Teste 3 cursão
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Teste 3 cursão


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Terceiro teste de MA111 \u2013 Cálculo I - Cursão
1.o semestre de 2015 \u2013 11/06/2015
Nome:
RA:
Questões Valores Notas
1.a 5
2.a 5
Total 10
ATENÇÃO: Cada resposta deve ser redigida com todos os detalhes. É vedado o uso de
qualquer aparelho eletrônico durante o período de realização do teste, a menos que seja explici-
tamente autorizado.
1.a Questão. Dados a \u2208 R, a> 0, e n \u2208 N, seja
Jn(a) :=
\u222b a
0
xne\u2212xdx.
a) [1.0] Verifique que
J0(a) = 1\u2212 1ea .
b) [1.5] Usando integração por partes, mostre que
Jn(a) = nJn\u22121(a)\u2212 a
n
ea
.
c) [1.5] Definimos a função Gama por
\u393(n) :=
\u222b \u221e
0
xn\u22121e\u2212xdx= lim
a\u2192\u221eJn\u22121(a).
Conclua do item a) que \u393(n+1) = n\u393(n) e que, portanto,
\u393(n+1) = n! .
d) [1.0] Justifique a seguinte desigualdade:\u222b a
0
xne\u2212xdx\u2264
\u222b a
0
xndx, para qualquer a> 0,
e utilizando-a, conclua que
lim
n\u2192\u221eJn(a) = 0, para qualquer 0 < a< 1.
2.a Questão.
a) [2.5] Calcule a integral \u222b pi/6
0
\u221a
1+ senxdx.
Sugestão: multiplique por \u221a
1\u2212 senx
1\u2212 senx .
b) [2.5] Encontre a área da região do plano limitada abaixo pela reta y = 1 e acima pelo
gráfico de y=
\u221a
1+ cosx com 0\u2264 x\u2264 pi/2.
Bom Teste!