarga em Conversor do tipo Integração 
 
Usando uma corrente que é proporcional à tensão de entrada, um capacitor é carregado 
por um intervalo de tempo definido. A tensão média de entrada é determinada medindo-se 
o tempo para descarga do capacitor usando uma corrente constante. 
 
Com a integração da entrada por um determinado período de tempo reduz-se a influência 
dos ruídos na tensão de entrada, desde que o tempo de integração seja ajustado para um 
valor múltiplo do período (1/f) da tensão de entrada. 
 
Este tipo de ADC é utilizado para multímetro digital de precisão e indicadores digitais de 
painel. Pode haver resolução de 20 bits. A desvantagem é a taxa de conversão 
relativamente lenta (60 Hz no máximo). 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Configuração Básica e Princípio de Funcionamento 35 de 130
 
 
Sumário para os Tipos de Conversores ADC 
 
Tipo de ADC Resolução Típica Velocidade Típica 
Paralelo 4 – 8 bits 100 kHz – 500 MHz 
Aproximações Sucessivas 8 – 16 bits 10 kHz – 1 MHz 
Tensão para Freqüência 8 – 12 bits 1 – 60 Hz 
Integração 12 – 24 bits 1 – 60 Hz 
 
 
Precisão e Resolução 
 
A precisão é um fator importante quando se seleciona um ADC pra uso em aplicações que 
envolvam testes e medições. O erro de resolução de um ADC é chamado de: 
 
 Erro de quantização 
 
Tensão de Entrada (V)
2 4 6 8
S
aí
da
 d
o 
A
D
C
Erro de
Quantização
 
 
Figura 4.24– ADC Ideal, com apenas erro de quantização 
 
Mas não é a única fonte de erros de um ADC. Há também: 
 
 Erro de offset 
 Erro de ganho 
 Erro de linearidade 
 Erro de sinal perdido 
 
Mas um bom ADC se aproxima ao “erro de quantização” (proveniente da resolução). Esses 
erros podem decorrer de alguns parâmetros ambientais como: 
 
 Ruído 
 Variação de Temperatura. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Configuração Básica e Princípio de Funcionamento 36 de 130
 
 
Erro de Offset
2 4 6 8
S
aí
da
 d
o 
A
D
C
Erro de sinal perdido
2 4 6 8
S
aí
da
 d
o 
A
D
C
Erro de Ganho
2 4 6 8
S
aí
da
 d
o 
A
D
C
Erro de Linearidade
2 4 6 8
S
aí
da
 d
o 
A
D
C
 
 
 
Figura 4.25– Tipos de Erros num ADC 
 
Deve-se observar, também, que o erro de quantização é tanto maior quanto maior for a 
escala adotada ( “full scale” ) para a faixa de grandeza que se quer medir (por exemplo, 
uma faixa de 0 a 100 x In). Assim, deve-se adotar uma escala máxima27 
3.1  REQUISITO GENÉRICO CONSIDERANDO SATURAÇÃO DE TC COM CORRENTE ASSIMÉTRICA ............................ 27 
3.2  APLICAÇÃO EM PROTEÇÃO DIFERENCIAL DE ALTA IMPEDÂNCIA ..................................................................... 29 
3.3  APLICAÇÃO PARA USO COM RELÉS COM DETECÇÃO DE SATURAÇÃO DE TC .................................................... 30 
3.4  REQUISITOS DE ACORDO COM A CARACTERÍSTICA DE REMANÊNCIA DO TC .................................................... 31 
4.  SATURAÇÃO DE TC E A REMANÊNCIA ....................................................................................................... 35 
4.1  SATURAÇÃO ................................................................................................................................................. 35 
4.2  REMANÊNCIA NO NÚCLEO DO TC ........................................................................................................... 36 
5.  TRANSFORMADORES DE POTENCIAL ........................................................................................................ 40 
5.1  INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 40 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Introdução e índice 4 de 58
 
5.2  CARACTERIZAÇÃO DE UM TRANSFORMADOR DE POTENCIAL ...................................................... 40 
5.2.1  Carga Nominal. ........................................................................................................................................... 41 
5.2.2  Classe de Exatidão. ..................................................................................................................................... 42 
5.2.3  Fator de Sobretensão. ................................................................................................................................. 43 
5.2.4  Potência Térmica Nominal. ......................................................................................................................... 44 
5.3  IDENTIFICAÇÃO DOS TERMINAIS ........................................................................................................... 44 
5.4  TABELA COMPARATIVA DE CARGA (“BURDEN”) SEGUNDO ALGUMAS NORMAS ..................... 45 
6.  DIVISORES CAPACITIVOS DE POTENCIAL ................................................................................................ 46 
6.1  DIVISOR CAPACITIVO EM VAZIO ............................................................................................................ 46 
6.2  DIVISOR CAPACITIVO COM CARGA ....................................................................................................... 47 
6.3  DIVISOR CAPACITIVO COMPENSADO .................................................................................................... 49 
6.4  PRINCÍNPIO ................................................................................................................................................... 50 
6.4.1  Divisor Capacitivo de Potencial em Vazio. ................................................................................................. 51 
6.4.2  Divisor Capacitivo de Potencial em Carga ................................................................................................. 52 
6.5  EXEMPLOS DE DCP .......................................................................................................................................... 55 
7.  FERRORESSONÂNCIA ....................................................................................................................................... 57 
8.  BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................... 58 
 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Introdução 5 de 58
 
1. INTRODUÇÃO 
De acordo com a norma ABNT NBR 6546, Transformador para Instrumentos é o 
“transformador que alimenta instrumentos de medição, dispositivos de controle ou dispositivos 
de proteção”. 
Os Transformadores para Instrumentos devem, portanto, reduzir o valor da tensão 
(Transformadores de Potencial) ou da corrente (Transformadores de Corrente) primárias para 
valores secundários normalizados e suficientemente baixos sem, entretanto, introduzirem 
erros acentuados de relação e ângulo de fase. Os Transformadores para Instrumentos, além 
de adequar os valores de corrente e tensão, também permitem uma isolação galvânica entre 
os instrumentos de medição, controle e proteção e as altas tensões do sistema de elétrico de 
potência que se deseja medir, controlar ou proteger. 
1.1 SINAIS PARA REPRESENTAÇÃO DE CORRENTES / TENSÕES NOMINAIS E RELAÇÕES 
NOMINAIS 
Sinal Função 
: Representar relações nominais 
- Separar correntes ou tensões nominais e relações nominais de enrolamentos 
diferentes 
x Separar correntes ou tensões nominais e relações nominais obtidas por 
religação série ou paralelas 
/ Separar correntes/tensões e relações nominais obtidas por derivações 
 
1.1.1 Exemplos para TC´s 
a) TC com um enrolamento primário e um enrolamento secundário: 
20 : 1 
100 - 5 A 
b) TC de dois núcleos, com um enrolamento primário e dois enrolamentos secundários: 
20 : 1 - 1 
100 - 5 - 5 A 
c) TC de um núcleo, com enrolamento primário para ligação série e paralelo e um 
enrolamento secundário: 
20 x 40 : 1 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Introdução 6 de 58
 
100 x 200 - 5 A 
d) TC de um núcleo,com uma derivação no enrolamento primário ou no enrolamento 
secundário: 
20 / 40 : 1 
100 / 200 - 5 A 
e) TC de dois núcleos, com um enrolamento primário e dois enrolamentos secundários 
como no exemplo (b), porém com relações nominais diferentes entre o enrolamento 
primário e cada enrolamento secundário: 
20 : 1 e 60 : 1 
100 - 5 A e 300 - 5 A 
f) TC de três núcleos, com um único enrolamento primário para conexão em série, série-
paralela e paralela, com dois enrolamentos secundários, contendo uma derivação cada 
e um secundário sem derivação: 
5 / 20 x 10 / 40 x 20 / 80 : 1-1 e 10 x 20 x 40 : 1 
25 / 100 x 50 / 200 x 100 / 40 - 5 - 5 A e 50 x 100 x 200 - 5 A 
g) TC de três núcleos, com duas derivações no enrolamento primário, dois enrolamentos 
secundários, contendo uma derivação cada e um secundário sem derivação: 
5 / 20 / 10 / 40 / 20 / 80 : 1-1 e 10 / 20 / 40 : 1 
25 / 100 / 50 / 200 / 100 / 400 - 5 - 5 A e 50 / 100 / 200 - 5 A 
1.1.2 Exemplos para TP´s: 
a) TPI com um enrolamento primário e um enrolamento secundário: 
120 : 1 
13800 - 115 V 
b) TPI com enrolamento primário e dois enrolamentos secundários com derivações: 
70 / 120 : 1 - 1 ou 70 / 120 - 70 / 120 : 1 
3
13800
 - 115 / 
3
115
 - 115 / 
3
115
 V 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Introdução 7 de 58
 
c) TPI com um enrolamento primário e um enrolamento secundário, com derivação em um 
deles: 
60 / 70 : 1 
3
11500
 / 
3
13800
 - 115 V 
d) TPI com um enrolamento primário para religação série ou paralelo e um enrolamento 
secundário: 
60 x 120 : 1 
6900 x 13800 - 115 V 
e) TPI com um enrolamento primário com derivação e dois enrolamentos secundários, 
sendo um com derivação: 
60 / 70 - 60 / 70 / 100 / 120 : 1 
3
11500
 / 
3
13800
 - 115 - 115 / 
3
115
 V 
f) TPI com enrolamento primário para religação série ou paralelo e dois enrolamentos 
secundários, sendo um com derivação: 
35 x 70 - 35 / 60 x 70 / 120 : 1 
3
6900
 x 
3
13800
 - 115 - 115 / 
3
115
 V 
g) TPI com um enrolamento primário e dois enrolamentos secundários sendo um de 
tensão residual: 
120 - 210 : 1 
3
13800
 - 
3
115
 - 
3
115
 V 
1.2 ESCOLHA DOS TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS 
Para que um Transformador para Instrumentos opere corretamente e sem se danificar, tanto 
em condições normais quanto no caso de faltas, é necessário que: 
- Seja dimensionado para suportar todo tipo de solicitação (térmica,que não introduza 
erros significativos na conversão A/D. 
 
 
Exemplo de ADC de Aproximações Sucessivas para Relé de Proteção 
 
O tempo que se leva para se efetuar uma conversão (por aproximações sucessivas) deve 
ser compatível com a taxa de amostragem e quantidade de canais, como mostram as 
figuras a seguir para um relé da Toshiba (ADC de 12 bits, geração 1995-1997): 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Configuração Básica e Princípio de Funcionamento 37 de 130
 
 
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
BMaisS
BMenosS
Reset Partida Conversão
Completa
Tempo (t)
FS
(Escala
Máxima)
FS/2
Entrada
Analógica
V
0
Saída do Conversor Digital - Analógico
SAÍDA
DIGITAL
Comando de
Início da
Conversão
 
 
Figura 4.26– Ação de um ADC de 12 bits por Aproximações Sucessivas 
 
 
16,666 ms (1 ciclo) com 12 amostragens
offoff Va Vb Vc V0 Ia Ib Ic I0 Va
FechadoAbertoFechado Aberto
Conversão Saída
Reset Partida Conversão
Completada
Saída
Chaveamento do
Circuito S/H
Saída do Multiplex
Ação do ADC
Amostragem
 
 
Figura 4.27– Timing para Amostragem, S/H, Multiplexação e A/D 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Configuração Básica e Princípio de Funcionamento 38 de 130
 
 
4.3 BLOCO DE PROCESSAMENTO ARITMÉTICO 
O bloco de processamento aritmético tem a responsabilidade de executar dos programas 
das funções de proteção, manutenção das várias funções envolvendo gerenciamentos 
diversos, temporizações, comunicação com subsistemas periféricos, etc. A figura a seguir 
mostra um esquema básico do bloco de processamento: 
 
a
Canais 1 a n
12
bits
t0
RAM
DMA
CPU
ROM / PROM
EPROM
MEMÓRIA DE
MASSA
SAÍDAS
DIGITAIS
ENTRADAS
DIGITAIS
IHM
COMUNI-
CAÇÕES
Dados Canal 1
Dados Canal 2
Dados Canal 3
…
…
.
Dados Canal n
Dados Canal 1
Dados Canal 2
Dados Canal 3
…
…
.
Dados Canal n
t0
t1
B
U
S
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
…
….
 
 
 
Figura 4.28– Bloco de Processamento Aritmético. Esquema Básico 
 
 
A função DMA (Direct Memory Access) que permite transferência de dados diretamente 
para a memória RAM sem passar pelo processador (CPU) aliviando esse último. 
Geralmente esta função é utilizada quando há transferência de grande quantidade de 
dados entre a unidade processamento de dados e dispositivos externos. 
 
As transferências de dados regulares entre dispositivos de entrada e saída e a memória é 
efetuadas através da CPU. Geralmente em relés digitais a função DMA é utilizada para 
escrever na RAM os valores digitalizados de tensão e corrente adquiridos pela conversão 
Analógica – Digital. 
 
A memória RAM (Random Access Memory) segura os dados de entrada enquanto 
processados. Ela também pode ser usada para acumular dados (“buffer”) para posterior 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Configuração Básica e Princípio de Funcionamento 39 de 130
 
 
transferência a meios de armazenamento maiores (memória de massa). Adicionalmente a 
RAM é utilizada como área “rascunho” para cálculos envolvendo algoritmos diversos. 
 
A memória apenas de leitura ROM (“Read Only Memory) ou a memória programada 
apenas de leitura PROM ( Programmable Read Only Memory) é usada para 
armazenamento permanente dos programas. Em alguns casos os programas podem ser 
executados diretamente da ROM [9] se o tempo de leitura é pequeno o suficiente. Se esse 
não for o caso, os programas são copiados da ROM para a RAM durante a fase de 
inicialização da proteção e, em tempo real, são executados através da RAM. 
 
A memória “apagável” EPROM (“Erasable PROM”) é necessária para armazenar 
parâmetros e ajustes da proteção que podem ser alterados a qualquer hora, pelo usuário. 
Essa memória precisa manter os seus dados mesmo que o relé seja desligado da sua 
fonte de alimentação. Diversas tecnologias e esquemas são utilizadas para garantir essa 
característica. 
 
A entrada digital é utilizada para adquirir informações externas como estados de contatos 
para o Bloco de Processamento Aritmético. A saída digital é utilizada para exteriorizar 
sinais de “trip”, alarmes e condições lógicas, além dos resultados do auto monitoramento e 
auto verificação, etc. 
 
NOTA: 
 
Um processador de 16 bits é adequado para conversor A/D de 12 bits. Porém, quando o 
conversor A/D é de 16 bits, exige-se processador de 32 bits. 
 
As vezes deseja-se que o registrador oscilográfico de perturbações embutido no relé de 
proteção tenha uma resolução maior (maior taxa de amostragem). Neste caso, faz-se 
conversão A/D numa taxa superior (por exemplo, 32 amostragens por ciclo). Um 
processador é utilizado para gerenciar base de dados e registros oscilográficos. Um outro 
processador é destinado a fazer uma aquisição de dados de 16 amostragens por ciclo, 
aproveitando os sinais amostrados inicialmente, alternadamente. Nesse segundo 
processo deve-se emular digitalmente um segundo filtro “anti-aliasing”, agora para 16 
amostragens por ciclo. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 40 de 130
 
 
5. NOÇÕES BÁSICAS DE FILTRAGEM DIGITAL E ALGORITMOS 
5.1 IDÉIA DA FILTRAGEM DIGITAL 
Requisitos 
 
Uma proteção eletromecânica convencional ou uma proteção eletrônica, analógica, 
responde a um valor de pico ou a um valor eficaz de uma grandeza elétrica, grandeza essa 
que considera todos os sinais presentes, harmônicos ou não. Uma proteção digital pode ser 
feito para atuar apenas para a grandeza fundamental do sinal. 
 
O filtro digital tem a finalidade de remover sinais não desejados que o filtro “anti-aliasing” 
não removeu, como componente DC, e harmônicos das mais diversas ordens. 
 
Os requisitos para filtragem dependem dos princípios da proteção e da sua aplicação. Por 
exemplo, para os relés de “ondas trafegantes”, os componentes à freqüência industrial 
(60Hz) seriam “interferências” e os transitórios seriam as “informações”. Por outro lado, os 
relés de sobrecorrente, distância, etc. tratam de grandezas exclusivamente a 60 Hz. 
 
Entre as exceções existem os relés que usam circuitos de restrição para harmônicas (por 
exemplo as proteções diferenciais de transformadores de potência) que precisam detectar 
freqüências diferentes da fundamental. 
 
Noção Básica 
 
O presente capítulo tem a finalidade de mostrar, de uma maneira a mais simples possível, a 
noção de filtragem de sinais diferentes da fundamental numa proteção digital. Apenas nos 
capítulos seguintes é que se faz um tratamento mais academico para esse assunto. 
 
Há dois tipos de filtros, os chamados “recursivos” e os “não recursivos”. Os filtros recursivos 
efetuam realimentação dos sinais de saída para a entrada para refinamento dos cálculos. 
Apenas em aplicações mais específicas, com problemas complexos, se aplicam filtros 
recursivos. O uso de filtros não recursivos é mais generalizado. 
 
A tabela a seguir mostra exemplos de princípios para filtros não recursivos: 
 
 Equação de Princípio para 12 
amostragens por ciclo 
Harmônicas e Componente DC 
removidos 
1 ym = (xm + xm-2) 3, 9, ... 
2 ym = (xm – xm-2) DC, 6, 12, ... 
3 ym = (xm – xm-3) DC, 4, 8, ... 
4 ym = (xm – xm-4) DC, 3, 6, ... 
5 ym = (xm – xm-6) DC, 2, 4, ... 
6 ym = xm + √3. xm-1 + xm-2 5, 7, ..... 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 41 de 130
 
 
 
Vamos supor que uma onda periódica é amostrada 12 vezes por ciclo. Chamando de “m” 
uma determinada amostragem: 
 
m-1 = uma amostragem anterior (30 graus antes). 
m-2 = segunda amostragens amostragem anterior (60 graus antes) 
..... 
m-6 = sexta amostragem anterior (180 graus antes) 
 
Vamos analisar então a seguinte equação de princípio de filtragem: 
 
ym = (xm + xm-2) 
 
O valor ym resulta de uma composição de leituras. A figura a seguir mostra o princípio: 
 
mm-1m-2 
 
Figura 5.1 – Princípio de Filtragem de Terceira, Nona, Décima Quinta.. 
 
Observa-se que para a terceira e nona harmônicasda figura acima, o valor Vm é zero, isto é, 
há ganho zero para essas freqüências. A característica de freqüência desse filtro é mostrada 
na figura a seguir: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 42 de 130
 
 
1 2 3 6 9
Múltiplo da Frequência Fundamental
12 15
2
1
Ganho
 
 
Figura 5.2 – Resposta em Freqüência do Filtro 
 
Considerando agora a seguinte equação de princípio de filtragem: 
 
ym = (xm – xm-6) / 2 
 
O valor de ym resulta de uma composição de leituras e a figura a seguir mostra o princípio: 
 
SINAL COMPOSTO DE FUNDAMENTAL,
SEGUNDA HARMONICA E COMPONENTE DC
mm-6
ym = (xm - xm-6) /2 = xm
ym = (xm - xm-6) /2 = 0
ym = (xm - xm-6) /2 = 0
ym
ym = 0
ym = 0
 
 
Figura 5.3 – Princípio de Filtragem de Componente DC, Segunda, Quarta, etc. 
 
Observa-se que, ao se aplicar a fórmula de composição de leituras, filtra-se as harmônicas 
de ordem 2, 4... e a componente DC. 
 
Na prática, considerando que há uma variação exponencial da componente DC, sobra ainda 
alguma parcela não filtrada. 
 
A figura a seguir mostra a resposta em freqüência deste filtro: 
 
 
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Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 43 de 130
 
 
 
1 2 3 4 5
Múltiplo da Frequência Fundamental
1
Ganho
6
 
 
Figura 5.4 – Resposta em Freqüência do Filtro 
 
 
5.2 IDÉIA DE ALGORITMOS COM BASE EM SENÓIDES 
Este capítulo procura mostrar princípios de algoritmos para relés digitais, sem entrar em 
maiores detalhes de tratamento matemático, já considerando que os sinais amostrados 
estejam livres de harmônicos e de componente DC, 
5.2.1 Cálculo de Defasamento 
Em relés analógicos, a combinação e defasamento de vetores de entrada eram realizados 
através do uso de capacitores, resistores, indutores e amplificadores operacionais. Em 
relés digitais o defasamento angular de um vetor (fasor) pode ser facilmente feito 
armazenando temporariamente os valores amostrados. 
 
A figura a seguir mostra como os fasores de entrada são amostrados a um intervalo de 
tempo de 30 graus (12 amostragens por ciclo). Quando se deseja um atraso de 60 graus, o 
vetor de duas amostragens anteriores é utilizado. Quando se desejar um avanço de 120 
graus, o vetor - Vm-4 é utilizado: 
 
vm
vm-3
vm-2
vm-1
vm-4
vm-5
v m
vm-3
vm-2
vm-1
vm-4
vm-5
vm-1
vm
a.vm
a.vm + vm-1
vm-1
vm
a.vm
a.vm + vm-1
vm-6vm-6
 
 
Figura 5.5– Princípio para Defasamento de um Vetor 
 
Qualquer ângulo intermediário que não seja múltiplo de 30 graus no exemplo acima, pode 
ser determinado. O vetor composto a.Vm + Vm-1 da figura está  graus adiantado com 
relação a Vm-1. Esse ângulo é: 
 
 
 
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Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 44 de 130
 
 
30cos.1
30.
a
sena
ArcTan

 
 
Isto é, escolhendo o valor apropriado de a, qualquer ângulo pode ser obtido. 
 
5.2.2 Cálculo da Amplitude 
O algoritmo básico para o cálculo da amplitude de um sinal AC de entrada pode ser 
classificado em dois tipos: Tipo Adição e Tipo Multiplicação. Esses dois tipos podem ser 
subdivididos em: 
 
Tipo adição 
 
a) Método da Área 
b) Método de Adição de Dois Valores 
c) Método do Quadrado da Amplitude 
 
Tipo Multiplicação 
 
d) Método de Cálculo de 2 amostras consecutivas 
e) Método de Cálculo de 3 amostras consecutivas 
 
As explicações a seguir referem-se ao Tipo Adição. 
 
 
Método da Área 
 
Baseia-se no princípio de que a área calculada de uma senóide em um intervalo de tempo 
é proporcional à sua amplitude. 
Vm
Vm-1
Vm-2
Vm-3
Vm-4
Vm-5
 
Figura 5.6 – Princípio para Cálculo de Amplitude. Método da Área 
 



5
0t
tmVVk 
O cálculo é simples. Como a operação consiste apenas de soma, o resultado obtido é de 
primeiro grau. No processamento digital, o tempo requerido para adição é menor do que 
aquele para multiplicação ou divisão. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 45 de 130
 
 
O erro de cálculo é relativamente grande, estimado em ± 1,6% para 12 amostragens por 
ciclo. Esse erro depende do ângulo em que é feita a amostragem. 
 
O número de dados requeridos para cálculo é relativamente grande e isso afeta o tempo 
de operação da proteção. 
 
Efeito Filtragem 
 
Por outro lado, um efeito de filtragem está incorporado. As figuras a seguir mostram formas 
de onda com harmônicas de ordem 3 e 5. Nessas figuras as flechas indicam as diferenças 
decorrentes das harmônicas. Como se vê, quase todos os efeitos das harmônicas são 
canceladas entre si quando se somam dados para meio ciclo. 
 
Fudamental Sobreposta
com Terceira Harmônica
Fudamental Sobreposta
com Quinta Harmônica
 
 
Figura 5.7 – Valores Amostrados Com Harmônicas. 
 
Isto é, o método da área não elimina totalmente os efeitos das harmônicas mas alivia. O 
efeito da filtragem é grande para harmônicas de ordem ímpar, como mostra a figura a 
seguir. 
 
10 dB
5 dB
0 dB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Múltiplo da Frequência Fundamental
Atenuação
5.3 dB
5.3 dB
7 dB 7 dB
 
 
Figura 5.8 – Método da Área. Efeito Filtragem. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 46 de 130
 
 
 
Método de Adição de Dois Valores 
 
Como mencionado, o método da área tem a desvantagem de apresentar erro 
relativamente grande. Um método efetivo para minimizar esse erro é o método da adição 
de dois valores: 
 
 33 .   mmmmm vvKvvV 
 
A equação acima mostra que o erro é corrigido efetuando a soma absoluta de dois valores 
vm e vm-3, 90 graus defasados entre si, e corrigindo tal soma pelo valor absoluto da 
diferença entre dois valores. 
 
A figura a seguir ilustra o princípio: 
 
90o 270o180o0o 360o
90o 270o180o0o 360o
90o 270o180o0o 360o
90o 270o180o0o
360o
)(. tsenVvm 
)cos(.3 tVvm 
3 mm vv
3 mm vv
 33 .   mmmmm vvKvvV
V
V.2
V
V.2
V
V.2
(1+K).V
)(. tsenV  )cos(. tV 
 
 
Figura 5.9 – Princípio do método da adição de dois valores. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 47 de 130
 
 
Em suma este método tem as seguintes características: 
 
 Como o resultado decorre de somas, ele é de primeiro grau, o que traz vantagens no 
tempo de cálculo. 
 O erro devido à variação da fase de amostragem é muito pequeno (± 0,6%). 
 Um grande efeito de filtragem é obtido. Para a terceira harmônica, por exemplo, o nível 
de atenuação é maior que o do método da área por um montante que chega a 8 dB. 
 
10 dB
5 dB
0 dB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Múltiplo da Frequência Fundamental
Atenuação
13.6 dB
12.8 dB
15 dB 13.6 dB
12.8 dB
4 dB
6 dB
4 dB
 
 
Figura 5.10 – Resposta em Freqüência do Método da adição de dois valores. 
 
Método do Quadrado da Amplitude 
 
O método do Quadrado da Amplitude consiste, principalmente, de operações de 
multiplicação para calcular o quadrado de uma amplitude. 
 
O método utiliza dois dados defasados em 90 graus como mostrado na figura a seguir. 
 
Vm
Vm-1
Vm-2
Vm-3
90 graus
cos.Vvm 
senVvm .3 
3.  mvj
mv
2
1
2
 mm vvV
Amostragens Fasor
 
 
Figura 5.11 – Princípio do Método do Quadrado da Amplitude. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 48 de 130
 
 
 
O método tem as seguintes características: 
 
a) Em princípio, não há erro introduzido no cálculo. 
b) A resultante é obtida de dois dados, que é a quantidade mínima de dados requerida 
para cálculo da amplitude. Isso contribui para a velocidade do cálculo. 
c) As operações aritméticas envolvidas são multiplicações na sua maior parte, o que 
contribui no sentido de diminuir a velocidade de cálculo. Como o resultado é dado naforma de quadrado, pode haver restrição para algum tipo de aplicação. 
d) Nenhum efeito de filtragem é esperado para este método. 
 
5.2.3 Cálculo da Diferença de Ângulo de Fase 
Para relés digitais o cálculo para se obter a diferença de ângulo de fase entre duas 
quantidades AC é essencial para determinar as características das funções de proteção 
que dependem desse ângulo. 
 
É mais simples obter diferença de ângulo de fase através de relações trigonométricas 
usando seno e coseno. Esses cálculos envolvem algoritmos do tipo multiplicação, que 
podem ser classificados como: 
 
a) Método de duas amostras consecutivas. 
b) Método de três amostras consecutivas. 
c) Método de duas amostras ortogonais (perpendiculares). 
 
Os dois primeiros métodos, como mostram as figuras a seguir, exigem muitas operações 
de multiplicação e divisão. 
 
O terceiro método é mais usado. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 49 de 130
 
 
Vm Vm-1
.T
im
im-1
Tensão
Corrente
Defasada
  TsenTiivivivIV mmmmmmm  2
1111 /cos)..(..cos..  
TsenivivsenIV mmmm  /)..(.. 11  
vm
vm-1
im
im-1
Tensão
Corrente
Defasada
1211 ....cos...   mmmmmm ivivKivIVk 
im-2
vm-2
Para 12 amostragens por ciclo em 60 Hz
(intervalo de 30 graus entre amostras):
k = ½ e K = 1
vm
im
Tensão
Corrente
Defasada
33 ..cos...  mmmm ivivIV 
im-3
vm-3
90o
mmmm ivivsenIV ..... 33  
Método das Duas Amostras Consecutivas
Método das Três Amostras Consecutivas
Método das Duas Amostras Ortogonais
 
 
Figura 5.12 – Princípios para Cálculo da Diferença de Ângulo de Fase 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 50 de 130
 
 
5.2.4 Alguns Algoritmos para Características de Impedâncias 
Com base num relé com 12 amostragens por ciclo, são apresentados a seguir alguns 
algoritmos para características de proteção de distância. 
 
Característica Mho 
 
Z
75o75o
R
X
Z
Z’.{(im+im-1)vm+ (im-3+im-4)vm-3}
 Vm
2 - Vm-3
2 ) >= K0’
Z.I.V.cos ( V2 >= K0
 
 
Figura 5.13 – Princípios para Cálculo de Característica Mho 
 
 
Característica de Reatância 
 
Z
R
X
Z. I2 - V.I.sen(>= K0
Z’.(im
2+im-3
2) - (im .Vm-3 -im-3.vm)
>= K0’ 
 
 
Figura 5.14– Princípios para Cálculo de Característica de Reatância 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 51 de 130
 
 
Elemento Direcional de Terra 
 
 
V0
I0


I0. V0 .cos (>= K0
i0m(a. v0m+1+ v0m) + i0m-3(a.
v0m-2+ v0m-3) >= K0’ 
 
Figura 5.15– Princípios para Cálculo de Característica Direcional 
 
 
 
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Processos de Filtragem e Algoritmos 52 de 130
 
 
6. PROCESSOS DE FILTRAGEM E ALGORITMOS 
6.1 CONCEITOS BÁSICOS 
Este capítulo tem a finalidade de apresentar itens básicos e comuns a muitos algoritmos que 
serão apresentados. 
 
Terminologia 
 
y(t)= O valor instantâneo de uma forma de onda AC, seja uma tensão ou uma corrente. 
yk = A amostra késima da forma de onda y(t). 
0= A freqüência fundamental do sistema elétrico em radianos por segundo. 
t= O intervalo de tempo fixo entre duas amostragens consecutivas. 
 yk = y(k.t) 
 
 Ângulo à freqüência fundamental entre duas amostragens: t 0 
 
O valor de y(t) pode assumir a forma: tsenYtYty sc 00 .cos.)(   
 
Onde Yc e Ys são números reais. Mais genericamente, considerando fontes de erros no 
Sistema Elétrico (transitórios, saturações, etc. ) e erros no próprio sistema de amostragem, a 
expressão poderia ser escrita como: 
 
)(cos)( 00 ttsenYtYty sc   
 
6.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
A expressão anterior pode ser escrita de um modo mais amplo como: 
 



N
n
nn ttSYty
1
)()()(  
 
Onde Yn são os coeficientes, Sn(t) são os sinais amostrados (S de “sample”) e (t) 
representando matriz de erros, com: 
 
S1(t) = cos(0t) 
S2(t) = sen(0t) 
S3(t) = cos(20t) 
S4(t) = sen(20t) 
…… 
SN-1(t) = cos(N/2.0t) 
SN-1(t) = sen(N/2.0t) 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Processos de Filtragem e Algoritmos 53 de 130
 
 
 
Na forma matricial: 
 





















































KNN
N
N
K Y
Y
Y
tKStKStKS
tStStS
tStStS
y
y
y



.....
.
)(...)()(1
............
)2(...)2()2(
)(..)()(
...
2
1
2
1
2
21
21
2
1
 
 
K = número de Amostragens 
t = intervalo entre 2 amostragens subseqüentes 
K ≥N 
 
Ou: [y] = [S].[Y] + [] 
 
NOTA: O Anexo a este documento fornece uma Base Matemática para o Método dos 
Mínimos Quadrados. 
 
Da teoria da Probabilidade e Processos Randômicos [9], assumindo que a matriz de erros 
tem média zero e a matriz de covariância: 
 
E{.T} = W 
 
A solução para a expressão matricial [y] = [S].[Y] + [] pela técnica dos MÍNIMOS 
QUADRADOS (PONDERADA) será: 
 
Y = (ST.W-1.S)-1STW-1y 
 
Quando se conhece W (dados estatísticos de erros estimados numericamente), se 
aplica esta expressão. 
 
A técnica dos MÍNIMOS QUADRADOS (Não Ponderada) assume que os erros não são 
correlacionados e são independentes entre si (na matriz de erros) e têm uma covariância do 
tipo DIAGONAL. Assim, W será múltiplo de uma matriz unitária. Conseqüentemente a 
solução MINIMA QUADRADA será: 
 
Y = (STS)-1.ST.y 
 
Substituindo as expressões ortogonais de seno e coseno nesta expressão, o valor 
ijésimo da matriz ST.S será: 
 
 


K
k
jiij
T tkStkSSS
1
)().()( 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 54 de 130
 
 
 






jipara
jiparaK
________0
_____2/
 
 
Ajuste com o Método de Mínimos Quadrados (Ponderação) 
 
Pode-se ajustar um filtro de Fourier, Coseno, etc. considerando qualquer tipo de sinal que se 
possa imaginar que o dado de entrada tenha, através de função de ajuste de W na 
expressão: 
 
Y = (ST.W-1.S)-1STW-1y 
 
O problema é saber o tipo e o tamanho do sinal que se quer eliminar [13]. 
 
6.3 ALGORITMOS DE FOURIER E DERIVADOS 
Muitos métodos de cálculos para relés de proteção são baseados nos componentes à 
freqüência fundamental das correntes e tensões medidas pelo relé. E vários algoritmos 
usam informações dos FASORES contidas nos sinais de entrada. 
 
Um filtro digital que ao mesmo tempo remova as freqüências diferentes da fundamental e 
também forneça informações fasoriais seria desejável para a implementação da proteção 
digital. Três desses filtros são vistos neste capítulo: 
 
 Filtro de Fourier 
 Filtro Fourier com Mínimo Quadrado 
 Filtro Coseno 
 
Um sinal de tensão em regime no domínio do tempo pode ser expresso por: 
 
)(.)(   tsenVtv Pico 
 
Num relé digital este sinal é amostrado N vezes por ciclo. Assim, a entrada é representada 
por uma série de amostras Sk, com k variando de 1 a N. 
 
O relé digital processa os dados amostrados Sk multiplicando cada amostra por um 
Coeficiente determinado pelo tipo do filtro digital empregado. 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Processos de Filtragem e Algoritmos 55 de 130
 
 
ANÁLISE DE FOURIER 
 
O capítulo 9 deste documento apresenta como Anexo a base matemática da Análise de 
Fourier, onde se pode ver com mais detalhes a matemática apresentada neste capítulo. 
 
Antes de se partir para detalhes da Transformada, as definições de fasores devem ser 
estabelecidas. A equação seguinte é para uma tensão senoidal: 
)(.)(   tsenVtv Pico 
Expandindo essa equação teremos: )cos().(.)().cos(.)( tsenVtsenVtv PicoPico   
Quando v(t) é amostrado, o valor resultante da amostragem é denominado como Sk. Como 
Sk representa valor amostrado com uma taxa de amostragem de N amostras por ciclo da 
tensão senoidal, o cálculo da Transformada Discreta de Fourier para os COMPONENTES 
FUNDAMENTAIS pode ser definido pelas equaçõesseguintes: 
 



N
k
kal N
k
senS
N
V
1
Re )]..2(.[.
2  
 



N
k
kag N
k
S
N
V
1
Im )]..2cos(.[.
2  
 
Aplicando essas equações à equação original da tensão, temos: 
 
)cos(.Re Picoal VV  
 
)(.Im senVV Picoag  
 
A magnitude (módulo) do fasor de tensão pode ser calculada por: 
 
2
Im
2
Re agalmag VVV  
 
PicoPicomag VsenVV  ))().(cos( 222  
 
 )(
Re
Im
al
ag
V
V
ArcTanAngulodeV 
 
Com essas definições, convertem-se os valores amostrados em FASOR usando cálculos da 
Transformada Discreta de Fourier. 
 
O fasor é representado de duas formas: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Processos de Filtragem e Algoritmos 56 de 130
 
 
 Forma retangular com as partes Real e Imaginária. 
 Forma polar, com módulo e ângulo de fase. 
 
O cálculo determina que as partes Real e Imaginária de cada corrente e tensão de entrada 
usada pelo relé. Isto significa que cada amostra de tensão e corrente é multiplicada por um 
fator “seno” para se obter as componentes reais, e por um fator “coseno” para se obter as 
componentes imaginárias. Essas quantidades são somadas sobre N consecutivas amostras 
para se obter os resultados (fasores). 
v (t)
Amostragem
sen
cos
Multiplicadores Médias / somadores
Vreal
Vimag
 
 
Figura 6.01 – Representação esquemática do algoritmo de Fourier de onda completa 
 
 
Por exemplo, num relé de 12 amostragens por ciclo, ter-se-ia: 
 
 
)..2cos(
N
k 
k 
)..2(
N
k
sen  
k 
1 0, 12 0 0, 6, 12 
2/3 1, 11 1/2 1, 5 
1/2 2, 10 2/3 2, 4 
0 3, 9 1 3 
2/3 4, 8 -1/2 7, 11 
-1/2 5, 7 2/3 8, 10 
-1 6 -1 9 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Processos de Filtragem e Algoritmos 57 de 130
 
 
Resposta em Freqüência 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Múltiplo da Frequência Fundamental
FILTRO DE FOURIER DE UM CICLO 
(TRANSFORMADA) 
 
Figura 6.2 – Resposta em Freqüência do Filtro de Fourier de onda completa 
 
A figura acima mostra a resposta em freqüência, para condição em regime: 
 
Observa-se que para o FILTRO DE FOURIER DE UM CICLO (Transformada Discreta de 
Fourier), há filtragem de componente DC (desde que constante) e de todas as harmônicas a 
partir da segunda. 
 
Resposta a componente DC 
 
A componente DC não é constante, decaindo exponencialmente com o tempo. Assim sendo 
o filtro de Fourier não elimina essa componente. A bibliografia [16] mostra que: 
 
 A componente exponencial DC tem um impacto significativo no algoritmo de 
Fourier. No pior caso, pode ocorrer erro da ordem de 20% da magnitude da grandeza. 
 Essa influência pode ser minimizada através de algoritmos, dependendo da aplicação 
desejada. 
 Dependendo do fabricante e da aplicação, até componentes de hardware são utilizados 
para minimizar o impacto da componente DC. 
 
 
FILTROS RECURSIVOS E NÃO RECURSIVOS 
 
Há dois modos de calcular a Transformada Discreta de Fourier (DFT): Recursivo e Não-
Recursivo. 
 
O método Não-Recursivo requer que cada ponto de dado amostrado seja salvo na 
memória (a quantidade de dados salvos depende da “janela de dados”) e que todo o 
processo de somatória seja efetuada para cada conjunto de dados amostrados. O dado 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Processos de Filtragem e Algoritmos 58 de 130
 
 
mais velho torna-se o valor inicial e o dado mais novo torna-se a amostra N-sima. Os termos 
reais e imaginários precisam ser calculados do início. 
 
O método Recursivo requer que o produto dos coeficientes do seno e do coseno com 
valores de dados amostrados usados para gerar as somas sejam salvas (a quantidade de 
dados salvos depende da “janela de dados”) e um processo abreviado de somatória é 
efetuado. Neste método o produto mais antigo é removido da soma e o produto mais novo é 
acrescentado à soma. Assim, somente o valor da última amostra é necessário para o cálculo 
ao invés de se ter de calcular para todas as amostras da “janela”. Isto reduz a quantidade de 
cálculos efetuados, o que pode permitir que o relé efetue operações adicionais ou que 
aumente sua taxa de amostragem. Este método, entretanto, requer mais velocidade de 
computação. 
 
 
Processo Recursivo para o FILTRO DE FOURIER 
 
No processo recursivo, ao invés de recalcular os fatores seno e coseno e re-efetuar a 
somatória para cada amostra, somente os fatores seno e coseno da nova amostra são 
calculados. Então os fatores seno e coseno da amostra mais antiga são removidos da soma 
e os novos termos adicionados à soma. 
 
cos().cos())1()( ReRe Nkkalal SSkVkV  
 
().().)1()( ImIm senSsenSkVkV Nkkagag  
 
Isso significa que cada produto seno e coseno sejam salvos até que eles sejam removidos 
da soma. Adicionalmente, a soma também precisa ser salva a,té que ambos, soma “k-1” 
para a amostra anterior e a soma “k” para a amostra presente, sejam usadas no cálculo 
recursivo. Após o cálculo recursivo efetuado para cada amostra, os valores são atualizados. 
Isso diminui o tempo necessário para calcular a Transformada Discreta de Fourier. 
 
Geralmente os algoritmos de 01 ciclo para relés digitais, são do tipo recursivo, segundo [9]. 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 59 de 130
 
 
FILTRO DE FOURIER COM MÍNIMOS QUADRADOS 
 
É possível o uso de transposição e inversão de matrizes para considerar a minimização / 
diluição de erros ou mesmo considerar uma matriz de erros (supostos previamente 
esperados e conhecidos) no Algoritmo de Fourier. Nesse caso, o algoritmo chama-se 
Fourier com Mínimos Quadrados. 
 
 
Resposta em Freqüência 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Múltiplo da Frequência Fundamental
FILTRO DE FOURIER DE UM CICLO 
(MÍNIMOS QUADRADOS) 
 
Figura 6.3 – Resposta em Freqüência do Filtro de Fourier de onda completa de Mínimos Quadrados 
 
Verifica-se que, com o ajuste utilizando a técnica dos Mínimos Quadrados, a componente 
DC, mesmo que teoricamente constante, não é totalmente removida. Por outro lado, o 
método dilui erros concentrados devido a ruídos que anda possam influenciar. 
 
 
FOURIER DE MEIO CICLO 
 
O Filtro de Fourier tem a capacidade de trabalhar em diferentes tamanhos de “janela de 
dados”. Mostra-se a seguir, o uso de janela de “Meio Ciclo”. 
 
O Filtro original usa todos os dados amostrados do último ciclo para efetuar a somatória. O 
chamado “Filtro Fourier de Meio Ciclo” gera a somatória usando as amostras coletadas do 
último meio ciclo (“janela de dados” de meio ciclo). 
 
Usando Filtro de meio ciclo, a proteção poderá detectar alterações na forma de onda de um 
modo mais rápido que o caso Filtro de Ciclo Total. Bem como, menos dados precisam ser 
salvos. Entretanto há diferenças nas ações de filtragem entre os dois métodos. 
 
Numa proteção de 16 amostragens por ciclo, o método de de Ciclo Total utiliza as 16 últimas 
amostras para efetuar a somatória, enquanto que o método de Meio Ciclo utiliza as 8 últimas 
amostras. Desde que a quantidade de dados somados é menor, há um efeito sobre a 
constante que é usada multiplicar as somas, sendo (2/N) substituído por (4/N). Os temos 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 60 de 130
 
 
seno e coseno continuam a ser determinados pelo fator (2..k/N). Assim, esses últimos 
termos continuam a ser determinados pela taxa de amostragem (N=16) ao invés do 
tamanho da “janela de dados”. 
 



2/
1
Re )]..2(.[.
4 N
k
kal N
k
senS
N
V  
 



2/
1
Im )]..2cos(.[.
4 N
k
kag N
k
S
N
V  
 
O Filtro Fourier de Meio Ciclo pode ser implementado tanto pelo método recursivo como 
pelo não-recursivo. Mas, geralmente os algoritmos de meio ciclo para relés digitais, são do 
tipo recursivo, segundo [9]. 
 
Resposta em Freqüência 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
1,0
0,8
0,6
0,4
Múltiplo da Frequência Fundamental
FILTRO DE FOURIER DE MEIO CICLO
0,2
 
 
Figura 6.4 – Resposta em Freqüência do Filtro de Fourier deMeio Ciclo 
 
O filtro de Fourier de Meio Ciclo efetua a filtragem de harmônicas de ordem ímpar. Não há 
filtragem de componente DC teoricamente constante, mas apenas uma atenuação. 
 
 
FOURIER DE CICLO FRACIONADO 
 
Como mencionado, o Filtro de Fourier tem a capacidade de trabalhar em diferentes 
tamanhos de “janela de dados”. Se for menor que meio ciclo, tem-se o chamado Ciclo 
Fracionado. 
 
Esse tipo de algoritmo é sempre não recursivo, segundo [9]. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Processos de Filtragem e Algoritmos 61 de 130
 
 
FILTRO COSENO 
 
O Filtro de Fourier descrita anteriormente usa coeficientes “seno” e “coseno” para obter 
partes reais e imaginárias dos sinais filtrados. No sentido de se obter partes reais e 
imaginárias, dois sinais defasados de 90 graus são requeridos, o que é atendido pelo Filtro 
de Fourier. 
 
Uma aproximação pode ser feita usando apenas os coeficientes “coseno”, sendo que o 
segundo sinal (que seria coeficiente “seno”) utilizado é o coeficiente “coseno” obtido 90 
graus antes. Desse modo, se requer apenas o cálculo de um conjunto de dados ao invés de 
dois conjuntos de dados, como é feito Filtro de Fourier. 
 
Entretanto essa aproximação (Filtro Coseno) pode ser feita apenas pelo método “não-
recursivo”. 
 
O Filtro Coseno pode utilizar uma “janela de dados” de um ciclo, de meio ciclo ou um quarto 
de ciclo. Quanto menor a “janela de dados”, há a tendência de ser mais rápido para detectar 
alterações na forma de onda. Uma janela de 4 amostras para 16 amostragens por ciclo é 
interessante pois o defasamento básico é de 90 graus, o que vai de encontro com o 
princípio do filtro. 
 
Resposta em Freqüência 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Múltiplo da Frequência Fundamental
FILTRO COSENO DE UM CICLO
1 2 3 4 5 6 7 8
1,0
0,8
0,6
0,4
Múltiplo da Frequência Fundamental
FILTRO COSENO DE MEIO CICLO
0,2
 
 
Figura 6.5 – Resposta em Freqüência do Filtro Coseno 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 62 de 130
 
 
 
O filtro Coseno de um ciclo tem valor de ganho Zero para componente DC e para 
harmônicas de 60 Hz. Perde-se a rejeição para harmônicas de ordem PAR quando se usa 
filtro Coseno de meio ciclo. 
 
É importante observar que a resposta em freqüência não é o único parâmetro para se 
escolher o filtro para uma dada proteção. Tudo depende da função de proteção desejada, 
dos princípios de medição, características do hardware e dos tempos envolvidos / gastos em 
cada etapa. 
 
O filtro coseno de 1 ciclo é um dos melhores considerando que: 
 
 Rejeita muito bem o componente DC com queda exponencial pelo fato de ser do tipo 
“duplo diferencial” [13]. 
 Rejeita todas as harmônicas (par e ímpar). 
 Tem boa resposta para transitórios. 
 
 
6.4 FILTRO DE WALSH 
O Anexo mostra um sumário de base teórica do que seja uma função de Walsh. O Filtro de 
Walsh, baseado nessa função, trabalha apenas com dois números inteiros, enquanto que o 
filtro de Fourier trabalha com números complexos. 
 
Enquanto que num Filtro de Fourier, as componentes à Freqüência Fundamental são dados 
por: 



K
k
kc K
ky
K
Y
1
)
2
.cos(
2 
 e 


K
k
ks K
kseny
K
Y
1
)
2
.(.
2 
 com 
22
sc YYY  
 
Para o Filtro de Walsh há: 
 
)
1
.(
1
1
1 K
kcaly
K
Y
K
k
kcal 

 e 


K
k
kSal K
ksaly
K
Y
1
1 )
1
.(
1
 com 
22
SalCal YYY  
 
As funções salm(t) e calm(t) de um Filtro de Walsh correspondem aos sen(m.0t) e cos(m.0t) 
de um Filtro de Fourier e têm valores ± 1. Nota-se uma grande similaridade. 
 
A quantidade de programação computacional é muito menor para a função de Walsh, mas 
para qualquer forma de onda de entrada, o filtro de Walsh requer o cálculo de muito mais 
termos de coeficientes que o filtro de Fourier. 
 
Assim, a simplicidade da programação é contrabalançada pela necessidade de um grande 
número de termos. Sua resposta em freqüência é a mesma do Filtro de Fourier de Um Ciclo, 
desde que uma quantidade suficiente de coeficientes seja utilizada. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 63 de 130
 
 
FILTRO CAL 
 
Da mesma maneira que para o Fourier há o filtro Coseno, por analogia pode-se ter filtro CAL 
para o Walsh. 
 
A figura a seguir mostra a resposta em freqüência de um Filtro CAL. 
 
1 2 3 4 5
Múltiplo da Frequência Fundamental
1
Ganho
6
0,5
7 8
 
 
Figura 6.6 – Resposta em Freqüência do Filtro CAL 
 
Também este filtro CAL rejeita muito bem o componente DC com queda exponencial pelo 
fato de ser do tipo “duplo diferencial” [13] 
 
6.5 FILTRO KALMAN 
O Filtro de Kalman provê solução quando se deseja estimar condições dinâmicas do 
sistema. Para sistemas de Proteção este filtro é utilizado quando se deseja uma ferramenta 
que possa manipular medições (evolução de parâmetros com o tempo). Por exemplo, um 
ruído não constante ou ruído em condição específica para ser filtrado. 
 
Conceitos sobre esse filtro podem ser encontrados na referência [9]. Não é objetivo deste 
curso. 
 
6.6 TEMPO DE RESPOSTA NUM FILTRO DIGITAL 
Outro aspecto a salientar é que a resposta em freqüência mostrada ocorre em condição de 
regime. Para condição transitória de mudança de estado, há um certo período de tempo 
até que o filtro comece a responder de acordo com a resposta mostrada. Mas esta resposta 
depende muito da característica do sinal. 
 
Por exemplo, um filtro coseno de meio ciclo ganha em rapidez de, mas tem uma resposta 
transitória mais pobre que o de um ciclo. 
 
A figura a seguir mostra a resposta para a Corrente, em uma condição específica de 
presença de Erro Randômico no Filtro de Fourier, portanto com componente DC não 
totalmente filtrado. Observa-se uma demora superior a 3 ciclos até a acomodação em 
regime. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 64 de 130
 
 
 
0
5
10
15
20
25
A
10 20 30 40 50
I 
(M
ag
ni
tu
d
e)
AMOSTRAS
(16 AMOSTRAS POR CICLO)
-100
-50
0
50
100
10 20 30 40 50
AMOSTRAS
(16 AMOSTRAS POR CICLO)
I (
G
ra
u
s)
 
 
Figura 6.7 – Transitório de Acomodação para saída do Filtro Digital FOURIER DE 01 CICLO. 
 
 
6.7 FILTRAGEM DE COMPONENTE DC 
Dependendo do algoritmo utilizado, essa componente pode ser quase totalmente filtrada. 
Entretanto, erros randômicos e também características específicas dos filtros podem evitar 
que se remova, total ou parcialmente a componente DC. 
 
 
Algoritmos Específicos 
 
Métodos dos Mínimos Quadrados especiais com funções de correção para componentes 
DC têm sido desenvolvidos e aplicados para filtros de meio ciclo [14], através de algoritmos 
com características adaptivas. Para filtros Fourier de 1 ciclo há o algoritmo da referencia 
[16]. 
 
 
Uso de Impedância Réplica (“Mimic”) 
 
O principio de eliminação do efeito da componente DC é mostrada na figura a seguir. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 65 de 130
 
 
Zm
R jX
IS
Se Ângulo de Zm = ArcTan(X/R)
Então a tensão através de Zm não
conterá Offset DC 
 
Figura 6.8 –Princípio de Compensação do Offset da Componente DC 
 
Ajustando-se Zm com a mesma relação X/R do sistema elétrico protegido, no ponto de 
aplicação da proteção e utilizando a tensão através de Zm ao invés da corrente IS, cancela-
se o efeito offset da corrente. 
 
Esse princípio pode ser aplicado digitalmente, isto é, calcula-se uma tensão através do 
“mímico digital”, para cancelar a componente DC. Uma dificuldade é que o ângulo adotado 
da relação X/R é aproximado, não sendo 100% preciso. 
 
A figura a seguir mostra o efeito da Impedância Réplica para eliminar o efeito da 
componente DC no mesmo filtro da figura anterior. Note-se que se utiliza a tensão I.Z (Z de 
réplica digital) ao invés da corrente I. Há acomodação em cerca de 01 ciclo, aumentando a 
velocidade de definição da proteção. 
 
05
10
15
20
25
A
10 20 30 40 50
V
=
IZ
(M
a
g
ni
tu
d
e
)
AMOSTRAS
(16 AMOSTRAS POR CICLO)
-100
-50
0
50
100
10 20 30 40 50
AMOSTRAS
(16 AMOSTRAS POR CICLO)
I.
Z
 (
G
ra
us
)
 
 
Figura 6.9 –Filtro Digital FOURIER DE 01 CICLO com Impedância Réplica 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 66 de 130
 
 
6.8 TEMPO DE OPERAÇÃO DA PROTEÇÃO E A TAXA DE AMOSTRAGEM 
Uma taxa de amostragem maior pode significar tempo de operação menor para o relé, mas 
essa melhoria é temperada pelo atraso introduzido pelo filtro. 
 
A figura a seguir mostra o tempo de operação de uma proteção de distância em primeira 
zona, para um determinado tipo de falta, em função da taxa de amostragem da proteção: 
 
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
ciclos
5 10 15 20 25 30 35
Amostragens / ciclo
Filtro Digital Fourier de 1 ciclo. 
 
Figura 6.10 –Influência da Taxa de Amostragem na velocidade da proteção 
 
Partindo de uma taxa de amostragem de 4 por ciclo e indo até 8 por ciclo, observa-se um 
ganho de cerca de 1/8 de ciclo (0,125 ciclos) ao custo de se dobrar o esforço de 
computação. 
 
Dobrando-se a taxa de amostragem de novo, para 16 por ciclo, ganha-se cerca de 1/16 de 
ciclo no tempo. Dobrando de 16 para 32, ganha-se apenas 1/32 de ciclo. 
 
Porque esse tipo de saturação, isto é, o ganho vai se estreitando mesmo que se aumente 
muito a taxa de amostragem da proteção? É que os filtros digitais são baseados em janela 
de 1 ciclo e o aumento da velocidade vem da redução do tempo do filtro analógico de 
entrada e redução do tempo de latência do processamento. 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 67 de 130
 
 
6.9 ALGORITMOS NÃO FASORIAIS 
6.9.1 Equações Diferenciais no Domínio do Tempo 
Algoritmos com equações diferenciais são baseados em modelos de sistemas ao invés de 
modelos de sinais (formas de ondas). Tomando o diagrama unifilar simplificado a seguir: 
 
R L
C
v(t)
i(t) i(t) - C(dv/dt)
R L
v(t)
i(t)
 
 
Figura 6.11 – Modelo para Algoritmo de Equação Diferencial 
 
 
Considerando a capacitância: 
 
td
tvd
LC
dt
tdv
RC
dt
tdi
LtiRtv
2
2 )()()(
)(.)(  
 
Sem considerar a capacitância: 
 
dt
tdi
LtiRtv
)(
)(.)(  
 
Considerando a medição da impedância, tendo a medição de v(t) e i(t) pode-se estimar os 
parâmetros R e L. Como derivadas de quantidades medidas são difíceis de serem 
produzidas, faz-se o artifício de cálculo de integrais sobre dois intervalos consecutivos 
(para duas incógnitas, duas equações). 
 
Para simplicidade, vamos analisar o caso sem Capacitância. 
 
   
1
0
1
0
)()().()( 01
t
t
t
t
titiLdttiRdttv    
2
1
2
1
)()().()( 12
t
t
t
t
titiLdttiRdttv 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 68 de 130
 
 
 
Os intervalos citados precisam ser acomodados para os valores amostrados pelo relé. Se 
as amostragens são uniformemente espaçados no intervalo t e a regra trapezoidal é 
empregada para as integrais, temos: 
 
   0101 2
)()(
2
)(
1
0
vv
t
tvtv
t
dttv
t
t




 
 
 01
1
0
2
)( ii
t
dtti
t
t


 
 
E as duas equações em dois intervalos consecutivos podem ser escritas na forma 
matricial: 
 
   
   
 
 





































12
1
1212
11
2
2.
2
2
kk
kk
kkkk
kkkk
vv
t
vv
t
L
R
iiii
t
iiii
t
 
 
Então, três amostragens de tensão e corrente (k, k+1 e k+2) são suficientes para 
determinar R e L como: 
 
)).(()).((
)).(()).((
112121
112121
kkkkkkkk
kkkkkkkk
iiiiiiii
iivviivv
R





 
 











)).(()).((
)).(()).((
2 112121
112121
kkkkkkkk
kkkkkkkk
iiiiiiii
vviivviit
L 
 
Este algoritmo de equações diferenciais teria a vantagem de ser bem rápido (três 
amostragens), mas é melhor não depender de somente três amostragens. Muitas 
implementações dependem de uma série de cálculos com 3 amostragens cada. 
 
Tem a vantagem de não ser afetada pela componente DC. 
 
Há problema, entretanto, com essas equações diferenciais. 
 
O denominador )).(()).(( 112121 kkkkkKkk iiiiiiii   pode-se tornar um valor 
muito pequeno, fazendo que o erro da divisão para cálculo de R e L seja amplificado. Para 
superar essa dificuldade, cálculos sucessivos (de 3 amostragens) são feitos (há contador) 
de modo que o valor seja confirmado. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Processos de Filtragem e Algoritmos 69 de 130
 
 
6.9.2 Ondas Trafegantes 
A idéia não é nova. Já existiram relés de proteção de tecnologia estática que eram 
baseados no princípio de medição de ondas trafegantes. Com a nova tecnologia digital 
também é possível, com mais precisão e confiabilidade, utilizar o princípio. 
 
Não é objetivo do presente documento apresentar o esquema utilizado por relés digitais. 
Apenas se menciona que a proteção mede a onda criada pelo curto-circuito na LT e que 
atinge o ponto de aplicação da proteção. Vide teoria de ondas trafegantes. 
 
No caso não se medem grandezas elétricas senoidais, mas sim os sinais de alta 
freqüência associados à onda. O que seria “sinal” para uma proteção convencional, não se 
aplica à proteção de ondas trafegantes. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Exemplo de relé 70 de 130
 
 
7. EXEMPLO DE UM RELÉ DIGITAL COMERCIAL E SEUS RECURSOS 
7.1 CONVERSÃO A/D 
Mostra-se aqui o processo de conversão AD de um relé comercial, no caso a proteção 
SEL421 da Schweitzer. 
 
Voltages 
Currents
Control 
Inputs
16 samples/
cycle
8 samples/
cycle
V&I 
Source 
Select
Hardware Software
Metering
P
ro
te
ct
io
n
 a
nd
 A
ut
o
m
at
io
n
Digital Elements
Analog Quantities
Low Pass 
Filter
8 kHz
A /D
DebounceA/D
Hi- �Res Data
COMTRADE
Anti- Alias 
Digital LPF
8000 samples/ second 
( 8 kHz)
Digital RMS 
Filter
1-Cycle 
Cosine 
Digital Filter
Breaker 
Monitor
Filtered 
Event 
Report
SER
Half-Cycle 
Digital Filter
Exemplo de Proteção Schweitzer SEL421 e SEL451 
 
Figura 7.01 – Conversão A/D de um relé comercial moderno 
 
 
Observa-se que a conversão A/D por hardware é feita com uma taxa de amostragem fixa de 
8 kHz por segundo (8000 amostragens / s ou 133,33 amostragens por ciclo em um sistema 
de 60 Hz, considerando a freqüência constante. 
 
Há um filtro passa baixa que faz as funções de “anti-aliasing” com característica de -3 dB a 3 
kHz. Isso significa: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Exemplo de relé 71 de 130
 
 
3 kHz
Se filtro Butterworth de 
segunda ordem:
-12 db / oitava ou 
redução de 16 x no sinal 
de 3 kHz para 6 kHz
“Frequência de corte” (-3 dB) 
0 dB 
Definição de frequencia de corte:
Ganho (-3 dB) = 10.log (p2/p1)
 -0,3 = 10.log (p2/p1)
p2/p1 = 0,5 (meia potência)
- 12 dB / oitava
Passabanda Atenua banda 
 
Figura 7.02 – Filtro passa baixa analógico do relé SEL421 (taxa de amostragem de 8 kHz) 
 
Mantendo-se a freqüência de amostragem constante no tempo, por um relógio próprio (não 
amarrado à freqüência do sistema) obtém-se com mais facilidade o comportamento da 
variação de freqüência do sistema supervisionado e a análise de harmônicas – o que é 
ótimo para a oscilografia. Então tem-se uma oscilografia (formato COMTRADE) com alta 
taxa de amostragem, já dentro da ordem de grandeza das taxas adotadas de registradores 
oscilográficos “stand-alone”. 
 
7.2 FILTROS DIGITAIS 
Os sinais já digitalizados em 8 kHz passam agora por um filtro digital “anti-aliasing” pois 
haverá reamostragem. Considerando uma reamostragem de cerca de 16 amostragens por 
ciclo, a freqüência de corte deverá estar em torno de 8 amostragens por ciclo. A proteção do 
exemplo aplica um filtro digital com -3 dB a 640 Hz (ou freqüência de corte em torno de 10 
amostragenspor ciclo, se freqüência constante. Note que ainda a amostragem é fixa por 
intervalo de tempo e não de ciclo. 
 
Uma vez filtrado, pode-se aplicar algoritmos de filtragem para várias finalidades, já sem erro 
de “alias”. Note que há três tipos de filtros: 
 
 Filtro coseno de 1 ciclo que é utilizado para a função de distância, com algoritmo final 
que considera 8 amostragens por ciclo (este fabricante considera que não tem 
necessidade de mais amostragens para função de distância). 
 Filtro coseno de 0,5 ciclo é utilizado para a função de falha de disjuntor, onde se exige 
rápida definição de grandeza de corrente. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Exemplo de relé 72 de 130
 
 
 Filtro de valor eficaz para medição e para monitoramento de disjuntor (cálculo da 
capacidade de interrupção disponível para fins de manutenção). 
 
7.3 FILTRAGEM ADAPTATIVA 
Deve-se observar agora, que ao se fazer “amostragens por ciclo” e algoritmo de Fourier ou 
coseno para cálculo da grandeza à freqüência fundamental, a quantidade de amostras deve 
ser constante, por ciclo, independente da freqüência do sistema elétrico. Caso contrário, 
haverá erro na recomposição do vetor a partir dos valores amostrados. 
 
Assim sendo, a proteção tem uma “Filtragem Adaptativa” a 16/8 amostras por ciclo, que é 
um recurso onde se faz a necessária adaptação à freqüência do sistema, evitando erros de 
medição (chamado “Tracking de Freqüência” na faixa de 40 a 65 Hz). A figura a seguir é 
esquemática e ilustra o processo que é utilizado para função de distância: 
 
Canal 
analógico de V 
ou I
Filtro 
Analógico 
passa baixo
Estimador de 
Frequência do 
Sistema
A / D
Intervalo de 
amostragem
Relógio 
Local
Filtro Digital 
Adaptativo 
passa Banda
Oscilografia e 
Análise de 
Harmonicas
Reamostragem Proteção
 
 
 
Figura 7.03 – Processo adaptativo de amostragem para “Tracking de Freqüência” 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Impactos da tecnologia digital 73 de 130
 
 
8. IMPACTOS DA TECNOLOGIA DIGITAL EM PROJETOS, INSTALAÇÕES E NA 
OPERAÇÃO. 
Métodos, processos e técnicas de projeto, instalação, operação e manutenção da proteção, 
controle e supervisão são significativamente alterados com o advento da TECNOLOGIA 
DIGITAL, se comparados com os adotados com a tecnologia convencional (eletromecânica e 
eletrônica analógica). 
 
Este capítulo apresenta alguns comentários sobre os itens de projetos, instalações e 
operação. O capítul seguinte trata da manutenção. 
 
8.1 INSTALAÇÕES E PROJETOS 
8.1.1 Substituição de Equipamentos “Stand Alone” por Funções Digitais 
No passado era necessária a aquisição de equipamentos específicos para várias funções 
como por exemplo: 
 
 Medição de Controle 
 Religamento Automático 
 Verificação de Sincronismo 
 Falha de Disjuntor 
 Monitoração de Disjuntor 
 Monitoração de Serviço Auxiliar DC 
 Localização de Defeitos 
 Registrador de Eventos 
 Registrador de Perturbações 
 
Hoje, um relé digital multifuncional incorpora uma ou mais dessas funções, dependendo do 
modelo, finalidade e fabricante. 
 
Isso implica que: 
 
 Não há necessidade de aquisição de equipamento a parte para essas funções, porém 
continua havendo necessidade de especificar o que se deseja, agora como função ou 
facilidade embutida. 
 Se antes havia cablagem das instalações externas (TP, TC, disjuntor, serviço auxiliar, 
telecomunicações) aos equipamentos a parte e destes com os relés de proteção, agora 
continua havendo necessidade de cablagem dessas mesmas instalações externas ao 
relé digital, mas sem necessidade de eventuais duplicações. Em geral há redução de 
cablagem. 
Por exemplo, há necessidade de apenas um conjunto de informações dos TP’s ao 
novo relé digital, e não mais a vários equipamentos com por exemplo, medidores, 
check de sincronismo e relés que utilizam informação de tensão. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Impactos da tecnologia digital 74 de 130
 
 
 Deve-se sempre tomar o cuidado de perceber que essas funções exigem sinais 
externos e há, por exemplo, tendência de esquecimento no novo projeto digital, pelo 
projetista. 
8.1.2 Sistemas de Comando e Controle por Lógicas Embutidas em Relés ou Outros 
Dispositivos Eletrônicos Inteligentes 
No passado as lógicas de comando e controle em uma instalação elétrica eram realizados 
por relés eletromecânicos de diversas características (capacidade de contato, tempo de 
atuação), dependendo da aplicação. Os relés e contatores eram conectados através de 
cabos de controle (cobre), com borneiras e chaves diversas. 
 
Isso implicava em painéis com muita cablagem e relés ou contatores, temporizadores, 
chaves diversas e outros auxiliares para sinalização e alarme. 
 
Hoje, muitos circuitos de comando e controle podem ser implementados através de: 
 
- Programadores Lógicos Controláveis (PLC) 
 
- Lógicas embutidas em relés de proteção. 
 
PLC’s são utilizados em sistemas mais completos de automação ou esquemas especiais 
de proteção. Lógicas de relés são utilizados em controles tradicionais para terminais. 
 
Assim, os sinais das seccionadoras, disjuntores e sinais analógicos são levados aos PLC’s 
ou relés digitais de proteção, sendo que esses possuem contatores internos de saída para 
os comandos finais, após a lógica desejada. 
 
Por exemplo, muitos intertravamentos simples e bloqueios podem ser implementados 
através de lógicas internas de relés, não necessitando de cabos de cobre interligando os 
equipamentos supervisionados. Bastam informações desses equipamentos ao relé. 
 
O impacto desses recursos é significativo na filosofia de projeto de comando e controle. Há 
economia sensível em cabos e relés e contatores auxiliares necessários, dependendo da 
aplicação. 
 
8.1.3 Disponibilidade de Novas Funções de Proteção 
No passado, algumas funções de proteção eram consideradas especiais, pela dificuldade 
de implementação, pois exigiam relés mais caros ou conexões mais complexas. 
 
Hoje, essas funções podem ser executadas por simples operações matemáticas num relé 
digital (na realidade, um computador). E operações matemáticas em computador, através 
de fórmulas ou algoritmos são executadas rotineiramente em velocidade, mesmo as mais 
complexas. 
 
Como exemplos dessas novas funções, podem ser citadas: 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Impactos da tecnologia digital 75 de 130
 
 
 Seqüência Negativa 
Pelo fato de serem de difícil implementação, eram utilizados (relés de desbalanço de 
corrente) para máquinas rotativas. Hoje, estão disponíveis em quase todos os relés 
que tem como entrada as três correntes de fase de um circuito, através de apenas um 
cálculo (teoria de componentes simétricos). 
 Tensão residual (3.V0) 
Antes, havia necessidade de secundário de TP adicional ou TP’s auxiliares, 
conectados em Delta Aberto, para medição da tensão residual para proteção de terra 
em sistema isolado ou aterrado com impedância. Hoje, apenas um cálculo (soma das 
três tensões de fase) já fornece o valor desejado. 
 Sobrecarga Térmica 
No passado, relés térmicos tentavam representar, através de circuitos secundários de 
dissipação de calor (placas dissipadoras) a constante de tempo de aquecimento do 
equipamento supervisionado. Assim um relé 49 era aplicado principalmente a 
máquinas rotativas. Mesmo assim, dificilmente se conseguia uma característica de 
proteção adequada à característica do equipamento protegido. 
Hoje, através de réplicas térmicas digitais, pode-se modelar a característica de 
aquecimento (em função da corrente e da temperatura ambiente) com precisão. Mas 
ainda hoje permanece a dificuldade de se conseguir a característica térmica do 
equipamento protegido. Dependendo do equipamento, o próprio fabricante tem 
dificuldade de informar (por exemplo, grandes transformadores). 
 Outras, como fechamento sobre falta, zona morta entre TC e disjuntor, especial 
para esquema disjuntor emeio, etc. 
. 
8.1.4 Constatações 
a) Hoje, há maior necessidade de conhecimento da filosofia de proteção para uso 
adequado de todas as disponibilidades de um relé digital. 
– Usar ou não usar uma função é uma dúvida bastante comum. Os reles em geral 
apresentam mais recursos que o simplesmente necessário, pois os fabricantes, em 
decorrência de aspectos econômicos e de mercado, oferecem relés praticamente 
“universais” (para várias aplicações). Prós e contras e aspectos técnicos diversos 
devem ser considerados. 
– Há também o problema da redundância. Diversas opções de hardware e de software 
(funções de proteção) estão disponíveis. Muitas vezes, se tem todas as funções em 
um único equipamento (relé). O problema da redundância deve ser considerado, 
para se avaliar a confiabilidade. 
Assim, sempre se deve avaliar se deve ser aplicado um relé com todas as funções 
ou mais relés com funções distribuídas. 
 
b) Muitos projetistas estão ainda despreparados. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Impactos da tecnologia digital 76 de 130
 
 
– Há funcionalidades que a projetista simplesmente não utilizam, enquanto que sua 
utilização poderia trazer benefícios – assim alguma cablagem que deveria existir não 
existe. Um quando utilizam, o fazem parcialmente 
 Exemplos: uso da função térmica 49, uso da falha de disjuntor, uso da supervisão de 
serviço auxiliar DC, uso do monitoramento do disjuntor. 
– As vezes as conexões AC não são as mais adequadas para melhor aproveitamento 
das funções digitais. 
Exemplo proteção diferencial de TR. Uma conexão delta no TC principal é utilizada, 
como num projeto convencional, enquanto que uma conexão estrela-aterrada 
poderia proporcionar mais sensibilidade, com a proteção digital fazendo o bloqueio 
da seqüência zero. 
c) Muitos prestadores de serviços estão ainda despreparados. 
– Principalmente para serviços de comissionamento da parte de proteção, supervisão 
e controle, há necessidade uma atenção maior quanto aos prestadores de serviços. 
A falta de conhecimento de uma proteção digital pode levar a comissionamento 
superficial, sem verificação de itens essenciais. 
A falta de equipamentos adequados (notebooks, softwares, caixas digitais de 
ensaios) também podem levar ao comissionamento incompleto ou até a danos em 
equipamentos mais sensíveis. 
– Como melhorar a capacitação desse pessoal? Eis uma boa questão. . 
d) Quanto à Contratante. 
– Necessidade de estabelecimento de requisitos e especificações adequados à 
tecnologia moderna, para os projetos contratados de supervisão, controle e proteção. 
– Idem para serviços de comissionamento respectivos. 
– Necessidade de fiscalização técnica adequada aos projetos e serviços. 
– Há necessidade de melhor conhecer os impactos da moderna tecnologia nos 
projetos para a devida contratação 
. 
 
 
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NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Impactos da tecnologia digital 77 de 130
 
 
8.2 OPERAÇÃO 
Quanto à Operação, há significativas mudanças nas instalações e nos recursos de modo 
que os procedimentos devem se adequados às essas mudanças, para melhor 
aproveitamento. 
 
8.2.1 Integração com a Supervisão 
As proteções digitais, juntamente com outros equipamentos e dispositivos digitais do 
sistema de supervisão e controle de uma instalação elétrica fazem parte de uma família 
denominada genericamente de IED – “Intelligente Electronic Devices”. 
 
Esses equipamentos possuem facilidades embutidas de operação em rede, com 
equipamentos e sistemas trocando informações e provendo um sistema de supervisão 
global onde as informações da proteção fazem parte de um todo e não mais são 
consideradas isoladas. 
 
Isto é, o conceito do relé de proteção isolado dentro de uma instalação, ou considerado 
isoladamente, não existe mais. Geralmente as proteções são parte de um todo, sendo 
colocadas em rede local juntamente com unidades de aquisição de dados (controle e 
supervisão) e outros IED’s. O sistema é conectado a uma unidade de supervisão geral da 
instalação em rede, cujas arquiteturas e meios de comunicação podem ser as mais 
diversas possíveis. 
 
O grande problema é ainda a integração de IED’s de fabricantes distintos. Os protocolos 
que no passado eram, na maior parte, proprietários, apresentam tendência de abertura 
cada vez maior, permitindo através de codificações comuns e compatíveis, a integração de 
equipamentos das mais diferentes origens. 
 
Também o conceito de rede ampla, que no passado era utilizado apenas para os Centros 
de Operação do Sistema (transmissão e geração de energia elétrica) para fins de 
operação, são agora compreendidos como algo mais amplo e diversificado, incluindo 
proteção e mas mais diversas informações englobando instalações múltiplas em uma 
região. 
 
8.2.2 Acesso Remoto 
A supervisão e controle remotamente efetuados é, portanto, bastante comum. As mesmas 
facilidades e recursos de uma supervisão local já são disponíveis remotamente. 
 
Isso trouxe um impacto muito grande para a Operação. Por exemplo, já em fins dos anos 
80 e começo dos anos o desassistimento de instalações em função da operação remota 
(apesar de menos recursos na época) já era realidade – hoje, as informações de proteção 
e oscilografia também são adquiridos a distância. 
 
 
 
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Impactos da tecnologia digital 78 de 130
 
 
O acesso remoto a dados de proteção (parâmetros, dados de eventos, oscilogramas de 
ocorrências, diagnóstico) são as conquistas que trazem um retorno econômico 
significativo, com agilização dos procedimentos operacionais e redução de despesas de 
locomoção. 
8.2.3 Constatação 
Constata-se que a adaptação cultural à nova tecnologia digital, com os seus recursos, é 
lenta. 
 
Tem-se observado que: 
 
 A alteração nos métodos e processos, para melhor aproveitamento dos novos 
recursos, é feita lentamente em algumas empresas. A agilização não tem sido obtida 
na velocidade desejada. 
 O fato de não se enxergar “bits” e “bytes” é uma dificuldade. O SOFTWARE DEVE 
SER TRATADO COMO UM EQUIPAMENTO (Custa caro. Exige manutenção / 
atualização. Há parametrização e comissionamento. Pode apresentar falhas e 
defeitos). 
 Muitas vezes a operação, as vezes, não exige de “projetos e instalações”. E “projetos e 
instalações” é lenta na oferta de novos recursos – ou a oferta é feita sem critério. 
 
Uma recomendação adequada seria: 
 
“Procurar utilizar todos os recursos disponíveis de telecomunicações para aquisição de 
dados e informações e para diagnóstico e parametrização. 
 
Exigir esses recursos onde não disponíveis para recursos digitais locais, já existentes”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 79 de 130
 
 
9. CONFIABILIDADE E MANUTENÇÃO DA PROTEÇÃO DIGITAL 
9.1 SISTEMAS DE AUTO VERIFICAÇÃO, MONITORAMENTO CONTÍNUO E AUTO-TESTE 
 
Uma das mais importantes vantagens da proteção numérica de tecnologia digital 
microprocessada é a possibilidade ampla de implementar sistemas de verificações e 
diagnósticos automáticos. 
 
a) O relé digital pode reconhecer instantaneamente os dados de entrada em quantidades 
mínimas, permitindo executar monitoramento contínuo e verificações com muito mais 
precisão que os relés de tecnologia eletrônica convencional. 
 
b) Desde que o monitoramento é feito principalmente por softwares, é possível executar, de 
imediato, funções complexas de verificação e testes que não seriam possíveis com relés 
convencionais. 
 
O resultado imediato é a melhoria sensível na confiabilidade operacional da proteção, como 
será mostrado posteriormente, e a redução dos custos de manutenção da proteção. 
 
Os seguintes processos são considerados: 
TPs
e
TCs
Trip Indica
ções
Cond.
Externas
Alimenta
ção
Monitoramento e Teste
de Circuitos de Entrada
Auto
Verificação
Auto
Verificação Auto
Verificação
Auto
Verificação
Monitoramentodos Ajustes
Auto
Verificação
Monitoramento e Teste
de Circuitos de Entrada
Teste do Circuito
de Saída
Monitora-
mento
Monitoramento
da Alimentação
Monitora-
mento
Bus
Entrada
Analógia
Processamento
da Medição
Processamento
Esquema Lógico
Ajustes Indicação
Detecção
de Falta
Relés
Auxiliares
Output Input
Conversor
AC/DC
T
ra
ns
d
ut
o
re
s
Monitora-
mento
 
 
Figura 9.1 – Sistema Automático de Monitoramento e Verificação 
 
 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 80 de 130
 
 
Monitoramento Contínuo 
 
É feito monitoramento para: 
 
 Sinais de entrada, fazendo uso de critérios de redundância e erros esperados na 
medição, por exemplo, cálculos de seqüência zero de tensão e corrente. 
 Circuitos de TC’s e TP’s quanto a curto-circuito ou circuito aberto, fazendo uso de 
expressão que indica valores máximos e mínimos esperados no conjunto relacionado 
das três fases e neutro. 
 Circuitos de entrada, envolvendo transdutores e acopladores, fazendo de critérios de 
discrepâncias. 
 Circuitos de saída, fazendo uso da comparação da saída com os níveis de 
processamento e lógicas em execução. 
 Conversor DC-DC quanto a falhas, através da comparação dos níveis de saída de cada 
subsistema. 
 “Set” de Ajustes (armazenados em EPROM’s), comparando diferenças entre dois 
conjuntos (há sempre dois conjuntos iguais para cada “set” de ajustes). 
 Ajustes, através da verificação em função da faixa de ajustes permitida. 
 Itens do sistema de processamento, como paridades, temporizações inerentes de ROM, 
RAM, Watch Dog, etc. (auto diagnose). 
 
Adicionalmente pode-se fazer uso do chamado “stole alarm”, isto é, um sinal “OK” é 
encaminhado a um hardware externo, pelo software de monitoramento, de tempo em tempo, 
para indicação de que o programa está sendo processado normalmente. A amplitude desse 
monitoramento é determinada pela quantidade e variedade dos “check points”. 
 
Auto Verificação 
 
Exemplos de auto verificação: 
 
 Verificação da memória RAM – através de escrita e leitura de dados pré-determinados. 
 Verificação de programas – através de dados de “entrada” para processamento, 
conhecendo-se as “saídas” esperadas. 
 Verificação da Característica da conversão A/D – pela aplicação de teste DC de alta 
precisão a partir do circuito S/H (Sample & Hold) e fazendo verificação de dado de 
entrada pela CPU. 
 
Auto-Teste 
 
Podem ser feitos testes para: 
 
 Verificação das Entradas Analógicas – através da aplicação de corrente de teste e 
verificando o resultado pela CPU. Durante esse teste, o circuito de trip da proteção é 
desativada (cerca de 100 ms). 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 81 de 130
 
 
 
 Verificação de circuitos de saída (trip ou circuitos de grande importância) – através da 
demanda de sinal interno de trip, para verificar se o circuito de saída está operando 
corretamente. Também neste caso, o circuito externo de trip da proteção teria que ser 
isolado (automaticamente, com projeto prevendo este esquema). 
 
TP’s
TC’s
Disj
Relé
Unidade de Teste
Automático
Circuito de Controle
de correntes
Monitoramento
sinais e
comandos
de testes
Alarme e
Sinalização
Relé
Unidade de Teste
Automático
 
 
Figura 9.2 – Exemplo de Sistema Automático de Testes 
 
 
Timing para Monitoramento, Auto Verificação e Auto Teste 
 
operação normal Auto Teste (100 ms)
tempo
cálculo Proteção
Monitoramento e Auto
Verificação
(100 s)
 
 
 
Figura 9.3 – Tempos Envolvidos no Processo 
 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 82 de 130
 
 
Classificação dos Métodos de Detecção de Falhas 
 
Tipo de 
Detecção 
Intervalo de 
Testes 
Período sem 
Proteção 
Modos de 
Operação 
Detectáveis 
Modos de 
Falha 
Detectáveis 
Maiores 
Vantagens 
Maiores 
Desvantagens 
Manual 
Periódico 
1 a 4 anos Algumas 
horas 
 Recusa de 
Operação 
 Operação 
Acidental 
 Operação 
Incorreta 
 Falhas de 
Degradação 
 Falhas 
Catastróficas 
 Testes mais 
completos. 
 Detecção de 
falhas 
menores. 
 Proteção 
indisponível 
por horas. 
 Longo tempo 
para detectar 
falhas ocultas 
 Possibilidade 
de erro 
humano. 
 Alto custo 
operacionhal. 
Auto Teste De algumas 
horas a alguns 
dias 
(ajustável) 
100 ms  Recusa de 
Operação 
 Operação 
Incorreta 
 Falhas de 
Degradação 
 Falhas 
Catastróficas 
 Tempo 
relativa-
mente curto 
para detectar 
falhas 
ocultas 
 Necessidade 
de projeto 
especifico e 
instalação 
extra. 
 Custo inicial 
maior. 
 Aumento da 
taxa de 
falhas pelo 
acréscimo de 
itens 
adicionais. 
Monitora-
mento 
contínuo 
Zero Zero  Operação 
acidental 
 Falhas 
Catastróficas 
 Adequado 
para 
esquemas 
redundantes. 
 Detecção 
imediata de 
defeitos 
 Trip 
instantâneo 
incorreto 
pode ser 
prevenido 
 Adidional de 
hardware é 
pequeno. 
 Funções 
operacionais 
não podem 
ser 
verificadas. 
Auto 
Verificação 
Alguns ms Zero  Recusa de 
Operação 
 Operação 
Incorreta 
 Falhas 
Catastróficas 
 Erros de 
software 
 Falhas de 
Degradação 
 Detecção 
imediata de 
defeitos 
 Quase sem 
hardware 
adicional. 
 Defeitos 
intermitentes 
também 
detectados. 
 Necessidade 
de 
programas 
adicionais. 
 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 83 de 130
 
 
9.2 CONFIABILIDADE OPERACIONAL DE RELÉS DIGITAIS 
O presente item tem a finalidade de mostrar como os sistemas de monitoramento contínuo, 
auto verificação e auto-teste implementam a confiabilidade operacional de uma proteção 
digital. 
 
A confiabilidade operacional de uma proteção é dada por dois parâmetros: 
 
 Dependabilidade 
A proteção deve atuar corretamente quando solicitado. Uma proteção pode: 
 Atuar incorretamente, quando solicitada a operar e não desempenha sua função 
adequadamente. 
 Não atuar (recusa), quando solicitada a operar. 
 
 Segurança 
A proteção não deve atuar, quando não solicitado. Uma proteção pode: 
 Atuar acidentalmente, quando não é solicitada a atuar mas opera desligando o 
terminal. 
 
Transição de Estado de Um Relé de Proteção 
 
Vamos considerar os seguintes Estados, nos quais pode se encontrar um relé de proteção: 
 
(A) – Estado São. 
Quando o relé se encontra em uma situação que garanta tanto a Dependabilidade como a 
Segurança. 
 
(B) – Em Falha. 
Quando o relé se encontra em uma situação tal que pode operar incorretamente quando 
solicitado ou pode acidentalmente sem solicitação. 
 
(C) – Em Reparo 
Quando o relé se encontra fora de operação para reparo. 
 
Esses três estados estão mostrados na figura seguinte. 
 
A
São
B
Em Falha
C
Em Reparo
Em Serviço
Fora de Serviço
 
 
Figura 9.4 – Estados Possíveis de Um Relé de Proteção 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 84 de 130
 
 
Deve-se observar que o relé pode permanecer em operação no estado B, sob falha não 
detectada. Se o relé se encontrar neste estado, ele poderá operar incorretamente ou não 
operar quando solicitado. Nessas condições, sofrerá intervenção e entrará no Estado C. O 
retorno para a Operação será no Estado A. 
 
Taxas de Transição de Estado 
 
Terminologia e definições: 
 
MTBF - Tempo Médio Entre Falhas. É o tempo médio em que um relé permanece no estado 
A. No instante que ele tiver uma falha interna, passará para o estado B. 
 
MTBF
1
 - Taxa de Falha por Unidade de Tempo 
 
CT - Intervalo de Tempo entre Intervenções no Relé. 
 
2
CT
 - Tempo em que o Relé permaneceu em Falha, antes da Solicitação / Detecção. 
 
2
1
CT
 - Taxa de Detecção de Falha por Unidade de Tempo. 
 
MTTR – Tempo Médio para Reparo do Relé. 
 
MTTR
1
 - Taxa de Reparo de Falha por Unidade de Tempo. 
 
Nessas condições, as transições de Estado podem ser definidas matematicamenteatravés 
das taxas: 
 
A
São
B
Em Falha
C
Em Reparo

 
 
 
Figura 9.5 – Transição de Estados 
 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 85 de 130
 
 
Requisitos para a Proteção 
 
a) Manter o Estado A o maior tempo possível 
 
 Através do uso de componentes confiáveis (diminuindo ). 
 Detectando e reparando as falhas o mais rápido possível (aumentando ) 
 
b) Reduzir a probabilidade de atuação incorreta, recusa ou atuação acidental ao mínimo, 
durante o estado de Falha B. 
 
 Por exemplo, duplicando a proteção. 
 Utilizando funções menos afetadas por falhas. 
 Diminuindo o tempo na qual a proteção permanece em Falha, sem detecção. 
 
Os sistemas de monitoramento contínuo, auto verificação e atuo teste contribuem para 
aumentar e. À medida que se diminui o Tempo (TC/2) na qual a proteção permanece 
em estado de falha sem detecção, há aumento de  (item a acima) e também se reduz a 
probabilidade de atuação não correta da proteção (item b acima). 
 
A figura a seguir mostra matematicamente as contribuições de diversos aspectos na 
melhoria da confiabilidade da proteção: 
 
 

0
T
ax
a 
de
 A
tu
aç
õe
s
A
ci
de
nt
ai
s
Taxa de Atuações
Incorretas + Recusas 
 
Figura 9.6 – Medidas para Melhorar a Confiabilidade 
 
 
 = Utilizando componentes confiáveis na fabricação da proteção, projeto adequado, etc. 
 
 = Redundância série (elementos de partida ou de detecção da falta, antes da medição da 
proteção propriamente dita). Monitoramento contínuo. 
 
 = Redundância paralela (duplicação da proteção), esquema de auto teste, auto verificação. 
 
 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 86 de 130
 
 
Probabilidade da Operação Não Correta 
 
Pode-se mostrar que esquemas de monitoramento contínuo, auto check e auto teste 
diminuem sensivelmente a probabilidade de operação não correta da proteção, diminuindo o 
tempo em que a proteção sob falha permaneça em operação. 
 
A
São
B
Em Falha
C
Em Reparo

 
 
 
Referindo-se à figura de transição de falhas, pode-se efetuar uma análise relacionando as 
taxas com os estados, conforme terminologia já mencionada. 
 
Considera-se que os estados A, B e C sejam “estáveis”, quando: 
 
0
dt
dC
dt
dB
dt
dA
 
 
Mas: CA
dt
dA   AB
dt
dB   BC
dt
dC   
 
Nessas condições: 
 
MTTRTMTBF
T
B
C
C




2
2
111
1

 
 
Conforme mostrado na figura a seguir, a probabilidade de operação não correta está 
associada a B. 
 
B C A B C A
MTBF TC/2 MTTR
Em
Serviço
Fora de
Serviço
 
 
Figura 9.7 – B Associado à Probabilidade de Operação Não Correta 
 
 
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Exemplo: 
 
MTBF = 20 anos 
MTTR = 1 dia 
Intervalo entre Intervenções TC = 2 anos 
 
05,0
20
1
2
2 


MTTRTMTBF
T
B
C
C
 
 
Isto é, a probabilidade de 5% significa que uma atuação em 20 solicitações seria Não 
Correta. Ou que num universo de 20 relés, teríamos 1 relé em estado de falha por unidade 
de tempo. 
 
Efeito de um Auto Teste realizado a cada 7 dias, complementado por monitoramento 
contínuo e auto check. 
 
Neste caso, Tc/2 = 3,5 dias ao invés de 1 ano. 
 
00043,0
5365*205,4
5,3


B 
 
Isto é, há uma melhora considerável na probabilidade de Operação Não Correta. 
 
NOTA 
 
Evidentemente, para que se tenha essa altíssima confiabilidade operacional, deve haver 
esquema de Auto Teste que verifica automaticamente as funções operacionais da proteção 
em complementação ao monitoramento contínuo e auto check. 
 
Entretanto, desde que haja instalação confiável (cablagem, circuitos externos, etc.), mesmo 
sem o auto teste, haverá uma grande confiabilidade operacional. 
 
 
 
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Intervalo de Teste Ótimo para Esquema de Auto Teste 
 
Para determinar esse intervalo de tempo ótimo, refere-se ao modelo mostrado na figura a 
seguir, onde o Estado em que se está realizando o Teste Periódico (automático) estará 
relacionado com o Estado A: 
 
A
São
B
Em Falha
C
Em Reparo

 
D
Teste
Periódico

‘
‘
 
 
Figura 9.8 – Modelo de Taxas Incluindo Auto Teste Periódico 
 
 
Uma proteção no Estado A, tem esquema automático de teste a cada TC e a duração do 
ensaio é t. Nessas condições, segundo a referência [2]: 
 
tT
T
x
MTTR
T
MTBR
T
A
C
C
C
C


2
2 
 
Segundo a mesma referência, o intervalo de tempo ótimo para autoteste é dado quando: 
 
0
CdT
dA
  tMTTRMTBFTtimoIntervaloO C ).(2_  
 
Exemplo: 
 
MTBF = 20 anos 
MTTR = 1 dia 
t = 1 minuto 
 
Intervalo Ótimo calculado segundo fórmula acima = 76 horas (mais ou menos 3 dias). 
 
 
 
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Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 89 de 130
 
 
9.3 MANUTENÇÃO DE RELÉS DIGITAIS 
Para avaliar o efeito dos sistemas de monitoramento contínuo, auto check e auto teste na 
manutenção da proteção, vamos imaginar uma situação onde as falhas na proteção que 
poderiam causar ou causaram operação não correta foram detectadas da seguinte maneira: 
 
Modo de Detecção Intervalo de 
Intervenção 
% dos casos 
detectados 
Manutenção Periódica 2 anos 10% 
Auto Teste Periódico 7 dias 10% 
Auto Check e Monitoramento Contínuo 0 80% 
 
Vamos calcular a probabilidade de operação não correta, observada nessas condições. 
 
MTTRTMTBF
T
B
C
C




2
2
111
1

 
 
CC
C
TT
MTBFMTBF
T
B .
2
1
.
1
.
2
12  
 
O intervalo entre intervenções pode ser ponderado e calculado da seguinte maneira: 
 
mKC TmTTkT ...   
 
onde: 
 
KT Intervalo de intervenção para monitoramento contínuo e auto check. 
 
T Intervalo de intervenção para auto teste. 
 
mT Intervalo de intervenção manual. 
 
k = Taxa de detecção para monitoramento e auto check. 
 
 Taxa de detecção para auto teste 
 
m = Taxa de detecção para intervenção da manutenção periódica. 
 
Assim: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 90 de 130
 
 
mK TmTTk
MTBF
B ....(
1
.
2
1
  
 
Substituindo os valores para uma mesma base (ano ou dias), teremos: 
 
005,0B , isto é, cerca de 0,5% o que é um excelente valor. 
 
Conclusões 
 
 Com relés digitais dotados de sistemas de auto check e monitoramento contínuo, o 
intervalo para intervenções manuais preventivas pode ser aumentado com relação 
àqueles períodos que eram adotados para relés de tecnologia eletromecânica ou 
estática. 
 
 Eventualmente, dependendo dos recursos e da filosofia do usuário, a manutenção 
preventiva periódica para a proteção em si poderá até ser eliminada. Entretanto, isso irá 
requerer o uso de relés digitais com recursos completos e modernos de monitoramento 
contínuo e auto verificação. 
 
 O auto teste (intervenção automática periódica em intervalos de tempo da ordem de 
dias) que é feito sobre os circuitos operacionais (entradas analógicas e saídas de trip) 
pode não existir, uma vez que: 
 
 Os sistemas de monitoramento contínuo e auto check estão cada vez mais 
avançados, aumentando a taxa de detecção de falhas. 
 
 Podem ser previstas intervenções manuais periódicas simplificadas, apenas para 
circuitos funcionais (entradas e saídas). 
 
9.4 EXEMPLO DE PERIODICIDADE DE INTERVENÇÃO NA PROTEÇÃO 
A seguir é apresentado um exemplo de periodicidades e procedimentos adotados por um 
“pool” de concessionárias dos EUA (PJM INTECONECTION, L.L.C.) para a proteção em 
geral, para fins de ilustração (caso típico). 
 
PERIODICIDADE DE INTERVENÇÕES 
 
Sistemas de 
Proteção 
(Nota 5) 
Tecnologia Testes de Aferição 
Freqüência (Nota 4) 
Testes Funcionais 
Freqüência (Nota 4) 
Transmissão Eletromecânica e Estáticadinâmica ou dielétrica) 
que o sistema possa lhe impor; 
- Tenha características nominais adequadas para o uso desejado; 
- Seja projetado, construído e testado de tal modo a assegurar por muitos anos, as 
características especificadas. 
Alta confiabilidade só é possível com transformadores de boa qualidade e desde que 
utilizados corretamente. Para tal, deve-se analisar cuidadosamente todos os parâmetros 
necessários para se especificar um Transformador para Instrumentos. A observância de 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Introdução 8 de 58
 
Normas Técnicas, nacionais ou internacionais, é um dos melhores meios para se atingir esse 
objetivo. 
1.3 NORMAS TÉCNICAS 
Para os transformadores para instrumentos, temos tanto normas brasileiras (ABNT) como 
internacionais (ANSI, IEC, VDE, etc.). 
1.3.1 ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) 
NBR 6546: Transformadores para Instrumentos. Esta Norma define termos 
relacionados com transformadores, (de corrente e de potencial), utilizados com 
instrumentos de medição, dispositivos de proteção ou dispositivos de controle. 
NBR 6820: Transformador de Potencial Indutivo. Esta Norma prescreve os métodos 
para execução dos ensaios em transformadores de potencial indutivos especificados na 
NBR 6855. 
NBR 6821: Transformador de Corrente. Esta Norma prescreve os métodos para 
execução dos ensaios em transformadores de corrente (TC´s) especificados na NBR 6856. 
NBR 6855: Transformador de Potencial Indutivo. Esta Norma fixa as características de 
desempenho de transformadores de potencial indutivos (TPI) destinados a serviços de 
medição, controle e proteção. 
NBR 6856: Transformador de Corrente. Esta Norma fixa as características de 
desempenho de transformadores de corrente (TC´s) destinados a serviço de medição e 
proteção. 
1.3.2 IEC (International Electro technical Commission) 
IEC 60044-1 Instrument Transformers - Part 1: Current Transformers. 
IEC 60044-2 Instrument Transformers - Part 2: Inductive Voltage Transformers. 
1.3.3 ANSI (American National Standards Institute) 
ANSI C57.13 - Instrument Transformers 
1.3.4 VDE (Verband Deutscher Elektrotechniker) 
VDE 0414 - Instrument Transformers 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 9 de 58
 
2. TRANSFORMADORES DE CORRENTE 
2.1 INTRODUÇÃO 
De acordo com a norma ABNT NBR 6546, Transformador de Corrente (TC) é o 
“transformador para instrumentos cujo enrolamento primário é ligado em série em um circuito 
elétrico e reproduz, no seu circuito secundário, uma corrente proporcional à do seu circuito 
primário, com sua posição fasorial substancialmente mantida”. 
O Transformador de Corrente (TC) tem, portanto, a finalidade de: 
- Fornecer no seu secundário, uma corrente proporcional à do primário e de dimensões 
adequadas para serem usadas pelos sistemas de controle, medição e proteção. 
- Isolar os equipamentos de controle, medição e proteção do circuito de Alta Tensão (AT); 
No Brasil, a corrente secundária do TC está normalizada em 5 A, podendo, no entanto, ser 
encontrada aplicação com TC´s cuja corrente secundária é de 1 A. 
Instrumento Secundário (Relé, Medidor)
CONDUTOR
NÚCLEO DO TC
Enrolamento
Cabos 
Secundários
I primária
I secundária
 
Figura 2-1– Princípio do Transformador de Corrente 
2.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA E POLARIDADE DE UM TC 
A figura a seguir e a maneira como as bobinas primária e secundária são enroladas no 
núcleo magnético. Isto é feito simbolicamente pelas marcas de polaridade (pontos): 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 10 de 58
 
I1
I2
P1 P2
S1 S2
I1
I2
Norma ANSI Norma IEC
k l
K L
Norma VDE 
Figura 2-2 - Representação de TC e Polaridades 
Como regra, temos que a corrente primária I1 entra pela polaridade e a corrente secundária I2 
sai pela polaridade e assim, temos I1 e I2 em fase. 
2.3 RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO DO TC 
Considerando-se um TC como um transformador operando dentro das características ideais, 
temos que: 
F1 - F2 = R . Ф 
onde: 
F1 = força magnetomotriz produzida pela bobina primária do TC 
F2 = força magnetomotriz produzida pela bobina secundária do TC 
R = relutância do circuito magnético do núcleo do TC 
Ф = fluxo magnético no núcleo do TC 
ou: 
n1 . I1 - n2 . I2 = R . Ф 
Considerando o transformador ideal (R = 0) temos: 
n1 . I1 - n2 . I2 = 0 
n1 . I1 = n2 . I2 
I2 = 
n2
n1 . I1 
I2 = 
n1
n2
1 . I1 
Definindo-se a relação de transformação do TC como: 
RTC = 
n1
n2 tem-se que I2 = I1 . 
RTC
1 
Na prática, indica-se a relação através dos valores nominais dos enrolamentos primário e 
secundário. Por exemplo: 
600 - 5 A (RTC = 120:1) 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 11 de 58
 
1000 - 1 A (RTC = 1000:1) 
2.4 CIRCUITO EQUIVALENTE DO TC 
Do ponto de vista eletromagnético, o TC é um transformador. Assim sendo, o seu circuito 
equivalente pode ser representado conforme mostrado na figura a seguir. 
R1 j X1 R2 j X2
Rp
j Xmag
N1:N2 
(Ideal)
Ip Is
Iexc
Imag Iperda
Ip’
Zcabos + Zrele
(Burden 
Conectado)
 
Figura 2-3 - Circuito Equivalente do TC 
onde: 
Ip = corrente no primário 
Is = corrente no secundário do TC 
Z1 = R1 + jX1 impedância do primário 
Z2 = R2 + jX2 impedância do secundário 
Zc = carga ligada no secundário do TC (“burden”) 
Iexc = corrente de excitação do TC 
Ie = Imag + Iperda 
Imag = corrente de magnetização do núcleo do TC 
Iperda= corrente de perdas (perdas por corrente de Foucault, histerese e pequeno efeito Joule) 
Rp = resistência equivalente às perdas no ferro do núcleo do TC (corrente Iperda) 
Xmag = reatância equivalente à magnetização do núcleo do TC (corrente Imag) 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 12 de 58
 
2.5 CARACTERIZAÇÃO DE UM TRANSFORMADOR DE CORRENTE 
De acordo com a ABNT, os valores nominais principais que caracterizam os transformadores 
de corrente são os seguintes: 
 Corrente nominal e relação nominal; 
 Nível de isolamento; 
 Frequência nominal; 
 Carga nominal; 
 Classe de exatidão; 
 Fator de sobrecorrente nominal (somente para TC de proteção); 
 Fator térmico nominal; 
 Corrente térmica nominal; 
 Corrente dinâmica nominal. 
2.5.1 Carga Nominal. 
O conhecimento da carga nominal dos TC´s é de suma importância pois todas as 
considerações sobre classe de exatidão dos mesmos estarão condicionadas a essa carga. 
Segundo a ABNT, as cargas nominais são designadas pela letra “C”, seguida pelo número 
de volt-amperes em 60 Hz, com corrente nominal de 5 A e fator de potência normalizado 
conforme mostrado na tabela a seguir. 
Cargas Nominais Características a 60 Hz e 5A 
Desig-
nação 
Potência 
Aparente 
(VA) 
Fator de 
Potência 
Resistência 
Efetiva (Ω) 
Reatância 
Indutiva (Ω) 
Impedância 
(Ω) 
Tensão a 
20 x 5A 
(V) 
C 2,5 2,5 0,90 0,09 0,044 0,1 10 
C5,0 5,0 0,90 0,18 0,087 0,2 20 
C12,5 12,5 0,90 0,45 0,218 0,5 50 
C22,5 22,5 0,90 0,81 0,392 0,9 90 
C45 45 0,90 1,62 0,785 1,8 180 
C90 90 0,90 3,24 1,569 3,6 360 
C25 25 0,50 0,50 0,866 1,0 100 
C50 50 0,50 1,0 1,732 2,0 200 
C100 100 0,50 2,0 3,464 4,0 400 
C200 200 0,50 4,0 6,926 8,0 800 
 
Figura 2-4 -Cargas Nominais para TC, segundo ABNT 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 13 de 58
 
Para a seleção da carga nominal de um TC, somam-se as potências dos dispositivos que 
serão conectados no seu secundário. Se relevante, considera-se também as potências 
consumidas pelas conexões e cablagens. Feito isso, adota-se a carga padronizada de 
valor imediatamente superior ao valor calculado. 
De acordo com uma antiga ANSI, as cargas nominais são designadas pela letra “B” 
(Burden), seguida pelo valor da impedância em 60 Hz, com corrente nominal de 5 A e fator 
de potência normalizado conforme mostrado na tabela a seguir. 
Designação 
Características Características para 604 anos 4 anos 
Digital (Nota 1) 4 anos 
Geração Eletromecânica e Estática 4 anos 4 anos 
Digital (Nota 1) 4 anos 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 91 de 130
 
 
 
Especiais Eletromecânica e Estática 4 anos 4 anos 
Digital (Nota 1) 4 anos 
Frequência e 
Tensão (Rejeição 
de Carga) 
Eletromecânica e Estática 4 anos 4 anos 
Digital (Nota 1) 4 anos 
Registrador de 
Perturbações 
Eletromecânica e Estática 4 anos 
Digital (Nota 2) 
Canais de 
Teleproteção 
(Nota 3) 
Carrier 4 anos 
Linha Dedicada (alugada) 4 anos 
Microondas 4 anos 
Fibra óptica 4 anos 
 
 
Nota 1: Relés Digitais 
 
Testes de Aferição periódica não se aplicam. Esses relés possuem monitoramento contínuo. 
A análise regular dos eventos e oscilogramas de perturbações permitem acompanhar o 
desempenho do mesmo. A medição analógica, entradas digitais e saídas digitais são 
verificadas quando dos ensaios funcionais. 
 
Nota 2: Registradores Digitais (“stand alone”) 
 
Testes de Aferição periódica não se aplicam. Esses equipamentos possuem 
monitoramento. A análise regular dos eventos e oscilogramas de perturbações permitem 
acompanhar o desempenho do mesmo. 
 
Nota 3: Canais de Teleproteção 
 
Os canais de teleproteção devem ser testados com a mesma freqüência dos relés de 
proteção dos quais fazem parte. É recomendada também uma verificação anual (“on-line”) 
dos sinais de telecomunicação envolvidos. 
 
Nota 4: Freqüência de Intervenção 
 
Intervalo de tempo desde a última intervenção. Esforço deve ser feito para que o 
planejamento seja executado dentro de uma margem de atraso máximo de 10%. 
 
Nota 5 
 
Toda atuação da proteção deve ser analisada. Intervenção corretiva é sempre necessária 
quando de atuação não correta. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 92 de 130
 
 
PROCEDIMENTOS 
 
A documentação técnica do fabricante da proteção e manuais de ensaios desenvolvidos 
pelo proprietário da instalação devem ser utilizados nos ensaios da proteção. 
 
Eventualmente são necessários procedimentos ou cuidados especiais para situações 
quando há informações adicionais (experiências de terceiros ou advertências dos 
fabricantes). É importante que os procedimentos especiais estejam especificados e 
detalhados nos manuais de intervenção. 
 
PEÇAS E COMPONENTES DE REPOSIÇÃO 
 
Peças e componentes completos de reposição devem estar disponíveis ou estocados, 
conforme política da empresa. A experiência de utilização dessas peças e componentes 
fornece parâmetros para o seu dimensionamento. 
 
GERENCIAMENTO DA MANUTENÇÃO 
 
É obrigatória a documentação de todas as intervenções efetuadas nos sistemas de 
proteção, independentemente da amplitude de tal intervenção. Toda contingência que 
eventualmente impeça o cumprimento de um planejamento preventivo ou uma programação 
específica deve também ser documentada. 
 
 
São Paulo, novembro de 2004 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
Bibliografia 93 de 130
 
 
10. BIBLIOGRAFIA 
 
[1] IEEE Tutorial Course – “Computer Relaying”, 79 EH0148-7-PWR, 1979 
 
[2] Toshiba Corporation, Seminar for Digital Protection Relay System, 1995 – “Digital Relays” 
– Slides. 
 
[3] Toshiba Corporation, “Instructions for Digital Relay” – 6F2L0152, 1997 
 
[4] Toshiba Corporation, “Noise and Surge” – KP-946-006, 1995 
 
[5] Toshiba Corporation, “Waveform Distortion” , 1995 
 
[6] Toshiba Corporation, “Automatic Testing and Continuous Monitoring”, 1995 
 
[7] Ziegler, G. – “Numerical Distance Protection – Principles and Applications” – Siemens AG, 
Berlin and Munich, 1999 
 
 [8] Zocholl, S. E., Benmouyal G.,- “Como os Relés Microprocessados Respondem a 
Harmônicos, Saturação e a Outras Distorções de Onda” - Schweitzer Engineering 
Laboratories, USA. 
 
[9] Phadke, A. G., Thorp, J. S. – “Computer Relaying for Power Systems”, Research Studies 
Press, Ltd. England – 1994 
 
[10] Elmore, W. A. – “Microprocessor Relaying Fundamentals”- Chapter 6 of “Protective 
Relaying Theory and Applications”, ABB – Marcel Dekker, Inc., 1994 
 
[11] Das, J. C. – “Power System Analysis – Short-Circuit, Load Flow and Harmonics”- Marcel 
Dekker, Inc., 2002 
 
[12] Kennedy, J. M.; Alexander, G. E. (General Electric Company, Malvern, PA); Thorp, J. S. 
(Cornell University, Ithaca, NY) - “Variable Digital Filter Response Time in a Digital Distance 
Relay”- Twentieth Annual Western Protective Relaying Conference, October 1993. 
 
[13] Schweitzer III, E. O.; Hou, D. – Schweitzer Engineering Laboratories, Inc. - “Filtering for 
Protective Relaying”- 47th Annual Georgia Tech Protective Relaying Conference, April 1993. 
 
[14] Rosolowski, E.; Izykowski, J (Wroclaw University of Technology, Poland), Kasztenny, B 
(GE Power Management, Canada) –- “A New Half-Cycle Adaptive Phasor Estimator Immune 
to the Decaying DC Component for Digital Protective Relaying.” – Paper IEEE 
 
[15] Mode, E. B. – “Elements of Probability and Statistics”, Prentice-Hall, Inc. Englewwod 
Cliffs, N.J. 1966. 
 
[16] Yong Guo, Mladen Kezunovic, Seshu Chen – “Simplified Algorithms for Removal of the 
Effect of Exponentially Decaying DC-Offset on the Fourier Algorithm”. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 94 de 130
 
 
11. ANEXO – BASE MATEMÁTICA 
11.1 FUNÇÕES PERIÓDICAS 
Uma função é dita ser PERIÓDICA se ela é definida para todos os valores reais de t e se há 
um número positivo T de tal modo que: 
 
).()2()()( TntfTtfTtftf  
 
Onde T é chamado de Período da função. 
 
Se k é qualquer inteiro e f(1+k.T) = f(t) para todo valor de t e se duas funções f1(t) e f2(t) têm 
o mesmo período T, então a função f3(t) = a.f1(t) + b.f2(t), onde a e b são constantes, 
também tem o mesmo período T. A figura a seguir mostra uma função periódica: 
 
T 2T-2T -T
f(t)
 
 
Figura 11.1 – Exemplo de função periódica 
11.2 FUNÇÕES ORTOGONAIS 
Duas funções f1(t) e f2(t) são ortogonais no intervalo (T1, T2) se: 
 
 
2
1
0)().( 21
T
T
tftf 
 
A figura a seguir mostra duas funções ortogonais no período T. 
 
T 2T
f1(t)
T/2 3T/2
T 2T
f2(t)
T/2 3T/2
 
 
Figura 11.2 – Exemplo de funções ortogonais 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 95 de 130
 
 
11.3 ANÁLISE DE FOURIER 
11.3.1 Série de Fourier e Coeficientes 
Uma função periódica pode ser expandida numa Série de Fourier, que tem a seguinte 
expressão: 




















1
0
22
cos)(
n
nn T
nt
senb
T
nt
aatf

 
 
 
  



1
0 )(cos)(
n
nn tnsenbtnaatf  
 
 
Onde a0 é o valor médio da função f(t). Ele também é chamado de componente DC.n 
T é o período (1/f) e n o múltiplo da freqüência fundamental f. 
 
Os valores an e bn são os chamados COEFICIENTES da série de Fourier. Uma série como 
a da equação acima é chamada de Série de Fourier Trigonométrica. 
 
A Série de Fourier de uma função periódica é a somatória de componentes senoidais de 
diferentes freqüências. O termo 2/T pode ser escrito como . 
 
O enésimo termo n. é chamada de harmônica de ordem n. Para n=1 se tem a 
fundamental. 
 
Os valores a0, an e bn são calculados através de: 
 




2/
2/
0 )().(
1 T
T
tdtf
T
a 
 
dt
T
nt
T
a
T
T
n .
2
cos
2 2/
2/










 para n = 1, 2, 3, ...... ∞ 
 
dt
T
nt
sen
T
b
T
T
n .
22 2/
2/










 para n = 1, 2, 3, ...... ∞ 
 
As equações acima podem ser escritas em função da freqüência angular : 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 96 de 130
 
 








tdtxfa .)(
2
1
0 
 








tdtntxfan ).cos(.)(
1
 
 








tdtnsentxfbn ).(.)(
1
 
 
Isto dá:  



1
0 )()cos()(
n
nn tnsenbtnaatx  
 
E pode-se escrever: 
 
      )()(cos)cos(.)()cos(
2/1222/122
nnnnnnnnntsenbatnsentnsenbatnsenbtna  
 
 
Onde 
n
n
n b
a
ArcTan 
 
Os COEFICENTES podem ainda ser escrito em termos de duas integrais separadas: 
 
dt
T
nt
tx
T
dt
T
nt
tx
T
a
T
T
n 












0
2/
2/
0
2
cos)(
22
cos)(
2 
 
 
dt
T
nt
sentx
T
dt
T
nt
sentx
T
b
T
T
n 












0
2/
2/
0
2
)(
22
)(
2 
 
 
EXEMPLO 
 
Determinar a Série de Fourier para uma função definida por: 
 
x +  para 0 ≤ x ≤ 
-x -  para - ≤ x ≤ 0 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 97 de 130
 
 
 
f(x)




x
 
 




2/
2/
0 )().(
1 T
T
tdtf
T
a   






 0
0
0 )(
1
)(
1
dxxdxxa 
 
dt
T
nt
tx
T
dt
T
nt
tx
T
a
T
T
n 












0
2/
2/
0
2
cos)(
22
cos)(
2    


 

 0
0
)2cos()(
2
)2cos()(
2
dxnxnxdxnxxan
 
 
 


 

 0
2
0 4
)cos()(
1
)cos()(
1
n
dxnxnxdxnxxan se n é ímpar. 
 
0na se n é par. 
 
 


0
0
4
)()(
1
)()(
1





 n
dxnxsenxdxnxsenxbn se n é ímpar. 
 
0nb se n é par. 
 
Assim, a Série de Fourier será: 
 





 




  .......
5
5
3
3
1
4......
5
5cos
3
3cos
1
cos4
2
)(
222
xsenxsensenxxxx
xf


 
 
11.3.2 Simetria Ímpar 
Uma função f(x) é dita ter uma simetria ímpar quando : 
 
f(-x) = -f(x) 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 98 de 130
 
 
Neste caso: 
 
a0 = an = 0 
 
dt
T
nt
sentf
T
b
T
n )
)2
()(
4 2/
0


 
 
A Série de Fourier, neste caso, tem apenas termos em seno. A figura a seguir mostra uma 
função triangular tendo simetria ímpar: 
 
f(x)
T/2-T/2
 
 
Figura 11.3 – Exemplo de função com Simetria Ímpar 
 
11.3.3 Simetria Par 
Uma função f(x) é dita ter uma simetria par quando : 
 
f(-x) = f(x) 
 
Neste caso: 
 
a0 = bn = 0 
 

2/
0
)
2
cos()(
4 T
n dt
T
nt
tf
T
a

 
 
A Série de Fourier, neste caso, tem apenas termos em coseno. A figura a seguir mostra 
uma função triangular tendo simetria ímpar: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 99 de 130
 
 
f(x)
T/2-T/2
 
 
Figura 11.4 – Exemplo de função com Simetria Par 
 
 
11.3.4 Simetria de Meia Onda 
Uma função é dita ter uma simetria de meia onda quando: 
 
f(x) = -f(x+T/2) 
 
A figura a seguir mostra uma função de onda quadrada que tem simetria de meia onda: 
 
T
f(x)
T/2-T/2-T
 
 
Figura 11.5 – Exemplo de função com Simetria de Meia Onda 
 
A meia onda negativa é espelho da meia onda positiva porém deslocado de T/2 ou  
radianos. Devido a essa simetria, o valor médio é zero. A função contém apenas 
harmônicas de ordem ímpar. 
 
Se n é ímpar: 
 
dt
T
nt
tx
T
a
T
n  





2/
0
2
cos)(
4 
 Se n é par, então: an = 0 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 100 de 130
 
 
dt
T
nt
sentx
T
b
T
n  





2/
0
2
)(
4 
 Se n é par, então: bn = 0 
 
11.3.5 Espectro de Harmônicas 
A Série de Fourier de uma função de onda quadrada é: 
 





  .....
5
5
3
3
1
4
)(
wtsenwtsensenwtk
tf

 
 
Onde k é a amplitude da função. O módulo da enésima harmônica é 1/n, quando a 
fundamental é expressa em 1 p.u. A construção de uma onda quadrada a partir das suas 
componentes harmônicas é mostrada na figura a seguir, com o respectivo espectro de 
harmônicas. O espectro indica os valores relativos das magnitudes (módulos) das 
harmônicas com relação à fundamental. 
 
0
f1 + f3
f1 + f3 + f5
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1 3 5 7 9 etc.
Ordem da Harmônica
p
.u
. d
a 
fu
nd
am
en
ta
l
0,333 pu
0,2 pu
 
 
Figura 11.6 – Harmônicas que compõem uma Onda Quadrada. Espectro de freqüências. 
 
11.3.6 Construindo Série de Fourier de Gráficos e Tabelas 
Quando os valores de uma função f(x) são dados em forma tabular ou gráfico, para valores 
de x dentro de um período, a série de Fourier pode ser construída utilizando: 
 
a0 = 2 x valor médio de f(x) no intervalo 0 a 2. 
 
an = 2 x valor médio de f(x).cos(nx) no intervalo 0 a 2. 
 
bn = 2 x valor médio de f(x).sen(nx) no intervalo 0 a 2. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 101 de 130
 
 
11.3.7 Forma Complexa (Exponencial) da Série de Fourier 
Um vetor de amplitude A e ângulo de fase T com relação a uma referência pode ser 
decomposto em dois vetores com metade da magnitude (módulo) girando em sentidos 
opostos de modo que: 
 
 jj e
A
e
A
A 
22
cos 
 
Então, considerando as partes da série de Fourier: )()cos( nwtsenbnwta nn  
 
2
)cos(
jnwtjnwt ee
nwt

 e 
2
)(
jnwtjnwt ee
nwtsen

 
 
Assim, pode-se determinar a Série de Fourier na forma complexa através de: 
 
 




 jnwt
n
jnwt
nn ecejba
a
tr )(
2
1
2
)( 0
 
 
Considerando 0 a freqüência fundamental (rad/s) e T0 = 1/f0 o período correspondente 
à fundamental, O coeficiente cn é complexo e é dado por: 
 
dtetr
T
c
T
tjn
n .).(
1 0
0
00
  
 
 
Esta equação pode ser avaliada sobre qualquer período que seja conveniente. Para efeito 
de análise esta forma complexa é a preferida. 
 
 
FASORES 
 
Considerando um sinal de tensão (fundamental) )cos(2)( 0tVtv  que corresponde 
a um fasor V com ângulo 0, o sinal de tensão )cos(..2)( 0   tVtv corresponderá 
a um fasor 
jeV . . 
 
Então o fasor da componente FUNDAMENTAL é diretamente relacionado ao primeiro 
coeficiente da série exponencial de FOURIER: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 102 de 130
 
 
 
0
0
00
).(
1
T
tjn
n dtetv
T
c 
   
0
0
00
1 ).(
1
T
tjw dtetv
T
c 
 
 
0
0
00
).(
2
.
T
tjj dtetv
T
eV 
 
O 2 na equação aparece porque se convenciona que o valor do fasor é valor eficaz da 
senóide. 
 
11.3.8 Transformada de Fourier 
Observou-se que a análise de Fourier utiliza técnica de representar um sinal periódico 
como uma soma de exponenciais. 
 
Essa técnica pode ser estendida par FUNÇÕES NÃO PERIÓDICAS através do uso da 
TRANSFORMADA DE FOURIER. 
 
Considere-se um sinal limitado no tempo (Não periódico) como mostrado na figura a 
seguir, com: 
 
x (t) = 0 para | t | > T1. 
t
x(t)
T1-T1
 
 
Figura 11.7 – Sinal Não Periódico (limitado no tempo) 
 
Selecionando um período T0 >> T1, e repetindo o sinal x(t) no período T0, tem-se uma 
função “periódica” r(t) constituída de réplicas de x(t): 
 
t
r(t)
T1-T1-T0 -T1
T0-T0
-T0 +T1 +T0 -T1
+T0 +T1
 
 
Figura 11.8 – Sinal Periódico 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 103 de 130
 
 
 
Então podem ser calculados os coeficientes da Série de Fourier para essa função 
periódica: 
 




2/
2/0
0
0
0).(
1
T
T
tjkw
k dtetr
T
c e 



2/
2/0
0
0
0).(
1
T
T
tjk
k dtetx
T
c 
 
 
Com T0 tendendo a ∞ , r(t) limita a x(t) e r(t) pode ser escrito: 
 
 













 tjk
T
T
tjk edtetx
T
tr 0
0
0
0 .).(
1
)(
2/
2/0

 
 
Com T0 tendendo a ∞ de tal modo que: 0  d e k0  , lim r(t) = x(t) 
 T0  ∞ 
Então:  











 

 dedtetxtx tjtj .).(
2
1
)( 
 



 

 deXtx tj).(
2
1
)( 
F   


 dtetxX tj ).()( 
 
F--1 


 

 deXtx tj).(
2
1
)( 
 F 
O par x(t)  X() é o Par de Transformadas de Fourier. 
 
 
Essa transformada X() é uma quantidade complexa: 
 
X() = ReX() + j. ImX() 
 
ReX() = parte real da transformada de Fourier 
 
ImX() = parte imaginária da transformada de Fourier 
 
A amplitude ou “espectro de Fourier” de x(t) é dada por: 
 
)(Im)(Re)(22  XXX  
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 104 de 130
 
 
 






 
)(Re
)(Im
)( 1


X
X
Tan é o ângulo de fase da Transformada de Fourier. 
 
 
Exemplo 
 
Considerando uma função retangular definida por: 
 
x(t) = 1 para |t| ≤ a 
 
x(t) = 0 para |t| > a 
 
Calcular a transformada de Fourier. 
 
a
a
jwta
a
tj
jw
e
dteX 





  |)(  
 

 )(.2
)(
asen
X  
 
A figura a seguir mostra a função retangular e sua transformada de Fourier. 
 
x(t)
t-t
a-a
Função Retangular
w-t
/a 2/a




w
awsen
wX
).(2
)(
/a-2/a
2a
 
 
Figura 11.9 – Função retangular com simetria par e amplitude K. Sua transformada de Fourier 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 105 de 130
 
 
11.3.9 Propriedades da Transformada de Fourier 
Linearidade 
 
 F                                           F 
Se x1(t)  X1() e x2(t)  X2() 
 
 F  
Então c1.x1(t) + c2.x2(t)  c1.X1() + c2.X2() 
 
Regra do Atraso 
 
 F  
Se x(t)  X() 
 
 F  
 Então x(t-t1)  X().e-j2t
1 
 
 
Regra da Modulação ou Deslocamento de Frequência 
 
 F  
Se x(t)  X() 
 
 F  
Então x(t). e-j2

t X() 
 
 
Diferenciação no Tempo 
 
 F  
Se x(t)  X() e existe dx(t) / dt 
 
 F  
Então dx(t) / dt (j).X() 
 
 
Diferenciação na Frequência 
 
 F  
Se x(t)  X() e existe dX() / d 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 106 de 130
 
 
 
 F  
Então (-jt).x(t)  dX() / d 
 
Propriedades Par e Ímpar 
 
Se x(t) é real, 
 
Então 


 dtetxX tj ).()(  




 dtwtsentxjdtwttx ).().(.).cos().( 
 
  


 dtwttxX ).cos().()(Re  uma função Ímpar de . 
 
  


 dtwtsentxX ).().()(Im  uma função Par de . 
 
 Se x(t) é real e tem simetria Par [ x(t) = x(-t) ], então X() é real e tem simetria Par. 
 Se x(t) é real e tem simetria Ímpar [ x(t) = -x(-t) ], então X(w) é puramente imaginária e 
tem simetria Ímpar. 
 
Escala no Tempo 
 
 F  
Se x(t)  X() 
 
 F  
Então x(at)  [X(a)] / a 
 
 
Funções Periódicas 
 
Usando as transformadas de um impulso, é possível discutir as transformadas de Fourier 
de funções periódicas para as quais se escreveram Séries de Fourier. Assim: 
 
 F  
(t)  1 
 
 F  
1  2) 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 107 de 130
 
 
 
 F  
ej
0
t  2) 
 
 
 F  
cos(0t): ½ (ej
0
t + e-j
0
t)   
 
 F  
sen(0t): (1/2j) (ej
0
t - e-j
0
t)  (j 
 
Série de Fourier: 
 




k
tjk
k ectr 0.)(  



k
kcR )(.2)( 0 
 
Desenhando um impulso ck, com valor ck, a transformada R() anterior pode ser 
desenhada como na figura a seguir: 
 

C0
C1
C2
C3
R()
 
 
Figura 11.10 – Um Espectro de Linhas 
 
Degrau Unitário 
 
A Transformada de Fourier de um Degrau Unitário mostrado na figura a seguir é feita 
considerando que: 
1.0
u(t)
t 
 
Figura 11.11 – Um Degrau Unitário 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 108 de 130
 
 
 F  
sgn(t)  2 / ju(t) = ½ + (½)sgn(t) 
 
 F  
u(t)  (1/j 
 
Convolução no Tempo 
 
Dados dois sinais com as respectivas Transformadas de Fourier: 
 F                                           F 
Se x1(t)  X1() e x2(t)  X2() 
 
 F  
Então uma convolução: x1(t)*x2(t)  X1()X2() 
 
Corresponde a uma multiplicação no domínio do tempo. 
 
 
Convolução na Freqüência 
 
 F                                           F 
Se x1(t)  X1() e x2(t)  X2() 
 
 F  
Então: x1(t) x2(t)  (1/2).X1()*X2() 
 
Isto é, uma convolução no domínio da freqüência corresponde a uma multiplicação no 
domínio do tempo. 
 
Exemplo de convolução 
 
Considerando uma função Coseno x(t) e sua transformada de Fourier contínua X(f), tem-se 
o mostrado no item (a) da figura a seguir, com a transformada caracterizada por duas 
funções de impulso que são simétricas com relação à freqüência zero: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 109 de 130
 
 
t-t
w(t)
t-t
T/2-T/2
W(f)
X(f)x(t)
T
Figura (b)
x(t) * w(t)
Figura (c
X(f) * W(f)
Figura (a)
 
 
Figura 11.12 – Coeficientes Fourier da Transformada Discreta 
 
Já havia sido visto que para um sinal finito x(t) de onda retangular, sua transformada é a 
mostrada no item (b) da figura anterior. 
 
O Item (c) da figura acima mostra que a correspondente convolução de dois sinais de 
freqüência resulta num espalhamento ou obscurecimento da função X(f) em dois pulsos 
tipo senóide. Assim, o resultado é corrompido. 
 
11.3.10 Forma de Onda Amostrada – Transformada Discreta de Fourier 
A teoria da amostragem preconiza que: 
 
“Se a Transformada de Fourier de uma função x(t) é zero para todas as freqüências 
superiores a uma certa freqüência fc, então a função contínua no tempo x(t) pode ser 
unicamente determinada através dos valores amostrados dessa função”. 
 
 A condição é que x(t) seja zero para freqüências superiores a fc, isto é, a função é 
limitada (banda) em fc. 
 
 A segunda condição é que o espaçamento entre duas amostragens seja tal que: 
 
T = 1 / (2fc), isto é, a freqüência de amostragem tem que ser 1/T = 2.fc. 
 
Essa freqüência é conhecida como “Taxa de Amostragem de Nyquist”. 
 
“Aliasing” significa que componente de alta freqüência de uma função do tempo pode 
introduzir um equivalente de baixa freqüência, se a taxa de amostragem for baixa. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 110 de 130
 
 
 
Assim, a taxa de amostragem precisa ser alta o suficiente de modo que a mais alta 
freqüência a ser amostrada seja pelo menos 1/T = 2.fc. 
 
Freqüentemente as funções são registradas como dados amostrados no domínio do 
tempo, com a amostragem sendo feita numa determinada freqüência (por exemplo para 
relés de proteção). 
 
A transformada de Fourier é, nesse caso, representada pela somatória dos sinais discretos 
de cada amostragem multiplicada por: 
 
12 fntje 
 
Isto é: 



n
ntfjentxX 1.2
1).()(  
 
Onde t1 é o intervalo de tempo entre as amostragens e n a enésima amostragem. 
 
A figura a seguir mostra uma função com valores amostrados no domínio do tempo e o 
espectro de freqüências obtido da Transformada de Fourier: 
 
t-t
t0 t1 2.t1
x(t)
X(f)
fa/2- fa/2
 
 
Figura 11.13 – (a) Função Amostrada no Domínio do Tempo. (b) Espectro de Freqüências para o 
Domínio de Tempo Discreto. 
 
 
Quando tanto o espectro do domínio de freqüências como a função no domínio do tempo 
são funções amostradas por um período T, o “Par de Transformada Fourier” é constituída 
de componentes discretos, com quantidade finita de termos. Segundo notação da 
referência [9], temos: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 111 de 130
 
 
Transformada Discreta de Fourier (DFT): 



1
0
0
0)()(
N
n
TjknenTfkF 
 
Inverso da Transformada (IDFT): 



1
0
0
0)(
1
)(
N
k
TjnkekF
N
nTf 
 
k = k-ésima amostragem.n = n-ésima amostragem. 
 
T = intervalo de tempo entre amostragens 
 
0 = intervalo de freqüência entre amostragens. 
 
N = número de amostragens (em cada domínio) 
 
 
 
A transformada discreta aproxima-se da transformada de Fourier. Entretanto erros podem 
ocorrer nas aproximações envolvidas na transformada discreta. A figura a seguir mostra 
funções discretas de tempo e freqüência: 
 
t
f[n]
F(k0)
-T T

nT
2 / T
0 
 
Figura 11.14 – Funções Discretas no Domínio do Tempo e da Freqüência. 
 
 
NT = Período no domínio do tempo. 
 
2/T = Período no domínio da freqüência. 
 
Chamando F(k0) = Fk , f(nT) = fn e N
n
jTj eew
2
0
  teremos as 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 112 de 130
 
 
 
mesmas equações numa forma mais compacta: 
 




1
0
N
n
nk
nk wfF e 



1
0
1 N
k
nk
kn wF
N
f 
 
 
Essas equações podem ser expressas em forma matricial: 
 







































 1
1
0
630
420
210
000
1
1
0
...
..
..
..
..
..
...
NN f
f
f
www
www
www
www
F
F
F
 
 
Dada o sinal )cos(..2)( 0   tVtv , com N amostragens por ciclo (T=), pela 
expressão: 
 




1
0
0
0)()(
N
n
TjknenTfkF , tem-se 
jVe
N
F
2
2
1  
 
O FASOR à freqüência fundamental associado com o sinal x(t) (amostragem) é portanto 
dado por: 
 




1
0
/2
1 ).
2
(
2 N
n
Nnje
n
n
x
N
X 


 Considerando: )
2
(


n
n
xxn  Tem-se: 
Nnj
N
n
n ex
N
X /2
1
0
1 .
2 


 
 
Esta equação é básica para muitos algoritmos de relés digitais de proteção. 
 
11.3.11 Transformada Rápida de Fourier 
A Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform) não é, de fato, uma 
nova transformada. É simplesmente uma técnica numérica que torna o cálculo da 
Transformada Discreta de Fourier mais rápida. 
 
Para um relé de proteção, N pode variar, em geral, entre 4 e 20. E somente alguns valores 
de Fk são desejados. Por exemplo, F1 = fundamental, F2 = segunda harmônica, F5 = quinta 
harmônica. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 113 de 130
 
 
 
Considerando por exemplo N=4 amostragens por ciclo: 
 
)3(
)2(
)1(
)0(
1
1
1
1111
)3(
)2(
)1(
)0(
963
642
321
x
x
x
x
WWW
WWW
WWW
X
X
X
X
 
 
Considerando, entretanto, que há 90 graus elétricos entre duas amostragens 
subseqüentes (4 amostragens por ciclo), pode-se simplificar a matriz acima. Que depois de 
fatorizado, torna-se: 
 
)3(
)2(
)1(
)0(
.
010
001
010
001
.
100
100
001
001
)4(
)3(
)1(
)0(
2
2
0
0
3
1
2
0
x
x
x
x
W
W
W
W
W
W
W
W
X
X
X
X
 
 
A computação desta matriz requer 4 multiplicações complexas e oito somas complexas. A 
computação da expressão anterior requer 16 multiplicações complexas e 12 somas 
complexas. A computação é então reduzida. 
 
 
11.4 FUNÇÃO DE WALSH 
A função de Walsh é um conjunto de sinais ortogonais num intervalo [0,1] que considera 
apenas valores ±1. Comparado com funções de Fourier, que tratam com números 
complexos, a função de Walsh trata somente com dois números inteiros. 
 
A função de Walsh é definida da seguinte maneira: 
 




1
0
..2.)1sgn(cos()(
p
r
r
rk tktW  para (0 ≤ t ≤ 1) 
Onde: 
 
k = Número da Função de Walsh, que é inteiro e positivo. 
 
 No sistema binário: 


p
r
r
rkk
0
2 2.)( 
 
p = total de dígitos de (k-1) numa expressão binária 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 114 de 130
 
 
sgn = função “sinal” (somente o sinal do resultado é considerado) 
 
 
Exemplo 
 
W6 (t) pode ser deduzido como se segue: 
 
6 -1 = 5 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 
 
Donde (k-1)2 = 1, (k-1)1 = 0, (k-1)0 = 1 
 
Portanto há 3 dígitos na expressão binária ( p = 3 ). 
 
Assim, 
 
 
)sgn(cos).4sgn(cos)(
]..2.)1sgn[cos(]...2.)1sgn[cos(]...2.)1sgn[cos()(
6
0
0
1
1
2
26
tttW
tktktktW




 
 
A figura a seguir mostra as “formas de onda” das primeiras 8 funções de Walsh: 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 115 de 130
 
 
W1(t) ( SAL1(t) )
W2(t) ( CAL1(t) )
W3(t) ( SAL2(t) )
W4(t) ( CAL2(t) )
W5(t) ( SAL3(t) )
W6(t) ( CAL3(t) )
W7(t) ( SAL4(t) )
W8(t) ( CAL4(t) )
1/2
3/81/8
1
5/8 7/8
3/41/4
 
 
Figura 11.15 – 8 primeiras Funções de Walsh 
 
Para fins de conveniência, na comparação com funções Trigonométricas, a função de Walsh 
pode ser classificada como: 
 
)()( tsaltW mk  quando k=2m-1, com m=1,2,3,.... 
 
)()( tcaltW mk  quando k=2m, com m=1,2,3,.... 
 
De modo similar à série de Fourier, qualquer função periódica pode ser expandida como 
uma série de Walsh, adicionada de um termo para ruído: 
 



N
n
nn ttWYty
1
)()()(  
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 116 de 130
 
 
11.5 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E PROCESSOS RANDÔMICOS 
11.5.1 Introdução à Estatística [15] 
Média Aritmética 
 
A média aritmética de um conjunto de variáveis x1, x2, ...., xN é dada por: 
 



N
i
ix
N
x
1
1
 
 
A menos de especificado o contrário, a palavra “média” significa “média aritmética”. 
 
Desvio 
O desvio di de uma variável xi é definida como: xxd ii  
 
“A soma dos desvios de um conjunto de variáveis relativo à sua média aritmética é zero.” 
 
Média Aritmética com Pesos 
 
O “peso” de uma variável é um multiplicador numérico determinado para ela no sentido de 
indicar sua relativa importância. 
 
A média aritmética com pesos é dada por: 
 




n
i
i
n
i
ii
w
xw
x
1
1
 
wi = peso da variável xi. 
 
Desvio Médio 
 
O desvio médio de um conjunto de N variáveis x1, x2, ...., xN é definido como a média 
aritmética dos desvios absolutos da sua média aritmética: 



N
i
i xx
N
MD
1
1
.. 
 
Variância de uma Amostra (Coleção Variáveis Discretas) 
 
No cálculo do desvio médio, todos os valores negativos foram convertidos para positivos 
antes da soma. Um outro método para se eliminar os sinais negativos é fazer o quadrado 
dos desvios e depois fazer a média desses quadrados. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 117 de 130
 
 
 
A variância s2 de uma amostra de N variáveis é: 
 



N
i
i xx
N
s
1
22 )(
1
 
 
Prova-se que essa mesma variância pode ser calculada por: 
 



N
i
i xx
N
s
1
22 1
 
 
Desvio Padrão de uma Amostra 
 
O “Desvio Padrão” de uma amostra de N variáveis é definida como: 
 
2
1
1
2)(
1






 

N
i
i xx
N
s 
 
O desvio padrão é, talvez, o mais importante e a mais amplamente utilizada medida de 
variabilidade. 
 
Um valor relativamente pequeno de s mostra uma aproximação fechada sobre a média. 
Um valor relativamente grande significa uma ampla dispersão relativa à média. 
 
Essa importância decorre do fato de que a soma dos quadrados decorre de simples 
cálculo algébrico e permite interpretação útil e relacionamentos interessantes. Uma soma 
de valores absolutos como ocorre no desvio médio não permite um tratamento matemático 
adequado. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 118 de 130
 
 
11.5.2 Funções de Probabilidade e Distribuições de Freqüência [15] 
Introdução 
 
Este exemplo dá uma idéia do que seja freqüência ou distribuição. Supondo que duas 
moedas iguais são lançadas por 20 vezes e observando os resultados quanto à “cara ou 
coroa” ter-se-ia: 
 
Tabela de Frequência 
Quantidade de “Caras” (xi) Frequência (fi) 
0 3 
1 9 
2 8 
 
 
Juntando a probabilidade de ocorrência ¼ , poderemos construir a seguinte tabela de 
probabilidades: 
 
Uma Função de Probabilidade 
Quantidade de “Caras” (xi) Probabilidade f(x) Freqüência Teórica oNúmero 
Esperado em 20 lançamentos 
0 ¼ 5 
1 ¼ 10 
2 ¼ 5 
TOTAIS 1 20 
 
 
Observa-se que o resultado mostrado na primeira tabela não confere com as freqüências 
teóricas na segunda tabela. 
 
Fica a questão: “estão os valores reais suficientemente diferentes dos valores teóricos 
para garantir a conclusão que as moedas estão viciadas de modo que apareçam mais 
“caras” do que “coroas”? “. A teoria da probabilidade fornece recursos para avaliar esta 
questão. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 119 de 130
 
 
Funções de Probabilidade 
 
A Função de Probabilidade de uma variável randômica discreta X é definida como um 
conjunto de pares ordenados {xi, f(xi)}, onde xi é um número real com i variando de 1 a n 
e f(xi) é a probabilidade de que X = xi, sendo 


n
i
ixf
1
1)( . 
 
Pode-se definir tal tipo de função através de uma tabela: 
 
A Função de Probabilidade 
x x1 x2 x3 ....... xn 
f(x) f(x1) f(x2) f(x3) ...... f(xn) 
 
 
Por exemplo, as duas primeiras colunas da tabela 9.5.2-2 definem a Função de 
probabilidade para lançamento de duas moedas não viciadas. 
 
Note a importante condição de que 


n
i
ixf
1
1)( 
 
Outro exemplo: 
 
Exemplo Numérico de Função de Probabilidade 
x 0 2 3 5 
f(x) 0,1 0,3 0,4 0,2 
 
 
Isso pode ser representado de forma gráfica (hsitograma): 
 
1 2 3 4 5 X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f(x)
 
 
Figura 11.16 – Representação gráfica de uma Função de Probabilidade (histograma) 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 120 de 130
 
 
Probabilidades Acumuladas. 
 
A Função de Distribuição Cumulativa. 
 
Na tabela 9.5.2-3 está indicado que f(xi) = P(X=xi). Se substituirmos f(xi) por 
F(xi)=P(X≤xi), assumindo que x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤....... ≤ xn e construindo a respectiva 
tabela, tem-se: 
 
A Função de Distribuição Cumulativa 
x x1 x2 x3 ....... xn 
F(x) F(x1) F(x2) F(x3) ...... F(xn) 
 
 
F(x1)=P(X≤x1) = f(x1) 
F(x2)=P(X≤x2) = f(x1) + f(x2) 
F(x3)=P(X≤x3) = f(x1) + f(x2) + f(x3) 
…… 



n
i
inn xfxXPxF
1
1)()()( 
 
Podendo-se montar, assim, uma tabela de Probabilidade Acumulada que define uma 
Função de Distribuição Cumulativa da variável randômica X (muitos autores chamam 
simplesmente de “Função de Distribuição”). Por exemplo, da tabela 9.5.2-4 pode-se obter: 
 
A Função de Distribuição Cumulativa 
x 0 2 3 5 
F(x) 0,1 0,4 0,8 1,0 
 
 
O que também pode ser representado numa figura: 
 
1 2 3 4 5 x
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
F(x)
 
 
Figura 11.17 – Diagrama de Probabilidade Cumulativa (histograma cumulativo) 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 121 de 130
 
 
 
Distribuição de Freqüência para Dados Discretos 
 
Dados discretos de freqüência podem também ser trabalhados de modo cumulativo e 
calculados seus valores de média, desvio padrão, etc. 
 
A tabela a seguir mostra um exemplo ilustrativo: 
 
(1) (2) (3) (4) (5) 
Notas (xi) Frequência das 
notas (fi) 
Cum fi fi.xi (fixi)2 
3 1 1 3 9 
4 2 3 8 32 
5 5 8 25 125 
6 12 20 72 432 
7 19 39 133 931 
8 25 64 200 1600 
9 18 82 162 1458 
10 8 90 80 800 
 90 683 5387 
 
 
A freqüência cumulativa é definida como: 


m
i
im ffcum
1
_ 
 
Média Aritmética de uma Distribuição Discreta de Freqüências 
 
Pode ser definida por: 


n
i
ii xf
N
x
1
1
 
 
No exemplo da tabela anterior, a média aritmética é: 683/90 = 7,59 
 
 
Valor Esperado de Uma Variável Randômica Discreta 
 
A fórmula anterior da média aritmética pode ser escrita como: 


n
i
i
i x
N
f
x
1
).( 
 
O valor (fi/N) pode ser interpretado como uma “Freqüência Relativa” ou “Probabilidade”. 
 
A rigor, esta Probabilidade é um valor limite quando N tende a ∞. 
Da tabela exemplo 9.5.2-7 temos que a probabilidade de que um aluno escolhido 
aleatoriamente (randomicamente) de uma classe de 90 tenha tido nota 8 é (25/90) = 0,28. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 122 de 130
 
 
Desta idéia vem a definição do “Valor Esperado” de uma variável randômica X com uma 
Função de Probabilidade f(x). 
 
Se {xi, f(xi)} define a função de probabilidade, com i variando de 1 a n, a “média teórica” ou 
“Valor Esperado” de X é: 



n
i
ii xxfXE
1
).()( 
Do exemplo da tabela 9.5.2-4: 
 
E(X) = (0,1).0 + (0,3).2 + (0,4).3 + (0,2).5 = 2,8 
 
 
Variância e Desvio Padrão de uma Distribuição Discreta de Freqüências 
 
Para uma distribuição discreta, tem-se a seguinte fórmula de Variância: 
 
 
 

n
i
n
i
iiii xxf
N
xxf
N
s
1 1
2222 )(
1
)(
1
 
 
Do exemplo da tabela 9.5.2-7 tem-se: s2 = ( 5387 / 90 ) -7,592 = 2,25 
 
O desvio padrão s = 1,50. 
 
 
Variância e Desvio Padrão de uma Variável Randômica Discreta 
 
Podemos escrever:  
 

n
i
n
i
i
i
ii xx
N
f
xxf
N
s
1 1
222 )).(()(
1
 para uma distribuição 
discreta de freqüências, onde 
N
fi é interpretado como probabilidade. 
 
Com base nesse entendimento, pode-se definir a variância de uma variável randômica 
discreta X como sendo o valor esperado do quadrado do desvio relativo à média : 
 



n
i
ii xxfXE
1
222 )).(()(  onde )(XE 
 
 
Exemplo da tabela 9.5.2-4: 
 
 = E(X) = 2,8 
 
960,1)8,25).(2,0()8,23).(4,0()8,22).(3,0()8,20).(1,0()8,2( 222222  XE
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 123 de 130
 
 
Segue que o desvio padrão é: 40,1 
 
 
Teoremas Envolvendo o Valor Esperado 
 
Já tínhamos visto que 


n
i
iiX xxfXE
1
).()( . Esta fórmula pode ser generalizada, 
incluindo funções de X. 
 
Assim, o valor esperado para uma função h(X) será: 
 
  


n
i
iiXh xhxfXhE
1
)( )().()( 
 
Teorema 1 
 
)()( XkEkXE  isto é, XkX k  . k = constante 
 
Teorema 2 
 
kXEkXE  )()( isto é, kXkX   
 
Teorema 3 
 
kkE )( 
 
Teorema 4 
 
0)(  XE 
 
Teorema 5 
 
222 . XkX k   
 
Teorema 6 
 
22
XaX   a = constante 
 
Teorema 7 
 
222 . XakX k   
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 124 de 130
 
 
Teorema 8 
 
  22222 )().( XXiiX XExxf  
 
11.5.3 Densidade da Probabilidade 
Vamos considerar um histograma f(x) em função de x para a tabela: 
 
(1) (2) (3) (4) (5) 
Notas (xi) Frequência das 
notas (fi) 
Cum fi fi.xi (fixi)2 
3 1 1 3 9 
4 2 3 8 32 
5 5 8 25 125 
6 12 20 72 432 
7 19 39 133 931 
8 25 64 200 1600 
9 18 82 162 1458 
10 8 90 80 800 
 90 683 5387 
 
 
1 2 3 4 5 X
5
10
15
20
25
f(x)
6 7 8 9 100
 
 
Figura 11.18 - Histograma 
 
Considerando o intervalo entre valores de x como 1, a área do histograma é a somatória 
de fi, que é igual a 90, para o exemplo. 
 
Considerando agora a frequência relativa (fi / N), com o espaçamento 1, tem-se uma figura 
com área   11.if : 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 125 de 130
 
 
2 3 4 5 X
0,30
6 7 8 9 10
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
N
f i
 
 
Figura 11.19 – Histograma com Freqüência Relativa 
 
A partir deste exemplo e dos itens anteriores, pode-se conceituar mais amplamente a 
Densidade de Probabilidade. 
 
 
11.5.4 Processos Randômicos e Método dos Mínimos Quadrados [9] 
 
Conceituação de Distribuição de Probabilidade e Densidade 
 
 
Considerando X uma variável randômica, então a função FX(x) definida como: 
 
 xXxFX  Pr)( 
 
é a chamada Função de Distribuição de probabilidade (conceito de probabilidade 
cumulativa). A figura a seguir mostra a característica dessa Função: 
 
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
x
F(x)
 
 
Figura 11.20 – Função de Distribuição de Probabilidade 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 126 de 130
 
 
Se umafunção f(x) existe de tal modo que: 
 



x
X dfxF  ).()( ou 
dx
xdF
xf
)(
)(  
 
Então a função f(x) é referida como a Função de Densidade de Probabilidade para a 
função F(x) (conceito de histograma com freqüência relativa). 
 
As duas mais comuns funções de Densidade são: 
 
 Função de Densidade de Gauss 
 Função de Densidade Uniforme 
 
A função de densidade Gaussiana ou densidade Normal é dada por: 
 
2
2
.2
)(
.
.2
1
)( 

mx
exf

 
 
e mostrada na figura a seguir para m=3 e 1 : 
 
x
f(x)
0,4
0,2
0,3
0,1
1 2 3 4 5 6 
 
Figura 11.21 – Função de Densidade Gaussiana 
 
A Função de densidade Uniforme é mostrada a seguir. 
 
x
f(x)
1/2
-1 +1 
 
Figura 11.22– Função de Densidade Uniforme 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 127 de 130
 
 
 
Valor Esperado 
 
Dada uma função g(x), de uma variável randômica X, o valor esperado de g(x) é definido 
como: 
  


 dxxfxgxgE ).().()( 
 
O Valor Esperado de x é chamado de média teórica (“mean” ou ) e é dado por: 
 
  


 dxxfxxEx ).(. 
 
Variância e Desvio Padrão 
 
A variância de uma variável randômica é definida como: 
 
  


 dxxfxxxxE ).(.)()( 222 
 
A raiz quadrada da variância é o Desvio Padrão. 
 
 
A variância da função de Densidade Uniforme é dada por: 
 




 
1
1
1
1
3
22
3
1
3
.
2
1
..
2
1 x
dxx 
 
Seu desvio padrão 57735,0 
 
Variáveis Randômicas Distribuídas Conjuntamente 
 
É comum ter mais de uma fonte de erro randômico numa dada aplicação. Portanto há 
necessidade de se considerar variáveis randômicas distribuídas conjuntamente. 
Consideremos que X seja um vetor (matriz) de variáveis randômicas: 
 
nX
X
X
X
...
2
1
 
 
Com uma distribuição de probabilidade conjunta. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 128 de 130
 
 
 xXxFX  Pr)( onde x também é um Vetor (matriz). 
 
Há também uma Função Densidade: 
 
n
n
xxx
xF
xf



....
)(.
)(
21
 
 
O Valor Esperado é calculado numa seqüência de integrais: 
 
    






 ndxdxdxxfxgxgE .....).().(......)( 21 
 
Em particular a média x é um Vetor e a MATRIZ DE COVARIÂNCIA é definida como: 
 
 TxxxxEP )).((  
 
onde T significa transposição da matriz, isto é, P é uma matriz simétrica n x n com: 
 
 )).(( jjiiij xxxxEP  
 
Os valores diagonais de P são as VARIÂNCIAS das variáreis randômicas INDIVIDUAIS e 
os valores não diagonais são, de uma certa maneira, uma medida da conexão entre as 
variáveis randômicas consideradas conjuntamente. 
 
A forma da Densidade Gaussiana é: 
 
  2
1
1
det.)2(
).(.).(
2
1
exp
)(
P
mxPmx
xf
n
T




 


 
 
Independência 
 
Duas variáveis randômicas são ditas independentes se: 
 
)().().( 2211121 xfxfxxf XXsXX  
 
As variáveis Gaussianas randômicas são independentes se a matriz de Covariância é 
DIAGONAL (valores não diagonais = 0). 
 
Método dos Mínimos Quadrados (Estimativa Linear) 
 
Muitos algoritmos aplicados em relés de proteção processam um número total de medidas 
que excedem a quantidade de parâmetros a serem determinados. Numa forma 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 129 de 130
 
 
simplificada, o problema pode ser entendido como a solução de uma equação (vetores) do 
tipo: 
 
bxA . 
 
Onde A e b são conhecidos e x é para ser determinado. A equação é dita “sobredefinida” 
se há mais b’s do que x’s. Exemplo: 
 





























4
3
4
1
4
5
''.
10
11
01
2
1
x
x
 o valor entre aspas indica que a equação não apresenta solução. 
 
Uma aproximação razoável para a equação é reconhecer que há um erro, e escrever: 
 
exAb  . onde e = b – A.x 
 
Uma solução para o problema acima seria uma na qual e(1)=e(3)=0 e e(2)= -3/4. 
 
Numa tentativa de diluir o erro pode-se tomar como uma medida da qualidade da 
solução, a soma dos quadrados dos erros: 
 
bbAxbbAxAxAxAxbAxbAxbAxbee TTTTTTTTTTT  )).(().()( 
 
O valor de x que minimiza eTe pode ser obtido fazendo-se a derivada parcial da equação 
em função dos componentes de x e igualando a zero. O resultado será: 
 
bAAAx TT ..).( 1 
 
O cálculo dessa equação é as vezes chamado de “pseudo inversão” 
 
 
Para o exemplo numérico anterior: 
 



























21
12
10
11
01
.
110
011
AAT 






21
12
3
1
)( 1AAT 
 



























1
1
4
3
4
1
4
5
.
110
011
bAT 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
 
 
ANEXO – Base Matemática 130 de 130
 
 
A solução: 






1
1
x e os erros: 














4
1
4
1
4
1
Axbe 
 
Verifica-se que pelo os erros são diluídos (mais ou menos do mesmo tamanho), uma vez 
que se minimizou os mesmos a soma dos quadrados. 
 
 
Mínimos Quadrados com Ponderação 
 
Considerando que existam dados no sentido de se conhecer mais detalhadamente os 
erros da equação exAb  . 
 
Considerando que o erro tem média Zero e que sua matriz de Covariância seja 
conhecido: 
 
 TeeEV . 
 
Se o erro tem distribuição Gaussiana e a Matriz de Covariância V é do tipo diagonal (erros 
independentes entre si), faz mais sentido ponderar os erros na minimização pela soma dos 
quadrados, isto é, calcular um x que minimize: 
 
eVeT 1 ao invés de eeT 
 
Se V é DIAGONAL: 
ii
T
V
ie
eVe
)(2
1 . A solução para minimização é dada por: 
 
bVAAVAx TT ...)( 111  
 
Essa solução é parte de muitos algoritmos para relés de proteção. 
 
PROJETO 
CURSO DE PROTEÇÃO 
DETALHE 
Proteção de Linhas de Transmissão 
Direitos Reservados: 
Virtus Consultoria e Serviços Ltda. 
Autor: 
Paulo Koiti Maezono 
Instrutores: 
Paulo Koiti Maezono 
Pedro Nasi Neto 
Total de Páginas 
145 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
 
 
 
Julho de 2013 
 
 
Edição 5
Subestação B
Subestação C
Subestação B
Outro nível kV
T
ra
ns
fo
rm
ad
or
S
E
 B

LT
 1
LT
 2
Subestação A
Ponto de
Aplicação da
Proteção
jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
Subestação D
(ATRÁS)
LT
 3
FRENTE
SE A
230 kV
SE B SE CSE D
SE B
138 kV
FrenteAtrás
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Introdução e Índice 2 de 145
 
SOBRE O AUTOR 
 
 
 
 
Eng. Paulo Koiti Maezono 
 
 
Formação 
 
Graduado em engenharia elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo em 1969. Mestre 
em Engenharia em 1978, pela Escola Federal de Engenharia de Itajubá, com os créditos obtidos em 1974 
através do Power Technology Course do P.T.I – em Schenectady, USA. Estágio em Sistemas Digitais de 
Supervisão, Controle e Proteção em 1997, na Toshiba Co. e EPDC – Electric Power Development Co. de 
Tokyo – Japão. 
 
 
Engenharia Elétrica 
 
Foi empregado da CESP – Companhia Energética de São Paulo no período de 1970 a 1997, com 
atividades de operação e manutenção nas áreas de Proteção de Sistemas Elétricos, Supervisão e 
Automação de Subestações, Supervisão e Controle de Centros de Operação e Medição de Controle e 
Faturamento. Participou de atividades de grupos de trabalho do ex GCOI, na área de proteção, com ênfase 
em análise de perturbações e metodologias estatísticas de avaliação de desempenho. 
 
Atualmente é consultor e sócio administrador da Virtus Consultoria e Serviços Ltda. em São Paulo – SP. A 
Virtus tem como clientes empresas concessionárias, empresas projetistas na área de Transmissão de 
Energia, fabricantes e fornecedores de sistemas de proteção, controle e supervisão. Já prestou serviços ao 
Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da Escola Politécnica da Universidade de 
São Paulo e Instituto Presbiteriano Mackenzie. 
 
 
Área Acadêmica 
 
Foiprofessor na Escola de Engenharia e na Faculdade de Tecnologia da Universidade Presbiteriana 
Mackenzie no período de 1972 a 1987. É colaborador na área de educação continuada da mesma 
universidade, de 1972 até a presente data. 
 
Foi colaborador do Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da EPUSP – Escola 
Politécnica da Universidade de São Paulo, desde 1999 até 2002, com participação no atendimento a 
projetos especiais da Aneel, Eletrobrás e Concessionárias de Serviços de Eletricidade. 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Introdução e Índice 3 de 145
 
INDICE 
 
1.  REQUISITOS E CONCEITOS DE PROTEÇÃO ................................................................................................ 5 
1.1  FINALIDADE DE UMA PROTEÇÃO ............................................................................................................. 5 
1.2  TERMINOLOGIA............................................................................................................................................. 5 
1.3  REQUISITOS BÁSICOS DE UM SISTEMA DE PROTEÇÃO ....................................................................... 6 
1.4  COORDENAÇÃO ............................................................................................................................................ 7 
1.5  ZONAS DE PROTEÇÃO .................................................................................................................................. 7 
1.6  PROTEÇÃO UNITÁRIA (OU RESTRITA) E PROTEÇÃO GRADATIVA (OU IRRESTRITA) ................... 9 
1.7  PROTEÇÃO PRINCIPAL E PROTEÇÃO DE RETAGUARDA.................................................................... 10 
1.7.1  Proteção Principal ...................................................................................................................................... 10 
1.7.2  Proteção de Retaguarda .............................................................................................................................. 10 
1.8  PROTEÇÃO PRIMÁRIA E PROTEÇÃO ALTERNADA .............................................................................. 11 
2.  FUNÇÕES DE PROTEÇÃO ................................................................................................................................. 13 
2.1  FUNÇÃO DE SEQUÊNCIA NEGATIVA ...................................................................................................... 13 
2.1.1  Conceito ...................................................................................................................................................... 13 
2.1.2  Utilização para Linhas de Transmissão ...................................................................................................... 14 
2.1.3  Diretrizes de Ajustes ................................................................................................................................... 14 
2.2  FUNÇÃO DIRECIONAL DE SOBRECORRENTE ....................................................................................... 15 
2.2.1  Conceito ...................................................................................................................................................... 15 
2.2.2  Conexão Clássica ........................................................................................................................................ 15 
2.2.3  Filosofia de Atuação e Aplicação ............................................................................................................... 16 
2.2.4  Polarização. Elementos Direcionais. .......................................................................................................... 17 
2.2.5  Filosofia de uso para o Sobrecorrente Direcional ...................................................................................... 25 
2.2.6  Diretrizes de Ajustes para o Sobrecorrente Direcional .............................................................................. 25 
2.3  FUNÇÃO DE TENSÃO .................................................................................................................................. 26 
2.3.1  Finalidade e Conceitos................................................................................................................................ 26 
2.3.2  Diretrizes de Ajustes ................................................................................................................................... 27 
2.4  FUNÇÃO DE DISTÂNCIA ............................................................................................................................ 28 
2.4.1  Princípio ...................................................................................................................................................... 28 
2.4.2  Representação de Linha de Transmissão e de Ponto de Curto-Circuito em Diagrama de Impedâncias .... 29 
2.4.3  Requisitos Desejados para uma Função de Distância ................................................................................ 31 
2.4.4  Características de impedância de uma proteção de distância .................................................................... 34 
2.4.5  Característica Mho e Conceitos de Polarização ......................................................................................... 38 
2.4.6  Zonas de Alcance ........................................................................................................................................ 46 
2.4.7  Loops de Medição de Falta em Relés de Distância..................................................................................... 49 
2.4.8  Circuitos de Detecção de Falta (Partida) ................................................................................................... 54 
2.4.9  Considerações sobre a Resistência de Falta ............................................................................................... 58 
2.4.10  Resistências de Falta Devido a Objetos ou Vegetação ........................................................................... 63 
2.4.11  Impedância Aparente Medida pela Função de Distância ....................................................................... 63 
2.4.12  Consideração sobre Circuitos Paralelos ................................................................................................ 64 
2.4.13  Diretrizes de Ajustes para a Função de Distância ................................................................................. 72 
2.5  FUNÇÕES EXTRAS PARA PROTEÇÃO DE LINHA .................................................................................. 87 
2.5.1  Oscilação de Potência ................................................................................................................................. 87 
2.5.2  Fechamento sobre Falta (“Switch on to fault protection”) – Função 50/27. ............................................. 88 
2.5.3  Proteção STUB Bus ..................................................................................................................................... 88 
2.6  FUNÇÃO COMPARAÇÃO DE FASE ........................................................................................................... 90 
2.6.1  Conceito e Princípios .................................................................................................................................. 90 
2.6.2  Diretrizes de Ajuste ..................................................................................................................................... 94 
2.7  FUNÇÃO DIFERENCIAL .............................................................................................................................. 94 
2.7.1  Conceito ...................................................................................................................................................... 94 
2.7.2  Proteção de Linhas Aéreas ou Linha de Cabos (87L) .................................................................................95 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Introdução e Índice 4 de 145
 
2.7.3  Segregação por Fase ................................................................................................................................... 96 
2.7.4  Princípios de Funcionamento ..................................................................................................................... 97 
2.7.5  Vantagens e Desvantagens da função 87L ................................................................................................ 100 
2.7.6  Modernas Proteções Digitais .................................................................................................................... 100 
2.8  FUNÇÃO DE SOBRECARGA TÉRMICA .................................................................................................. 101 
2.8.1  Conceito .................................................................................................................................................... 101 
2.8.2  Modernas Proteções Digitais .................................................................................................................... 102 
2.8.3  Aplicação para Linhas .............................................................................................................................. 103 
3.  RELIGAMENTO AUTOMÁTICO .................................................................................................................... 104 
3.1  FUNÇÃO RELIGAMENTO AUTOMÁTICO (79) ...................................................................................... 104 
3.2  FUNÇÃO “CHECK DE SINCRONISMO” (25) ........................................................................................... 106 
3.3  RELIGAMENTO AUTOMÁTICO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO ...................................................... 107 
3.3.1  Aspectos Gerais ......................................................................................................................................... 107 
3.3.2  Aspectos Relacionados ao Religamento Automático ................................................................................. 107 
3.3.3  Tipos de Religamento Automático ............................................................................................................. 109 
3.3.4  Requisitos e Implementação do Religamento Automático......................................................................... 110 
3.3.5  Implicações no sistema de proteção .......................................................................................................... 112 
3.3.6  Tempo para Extinção e Desionização do Arco - Diretrizes de Ajuste ...................................................... 112 
4.  TELEPROTEÇÃO ............................................................................................................................................... 114 
4.1  FINALIDADE DA TELEPROTEÇÃO ......................................................................................................... 114 
4.1.1  Seletividade e Rapidez na Proteção .......................................................................................................... 114 
4.1.2  Confiabilidade ........................................................................................................................................... 115 
4.1.3  Religamento Automático ........................................................................................................................... 116 
4.2  MEIOS DE COMUNICAÇÃO ...................................................................................................................... 117 
4.2.1  Fio Piloto .................................................................................................................................................. 117 
4.2.2  Carrier (OPLAT) ....................................................................................................................................... 117 
4.2.3  Radio Micro-Ondas (e UHF) .................................................................................................................... 123 
4.2.4  Fibra Óptica .............................................................................................................................................. 124 
4.3  ESQUEMAS DE TELEPROTEÇÃO ............................................................................................................ 125 
4.3.1  Esquemas de Comparação de Fase ........................................................................................................... 125 
4.3.2  Esquemas Diferenciais .............................................................................................................................. 126 
4.3.3  Esquemas de Transferência de Sinal de Trip ("TRANSFERRED TRIPPING") ........................................ 127 
4.3.4  Esquemas de Comparação Direcional ("DIRECTIONAL COMPARISON") ............................................ 132 
4.3.5  Esquemas de ACELERAÇÃO ou PROLONGAMENTO DE ZONA de proteção de distância .................. 135 
4.4  WEAK INFEED E ECHO ............................................................................................................................. 136 
4.4.1  Caracterizaçâo .......................................................................................................................................... 136 
4.4.2  Esquema de Weak Infeed e Eco ................................................................................................................. 136 
4.4.3  Faltas na Direção Reversa e o Esquema de Weak Infeed ......................................................................... 137 
5.  FILOSOFIA DE PROTEÇÃO ............................................................................................................................ 139 
5.1  BASEADOS NOS PROCEDIMENTOS DE REDE DO ONS ....................................................................... 139 
5.1.1  Linhas de Extra Alta Tensão (nível de tensão igual ou superior a 345 kV) .............................................. 140 
5.1.2  Linhas de 230 kV e 138 kV da Rede Básica ............................................................................................. 142 
5.2  LINHAS QUE NÃO INTEGRAM A REDE BÁSICA .................................................................................. 144 
6.  BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................. 145 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Requisitos e Conceitos 5 de 145
 
1. REQUISITOS E CONCEITOS DE PROTEÇÃO 
1.1 FINALIDADE DE UMA PROTEÇÃO 
Uma proteção é aplicada para detectar as anomalias que ocorrem na instalação protegida, 
desligando-a e protegendo-a contra os efeitos da deterioração que poderiam decorrer da 
permanência da falha ou defeito por tempo elevado. 
Além dos efeitos da deterioração, podem ocorrer também instabilidades no Sistema de 
Potência no caso de falhas sustentadas por tempos acima de determinados limites. 
Assim, o Sistema de Proteção deve detectar a anomalia e remover o componente do Sistema 
Elétrico sob falha, o mais rápido possível e de preferência, somente o componente sob falha. 
1.2 TERMINOLOGIA 
RELÉS OU DISPOSITIVOS DE PROTEÇÃO 
São equipamentos ou instrumentos especialmente projetados e devidamente aplicados para 
detectar condições anormais, indesejáveis e intoleráveis no sistema elétrico e prover, 
simultânea ou parcialmente, os seguintes eventos: 
 Pronta remoção de serviço (desligamento) dos componentes sob falta, ou dos 
componentes sujeitos a danos, ou ainda dos componentes que de alguma forma possam 
interferir na efetiva operação do restante do sistema. 
 Adequadas sinalizações, alarmes e registros para orientação dos procedimentos humanos 
posteriores. 
 Acionamentos e comandoscomplementares para se garantir confiabilidade, rapidez e 
seletividade na sua função de proteção. 
SISTEMAS DE PROTEÇÃO 
Conjuntos de relés e dispositivos de proteção, outros dispositivos afins, equipamentos de 
teleproteção, circuitos de corrente alternada e corrente contínua, circuitos de comando e 
sinalização, disjuntores, etc. que associados, têm por finalidade proteger componentes ou 
partes do sistema elétrico de potência quando de condições anormais, indesejáveis ou 
intoleráveis. 
Quando se fala em Sistema de Proteção, usualmente se entende tal sistema como “Relé de 
Proteção”. Na realidade um Sistema de Proteção consiste, além dos relés de proteção, 
também de outros subsistemas que participam do processo de remoção da falha. Tais 
subsistemas são mostrados na figura a seguir: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Requisitos e Conceitos 6 de 145
 
CIRCUITO PROTEGIDO
TP's - Transformadores
de Potencial
TC's - Transformadores
de Corrente
Disjuntor
Alimentação Auxiliar
Corrente Contínua da
Bateria da Subestação
(em geral 125 Vcc)
Circuito de
Comando
de abertura
do disjuntor
Relé(s) de
Proteção
PROTEÇÃO
 
Figura 1.1 – Sistema de Proteção 
FUNÇÕES DE PROTEÇÃO 
Entende-se como função de proteção um conjunto de atributos desempenhados por um 
sistema de proteção, para fins previamente estabelecidos e definidos, dentro de uma 
determinada categoria ou modalidade de atuação. 
Um relé ou dispositivo de proteção pode ter uma ou mais funções de proteção incorporadas 
(a chamada proteção “multifuncional”). 
1.3 REQUISITOS BÁSICOS DE UM SISTEMA DE PROTEÇÃO 
Seletividade 
É a capacidade do Sistema de Proteção prover a máxima continuidade de serviço do Sistema 
Protegido com um mínimo de desconexões para isolar uma falta no sistema. 
Confiabilidade 
É a habilidade do relé ou do Sistema de Proteção atuar corretamente quando necessário 
(dependabilidade) e evitar operação desnecessária (segurança). 
Velocidade 
Característica que garante o mínimo tempo de falha, para um mínimo de danos ou 
instabilidade no componente ou sistema protegido. 
Economia 
No sentido de se ter máxima proteção ao menor custo, considerando sempre o aspecto custo 
x benefício, que é a essência da ENGENHARIA. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Requisitos e Conceitos 7 de 145
 
Simplicidade 
Característica que considera a utilização mínima de equipamentos e circuitos na execução da 
Proteção. 
Mantenabilidade 
É a capacidade da proteção permitir manutenção rápida e precisa, reduzindo-se ao mínimo o 
tempo fora de serviço e os custos de manutenção. 
PRECEITOS 
Os seguintes preceitos são generalizados para qualquer Sistema de Proteção: 
 A Proteção deve desligar o mínimo necessário de componentes para isolar a falha ou 
anormalidade, no mínimo de tempo possível (seletividade e velocidade). 
 A Proteção deve ter sensibilidade suficiente para cobrir a maior parte possível do universo 
de possibilidade de falhas e anormalidades no componente ou sistema protegido 
(dependabilidade). 
 A Proteção não deve atuar desnecessariamente (segurança). 
 Deve haver, sempre, uma segunda Proteção, local ou remota, para a detecção de uma 
mesma anormalidade (dependabilidade). 
 Um esquema mais simples de proteção, desde que cobertos os requisitos básicos, 
apresenta uma menor probabilidade de atuação desnecessária (simplicidade 
incrementando a segurança, com economia). 
 Quanto mais caro o Sistema Protegido, mais se justifica o investimento na confiabilidade 
(dependabilidade) do Sistema de Proteção (economia = custo x benefício). 
1.4 COORDENAÇÃO 
O estudo e a prática de aplicação de Proteção por Relés não constituem uma ciência exata. 
Muito de arte e bom senso estarão sempre associados à técnica empregada. Assim, a 
experiência assume um aspecto significativo para qualquer profissional que trate do assunto. 
Entende-se como coordenação de relés e sistemas de proteção, o estudo e a aplicação de 
ajustes e esquemas no sentido de se garantir os requisitos básicos de seletividade e 
velocidade, e garantir também que haja sempre uma segunda ou terceira proteção que 
detecte a mesma anormalidade como retaguarda (dependabilidade do sistema de proteção) 
sem, no entanto, comprometer a seletividade. 
1.5 ZONAS DE PROTEÇÃO 
A filosofia geral de proteção de um sistema elétrico é dividi-lo em “zonas de proteção” de 
modo que, quando da ocorrência de uma anormalidade, haja o mínimo de desligamentos 
possível, preservando o máximo de continuidade dos serviços. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Requisitos e Conceitos 8 de 145
 
O sistema é dividido em zonas de proteção para: 
 Geradores 
 Transformadores 
 Barras 
 Linhas de Transmissão e Subtransmissão 
 Dispositivos e Sistemas de Compensação Reativa 
 Circuitos de Distribuição 
 Transformadores de Distribuição 
 Motores 
 Outras cargas 
Transformador
Barra
Barra Barra
Reator
Shunt
Linha
LinhaLinha
Grupo Gerador -
Transformador
Transformador
Elevador
Barra
Transformador
Barra
 
Figura 1.2 – Zonas de Proteção 
A separação das zonas se dá através da localização de Disjuntores e Transformadores de 
Corrente que alimentam os relés de proteção. As figuras a seguir mostram detalhes dessa 
fronteira de zonas: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Requisitos e Conceitos 9 de 145
 
Zona 1
TC's
(zona 2)
Zona 2
TC's
(zona 1)
Disjuntor
 
Figura 1.3 – Limites de Zona – Exemplo 1 
 
Zona 1
TC's
(zona 1)
Zona 2
TC's
(zona 2)
Disjuntor
 
Figura 1.4 – Limites de Zona – Exemplo 2 
No exemplo 1 tem-se a utilização de TC’s de ambos os lados do disjuntor. No exemplo 2 os 
TC’s de um lado apenas do disjuntor. 
Nesse segundo caso, verifica-se que há uma “zona morta” entre o disjuntor e o equipamento 
TC sem aparente cobertura. Há esquemas especiais para cobrir essa zona morta, para 
instalações importantes (geralmente em Extra Alta Tensão ≥ 345 kV. 
1.6 PROTEÇÃO UNITÁRIA (OU RESTRITA) E PROTEÇÃO GRADATIVA (OU IRRESTRITA) 
UNITÁRIA OU RESTRITA 
Denomia-se proteção UNITÁRIA ou RESTRITA toda função de proteção com atuação sem 
temporização intencional (“instantânea”) que tem a finalidade de servir como proteção 
primordial para faltas internas ao elemento protegido, sendo sua característica principal o 
aspecto de seletividade, isto é, a função atua apenas para faltas internas ao elemento 
protegido. Pode ser de tipos diferentes como função de Distância (na sua 1ª Zona ou com 
teleproteção num esquema permissivo ou desbloqueio\), função diferencial ou função de 
comparação de fase. 
GRADATIVA OU IRRESTRITA 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Requisitos e Conceitos 10 de 145
 
Denomia-se proteção GRADATIVA OU IRRESTRITA toda função de proteção com atuação 
temporizada, como uma segunda ou terceira função que detecta uma falta num componente, 
falta essa já detectada pela Proteção Unitária desse componente. 
Essa característica de RETAGUARDA (local ou remota) é a principal de uma proteção 
GRADATIVA. 
Pode ser de tipos diferentes como função de sobrecorrente (fase ou terra), função de 
sobrecorrente direcional (fase ou terra), função de distância nas suas zonas temporizadas, 
etc. 
1.7 PROTEÇÃO PRINCIPAL E PROTEÇÃO DE RETAGUARDA 
Para se garantir o requisito básico de confiabilidade (dependabilidade) para o Sistema de 
Proteção, há necessidade para a maioria dos casos, da existência de uma segunda 
proteção, pelo menos, para a detecção da mesma falha no componente protegido. 
Resultam deste aspecto os conceitos de Proteção Principal e Proteção de Retaguarda: 
1.7.1 Proteção Principal 
É aquela constituída de um relé (hardware) que tem, obrigatoriamente, uma ou mais 
funções Unitárias e, eventualmente, várias Gradativas. Tem condição de detectar todas as 
anormalidade para a qual foi concebida, no componente protegido, contemplando os 
requisitos de seletividade,confiabilidade e de velocidade. 
Dependendo da importância do componente protegido, pode existir projeto com duas 
proteções principais, que no caso de serem iguais são denominadas “duplicadas” ou 
“primária + alternada”. O que caracteriza o fato de serem “principais” é o atendimento aos 
requisitos básicos de velocidade, seletividade e confiabilidade. 
NOTA 
No passado, com proteções eletromecânicas era muito comum o uso da definição de 
“Proteção Principal” pois na época não havia multifuncionalidade. Existia etão relé com 
Proteção Unitária como Relé de Distância, Relé Diferencial. 
1.7.2 Proteção de Retaguarda 
É aquela construída de outro relé (hardware) com várias funções, porem com funções 
Gradativas (com temporização intencional). Também por especificação e escolha de 
projeto, tem a finalidade de ser a segunda ou terceira proteção a detectar uma mesma 
anormalidade, local ou remota, em um dado componente do sistema de potência, atuando o 
respectivo disjuntor quando da falha da proteção principal. 
NOTA 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Requisitos e Conceitos 11 de 145
 
No passado, com proteções eletromecânicas era muito comum o uso da definição de 
“Proteção de Retaguarda” pois na época não havia multifuncionalidade. Existia então relé 
com Proteção Gradativa como Relé de Sobrecorrente, Relé Direcional de Sobrecorrente. 
Retaguarda Local 
Uma proteção de retaguarda pode estar instalada no mesmo local da proteção principal. 
Neste caso é denominada de “retaguarda local”. 
Retaguarda Remota 
Ou pode estar instalada em um outro componente adjacente àquele original. Neste caso é 
denominada de “retaguarda remota”: 
Componente
Protegido
Componente
Protegido
SE A SE B SE C
Proteção
Principal de A-B.
Proteção de
Retaguarda
Local de A-B.
Proteção de
Retaguarda
Remota de B-C.
Proteção
Principal de B-A.
Proteção de
Retaguarda
Local de B-A.
Proteção de
Retaguarda
Remota de A-X.
Proteção
Principal de B-C.
Proteção de
Retaguarda
Local de B-C.
Proteção de
Retaguarda
Remota de C-Y.
Proteção
Principal de C-B.
Proteção de
Retaguarda
Local de C-B.
Proteção de
Retaguarda
Remota de B-A. 
Figura 1.5 – Conceito de Proteção Principal e Proteção de Retaguarda 
1.8 PROTEÇÃO PRIMÁRIA E PROTEÇÃO ALTERNADA 
Mais recentemente no Brasil optou-se por duplicar relés ou funções principais para proteção 
de linhas de transmissão de Extra Alta Tensão (níveis de tensão iguais ou superiores a 345 
kV) como exigência da Aneel para novas instalações. Neste caso, pode-se ter as seguintes 
opções: 
a) Utilização de relés de mesma fabricação, tecnologia e modelo (duplicação plena); 
b) Utilização de relés de mesma fabricação, tecnologia e modelos diferentes (duplicação 
parcial, eventualmente em algumas funções diferentes); 
c) Utilização de relés de diferentes origens (fabricação), mesma tecnologia e com duplicação 
de funções; 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Requisitos e Conceitos 12 de 145
 
d) Utilização de relés de tecnologias diferentes e mesmas funções. 
A tendência atual é o item a, com plena duplicação quanto ao modelo e funções de proteção. 
Este aspecto ajuda na manutenção da proteção e a retirada de operação de uma delas sem 
maiores preocupações. 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 13 de 145
 
2. FUNÇÕES DE PROTEÇÃO 
2.1 FUNÇÃO DE SEQUÊNCIA NEGATIVA 
2.1.1 Conceito 
Qualquer desbalanço num sistema trifásico, com ou sem terra, faz com que apareça 
componentes simétricas de seqüência negativa. A componente de seqüência negativa 
pode ser calculada através da expressão: 































c
b
a
a
a
a
I
I
I
aa
aa
I
I
I
.
1
1
111
3
1
2
2
2
1
0
 Donde,  cbaa IaIaII ..
3
1 2
2  onde 
oa 1201 
Para tensão, vale a mesma expressão. Assim, uma proteção pode calcular a corrente de 
seqüência negativa I2 através das correntes de fase. Em condições normais de operação, 
com o sistema trifásico equilibrado, essa corrente é Zero. 
Isto é, o surgimento da componente de seqüência negativa I2 significa que há desbalanço 
de corrente através do circuito onde está aplicada a proteção e pode ser causada por: 
 Uma fase aberta 
 Duas fases abertas 
 Carga desequilibrada (comum para circuitos primários de Distribuição) 
 Curto-circuito fase-terra. 
 Curto-circuito bifásico. 
 Curto-circuito bifásico-terra. 
Um critério de desbalanço poderia ser o valor percentual da corrente I2 (seqüência 
negativa) com relação à corrente I1 (seqüência positiva). 
O desbalanço de corrente é um fator grave para máquinas rotativas, uma vez que induz 
correntes de frequência dupla no rotor (ferro), causando aquecimento. 
Portanto a função de seqüência negativa é utilizada principalmente para proteção de 
motores e geradores. Seu código ANSI é 46. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 14 de 145
 
50/
51N
46
50/
51
Função 46:
Desbalanço
de Corrente
(Sequência
Negativa)
Circuito
Protegido
 
Figura 2.1 – Função de Desbalanço de Corrente 
2.1.2 Utilização para Linhas de Transmissão 
Para Linhas de Transmissão, esta função é utilizada em casos especiais onde há 
dificuldades de detecção de curtos-circuitos, como por exemplo uma linha longa em alta ou 
média tensão, onde as faltas se confundem com as cargas e as funções de sobrecorrente 
e de distância têm dificuldades. Lembrando que a seqüência negativa de corrente aparece 
sempre que há desbalanço, com ou sem terra, ela pode ser uilizada para detectar curto-
circuito. A exigência é que a carga, em condições normais, deve ser equilibrada o 
suficiente para não altingir limite de atuação da proteção. 
2.1.3 Diretrizes de Ajustes 
Uma boa diretriz é ajustar o valor da seqüência negativa entre 10 e 40% da corrente 
nominal prevista na LT, se o objetivo é detectar fase aberta. Deve-se, entretanto, 
estabelecer uma temporização entre 5,0 e 15,0 segundos, dependendo da filosofia da 
empresa. 
Principalmente para Linhas de Transmissão com religamento automático monopolar, 
deve-se tormar cuidado com a função 46, se utilizada, pois durante o tempo de extinção de 
arco, quando uma fase está aberta, há corrente de seqüência negativa. A ordem de 
grandeza é de cerca de 40% da corrente de carga que havia na LT. Assim, o tempo de 
atuação dessa função, para o desbalanço de uma fase aberta deve ser superior ao tempo 
morto de religamento automático monopolar dessa linha, com margem de segurança. O 
critério acima deve satisfazer esta condição. 
Para o caso de linhas especiais com dificuldade de detecção de curto-circuito pelas 
funções convencionais, deve-se fazer estudo específico, caso a caso. 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 15 de 145
 
2.2 FUNÇÃO DIRECIONAL DE SOBRECORRENTE 
2.2.1 Conceito 
A diferença entre uma função de sobrecorrente e uma função direcional de sobrecorrente é 
que esta última tem uma característica extra associada à direção da corrente medida, e 
não apenas ao módulo da corrente medida. 
Para que isto seja possível, deverá haver, para cada relé, uma referência de Tensão. Isto 
é, os mesmos devem ser Polarizados. 
Há duas funções direcionais de terra: aquela para corrente de fase e aquela para 
corrente de terra. O código ANSI para a função direcional de sobrecorrente é (67). Pode 
ter, também, elemento instantâneo, porém não há código específico para esse elemento 
instantâneo. 
2.2.2 Conexão Clássica 
A figura a seguir mostra uma conexão trifásica para 02 relés direcionais de sobrecorrente 
de fase e um relé direcional de sobrecorrente de terra. 
67A 67C
67N
Fase A
Fase B
Fase C
I Residual = IA + IB + IC
TC
TC
TC
Disjuntor(es) IA
IB
IC
iA iB iC
TP's
TP's
AUXILIARES
 
Figura 2.2 – Conexão para relés direcionais de sobrecorrente convencionais 
No casoHz e 5A 
Resistência 
(Ω) 
Indutância 
(mH) 
Impedância 
(Ω) 
Volt-
Amperes 
Fator de 
Potência 
 B-0,1 0,09 0,116 0,1 2,5 0,9 
 B-0,2 0,18 0,232 0,2 5,0 0,9 
 B-0,5 0,45 0,580 0,5 12,5 0,9 
 B-1 0,5 2,3 1,0 25 0,5 
 B-2 1,0 4,6 2,0 50 0,5 
 B-4 2,0 9,2 4,0 100 0,5 
 B-8 4,0 18,4 8,0 200 0,5 
 
Figura 2-5 - Cargas Nominais para TC, segundo ANSI 
2.5.2 Classe de Exatidão Nominal. 
Esse item é de fundamental importância para a correta especificação do TC. 
Os transformadores de corrente estão classificados em dois tipos distintos, de acordo com 
a sua aplicação: 
 TC´s para serviço de medição 
 TC´s para serviço de proteção 
O assunto classe de exatidão nominal será tratado separadamente para cada tipo de TC, 
conforme classificação acima. 
2.5.3 Fator de Sobrecorrente do TC. 
É o fator empregado em TC´s para serviço de proteção. É expresso pela relação entre a 
máxima corrente com a qual o transformador mantém a sua classe de precisão e a sua 
corrente nominal. 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 14 de 58
 
Os valores máximos de corrente (corrente de curto circuito) que podem passar pelo 
primário do TC para que o seu erro seja mantido é padronizado de acordo com as normas 
utilizadas. 
A norma ABNT apresentava fator de sobrecorrente de 5, 10, 15 e 20 e a ANSI, fator de 
sobrecorrente de 20. 
Assim, um TC de fator de sobrecorrente 20, erro de 10% e com relação de transformação 
1000 - 5 só poderá ser utilizado num sistema elétrico se a máxima corrente de curto 
circuito no local da sua instalação não ultrapassar o valor de: 
Imáxcurtocircuito = 20 x 1000 = 20.000 A = 20 kA (eficazes) 
Isso significa que para uma corrente de curto circuito inferior a 20 kA, o erro que o TC na 
sua corrente secundária é menor ou igual a 10%. 
O fator de sobrecorrente também impõe uma limitação construtiva do TC devido ao erro 
produzido pela não linearidade da curva de magnetização do núcleo. 
Assim, ao se limitar: 
Icurtocircuito ≤ Fator de Sobrecorrente x InominaldoTC 
o TC não ultrapassa o seu erro de sua classe de precisão. 
2.5.4 Fator Térmico Nominal. 
É o fator pelo qual a corrente nominal primária do TC deve ser multiplicada para se obter a 
corrente primária máxima que o transformador deve suportar, em regime permanente, 
operando em condições normais, sem exceder os limites de temperatura especificados 
para sua classe de isolamento. 
Segundo a ABNT, são normalizados os seguintes valores: 
1,0 - 1,2 - 1,3 - 1,5 - 2,0 
2.5.5 Corrente Térmica Nominal. 
É definido como sendo o valor eficaz da corrente primária simétrica que o transformador 
pode suportar por um determinado tempo (normalmente 1,0 segundo) com o enrolamento 
secundário em curto-circuito ou com determinada carga normalizada, sem exceder os 
limites de elevação de temperatura especificados para sua classe de isolamento. 
Isto quer dizer que um TC deve ser construído de maneira a suportar termicamente uma 
determinada sobrecorrente durante 1 segundo, sem se danificar. 
Para instalação protegida por disjuntor, o TC é selecionado de forma que o seu: 
Limite Térmico ≥ máxima corrente de interrupção do disjuntor. 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 15 de 58
 
2.5.6 Corrente Dinâmica Nominal. 
É definida como sendo o maior valor eficaz da corrente primária que o transformador deve 
suportar durante determinado tempo (normalmente 0,1 segundo), com o enrolamento 
secundário curto circuitado, sem se danificar mecanicamente devido às forças 
eletromagnéticas existentes. 
Normalmente essa corrente dinâmica (ou corrente de curta duração para efeito dinâmico) é 
definida como devendo ser de 2,5 vezes o valor da corrente térmica nominal (ou corrente 
de curta duração para efeito térmico). 
2.6 TRANSFORMADORES DE CORRENTE PARA SERVIÇO DE MEDIÇÃO. 
Os TC´s para serviço de medição devem retratar fielmente a corrente a ser medida. É 
imprescindível que apresentem erros de fase e de relação mínimos dentro de suas 
respectivas classes de exatidão. Segundo as normas ABNT e ANSI, os transformadores de 
corrente devem manter sua exatidão na faixa de 10 a 100% da corrente nominal, ou seja: 
0,1 Inominal ≤ Icarga ≤ InominaldoTC 
Os TC´s de medição devem manter sua precisão para correntes de carga normal, enquanto 
os TC´s de proteção devem ser precisos até o seu erro aceitável para corrente de curto 
circuito de 20 x In. 
Para medição, em caso de curto circuito, não há necessidade que a corrente seja 
transformada com exatidão. É até melhor que em condições de curto circuito, o TC sature, 
proporcionando assim, uma auto proteção aos equipamentos de medição conectados no seu 
secundário. 
 Os núcleos magnéticos dos TC´s de medição são de seção menor que os de proteção para 
propositadamente saturarem durante o curto circuito quando a corrente atinge valores altos. 
Essa saturação limita o valor da sobretensão aplicada nos equipamentos de medição. 
Classes de Exatidão: 
Os TC´s para serviço de medição devem ser enquadrados em uma das seguintes classes de 
exatidão: 
0,3 - 0,6 - 1,2 
É também prevista uma classe de exatidão 3, porém por não ter limitação de ângulo de fase, 
esta classe não deve ser utilizada para serviço de medição de potência ou energia. 
Indicação da Classe de Exatidão: 
Para serviço de medição, indica-se a classe de exatidão seguida do símbolo da maior carga 
nominal com a qual se verifica essa classe de exatidão. Cada enrolamento secundário deverá 
ser indicado com todas as suas classes de exatidão, com as cargas nominais 
correspondentes. 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 16 de 58
 
Por exemplo: 
Enrolamento x: 0,3-C12,5 (segundo ABNT) ou 
 0,3 B-0,5 (segundo ANSI antiga) 
Se o TC tiver diferentes classes de exatidão para diferentes cargas, estas classes deverão 
ser indicadas conforme mostrado a seguir: 
Enrolamento x: 0,6-C2,5 : 1,2-C12,5 
Aplicações Típicas: 
Classe 0,3 - medidas em laboratórios, medidas de potência ou energia para fins de 
faturamento (nível de isolamento 0,6 kV ou mais). 
Classe 0,6 - medida de potência ou energia para fins de faturamento (nível de isolamento 0,6 
e 1,2 kV) 
Classe 1,2 - alimentação de instrumentos indicadores e registradores (amperímetros, 
voltímetros, wattímetros, etc.) 
Classe 3,0 - instrumentos indicadores 
2.7 TRANSFORMADOR DE CORRENTE PARA SERVIÇO DE PROTEÇÃO. 
Os TC´s para serviço de proteção devem retratar as correntes de curto circuito e é importante 
que os mesmos não sofram os efeitos da saturação. 
Segundo uma antiga ABNT, os TC´s para serviço de proteção, quanto à impedância, se 
subdividem nas classes: 
 Classe A 
 Classe B 
2.7.1 Classe A 
TC que possui alta impedância interna, isto é, aquele cuja reatância de dispersão do 
enrolamento secundário possui valor apreciável em relação à impedância total do circuito 
secundário, quando este alimenta sua carga nominal. 
Para melhorar a sensibilidade e qualidade do TC através do aumento da sua força 
magneto motriz, a bobina primária é enrolada. 
O TC de alta reatância de dispersão é conhecido como: 
 Tipo A, pela antiga ABNT (A de Alta reatância de dispersão) 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 17 de 58
 
 Tipo H, pela antiga ANSI (H de High) 
São transformadores de corrente que tem a bobina primária enrolada sobre o seu núcleo 
magnético, conforme mostrado na figura a seguir: 
I1
I2
Carga
Bobinas de Corrente
Reles de Proteção
Primário enrolado no
núcleo
 
Figura 2-6 - TC de Alta Reatância de Dispersão 
2.7.2 Classe B 
TC que possui baixa impedância interna, isto é, aquele cuja reatância de dispersão do 
enrolamento secundário possui valor desprezível em relação à impedância total do circuito 
secundário, quando este alimenta sua carga nominal. Constituem exemplo, os TC´s de 
núcleo toroidal, com enrolamento secundáriode proteção digital, esse mesmo conceito é executado, isto é, há necessidade de 
informações de tensão através de TP’s de linha ou de barra. As correntes e tensões 
residuais podem ser calculadas, ao invés de medidas, como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 16 de 145
 
Fase A
Fase B
Fase C
TC
TC
TC
Disjuntor(es) IA
IB
IC
iA iB iC
TP's
I Residual = IA + IB + IC
Proteção Digital
Funções 67 Fases e 67
Terra
V Residual = VA + VB + VC
 
Figura 2.3 – Conexão para proteção digital - direcional de sobrecorrente 
2.2.3 Filosofia de Atuação e Aplicação 
A função direcional de sobrecorrente deve atuar apenas se duas condições forem 
satisfeitas: 
a) Intensidade de corrente acima do limite mínimo de ajuste. 
b) Corrente em um determinado sentido. 
Sobrecorrente + Elemento
Direcional = Direcional de
Sobrecorrente
 
 
Figura 2.4 – Conceito da Função 67 
Os relés são conectados para atuar, por exemplo, para correntes saindo da barra para a 
linha. Caso haja corrente no sentido inverso, mesmo que de grande intensidade (condição 
de curto circuito), essa função direcional de sobrecorrente não atua: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 17 de 145
 
67F
Componente Protegido
SE A
67
N
Curto na Frente
Direção Correta para
a Proteção Atuar
 
Figura 2.5– Atuação direcional da Função 67 
67F
Componente Protegido
SE A
67
N
Curto na
Direção
Reversa -
Proteção
Não Atua
 
Figura 2.6– Falta na Direção Reversa da Função 67 
Esta característica é muito importante para um esquema adotado de Proteção, uma vez 
que, delimitando as condições com a imposição do fator direção, há maiores facilidades 
para obter seletividade (isto é, desligar o mínimo de componentes do Sistema, para isolar 
a falha) no menor tempo possível. 
As funções direcionais de sobrecorrente de fase e de terra são utilizadas principalmente 
para proteção de Linhas de Transmissão e Subtransmissão, geralmente como 
proteção de retaguarda. Em alguns raros casos, também se utiliza para proteção de 
Transformadores, quando o fator “direção” torna-se necessário para uma boa coordenação 
da proteção em um sistema elétrico. 
Em circuitos radiais não há necessidade de uso de função 67, a menos em casos 
específicos com fontes de terra no circuito (nesse caso pode haver necessidade de 67N – 
terra, mas depende das condições de curto-circuito do sistema). 
Modernas proteções digitais de sobrecorrente de aplicação geral, já incluem (geralmente) 
funções 67 para uso opcional. Deve-se sempre lembrar que há necessidade de TP’s para 
informação de tensão de polarização. 
2.2.4 Polarização. Elementos Direcionais. 
PARA FALTAS ENTRE FASES 
A polarização de elementos de fase pode ser feita de duas maneiras: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 18 de 145
 
 Usando a tensão Fase-Fase oposta para a corrente de fase (Polarização Cruzada) 
 Usando tensão de sequência positiva, comparando-a com a corrente de sequência 
positiva (V1 x I1). O ângulo entre esses fasores mostra a direção da falta. 
PARA FALTAS À TERRA 
A polarização do elemento de terra pode ser feita de duas maneiras: 
 Usando tensão de sequência zero, comparando-a com a corrente de sequência zero 
(3V0 x 3I0). O ângulo entre esses fasores mostra a direção da falta. 
 Usando uma corrente de sequência zero (geralmente a que sobe pelo neutro de um 
Trafo ou Autotrafo, comparando-a com a corrente de sequência zero (3I0´ x 3I0). O 
ângulo entre esses fasores mostra a direção da falta. 
 Usando tensão de sequência negativa, comparando-a com a corrente de sequência 
negativa (V2 x I2 ou 3V2 x 3I2). O ângulo entre esses fasores mostra a direção da falta. 
POLARIZAÇÃO PARA FASE 
A tensão de polarização deve ser tal que forneça uma firme referência de direção de 
corrente (determinado pelo ângulo entre fasores medidos ou calculados). A figura a seguir 
mostra os fasores de tensão de um sistema trifásico, com corrente de falta na fase A. 

ICC
UBC
UAB
UCA
UA
UBUC
ZF
RCC
j XCCICC
UCC
UA
Relé
 
Figura 2.7 – Fasores num sistema trifásico. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 19 de 145
 
A corrente de curto-circuito ICC deve ter uma tensão de referência para que a proteção 
determine sua direção. 
Uso da Tensão da Fase Correspondente (no caso, UA) 
Neste caso, haveria uma boa referência de direção, pois ângulos indutivos significam falta 
na frente do relé. Porém há as seguintes desvantagens: 
 Quando de curto-circuito imediatamente à frente da proteção, essa tensão pode ir a 
Zero e a proteção poderá perder a referência. 
 Quando de linha com compensação série (capacitância em série na LT), a tensão de 
referência pode inverter. 
 Quando de curto-circuito imediatamente à frente da proteção, com resistência de arco, 
o ângulo pode chegar a Zero graus entre a tensão de referência e a corrente de curto. 
ÂNGULO DE MÃXIMO TORQUE (MTA) 
O conceito de máximo torque vem do relé eletromecânico, onde estão comparados os 
ângulos entre a Corrente e o Fluxo da Tensão de Polarização – o máximo torque ocorre 
quando esse êngulo é 90 graus. 
 
Num relé eletromecânico utiliza-se a tensão de polarização Vpol com defasamento no 
sentido que seu fluxo V ocorra num ângulo desejado por projeto. 
O máximo torque no circuito eletromagnético ocorre quando a quantidade operacional I 
está a +90 graus do V. 
Assim, quando ocorre uma corrente I e correspondente Fluxo, o torque será: 
Torque = K1.|Vpol|.|I|.cos (Θ-) 
O máximo torque positivo ocorre com cos (0) = 1. Isto é, com Θ=. 
Para I em fase com V o torque será nulo e para ângulos do outro lado, o torque negativo. 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 20 de 145
 
 
POLARIZAÇÃO CRUZADA [1] 
Uma boa solução para dirimir as dificuldades citadas é o uso de referência cruzada. A 
tabela a seguir mostra as tensões de referência para uma proteção (no caso digital) para 
que as correntes de falta tenham sempre uma referência firme, com base nos fasores 
mostrados na Figura 2.8 a seguir. 
 
 
Falta Tensão de Referência Corrente 
Fase A UB – UC = UBC IA 
Fase B UC – UA = UCA IB 
Fase C UA – UB = UAB IC 
Loop AB UBC – UCA IA - IB 
Loop BC UCA – UAB IB – IC 
Loop CA UAB – UBC IC – IA 
 
Na figura a seguir mostra-se a tensão de referência UBC para a corrente na fase A. Deve-
se notar que a tensão da fase em curto (denominada UCC) não é a tensão que havia antes 
(UA), pois há a influência da impedância da fonte ZF (sistema) no ponto de instalação da 
proteção. 
cc




UCC
ICC
UBC
UAB
UCA
UA
UBUC
ICC.ZF
ZF
RCC
j XCCICC
UCC
UA
Relé
 
Figura 2.8 – Fasores para Polarização Cruzada. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 21 de 145
 
Por exemplo, se para uma falta na fase A, a tensão UCC for para zero, haverá referência 
UBC. 
Na concepção da função direcional faz-se com que haja direcionalidade para todo ICC 
que esteja à direita da referência hachurada de direção, que tem um ângulo  com relação 
à tensão UBC. O máximo torque ocorre com a corrente Icc com ângulo α com relação ao 
eixo vertical (ângulo de Máximo Torque). 
Essa solução é adotada também para as funções de distância, que têm necessidade de 
discriminação direcional. 
Os “loops” AB, BC e CA indicados na tabela anterior servem para curtos-circuitos entre 
fases (bifásicos ou trifásico). Para curto-circuito bifásico sempre haverá referência firme 
relacionada com a fase não afetada. 
Para curto trifásico rígido, bem à frente da proteção, todas as tensões podem ir a zero. 
Neste caso não haveria referência. Entretanto, as proteções mais elaboradas (para linhas 
de AT ouEAT) possuem memória de tensão (informações sobre a tensão antes do curto-
circuito). 
Para proteções eletromecânicas essa memória era feita através de circuitos ressonantes. 
Para proteções digitais, são utilizados dados de um “buffer” com as informações do 
passado. Memórias com duração entre 0,4 e 0,5 s são comuns para proteções mais 
elaboradas. 
POLARIZAÇÃO POR SEQUÊNCIA ZERO 
POLARIZAÇÃO POR TENSÃO 3V0 
Dependendo do fabricante da proteção, pode haver concepção com base nas 
componentes simétricas (seqüências positiva, negativa e zero). A referência [3] dá uma 
boa idéia sobre este aspecto. Por exemplo, pode-se usar a tensão de seqüência zero (UA + 
UB + UC) / 3 para servir de referência para corrente de seqüência zero (IA + IB + IC) / 3 na 
execução da função direcional de sobrecorrente de terra. 
A figura a seguir mostra a componente de seqüência zero no local de aplicação da 
proteção: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 22 de 145
 
Falta na Frente do Relé
ZF0
ZK0
I0
U0 = - ZF0.I0
UA
Relé
0
0
0
FZ
I
U

If0
Falta na Direção Reversa
ZF0
I0
U0 = + ( ZK0+ ZM0 ).I0
Relé )( 00
0
0
MK ZZ
I
U

If0
ZM0
ZK0
ZM0
 
Figura 2.9 – Fasores de Seqüência Zero na Proteção 
Com base nesse conceito, pode-se ter uma referência para a corrente de terra, como 
mostrado a seguir: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 23 de 145
 
 
Figura 2.10 – Polarização por tensão de seqüência zero 
POLARIZAÇÃO POR CORRENTE 3I0 
Para função direcional de sobrecorrente de terra, há também (para algumas proteções 
digitais) opção de uso de corrente de terra que sobe pelo neutro do transformador da 
subestação (fonte de terra para corrente de curto na linha protegida) como grandeza de 
polarização. 
Como essa corrente tem mais ou menos a mesma direção da corrente de terra do circuito 
protegido, serve como referência de direção: 
Iterra = 3.I0
Ipolariz. = IV
Falta na
Direção
Reversa
Falta na FrenteIm
Re
(corrente de neutro de
transformador)
 
Figura 2.11 – Polarização por corrente de neutro de transformador (3 x seqüência zero) 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 24 de 145
 
POLARIZAÇÃO POR SEQUÊNCIA NEGATIVA 
POLARIZAÇÃO POR TENSÃO V2 
Pode-se usar a tensão de seqüência negativa: 
 cbaa UaUaUU ..
3
1 2
2  
para servir de referência para corrente de seqüência negativa: 
 cbaa IaIaII ..
3
1 2
2  
na execução da função direcional de sobrecorrente de terra. 
A figura a seguir mostra as componentes de seqüência negativa no local de aplicação da 
proteção: 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 25 de 145
 
2.2.5 Filosofia de uso para o Sobrecorrente Direcional 
Para linhas de tensão igual ou superior a 345 kV, pelo fato de existirem proteções 
principais duplicadas (primária + alternada), não se usa 67 Fase como retaguarda. Utiliza-
se 67N tanto como retaguarda como também como unitária (com teleproteção) devido a 
curtos circuitos de ALTA IMPEDÂNCIA. 
Para linhas de tensão inferior a 345 kV, pelo fato de não ser obrigatória a duplicação plena 
da proteção principal (uso de principal + retaguarda), se utiliza 67Fase e 67N como 
retaguardxa. A função 67N instantânea com teleproteção é utilizada como proteção 
unitária para curtos-circuitos de ALTA IMPEDÂNCIA. 
2.2.6 Diretrizes de Ajustes para o Sobrecorrente Direcional 
Têm a finalidade de promover desligamento do disjuntor quando da falha das demais 
funções principais. Espera-se a atuação dessas funções quanto tudo falhou. As mesmas 
têm, portanto, compromisso apenas com a segurança, sem maiores preocupações com a 
rapidez. 
a) Se possível, deve ter sensibilidade para detectar curtos a terra em pelo menos duas 
barras a frente. Adotar a maior sensibilidade possível. 
b) Deve ter temporização que satisfaça as condições seguintes: 
* haja operação com tempo igual ou superior a 0,7 s para curto na barra da 
subestação remota (sentido direcional). 
* haja operação com tempo superior a 0,3 s para curto imediatamente à frente da 
proteção, com caso de exceção mostrado no item (c) seguinte. 
* haja operação com tempo superior ao do religamento automático monopolar (nas 
linhas com religamento monopolar) para corrente de sequência zero (com corrente 
de terra da ordem de 50% da corrente de carga que havia) esperada para máxima 
carga na LT em situação de religamento. Em algumas proteções multifuncionais, há 
também a possibildiade de bloqueio da função 67N durante o processo de 
religamento monopolar (relé digital). 
c) Bloquear os instantâneos como critério padrão. Esses elementos instantâneos só 
podem ser ajustados, eventualmente, quando: 
* não houver esquema de religamento automático na LT e para proteção de linhas 
longas. 
* houver uma diferença muito grande entre os curtos na saída da LT e na barra da 
subestação remota. 
Observa-se que não se deve tentar coordenar essa função de extrema retaguarda com as 
funções principais. Usa-se temporização alta para que não haja influência nas funções 
principais, porém com alta sensibilidade para garantir a segurança. 
Nota: O caso de uso da função 67N com Teleproteção é mostrado em capítulo à parte. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 26 de 145
 
2.3 FUNÇÃO DE TENSÃO 
2.3.1 Finalidade e Conceitos 
Como o próprio nome menciona, é uma função para detectar condições de tensão 
superiores ou inferiores aos valores normalmente aceitos para a Operação do Sistema ou 
do Equipamento. 
São realizados através de relés específicos conectados nos lados secundários dos 
Transformadores de Potencial. 
Proteção de Sobretensão – Código 59 
Para detectar condição de tensão superior a um valor aceitável. Pode ser de dois tipos: 
Função de Sobretensão Instantânea ou Função de Sobretensão Temporiza. 
A função instantânea não possui temporização intencional, isto é, seu tempo de atuação 
depende apenas de suas características construtivas e inerentes ou do seu algoritmo (no 
caso de ser digital). Por outro lado, a função temporizada é construída para introduzir uma 
temporização intencional e ajustável. Os relés de sobretensão temporizados são, 
geralmente, de característica definida de tempo (não inversa): 
Tensão (V)
Tempo (s)
Valor de
Atuação
(pick-up)
Valor de
Desatuação
(drop-out)
Temporização
(Ajustável)
59 59
59
 
Figura 2.12 – Função 59, de tempo definido, para tensões de linha. 
Dependendo do nível de sobretensão esperado, utiliza-se função instantânea ou 
temporizada. 
Uma característica muito importante numa função ou num relé de sobretensão é a 
chamada “relação pick-up / drop-out”. Num relé de sobretensão, dependendo da sua 
construção e da tecnologia utilizada, há sua atuação quando se atinge o nível de tensão 
ajustado e há desatuação quando a tensão retorna às condições normais. A tensão em 
que o relé deixa de atuar (“drop-out”) é sempre menor que a tensão de atuação. E a 
relação “pick-up / drop-out” pode ser definida como: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 27 de 145
 
Relação “pick-up / drop-out” = (tensão de atuação / tensão de desatuação) * 100 % 
Se esta relação é muito grande, significa que há necessidade de redução acentuada de 
tensão para que a função retorne à condição de não atuação. Haverá sempre o perigo de 
se ter uma proteção de sobretensão atuada após a tensão do sistema protegido ter 
retornado ao normal. 
Este valor é sempre superior a 100 %. Quanto menor esta relação, mais segura a 
aplicação da função de sobretensão. Um modelo ideal de função de sobretensão seria 
uma relação de 100 %, isto é, qualquer abaixamento de tensão aquém do valor ajustado 
provocaria a desatuação da função. Relés modernos, com tecnologia digital, permitem 
relação próxima a 100 %. 
Utiliza-se a função de sobretensãona proteção de Transformadores, Reatores e Máquinas 
Rotativas, isto é, na proteção de equipamentos que podem ter sua isolação deteriorada no 
caso de exposição a condições de sobretensão. 
Em EAT é aplicada em Linhas de Transmissão para que tenha uma função sistêmica, 
isto é, para desligar trechos do sistema afetados por sobretensão (excesso de reativos na 
região). 
Proteção de Subtensão ou Relé de Subtensão – Código 27 
A função atua quando a tensão cair abaixo de um valor ajustado. Esta função pode ser 
utilizada como proteção para equipamentos que não podem operar com tensão abaixo de 
um certo limite (geralmente máquinas rotativas), ou pode ser utilizada apenas como relé de 
subtensão para desligamento automático de circuito quando de falta de tensão (relé de 
manobra). 
Para utilização da função 27 para manobra de circuitos (desligamento por falta de tensão), 
a relação “drop-out / “pick-up”) não é muito significativa pois há uma grande diferença entre 
“existir tensão” e “não existir”. Entretanto, para proteção, a relação é importante, como já 
mencionado para a função 59. 
2.3.2 Diretrizes de Ajustes 
Para linhas de transmissão de EAT, costuma-se ajustar: 
a) Função de sobretensão trifásica, temporizada, entre 1,16 a 1,25 pu da tensão nominal 
de operação, com tempo (definido) de operação entre 1,50 e 4,0 s. 
b) Função de sobretensão trifásica, instantânea, entre 1,20 e 1,35 pu da tensão nominal 
de operação. 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 28 de 145
 
2.4 FUNÇÃO DE DISTÂNCIA 
2.4.1 Princípio 
A função Distância mede, através da leitura das correntes e tensões do circuito protegido, 
a impedância entre o ponto de aplicação da proteção e o ponto onde ocorreu o curto-
circuito. 
A dimensão da grandeza calculada é Ohms: Impedância = Tensão / Corrente 
Como a impedância da linha de transmissão protegida é proporcional ao seu comprimento, 
(ohms / km), pode-se associar a impedância medida com a distância até o ponto de curto 
circuito. Daí a denominação “distância” quando a função de impedância é utilizada para 
proteção de linha de transmissão. O código ANSI para a função de impedância é 21. 
Nota: Quando a função de impedância é aplicada para proteção de linha de 
transmissão, ela é chamada de “distância”. Quando a função de impedância é 
aplicada para proteção de máquina ou transformador, a mesma é chamada 
“impedância”. 
Considerando o princípio, torna-se evidente que uma função de distância deve ser 
alimentada por TC’s (correntes) e TP’s (tensões): 
67F
Linha Protegida
SE A
67
N
21
67F
Linha Protegida
SE A
21F
21N
67N
Distância
Fase e Terra
Distância
Fase e
Distância
Terra
 
Figura 2.13 – A Proteção de Distância Necessita Dados dos TC’s e dos TP’s 
Ajustes são realizados e aplicados de modo que os critérios de coordenação adotados 
garantam os itens de seletividade e velocidade da proteção. 
Como a impedância da linha protegida é conhecida, pode-se ajustar a proteção de modo 
que para cada ponto de curto-circuito esperado se tenha um critério previamente inserido 
na proteção, como parâmetro de desempenho esperado. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 29 de 145
 
2.4.2 Representação de Linha de Transmissão e de Ponto de Curto-Circuito em Diagrama 
de Impedâncias 
Uma impedância de linha de transmissão pode ser representada graficamente num 
diagrama R-X, Na figura a seguir observa-se que o ângulo  do vetor impedância da linha 
está relacionado com a relação R-X dos parâmetros da linha: 
Subestação B
Subestação C
Subestação B
Outro nível kV
T
ra
ns
fo
rm
a
do
r
S
E
 B

LT
 1
LT
 2
Subestação A
Ponto de
Aplicação da
Proteção
jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
Subestação D
(ATRÁS)
LT
 3
FRENTE
SE A
230 kV
SE B SE CSE D
SE B
138 kV
FrenteAtrás
 
 
Figura 2.14 – Linha de Transmissão representada em diagrama R-X 
O ângulo, que pode variar de 65 a 89 graus dependendo do tipo e nível de tensão da LT, 
mostra que uma linha de transmissão aérea tem característica predominantemente 
indutiva. Quanto maior o nível de tensão da linha, maior seu ângulo com relação ao eixo 
dos R. Um transformador de potência é considerado puramente indutivo em Alta Tensão. 
Mas para transformadores de distribuição deve-se considerar também a resistência. 
Deve-se observar, também, que uma linha de cabos pode ter ângulos menores que os das 
linhas aéreas. 
Quando ocorre um curto-circuito na linha, a queda de tensão provocada pela corrente de 
através da mesma é limitada por essa impedância. As tensões e correntes no ponto de 
aplicação da proteção dependem, portanto, do “loop” de impedâncias formado através do 
curto-circuito, podendo incluir o retorno por terra quanto de faltas à terra. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 30 de 145
 
Falta na Frente do Relé
ZFONTE
ZCC
ICC
UCCU Relé
CC
cc
CC Z
I
U

ZA
ICC TOTAL
SE A SE BZLT 1
 
Figura 2.15 – Curto circuito trifásico na linha e o “loop” de impedâncias 
Assim, nos quadrantes do diagrama R-X pode-se ter: 
Corrente Indutiva,
saindo da Barra
Corrente Indutiva,
chegando na Barra
Corrente Capacitiva,
saindo da Barra
Corrente Capacitiva,
chegando na Barra
R
jX
 
Figura 2.16 – Diagrama R-X e os quadrantes. 
Quando de curtos-circuitos na linha, as correntes são sempre atrasadas com relação à 
tensão. Assim, podem-se considerar os seguintes casos: 
21F
Linha Protegida
SE A
21
N
Curto na Frente
Corrente Indutiva
Saindo da Barra.
IMPEDÂNCIA NO
PRIMEIRO
QUADRANTE
21F
Lina Protegida
SE A
21
N
Curto na Direção Reversa
Corrente Indutiva
Chegando na Barra.
IMPEDÂNCIA NO
QUARTO QUADRANTE
 
Figura 2.17– Direção da Corrente de Curto e os Quadrantes no Diagrama R-X 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 31 de 145
 
Verifica-se que a impedância medida é ZCC = UCC / ICC que é a impedância do ponto de 
aplicação da proteção até o ponto de curto circuito, e que essa impedância pode ser 
representada no diagrama R-X como mostra a figura a seguir: 
Subestação B
Subestação C

LT
 1
LT
 2
Subestação A
Ponto de
Aplicação da
Proteção
jX
 (
o
h
m
s)
R (ohms)
FRENTE
PONTO DE
CURTO-
CIRCUITO
 
Figura 2.18 – Indicação do ponto de curto-circuito no diagrama R-X 
2.4.3 Requisitos Desejados para uma Função de Distância 
Condição de curto-circuito na LT 
A impedância série de uma linha de transmissão Z Linha = R + jX tem um ângulo 
característico entre 65 e quase 88 graus, isto é, bastante indutivo. Daí o fato de se ter os 
relés de distância concebidos com característica mais sensível nesta faixa de ângulo 
(primeiro quadrante). 
Se o relé de impedância estiver ajustado com um valor Zajustado maior do que o Zcc, o valor 
medido cairia dentro de sua característica e o relé atuaria. Essa idéia está ilustrada na 
figura a seguir: 
Subestação B
Subestação C

LT
 2
Subestação A
Ponto de
Aplicação da
Proteção
jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
FRENTE
PONTO DE
CURTO-
CIRCUITO
Ajuste
(alcance) da
proteção de
distância da
Subestação A
 
Figura 2.19 – Indicação do Ajuste do Relé no diagrama R-X 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 32 de 145
 
Condição de carga na LT 
A carga através da linha, saindo da barra da subestação A é indicada na figura a seguir. 
Essa carga pode ser calculada através de: 
MVA
kV
ZCARGA
2
 ohms / fase. 
Onde kV é a tensão de linha (entre fases) e o MVA é a potência aparente no ponto de 
aplicação da proteção. 
Subestação B
Subestação C

LT
 2
Subestação A
Ponto de
Aplicação da
Proteção
jX
 (
o
h
m
s)
R (ohms)
FRENTE
Ajuste
(alcance) da
proteção de
distância da
Subestação A
ZCARGA
PONTO DE
CARGA

 
Figura 2.20– Indicação do Ajuste do Relé no diagrama R-X 
A figura anterior representa o ponto de carga (impedância da carga) com o seu ângulo , 
correspondente aofator de potência. Não se deseja que a proteção de distância atue 
para condição de carga e também que permita as sobrecargas esperadas em 
condições de emergência. 
Verifica-se então que a proteção deve ser sensível para ângulos indutivos acentuados 
(condição de curto-circuito na direção para frente) e não seja sensível para ângulos 
indutivos pequenos (carga indutiva saindo da barra). 
Condição de Curto-Circuito com Resistência de Falta (RF) 
Por outro lado, os curtos-circuitos em linhas de transmissão estão, quase sempre, 
associados a Resistências de Falta, que podem decorrer de: 
 Resistência de Arco (arco através da cadeia de isoladores ou entre fases). 
 Resistência de Pé de Torre (do sistema de aterramento das torres e seus cabos 
guarda). 
 Resistência de Contato e Outras (árvore, água, rocha, etc.) 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 33 de 145
 
Uma resistência de falta RF é representada no diagrama R-X através de uma grandeza na 
direção do eixo dos R, como mostra a figura a seguir: 
Subestação B
Subestação C
LT
 2
Subestação A
Ponto de
Aplicação da
Proteção
jX
 (
o
hm
s)
R (ohms)
FRENTE
PONTO DE CURTO-CIRCUITO
RF
IMPEDÂNCIA VISTA PELO
PONTO DE APLICAÇÃO DA
PROTEÇÃO
 
Figura 2.21 – Indicação do Ajuste do Relé no diagrama R-X 
A proteção de distância deve detectar essa impedância de curto-circuito considerando a 
resistência de falta RF. 
Conclui-se que a proteção deve ser sensível não apenas através do ângulo da linha, mas 
também para ângulos menores que consideram a resistência, tomando-se o cuidado de 
não alcançar a impedância de carga. 
Subestação B
Subestação C

LT
 2
Subestação A
Ponto de
Aplicação da
Proteção
jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
FRENTE
ZCARGA

 
Figura 2.22 – Requisitos de Sensibilidade de uma Proteção de Distância 
A figura mostra a região da carga, onde não deve haver alcance da proteção de distância. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 34 de 145
 
2.4.4 Características de impedância de uma proteção de distância 
Baseado nos requisitos mostrados apresenta-se neste item as características mais comuns 
utilizados para relés ou funções de distância: 
Tais características são as pré-estabelecidas de impedância da função de distancia, 
como resultado da concepção da proteção e seus ajustes e parâmetros. 
Análise de característica circular para a função de distância 
Se um dispositivo de impedância (21) é construído apenas para medir o módulo, sem 
considerar o ângulo entre a tensão e a corrente, sua característica seria a mostrada na 
figura a seguir: 

jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
FRENTE
ZCARGA

 
Figura 2.23 – Característica Circular para uma Proteção de Distância 
Observa-se que esta característica apresenta a mesma sensibilidade (alcance em ohms) 
para qualquer ângulo, seja de curto-circuito, seja de carga, o que não é conveniente para 
uma proteção de distância. 
E também detecta curtos-circuitos na direção reversa, isto é, não apresenta característica 
direcional a menos que seja complementado por um elemento direcional semelhante ao 
mostrado para a proteção 67. 
Característica Mho 
A figura a seguir mostra a chamada característica Mho para função de distância. Observa-
se que ela é inerentemente direcional, isto é, tem alcance apenas no sentido direcional. Ao 
mesmo tempo, tem pouca sensibilidade para ângulos de carga (na direção do eixo dos X). 
Essa característica Mho é muito utilizada, principalmente nos relés de distância 
eletromecânicos e estáticos. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 35 de 145
 
Muitas proteções com tecnologia digital também apresentam opção de escolha de 
característica deste tipo. 

jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
FRENTE
ZCARGA

 
Figura 2.24 – Característica MHO para uma Proteção de Distância 
Característica Offset - Mho 
A figura a seguir mostra a chamada característica Offset - Mho para função de distância. 
Observa-se que ela é um Mho deslocado. Como tem parte de seu alcance na direção 
reversa, exige um elemento direcional adicional. 
Também é uma característica que era muito usada em algumas proteções de distância 
eletromecânicas. 

jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
FRENTE
ZCARGA

 
Figura 2.25 – Característica OFFSET - MHO para uma Proteção de Distância 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 36 de 145
 
Esta característica permite que para R=0 e X=0 haja maior facilidade de discriminação de 
direção do curto-circuito, o que poderia ser um problema para a característica Mho, 
dependendo da concepção do elemento de medição da proteção (eletromecânica). 
Outras Características 
A figura a seguir mostra outros tipos de características, sempre com a preocupação de se 
ter menos sensibilidade na região de carga, mas com sensibilidade suficiente para detectar 
curtos com altas resistências de falta. 
jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
FRENTE
ZCARGA
jX
 (
oh
m
s)
R (ohms)
FRENTE
ZCARGA
Lenticular Paralelograma 
Figura 2.26 – Outros tipos de características 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 37 de 145
 
Características Típicas das Modernas Proteções Digitais 
A seguir é mostrada a característica de trip do relé da série P437 da Areva: 
 
Figura 2.27 – Características de trip do relé P437 da Areva 
 
Observa-se que todos os requisitos desejados numa característica de alcance estão 
satisfeitos. 
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 38 de 145
 
2.4.5 Característica Mho e Conceitos de Polarização 
Historicamente e, principalmente para fabricantes americanos, a característica Mho para a 
função de distância foi a mais utilizada para qualquer tecnologia, seja ela eletromecânica, 
estática ou digital. 
O presente capítulo detalha os conceitos associados à essa característica, principalmente 
a característica dinâmica da mesma em função do tipo de polarização utilizado. 
2.4.5.1 Concepção 
A matemática e a característica de operação de um elemento mho são mostradas na 
figura a seguir. Trata-se de um círculo passando pela origem num diagrama R-X. A 
região de operação está dentro do círculo enquanto que região de “não operação” está 
fora do círculo. 
Como mostrado anteriormente, essa característica é feita no primeiro quadrante, 
significando que a função está detectando faltas no sentido da barra para a linha, isto é, 
sentido direcional. Um mho construído no terceiro quadrante seria de um elemento 
olhando na direção reversa. 
Observa-se que o elemento é inerentemente direcional, isto é, qualquer falta dentro do 
círculo está no sentido direcional, uma vez que o círculo passa pela origem. 
90o
Zaj
Zaj - Zmed
Zmed
jX
R
aj
med
 
Figura 2.28 – Característica Mho 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 39 de 145
 
Zmed = impedância medida com ângulo med 
Zaj = impedância ajustada.com ângulo aj 
A matemática da função Mho é tal que em qualquer ponto ao longo da circunferência 
(limite de atuação), o ângulo entre (Zaj – Zmed) e Zmed é igual a 90º. 
A função opera para qualquer Zmed onde o ângulo entre (Zaj – Zmed) e Zmed seja 
INFERIOR a 90º. 
Isto é: 
Ângulo de [(Zaj – Zmed) / Zmed] =  90º 
Para execução dessa matemática, deve-se recapitular o conceito de medião de 
defasamentos angulares em relés de proteção, conforme se segue: 
o901 
2
2
1
1 )(  
S
S
ang
V do TP
I do TC
-V + IZaj
V
Compa-
rador de 
Fases
Decisão
S1
S2
Decisão:
o902 Se: Comparador Coseno
o1801  o1802 Se: Comparador Seno
OO
S
S
ang 90)(90
2
1 MHO;
 
Figura 2.29 – Comparador de Fases 
A grandeza S1 é a de OPERAÇÃO.. 
A grandeza S2 é a chamada POLARIZAÇÃO. 
Note que o comparador acima é característica Mho, pois, dividindo tudo por I: 
MEDAJAJMEDAJ ZZZZ
I
ZI
I
S 
.V
1 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 40 de 145
 
MEDZ
I
S 
V
2 
Ou 
O
NED
MEDAJO
Z
ZZ
ang 90)(90 

 
Isto é, basta um comparador de fases do tipo coseno e comparando as grandezas como 
mostrado, tem-se a característica Mho. Isso pode ser feito em qualquer tecnologia, seja 
eletromecânica, estática ou digital (software). 
Para relés do tipo eletromecânico, quanto mais o ângulo med se aproximar do ângulo 
então se terá maior torque positivo (dentro da característica), pois a decisão de operação 
pode ser reescrita como: 
)cos(.. AJmedAJZIV   
)cos(. AJmedAJMED ZZ   
Mas, conceitualmente, vale para qualquer tecnologia. 
Portanto o ângulo aj é ajustado igual ou próximo ao valor do ângulo da LT protegida. 
Isso faz com que a característica Mho tenha mais sensibilidade para ângulos de curto-
circuito e menos para ângulos de carga. 
2.4.5.2 O Problema das Faltas Sólidas na Origem 
Curtos-circuitos muito próximos resultam em uma tensão muito pequena no relé que 
pode resultar na perda do sinal de polarização da tensão, dependendo do V utilizado. 
Caso se perca a polarização, a função não terá como determinar se a falta está dentro ou 
fora do Mho. 
Isso precisa ser levado em consideração ao escolher a grandeza de polarização para a 
função Mho. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 41 de 145
 
jX
R
CC1
CC2
CC1CC2
R
I
V
V = 0 S2 = 0 (Polarização pode desaparecer)
 
Figura 2.30 – Faltas Próximas e a Polarização 
Por exemplo, se para um curto circuito na Fase A se utilizar VA e IA, então a tensão VA 
pode desaparecer para curto circuito Fase A para Terra bem próxima ao terminal do relé. 
O uso da própria tensão para a fase medida chama-se “auto-polarização”. 
Evidentemente a autopolarização não é indicada para função de distância. 
2.4.5.3 Polarização e Memória de Tensão 
Assim sendo, deve-se construir função de distância (ou de qualquer elemento direcional) 
com polarização adequada. 
Mesmo com polarização adequada, a polarização pode desaparecer quando de um 
curto-circuito trifásico rígido próximo ao terminal do relé. Neste caso, haverá necessidade 
de se utilizar uma Memória de Tensão, isto é, uma tensão que persistirá para a função de 
distância mesmo após o desaparecimento das tensões provenientes dos TPs. 
Para linhas de tranmissão ajdacentes a linhas com compensação SÉRIE, ou para linhas 
com compensação série, poderá haver Inversão de Tensão nos TP’s que alimentam a 
proteção durante um curto circuito. Também neste caso haverá a necessidade da 
Memória de Tensão para se garantir a direcionalidade. 
Têm-se então as alternativas: 
 Polarização Dual: uso da prória tensão somada à tensão das fases boas. Por 
exemplo para a Fase A: Va + Vbc 
 Polarização Cruzada ou 90 graus: uso da tensão das fases boas. Por exemplo para a 
Fase A: Vbc 
 Polarização por Sequência Positiva. Para qualquer falta, com exceção de falta 
trifásica rígida próxima, sempre haverá tensão de sequência postiva. 
 Memória de Tensão. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 42 de 145
 
A memória de tensão deve existir sempre para o caso de ocorrência de faltas trifásicas 
próximas. Então, além da memória, utiliza-se uma das alternativas de polarização. 
O que deve ser alterado então é a grandeza de polarização S2: 
Auto-Polarização 
VS 2 
Polarização Dual: 
BoasVkVS .2  Onde VBoas é a tensão das fases boas. 
Polarização Cruzada: 
BoasVkS .2  Onde VBoas é a tensão das fases boas 
Polarização por Sequência Positiva 
 VS .2 Onde V+ é a tensão de sequência positiva da respectiva fase. Isto é: 
Fase A: Va1 
Fase B: Vb1 
Fase C: Vc1 
2.4.5.4 Característica Mho com Polarização Dual 
MEDAJAJMED
AJ ZZZZ
I
ZI
I
S 
.V
1 
BOASkZZ
I
S 

 BOAS
2
k.VV
 
O
BOAS
MEDAJO
kZZ
ZZ
ang 90)(90 


 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 43 de 145
 
90o
Zaj Zaj - Zmed
Zmed
jX
R
aj
med
ZBoas
A
A’
 
Figura 2.31 – Expansão da Característica devido à Polarização Dual 
Neste caso, uma falta na origem dos eixos permanece dentro da característica Mho 
expandida, garantino a direcionalidade. 
2.4.5.5 Característica Mho com Polarização por Sequência Positiva 
MEDAJAJMED
AJ ZZZZ
I
ZI
I
S 
.V
1 
1
1
2
V
Z
I
S  (depende de I, isto é local da falta) 
Quanto mais próxima a falta, maior a I e menor o Z1. 
OMEDAJO
Z
ZZ
ang 90)(90
1


 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 44 de 145
 
90o
Zaj
Zaj - Zmed
Zmed
jX
R
aj
medA
A’
Z1
 
Figura 2.32 – Expansão da Característica devido à Polarização Por Seq. Positiva 
O deslocamento é no sentido oposto para faltas a frente 
Uma falta na origem dos eixos permanece dentro da característica Mho expandida, 
garantino a direcionalidade. 
Curto rígido próximo no sentido reverso 
Caso a falta seja no sentido reverso e não no sentido direcional, a polarização atua no 
sentido de deslocar o ponto A para o outro lado, devido à inversão da corrente. Assim, a 
característica Mho tracejada no gráfico seguinte é o que vale, garantindo a não atuação 
da função pois o ponto fica distante dá área de operação. 
Zaj
jX
RA
A’
-Z1
Local da falta
Carac. Dinâmica 
para Curto no 
Sentido Reverso
 
Figura 2.33 – Característica para falta na direção reversa. Devido à Polarização Por Seq. Positiva 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 45 de 145
 
2.4.5.6 Característica Mho com Polarização por Memória 
MEDAJAJMED
AJ ZZZZ
I
ZI
I
S 
.V
1 
MemZ
I
S  Mem
2
V
 (depende de I, isto é local da falta) 
Mas essa ZMem é aproximadamente igual à impedância da fonte Zs no ponto de aplicação 
do relé: 
ZLT ZRZS
ES
ER
R
VMem
I
 
Figura 2.34 – Zs Impedância da Fonte no Sentido Reverso 
O
S
MEDAJO
Z
ZZ
ang 90)(90 

 
A característica dinâmica do Mho para faltas no sentido direcional será: 
90o
Zaj
Zaj - Zmed
Zmed
jX
R
aj
med
ZS
A
A’ 
Figura 2.35 – Característica Dinâmica para Faltas à Frente – Polarização por Memória 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 46 de 145
 
Caso a falta seja reversa, o ponbto A’ será determinado por ZLT + ZR: 
Zaj
jX
R
aj
ZLT + ZR
A
A’
Ponto de CC
Característica 
Dinâmica 
para Faltas 
Reversas
 
Figura 2.35 – Característica Dinâmica para Faltas Reversas – Polarização por Memória 
Isto é, para curtos rígidos próximos ao relé, desde que reversos, a característica Mho fica 
bem afastada da origem, enquanto durar a memória. 
2.4.6 Zonas de Alcance 
Uma proteção de distância não possui apenas uma zona de alcance, como mostrado no 
item anterior. Ela possui várias zonas, sendo que cada zona pode ser ajustada com seus 
respectivos valores de alcance e tempo. 
As figuras a seguir ilustram o caso de uma proteção com três zonas de alcance no sentido 
direcional e uma zona de alcance não direcional. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 47 de 145
 

jX
 (
o
hm
s)
R (ohms)
FRENTE
Zona 1
t = 0 s
Zona 2
t = 0,5 s
Zona 3
t = 1,5 s Zona 4
t = 3 s
ATRÁS
 
 Figura 2.36 – Zonas de Alcance 
Isto é, temporizando adequadamente cada zona de proteção, pode-se obter seletividade e 
garantir uma proteção de retaguarda para faltas em outros componentes ou linhas 
adjacentes. 
Uma maneira simplificada de representar as zonas de alcance de uma proteção de 
distância está mostrada na figura a seguir: 
Zona 1
t = 0 s
Zona 2
t = 0,5 s
Zona 3
t = 1,5 s
Zona 4
t = 3 s
ATRÁS
SE A SE B SE CSE D 
 Figura 2.37 – Representação Simplificada das Zonas de Alcance 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃOFunções de Proteção 48 de 145
 
Ajustes de zonas e tempos 
Ajustar um relé de impedância para cobrir uma determinada distância de uma linha de 
transmissão não apresenta dificuldade pelo fato de se ter impedância da linha pré-
calculada, com muita precisão. 
Assim, é comum ter-se elementos de distância ajustados em 80 %, 85 %, 120 %, 150 % , 
etc. da impedância total da Linha protegida, sendo estas porcentagens dependentes da 
finalidade de cada um desses elementos. 
Esta facilidade para um relé de distância se torna mais evidente quando se tenta ajustar, 
por exemplo, e por sua vez, um relé de sobrecorrente. No caso de elemento de 
sobrecorrente, o valor a ser ajustado dependerá do valor de corrente de curto-circuito pré-
calculado. Na prática, a corrente de curto-circuito poderá, no máximo ser aproximadamente 
igual ao calculado. Entretanto, é comum ter-se correntes menores ou muito menores que o 
previsto, em vista das impedâncias envolvidas caso a caso. Assim, para o caso de função 
de sobrecorrente, nunca se terá garantia de precisão. 
Devido a este aspecto (precisão), a função impedância (relé de distância) é a mais 
utilizada para Proteção de Linhas. 
J12,9
Primeira 
zona
7 ohm
terra
3,5 ohm
fases
5 ohm
terra
4,0 ohm
fase
Segunda 
Zona
j6
j8
Terceira 
Zona
Partidaj14
6 ohm
terra
3 ohm
fase
Quarta 
Zona
-j4,4
-j5,6
R
Gama
Delta
Beta
Alfa
Segunda 
Zona
 
Figura 2.38 – Exemplo de Zonas de Alcance – Relé P437 da Areva 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 49 de 145
 
2.4.7 Loops de Medição de Falta em Relés de Distância 
Um “loop” de medição falta é o circuito elétrico de onde a proteção de distância adquire 
valores de corrente e tensão para medida de distância até a falta, comparando valores 
medidos com os ajustes estabelecidos para a proteção. Uma proteção de distância mais 
completa para linhas de EAT tem, geralmente, 6 “loops” de medição, conforme mostrado a 
seguir. 
2.4.7.1 Loops de Medição para Faltas entre Fases 
São três loops de medição para faltas entre fases. Para que se meça corretamente a 
distância para curtos trifásicos e bifásicos, sabendo-se que um curto bifásico no mesmo 
ponto de um curto trifásico apresenta corrente 
2
3 da corrente trifásica (86,67%), uma 
proteção de distância (por exemplo, relé da série 7SA da Siemenws) utiliza medição de 
tensão de linha ao invés de tensão de fase, para o loop de medição entre fases, 
adotando as correntes: 
 (IA – IB) ao invés de IA e tensão (VA – VB) 
ou (IB – IC) ao invés de IB e tensão (VB – VC) 
ou (IC – IA) ao invés de IC e tensão (VC – VA) 
Curto-circuito Trifásico 
PROTEÇÃO
ZFONTE ZCC
EA
EB
VFASE = VLINHA / 1,732
ICC3F
CURTO
CIRCUITO
TRIFÁSICO
Modelo Matemático
(Sequência Positiva)
 
 Figura 2.39 – Curto Trifásico e o Loop de Medição da Proteção 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 50 de 145
 
Do loop de falta para o diagrama anterior, tem-se em cada uma das fases: 
VFASE = EA – ZFONTE.ICC3F 
VFASE / ICC3F = ZCC ohms / fase 
Mas como o relé utiliza corrente IA – IB ao invés de IA (uma fase), tem-se da mesma 
expressão anterior: 
VLINHA_AB / (1,732. ICC3F) = ZCC ohms / fase 
VLINHA_AB =1,732. ICC3F. ZCC ohms / fase 
VLINHA_AB = ICC3F_A – ICC3F_B . ZCC ohms / fase 
CC
BFCCAFCC
ABLINHA Z
II
V

 _3_3
_
 ohms / fase 
A impedância vista pelo relé é aquele da fase, no loop da falta. 
Curto-circuito Bifásico 
PROTEÇÃO
ZCC
ICC2F_A
CURTO
CIRCUITO
BIFÁSICO
I Fase
I Fase
ICC2F_B
VLINHA_AB
ZCC
 
 Figura 2.40 – Curto Bifásico e o Loop de Medição da Proteção 
A referência de corrente (+) é sempre saindo da barra. 
VLINHA_AB = ICC2F_A. ZCC – ICC2F_B.ZCC 
VLINHA_AB = ZCC ( ICC2F_A – ICC2F_B) 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 51 de 145
 
CC
BFCCAFCC
ABLINHA Z
II
V

 _2_2
_
 
Observa-se que tomando a tensão de linha e a corrente (A-B) tem-se a impedância do 
curto-circuito, como ocorre também no caso do curto trifásico. Percebe-se que: 
ICC3F_A
ICC3F_C ICC3F_B
ICC3F_A - ICC3F_B = 1,732. ICC3F
Para Curto Trifásico se teria: Para Curto Trifásico se teria:
ICC2F_A
ICC2F_b
ICC2F_A - ICC2F_B = 2. ICC2F
 
 Figura 2.41 – Lopp Fase-Fase para Curtos Bifásicos e Trifásicos 
Para o relé, tem-se para as duas situações: 
a) Para curto Trifásico: VLINHA e FCCI 3.3 
b) Para curto Bifásico: VLINHA (o mesmo que no caso Trifásico) e 
FCCFCCFCC III 332 .3
2
3
.2.2  
Confirma-se que há o mesmo valor medido de impedância, tanto para curto bifásico 
como para curto trifásico. 
2.4.7.2 Loop de Medição para Curto-circuito Fase Terra 
São três loops de medição de faltas à terra, um para cada fase. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 52 de 145
 
PROTEÇÃO
ZL
VFASE
ICCFT
CURTO
CIRCUITO
FASE-TERRA
I Fase
I Terra
ZTERRA
ITERRA
 
 Figura 2.42 – Curto-circuito Fase-terra e o Loop de Medição da Proteção 
A referência para a corrente (+) é sempre saindo da barra. 
Para curto-circuito fase-terra rígido, como mostrado na figura, o loop envolve a fase 
onde se localiza a falta. 
VFASE = ICCFT . ZL - ITERRA . ZTERRA 
Se a linha é radial e não há nenhuma contribuição para o curto circuito da outra 
extremidade, ITERRA = ICCFT. Mas quando há contribuição do outro lado, na linha de 
transmissão o ITERRA é diferente do ICCFT. 
VFASE = ICCFT . ZL - ITERRA . ZL. (ZTERRA / ZL) 
TERRA
L
TERRA
CCFT
FASE
L
I
Z
Z
I
V
Z

 É a impedância do loop fase terra vista pelo relé. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 53 de 145
 
O relé de proteção não faz diretamente a medida VFASE/ICCFT. Ele faz o cálculo: 
ZFASE-NEUTRO = VFASE / (ICCFT – k0.ITERRA) , comparando essa impedância com o ZL ajustado 
no relé. 
O fator k0 é chamado de compensação residual ou compensação de terra e é ajustável 
no relé. 
O relé medirá então: 
TERRACCFT
TERRA
L
TERRA
CCFTL
NEUTROFASE IkI
I
Z
Z
IZ
Z
.
).(
0

 
Haverá uma correta medição de distância quando o k0 ajustado no relé for igual a 
ZTERRA / ZL, e portanto ZFASE-NEUTRO = ZL. 
Lembrar que, para um curto-circuito fase terra, em termos de componentes simétricos se 
tem: 
ICCFT = I1 + I2 + I0 e ITERRA = 3.I0 
ZTERRA = (Z0-Z1) / 3 
Considerações sobre o Fator de Compensação Residual 
Alguns fabricantes chamam esse fator de kG e outros de kN. Deve-se observar que, na 
realidade, k0 é um numero complexo (módulo e ângulo): 
).(
1
10
0 .
.3
LTERRAj
L
TERRA
L
TERRA e
Z
Z
Z
ZZ
Z
Z
k  

 
)/( TERRATERRATERRA RXArctg - Ângulo da impedância de terra 
)/( LLL RXArctg - Ângulo da impedância da linha 
VALORES TÍPICOS 
 Seq. (+) Seq. (0) Terra Ângulo 
do k0 
 R + jX Ângulo R + jX Ângulo R + jX Ângulo 
 Ohms / km Graus Ohms / km Graus Ohms / km Graus Graus 
440 kV (Aérea) 0,024 + j0,31 86 0,33 + j1,31 76 0,102 + j 0,334 73 -13 
345 kV (Aérea) 0,016 + j0,29 87 0,23 + j0,92 76 0,070 + j0,209 72 -14 
345 kV (Cabos) 0,014 + j0,25 87 0,07 + j0,07 45 0,019 – j 0,061 - 73 -160 
230 kV (Aérea) 0,065 + j0,37 80 0,41 + j1,36 73 0,116 + j0,329 70 -10 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 54 de 145
 
Para relés eletromecânicos, somente o módulo do k0 é ajustado. Conseqüentemente há 
desvios de medição. Somente com os relés estáticos tornou-se possível ajustar também 
o ângulo do k0 . Entretanto, há relés estáticos que não apresentam esse recurso. 
Os relés numéricos de tecnologia digital apresentam o recurso de se poder ajustar tanto 
o módulo como o ângulo do k0. Dependendo do modelo / fabricante da proteção, pode 
haver entrada de parâmetros separados para as partes resistivas e indutivas de Z1 = R1 + 
jX1 e Z0 = R0 + jX0 com a proteção calculando o que for necessário, como RTERRA e 
XTERRA . 
2.4.8 Circuitos de Detecção de Falta (Partida)A finalidade de um circuito de detecção de falta (que alguns fabricantes chamam de 
“partida”) é detectar e classificar os curtos-circuitos que ocorrem no sistema. 
Ele precisa ser seletivo para a fase afetada, isto é, deve detectar as fases afetadas, não 
partindo nas fases não afetadas. Isso é importante onde se utiliza religamento automático 
monopolar. 
A seleção correta das fases afetadas é importante também para algumas proteções 
eletromecânicas ou estáticas do tipo “chaveado” (origem européia), isto é que possuem 1 
ou 3 elementos de medida para 6 loops possíveis de medição e elementos de partida que 
selecionam as grandezas para esses elementos. ` 
Um exemplo típico de proteção eletromecânica comutada de origem européia, com 1 
elemento de medição são os relés LZ32 e L3WyaS da BBC que possuem 3 elementos de 
partida por subimpedância e um elemento de partida por corrente residual, cada relé com 3 
zonas de alcance direcionais, sendo a partida caracterizada como 4ª Zona não direcional. 
Tradicionalmente os relés (eletromecânicos) de origem americana (GE e Westinghouse) 
apresentam: 
- ou um relé por zona de atuação, sendo cada relé com elementos para cada loop de 
medição; 
- ou um relé por fase, cada relé com 3 zonas de atuação. 
Cada relé atua independente do outro. Tradicionalmente para curtos à terra utilizam relés 
direcionais de sobrecorrente de terra com esquema de teleproteção. Relés de distância 
para faltas à terra são menos utilizados. Assim, para relés tradicionais de origem 
americana, o conceito de circuito de detecção de falta pode ser resumir à “corrente mínima 
para atuação da proteção de distância”. 
Para correta seleção de fases afetadas, deve-se evitar que o relé da fase afetada não 
detecte incorretamente a falta na outra fase. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 55 de 145
 
2.4.8.1 Partida por Sobrecorrente (pura) 
É o modo mais simples e rápido de detecção de falta. Utilizado para sistemas onde a 
corrente de curto-circuito é muito maior que a corrente de carga (menor corrente de curto 
maior que o dobro da carga). 
Um exemplo de ajuste, para esse caso seria Ipartida = 1,3 x Imáx_carga para fase e Ipartida_terra = 
0,5 x In_TC . Mas trata-se de um ajuste relativamente complexo, uma vez que todas as 
contingências de carga devem ser levadas em consideração, ao mesmo tempo em que 
se deve procura manter a sensibilidade para curto-circuito. A flexibilidade de ajuste é 
limitada. 
A sensibilidade pode ser obtida para faltas à terra pelo ajuste sensível de relé de terra, 
mas fica ainda pendente a necessidade de se selecionar a fase em falta, o que pode não 
ser possível com elemento de sobrecorrente de fase (menos sensível). 
E para fases, curtos bifásicos devem ser considerados (menor corrente de fase) ao invés 
de curtos trifásicos. 
2.4.8.2 Partida por ( U ) 
Deve-se salientar que, para alguns fabricantes, o termo “partida por subimpedância” é 
utilizado com significado diferente da “partida por subimpedância” de alguns outros 
fabricantes. Aquele fabricante entende-se como partida por subimpedância um sistema 
onde se tem “partida por subtensão supervisionado pela intensidade da corrente”, 
conforme mostrado na figura a seguir: 
 
Figura 2.43 – Característica de Partida U do relé P437 da Areva 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 56 de 145
 
UN
0,2
0,4
0,6
0,8UI>
I> I>>
1,0xIN 2,0xIN 3,0xIN
UI>>
Característica de Partida
U
Ajuste Típico:
I > = 0,25 IN
UI> = 70% de UN
I >> = 2,5 IN
UI>> = 90% de UN
U/UN
1,0
 
 Figura 2.44 – Característica de Partida U de relé 7SA da Siemens 
Para corrente inferior a I>, não há partida. Entre I> e I>>, quanto menor a corrente, menor 
deve ser a tensão (subtensão) de partida. 
Assim, não há partida para correntes pequenas em condições de carga (tensão entre 
90% e 100%). A partir de I>>, há partida com tensão normal (partida por sobrecorrente). 
A AREVA por exemplo, chama esse tipo de partida de “partida por subtensão e 
sobrecorrente”, utilizando o termo “subimpedância” para a partida por característica de 
impedância mostrado no parágrafo a seguir. 
2.4.8.3 Partida por Impedância (ou Subimpedância) 
Neste caso utiliza-se uma característica de impedância típica de proteção de distância 
para distinguir entre condição de carga e condição de curto-circuito. Evidentemente deve-
se ter maior sensibilidade para ângulo de curto-circuito que para os ângulos de carga. 
As figuras a seguir ilustram diversos tipos de característica de impedância de partida, 
mostradas nos desenhos através de linhas cheias: 
X
R
Característica
Off-set Mho
X
R
Característica
“Amendoim”
Carga Carga
X
R
Característica
Lenticular
Carga
 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 57 de 145
 
X
R
Característica
Off-set Mho com
Blindagem
Carga
X
R
Característica
Quadrilateral
Carga
 
 Figura 2.45 – Algumas Características de Partida por Subimpedância 
O objetivo é ter alcance maior no sentido do eixo dos X para se ter sensibilidade para 
detectar curtos remotos e ao mesmo tempo apresentar uma “banda” lateral para 
acomodar resistências de falta como por exemplo à resistência de arco. 
Por outro lado, quanto maior a área de Partida, maior a possibilidade de ocorrer partida 
também nas fases não afetadas, para curto-circuito fase-terra. Essa partida em “fase boa” 
afeta a seleção de fases para desligamento e religamento monopolar. Também neste 
caso, a maior dificuldade se observa para característica off-set mho. 
Para proteções numéricas, deve-se observar que para um relé de 6 loops (3 fase-fase e 3 
fase-terra) e num curto-circuito fase-terra, os 5 loops restantes continuam medindo as 
impedâncias: 
TERRAA
NeutroA
TerraA IkI
V
Z
.0
_
_ 
 (Fase em Falta) 
TERRAB
NeutroB
TerraB IkI
V
Z
.0
_
_ 
 (Fase Sã) 
TERRAC
NeutroC
TerraC IkI
V
Z
.0
_
_ 
 (Fase Sã) 
BA
BA
BA II
VV
Z


_ (Loop A-B) 
CB
CB
CB II
VV
Z


_ (Loop B-C) 
AC
AC
AC II
VV
Z


_ (Loop C-A) 
O mesmo ocorre para relés de terra (um por fase) do tipo americano tradicional. 
Assim, alguns modelos de proteção (numérica ou estática) de distância apresentam 
características otimizadas para ângulos de carga e para a região onde poderiam cair as 
impedâncias medidas nas fases boas (loops), como mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 58 de 145
 
 
 Figura 2.46 – Exemplo de Característica de Partida Otimizada do relé P437 da AREVA 
O objetivo, além de não detectar a carga, é permitir uma boa seleção de fases. 
2.4.9 Considerações sobre a Resistência de Falta 
2.4.9.1 Arco entre condutores ou através de isoladores 
Num arco, a corrente e a tensão estão em fase [1], como mostra a figura a seguir. Assim, 
o arco pode ser considerado como uma resistência no loop de medição da falta: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 59 de 145
 
Iarco
Uarco
 
 Figura 2.47 – Corrente de Arco em fase com a Tensão de Arco 
A tensão através do arco é trapezoidal e essa tensão é adicionada à queda de tensão 
senoidal através da linha. A deformação da tensão é mais acentuada durante faltas com 
arco próximas à proteção. Para relés digitais essa influência não apresenta preocupação 
devido aos filtros digitais. 
Resistência do Arco 
Segundo Warrington [4], a resistência do arco pode ser estimada pela seguinte fórmula 
empírica: 
4,1__
.28700
ARCO
VentoSemARCO
I
R

 ohms 
Nota: a fórmula original está apresentada no sistema de medida Inglês. A fórmula acima é 
resultado da conversão para o sistema métrico. 
Por outro lado, segundo Ziegler [1], a resistência do arco pode ser estimada pela seguinte 
fórmulaempírica: 
ARCO
VentoSemARCO I
R
.2500
__  ohms 
Onde: 
 = espaçamento (m) do isolador ou entre condutores 
IARCO = corrente do arco em A 
Influência do Vento 
Com o vento, o arco se alonga. O comprimento do arco então, dependerá da velocidade 
do vento e o tempo antes da interrupção. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 60 de 145
 
Vento
Arco Espaçamento
Condutor
Condutor
Espaçamento
Condutor
Condutor
Vento
Arco
 
 Figura 2.48 – Arco e a influência do vento 
Segundo Ziegler [1], a influência da velocidade do vento, no tempo, pode ser estimada 
por: 
)
..5
1.(__
ARCO
VentoSemARCOARCO
tv
RR

 
Onde: 
v = velocidade do vento em m/s 
t = tempo de duração do arco em s 
IARCO = comprimento do arco em m 
Trata-se do aproveitamento de uma fórmula de Warrington, adaptada por Ziegler. Note 
que para uma primeira zona de atuação de uma proteção de distância, o tempo t na 
fórmula acima pode ser considerado 0. 
 
Exemplo de Cálculo 
Vamos supor um arco de 6 m de extensão (com vento de 3 m/s, o que equivale a 10,8 
km/h) no sistema 440 kV, com corrente de 4.000 A. 
 Segundo Ziegler Segundo Warrington 
Ohms primários Ohms primários 
Para primeira zona (t = 0 s) 3,75 1,56 
Para segunda zona (t = 0,5 s) 3,75 x 2,25 = 8,4 1,56 x 2,25 = 3,51 
Para terceira zona (t = 1,0 s) 3,75 x 3,5 = 13,1 1,56 x 3,5 = 5,46 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 61 de 145
 
Avaliação da Resistência de Arco 
A tensão através do arco, numa primeira aproximação, é sempre constante [1] ou decai 
em função da corrente elevada a um fator [4]. A resistência do arco, portanto, não é 
constante. 
Na representação de um curto-circuito com arco, obtém-se melhor aproximação quando 
se despreza a dependência da corrente num primeiro enfoque, considerando a tensão 
de arco constante, ao invés de considerar uma resistência de arco fixa: 
UARCOURELÉ
IRELÉ IB
ZFA
ZFBZL Z’L
EA EB
 
 Figura 2.49 – Avaliação da resistência de arco. 
URELÉ = IRELÉ x ZL + UARCO 
ZRELÉ = URELÉ / IRELÉ = ZL + UARCO / IRELÉ 
Verifica-se que a resistência de arco aparente (UARCO / IRELÉ) independe da corrente da 
outra extremidade da LT (o que não seria verdadeiro se fosse considerada uma 
resistência fixa). 
Assim, uma melhor aproximação se obtém quando se considera tensão do arco 
constante por unidade de comprimento [1]. E resultado é mais conservador em 
termos de ajustes da proteção. 
Para verificação de ajuste de relé, recomenda-se adotar então a fórmula de Ziegler tanto 
para a primeira zona como também para considerar a influência do vento no tempo 
(segunda e terceira zonas) com valor ôhmico considerado como (UARCO / IRELÉ) com 
tensão fixa e não uma resistência fixa 
2.4.9.2 Resistência de Pé de Torre 
Muitas das faltas em linhas aéreas de transmissão resultam de “flash-over” nos 
isoladores. A corrente de curto-circuito, neste caso, flui do condutor para a estrutura da 
torre e daí para a terra. Nessas condições a resistência de pé de torre está em série com 
a resistência do arco. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 62 de 145
 
Em linhas com cabo guarda aterrado em todas as torres, a corrente flui através de vários 
aterramentos em paralelo (resistências de pé de torre em paralelo). Isso significa na 
prática que, para essas linhas, o valor efetivo da resistência de falta é pequeno. 
A [bibliografia (1)] mostra uma fórmula de cálculo (aproximada) dessa resistência de pé de 
torre que leva em consideração vários aterramentos em paralelo: 
2
.
....
2
1 CGj
TCGPTEFETIVO eZRZ

 
22
CGCGCG XRZ  )/( CGCGCG RXArctg 
Onde: 
RPT = Resistência de Pé de Torre médio da LT (ohms) 
RCG = Resistência do Cabo Guarda (ohms/km) 
XCG = Reatância do Cabo Guarda (ohms/km) 
T = distância média do vão da LT (km) 
Exemplo de Cálculo 
Para RPT = 20 ohms, RCG = 0,234 ohms/km, XCG = 0,748 ohms/km e lT = 230 m (0,23 km), 
tem-se: 
56,0.76,0.95,0230,0784,020
2
1 3,36.6,72. jexexxZ
oo jj
EFETIVO  ohms 
É aparente então que a resistência efetiva do pé de torre é muito pequena (desprezível) 
para cabo guarda em boas condições e aterrado em todas as torres. 
Observa-se também que não é pura resistência, tendo parcela indutiva devido aos cabos 
guarda que conduzem corrente de terra. 
Isso introduz uma reatância adicional. Para se ter uma ordem de grandeza, deve-se 
mencionar que j.0,56 ohms correspondem à cerca de 2,0 km em linha de transmissão de 
345 kV. Isso significa 20% em 10 km, 3,33% em 60 km ou 2% em 100 km de linha. 
Considerações Quanto à Resistência de Pé de Torre 
A resistência de pé de torre, geralmente estimada no seu valor médio em 20 ohms em 
cada pé de torre (valor conservador) só deve ser considerada diretamente como 
resistência de falta para linhas sem cabo guarda aterrado em todas as torres. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 63 de 145
 
Para linhas com cabo guarda aterrado em todas as torres (o que é o caso das linhas 
500, 440, 345 e 230 kV da rede básica), o valor resistivo torna-se pequeno porém 
aparece uma reatância indutiva devido às características R + jX do cabo guarda. Essa 
reatância indutiva adicional pode ter influência no desempenho do relé (alcance) para 
linhas curtas e para contribuições proporcionalmente elevada de corrente da outra 
extremidade da linha, para o curto circuito medido pelo relé. Deve-se observar, 
entretanto, que essa dificuldade é superada com o adequado uso de esquema de 
teleproteção. 
2.4.10 Resistências de Falta Devido a Objetos ou Vegetação 
Essas são as maiores resistências de faltas (a terra) que podem ocorrem em uma LT. 
Valores de centenas de ohms primários não são raros. Observações recentes mostram 
resistênicas de falta (árvore) da ordem de 600 a 800 ohms, com a corrente terra 
inicialmente muito pequena, se elevando de dezenas de A até cerca de 200 a 300 A que é 
o limite mínimo de ajuste, por exemplo de uma proteção direcional de terra para linhas de 
EAT. 
2.4.11 Impedância Aparente Medida pela Função de Distância 
Pode-se utilizar a seguinte expressão para a avaliação aproximada da impedância medida 
pela função de distância de uma extremidade de LT não radial, em função de uma 
resistência de falta Rf, para um curto-circuito fase-terra na Fase A: 
Rf
I
If
ZmRf
InkIa
InIn
Zm
InkIa
Va
Zapp LL ).(.).
.0
'
(.
.0





 
Zapp = impedância aparente medida pelo relé 
m.ZL = impedância da linha desde o terminal até o ponto de curto-circuito. 
In = corrente de terra medida no terminal. 
In’= corrente de terra medida no terminal oposto da LT. 
If = In + In’ = corrente total de falta 
Ia = corrente da fase, medida no terminal. 
Rf = resistência de falta. 
Note que (If/I).Rf é um número complexo, portanto tem ângulo que pode ser negativo ou 
positivo. 
Essa expressão é baseada no cálculo das malhas fechadas fase-terra, considerando as 
correntes das duas extremidades da LT. É claro que essas correntes dependem dos 
ângulos das impedâncias fontes equivalentes nas duas extremidades da LT. No caso de 
LT radial, não haverá In’ e Ia = In. Então para terminal de LT radial: 
 01
.
.0 k
Rf
Zm
InkIa
Va
Zapp L 


 
Essas impedâncias devido à resistência de falta podem ser mostradas na figura a seguir: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 64 de 145
 
jX
R
Zapp
Zapp
M • ZL
M • ZL
(IF/I) • RF
(IF/I) • RF
 
Note que é introduzido um erro no alcance reativo (jX) para mais ou para menos 
dependendo do ângulo de (IF/I). 
2.4.12 Consideração sobre Circuitos Paralelos 
Quando circuitos de linhas de transmissão percorrem trechos paralelos, existirá um 
acoplamento indutivo mútuo entre os circuitos. 
Para linhas transpostas ou geometricamente equilibradas, os efeitos nas sequências 
positiva e negativapodem ser desprezados (reatâncias mútuas inferiores a 5%). 
O efeito torna-se significativo apenas quando de correntes para terra, quando há 
acoplamento mútuo para correntes de sequência zero (que não apresentam defasamento 
entre as fases). 
Para efeitos práticos, todos os acoplamentos mútuos de sequência zero para circuitos de 
linhas que estejam na mesma estrutura, para linhas médias e longas, devem ser 
considerados. Lembrar que ITERRA = 3. I0. 
A impedância mútua de sequencia zero depende das características geométricas da linha 
de transmissão e da existência ou não de cabos guarda. Programas de cálculo de 
parâmetros de linha de transmissão calculam essas impedâncias. 
A corrente de sequência zero de um circuito induz tensão no outro circuito e vice-versa. A 
figura a seguir ilustra o conceito: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 65 de 145
 
Z0_L1
Z0_L2
Z0M
I0_L1
I0_L2
A B
C D
 
 Figura 2.50 – Acoplamento Mútuo de Seqüência Zero em circuitos paralelos de LT’s 
U0_AB = I0_L1.Z0_L1 + I0_L2.Z0M 
U0_CD = I0_L2.Z0_L2 + I0_L1.Z0M 
 
2.4.12.1 Influência do Acoplamento Mútuo de Sequência Zero Na 
Medida de Distância 
A influência depende da configuração do sistema elétrico. Os seguintes aspectos gerais 
podem ser colocados: 
 erro de medição é positivo (a impedância medida é maior do que a impedância 
de fato, sem considerar a mútua) caracterizando um caso de subalcance, 
quando a corrente de terra nos dois circuitos têm a mesma direção. 
 erro de medição é negativo (a impedância medida é menor do que a impedância 
de fato, sem considerar a mútua) caracterizando um caso de sobrealcance, 
quando a corrente de terra nos dois circuitos são opostos. 
A tensão fase-neutro na proteção, para um curto-circuito fase-terra e considerando a 
existência do acoplamento mútuo pode ser expressa [1] por: 
).
.3
..( __
1
0
1
1 ParaleloCircTERRA
L
M
TERRA
L
TERRA
FASELA I
Z
Z
I
Z
Z
IZU  
E a impedância medida pelo relé será: 
TERRAFASE
ParaleloCircTERRA
L
M
TERRA
L
TERRA
FASEL
TERRAFASE
A
A IkI
I
Z
Z
I
Z
Z
IZ
IkI
U
Z
.
).
.3
..(
. 0
__
1
0
1
1
0 



 
Ajustando-se o k0 no relé de tal modo que k0 = ZTERRA/ZL, tem-se: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 66 de 145
 
)
.
.
.3
1.(
1
__
1
0
1
TERRA
L
TERRA
FASE
ParaleloCircTERRA
L
M
LA
I
Z
Z
I
I
Z
Z
ZZ

 
A segunda parcela dentro do parêntesis é o erro de medição devido à mútua de 
sequência zero. 
Para linha radial 
Para um curto no fim da linha e radial, ITERRA_Circ_Paralelo = ITERRA e IFASE = ITERRA. Nessas 
condições: 
)
1
1.(
0
0
1 k
k
ZZ M
LA 
 onde 
L
M
M Z
Z
k
1
0
0 .3
 e 
L
TERRA
Z
Z
k 0 
E o erro de impedância Z pode ser expresso por: )
1
.(
0
0
k
k
ZZ M
L 
 
Caso de circuito duplo alimentado por uma extremidade (radial) 
A figura a seguir mostra um circuito duplo alimentado por uma extremidade, com curto 
fase-terra ocorrendo a uma distância x da barra A: 
IFASE2+ITERRA2
A B
IFASE1+ITERRA1
IFASE2+ITERRA2
IFASE2+ITERRA2
Z2
Z1
L - xx
L
 
 Figura 2.51 – Curto-circuito fase-terra em linha radial de circuito duplo 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 67 de 145
 
Como a linha é radial, IFASE1 = ITERRA1 , IFASE2 = ITERRA2 e 
x
x
II TERRATERRA 

.2
.12 
Nessas condições, os relés Z1 e Z2 medirão: 
L
E
L
M
LLRELE
Z
Z
x
x
Z
Z
Z
x
Z
x
Z



1
2
.
.3
..
0
1


 
L
E
L
M
LRELE
Z
Z
Z
Z
x
ZxZ


1
.3
.
)..2(
0
2  
onde as segundas parcelas são os erros de medição devido à mútua. O maior erro de 
medição ocorre para os dois relés, com a falta se localizando na Barra B, quando x =  . 
Para efeito de ilustração, a [bibliografia (3)] mostra um exemplo de linha de 400 kV, com 
valores típicos de impedâncias de sequência positiva, negativa e zero, com: 
86,0
L
E
Z
Z e 65,00 
L
M
Z
Z 
O erro, no exemplo, chega a um máximo de 35% da impedância da LT para curto na 
barra B (a impedância medida é maior que a impedância da LT). A figura a seguir ilustra 
o caso mencionado. 
100%
150%
200%
50%
1,00,80,60,40,20
85% Z1
Z2
Z/ZL
x, l
Relé Z1
Relé Z2
 
 Figura 2.52 – Influência do acoplamento mútuo de seqüência zero para curto-circuito fase-terra em 
linha radial de circuito duplo 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 68 de 145
 
Para um curto circuito a 70% do primeiro circuito, a impedância vista equivale a 85%. 
Para um curto a 100%, a impedância vista equivaleria a 135% (para o exemplo numérico 
mostrado na bibliografia), o que impediria a atuação em segunda zona, se ajustado para 
120%. 
Caso de circuito duplo alimentado por duas extremidades 
A figura a seguir mostra um circuito duplo alimentado pelas duas extremidades, com curto 
fase-terra ocorrendo próximo à barra B (ponto �). Para fins de ilustração, é considerado o 
mesmo sistema exemplo anterior de sistema 400 kV mostrada na [bibliografia (3)]: 
A B
IA IB
20
10
30
40
20
10
30
40
%
Erro de Medição
X
(subalcance)
X
(sobrealcance)
 
localização real da falta
localização aparente da falta
Fase-Terra
1,0
0,5
1
2
3
Caso 1 = Circuito Duplo Radial
Caso 2 = Circuito Duplo Não Radial com IA = IB
Caso 3 = Circuito Duplo Não Radial com IB = 5.IA 
 Figura 2.53 – Influência do acoplamento mútuo de seqüência zero para curto-circuito fase-terra em 
circuito duplo alimentado por duas exptremidades 
O caso 1 é o anterior (linha radial). Para o relé em A, há erro de cerca de 35% (para o 
exemplo dado, não significando que ocorra sempre) na impedância devido ao acoplamento 
mútuo, para curto em B (a impedância medida é maior que realmente é, configurando sub-
alcance da proteção). 
Os casos 2 e 3 mostram a influência da corrente do sistema elétrico do lado da Barra B. 
Verifica-se que o relé em A pode medir uma impedância maior do que realmente é (sub-
alcance), ou menor do que realmente é (sobre-alcance), também nesse caso chegando a 
35% pelo exemplo dado, para curto na barra B. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 69 de 145
 
Analisando, como exemplo, o caso específico de uma LT real de EAT, de circuito duplo, 
com 384 km de extensão, tem-se: 
4,15
0 022,1  eZ
Zk
L
E , 77,7
0 003,21  ek e 
7,180 88,0
.3
 e
Z
Z
L
M . 
9,10
77,7
7,18
439,0.)
003,2
88,0
.( 


 eZ
e
e
ZZ LL 
Neste caso o erro pode chegar a 44%. Isto é, para que o relé da extremidade A dessa LT 
detecte um curto na barra da extremidade B, seu ajuste deverá cobrir pelo menos 143,9% 
da LT. 
2.4.12.2 Influência da Configuração do Circuito Duplo na Influência da 
Mútua de Sequência Zero 
Também devem ser verificados os casos em que o segundo circuito encontra-se fora ou 
aberto: 
A B3.I0_Circ2
ICCFT
Proteção
Subalcance (erro pode
chegar a mais de 20%)
A B3.I0_Circ2
ICCFT
Proteção
Sobrealcance (erro
pode chegar a mais de
20%)
A B3.I0_Circ2
ICCFT
Proteção
Sobrealcance (erro em
torno de 10%)
 
 Figura 2.54 – Influência da configuração do circuito duplo no acoplamento mútuo de seq. Zero 
 
O segundo caso acima (sobrealcance) não prejudica a proteção. Aumenta a sensibilidade 
quando desejável. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 70 de 145
 
O terceiro caso acima (sobrealcance) pode influir no alcance da primeira zona, mas a 
margem de 15% (ajuste de 85%) pode resolver parte dos casos. 
2.4.12.3 Compensação para Circuitos Paralelos nos Relés de Proteção 
Dada a equação (mostrada anteriormente): 
TERRAFASE
ParaleloCircTERRA
L
M
TERRA
L
TERRA
FASEL
TERRAFASE
A
A IkI
I
Z
Z
I
Z
Z
IZ
IkI
U
Z
.
).
.3
..(
. 0
__
1
0
1
1
0 



 
Do ponto de vista construtivodo relé de proteção, verifica-se que se o termo: 
ParaleloCircTERRAM Ik __0 . 
for adicionado ao denominador, ter-se-ia: 
ParaleloCircTERRAMTERRAFASE
ParaleloCircTERRA
L
M
TERRA
L
TERRA
FASEL
A IkIkI
I
Z
Z
I
Z
Z
IZ
Z
__00
__
1
0
1
1
..
).
.3
..(


 
E ajustando-se no relé: 
L
TERRA
Z
Z
k 0 e ParaleloCircTERRA
L
M
M I
Z
Z
k __
1
0
0 .
.3
 
Ter-se-ia: LA ZZ 1 e a proteção mediria corretamente a distância, com a mútua. 
O fator k0M chama-se Fator de Compensação de Mútua de Sequencia Zero. O relé do 
circuito teria que medir a corrente de terra (3.I0) do outro circuito e vice versa. O 
procedimento mostrado chama-se “Compensação de linha paralela”. 
Para esse relé, a equação seria: 
ParaleloCircTERRAMTERRAFASE
A
A IkIkI
U
Z
__00 .. 
 
Para relés eletromecânicos, a influência da corrente de terra do circuito paralelo era 
implementada utilizando-se transformadores auxiliares nos circuitos de corrente residual. 
As modernas proteções numéricas de tecnologia digital microprocessada possuem 
entradas específicas para a corrente residual do circuito paralelo. 
Balanço de Corrente de Terra 
Com a compensação de linha paralela, ocorre que: 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 71 de 145
 
A proteção do circuito (1) em falta mede corretamente a distância devido à compensação. 
Entretanto, a proteção do outro circuito (2) que não está em falta enxergará uma 
impedância muito pequena, como se o curto-circuito tivesse ocorrido no próprio 
circuito. 
Isso porque, a elevada corrente no circuito (1) entra pelo circuito de compensação de 
mútua na proteção do circuito (2) que apresenta erro acentuado de medição. 
A figura a seguir ilustra o caso, para linha de circuito duplo radial (exemplo anterior): 
100%
150%
200%
50%
1,00,80,60,40,20
85%
Z
x, l
100%
150%
200%
50%
1,00,80,60,40,20
85% Z1
Z2
Z
x, l
Relé Z1
Relé Z2
Relé Z2
Relé Z1
x
x
I
I
TERRA
TERRA 

.2
2
1
Com compensação de
linha paralela
Sem compensação de
linha paralela 
 Figura 2.55 – Influência da configuração do circuito duplo no acoplamento mútuo de seq. zero 
Isto é, no exemplo (apenas ilustrativo), para um curto circuito a 55% do circuito (1), o relé 
Z2 do circuito (2) enxergará o mesmo como se fosse a 85% do seu circuito. Qualquer 
outro curto circuito entre 0 e 55% do circuito (2), o relé do circuito (2) enxergaria como se 
fosse na sua primeira zona. E isso é um problema de fato para a proteção. 
Apenas a partir de um determinado valor ITERRA1 / ITERRA2, quando a corrente de curto no 
circuito 1 tornar-se proporcionalmente menor, é que o relé Z2 do circuito (2) deixaria de 
ver o curto no outro circuito na sua zona 1. 
Assim, os circuitos de compensação de linha paralela nos relés numéricos têm um 
ajuste que permite bloquear a compensação quando a corrente no circuito em falta 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 72 de 145
 
excede, em determinada relação, a corrente do circuito paralelo (circuito não 
afetado). Isso se chama “balanço de corrente de terra” (ajustável no relé). 
No exemplo acima, o ajuste (típico) seria bloquear a compensação para x/l 1,35. 
Circuitos de Compensação para a Proteção 
Segundo o autor [1], os seguintes aspectos podem ser destacados quanto à aplicação da 
compensação de mútua: 
 A compensação pode ser usada apenas quando o circuito duplo está entre duas 
subestações. 
 A compensação, de qualquer modo, é recomendada para localizadores de defeitos 
em circuitos paralelos. 
Para proteções de distância, a compensação é usualmente implementada apenas em 
casos difíceis, onde os ajustes em si e a teleproteção não puderem resolver o problema 
do erro devido à mútua. Seriam casos de proteção de retaguarda remota por essas 
proteções de distância (por exemplo, proteção remota de linha curta que se segue a um 
circuito duplo). 
2.4.13 Diretrizes de Ajustes para a Função de Distância 
Este item tem a finalidade de apresentar diretrizes básicas, comum às proteções de 
distância de linhas de transmissão de AT e EAT. Vários tipos de proteção de distância são 
utilizados nos sistemas de transmissão: 
 Proteções Eletromecânicas 
 Proteções Estáticas 
 Proteções Digitais 
A proteções eletromecânicas e estáticas podem ser classificadas quanto à configuração 
utilizada: 
 Proteções de distância com um relé por fase e por zona de atuação e temporizadores 
respectivos. Proteções de distância específicas para faltas entre fases (21F) e para 
faltas à terra (21N). Trata-se, geralmente, de filosofia americana de proteção de linhas. 
 Proteções de distância com um relé por várias zonas de atuação para todos os tipos de 
falta (21F+21N), ou eventualmente proteções específicas para faltas entre fases (21F) 
e faltas à terra (21N). Esses relés podem ter medição específica para cada zona de 
atuação ou ter uma medição apenas (comutada) para todas as zonas. Trata-se, 
geralmente, de filosofia européia de proteção de linhas. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 73 de 145
 
As recentes proteções numéricas de tecnologia digital microprocessada já apresentam 
característica multifuncional, isto é, apresentam várias funções de proteção, 
monitoramento e supervisão em um único conjunto de hardware. E para funções de 
proteção, apresentam muitas outras, além da função de distância propriamente dita. 
As diretrizes aqui apresentadas procuram ser, na medida do possível, independentes da 
tecnologia e configuração. Casos específicos são citados em cada item. 
2.4.13.1 Avaliação da Carga Através da Linha Protegida 
A proteção não pode detectar condição de carga, sem falta na linha de transmissão, com 
o sistema mantendo a estabilidade, mesmo em caso de sobrecarga ou contingência 
admissível. 
Diretriz 
De um modo geral, inicia-se adotando o enfoque mais conservador que é o limite de 
transporte da linha de transmissão, para a impedância de carga ou corrente máxima de 
fase vista pelo relé. 
Com este valor, verifica-se se a proteção mantém a sensibilidade desejada para as zonas 
de alcance, com bastatne margem, segundo critérios mostrados nos parágrafos 
subsequentes. No caso da sensibilidade ser menor que a desejada, adotar o critério da 
carga máxima prevista por estudos operacionais. 
2.4.13.2 Elementos ou Lógicas de Detecção de Faltas (Partida) 
Todas as funções ou proteções de distância possuem elementos ou lógicas que 
detectam faltas e permitem tanto o início da medição da falta como a seleção da(s) 
fase(s) defeituosa(s). 
Alguns fabricantes chamam esse elemento ou lógica de “partida”. Vários tipos de 
elementos ou lógicas podem ser utilizadas, dependendo do tipo do relé empregado. 
a) Detecção por sobrecorrente 
A proteção deve detectar todo tipo de curto-circuito entre fases que sejam superiores 
à corrente de carga, não apenas na linha protegida, como também em todas as suas 
zonas de proteção, na medida do possível. 
Diretrizes 
Corrente Mínima para Proteções de Distância de Fase (21F) 
Ajustar em torno do dobro do valor de carga máxima prevista pelos estudos 
operacionais, ou alternativamente, cerca de 10% superior à capacidade de transporte 
da linha. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 74 de 145
 
Verificar se o ajuste permite detectar curtos-circuitos em todas as zonas previstas de 
atuação da proteção. Caso isso não ocorra, adotar critério menos conservador ou se 
ainda não satisfatório, buscar solução de compromisso com riscos calculados e 
assumidos. 
Lembrar que, dependendo do tipo de proteção empregada, esse elemento ou lógica 
serve também para seleção das fases em falta, importante para correta medição, se 
houver. 
No caso de haver escolha do valor dentro de uma solução de compromisso com os 
riscos calculadosuniformemente distribuído. 
Esse TC é também conhecido como do tipo Bucha. 
A bitola do cabo primário é grande para suportar alta corrente primária e construtivamente, 
é impraticável se fazer espiras no núcleo magnético do TC. Assim, o primário é 
praticamente uma barra que transpassa o núcleo do TC, conforme mostrado na figura a 
seguir: 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 18 de 58
 
I1
I2
Bobinas de Corrente
Reles de Proteção 
Figura 2-7 - TC de Baixa Reatância de Dispersão 
O secundário é enrolado com muitas espiras para produzir o máximo acoplamento 
possível, diminuindo consideravelmente a reatância de dispersão. 
O TC da baixa reatância é conhecido como: 
 Tipo B, pela antiga ABNT (B de baixa reatância) 
 Tipo L, pela antiga ANSI (L de Low) 
2.7.3 Classe de Exatidão segundo ANSI 
Pela ANSI, define-se o erro do TC pela limitação da máxima tensão que pode aparecer no 
seu secundário devido à máxima corrente de curto circuito, considerando-se o seu fator de 
sobrecorrente. 
É a máxima tensão que pode aparecer no secundário do TC para uma corrente no primário 
de 20 vezes a sua corrente nominal primária (fator de sobrecorrente é sempre considerado 
igual a 20) sem que o erro ultrapasse 2,5% ou 10%. 
Na figura a seguir são mostradas as combinações possíveis das classes de exatidão dos 
TC´s, segundo a antiga ANSI: 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 19 de 58
 
2,5 ou 10
L ou H
10, 20, 50, 100, 200, 400 ou 800 
Figura 2-8 - Classe de Exatidão segundo antiga ANSI 
Um TC 10H800 significava: 
10 - erro admissível da sua classe de precisão de 10% 
H - TC de alta reatância (H=high) 
800 - tensão máxima no secundário do TC para que o erro devido à saturação do 
núcleo do TC não ultrapasse 10% para uma corrente de curto circuito máxima 
limitado pelo fator de sobrecorrente. 
 
Carga no Secundário do TC 
É a máxima carga que se pode ligar no secundário do TC de forma a não ultrapassar a 
tensão máxima dada pela sua classe de exatidão. 
Vmax
I1
5
Zcarga
I2
I1maxcurtocircuito = 20 I1
 
Figura 2-9 - Carga no Secundário do TC 
Temos que Vmax = Zcarga . I2 
Para a condição de máxima corrente de curto circuito com fator de sobrecorrente 20, I2 = 
20 x 5 = 100 A 
Portanto, Zcarga = Vmax / 100 
Considerando o TC do exemplo anterior (10H800), temos: 
Vmax = 800 V 
I2 = 100 A 
Zcarga = 800 / 100 = 8 Ω 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 20 de 58
 
Portanto, para um TC classe 10H800, a máxima carga que poder-se-ia conectar em seu 
secundário para garantir a sua classe de exatidão é de 8 Ω (para corrente simétrica). 
Nesse valor de 8 Ω estão incluídas as impedâncias dos reles de proteção, da cablagem, 
enfim, toda a impedância que será conectada em série com o secundário do TC. 
Denominação ANSI Atual 
Atualmente, a ANSI não normaliza mais a classe 2,5 (apenas a classe 10) e substituiu as 
letras L (Low) por C (Calculated) e a letra H (High) por T (Tested). 
Assim, na moderna denominação ANSI, teríamos a seguinte situação: 
2,5 L 400 --> não há mais esta denominação. Passa a ser --> 10 C 400. 
10 H 200 --> passa a ser --> 10T200. 
2.7.4 Classe de Exatidão segundo ABNT 
ABNT - EB - 251 (Antiga) 
A ABNT (EB - 251) define a classe de exatidão de um TC como sendo a máxima potência 
aparente (VA) consumida pela carga conectada no seu secundário, para uma corrente 
nominal secundária de 5 A. 
É a máxima potência aparente (VA) que se pode conectar em regime permanente no 
secundário do TC para que com a máxima corrente de curto circuito, limitado pelo seu fator 
de sobrecorrente, o seu erro não ultrapasse o definido na sua classe de precisão. 
Na figura a seguir são apresentadas as combinações possíveis das classes de exatidão 
segundo a ABNT: 
2,5 ou 10
5 - 10 - 15 ou 20
12,5 - 25 - 50 - 100 - 200 - 400 ou 800
F C
A ou B
 
Figura 2-10 - Classe de Exatidão segundo ABNT 
Um TC A10F20C100 significava: 
A - TC de alta reatância 
10 - erro admissível da sua classe de precisão de 10% 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 21 de 58
 
F - fator de sobrecorrente 
20 - 20 vezes a corrente nominal (no secundário, 20 x 5 A = 100 A) 
C - carga no secundário do TC em VA para corrente nominal de 5 A do TC 
100 - 100 VA, carga no TC para uma corrente nominal secundária do TC de 5 A 
 
Carga no Secundário do TC 
Consideremos a figura abaixo: 
Vcarga
I1
5
Scarga
I2 = 5 A
 
Figura 2-11 - Classe de Exatidão (VA) segundo ABNT 
Temos que: 
Scarga = Vcarga . I2 = Zcarga . I2 . I2 
Scarga = Zcarga . 5 .5 = 25 . Zcarga 
Zcarga = Scarga / 25 
ABNT - NBR 6856 (nova) 
A NBR 6856 alterou a indicação das classes de exatidão para serviço de proteção, onde a 
carga é indicada pela tensão que aparece nos terminais do TC com 20 vezes a corrente 
secundária e carga nominal, ou seja, o mesmo critério adotado pela ANSI C57.13. 
Desse modo, em um TC, o núcleo de serviço para proteção, classe de exatidão 10 de alta 
impedância, com corrente secundária 5 A e com carga nominal C25, é designado por 
10A100. Na norma brasileira anterior, a EB-251, essa mesma classe de exatidão era 
designada por A10F20C25, sendo que na nova norma, o fator de sobrecorrente é 
considerado sempre igual a 20. 
 Na versão mais recente da ABNT, os TC´s para serviço de proteção devem ser 
enquadrados em uma das seguintes classes de exatidão: 
 5 (erro percentual até 5%) ou 
 10 (erro percentual até 10%) 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 22 de 58
 
Os TC´s para serviço de proteção das classes A e B devem estar dentro de sua classe de 
exatidão para as tensões secundárias nominais e as cargas respectivas especificadas. O 
erro de corrente deve ser limitado ao valor especificado, para qualquer valor de corrente 
secundária desde uma a 20 vezes a corrente nominal e com qualquer carga igual ou 
inferior à nominal. 
Por exemplo, a designação 10B200 significa que o TC é de baixa reatância e que o erro de 
corrente não excede 10%, para qualquer corrente variando de uma a 20 vezes a corrente 
nominal, desde que a carga não exceda 2 Ω . (2 Ω x 5A x 20 vezes = 200 V) 
2.7.5 Classe de Exatidão Equivalente em ANSI e ABNT 
Dos itens anteriores, temos: 
Zcarga = Vmax / 100 (Pela ANSI) 
Zcarga = Scarga / 25 (Pela ABNT) 
Portanto: 
Vmax / 100 = Scarga / 25 
Vmax = 4. Scarga 
Exemplo: 
Considerando o TC especificado sob ABNT - A10F20C100, encontrar o seu equivalente 
ANSI. 
Scarga = 100 VA 
Vmax = 4 . Scarga = 4 . 100 = 400 V ---> 10H400 
Portanto, A10F20C100 (EB-251) 10H400 
ou 
 10A400 (NBR 6856) 10T400 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 23 de 58
 
2.8 EXEMPLOS DE BURDEN 
Relés Eletromecânicos 
Modelo do Relé 
Faixa de Tap´s 
(A) 
Impedância no menor Tap
(Ω ) 
IAC51A101A 4 - 16 0,35 
IAC51A2A 1,5 - 6 2,40 
IAC51A3A 0,5 - 2 22,00 
ICM2 0,5 - 2 16,4 
ICM2 4 - 16 0,25 
 
Figura 2-12 - Burden de Relés Eletromecânicos 
A tabela apresenta alguns exemplos de burden de relés de sobrecorrente eletromecânicos. 
O menor tap é o que apresenta maior burden, isto é, o relé representa para o TC, a maior 
impedância. A impedância diminui para os outros tap´s, tendo o seu menor valor para o tap 
máximo. 
A potência aparente do relé relativa ao seu tap é sempre a mesma. Assim, conhecendo-se a 
sua impedância para o tap mínimo, é possivel se obter a impedância para um outro tap, 
conforme equação abaixo: 
ZTap . (ITap)
2 = ZTapMin . (ITapMin)
2 
ZTap = ZTapMin . (ITapMin / ITap )
2 
onde, ZTapMin = impedância no menor Tap 
ITapMin = corrente do menor Tap 
ZTap = impedância no Tap desejado 
ITap = corrente do Tap desejado 
 
Relés Digitais 
Modelo do Relé Burden (VA) Impedância (Ω ) 
7SJ61/62/63 0,3 0,012 
7SA6 0,3 0,012 
P141, 142, 143 0,5 0,02 
P433, P435, P437 0,1 0,004 
Figura 2-13 - Burden de Relése assumidos, considerar também a existência de outros elementos 
ou lógicas de detecção de falta para a mesma proteção ou ainda, a existência de 
outras proteções para o mesmo terminal de LT. 
Corrente Mínima para Proteções de Distância de Terra (21N) 
A proteção deve detectar todo tipo de curto-circuito à terra, não apenas na linha 
protegida como também em todas as suas zonas de proteção, inclusive parte das 
faltas esperadas de alta impedância, na medida do possível. 
A sensibilidade é limitada pela relação de transformação do TC do terminal de LT e 
do tap mínimo de ajuste da Proteção. 
Diretriz 
Ajustar para o valor (corrente de terra) mais sensível possível, dentro das 
características do terminal de linha e da proteção empregada e desbalanço esperado 
em condição normal de operação. 
Em sistemas de AT ou EAT da rede básica, os desbalanços esperados de sequência 
zero são mínimos ou até inexistentes, em condições normais de operação, o que 
permite a máxima sensibilidade. É conveniente, entretanto, observar as 
recomendações que existem na documentação técnica de cada fabricante de 
proteção, que podem apresentar outros enfoques da proteção empregada. 
Considerar também a existência de outros elementos ou lógicas de detecção de falta 
para a mesma proteção, bem como a existência de outros tipos de proteção para 
faltas à terra no mesmo terminal de LT. 
b) Detecção por subtensão com supervisão por corrente (U) ou (U/I/) 
Trata-se de lógica de detecção por subtensão utilizada para casos onde a corrente de 
não é muito superior à corrente de carga. Nem todas as proteções possuem esse tipo 
de detecção de falta mas é cada vez mais utilizado nas proteções numéricas. 
Diretriz 
Seguir as orientações constantes na documentação técnica da proteção. Trata-se de 
uma função de detecção de falta muito interessante para sistema onde o 
carregamento da LT passa influir na sensibilidade de detecção do curto, devido à 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 75 de 145
 
característica de impedância não muito favorável para seletividade quanto às fases 
afetadas. 
c) Detecção por subimpedância 
A partida por subimpedância deve ocorrer para toda falta, não apenas na linha 
protegida, como também em todas as suas zonas de proteção, seja no sentido 
direcional como na direção reversa, na medida do possível. Inclusive parte das faltas 
com alta impedância. 
Trata-se de elemento ou lógica utilizados principalmente em proteções de 
procedência européia. Apresenta característica de impedância que abrange todas as 
zonas de proteção desejadas para a proteção. Em alguns tipos de relés essa 
característica de proteção pode ser como “ultima zona de proteção” com a 
temporização respectiva. 
DIRETRIZES PARA PROTEÇÕES ELETROMECÂNCIAS E ESTÁTICAS 
Geralmente, para proteções eletromecânicas, a característica de medição é do tipo 
off-set mho, sem blindagem lateral. Para proteções estáticas, a característica é em 
geral quadrangular (apesar de que muitos oferecem também a característica off-set 
mho). De qualquer modo, essa característica deve englobar todas as zonas de 
proteção. 
Proteções de Distância de Fase 
É importante que essa função que não detecte condição de carga ou até sobrecarga 
normal esperada para a linha, na faixa de ângulo de carga. 
Para se avaliar a sensibilidade desse elemento, deve-se considerar também os 
efeitos de “infeed” na barra da subestação remota. 
No caso de a impedância limitada pela carga não ser suficiente para atingir todas as 
zonas de proteção (pelo fato de não existir, nas proteções eletromecânicas, as 
chamadas características otimizadas), buscar solução de compromisso com riscos 
calculados e assumidos. 
Proteções de Distância de Terra 
Para se determinar o alcance resistivo deve-se observar que ele deve abranger os 
alcances resistivos de todas as zonas de proteção de distância. 
No caso de relés de distância de fase e terra, com elemento de detecção comum para 
todos os tipos de faltas, prevalece o mencionado no item anterior para distância de 
fase. 
Para se avaliar a sensibilidade desse elemento, deve-se considerar também os 
efeitos de “infeed” na barra da subestação remota. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 76 de 145
 
No caso de a impedância limitada pela carga não ser suficiente para atingir todas as 
zonas de proteção (pelo fato de não existir, nas proteções eletromecânicas, as 
chamadas características otimizadas), buscar solução de compromisso com riscos 
calculados e assumidos. 
Ainda para avaliar a sensibilidade desse elemento para faltas à terra, para proteção 
instalada em terminal de linha de circuito duplo, deve-se considerar os erros 
introduzidos (impedância adicional vista pelo relé) para faltas à terra na subestação 
remota ou além, devido ao acoplamento mútuo de sequência zero do circuito 
paralelo. Ver item correspondente, posteriormente neste documento. 
Em algumas proteções, esse elemento de subimpedância serve para selecionar a 
fase defeituosa para efeitos de medição e religamento automático. Assim, em linhas 
com religamento automático monopolar, verificações devem ser feitas para casos de 
curtos-circuitos fase-terra com possibilidade de partida numa “fase boa”, devido à 
soma das condições de pré falta. Há situações onde será necessário diminuir o 
alcance da característica de partida por subimpedância, sendo que nesse caso uma 
solução de compromisso deve ser buscada. 
DIRETRIZES PARA PROTEÇÕES NUMÉRICAS DIGITAIS 
A grande diferença dos relés de distância numéricos aplicados a linhas de 
transmissão de Alta e Extra Alta Tensão é que as mesmas possuem 6 loops de 
medição (3 para loops entre fases e 3 para loops fase-terra) que trabalham quase 
independentemente, com base em lógicas introduzidas na concepção da proteção. 
Se por um lado há maior flexibilidade e recursos para acomodar a característica de 
partida, visando o objetivo desejado, por outro lado há maior dificuldade para casos 
onde a influência da corrente de carga (pré falta) apresenta ordem de grandeza 
significativa em relação à corrente de falta. 
Deve haver maior cuidado na verificação da possibilidade de partida da proteção na 
fase não afetada (fase boa) para um curto circuito fase-terra, podendo introduzir 
problema de seleção de fase defeituosa para esquemas de religamento automático 
monopolar. 
A proteção efetua partida e medição de impedância em qualquer um dos 6 loops, em 
qualquer uma de suas zonas, bastando que o valor da impedância caia dentro dos 
valores ajustados. 
Isso traz maiores dificuldades para os ajustes das bandas laterais dos loops de 
terra, bem como para os ajustes dos alcances da zona reversa em alguns casos. 
Loop de Fase 
É importante que esse loop de medição não detecte condição de carga ou até 
sobrecarga normal esperada para a linha, na faixa de ângulo de carga, com margem 
de segurança. Os relés digitais, em geral, permitem maior sensibilidade para a faixa 
fora dos ângulos de carga através dos ajustes de “blindagem da carga”. 
 
 
 
 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS – LINHAS DE TRANSMISSÃO Funções de Proteção 77 de 145
 
Loop de Terra 
Para loop de terra o alcance lateral pode ser maior e depende da resistência 
estimada de curto-circuito à terra na linha de transmissão, incluindo os efeitos de 
infeed 
Deve-se observar que, na prática, tem-se observadas resistências medidas de até 60 
ohms primários, na primeira zona, em linha de EAT. Evidentemente a característica 
de partida deve ter valor superior a esse. A experiência mostra, entretanto, que, como 
regra geral, não se ultrapasse o valor de 100 ohms primários de banda lateral de 
partida para linha de EAT. 
Lembrar que em relés digitais pode haver função específica para seleção de fase 
para religamento, com alcance menor que o alcance de partida da proteção. 
Entretanto essa funcionalidade seria anulada caso o desligamento seja tripolarDigitais 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 24 de 58
 
A tabela anterior mostra alguns exemplos de burden de relés digitais. 
Eles apresentam uma carga muito menor se comparados com os relés eletromecânicos e 
representam uma carga fixa, constante, pois a ajuste não é feito através de derivações da 
sua bobina magnetizante. 
Cablagem: 
Considerando-se a utilização de fiação de 10 mm2 e uma distância de 100 m entre o 
TC e a sala de controle, por exemplo, temos para o caminho de ida: 
ZcargadoTCdevido_fiação = 
Scobre
.cobre
 x ℓ 
ρcobre = 1 / 58,82 Ω.mm2/m 
ZcargadoTCdevido_fiação = 
10
82,58
1
 x (2 x 100) = 0,34 Ω 
 
Figura 2-14 - Burden da Cablagem 
Como se pode observar no exemplo anterior, a impedância da cablagem continua a merecer 
as devidas considerações para a especificação de TC´s de proteção. 
Normalmente os TC´s estão instalados na subestação e podem estar a uma distância 
considerável da sala de controle onde estão instalados os relés de proteção. Neste caso, a 
carga representada pela impedância dos cabos deve ser considerada no carregamento do 
TC. 
Carga a considerar devido à carga: 
Tipo de Falta Z cabo Considerar 
Z relé 
Eletromecânico 
Z relé Digital 
Trifásica Ida Relé de Fase O relé digital 
Bifásica Ida e Volta 
Depende da 
Quantidade de relés 
O relé digital 
Fase-Terra Ida e Volta 
Relé de fase e de 
terra 
O relé digital 
 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 25 de 58
 
2.9 TABELA COMPARATIVA DE CARGA (“BURDEN”) SEGUNDO NORMAS 
ABNT ANSI IEC 
Características a 5 A, 60 Hz 
Potência (VA) Impedância (Ω ) Fat. Potência
C2,5 B-0.1 2,5 VA 2,5 0,1 0,90 
C5,0 B-0.2 5 VA 5,0 0,2 0,90 
C12,5 B-0.5 12,5 VA 12,5 0,5 0,90 
C22,5 B-0.9 22,5 VA 22,5 0,9 0,90 
C45 - - 45 1,8 0,90 
C90 - - 90 3,6 0,90 
C25 B-1 25 VA 25 1,0 0,50 
C50 B-2 50VA 50 2,0 0,50 
C100 B-4 100 VA 100 4,0 0,50 
C200 B-8 200 VA 200 8,0 0,50 
 
 
2.10 TABELA COMPARATIVA DE CLASSE EXATIDÃO SEGUNDO ANSI E IEC PARA 
PROTEÇÃO 
ANSI IEC 
C100 25 VA 10P20 
C200 50 VA 10P20 
C400 100 VA 10P20 
C800 200 VA 10P20 
 
Exemplo: C200 significa: núcleo de baixa reatância, 200 V em seus terminais para uma 
corrente de 100 A (20 x 5A), o que corresponde a uma carga de 2 Ω. Para uma corrente de 
5A, equivale a uma potência de 50 VA e erro menor que 10% para uma corrente secundária 
de até 100 A. 
 
Apesar de não existir uma equivalência direta entre as especificações das normas ANSI e 
IEC, pode se considerar que C200 é similar a 50 VA 10P20 para uma corrente secundária de 
5 A. 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 26 de 58
 
2.11 DEFINIÇÃO DE JOELHO (KNEE POINT) DA CURVA DE MAGNETIZAÇÃO DO NÚCLEO 
DO TC 
Há diferença entre o “knee point” da Norma ANSI e o “knee point” da Norma IEC. As figuras a 
seguir mostram essa diferença. 
 
V knee 
point
N.Imag
V knee 
point
N.Imag
45o
IEC
V joelho �V saturação
ANSI
V joelho � 0,5 x V saturação
 
 
Deve-se lembrar que as escalas desta curva de saturação são do tipo “log x log”. 
Por exemplo dado um TC C400 (Norma ANSI, 400 V), a tensão do joelho segundo ANSI 
estará em torno de 200 V . 
Para um TC 100VA10P20 (equivalente IEC), a tensão de joelho IEC é cerca de 200 V (100 
VA  4 ohms  4 ohms x 100 A = 400 V). 
2.12 BURDEN NOMINAL 
Dado, por exemplo, um TC C400 na norma ANSI, de relações 2000 / 1000 / 500 – 5 – 5 A, 
entende-se que o Burden Nominal é 400/ (20 x 5) = 4 ohms. 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 27 de 58
 
É importante lembrar que esse burden é válido para o tap máximo num TC multi-tap. Nos taps 
inferiores, o burden nominal cai proporcionalmente. 
Assim sendo, o TC acima, no TAP 1000 – 5 A terá burden nominal: 
Burden = 4 ohms x (1000 / 2000) = 2 ohms. 
Caso o burden seja o mesmo para todos os taps, a placa do TC indicará esse aspecto 
específico. Caso contrário, a proporção mostrada deve, sempre, ser considerada. 
 
Figura 2-15 – A tensão de saturação depende do tap 
3. REQUISITOS DE TC’s PARA PROTEÇÃO CONSIDERADOS POR NORMA OU ALGUNS 
FABRICANTES DE RELÉS 
3.1 Requisito Genérico considerando Saturação de TC com Corrente Assimétrica 
Na realidade o requisito de tensão de saturação mostrado até aqui leva em consideração 
apenas a corrente simétrica de curto-circuito, isto é, a corrente sem o deslocamento de eixo 
(componente DC). 
Entretanto, sabe-se que qualquer curto-circuito no sistema está sujeito a deslocamento de 
eixo, isto é, aparecimento da componente DC (exponencial) sobreposta à corrente simétrica 
de curto-circuito em uma ou mais fases, dependendo do tipo de falta. Essa componente DC 
depende, na sua duração, da constante de tempo 
R
L
 do sistema no ponto de curto-
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 28 de 58
 
circuito, ou seja da relação X/R pois 

 1
.
.
R
X
R
L
 . Isto é, quanto maior o X/R maior a 
constante de tempo. 
O TC ao transformar a componente DC exponencial do valor primário para o valor 
secundário, tem que desenvolver um Fluxo Magnético Exponencial (Fluxo DC), que é tanto 
maior quanto maior a constante de tempo 
R
L
 . E esse fluxo DC adicionado ao fluxo AC da 
corrente de falta simétrica, pode elevar de muitas vezes o valor de fluxo no núcleo do TC, 
podendo se chegar à saturação. 
Assim sendo, pode-se considerar que a componente DC da corrente de curto-circuito é o 
maior causador de saturação de TC, principalmente em locais de alto valor X/R (por exemplo 
sistema de extra alta tensão próximo a usinas). 
Assim sendo, a norma ANSI e alguns fabricantes de proteção indicam a seguinte expressão 
para especificação de TC para proteção, para evitar a saturação por componente 
exponencial: 
Zburden
Zconec
In
If
R
X
..120 




  
X/R = tangente do ângulo de curto-circuito 
If = corrente de curto-circuito (valor simétrico) – valor primário em A 
In = corrente nominal do tap conectado do TC – valor primário em A 
Zconec = Carga conectada (cabo ida e volta + relé) em ohms 
Zburden = Burden Nominal do TC em ohms 
Exemplo: 
TC de 1200 / 800 / 400 – 5 A de um Reator Shunt Monofásico de 75 MVAr a 500 / 3 kV 
Precisão C400 
Carga conectada: 0,5 ohm de cabo + 0,02 ohms de relé digital 
Corrente de curto circuito simétrico máximo no local = 12000 A 
Ângulo de curto-circuito 80 graus. 
I nominal Reator = 75000000 / 288683 = 260 A 
Pode-se usar tap 400 – 5 A (maior que 260 A) ? 
Análise: 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 29 de 58
 
X/R = tg 80 = 5,67 
Carga conectada = 0,5 + 0,5 + 0,02 = 1,02 ohm (o relé é desprezível) 
Burden = 400 / (20 x 5) = 4 ohms no tap 1200 
Burden = 4 x (400/1200) = 1,33 ohms no tap 400 – 5 A 





 
33,1
02,1
.
400
12000
).67,51(..1
Zburden
Zconec
In
If
R
X
153,4 >>>> 20 
Não se pode usar 400-5 A 
Para tap 800-5, burden nominal será Burden = 4 x (800/1200) = 2,67 ohms 





 
67,2
02,1
.
800
12000
).67,51(..1
Zburden
Zconec
In
If
R
X
38,22 >> 20 
Não se pode usar 800-5 A 
Para tap 1200-5, burden nominal será 4 ohms 





 
4
02,1
.
1200
12000
).67,51(..1
Zburden
Zconec
In
If
R
X
17 
Deve-se utilizar 1200-5 A 
3.2 Aplicação em Proteção Diferencial de Alta Impedância 
Todos os transformadores de corrente precisam ter a mesma relação de transformação e 
aproximadamente a mesma tensão de saturação. Isso normalmente acontece quando têm o 
mesmo projeto de fabricação e dados nominais idênticos. Se a tensão de saturação não for 
fornecida, ela pode ser calculada de maneira aproximada utilizando-se os dados nominais do 
TC conforme segue: 
UKPV = 









I
PR
N
N
j 2
 . ALF . IN 
onde: 
UKPV = tensão de saturação do TC 
Rj = burden interno do TC 
PN = potência nominal do TC 
IN = corrente secundária nominal do TC 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadoresde Corrente 30 de 58
 
ALF = fator de limite de precisão nominal do TC (fator de sobrecorrente) 
A corrente nominal, potência nominal e o fator de sobrecorrente são normalmente dados de 
placa do TC. 
Exemplo: TC 800/5; 30 VA 5P10 
Significa: 
IN = 5 A (de 800/5) 
ALF = 10 (de 5P10) 
PN = 30 VA 
O burden interno é muitas vezes fornecido em relatórios de ensaios do TC. Caso contrário, 
poderá ser obtido através da medição DC do enrolamento secundário. 
Exemplos de cálculo: 
TC 800/5; 5P10; 30 VA com Rj = 0,3 Ω 
UKPV = 









I
PR
N
N
j 2
 . ALF . IN = 
  










A
VA
5
30
3,0
2
 . 10 . 5A = 75 V 
ou 
TC 800/1; 5P10; 30VA com Rj = 5 Ω 
UKPV = 









I
PR
N
N
j 2
 . ALF . IN = 
  










A
VA
1
30
5
2
 . 10 . 1A = 350 V 
Além dos dados do TC, deve ser conhecida a resistência da cablagem mais longa entre os 
TC´s e o relé. 
3.3 Aplicação para uso com relés com Detecção de Saturação de TC 
Alguns relés possuem um detector de saturação que elimina em grande parte, os erros de 
medição resultantes da saturação dos TC´s. Um valor de corrente I-sat.TC acima do qual 
pode ocorrer a saturação deve ser ajustado para que o detector de saturação opere. 
Assim, para o caso de uma eventual saturação do TC, a seguinte equação pode ser usada 
como regra geral para o cálculo desse ajuste: 
I-sat.TC = 
 N
n
1
´
 . Inom 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 31 de 58
 
Onde 
n´ = n . 
PP
PP
j
iN


´
 = fator de sobrecorrente atual = (fator limite de exatidão) 
PN = burden nominal do TC [VA] 
Pi = burden interno do TC [VA] 
P´ = burden atual conectado (proteção + cablagem) 
 = 2  f = freqüência do sistema 
 N
 = constante de tempo do sistema 
Na escolha do TC para o terminal em análise precisa-se avaliar, então, os seguintes 
aspectos: 
 
a) Constante de tempo do Sistema no local de aplicação do TC. Esse valor pode ser 
calculado através dos valores de R e X em pu da impedância total (Thevenin) de curto-
circuito trifásico no local. 
 
 N
 = L/R = X / .R 
 
b) Seria desejável, para o TC aplicado, que a corrente calculada I-sat.TC seja maior do que 
a corrente máxima de curto-circuito (seja trifásico ou fase-terra, valendo a corrente da 
fase). Entretanto, mesmo que menor, as modernas proteções digitais permitem ajustar o 
valor de I-sat.TC para que, a partir dessa corrente a proteção utilize recursos para evitar 
problemas com a saturação. 
 
Nota-se que esta expressão leva em consideração a componente exponencial DC da 
corrente de curto-circuito através de X/R. 
 
No caso, ele determina quantas vezes a corrente nominal do TC será o curto-circuito que irá 
saturar o TC. 
3.4 Requisitos de Acordo com a Característica de Remanência do TC 
O desempenho de um terminal de proteção dependerá das condições e qualidade dos sinais 
de corrente injetada nele. O sinal de saída do TC pode ser distorcido pela saturação. 
Para garantir a estabilidade de uma proteção diferencial de barras de baixa impedância, por 
exemplo, o TC precisa ser capaz de reproduzir corretamente a corrente por um tempo 
mínimo antes que o TC inicie a saturação. Para atender ao requisito de saturar em um 
especificado tempo, o TC precisa atender aos requisitos da força eletromotriz secundária 
mínima conforme comentários a seguir. 
Remanência em TC 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 32 de 58
 
TC´s de núcleo magnético convencional são usualmente especificados e construídos de 
acordo com alguma norma nacional ou internacional, que especifica diferentes classes de 
proteção. Geralmente há três grupos diferentes de TC´s: 
 TC com alta remanência 
 TC com baixa remanência 
 TC sem nenhuma remanência 
O TC do tipo alta remanência. Esse TC tem um núcleo magnético sem qualquer entreferro e 
assim, um fluxo magnético pode permanecer por um tempo elevado. Nesses tipos de TC´s, o 
fluxo remanente pode ser de 70 – 80% do fluxo de saturação. 
O TC do tipo baixa remanência tem um limite especificado para o fluxo remanente. Esse TC 
é feito com um pequeno entreferro para reduzir o fluxo remanente de forma que não exceda 
10% do fluxo de saturação. Esse pequeno entreferro tem somente uma influência muito 
limitada sobre outras propriedades do TC. 
O TC do tipo sem remanência tem, praticamente, um nível de fluxo remanente desprezível. 
Esse tipo de TC tem relativamente um grande entreferro de forma a reduzir a praticamente a 
zero o nível de fluxo remanente. Ao mesmo tempo, esses entreferros minimizam a influência 
da componente DC das correntes primárias de falta. Os entreferros reduzirão, entretanto, a 
precisão da medição na região não saturada de operação. 
Força Eletromotriz Secundária Mínima 
Para se ter um tempo mínimo antes do início da saturação do TC, a força eletro-motriz 
secundária Ea1 precisa ser maior ou igual a força eletro-motriz secundária Ealreq requerida. 
Isso é usado para especificar os requisitos de TC para Proteção, segundo a norma IEC 
60044-6. 
O TC pode ser do tipo alta remanência ou baixa remanência e eles podem ser usados juntos 
dentro de uma zona de proteção. Cada um deles deve ter um Ea1, conforme tabela abaixo. 
Tipo de TC Requisito 
Alta remanência Ea1 > Ealreq = 0,5 . Ifmax . (Isn / Ipn) . (Rct + 2 . Rl + Zb) 
Baixa remanência Ea1 > Ealreq = 0,2 . Ifmax . (Isn / Ipn) . (Rct + 2 . Rl + Zb) 
Nenhuma remanência 
(maior erro de precisão) 
Ea1 > Ealreq = 0,2 . Ifmax . (Isn / Ipn) . (Rct + 2 . Rl + Zb) 
 
 Ifmax = valor RMS simétrico da máxima corrente primária de falta na barra 
 Ipn = Corrente nominal primária do TC 
 Isn = Corrente nominal secundária do TC 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 33 de 58
 
 Rct = Resistência do secundário do TC 
 Rl = Resistência da fiação entre o relé e o TC 
 Zb = Burden de todos os relés ligados ao TC 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 34 de 58
 
Roteiro para TC´s especificados de acordo com outra norma 
Todos os tipos de TC´s com núcleo magnético convencional podem ser usados, se eles 
atenderem aos requisitos correspondentes aos acima especificados de acordo com a norma 
IEC. Das diferentes normas e dados disponíveis para aplicação em relés é possível calcular 
aproximadamente, a força eletro-motriz secundária do TC. É então possível, compara-la com 
a força eletro-motriz secundária nominal equivalente Ea1 e verificar se o TC atende aos 
requisitos. 
Para um TC fabricado de acordo com a ANSI/IEEE é possível se fazer uma comparação 
aproximada. 
Por exemplo, um TC de classe C tem uma especificada tensão do terminal secundário UANSI. 
Há valores padronizados de UANSI (por exemplo, para C400, UANSI = 400 V). O limite do 
equivalente nominal da força eletro-motriz secundária Ea1ANSI para um TC especificado de 
acordo com ANSI/IEEE pode ser estimado aproximadamente como: 
 UANSI = | 20 . Isn . Rct + UANSI | = | 20 . Isn . Rct + 20 . Isn . ZbANSI | 
onde 
ZbANSI = a impedância (na forma complexa) do burden normalizado pela ANSI, para a 
classe C específica. 
 UANSI = a tensão do terminal secundário para a classe C específica 
Portanto, os requisitos do TC são atendidos se: 
Ea1ANSI > Ealreq = 0,5 . Ifmax . (Isn / Ipn) . (Rct + 2 . Rl + Zb) 
Caso se use a tensão de joelho UkneeANSI , pode-se usar a fórmula: 
Ea1ANSI ≈ 1,3 . UkneeANSI > Ealreq = 0,5 . Ifmax . (Isn / Ipn) . (Rct + 2 . Rl + Zb) 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 35 de 58
 
 
4. SATURAÇÃO DE TC E A REMANÊNCIA 
4.1 SATURAÇÃO 
Diz-se que um TC está saturado quando a Densidade de Fluxo (B) no seu núcleo encontra-se 
no máximo, não se conseguindo desenvolver a Densidade desejada para as condições do 
momento. 
A densidade máxima de fluxo se atinge em condição de: 
 CorrenteAlternada, de modo que 
O fluxo AC desenvolvido depende de: I x Z = Vsec > Vs max. 
Vs máx. é a tensão de saturação do núcleo (por ex. 400 V num TC ANSI 10C400 de 5 A). 
Vsec é a tensão desenvolvida pela corrente sobre o Burden Z conectado no TC. 
 Componente DC da corrente 
Que produz um fluxo DC no núcleo que se sobrepõe ao fluxo AC. 
O valor máximo desse fluxo DC pode chegar a X/R superior ao fluxo AC. 
X/R = tg (Ângulo da corrente de CC que passa pelo TC). Por exemplo X/R = 28,6 para 
88º. 
Esta parcela pode então ter influência significativa. 
A figura a seguir mostra o fluxo resultante: 
 
Figura 4-1 – Densidade de Fluxo num TC, devido componente DC da corrente 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 36 de 58
 
 
4.2 REMANÊNCIA NO NÚCLEO DO TC 
Remanência ou Magnetização Residual no núcleo do TC é causada por faltas (correntes com 
componentes DC) e podem chegar a 80% do nível de saturação da Densidade do Fluxo 
desse TC, dependendo do tipo do núcleo e das condições de fluxo no momento da 
interrupção da corrente pelo TC. 
Pode ser causa também por qualquer ensaio que exija circulação de corrente contínua pelo 
enrolamento do TC (por exemplo, medida da resistência secundária por ponte resistiva ou 
multímetro, ou ensaio de continuidade). 
Uma vez estabelecida, essa remanência permanece até a próxima ocorrência de falta de 
intensidade através do TC. 
A figura a seguir mostra TC tipo toroidal de janela, barra ou bucha, com alto grau de 
remanência, caso construído com núcleo sem entreferro: 
 
Figura 4-2 – TC toroidal de janela, barra ou de bucha 
A figura a seguir mostra o gráfico B-H de histerese de um TC. Os pontos que cruzam o eixo 
vertical mostram a máxima remanência possível: 
 
Figura 4-3 – Curva de Histerese de um TC 
O nível de remanência é medido como % entre o Brmax e o Bmax: 
Kr = 100 x (Br/Bmax) 
 
 
 
TRANSFORMADORES DE INSTRUMENTOS Transformadores de Corrente 37 de 58
 
Bmax é o máximo fluxo desenvolvido no TC. 
Br é o máximo de fluxo residual possível. 
O Kr pode ser reduzido utilizando núcleo com entreferro. 
NORMA IEC 
Estabelece TC’s do tipo TPZ ou TPY como aqueles com ENTREFERRO, com Kr0,6 Classe 0,3
 
Figura 5-2 - Limites das Classes de Exatidão 0,3 - 0,6 - 1,2 em TP 
5.2.3 Fator de Sobretensão. 
A ABNT, pela sua NBR 6855, prevê os seguintes fatores de sobretensão, conforme o grupo 
de ligação: 
Grupo de Ligação 
Fator de Sobretensão 
Contínuo 30 segundos 
1 - TP´s projetados para a ligação entre fases. 1,15 1,15 
2 - TP´s projetados para a ligação entre fase e terra 
de sistemas eficazmente aterrados. 1,15 1,5 
3 - TP´s projetados para ligação entre fase e terra de 
sistemas onde não se garante a eficácia do 
aterramento (*) 
1,9 1,9 
 (*) Este fator de sobretensão torna-se necessário, em virtude de que este nível de tensão 
pode ocorrer em um sistema trifásico não aterrado, durante faltas de fase para terra. Por 
não ser possível definir a duração de tais faltas, esta condição deve ser considerada como 
regime contínuo. Embora a especificação exija que os TP´s pertencentes ao grupo de 
ligação 3 sejam capazes de suportar em regime contínuo tal condição, isto não significa 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 44 de 58
 
que eles possam ser instalados em circuitos cuja tensão nominal exceda 115% da tensão 
primária nominal do TP. 
5.2.4 Potência Térmica Nominal. 
É a máxima potência aparente que o TP pode fornecer em regime permanente sem 
exceder os limites de elevação de temperatura especificados pela sua isolação. 
A NBR 6855 define no seu item 5.1.8 que “a potência térmica nominal mínima, em VA, 
deve ser igual ao produto do quadrado do fator de sobretensão contínuo pela maior carga 
nominal especificada, ou carga simultânea, para TP com dois ou mais secundários, nos 
quais a potência térmica é distribuída pelos secundários proporcionalmente à maior carga 
nominal de cada um deles”. 
5.3 IDENTIFICAÇÃO DOS TERMINAIS 
Os terminais devem ser identificados usando marcas de polaridade e uma letra (H - para o 
terminal do enrolamento primário e X - para terminal do enrolamento secundário) e 
algarismos em cada terminal. 
Os algarismos, dispostos conforme a série natural dos números inteiros, são usados como 
especificados a seguir: 
- quando antes da letra, o algarismo indica o número do enrolamento primário ou 
secundário, ou as diferentes fases nos conjuntos de medição; 
- quando depois da letra, o mais baixo e o mais alto algarismo da série indicam o 
enrolamento completo, e os intermediários indicam as derivações em sua 
ordem relativa. 
Exemplos de identificação de terminais estão mostrados na figura seguinte: 
Transformador de Potencial Indutivo 
Denominação Esquema 
De relação única 
H1 H2
X1 X2 
De relação dupla, com primário em duas 
seções, destinadas à ligação série-paralelo 
H1 H3
X1 X2
H2 H4
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 45 de 58
 
 
 
De duas relações, com derivações no 
primário 
H1 H3
X1 X2
H2
 
De duas relações, com derivações no 
secundário 
X1 X3
H1 H2
X2 
De dois enrolamentos secundários 
1X1 1X2
H1 H2
2X1 2X2 
 
5.4 TABELA COMPARATIVA DE CARGA (“BURDEN”) SEGUNDO ALGUMAS NORMAS 
ABNT ANSI IEC CARGA NOMINAL (VA) 
P12,5 W 12,5 12,5 
P25 X 25,0 25 
- M 35,0 35 
P50 - - 50 
- Y 75,0 75 
P100 - - 100 
P200 Z 200 200 
P400 ZZ 400 400 
- ZZZ - 800 
 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 46 de 58
 
6. DIVISORES CAPACITIVOS DE POTENCIAL 
No sistema elétrico com tensões elevadas, a utilização do TP indutivo fica construtivamente 
proibitivo devido à classe de isolação, que o torna muito grande e pesado e 
conseqüentemente, caro. 
Em sistemas com tensões acima de 138 kV, o divisor capacitivo de potencial está sendo cada 
vez mais usado, principalmente por ser confiável em serviço e ter baixo custo em relação aos 
TP´s convencionais além de possibilitar seu uso como um elemento de conexão em sistemas 
de frequência de carrier. 
Um divisor capacitivo de potencial (DCP) pode ser definido como um projeto de um 
transformador de potencial onde um divisor de tensão capacitivo tem seus terminais extremos 
conectados à tensão a ser reproduzida e um transformador de potencial intermediário 
magnético, cuja finalidade é ter enrolamento primário conectado a “taps” do divisor capacitivo 
de tensão. O divisor capacitivo de potencial e o enrolamento primário do transformador 
intermediário têm um ponto comum conectado a terra. 
V
Tensão Primária
Transformador
Intermediário
V2 Tensão Secundária
Divisor
de Tensão
Capacitivo 
Figura 6-1 - Divisor Capacitivo de Potencial 
6.1 DIVISOR CAPACITIVO EM VAZIO 
Como mostrado na figura a seguir, o divisor de tensão capacitivo é constituído por dois 
capacitores de capacitância Ca e Cb conectados em série com suas perdas representadas 
pelas resistências série Ra e Rb, respectivamente. O divisor de potencial é alimentado por 
uma fonte de tensão alternada V. 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 47 de 58
 
V
Cb
Rb
Ca
Ra
V1 =
Za
Za + Zb
Ia
Zb
Za
V
 
Figura 6-2 - Divisor de Tensão Capacitivo em Vazio 
A relação entre a tensão V1 no último capacitor e a tensão primária V pode ser dada pela 
equação: 
V1 =
ZZ
Z
ba
a

 x V 
6.2 DIVISOR CAPACITIVO COM CARGA 
A figura a seguir mostra o divisor de tensão com uma carga de impedância Z pela qual circula 
a corrente I. A relação entre a tensão de saída V2 e a tensão primária V pode ser determinada 
pela equação: 
V2 =
ZZ
Z
ba
a

 V - 
ZZ
Z.Z
ba
ba

 I 
V
Cb
Rb
Ca
Ra
I + Ia
Zb
Za
 Ia
 I
V2 Z
 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 48 de 58
 
Figura 6-3 - Divisor de Tensão Capacitivo com Carga 
Mas 
ZZ
Z
ba
a

 V = V1 (Divisor de tensão em vazio) 
Logo, 
V2 = V1 - 
ZZ
Z.Z
ba
ba

 I 
A equação acima pode ser representada pelo diagrama equivalente da figura seguinte: 
V1
Cb
Rb
Ca
Ra
Zb
Za
 I
V2 Z
 
Figura 6-4 - Circuito Equivalente 
Admitindo-se que Za e Zb têm ângulos iguais, a capacitância equivalente Ce na figura 
seguinte é a soma das capacitâncias componentes Ca e Cb 
V1
Ce
Re
Ze
 I
V2
Z
 
Figura 6-5 - Circuito Equivalente Simplificado 
A tensão V1 é a tensão sem carga, determinada somente pelas capacitâncias Ca e Cb. 
V1 = 
CC
C
ba
b

 . V 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 49 de 58
 
Assim, a equação V2 =
ZZ
Z
ba
a

 V - 
ZZ
Z.Z
ba
ba

 I 
pode ser escrita na forma: 
V2 = V1 - Ze . I 
A figura seguinte mostra o diagrama fasorial do circuito. Na prática, as perdas nos 
capacitores são muito pequenas e podem ser desprezadas (o ângulo de fase para a 
impedância Za e Zb é muito próximo de 90o, desviando desse valor por cerca de 10 
minutos). Portanto, a queda de tensão Ze.I será puramente capacitiva. Se a carga tem um 
ângulo de fase indutivo, o que ocorre normalmente, verificamos que a tensão V2 aumenta 
com a corrente de carga I e está adiantada da tensão primária V de um ângulo  . 

 I
V
V1
V2
Ze I
 
Figura 6-6 - Diagrama Fasorial 
6.3 DIVISOR CAPACITIVO COMPENSADO 
O efeito que a queda de tensão Ze.I capacitiva tem sobre a tensão V2 pode ser compensada 
inserindo-se em série com a carga, uma bobina de indutância L e resistência RL, tal que a 
queda de tensão LI seja numericamente igual a Ze.I, como mostrado na figura a seguir: 
V
V2 Z
Cb
Ca
RLL
 
Figura 6-7 - Divisor de Tensão Capacitivo Compensado 
LI = 
C
1
e
 
 
 
 
TRANSFORMADORES PARA INSTRUMENTOS Transformadores de Potencial 50 de 58
 
As variações de V2 podem agora ser limitados a queda de tensão em RL que é função 
direta da corrente de carga. Ver figuras seguintes: 
V1 V2 Z
Ce
Ze
RLL
 
Figura 6-8 - Circuito Equivalente 
I
VR I
V1
V2
LI


Ce
I
 
Figura 6-9 - Diagrama Fasorial 
6.4 PRINCÍNPIO 
Com a ajuda de um transformador de potencial conectado, como mostrado na figura a seguir, 
a carga secundária é tirada do divisor de tensão capacitivo