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Exercícios Complementares de Álgebra Linear (2015/2) - 1 - Transformações Lineares 1. Determine a lei algébrica (ou a matriz canônica) do operador linear que transforma a Figura 1 na Figura 2. Resposta: Como domínio e contradomínio estão no plano (que tem dimensão 2), basta tomar um conjunto de dois vetores/pontos l.i. do domínio, observar a imagem destes vetores e determinar a transformação Você chegará à transformação 2. Assinale a alternativa correta: Uma transformação linear 22: RRT que associa os vetores da Figura 1 aos vetores da Figura 2 é: Figura 1 Figura 2 a) ), 2 1 (),( yyxyxT b) ), 2 1 (),( yyxyxT c) ),(),( yxyxT (1/2; 2) (1; 0) (0; 1) Figura 1 (5/2; 2)) (1; 0) (1; 1) Figura 2 (2; 1) (1; 1) Exercícios Complementares de Álgebra Linear (2015/2) - 2 - d) ) 2 1 ,(),( yxxyxT e) ),(),( yxyxyxT Resposta: alternativa a) 3. (Boldrini – Álgebra Linear – 3 ed. 1980 – pág 171 – ex. 3 ) a) Ache a transformação linear 23: RRT tal que , e . b) Encontre um vetor de 3R tal que Resposta: a) b) 4. Seja operador linear definido por . a) Verifique se o vetor pertence ao . b) Verifique se o vetor pertence ao . c) Verifique se o vetor pertence a . d) Determine uma base e a dimensão do e) Determine uma base e a dimensão da . f) Verifique a validade do Teorema da Dimensão para . g) é injetora? Por que? h) é sobrejetora? Por que? i) é inversível? Por que? Resposta: a) não pertence b) pertence c) pertence d) base do e e) base de e f) Teorema da dimensão ( linear): . Como , temos 1 + 1 = 2 (V). g) Uma transformação linear é injetora se, e só se, Como contém vetores não nulos, temos que não é injetora. h) Uma transformação linear é sobrejetora se, e só se, . Isso pode ser verificado observando se . Como , pois suas dimensões são diferentes, não é sobrejetora. i) não é inversível pois 5. Sabe-se que ))}1,1,1(),1,1,0(),0,0,1{( B é um sistema de geradores do núcleo N(T) de uma transformação linear 23: RRT , determine a dimensão do conjunto-imagem de T: Im( . Resposta: Aplique o Teorema da dimensão e verifique que .
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