Handbook de TI - Algoritmos - Questões Comentadas

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Questões comentadas
Algoritmos
para concursos
Handbook de Questões de TI Comentadas para Concursos Volume questões de TI
Prefácio
Um algoritmo é um conjunto de operações em sequência para resolver determinado problema.
A noção de algoritmo é extremamente importante para a computação. Não existe um con-
junto de regras que nos permita criar novos algoritmos e, portanto, trata-se de umas maiores
dificuldades dos iniciantes em programação.
O estudo de algoritmos é muito cobrado nos concursos na área de tecnologia da informação
e, por isso, o Grupo Handbook de TI preparou este volume, que traz uma série de questões co-
mentadas sobre Algoritmos para você se preparar ainda melhor para os certames de seu interesse.
Bons estudos,
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1. Assuntos relacionados: Algoritmos, Complexidade de Algoritmos,
Banca: Cesgranrio
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Pleno - Processos
Ano: 2006
Questão: 52
A respeito de funções e algoritmos, assinale a afirmativa correta.
(a). O limite inferior de um algoritmo (Ω) é utilizado para a análise do pior caso de
sua execução.
(b). Uma função f(n) domina assintoticamente g(n), se existem duas constantes posi-
tivas c e n0, tais que, para n ≥ n0, temos que |g(n)| ≥ c|f(n)|.
(c). A função f(5log2N) é O2(N).
(d). A função f(5N3 + 2N2) é O(N).
(e). Se duas funções f() e g() têm limite superior justo, então f() é O(g()) e g() é
O(f()).
Solução:
Uma avaliação analítica pode ser feita com o objetivo de se obter uma estimativa de esforço
de um algoritmo em termos do tamanho do problema. Tal estimativa resulta em uma função
do crescimento do tempo de execução de um algoritmo em relação ao tamanho da entrada.
Em geral, o trabalho que um algoritmo precisa fazer para resolver um problema cresce de
acordo com o número de itens de entrada. Para determinar a complexidade de um algoritmo,
conta-se o número de operações que ele faz para cada item, onde cada operação pode ser
leituras de disco, comparações, trocas etc. Em seguida, é determinada uma expressão que
representa essa quantidade.
O que se considera no estudo de complexidade de algoritmos é o seu comportamento as-
sintótico, ou seja, uma tendência a um limite à medida do crescimento do tamanho do
problema. Vamos elucidar as notações geralmente utilizadas para esse tipo de avaliação
analítica.
Diz-se que uma função g(n) é O(f(n)), notando-se g = O(f(n)) se existir alguma cons-
tante c > 0 e um inteiro n0, tal que n > n0 implica g(n) ≤ c x f(n). Diz-se também que
g(n) tem taxa de crescimento proporcional a f(n), é de ordem máxima f(n), de comple-
xidade f(n) ou magnitude f(n), simplesmente que é O de f(n). A análise O é conhecida
também como a análise do pior caso.
Dadas funções assintoticamente não-negativas g e f , dizemos que g está na ordem Ω de
f , e escrevemos g = Ω(f(n)), se existir alguma constante c > 0 e um inteiro n0 tal que
n > n0 implica g(n) ≥ c x f(n). É fácil notar que f = O(g) se e somente se g = Ω(f). A
análise Ômega é conhecida como a análise do melhor caso e é pouco utilizada.
As notações utilizadas em minúsculo através dos símbolos o (o minúsculo) e ω são utili-
zadas para representar limites assintóticos não justos, as definições anteriores mudam de
�algum c > 0� para todo �todo c > 0�.
Já que foi dada um explicação básica em relação à complexidade de algoritmos e suas
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notações, vamos analisar as alternativas de uma a uma.
A alternativa (A) está claramente errada, já que a notação Ω é utilizada para denotar a
análise do melhor caso e não do pior caso.
Também está equivocada a alternativa (B), visto que quando dizemos que f(n) domina
assintoticamente g(n) dizemos também que g(n) = O(f(n)) e a definição está ligeiramente
errada visto que o correto, neste caso, é |g(n)| ≤ c x |f(n)|.
A notação O2 não faz sentido em complexidade de algoritmos, logo, a alternativa (C) pode
ser invalidada.
O termo dominante em uma função polinomial pode ser utilizado para determinar a análise
de pior caso de um algoritmo. Na função f(5N3 + 2N2), podemos dizer que é O(N3) tam-
bém sendo aceito que f é O(5N3), por exemplo, mas, com certeza, f não é O(N), visto que
N não é o termo dominante do polinômio. Portanto, a alternativa (D) está errada.
A alternativa (E) está correta, pois a notação O maiúsculo representa o limite superior
justo das funções. E se as funções f e g tem o limite superior justo entre elas de maneira
equivalente, podemos dizer que f() é O(g()) e g() é O(f())
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2. Assuntos relacionados: Algoritmos, Complexidade de Algoritmos,
Banca: Cesgranrio
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Pleno - Processos
Ano: 2006
Questão: 56
Considere os algoritmos a seguir e as suas correspondentes complexidades indicadas. Estão
corretas apenas as complexidades indicadas para os algoritmos:
I Busca seqüencial de um elemento em um vetor de tamanho N � O(N)
II Busca, via pesquisa binária, de um elemento, em um vetor de tamanho N � O(log2N)
III Busca de um rótulo de um nó em uma árvore binária completa, com N nós � O(log2N)
IV Busca de um rótulo de um nó em uma árvore binária de busca, com N nós � O(N)
V Inclusão de um elemento em um vetor ordenado de tamanho N, mantendo-se a orde-
nação � O(1)
(a). I, II e III.
(b). I, II e IV.
(c). II, III e V.
(d). II, III, IV e V.
(e). I, III, IV e V.
Solução:
A complexidade algorítmica é uma medida que expressa a eficiência de um algoritmo em
termos da quantidade de operações relevantes realizadas pelo algoritmo até que ele alcance
o seu resultado final. Exemplos de operações que podem ser consideradas relevantes para
um algoritmo são as operações de comparação, operações aritméticas, operações de movi-
mentação de dados etc.
A complexidade algorítmica é então expressa em função do tamanho do problema. Em
um problema que envolva a ordenação de um vetor, por exemplo, o tamanho do problema
seria o tamanhodo vetor. Em um problema que envolva a busca por um elemento em uma
árvore binária, o tamanho do problema seria a quantidade de elementos contidos na árvore.
É comum que se utilize a letra N para expressar o tamanho de um determinado problema.
Boa parte das vezes, na avaliação da complexidade de um algoritmo, interessa ao avalia-
dor descobrir qual será a complexidade do algoritmo quando for submetido a uma entrada
de dados que o faça operar em seu pior caso, ou seja, que o faça executar o maior número
de operações até que se alcance o resultado final. No estudo da complexidade algorítmica,
tal valor é denotado pela notação O. Se um algoritmo, no seu pior caso, precisa executar
N operações, diz-se que sua complexidade é O(N). Já se, em seu pior caso, ele executa um
número de operações constate, diz que ele possui complexidade O(1).
Agora, vamos analisar cada uma das correspondências algoritmo/complexidade e verificar
quais delas estão corretas.
(I) CORRETA
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Uma busca sequencial é aquela em que o vetor é percorrido a partir de uma extremidade no
sentido da outra até que o elemento procurado seja encontrado. Imaginando o caso em que o
elemento procurado seja o último elemento a ser avaliado em um vetor de tamanho N, para
que se encontre tal elemento o algoritmo precisará executar N operações de comparação.
Com isso, o pior caso de tal algoritmo é O(N).
(II) CORRETA
O processo de busca binária inicia-se com a escolha de um elemento chamado pivot, lo-
calizado no centro do vetor. Caso o elemento procurado seja menor que o pivot, somente o
sub vetor da esquerda será pesquisado. Caso contrário, somente o sub vetor da direita será
pesquisado. E assim, a cada etapa, o escopo da busca é divido pela metade. No limite, o
número máximo de divisões que poderão acontecer até que o elemento procurado seja eleito
como pivot é o valor do logaritmo de N na base 2. Portanto, o pior caso da busca binária é
O(log2N). (III) ERRADA
Em processo de busca por um elemento em uma árvore binária, a particionamento do escopo
de busca é determinado pelo fato de o elemento procurado ser maior ou menor que o nó
corrente da árvore. Caso o elemento seja maior, a busca prossegue explorando apenas o
ramo à direita do nó. Caso contrário, o processo prossegue explorando o ramo à esquerda.
Aparentemente, o processo é bem semelhante ao processo de pesquisa binária. No entanto,
pode acontecer de existir árvore binárias mal balanceadas, podendo chegar ao extremo de a
árvore possuir uma única ramificação para um único lado.
Nessa situação, como a navegação na árvore se dá necessariamente apenas entre nós co-
nectados, pode acontecer de o processo de busca ter que percorrer todo a ramificação, desde
a raiz até a folha, passando por todos os nós internos. Esse seria, portanto, o pior caso
da busca em uma árvore binária, no qual seriam necessárias N operações de comparação.
Portanto, a complexidade de tal algoritmo no pior caso é O(N).
(IV) CORRETA
Nesta afirmativa, a situação é exatamente a ilustrada no item anterior, onde foi mostrado
que a complexidade da busca em uma árvore binária no pior caso é O(N).
(V) ERRADA
O processo de inclusão de um elemento em um vetor ordenado de tamanho N jamais poderia
possuir complexidade O(1), ou seja, ser realizado com um número constante de operações.
Isso se deve ao simples fato de que, para determinar em que posição o elemento deverá ser
inserido para que se mantenha a ordenação, será necessário antes realizar um processo de
busca que, se implementado da forma mais eficiente possível (no caso, através de uma busca
binária), teria complexidade O(log2N).
Portanto, como apenas as afirmativas I, II e IV estão corretas, a resposta da questão é
a alternativa B.
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3. Assuntos relacionados: Métodos de Busca, Pesquisa Binária, Árvore B,
Banca: CESGRANRIO
Instituição: BNDES
Cargo: Analista de Suporte
Ano: 2008
Questão: 50
Os dados de uma agenda contendo nome, telefone e endereço de pessoas estão organizados
em um arquivo de dados com acesso somente de leitura. Um dispositivo eletromecânico D,
que possibilita acesso direto, contém, aproximadamente, 90 milhões de registros ordenados
por nome. Assumindo que o tamanho do campo endereço é variável e que D pode ter
arquivos (pré-existentes) de índices que se referenciam ao arquivo de dados, e supondo que
não possui cache, qual é a estratégia que realizará, em média, menos operações de I/O para
consultar todos os registros cujo nome começa por uma determinada letra?
(a). Pesquisa binária diretamente sobre o arquivo de dados, uma vez que já existe
ordenação por nome.
(b). Pesquisa sobre o arquivo de índices indexados pelo nome, implementando um
algoritmo de busca em uma árvore B-Tree balanceada.
(c). Pesquisa seqüencial sobre um arquivo de índices indexado pelas letras do alfabeto e
posterior leitura sequencial sobre o arquivo de dados, nos quais cada índice aponta
para o endereço do início da respectiva letra na agenda.
(d). Pesquisa binária sobre um arquivo de índices indexado pelo nome, para posterior
acesso ao arquivo de dados.
(e). Leitura seqüencial diretamente sobre o arquivo de dados, sem a utilização de ar-
quivos auxiliares de índice.
Solução:
(A) ERRADA
Para que fosse possível pesquisa binária diretamente sobre arquivo de dados, como seus
registros tem tamanhos variáveis, seria necessário incluir informações que serviriam de �pon-
teiros� em cada registro. O que não é possível, já que o arquivo de dados permite apenas
leitura. Portanto, a alternativa A não é possível.
(B) ERRADA
De maneira geral, a abordagem por B-Tree é uma boa opção. Entretanto, é importante
observar que para recuperar cada registro é necessária uma consulta à B-Tree e posteri-
ormente ao arquivo de dados. Tal implementação utilizaria um número de operações da
ordem (n/26)/*log(n), onde n é o número total de registros. Analisaremos as outras opções
adiante. Note que a opção nem explicitou como seria o acesso ao arquivo de dados.
(C) CORRETA
Essa é uma opção bem eficiente para o caso, já que será necessário apenas encontrar a
letra do alfabeto correspondente (mesmo que de maneira sequencial) no arquivo de índices
e depois percorrer sequencialmente o arquivo de dados. A ordem neste caso é 13+n/26. Ou
seja, mais rápido que o caso descrito na alternativa B.
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(D) ERRADA
O caso e o custo são muito parecidos com aqueles explicitados na alternativa B e, como
consequência, o seu resultado não supera o desempenho descrito na alternativa C.
(E) ERRADA
Neste caso, a ordem seria percorrer o arquivo de dados até encontrar o primeiro registro
cujo nome começa com a letra especificada e depois percorrer todos os elementos que aten-
dam a condição. O custo seria da ordem n/2+n/26.
Concluímos que a alternativa mais eficiente é a alternativa C.
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4. Assuntos relacionados: Busca Binária, Busca Sequencial,
Banca: FCC
Instituição: MPU
Cargo: Analista de Desenvolvimento de Sistemas
Ano: 2007
Questão: 36
Considere:
I. Os algoritmos de busca binária e de busca seqüencial executam processamento repeti-
tivo.
II. Os algoritmos de busca binária e de busca seqüencial utilizam a técnica de recursão.
III. A busca seqüencial executa cada fase da repetição na forma de uma subtarefa da fase
anterior.
IV. A buscabinária trabalha com uma forma circular de repetição.
Está correto o que consta em
(a). I, apenas.
(b). II, apenas.
(c). I e II, apenas.
(d). I, III e IV, apenas.
(e). I, II, III e IV.
Solução:
Os algoritmos de busca binária e de busca sequencial são técnicas para localizar um valor
em particular em uma lista. A pesquisa ou busca binária (em inglês binary search ou binary
chop) é um algoritmo de busca que parte do pressuposto de que os elementos da lista já estão
ordenados. O algoritmo de busca binária é um exemplo clássico de dividir-e-conquistar e sua
ideia principal consiste em analisar o elemento do meio da lista para inferir se o elemento que
está sendo procurado está depois ou antes desse elemento e, assim sucessivamente, dividir o
espaço de busca por dois.
Já o algoritmo de busca sequencial, ou busca linear como também é conhecido, percorre
a lista, elemento por elemento, verificando se o elemento desejado está presente. Note que
não é preciso no algoritmo de busca sequencial que a lista esteja ordenada.
Ambos algoritmos necessitam de explorar o processamento repetitivo, que em linguagem
de programação pode ser implementado tanto em laços de iteração (for, loop, while etc)
tanto como de maneira recursiva.
Vamos analisar as alternativas de I a IV para chegarmos na resposta.
(I) Está correta, pois ambos algoritmos executam o processamento repetitivo. O termo
processamento repetitivo é usualmente utilizado para denotar o uso repetitivo das opera-
ções de computador, o que é o nosso caso, já que esses algoritmos utilizarão repetitivamente
operações de comparação entre dois valores.
(II) Está errada, pois, mesmo que ambos algoritmos possam ser implementados de forma
recursiva, ambos também podem ser implementados com o uso de laços iterativos. Logo, a
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técnica de recursão não é necessária e as ideias desses algoritmos não se baseiam na maneira
de como eles serão implementados e, sim, de que maneira os dados da lista serão tratados. A
alternativa se tornaria correta se utilizassem o predicado podem utilizar a técnica de recursão.
(III) Está errada, o algoritmo que utiliza a ideia de dividir em subtarefas é o algoritmo
de busca binária e não o de busca sequencial.
(IV) Errada, pois a técnica de busca binária utiliza a ideia do dividir-e-conquistar, que
não tem relação com repetição circular.
Como somente (I) está correta, a letra (A) é a letra ser marcada nesta questão.
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5. Assuntos relacionados: Estruturas de Dados, Árvores Binárias, Árvore Binária de Busca,
Banca: Cesgranrio
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Pleno - Processos
Ano: 2006
Questão: 50
Insira as chaves Lina, Ana, Lia, Ada, Lua, Sol, Cris, Bia, Rita, Mel, Rosa, Val em uma
árvore binária de busca (considere que a árvore está inicialmente vazia). Considere agora, a
execução dos seguintes percursos sobre a estrutura após a inserção das chaves.
I - Um percurso em pré-ordem seria: Ada, Bia, Cris, Lia, Ana, Mel, Rosa, Rita, Val,
Sol, Lua, Lina
II - Um percurso em ordem simétrica seria: Val, Sol, Rosa, Rita, Mel, Lua, Lina, Lia,
Cris, Bia, Ana, Ada
III - Um percurso em nível seria: Lina, Ana, Lua, Ada, Lia, Sol, Cris, Rita, Val, Bia, Mel,
Rosa
IV - Um percurso em pós-ordem seria: Lina, Ana, Ada, Lia, Cris, Bia, Lua, Sol, Rita,
Mel, Rosa, Val
Estão corretos apenas os percursos indicados em:
(a). I e II.
(b). II e III.
(c). I, II e III.
(d). I, II e IV.
(e). II, III e IV.
Solução:
Classicamente, uma árvore binária é definida como uma estrutura de dados com as seguintes
características:
• não ter elemento algum (uma árvore vazia);
• ter um elemento distinto (nó raiz da árvore), com dois ponteiros para estruturas dis-
tintas, denominadas sub-árvore esquerda e sub-árvore direita.
Cada um dos dois nós sub-sequentes a um nó raiz (nó da esquerda e nó da direita) são
chamados filhos do nó raiz.
Uma árvore binária de busca (ou árvore de busca binária ou árvore de pesquisa binária)
é organizada em uma árvore binária, sendo uma estrutura onde todos os nós possuem cha-
ves que são valores e, por padrão, os nós à esquerda formam uma sub-árvore com valores
inferiores ao do nó raiz e os nós à direita formam uma sub-árvore com valores superiores ao
do nó da raiz. Assim, as chaves em uma árvore binária de busca são sempre armazenadas
satisfazendo à propriedade de árvore de pesquisa binária:
Seja x um nó em uma árvore binária de busca. Se y é um nó na sub-árvore esquerda
de x, então chave[y] <= chave[x]. Se y é um nó na sub-árvore direita de x, então chave[x]
<= chave[y].
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Essa propriedade orienta tanto a busca por valores na árvore quanto a inserção de novos nós,
que são operações recorrentes nessa estrutura de dados. Uma outra operação interessante,
que permite a impressão de todos os valores armazenados em uma árvore binária de busca,
é chamada de percurso e pode-se dar, de acordo com a literatura comumente encontrada, de
três formas distintas: percurso de árvore em ordem (ou em ordem simétrica), percurso de ár-
vore de pré-ordem (ou em pré-ordem) e percurso de árvore de pós-ordem (ou em pós-ordem).
Há, ainda, autores que registram um quarto tipo de percurso conhecido como percurso em
largura (ou percurso em nível).
No percurso de árvore em ordem simétrica, a chave da raiz de uma sub-árvore é impressa
entre os valores de sua sub-árvore esquerda e aqueles de sua sub-árvore direita. Semelhan-
temente, o percurso de árvore de pré-ordem imprime a raiz antes dos valores em uma ou
outra sub-árvore, e o percurso de árvore de pós-ordem imprime a raiz depois dos valores
contidos em suas sub-árvores. Esses três tipos de percurso, definidos recursivamente, são
considerados percursos em profundidade.
O percurso em nível (percurso em largura), mais bem compreendido de forma não-recursiva,
visita os nós na ordem em que aparecem nos níveis da árvore: primeiramente, são visitados
todos os nós do nível 0; em seguida, visitam-se os nós do próximo nível; e assim por diante.
Em geral, os nós são visitados da esquerda para a direita em cada um dos níveis.
Dadas as informações apresentadas na questão, tem-se a seguinte árvore binária de busca:
Figura 1: exemplo de figura.
Como �Lina� é o primeiro valor apresentado à árvore binária de busca que está inicialmente
vazia, ele é considerado a raiz da árvore principal. O valor seguinte, �Ana�, é considerado me-
nor do que o anterior (critério: ordem alfabética) e, portanto, deverá ser inserido à esquerda
do nó raiz. O valor seguinte, �Lia�, também é inferior ao valor da raiz e, consequentemente,
será inserido à esquerda do mesmo. Como é superior ao valor �Ana� já presente, situar-se-á
à direita do mesmo. E assim por diante.
Um percurso em pré-ordem (isto é, um percurso no qual a raiz é visitada antes de seus
filhos) é Lina, Ana, Ada, Lia, Cris, Bia, Lua, Sol, Rita, Mel, Rosa, Val. Observa-se que a
raiz de cada (sub-)árvore é visita antes de seus filhos (�Lina� vem antes de �Ana� e �Lua�,
�Ana� vem antes de �Ada� e �Lia�, e assim sucessivamente) e na sequência visitam-se pri-
meiramente os filhos da esquerda e, em seguida, os filhos da direita. A outra opção para um
percurso em pré-ordem, agora visitando os filhos da direita antes dos filhos da esquerda, é
Lina, Lua, Sol, Val, Rita, Rosa, Mel, Ana, Lia, Cris, Bia, Ana.
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Um percurso em ordem simétrica (isto é, um percurso no qual a raiz aparece entre seus
filhos) é Ada, Ana, Bia, Cris, Lia, Lina, Lua, Mel, Rita, Rosa, Sol, Val. Considerou-se a
visita aos filhos da esquerda antes dos filhos da direita. A ordem inversa, ou seja, filhos
da direita antes dos filhos da esquerda, também é possível: Val, Sol, Rosa, Rita, Mel, Lua,
Lina, Lia, Cris, Bia, Ana, Ada.
Para a árvore dada, um percurso em pós-ordem (isto é, a raiz é visita após seus filhos),
visitando primeiramente os filhos da esquerda, é Ada, Bia, Cris, Lia, Ana, Mel, Rosa, Rita,
Val, Sol, Lua, Lina. Visitando os filhos da direita antes dos filhos da esquerda, o outro
percurso em pós-ordem é Val, Rosa, Mel, Rita, Sol, Lua, Bia, Cris, Lia, Ada, Ana, Lia.
Para o percurso em nível, tem-se Lina, Ana, Lua, Ada, Lia, Sol, Cris, Rita, Val, Bia,
Mel, Rosa como um percurso que realiza uma visita aos filhos da esquerda antes dos filhos
da direita. Inversamente, visitando os filhos da direita primeiramente, obtêm-se Lina, Lua,
Ana, Sol, Lia, Ada, Val, Rita, Cris, Rosa, Mel, Bia.
Apenas as assertivas II e III condizem com a teoria exposta. As demais, buscam confundir
o candidado, �embaralhando� resultados possíveis (a assertiva I é um percurso em nível e a
assertiva IV apresenta um percurso em pré-ordem). Desta forma, a resposta da questão é a
letra (B).
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6. Assuntos relacionados: Algoritmos de Ordenação, Heapsort, Ordenação por Árvore de
Decisão, Ordenação por Comparação, Quicksort, Ordenação por Inserção, Ordenação por
Intercalação,
Banca: CESGRANRIO
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas - Eng. de Software
Ano: 2008
Questão: 56
Sobre o algoritmo de ordenação heapsort, assinale a afirmação correta.
(a). Utiliza ordenação por árvore de decisão, ao invés de ordenação por comparação.
(b). A estrutura de dados que utiliza, chamada heap, pode ser interpretada como uma
árvore binária.
(c). Seu desempenho de pior caso é pior do que o do algoritmo quicksort.
(d). Seu desempenho de pior caso é o mesmo da ordenação por inserção.
(e). Seu desempenho de pior caso é menor do que o da ordenação por intercalação.
Solução:
O Heapsort utiliza uma estrutura de dados chamada heap binário (árvore binária mantida na
forma de vetor) para ordenar os elementos a medida que os insere na estrutura. Dessa forma,
ao final das inserções, os elementos podem ser sucessivamente removidos da raiz da heap,
na ordem desejada. Para uma ordenação crescente, deve ser construída uma heap máxima
(o maior elemento fica na raiz). Já para uma ordenação decrescente, deve ser construída
uma heap mínima (o menor elemento fica na raiz). Em resumo, as principais características
desse algoritmo são:
• ordenação por seleção;
• heap gerada e mantida no próprio vetor a ser ordenado (utilização eficiente da memó-
ria);
• complexidade (em qualquer caso: pior, médio ou melhor): O(n log n);
• consumo de memória ao construir a árvore;
• não é indicado para vetores pequenos por conta do tempo de construção da árvore.
(A) ERRADA
Algoritmos que se baseiam apenas em comparações entre os elementos de entrada para
efetuarem ordenações são denominados algoritmos de ordenação por comparação. Os algo-
ritmos Heapsort, Quicksort e Ordenação por Intercalação (Mergesort) são alguns exemplos
desse tipo de algoritmo.
Uma árvore de decisão representa, de modo abstrato, as comparações executadas por um
algoritmo de ordenação. Suas principais propriedades são: é uma árvore binária; possui no
mínimo n! folhas (para n igual ao número de elementos a serem ordenados); cada folha
contém uma permutação dos dados de entrada. O caminho mais longo da árvore representa
o pior caso de execução do algoritmo.
É sempre possível construir uma árvore de decisão para algoritmos de ordenação por com-
paração. Essa construção é realizada da seguinte forma:
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• fixe o n;
• verifique qual é a primeira comparação do algoritmo, que pode resultar em �sim� ou
�não�. Nesse passo, é necessário saber quais são os índices que estão sendo comparados;
• a primeira comparação é colocada na raiz da árvore de decisão, incluindo os arcos �sim�
e �não�;
• repita os passos anteriores para cada nó da árvore. Em cada comparação, é necessário
saber quais são os índices que estão sendo comparados. Observe que sempre se deve
analisar os índices originais, ou seja, não devem ser consideradas as trocas de índices
ocorridas durante a execução do algoritmo.
Tendo em vista os conceitos apresentados, conclui-se que o algoritmo Heapsort pode ser
representado por uma árvore de decisão, já que é um dos algoritmos que realiza ordenação
por comparação. Portanto, essa alternativa está errada.
(B) CORRETA
Considerando a explicação apresentada acima, se torna fácil concluir que é essa a alter-
nativa correta.
(C) ERRADA
Seu desempenho no pior caso (igual ao do melhor ou médio caso) é O(n log n). Esse é
o melhor resultado dentre os algoritmos baseados em comparações. Esse conhecimento já
bastaria para concluir que essa alternativa está incorreta. As complexidades do algoritmo
Quicksort são O(nlogn) para o melhor caso e O(n2) para o pior caso. É sempre importante
ter em mente que quanto mais eficiente for a escolha do pivot, mais eficiente será o desem-
penho da ordenação do algoritmo Quicksort.
(D) ERRADA
No pior caso, a ordenação por inserção apresenta complexidade igual a O(n2), pois nesse
caso são necessárias n(n− 1)/2 ≈ (n2)/2 comparações. Esse cenário sempre ocorre quando
a sequência de entrada está ordenada na ordem inversa à desejada.
(E) ERRADA
Também chamado de Mergesort, o algoritmo de ordenação por intercalação, um algoritmo
recursivo, se utiliza da técnica �dividir para conquistar�. Sua idéia básica é que é mais fácil
criar uma sequência ordenada a partir de duas outras também ordenadas. Para isso, ele
divide a sequência original em pares de dados, as ordena, depois as agrupa em sequências
de quatro elementos, e assim por diante, até ter toda a sequência dividida em apenas duas
partes. Sua complexidade tanto para o pior quanto para o melhor caso é O(n log n). Seu
ponto fraco é a �baixa� eficiência na utilização de memória, complexidade espacial O(n).
Contudo, existe uma variante desse algoritmo que realiza a ordenação no próprio vetor de
entrada, ou seja, complexidade espacial O(1), mas a sua implementação é extremamente
complicada.
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7. Assuntos relacionados: Programação, Algoritmos de Ordenação,
Banca: FCC
Instituição: TRT 15a Região
Cargo: Analista Judiciário - Tecnologia da Informação
Ano: 2009
Questão: 21
São algoritmos de classificação por trocas apenas os métodos
(a). SelectionSort e InsertionSort.
(b). MergeSort e BubbleSort.
(c). QuickSort e SelectionSort.
(d). BubbleSort e QuickSort.
(e). InsertionSort e MergeSort.
Solução:
Os algoritmos de ordenação são uns dos principais objetos de estudo na área de computação.
Tais algoritmos tem por objetivo colocar os elementos de uma sequência em uma determi-
nada ordem, sendo as mais utilizadas as ordens numéricas e alfabéticas.
Uma das principais razões para se ordenar uma sequência é permitir que os seus elemen-
tos sejam acessados de forma mais eficiente. Os métodos de ordenação mais conhecidos e
utilizados são os seguintes:
• Ordenação por Troca
� BubbleSort (Método da Bolha)
� QuickSort (Método da Troca e Partição)
• Ordenação por Inserção
� InsertionSort (Método da Inserção Direta)� BinaryInsertionSort (Método da Inserção Direta Binária)
• Ordenação por Seleção
� SelectionSort (Método da Seleção Direta)
� HeapSort (Método da Seleção em Árvore)
• Outros métodos
� MergeSort (Método da Intercalação)
� BucketSort (Método da Distribuição de Chave)
� CountingSort (Método da Ordenação por Contagem)
Como podemos ver, dentre os métodos apresentados nas alternativas da questão, os únicos
baseados na ordenação troca são o BubbleSort e o QuickSort. Portanto, a resposta da ques-
tão é a alternativa D. Tais algoritmos são classificados como de troca por que seus processos
de ordenação se dão através de trocas entre pares de elementos do vetor. Embora o Bub-
bleSort e o QuickSort se baseiem em trocas, seu funcionamento geral e o seu desempenho
diferem substancialmente.
O BubbleSort é, talvez, o método simples de ordenação, que funciona através de sucessivas
trocas entre pares de elementos do vetor. O método realiza varreduras no vetor, trocando
pares adjacentes de elementos sempre que o próximo elemento for menor que o anterior.
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Após uma varredura, o maior elemento está corretamente posicionado no vetor e não pre-
cisa mais ser comparado. Dessa forma, após a i-ésima varredura, os i maiores elementos
estão ordenados. A complexidade algorítmica de tempo do BubbleSort é O(n2).
O Quicksort adota uma estratégia conhecida como divisão e conquista. Por isso, usual-
mente, o Quicksort é implementado utilizando-se o paradigma recursivo. No primeiro passo
do QuickSort, um elemento da lista é escolhido como pivô. Em seguida, a lista é rearran-
jada (por meio de trocas de posição entre os elementos) de modo que todos os elementos
anteriores ao pivô sejam menores que ele, e todos os elementos posteriores ao pivô sejam
maiores que ele. Ao fim desse processo, que denomina-se particionamento, o pivô estará em
sua posição final e haverá duas sublistas não ordenadas.
Em seguida, o algoritmo QuickSort é reaplicado a cada uma das sublistas, sendo a base
da recursão as sublistas de tamanho zero ou um que, por definição, estão sempre ordenadas.
O processo é finito, pois a cada iteração pelo menos um elemento é posto em sua posição
final e não será mais manipulado na iteração seguinte. A complexidade algorítmica de tempo
do QuickSort é O(nlgn).
A seguir, exemplos de implementação do bubble sort e do quicksort usando a linguagem
de programação ruby.
#BubbleSort em Ruby
def bubblesort(list)
return list if list.size <= 1 # already sorted
loop do
swapped = false
0.upto(list.size-2) do |i|
if list[i] > list[i+1]
list[i], list[i+1] = list[i+1], list[i] # swap values
swapped = true
end
end
break unless swapped
end
return list
end
#QuickSort em Ruby
def quicksort (array)
return array if array.size <= 1
pivot = array[0]
return quicksort (array.select {|y| y < pivot })
+ array.select { |y| y == pivot } +
quicksort (array.select {|y| y > pivot })
end
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8. Assuntos relacionados: Estruturas de Dados, Algoritmos de Ordenação,
Banca: FCC
Instituição: TRT 16a Região
Cargo: Analista Judiciário - Tecnologia da Informação
Ano: 2009
Questão: 35
São, respectivamente, um método de busca e um método de ordenação:
(a). linear e por seleção direta.
(b). por permutação e linear.
(c). por seleção direta e por permutação.
(d). por permutação e binária.
(e). linear e binária.
Solução:
Os principais algoritmos de ordenação podem ser classificados em: ordenação por inserção,
ordenação por troca, ordenação por seleção e ordenação por intercalação (permutação).
Na ordenação por inserção, dividi-se o vetor em dois segmentos; o primeiro com os ele-
mentos já ordenados e o seguinte com o restante dos elementos ainda não ordenados. O
primeiro elemento é colocado no primeiro segmento. Retira-se o primeiro elemento do seg-
mento desordenado e insere-se no segmento ordenado em sua posição correta. Repete-se
o processo para os demais elementos do vetor. A complexidade de tempo deste algoritmo
é de O(n2). Exemplos de algoritmos de ordenação por inserção são a inserção direta e o
incremento decrescente (Shell sort).
Na ordenação por troca, comparam-se dois elementos e trocam-se suas posições se o se-
gundo elemento é menor do que o primeiro. A complexidade de tempo deste algoritmo é de
O(n2). Exemplos de algoritmos de ordenação por troca são o método da bolha (buble sort)
e o método da troca e partição (quicksort)
Na ordenação por seleção, seleciona-se o menor item do vetor. Em seguida, troca esse
elemento com o item que está na primeira posição do vetor. Repete-se este procedimento
para o n − 1 elementos restantes. A complexidade de tempo deste algoritmo é de O(n2).
Exemplos de algoritmos de ordenação por seleção são a inserção direta e a inserção em árvore
(heapsort).
Na ordenação por intercalação, dividi-se o vetor em 2 sub-vetores de comprimento, aproxi-
madamente n/2. Ordena recursivamente cada sub-vetor (dividindo-se novamente, quando
possível). Faz o merge dos 2 sub-vetores ordenados para obter o vetor ordenado completo.
A complexidade de tempo deste algoritmo é de O(nlog(n)). Exemplo de algoritmo de orde-
nação por intercalação é o mergesort.
Os principais algoritmos de busca são classificados em linear e binário.
O algoritmo de busca linear é a forma mais simples de se consultar um vetor em busca
de um elemento. A busca é realizada da seguinte maneira: a partir do início do vetor,
examina-se cada um de seus elementos até que o elemento desejado seja encontrado ou até
que o final do vetor seja atingido. A complexidade de tempo deste algoritmo é de O(n).
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O algoritmo de busca binária é aplicado quando os elementos de um vetor estão ordena-
dos. A busca é realizada por meio de sucessivas divisões do espaço de busca (divisão e
conquista), comparando o elemento buscado (chave) com o elemento no meio do vetor. Se
o elemento do meio do vetor for a chave, a busca termina com sucesso. Caso contrário,
se o elemento do meio vier antes do elemento buscado, então a busca continua na metade
posterior do vetor. E finalmente, se o elemento do meio vier depois da chave, a busca conti-
nua na metade anterior do vetor. A complexidade de tempo deste algoritmo é de O(log2(n)).
De acordo com as alternativas desta questão, um método de busca e um de ordenação,
respectivamente, é o linear e por seleção direta. Logo, a alternativa correta é (A).
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9. Assuntos relacionados: Programação, Algoritmos de Ordenação, Método de Ordenação
da Bolha, Bubble Sort,
Banca: Cesgranrio
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Pleno - Processos
Ano: 2006
Questão: 53
O seguinte algoritmo, chamado ordena, implementa um conhecido método de ordenação
para listas seqüenciais:
ordena (int vet[], int n) {
int i, j, pos, aux;
para ( i = 0; i < n - 1; i++ ){
pos = i;
para ( j = i + 1; j < n; j++ )
se ( vet [pos] > vet [j] )
pos = j;
se ( pos <> i ) {
aux = vet[i];
vet[i] = vet[pos];
vet[pos] = aux;
}
}
}
Se o algoritmo for executado recebendo como parâmetros 5, 3, 1, 2, 4 e 5, quantas trocas
são efetuadas e em que sentido é feita a ordenação (crescente ou decrescente)?
(a). 4, crescente.
(b). 6, crescente.
(c). 9, crescente.
(d). 4, decrescente.
(e). 7, decrescente.
Solução:
O algoritimo de ordenaçãoapresentado na questão é conhecido como bubblesort ou método
da bolha. Entre os algoritmos de ordenação, o bubblesort é classificado como um algoritmo
de ordenação por seleção e troca, pois o processo de ordenação baseia-se na comparação e
na troca entre elementos em um vetor.
O nome bubblesort tem origem em uma analogia feita com um tubo cheio de bolhas de
diferentes tamanhos. Se o vetor de tamano N for imaginado na vertical, com elemento da
posição N em cima e o elemento da posição 1 embaixo, durante cata etapa do processo de
ordenação o menor elemento �subirá� até encontrar um elemento menor ainda, como se uma
bolha subisse dentro de um tubo de acordo com sua densidade.
Para analisar melhor o algoritmo, vamos adicionar numeros as linhas, para que possamos
fazer referencia a cada um dos passos relevantes do algoritmo.
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1 ordena (int vet[], int n) {
2 int i, j, pos, aux;
3 para ( i = 0; i < n - 1; i++ ){
4 pos = i;
5 para ( j = i + 1; j < n; j++ )
6 se ( vet [pos] > vet [j] )
7 pos = j;
8 se ( pos <> i ) {
9 aux = vet[i];
10 vet[i] = vet[pos];
11 vet[pos] = aux;
12 }
13 }
14 }
Na linha 4, é selecionado o elemento que será comparado na rodada corrente. Este processo
é repetido para todos os elementos do vetor através do loop, implementado na linha 3. Já o
loop implementado na linha 5, garante que o elemento corrente só seja comparado com os
elementos que estão a sua frente no vetor.
É na linha 6 que de fato ocorre a comparação entre os elementos. Por fim, da linha 8
até a linha 12, ocorre o processo de troca de posição entre os elementos do vetor, de modo
que o menor elemento fique antes. Portanto, já podemos afirmar que o algoritmo irá execu-
tar colocar os elementos do vetor em ordem crescente. O que já elimina as alternativas D e E.
Nos resta agora determinar o numero total de trocas que serão efetuadas quando o al-
goritmo for executado recebendo como parâmetros o vetor 5, 3, 1, 2, 4. Para isso, teremos
que executar o algoritmo passo a passo, até que o vetor esteja completamente ordenado,
momento a partir do qual não ocorreram mais trocas de posição entre os elementos. O
passo a passo da execução é mostrado a seguir:
Início :: vet = {5;3;1;2;4}
i=0,j=4,pos=2 :: vet = {1;3;5;2;4}
i=1,j=4,pos=3 :: vet = {1;2;5;3;4}
i=2,j=4,pos=3 :: vet = {1;2;3;5;4}
i=3,j=4,pos=4 :: vet = {1;2;3;4;5}
Portanto, ocorreram 4 trocas no total, e o vetor será ordenado de forma crescente. Com
isso, a resposta da questão é a alternativa A.
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10. Assuntos relacionados: Algoritmos de Ordenação, Heapsort,
Banca: ESAF
Instituição: Secretaria do Tesouro Nacional (STN)
Cargo: Analista de Finanças e Controle - Tecnologia da Informação / Desenvolvimento de
Sistemas de Informação
Ano: 2008
Questão: 24
Considere a execução do algoritmo de ordenação Heap (ou Heap Sort), em sua versão em-
local (in-place), ao arranjo 13, 18, 10, 8, 11. Qual é a saída gerada, após a execução dos três
(3) primeiros passos do algoritmo?
(a). 13, 18, 10, 11, 8
(b). 18, 13, 10, 11, 8
(c). 8, 13, 10, 11, 18
(d). 13, 10, 11, 8, 18
(e). 18, 13, 10, 8, 11
Solução:
O Heap Sort (ou Heapsort) é um algoritmo de ordenação que faz uso de uma estrutura de
dados chamada heap. Ele ordena localmente (in-place), significando que apenas um número
constante de elementos do arranjo é armazenado fora do arranjo de entrada em qualquer
instante. Em outras palavras, um algoritmo in-place pode até utilizar estruturas auxiliares
de dados, mas a quantidade dessas estruturas deve ser fixa, e não relacionada (dependente)
ao tamanho da estrutura de entrada.
A estrutura de dados heap é um objeto arranjo que pode ser visto como uma árvore bi-
nária praticamente completa, sendo que cada nó dessa árvore corresponde a um elemento
do arranjo que armazena o valor no nó. Um arranjo A, com uma quantidade de elementos
definida por comprimento[A], tem por raiz o elemento A[1]. Dado o índice i de um nó, o
índice de seu pai PARENT(i), do filho da esquerda LEFT(i) e do filho da direita RIGHT(i)
podem ser calculados de modo simples.
Existem dois tipos de heaps binários: heaps máximos e heaps mínimos. Os primeiros satis-
fazem a seguinte propriedade:
A[PARENT(i)] ≥ A[i]
isto é, o valor de um nó é no máximo o valor de seu pai. Desse modo, o maior elemento
em um heap máximo é armazenado na raiz, e a subárvore que tem raiz em um nó contém
valores menores que o próprio nó. Um heap mínimo, organizado de forma oposta, satisfaz a
seguinte propriedade:
A[PARENT(i)] ≥ A[i]
sendo que sua raiz contém o menor elemento do arranjo.
A Figura 2 ilustra uma estrutura heap máximo de 10 elementos para o arranjo A = [16, 14,
10, 8, 7, 9, 3, 2, 4, 1].
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Figura 2: estrutura heap máximo de 10 elementos para o arranjo A = [16, 14, 10, 8, 7, 9, 3, 2,
4, 1].
Quando um novo elemento é adicionado ao arranjo, é necessário manter a propriedade de
heap, o que pode ser feito com as sub-rotinas MAX-HEAPFY e MIN-HEAPFY. Para o caso
de um heap máximo, tem-se:
MAX-HEAPFY(A, i)
l ← LEFT(i)
R ← RIGHT(i)
if l ≤ tamanho-do-heap[A] e A[l] > A[i]
then maior ← l
else maior ← i
if r ≤ tamanho-do-heap[A] e A[r] > A[maior]
then maior ← r
if maior 6= i
then trocar A[i] ↔ A[maior]
MAX-HEAPFY(A, maior)
Quando MAX-HEAPFY é chamada, supõe-se que as árvores binárias com raízes em LEFT(i)
e RIGHT(i) são heaps máximos, mas que A[i] pode ser menor que seus filhos, violando assim
a propriedade de heap máximo. A função de MAX-HEAPFY é possibilitar que o valor em
A[i] ocupe o lugar adequado na estrutura, de tal forma que a subárvore com raiz no índice
i se torne um heap máximo.
É possível utilizar o procedimento MAX-HEAPFY para transformar um arranjo A[1..n],
com n=comprimento[A], em um heap máximo. O procedimento BUILD-MAX-HEAP efe-
tua tal operação:
BUILD-MAX-HEAP(A)
tamanho-do-heap[A] ← comprimento[A]
for i ← b comprimento[A]/2 c downto 1
do MAX-HEAPFY(A, i)
A Figura 3 ilustra o uso do procedimento BUILD-MAX-HEAP para o arranjo A=[4, 1, 3,
2, 16, 9, 10, 14, 8, 7].
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Figura 3: uso do procedimento BUILD-MAX-HEAP para o arranjo A=[4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14,
8, 7].
Observa-se que existe uma tendência de os valores do arranjo A ficarem ordenados após a
execução do procedimento. Mas não há tal obrigatoriedade, pois a propriedade de heap má-
ximo não tem relação com ordenação. Entretanto, é possível utilizar os dois procedimentos
previamente apresentados para ordenar o arranjo A. E é essa a função do algoritmo Heap
Sort.
HEAPSORT(A)
BUILD-MAXHEAP(A)
for i ← comprimento[A] downto 2
do trocar A[1] ↔ A[i]
tamanho-do-heap[A] ← tamanho-do-heap[A] � 1
MAX-HEAPFY(A, 1)
Para os dados apresentados na questão, A = [13, 18, 10, 8, 11], tem-se a sequência de
processamento apresentada na Figura 4.
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Figura 4: sequência de processamento do algoritmo de ordenação Heap ao arranjo 13, 18, 10, 8,
11.
Infelizmente, a questão não especifica o significado de �passo�, de sorte que fica difícil para
o candidato definir saídas. Questão prejudicada.
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Questão Resposta
1 E2 B
3 C
4 A
5 B
6 B
7 D
8 A
9 A
10 E
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Índice Remissivo
Árvore B, 8
Árvore Binária de Busca, 12
Árvores Binárias, 12
Algoritmos, 4, 6
Algoritmos de Ordenação, 15, 17, 19, 21, 23
Bubble Sort, 21
Busca Binária, 10
Busca Sequencial, 10
Complexidade de Algoritmos, 4, 6
Estruturas de Dados, 12, 19
Heapsort, 15, 23
Método de Ordenação da Bolha, 21
Métodos de Busca, 8
Ordenação por Árvore de Decisão, 15
Ordenação por Comparação, 15
Ordenação por Inserção, 15
Ordenação por Intercalação, 15
Pesquisa Binária, 8
Programação, 17, 21
Quicksort, 15
28