Lógica - Equivalências

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LÓGICA
Aula: 3 
PROFESSOR ANDRÉ ESPÍNDOLA
2015/ 2
Diferença entre os símbolos ⟷ e 
 O símbolo ⟷ representa uma operação entre
proposições, ou seja, é um operador lógico.
 O símbolo  indica uma relação entre duas
proposições dadas, está relação é denominada
de relação de equivalência lógica entre
proposições.
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Equivalência
 Significado (dicionário Michaelis)
 Que tem valor ou preço igual.
 Igual em força, intensidade ou quantidade.
 Significado (dicionário Aurélio)
 Do mesmo valor.
 Que tem valor igual (a outro).
 Que pode substituir outro produzindo os mesmos 
efeitos ou tendo igual virtude, igual significado, 
etc.
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Equivalência
 Dizemos que dois funcionários são
equivalentes quando ambos são capazes de
executar a mesma tarefa sobre as mesmas
condições.
 Dois programas de computador são
equivalentes quando ambos são capazes de
executar a mesma tarefa sobre as mesmas
condições.
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Equivalência lógica
 Duas proposições compostas P e Q são
logicamente equivalentes se e somente se
as tabelas verdades são idênticas.
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Notação
P ⇔ Q 
ou
P ≡ Q
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Exemplo
 As proposições ~~p e p são equivalentes,
pois as colunas na tabela verdade são iguais.
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p ~~ p
V V
F F
Exemplo 1
 Sejam as proposições compostas:
 P: Se o dólar baixou, então eu viajarei ao exterior.
 Q: O dólar não baixou ou eu viajarei ao exterior.
 R: Se eu não viajarei ao exterior, então o dólar não
baixou.
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Exemplo 1
 Sejam as proposições simples:
 p: O dólar baixou.
 q: Eu viajarei ao exterior.
 Rescreva as compostas na forma simbólica.
 Simbolização das proposições compostas:
 P: p → q
 Q: ¬ p ∨ q
 R: ¬ q→ ¬ p
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Exemplo 1
 Para verificar se as proposições compostas
são equivalentes vamos avaliar cada uma
delas para os seguintes valores lógicos de
das proposições simples:
 p: Verdadeira e q: Verdadeira
 p: Verdadeira e q: Falsa
 p: Falsa e q: Verdadeira
 p: Falsa e q: Falsa
 Monte a tabela verdade para avaliar.
 São Equivalentes
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Exemplo 2
 Sejam as proposições compostas:
 P: Se o dólar baixou, então eu viajarei ao exterior.
 Q: Se eu viajarei ao exterior, então o dólar baixou.
 Sejam as proposições simples:
 p: O dólar baixou.
 q: Eu viajarei ao exterior.
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Exemplo 2
 Rescreva as compostas na forma simbólica.
 Simbolização das proposições compostas:
 P: p → q
 Q: q → p
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Exemplo 2
 Para verificar se as proposições compostas
são equivalentes vamos avaliar cada uma
delas para os seguintes valores lógicos de
das proposições simples:
 p: Verdadeira e q: Verdadeira
 p: Verdadeira e q: Falsa
 p: Falsa e q: Verdadeira
 p: Falsa e q: Falsa
 Monte a tabela verdade para avaliar.
 Não são equivalentes.
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Observação:
 Uma equivalência pode ser provada de duas
maneiras:
 por tabela verdade;
 por um método dedutivo usando as equivalências 
já provadas.
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Propriedades de Equivalência Lógica
 Reflexiva: P  P
 Simétrica: Se P  Q, então Q  P
 Transitiva: Se P  Q e Q  R, então P  R
 Tem-se P  Q se e somente se a proposição 
P⟷Q é uma Tautologia
 Se P e Q são ambas tautologias ou ambas 
contradições, então P  Q
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Equivalências Notáveis - Leis
 I – Leis Indempontentes (ID)
 p ⩘ p  p
 p ⩗ p  p
 II – Leis Comutativas (COM)
 p ⩘ q  q ⩘ p
 p ⩗q  q ⩗ p
 III – Leis Associativas (ASSOC)
 (p ⩘ q) ⩘ r  p ⩘ (q ⩘ r)
 (p ⩗ q) ⩗ r  p ⩗ (q ⩗ r)
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Equivalências Notáveis - Leis
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IV – Leis Distributivas (DIST)
p ⩘ (q ⩗ r)  (p ⩘ q) ⩗(p ⩘ r)
p ⩗(q ⩘ r)  (p ⩗ q) ⩗(p ⩗ r)
Equivalências Notáveis - Leis
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V – Leis Absorção (ABS)
p ⩘ (p ⩗ q)  p
p ⩗ (p ⩘ q)  p
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Equivalências Notáveis - Leis
 VI– Leis de Morgan (DM)
 ~(p ⩘ q)  ~p ⩗ ~ q
 ~(p ⩗q)  ~p ⩘ ~ q
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Equivalências Notáveis - Leis
 VI– Condicional (COND)
 p ⟶q  ~p ⩗ q
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Equivalências Notáveis - Leis
 VIII – Contraposição (CP)
 p ⟶q  ~q⟶~p
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Equivalências Notáveis - Leis
 IX – Bicondicional (BICOND)
 p ⟷ q  (p ⟶q) ⩘ (q ⟶p)
 p ⟷ q  (p ⩘ q) ⩗ (~p ⩘ ~q)
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Equivalências Notáveis - Leis
 X – Leis de Identidade (IDENT)
Considerando T uma tautologia e C uma contradição:
p ⩘ T  p
p ⩗ C  p
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Princípio de substituição
 O valor de uma sentença não se altera quando substituímos uma de
suas partes por outra parte equivalente.
Exemplo:
Transforme cada uma seguintes fórmulas por substituição de fórmulas
equivalentes.
a) ~~p ⩗ q
b) ~(p⩘~q)
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Exercício
 Utilizando a propriedade da contraposição, reescreva as
proposições abaixo.
a) Se João é goleiro, então Téo é armador.
b) Se Goiás é um estado, então Goiânia é sua capital.
DICA!!! Antes de reescrever passe as proposições para Linguagem
Simbólica.
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Exercícios
Utilizando as Leis de Morgan escreva a 
negação das seguintes proposições:
a) Marcos está doente e com medo.
b) O euro aumentou ou Mário viajou.
c) Marcia compra sapatos e maquiagem.
DICA!!! Antes de escrever passe as 
proposições para Linguagem Simbólica. 
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Referências
 THOMAL, Alberto. Pensando logicamente: aprender a fazer : investigando sobre 
lógica. 5.ed. Florianópolis: Sophos, 2003. 108 p. (Filosofia, o ínicio de uma mudança. 
Investigando sobre) 
 VILLAR, Bruno. Raciocínio Lógico / teoria e treinamento prático. – 3ª ed. – Rio de 
Janeiro: Forense; São Paulo: Método, 2012.
 KIDRICKI, Cláudio da Cunha. Raciocínio lógico e matemática para 
concursos. Porto Alegre: Verbo Jurídico, 2009. 191 p.
 COPI, Irving M. Introdução à Lógica. São Paulo: Meste Jou, 1981.
 WEBER, Ivan Hingo & NAHRA, Cinara. Através da Lógica. Petrópolis: Vozes, 2002.
 SALMON, Wesley C. Lógica. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2002.
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