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__________________________________________________________________Formulário 6 
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APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS DOS INTEGRAIS DEFINIDOS 
 
 
1. Áreas de regiões planas 
a) Sejam f, g: [a, b] → IR funções contínuas e tais que g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a, b]. A área da região delimitada pelos 
gráficos de f, g e pelas rectas x = a e x = b é dada por 
A = [ ]∫ −b
a
dx)x(g)x(f . 
b) Sejam g, f: [c, d] → IR funções contínuas e tais que f(y) ≤ g(y), ∀ y ∈ [c, d]. A área da região delimitada 
pelos gráficos de g, f e pelas rectas y = c e y = d é dada por 
A = [ ]∫ −d
c
dy)y(f)y(g . 
c) Sejam φ, ψ : [α, β] → IR funções com derivadas contínuas e tais que ⎩⎨
⎧
=
=
)t(y
)t(x
ψ
φ
, com t ∈ [α, β], representa 
uma função y = f(x). Se esta for a situação de alguma das funções das alíneas a) e b) acima, então a área pode ser 
calculada através da substituição x = φ (t) e y =ψ (t), respectivamente, no integral. 
 
2. Comprimentos de curvas planas 
a) Sejam f: [a, b] → IR e a sua derivada f ’ contínuas. O comprimento da curva definida pelo gráfico de y = f(x) 
desde o ponto (a, f (a)) até ao ponto (b, f (b)) é dado por 
L = [ ]∫ +b
a
)x´(f 21 dx. 
b) Sejam g: [a, b] → IR e a sua derivada g ’ contínuas. O comprimento da curva definida pelo gráfico de x 
= g(y) desde o ponto (g(c), c) até ao ponto (g(d), d) é dado por 
L = [ ]∫ +d
c
)y´(g 21 dy. 
c) Sejam φ, ψ: [α, β] → IR funções com derivadas contínuas e tais que ⎩⎨
⎧
=
=
)t(y
)t(x
ψ
φ
, com t ∈ [α, β], representa 
uma função y = f (x). O comprimento da curva desde o ponto (φ (α),ψ (α)) até ao ponto (φ (β),ψ (β)) é dado por 
L = [ ] [ ]∫ +β
α
ψφ 22 )t(')t(' dt. 
 
3. Volumes de sólidos de revolução 
 
a) Sejam f, g: [a, b] → IR funções contínuas e tais que 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b]. E seja R a região delimitada 
pelos gráficos de f e de g e pelas rectas x = a e x = b. O volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R, 
(i) em torno do eixo Ox é [ ] [ ]( )dxb
a
)x(f)x(gV ∫ −= 22π . 
Formulário 6 __________________________________________________________________ 
 
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(ii) em torno do eixo Oy é ( )dx
b
a
)x(f)x(gxV ∫ −= π2 . 
b) Sejam f, g: [c, d] → IR funções contínuas e tais que 0 ≤ f(y) ≤ g(y), ∀ y ∈ [c, d]. E seja R a região delimitada 
pelos gráficos de f e de g e pelas rectas y = c e y = d. O volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R, 
(i) em torno do eixo Ox é ( )dy
d
c
)y(f)y(gyV ∫ −= π2 . 
(ii) em torno do eixo Oy é [ ] [ ]( )dyd
c
)y(f)y(gV ∫ −= 22π . 
c) Sejam φ, ψ : [α, β] → IR funções com derivadas contínuas e tais que ⎩⎨
⎧
=
=
)t(y
)t(x
ψ
φ
, com t ∈ [α, β], representa 
uma função y = f (x). Se esta for a situação de alguma das funções das alíneas a) e b) acima, então a área pode ser 
calculada através da substituição x = φ (t) e y =ψ (t), respectivamente, no integral. 
 
4. Áreas de superfícies de revolução 
 
a) Sejam f: [a, b] → IR e a sua derivada, f’ , contínuas e f(x) ≥ 0. A área da superfície de revolução gerada pela 
rotação do gráfico de y = f(x), entre x = a e x = b, 
(i) em torno do eixo Ox, é [ ]∫ += b
a
)x´(f)x(fsA
212π dx. 
(ii) em torno do eixo Oy, é [ ]∫ += b
a
)x´(fxsA
212π dx. 
b) Sejam g: [c, d] → IR e a sua derivada, g ’, contínuas e g(y) ≥ 0. A área da superfície de revolução gerada pela 
rotação do gráfico de x = g(y), entre y = c e y = d, 
(i) em torno do eixo Ox, é [ ]∫ += d
c
)y´(gysA
212π dy. 
(ii) em torno do eixo Oy, é [ ]∫ += d
c
)y´(g)y(gsA
212π dy. 
c) Sejam φ, ψ: [α,β] → IR funções com derivadas contínuas e tais que ⎩⎨
⎧
=
=
)t(y
)t(x
ψ
φ
, com t ∈ [α, β], representa 
uma função y = f(x). A área da superfície de revolução gerado pela rotação do gráfico de f, 
(i) em torno do eixo Ox, é [ ] [ ]∫ += β
α
ψφψπ 222 )t´()t´()t(sA dt. 
 (ii) em torno do eixo Oy, é [ ] [ ]∫ += β
α
ψφφπ 222 )t´()t´()t(sA dt.