Aula 06 - Centro de Massa, impulso e Momento

Física I para Engenharia 1º Semestre de 2014 Instituto de Física- Un iversidade de São Pa ulo Aula \u2013 6 Centro de Massa \u2013 Momento \u2013 Im pulso Professor: Valdir Guimarães E-mail: valdirg@if.usp.br Centro de Ma ssa de um corpo é um p onto que se move co mo se toda a massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivesse m aplicadas sobre ele. Centro de Massa Para um corpo constituído de N partículas, o Centro de Massa é dado por k z j y i x r cm cm cm cm \u02c6 \u02c6 \u02c6 \uf02b \uf02b \uf03d \uf072 \uf028 \uf029 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf02b \uf02b \uf03d \uf0e5 i i i cm r m M r m r m M r \uf072 \uf04c \uf072 \uf072 \uf072 1 1 2 2 1 1 onde \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf0e5 \uf0e5 \uf0e5 i i i cm i i i cm i i i cm z m M z y m M y x m M x 1 1 1 e Centro de Mass a de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa do corp o e stivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estives sem aplicadas sobre ele. Centro de Massa Para duas partículas unidas por uma haste de comprimento d \uf028 \uf029 2 2 1 1 1 x m x m M x cm \uf02b \uf03d \uf028 \uf029 2 1 2 1 1 2 1 1 ) ( 1 m m d m x x d x m x m M x cm cm \uf02b \uf02b \uf03d \uf02b \uf02b \uf03d \uf028 \uf029 2 1 2 2 1 m m d m d m M x cm \uf02b \uf03d \uf03d Colocando o referencial na partícula 1 então x 1 =0 Centro de Massa da molécula de água (H 2 0). Com m O = 16,0 uma e m H = 1,0 uma, distância entre o oxigênio e o hidrogênio de 96,0 pm e ângulo de abertura da molécula de 104,5 °. Exemplos Para 3 partículas, temos M x m x i i cm \uf0e5 \uf03d O H H O O H H H H cm O H H O O H H H H cm m m m y m y m y m y m m m x m x m x m x \uf02b \uf02b \uf02b \uf02b \uf03d \uf02b \uf02b \uf02b \uf02b \uf03d 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 \uf0b0 \uf03d \uf02d \uf03d \uf0b0 \uf03d \uf03d \uf03d \uf03d \uf02d \uf02d 25 , 52 s i n 10 96 25 , 52 co s 10 96 0 12 12 2 1 2 1 x y y x x x y x H H H H O O m j i x r cm ) \u02c6 0 \u02c6 10 53 , 6 ( 12 \uf02b \uf03d \uf02d \uf072 M y m y i i cm \uf0e5 \uf03d Centro de Massa de uma folha uniforme de madeira. Com densidade superficial s . Exemplos Vamos determinar o centro de massa de cada parte s s s s \uf0d7 \uf03d \uf0d7 \uf03d \uf0d7 \uf03d \uf0d7 \uf03d 04 , 0 32 , 0 2 2 1 1 A m A m Onde a massa de cada part e é m y m x m y m x cm cm cm cm 50 , 0 70 , 0 20 , 0 40 , 0 2 2 1 1 \uf03d \uf03d \uf03d \uf03d m y m x cm cm 23 , 0 43 , 0 \uf03d \uf03d 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 m m y m y m y m m x m x m x cm cm \uf02b \uf02b \uf03d \uf02b \uf02b \uf03d Centro de Mass a de um corpo é um ponto que se m ove como se toda a massa do cor po estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivesse m aplicadas sobre ele. Centro de Massa \u2013 distribuição de mass a Para um corpo extenso com distribuição contínua de massa \uf0f2 \uf03d dm r M r cm \uf072 \uf072 1 onde \uf0f2 \uf03d dm M Se o corpo possuir simetrias geométricas, o centro de massa estará no centro de simetria. \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf0e5 i i i cm r m M r \uf072 \uf072 1 Centro de Massa de uma barra uniforme de comprimento L e densidade linear de massa \u03bb . Exemplos A massa total M está distribuida ao longo do comprimento L, portanto a densidade linear de massa \u03bb =M/L. Para um pedaço in finitezimal dx , temos uma massa dm= \u03bb dx Para o centro de massa temos \uf0f2 \uf03d dm r M r cm \uf072 \uf072 1 \uf0f2 \uf03d dm M L dx dm M L L \uf06c \uf06c \uf03d \uf03d \uf03d \uf0f2 \uf0f2 0 0 i dx x M dm i x M r L L cm \u02c6 ) 1 ( \u02c6 1 0 0 \uf0f2 \uf0f2 \uf03d \uf03d \uf06c \uf072 i L M i x dx M r L cm \u02c6 ) 2 1 ( \u02c6 ) 1 ( 2 0 \uf06c \uf06c \uf03d \uf03d \uf0f2 \uf072 i L i L L r cm \u02c6 2 \u02c6 ) 2 1 ( 2 \uf03d \uf03d \uf06c \uf06c \uf072 i x r \u02c6 \uf03d \uf072 dx dm \uf06c \uf03d Centro de Mass a de um anel semicircular uniforme de ra io R e densidade linear de massa \u03bb . Exemplos A massa total M está distribuida ao longo do comprimento \u03c0 R, portanto a densidade linear de massa \u03bb =M/ \u03c0 R. Para um pedaço in finitezimal ds , temos uma massa dm= \u03bb ds Mas, um pedaço ds pode ser escrito como Rd \u03b8 R Rd ds dm M L L \uf06c\uf070 \uf071 \uf06c \uf06c \uf070 \uf03d \uf03d \uf03d \uf03d \uf0f2 \uf0f2 \uf0f2 0 0 0 j R r cm \u02c6 2 \uf070 \uf03d \uf072 j R i R j y i x R \u02c6 s i n \u02c6 c o s \u02c6 \u02c6 \uf071 \uf071 \uf02b \uf03d \uf02b \uf03d \uf072 \uf0f2 \uf0f2 \uf03d \uf03d dm R M dm r M r cm \uf072 \uf072 \uf072 1 1 \uf071 \uf06c Rd dm \uf03d Para o centro de massa temos \uf0f2 \uf02b \uf03d \uf070 \uf071 \uf06c \uf071 \uf071 0 ) \u02c6 s i n \u02c6 ( c os 1 Rd j i R M r cm \uf072 \uf0f2 \uf02b \uf03d \uf070 \uf071 \uf071 \uf071 \uf06c 0 2 ) \u02c6 s i n \u02c6 ( c os d j i M R r cm \uf072 ) \u02c6 \u02c6 ( c o s sin 0 0 j i R r cm \uf071 \uf071 \uf070 \uf070 \uf070 \uf02d \uf03d \uf072 Podemos decompor o movimento de um corpo como o movi mento do Centro de Mass a mais o movimento individual das partículas constituintes em relação ao Centro de Ma ssa. Movimento do Centro de Massa \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf0e5 i i i cm r m M r \uf072 \uf072 1 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf03d \uf0e5 \uf0e5 i i i i i i cm cm v m M dt r d m M dt r d v \uf072 \uf072 \uf072 \uf072 1 1 derivand o derivando \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf03d \uf0e5 \uf0e5 i i i i i i cm cm a m M dt v d m M dt v d a \uf072 \uf072 \uf072 \uf072 1 1 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf03d \uf0e5 i i i cm v m M v \uf072 \uf072 1

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