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Eletrônica de Potência. Cap. 5 Prof. Sérgio Augusto Oliveira da Silva 
Engenharia Elétrica 
 
 
UTFPR/Campus Cornélio Procópio 
60 
5 – PRINCÍPIO DE ACIONAMENTO DE MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
 
5.1 – Características Básicas das Máquinas de Corrente Contínua (Máquinas CC) 
 
 As máquinas CC são amplamente usadas onde se deseja controlar torque e velocidade em uma 
larga faixa. Especificamente o motor de corrente contínua, é formado por uma armadura alimentada 
através de escovas sobre um comutador, e um campo magnético de excitação que estabelece um fluxo 
magnético enlaçando a mesma. Em função da presença dos comutadores, as máquinas CC são limitadas a 
aplicações com velocidade não muito elevadas, além de gerarem mais manutenção quando comparadas 
com as máquinas CA. Independente dos inconvenientes apresentados, a utilização destas máquinas ainda 
é grande na indústria. 
Neste capítulo são apresentadas algumas equações básicas que descrevem o comportamento 
dinâmico e de regime permanente de uma máquina CC. Baseado nestas equações, é possível estabelecer 
as estratégias de controle que se pretende implementar para controlar a velocidade da máquina. 
 Existem diversas maneiras de se excitar o enrolamento de campo de uma máquina CC. Este pode 
ser conectado em série com o enrolamento de armadura, onde as correntes de campo e de armadura são 
as mesmas; em paralelo com o enrolamento de armadura, onde a tensão de alimentação do enrolamento 
de campo e de armadura é a mesma; e independente, onde a fonte de excitação do enrolamento de campo 
é separada da fonte de alimentação da armadura, o que implica dizer que qualquer variação na corrente 
de campo não resulta em variação na corrente de campo. 
Mantendo a corrente de campo constante, usualmente a variação de velocidade da máquina pode 
ser conseguida pela variação da tensão de alimentação de armadura, pelo fato da resposta dinâmica ser 
mais rápida. A velocidade pode também ser controlada através da variação da corrente de campo, mas 
com o inconveniente da resposta dinâmica ser mais lenta em função da alta indutância presente no 
enrolamento de campo. Para o controle de velocidade das máquinas CC, são amplamente empregados os 
retificadores controlados, ou ainda os conversores CC-CC, também chamados de choppers. Em ambos os 
casos a tensão CC de saída pode ser variada com a intenção de controlar a velocidade da máquina. 
 A Fig. 5.1 mostra o circuito equivalente da máquina CC com excitação de campo separada. 
 
Fig.5.1 – Máquina CC com excitação separada – circuito equivalente. 
 
 
5.1.1 – Equações transitórias 
 
 As equações transitórias que descrevem as características de uma máquina CC são dadas pelas 
seguintes expressões: 
 
a
a
aaaa e
dt
di
LiRv
 
(5.1) 
 
 
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dt
di
LiRv
f
ffff
 
(5.2) 
 
Onde: 
 
 
fv
= Tensão de campo; 
 
av
= Tensão de armadura; 
 
fi
= Corrente de campo; 
 
ai
= Corrente de armadura; 
 
fR
= Resistência de campo; 
 
aR
= Resistência de armadura; 
 
fL
= Indutância de campo; 
 
aL
= Indutância de armadura; 
 
ae
= Força contra-eletromotriz de armadura. 
 
A tensão 
ae
 é dada pela expressão 5.3. 
 
mfva ike
 (5.3) 
Onde: 
 
m
= Velocidade mecânica da máquina, em rad/s; 
 
vk
= Constante de tensão ou constante de velocidade, em V/A-rad/s (esta constante é determinada 
pelas características construtivas da máquina); 
 
O torque elétrico pela máquina é dado por: 
 
afta iikT
 (5.4) 
Onde: 
 
tk
= Constante de torque, (
vt kk
); 
 
O torque elétrico pela máquina também pode ser escrito por: 
 
Lm
m
a TB
dt
d
JT
 
(5.5) 
 
Onde: 
 
LT
= Torque de carga, em 
Nm
; 
 
B
= Coeficiente de atrito viscoso, em 
sradNm //
; 
 
J
= Momento de inércia da máquina incluindo a carga, em 
2// sradNm
. 
 
 
Considerando o motor operando em regime permanente e na região linear, as equações (5.1), (5.3), e 
(5.4) podem ser reescritas por: 
 
aaaa EIRV
 (5.6) 
 
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mfva IkE
 (5.7) 
 
afta IIkT
 (5.8) 
 
 Desse modo, através de (5.6) e (5.7), obtém-se a equação da velocidade da máquina em regime 
permanente, ou seja: 
 
fv
aaa
m
Ik
IRV
 
(5.9) 
 
 Observa-se pela equação (5.9) que a velocidade da máquina pode ser controlada através da 
variação da tensão de armadura 
aV
, da corrente de campo 
fI
 e da resistência de armadura 
aR
. 
 
 Considera-se agora que a corrente de campo é constante o que implica também em um 
fluxo constante. Fazendo 
fv Ikk1
 e pelas equações (5.6) a (5.9) encontra-se a equação do torque como 
sendo: 
 
a
m
a
a
a
R
k
R
kV
T
2
11
 
(5.10) 
 
Sendo assim, considerando a resistência de armadura 
0aR
, a velocidade da máquina pode ser 
escrita por: 
 
1k
Va
m
 
(5.11) 
 
 Na Fig. 5.2 é apresentada a característica 
ma xT
 para 
aV
 variável. 
 
Fig.5.2 – Característica Torque x Velocidade, para 
aV
 variável e 
fI
 constante. 
 
 Para o caso onde a tensão de armadura é mantida constante e a corrente de campo é variada a 
equação do torque da máquina é dada por: 
 
a
mfv
a
vfa
a
R
Ik
R
kIV
T
22 
(5.12) 
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 Para efeito de análise, admitindo que 
0aR
, então: 
 
fv
a
m
Ik
V
 
(5.13) 
 
 Neste caso tanto a tensão de armadura quanto a corrente de campo agem sobre a velocidade. Um 
enfraquecimento de campo resulta em um aumento da velocidade. Já um aumento da tensão de armadura 
produz o mesmo efeito. 
 A característica 
ma xT
 para 
fI
 variável, é mostrado na Fig. 5.3.: 
 
Fig.5.3 – Característica Torque x Velocidade, para 
aV
 constante e 
fI
 variável. 
 
 
 A Figura 5.4 mostra a curva de torque e potência da máquina em função da velocidade, de uma 
máquina CC de excitação separada. Até a velocidade nominal da máquina o controle de velocidade é 
feito através da tensão de armadura. O torque é mantido constante porque nesta condição tanto a corrente 
de armadura quanto a corrente de campo são mantidas constantes. Quando se deseja velocidades acima 
da nominal, opera-se enfraquecendo o campo o que implica em uma diminuição do torque. Nesta 
condição a tensão de armadura é mantida constante. 
 A potência desenvolvida pela máquina é definida pela seguinte expressão: 
 
maTP
 (5.14) 
 
Fig.5.4 – Curva característica Torque x Velocidade e Potência x Velocidade de uma máquina CC com excitação 
separada. 
 
 
 
 
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5.2 – Estudo do comportamento dinâmico e transitório do motor CC. 
 
Será considerado, para a obtenção do modelo do comportamento dinâmico e transitório, o motor 
com excitação separada e a corrente de campo 
fI
 constante (fluxo constante). Como visto anteriormente 
na seção 5.1.1, as equações que descrevem o comportamento da máquina são as seguintes: 
 
a
a
aaaa e
dt
di
LiRv
 
(5.15) 
 
Lm
m
a TB
dt
d
JT
 
(5.16) 
 
mmfva kike 1)(
 (5.17) 
 
aafta ikiikT 2)(
 (5.18) 
 
 Substituindo (5.17) em (5.15) e aplicando a transformada de Laplace obtém-se: 
 
)()()()( 1 skssILsIRsV maaaaa
 (5.19)Isolando a corrente de armadura 
)(sI a
 em (5.19), encontra-se: 
 
)(
)()()()(
)( 11
aaa
ma
aa
ma
a
LRsL
sksV
RsL
sksV
sI
 
(5.20) 
Onde: 
 
a
a
a
R
L
 
(5.21) 
 
Assim, substituindo (5.21) em (5.20) encontra-se: 
 
)1(
)()(
)1(
)()(
)( 11
sR
sksV
sL
sksV
sI
aa
ma
aa
ma
a
 
(5.22) 
 
 Substituindo (5.18) em (5.16) e aplicando a transformada de Laplace obtém-se: 
 
)()()()(2 sTsBsJssIk Lmma
 (5.23) 
 
Isolando 
)(sm
 na equação (5.23) tem-se: 
 
)(
)()()()(
)( 2
JBsJ
sTsT
BJs
sTsIk
s LaLam
 
(5.24) 
Onde: 
 
B
J
m
 
(5.25) 
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Assim, substituindo (5.25) em (5.24) encontra-se: 
 
)1(
)()(
)1(
)()(
)(
sB
sTsT
sJ
sTsT
s
m
La
m
La
m
 
(5.26) 
 
 Desse modo, baseado nas equações (5.22) e (5.26), pode-se representar o diagrama de blocos do 
motor CC em malha aberta, como mostrado na Fig. 5.5. 
Fig.5.5 – Diagrama de blocos do modelo do motor CC com excitação separada em malha aberta. 
 
 Baseado no modelo apresentado na Fig. 5.5, as variáveis do sistema são as seguintes: 
 
 Variáveis de entrada: Tensão de armadura 
)(sVa
 para 
)(sI f
 constante; 
 Variáveis de saída: Velocidade da máquina 
)(sm
; 
 Variáveis a serem observadas: Velocidade da máquina 
)(sm
 e corrente de armadura 
)(sI a
; 
 Variáveis de perturbação: Torque de carga 
)(sTL
 para 
)(sVa
 fixo. 
 
Considerando 
)(sTL
 igual a zero, e através do diagrama de blocos da Fig. 5.5, pode-se encontrar 
a função de transferência 
)()( sVs am
, ou seja 
 
21
2
21
2
)1()1())(()(
)(
kksJsL
k
kkBJsRsL
k
sV
s
maaaaa
m
 
(5.27) 
 
Ou ainda 
21
2
21
2
)1()1())(()(
)(
kkssJL
k
kkBJsRsL
k
sV
s
maaaaa
m
 
(5.28) 
 
 Considerando agora 
)(sVa
 igual a zero, a relação dinâmica entre o torque de carga e a velocidade 
é dada por: 
 
ama
a
aa
aa
L
m
LkkssJ
s
kkBJsRsL
RsL
sT
s
2121 )1()1(
)1(
))((
)(
)(
)(
 
(5.29) 
 
Já a relação dinâmica entre a corrente de armadura e a tensão de armadura 
)()( sVsI aa
 é dada 
por: 
 
21)1()1(
)1(
)(
)(
kkssJL
sJ
sV
sI
maa
m
a
a
 
(5.30) 
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Onde: 
fv Ikk1
 e 
ft Ikk2
 (5.31) 
 
Considerando o coeficiente viscoso da máquina desprezível, a expressão (5.28) pode ser escrita 
por: 
aa
a
a
m
JLkkss
JLk
sV
s
21
2
2
)1()(
)(
 
(5.32) 
 
Reescrevendo a equação (5.28) tem-se: 
 
1
2
2
1)1()(
)(
maa
a
a
m
ss
JLk
sV
s
 
(5.33) 
 
Onde 
a
 é definido como constante de tempo elétrica e 
1m
 como constante de tempo mecânica, 
e são dados por: 
RaLaa
 e 
211 kkJRam
 (5.34) 
 
 Sendo assim, devido à característica de segunda ordem do sistema, a frequência natural não 
amortecida 
n
 e o fator de amortecimento são dados respectivamente por: 
 
1
1
ma
n
 e 
na2
1
 
(5.35) 
 
5.2.1 – Controle do motor CC em malha fechada 
 
 Na maioria das aplicações industriais, são empregados reguladores (controladores) de velocidade 
e de corrente, quando os motores CC são alimentados por retificadores controlados, retificadores semi-
controlados ou choppers. Para que possa haver a regulação é necessário que sejam implementados laços 
fechados de controle de velocidade e corrente. Através dos controladores consegue-se os seguintes 
benefícios: 
 Maior precisão no controle de velocidade; 
 Melhor resposta dinâmica; 
 Menor sensibilidade oriunda de distúrbios causados pela variação do torque de carga; 
 Limitação da corrente máxima dos elementos semicondutores e do motor; 
 Limitação do torque máximo produzido pelo motor e a aceleração máxima imposta à carga. 
 
 Na Fig. 5.6 é apresentado o diagrama de blocos para o controle de malha fechada do motor CC, 
considerando o controlador de velocidade. 
Fig.5.6 – Diagrama de blocos do controle de velocidade em malha fechada do motor CC com excitação separada 
(Malha externa de velocidade). 
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 Em malhas de controle onde existem apenas controladores de velocidade, como o da Fig. 5.6, um 
erro muito grande causado por este regulador levaria a corrente de armadura do motor a aumentar em 
demasia podendo ultrapassar a corrente nominal do motor ou mesmo a suportável pela máquina. 
Este inconveniente é solucionado utilizando-se um controlador de corrente interno conforme 
mostrado na Fig. 5.7. A malha externa de velocidade gera uma referência de corrente 
refa
I
 limitada para 
a malha interna de corrente. O regulador de corrente também limita a corrente máxima nos elementos 
semicondutores de potência utilizados nos conversores que acionam a máquina. 
Fig.5.7 – Diagrama de blocos do controle de velocidade em malha fechada do motor CC com excitação separada 
(Malha externa de velocidade e interna de corrente). 
 
 As funções de transferência dos controladores de velocidade e de correntes são dados, 
respectivamente, por: 
s
ksk
sR
ivpv
)(
 e 
pii ksR )(
 
(5.36) 
Onde: 
pik
= ganho proporcional da malha de corrente; 
pvk
= ganho proporcional da malha de velocidade; 
ivk
= ganho integral da malha de velocidade. 
 
 Desse modo, pelo diagrama da Fig. 5.7 encontra-se, respectivamente, a função de transferência de 
malha aberta e fechada do sistema. 
skkRkkBsBLRkkJsJL
kkkkkskkkkk
sG
acpiaacpia
ncivpincpvpi
ma
])([])([
)(
21
23
11
 
(5.37) 
 
ncivpiacpincpvpiaacpia
civpicpvpi
refm
m
kkkkkskkRkkBkkkkksBLRkkJsJL
kkkkskkkk
s
s
1211
23
11
])([])([)(
)(
 
(5.38) 
Onde 
ck
= ganho do conversor e 
nk
= ganho do sensor de velocidade, em volt/rpm. 
 
A relação dinâmica que mostra o efeito da variação do torque de carga em relação à velocidade é 
dada por: 
 
ncivpiacpincpvpiaacpia
cpiaa
L
m
kkkkkskkRkkBkkkkksBLRkkJsJL
skkRsL
sT
s
1211
23
2
])([])([
)(
)(
)( 
(5.37) 
 
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Bibliografia: 
BOSE, Bimal K. Power Electronics and Variable Frequency Drives. New York, IEEE Press, 1997. 
MOHAN Ned; UNDELAND Tore M.; ROBBINS William P. Power Electronics – Converters, 
Applications and Design. 2 ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. 
RASHID, Muhammad H. Eletrônica de Potência. São Paulo: Makron Books, 1999; 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 3 ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil 
Ltda, 1999; 
DORF. R. C; BISHOP R. H. Sistemas de Controle Modernos. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1998.