EP9-MB-2014-1 aula 7

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2014 - 1 EP 09 
Prezado aluno, 
para esta semana, você deve estudar as aulas 5 e 8 do livro, sobre fatoração de 
expressões e equação do 2º grau. Esses dois assuntos estão interligados e a nossa 
apostila os aborda numa só aula, a aula 7. Faça os exercícios propostos na aula e no livro 
com atenção, pois embora seja um assunto conhecido pelos alunos, verificamos que 
vocês ainda cometem muitos erros. Então, vamos estudar e acabar com as pendências! 
Bom estudo! 
Coordenadores da disciplina 
 Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
Miriam Abdón 
 
 
Exercícios: 
1) Resolva, se possível, as equações em ℝ. 
a) 𝑥2 + 6𝑥 + 2 = −3 
b) 5𝑥2 + 3𝑥 = 𝑥 − 1 
c) 𝑥 −
3
𝑥
= 1 
d) 𝑥2 − √2𝑥 +
1
2
= 0 
 
2) O número de diagonais de um polígono convexo de 𝑥 lados é dado por 𝐷(𝑥) =
𝑥(𝑥−3)
2
=
𝑥2−3𝑥
2
. 
a) Se o polígono possui 9 diagonais, quantos lados tem o polígono? 
b) Determine o polígono, cujo número de diagonais é igual ao triplo do número de 
lados. 
 
3) (UFF-adaptado) O custo, em reais, de fabricação de x peças em determinada fábrica é 
𝐶(𝑥) = 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 . Sabe-se que: 
I) Se nenhuma peça for produzida, o custo fixo é de 80 reais. 
II) Se forem produzidas 30 peças, o custo é de 50 reais. 
III) Se forem produzidas 50 peças, o custo é de 130 reais. 
a) Determine as constantes m ,n e p. 
b) Calcule o custo da produção de 60 peças. 
c) Quantas peças produzidas levam a um custo de 200 reais? 
 
4) Determine o conjunto dos números reais onde a expressão está bem definida 
a) 𝐸(𝑥) =
1
𝑥
2𝑥2+𝑥−1
 
b) 𝐸(𝑥) =
𝑥
2𝑥2+𝑥+1
 
c) 𝐸(𝑥) =
2
3𝑥2+𝑥
𝑥2+2𝑥+1
 
 
5) O lucro de uma empresa é dado por 𝐿(𝑥) = 100(10 − 𝑥)(𝑥 − 2), onde 𝑥 é a 
quantidade vendida. Determine 𝑥 para que o lucro seja máximo. 
 
 
6) Determine dois números inteiros consecutivos cuja soma de seus inversos seja 
9
20
. 
 
7) Simplifique: 
 
a) 
(2𝑥+1)3+(2𝑥+1)2
(𝑥2−1)
 
b) 
𝑥2(3𝑥−1)2+(3𝑥2+𝑥)2
𝑥2 
 
 
 
8) Determine a soma dos valores de y que pertencem ao conjunto solução do sistema 
abaixo: 
{
𝑥𝑦2 − 𝑥2 = 8𝑥
𝑦 + 2𝑥 = 5
 
 
9) Determine os valores que a constante 𝑚 pode assumir, tais que a equação 𝑚𝑥2 +
(𝑚 + 2)𝑥 +
𝑚
4
= 0, tenha: 
a) duas raízes reais distintas; 
b) uma raiz real com multiplicidade 2; 
c) uma raiz real com multiplicidade 1. 
 
10) Determine o valor de m, tal que a equação 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 3𝑚2 + 9𝑚 − 30 = 0 , possua 
uma raiz nula e a outra negativa. 
 
11) A idade de uma criança daqui a 17 anos será o quadrado da idade que tinha há 3 anos 
atrás. Qual é a idade da criança? 
 
12) Se 𝑥 − 𝑦 = 7 e 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 = 210 , determine o valor numérico de 𝑥𝑦 . 
 
 
13) Se 𝑥 − 𝑦 = 7 e 𝑥𝑦 = 60, determine o valor numérico de 𝑥2 + 𝑦2 e de 
𝑥2(𝑦 − 𝑥) + 𝑦2(𝑦 − 𝑥). 
 
14) Se 𝑎 + 𝑏 = 10 e 𝑎𝑏 = 24 , determine o valor numérico de 
𝑎3𝑏 + 2𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3. 
 
15) Qual o valor numérico de 5399992 − 4600012 . 
 (Sugestão: use a fatoração 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏).) 
Gabarito do EP 08 
1) Uma aplicação oferece 1% ao mês de juros. Determine o montante gerado da 
aplicação de R$ 1000,00 por 4 meses. 
Solução: 𝑀4 = 1000(1 + 0.01)
3 = 1000(1.01)3 ≅ 1030,30 reais. 
2) Há bactérias que se reproduzem por bipartição, isto é, cada uma se divide em duas ao 
atingir determinado tamanho. Suponha que em uma cultura haja 3.27 dessas bactérias 
e cada uma delas se divida dando origem à primeira geração, cada bactéria da primeira 
geração se divida em duas, dando origem a segunda geração, e assim sucessivamente. 
Em que geração o número de indivíduos será 3.225? 
 
Solução: A sequência de variação da população de bactérias é a progressão geométrica de razão 
2 e com primeiro termo a1 = 3.27. Para an = 3.225, temos 
3.225 = 3.27.2n  1 , donde 25 = n + 6, donde n = 19. 
Assim, a resposta é a 18ª geração. (Note que a primeira geração, por convenção, é a2.) 
 
 
3) Escreva o número 402010 como a expressão de uma soma de progressão geométrica. 
Solução: 402010 = 10 + 2 × 103 + 4 × 105 , assim considere a pg cujos três primeiros 
termos são 10, 2 × 103 , 4 × 105, de razão 𝑟 = 2 × 102 . 
 
4) Um aluno resolveu fazer um teste e divulgar um boato na universidade, ele disse que havia 
ficado milionário ganhando uma herança. Supondo que o aluno começou a divulgar a notícia 
contando para 3 alunos e que cada aluno ao saber da notícia contou a três outros alunos, 
determine : 
a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no 5º dia? 
b) Quantos alunos souberam do boato até o 5º dia? 
c) Quantos dias foram necessários para que mais de 5000 pessoas soubessem do boato? 
 
Solução: a) Formamos uma pg de razão q=3, (3,9,27,81,...), onde cada termo 𝑎𝑛 = 3
𝑛 
representa a quantidade de alunos que ficaram sabendo no n-ésimo dia. Assim, no 5º dia mais 
𝑎5 = 3
5 = 243 alunos ficaram sabendo. 
b) Até o 5º dia tivemos que ficaram sabendo 𝑆5 =
1
)1(1


q
qa n
=
3(35−1)
3−1
 =363 alunos (não 
incluímos o dono do boato). 
c) Sn =
3(3n−1)
3−1
=
3n+1−3
2
> 5000 ⇔ 3n+1 > 10003 
Experimentando os expoentes: 
Se n=6 ⇒ 3n+1 = 37 = 2187 (não serve) 
 
Se n=7 ⇒ 3n+1 = 38 = 6561 (não serve) 
Se n=8 ⇒ 3n+1 = 39 = 19683 (ok!) 
Assim, foram necessários 8 dias para que mais de 5000 pessoas ficassem sabendo. 
 
5) O 5º termo de uma progressão geométrica é 768 e o 8º termo é 49152. Determine o 
3º termo da progressão. 
Solução: Temos que 𝑎8 = 𝑎5 𝑞
3 onde q é a razão da PG, assim temos que 49152 =
 −768 𝑞3, portanto o valor de 𝑞3 = −64, temos que a razão será -4. 
Agora o terceiro termo pode ser calculado a partir do quinto já que 𝑎5 = 𝑎3 𝑞
2, o que 
nós dá que 𝑎3 = 𝑎5 𝑞
−2 = −
768
16
= −48. 
 
 
6) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão 
geométrica, nessa ordem. Determine a área do quadrado. 
Solução: chamando o comprimento do lado de a, temos que a, 4a e que 𝑎2 estão em 
progressão geométrica de razão q, como 4a é o segundo termo temos que 4𝑎 = 𝑎 𝑞, 
dai temos que a razão é 4. 
Com isto já que 𝑎2 é o terceiro termo, temos que 𝑎2 = 𝑎 42, assim 42 = 16 = 𝑎. Assim 
o lado mede 16 e a área será 64. 
 
 
7) 2 e x são termos consecutivos, nessa ordem, de uma progressão aritmética de razão 
r>0. Também x e 2 são termos consecutivos, nessa ordem, de uma progressão 
geométrica de mesma razão r. Determine r e x. 
Solução: Por hipótese 𝑥 = 2 + 𝑟 * e 𝑥𝑟 = 2**. Substituindo, * em **, temos (2 + 𝑟)𝑟 = 2 ⇔
𝑟2 + 2𝑟 − 2 = 0 ⇔ 𝑟 =
−2±√4+8
2
=
−2±√12
2
=
−2±√4×3
2
=
−2±√22×3
2
=
−2±2√3
2
=
2(−1±√3)
2
=
−1 ± √3. Como r>0, temos que r=−1 + √3 e 𝑥 = 2 + 𝑟 = 2 − 1 + √3 = 1 + √3. 
 
8) Numa obra de arte moderna foram utilizados palitos de sorvete empilhados da 
seguinte forma : 
1ª pilha 2ª pilha 3ª pilha 4ª pilha 
1 palito 2 palitos 4 palitos 8 palitos 
E assim sucessivamente. Determine a quantidade de palitos empilhados na 60ª pilha. 
Solução: A quantidade de palitos em cada pilha forma uma PG, cujo primeiro termo é 𝑎1=1 e 
cuja razão é 2, assim o número de palitos na 60ª pilha será de 259 palitos.