Gabarito da Lista 9 - AREAS USANDO INTEGRAL DEFINIDA e APLICACOES

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
 CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO I PROFESSOR: MARIA LUISA MANCINI 
 
 
 
 
 
 
ALUNO:....................................................................................
................................................ 
................................................................................ 
R.A.: ................... 
 (EM LETRA DE FORMA) 
ASSINATURA DO ALUNO: .............................................................................. 
 
 LISTA Nº: 09 
 
EXERCICIOS DE ÁREAS USANDO INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
1) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 
𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 
RESPOSTA: 1,86 𝑢. 𝑎. 
 
2) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 4 ; 𝑦 = 0 ; 
𝑥 = 0 e 𝑥 = 5 . 
RESPOSTA: 
43
2
 𝑢. 𝑎. 
 
3) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 ; 𝑦 = 0 ; 𝑥 = 4 
RESPOSTA: 
16
3
 𝑢. 𝑎. 
 
 
 
 
 
        








x
y
               















x
y
             














x
y
INTERSEÇÃO: 𝑥2 − 4 = 𝑥 − 3 ⇒ 𝑥 =
1±√5
2
 
 
∫ [(𝑥 − 3) − (𝑥2 − 4)]𝑑𝑥 ≈ 1,86
1+√5
2
1−√5
2
 
A1 
A2 
INTERSEÇÃO: 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 4 
 
 
At =A1 + A2 = − ∫ (𝑥2 − 3𝑥 − 4)𝑑𝑥 + ∫ (𝑥2 − 3𝑥 − 4)𝑑𝑥 =
43
2
5
4
4
0
 
 
 
A= ∫ √𝑥𝑑𝑥 =
16
3
4
0
 
 
4) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 8 ; 𝑦 = 0 ; 
𝑥 = −1 e 𝑥 = 4 . 
RESPOSTA: 31
2
3
 𝑢. 𝑎. 
 
5) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 e 
𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 . 
RESPOSTA: 10
2
3
 𝑢. 𝑎. 
 
6) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 1 
𝑦 = 𝑔(𝑥) = −𝑒𝑥 − 1 ; 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1 . 
RESPOSTA: 
2
3
+ 𝑒 −
1
𝑒
 𝑢. 𝑎. 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 3,02 𝑢. 𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          



















     










 
 
A = − ∫ (−𝑥2 + 4𝑥 − 8)𝑑𝑥 =
95
3
4
−1
 
INTERSEÇÃO: 𝑥2 − 4 = 2𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 3 
 
 
A = ∫ [(2𝑥 − 1) − (𝑥2 − 4)]
3
−1
𝑑𝑥 = ∫ [3 + 2𝑥 − 𝑥2]𝑑𝑥
3
−1
=
32
3
 
 
 
A = ∫ [(𝑥2 − 2𝑥 − 1) − (−𝑒𝑥 − 1)]𝑑𝑥
1
−1
= 
2
3
+ 𝑒 −
1
𝑒
 
 
7) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 ; 𝑦 = 0 no intervalo 
[−1; 1] 
RESPOSTA: 
1
2
 𝑢. 𝑎. 
 
8) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 
𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 . 
RESPOSTA: 8 𝑢. 𝑎. 
 
 
9) Calcule, usando integral definida, a área limitada pelas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5 
𝑦 = 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 + 5 
RESPOSTA: 9 𝑢. 𝑎. 
 
 






A1 
A1 
 
 
A = A1 + A2 = − ∫ 𝑥3𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ 𝑥3𝑑𝑥
1
0
=
1
2
 
INTERSEÇÃ: 𝑥3 − 3𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 ⇒ 𝑥 = −2, 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2 
 
 
 A = A1 + A2 = 
= ∫ [(𝑥3 − 3𝑥 + 3) − (𝑥 + 3)]𝑑𝑥
0
−2
 
+ ∫ [(𝑥 + 3) − (𝑥3 − 3𝑥 + 3)]𝑑𝑥
2
0
= 8 
INTERSEÇÃO: 𝑥2 + 5 = −𝑥2 + 6𝑥 + 5 ⇒ 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 3 
 
 
A= 
= ∫ [(−𝑥2 + 6𝑥 + 5) − (𝑥2 + 5)]𝑑𝑥
3
0
 
= ∫ (−2𝑥2 − 6𝑥)𝑑𝑥
3
0
= 9 
 
10) Câmara aprova dobrar pena de alcoolizado que provoca acidente fatal 
 
A Câmara dos Deputados aprovou nesta quarta-feira (23/09/2015) projeto de lei que dobra a pena para o 
motorista alcoolizado que provocar acidente com morte. Atualmente, a punição para quem dirigir embriagado 
e provocar acidente fatal é de 2 a 4 anos de detenção, além da suspensão da permissão para dirigir veículo 
automotor. Pela proposta aprovada pelos deputados, a pena para o homicídio culposo (sem intenção de 
matar) cometido por motorista embriagado passará a ser de 4 a 8 anos de reclusão. Assim, quem pegar a 
pena máxima terá que cumprir a punição na cadeia, em regime fechado. O texto agora segue para o Senado 
antes de ir à sanção presidencial. (Fonte: http://g1.globo.com/politica/noticia/2015/09/camara-aprova-dobrar-
pena-de-quem-provoca-acidente-fatal-alcoolizado.html. Acesso 05/10/2015). 
 
Como resultado de leis severas, visando à redução do número de acidentes de trânsito causados pelo 
uso de bebidas alcoólicas em um certo País, dados preliminares indicam que o número de tais 
acidentes vem mudando à 𝐓𝐚𝐱𝐚 (
𝐝𝐟
𝐝𝐭
) de 
df
dt
(t) = 10 − tet 
𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑚ê𝑠
 t meses após a aprovação das leis. 
Antes da decretação das leis foram registrados, em todo o país 101 casos de acidentes relacionados ao 
uso de álcool por mês. Determine quantos casos de acidentes relacionados ao uso de álcool são 
esperados durante o mês t (f(t)) após a decretação das leis. 
 
RESPOSTA: ∫(10 − 𝑡𝑒𝑡)𝑑𝑡 = 10𝑡 − 𝑡𝑒𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝐶 
11) A velocidade de um automóvel é dada por V(x) = (2𝑥 + 1)2m/s. Determinar a distância 
percorrida pelo carro em 2 segundos. 
RESPOSTA: 6m/s 
RESPOSTA: ∫ (2𝑥 + 1)2𝑑𝑥
2
0
=
(2𝑥+1)3
6
∕0
2=
125
6
−
1
6
=
124
6
 
 
12) A gerência da Staedtler Office Equipment determinou que a função custo marginal (derivada do custo 
total) diário associada à produção de apontadores de lápis é dada por: 
𝐶)(𝑥) = 0,000006𝑥2 − 0,006𝑥 + 4 
Onde 𝐶)(𝑥): é medida em dólares por unidade e 𝑥 denota o número de unidades produzidas. 
A gerência também determinou que o custo diário envolvido na produção destes apontadores é de 100 
dólares. Determine o custo total diário da Staedtler para produzir: 
𝐶(𝑥) = ∫(0,000006𝑥2 − 0,006𝑥 + 4)𝑑𝑥 = 0,000002𝑥3 − 0,003𝑥2 + 4𝑥 + 𝑘 
Para x=0, temos: C(0) = 100 
 K = 100 
Logo: 
𝐶(𝑥) = 0,000002𝑥3 − 0,003𝑥2 + 4𝑥 + 100 
 
a) As primeira 500 unidades; 
𝐶(500) = 0,000002(500)3 − 0,003(500)2 + 4(500) + 100 = 1500 
b) Da unidade 201 à unidade 400 
𝐶(400) − 𝐶(201) = ∫ (0,000006𝑥2 − 0,006𝑥 + 4)𝑑𝑥
400
201
= 0,000002𝑥3 − 0,003𝑥2 + 4𝑥 ∕201
400= 552