Simplificação de Expressões

Prévia do material em texto

Simplificação de expressões 
Prof.a Dra. Carolina Davanzzo Gomes dos Santos 
Email: profcarolinadgs@gmail.com 
Página: profcarolinadgs.webnode.com.br 
Disciplina:	
  Circuitos	
  Digitais	
  
SIMPLIFICAÇÃO	
  DE	
  EXPRESSÕES	
  
à 	
  Circuitos	
  lógicos	
  correspondem	
  a	
  equações	
  booleanas,	
  que	
  
são	
  extraídas	
  da	
  tabela-­‐verdade.	
  
à  	
   Construção	
   de	
   circuitos	
   lógicos	
   através	
   de	
   expressões	
  
booleanas	
  é	
  complexo.	
  
à 	
   Pode	
   ser	
   simplificado,	
   reduzindo	
   o	
   custo	
   diminuindo	
   a	
  
quantidade	
  de	
  blocos	
  lógicos.	
  
Relembrando.... Postulados 
Postulado	
  da	
  Complementação	
  
1º)	
  	
  Se	
  
2º)	
  	
  Se	
  
10 =→= AA
01 =→= AA
Identidade	
   AA =
Se	
   1=A ,	
  temos:	
   0=A e	
  se	
   10 =→= AA
Se	
   0=A ,	
  temos:	
   1=A e	
  se	
   01 =→= AA
Relembrando.... Postulados 
Postulado	
  da	
  Adição	
  
1º) 0 + 0 = 0 
2º) 0 + 1 = 1 
3º) 1 + 0 = 1 
4º) 1 + 1 = 1 
Identidades:	
  
AA =+ 0
1011
0000
=+→=
=+→=
A
A
11=+A
1111
1100
=+→=
=+→=
A
A
AAA =+
1111
0000
=+→=
=+→=
A
A
1=+ AA
1011
1100
=+→=
=+→=
A
A
Relembrando.... Postulados 
Postulado	
  da	
  Multiplição	
  
1º) 0 . 0 = 0 
2º) 0 . 1 = 0 
3º) 1 . 0 = 0 
4º) 1 . 1 = 1 
Identidades:	
  
00 =⋅A
0011
0000
=⋅→=
=⋅→=
A
A
AA =⋅1
1111
0100
=⋅→=
=⋅→=
A
A
AAA =⋅
1111
0000
=⋅→=
=⋅→=
A
A
0=⋅AA
0011
0100
=⋅→=
=⋅→=
A
A
Relembrando.... Propriedades 
Propriedade	
  Comutativa	
  
ABBAçãoMultiplica
ABBAAdição
⋅=⋅→
+=+→
Propriedade	
  Associativa	
  
( ) ( )
( ) ( ) CBACBACBAçãoMultiplica
CBACBACBAAdição
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅→
++=++=++→
Relembrando.... Propriedades 
Propriedade	
  Distributivva	
  
( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅
A B C A(B+C) AB+AC 
0 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 
0 1 0 0 0 
0 1 1 0 0 
1 0 0 0 0 
1 0 1 1 1 
1 1 0 1 1 
1 1 1 1 1 
Teoremas	
  de	
  Morgan	
  
à	
  São	
  empregados	
  para	
  simplificar	
  as	
  expressões	
  algébricas	
  
booleanas.	
  
Teorema	
  1	
  
O	
  complemento	
  do	
  produto	
  é	
  igual	
  à	
  soma	
  dos	
  complementos:	
  
( ) BABA +=.
A B 
0 0 1 1 
0 1 1 1 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
BA. BA+
Representação	
  por	
  blocos	
  lógicos:	
  
Teorema	
  1	
  
Teorema	
  2	
  
O	
  complemento	
  da	
  soma	
  é	
  igual	
  ao	
  produto	
  dos	
  
complementos.	
   BABA .=+
Como	
  este	
  teorema	
  é	
  uma	
  extensão	
  do	
  primeiro:	
  
A	
  aplicação	
  deste	
  teorema	
  é	
  demonstrada	
  pela	
  equivalência	
  
entre	
  blocos	
  lógicos:	
  	
  
Identidades Auxiliares 
ABAA =⋅+
Para	
  prová-­‐la	
  utilizamos	
  a	
  propriedade	
  distributiva,	
  evidenciando	
  A	
  
( ) ABA =+⋅ 1
Do	
  postulado	
  da	
  soma	
  temos:	
  	
  1+B =1 
ABAA
AA
=⋅+
∴
=⋅1
Identidades Auxiliares 
( ) ( ) CBACABA ⋅+=+⋅+
( ) ( )
( )
( ) ( ) CBACABA
AAeXsIdentidadeCBA
vadistributiopriedadeCBCBA
AAAopriedadeCBBACAA
vadistributiopriedadeCBBACAAA
CABA
⋅+=+⋅+∴
=⋅=+→⋅+⋅=
→⋅+++⋅=
=⋅→⋅+⋅+⋅+=
→⋅+⋅+⋅+⋅=
+⋅+
1__11_:1
_Pr1
_Pr
_Pr
Provando	
  a	
  identidade:	
  
Identidades Auxiliares 
BABAA +=+ Provando	
  a	
  identidade:	
  
( )
( )[ ]
( )
( )
( )
( ) BABAA
BA
BA
BAAA
BAA
BAA
BAABAA
+=+∴
+=
⋅=
⋅+⋅=
+⋅=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=+ à	
  Identidade:	
  
à	
  2º	
  Teorema	
  de	
  Morgan:	
  
à	
  1º	
  Teorema	
  de	
  Morgan	
  aplicado	
  no	
  parênteses	
  
à	
  Propriedade	
  Distributiva	
  e	
  identidade:	
  
à	
  1º	
  Teorema	
  de	
  Morgan	
  
XX =
( ) YXYX +=.
( ) YXYX ⋅=+
0=⋅AA
Quadro	
  	
  
Resumo	
  
Simplificação de Expressões Booleanas 
Exemplo	
  1:	
   BACAABCS ++=
Primeiramente,	
  envidenciamos	
  o	
  termo	
  A:	
  
( )BCBCAS ++=
Agora,	
  aplica-­‐se	
  a	
  propriedade	
  associativa:	
  	
  
( )[ ]BCBCAS ++=
Aplica-­‐se	
  a	
  identidade:	
  
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++= BCBCAS
XX =
Aplica-­‐se	
  o	
  Teorema	
  de	
  Morgan	
  
( )[ ]BCBCAS +=
Chamando	
  BC	
  de	
  Y,	
  logo	
  ( ) YBC =
( )YYAS +=
1=+YYComo	
   ,	
  logo:	
  	
  
AS
AAS
=
∴
=⋅= 1
Simplificação de Expressões Booleanas 
Exemplo	
  2:	
   CBACBACBAS ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Tirando	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  em	
  evidencia	
  nos	
  dois	
  primeiros	
  termos:	
  CA⋅
( ) CBABBCAS ⋅⋅++⋅⋅=
Aplicando	
  a	
  identidade:	
  	
   1=+ BB
( )
CBACAS
CBACAS
⋅⋅+⋅=
⋅⋅+⋅⋅= 1
Generalizando:	
  
Expressão	
  booleana	
  de	
  termos	
  mínimos	
  à	
  resulta	
  da	
  soma	
  
de	
  produtos.	
  	
  
	
  
Expressão	
  booleana	
  de	
  termos	
  máximos	
  à	
  resulta	
  do	
  
produto	
  das	
  somas.	
  
Equações	
  lógicas	
  
Projeto	
  à	
  tabela	
  verdade	
  	
  à	
  expressão	
  booleana	
  do	
  circuito	
  
digital	
  
Expressão	
  booleana	
  de	
  soma	
  de	
  produtos	
  
A	
  expressão	
  booleana	
  	
  
constitui-­‐se	
  num	
  circuito	
  de	
  portas	
  lógicas	
  E-­‐OU	
  
A.B	
  
A.B	
  
A.B	
  +	
  A.B	
  
Assim	
  para	
  a	
  elaboração	
  de	
  um	
  projeto	
  lógico,	
  deve-­‐se:	
  
	
  
•	
  Construir	
  a	
  tabela-­‐verdade;	
  
	
  
•	
  Determinar	
  a	
  partir	
  da	
  tabela-­‐verdade,	
  a	
  expressão	
  booleana	
  
de	
  termos	
  mínimos	
  (soma	
  de	
  produtos);	
  
	
  
•	
   A	
   partir	
   da	
   expressão	
   booleana	
   de	
   termos	
   mínimos,	
  
esquematizar	
  o	
  circuito	
  lógico.	
  
Receita	
  –	
  exemplo	
  soma	
  de	
  produtos	
  
As	
  expressões	
  booleanas	
  podem	
  ser	
  tiradas	
  de	
  duas	
  maneiras:	
  
	
  
•	
   A	
   partir	
   dos	
   uns	
   de	
   saída	
   (termos	
   mínimos	
   ou	
   soma	
   de	
  
produtos).	
  
	
  
•	
  A	
  partir	
  dos	
  zeros	
  (termos	
  máximos	
  ou	
  produto	
  da	
  soma).	
  
	
  
à	
   Contudo,	
   antes	
   de	
   extrair	
   a	
   expressão	
   booleana	
   de	
   uma	
  
tabela-­‐verdade,	
   convém	
   verificar	
   que	
   método	
   oferece	
   maior	
  
facilidade:	
  tirar	
  a	
  expressão	
  pelos	
  uns	
  ou	
  pelos	
  zeros.	
  
à	
  Na	
  tabela-­‐verdade	
  abaixo,	
  é	
  mais	
  fácil	
  extrair	
  a	
  expressão	
  
booleana	
  pelos	
  zeros	
  (termos	
  máximos	
  ou	
  produto	
  da	
  soma),	
  
pois	
  pelos	
  uns	
  a	
  expressão	
  booleana	
  seria	
  mais	
  longa	
  e	
  mais	
  
complexa.	
  
Submetendo	
  ao	
  teorema	
  de	
  De	
  Morgan:	
  
Portanto,	
  a	
  expressão	
  booleana	
  de	
  termos	
  máximos	
  	
  
(produto	
  de	
  somas)	
  será:	
  
O	
  diagrama	
  de	
  blocos	
  OU-­‐E,	
  a	
  seguir	
  é	
  a	
  implementação	
  da	
  
expressão	
  retirada	
  da	
  tabela-­‐verdade.	
  
A	
  
B	
  
C	
  
Aplicação	
  dos	
  teoremas	
  de	
  De	
  Morgan	
  e	
  
de	
  equações	
  lógicas	
  booleanas	
  
As	
  leis	
  e	
  as	
  propriedades	
  fundamentais	
  da	
  operação	
  da	
  álgebra	
  
booleana	
  permitem	
  resolver	
  problemas	
  e	
  projetos	
  lógicos	
  em	
  
diversasáreas.	
  
Observação	
  
	
  
Lembre-­‐se	
  de	
  que	
  os	
  passos	
  a	
  serem	
  seguidos	
  para	
  resolver	
  um	
  
problema	
  lógico	
  são:	
  
	
  
•	
  A	
  elaboração	
  da	
  tabela-­‐verdade;	
  
•	
  A	
  extração	
  da	
  equação	
  lógica;	
  
•	
  A	
  execução	
  do	
  circuito	
  ou	
  diagrama	
  de	
  blocos	
  lógicos.