Revisao Matematica

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FIS641 - Eletromagnetismo I Revisão - alguns requisitos matemáticos
1 Convenções
Coord. Cartesianas: P (x , y , z ), base (xˆ, yˆ, zˆ) Coord. Cilíndricas: P (ρ,ϕ, z ), base (ρˆ, ϕˆ, zˆ)
Coord. Esféricas: P (r,θ ,ϕ), base (rˆ, θˆ , ϕˆ) Coord. Genéricas: P (x1, x2, x3), base (xˆ 1, xˆ 2, xˆ 3)
Vetor posição: r = x xˆ+ y yˆ+ z zˆ =ρ ρˆ + z zˆ = r rˆ Coeficientes métricos: hi , i = 1, 2, 3
2 Sistemas de Coordenadas
2.1 Coeficientes métricos
Neste sistema, os elementos de deslocamento, superfície e volume são, respectivamente:
d r = d l =
3∑
i=1
hi d xi xˆ =h1 d x1 xˆ 1 +h2 d x2 xˆ 2 +h3 d x3 xˆ 3
d Si j = hi h j d xi d x j
d V =
3∏
i=1
hi d xi = h1h2h3 d x1 d x2 d x3
2.1.1 Coordenadas Cartesianas
hx = hy = hz = 1
2.1.2 Coordenadas Cilíndricas
hρ = hz = 1, hϕ =ρ
2.1.3 Coordenadas Esféricas
hr = 1, hθ = r, hϕ = r senθ
2.2 Gradiente
Considere uma função escalarφ(r). A equaçãoφ(r) =φ0 representa uma superfície no espaço euclidi-
ano em três dimensões. O vetor gradiente deφ num ponto qualquer dessa superfície é perpendicular
à ela no ponto em questão, sentido deφ crescente, tendo como magnitude a derivada direcional má-
xima da função naquele ponto. Portanto,
dφ =∇φ ·d r.
A expressão do gradiente em um sistema genérico de coordenadas é:
∇φ =
3∑
i=1
1
hi
∂ φ
∂ xi
xˆ i =
1
h1
∂ φ
∂ x1
xˆ 1 +
1
h2
∂ φ
∂ x2
xˆ 2 +
1
h3
∂ φ
∂ x3
xˆ 3
2.3 Divergente
O divergente de um vetor A(r) num ponto do espaço é o fluxo daquele vetor que nasce no ponto em
questão, por unidade de volume:
∇·A = lim
∆v→0
1
∆v
∮
∆S
A · nˆ d S .
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Daí se pode obter facilmente o teorema de Gauss:
∮
S
A·nˆ d S =
∫
v
∇·A d v .
A expressão do divergente em um sistema genérico de coordenadas é:
∇·A = 1
h1h2h3
�
∂
∂ x1
(h2h3A1) +
∂
∂ x2
(h3h1A2) +
∂
∂ x3
(h1h2A3)
�
2.4 Rotacional
O componente do rotacional numa direção nˆ do espaço representa a densidade superficial da circu-
lação do vetor num plano perpendicular a nˆ:
(∇×A) · nˆ = lim
∆S→0
1
∆S
∮
∆l
A ·d r.
Daí se obtem facilmente o teorema de Stokes:
∮
l
A ·d r =
∫
S
∇×A · nˆ d S .
A expressão do rotacional em um sistema genérico de coordenadas é 1:
∇×A = 1
h1h2h3
�����������
h1xˆ 1 h2xˆ 2 h3xˆ 3
∂
∂ x1
∂
∂ x2
∂
∂ x3
h1A1 h2A2 h3A3
�����������
=
3∑
i , j ,k=1
εi j k
xˆ i
h j hk
∂ (hk Ak )
∂ x j
2.5 Laplaciano
A expressão do laplaciano em um sistema genérico de coordenadas é:
∇2φ = 1
h1h2h3
�
∂
∂ x1
�
h2h3
h1
∂ φ
∂ x1
�
+
∂
∂ x2
�
h3h1
h2
∂ φ
∂ x2
�
+
∂
∂ x3
�
h1h2
h3
∂ φ
∂ x3
��
3 Ângulo Sólido
É uma medida da abertura espacial determinada por uma superfície em relação a um ponto de refe-
rência que não pertença a ela. Comecemos com uma superfície em forma de uma calota esférica de
raio R . O ângulo sólido, medido em esfero-radianos ou stereo-radianos (sr) é, por definição
Ω=
A
R 2
,
sendo independente do raio da esfera, pois a área é proporcional ao quadrado do raio. Para generalizar,
consideremos um elemento de área∆S muito pequeno; Sendo R a distância do ponto de referência P
ao centro de ∆S , e ∆S ′ a calota de uma esfera de raio R com centro em P , o ângulo sólido será
∆Ω≈ ∆S ′
R 2
=
∆S nˆ · Rˆ
R 2
,
onde nˆ é o versor perpendicular as ∆S ′. No limite ∆S ′→ 0, temos
dΩ=
nˆ · Rˆ
R 2
d S =⇒ Ω=
∫
S
nˆ · Rˆ
R 2
d S .
Denotando por r′ o vetor posição de P , a expressão geral fica
Ω=
∫
S
(r− r′) · nˆ
|r− r′|2 d S .
1εi j k é o símbolo de Levi-Civita, definido comoεi j k =
§ ±1, se i , j , k for uma permutação par/ímpar de (1,2,3), respectivamente
0, em caso contrário
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O ângulo sólido total ao redor de um ponto qualquer é 4pi sr. Assim, temos que∮
S
(r− r′) · nˆ
|r− r′|2 d S = 4pi.
Em coordenadas esféricas, dΩ= senθ dθ dϕ.
4 O delta de Dirac
A "função"impulso unitário ou delta de Dirac, que não é uma função no sentido clássico, mas sim uma
distribuição2 pode ser definida de várias maneiras. Uma das mais comuns é a que se segue:
δ (x −a ) = 0, para x 6= a ,∫ ∞
∞
δ (x −a ) =
∫ a+"
a−"
δ (x −a ) = 1.
Algumas propriedades importantes:∫ ∞
∞
f (x )δ (x −a ) =
∫ a+"
a−"
f (x )δ (x −a ) = f (a )
δ (a x ) =
1
|a |δ (x )
δ[ f (x )] =
n∑
i=1
δ (x −ξi )
| f ′(ξi )| ,
onde os ξi são os zeros de f (x ) (obviamente, f deve possuir apenas zeros simples).
δ (x −a ) = d
d x
Θ (x −a ),
onde Θ(x −a ) é a função degrau unitário (igual a 0 para x < a , igual a 1 para x > a ).
Algumas representações do delta de Dirac:
δ (x ) =
1
pi
lim
"→0
"
x 2 + "2
=
1
pi
lim
"→0
e−(x/2")2
"
= lim
"→0
1
"
[Θ (x + "/2)−Θ (x − "/2)]
=
1
2pi
∫ ∞
−∞
e
.
ı k x d k
A função delta tri-dimensional é definida como
δ
�
r− r′�= 0, para r 6= r′ e ∫
v
δ
�
r− r′�d v = 1,
onde v é qualquer volume de integração que inclua o ponto r′. Ela satisfaz à importantíssima identi-
dade:
∇2 1|r− r′| =−∇·
(r− r′)
|r− r′|3 =−4piδ
�
r− r′�
2Schwartz, L. (1950-1951), Théorie des distributions, 1-2, Hermann
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5 Polinômios de Legendre
São as soluções regulares, no intervalo (−1,1), da equação diferencial
(1− x 2)y ′′−2x y ′+ `(`+1)y = 0, ` ∈N ,
que pode ser resolvida pelo método usual de série de potências (Frobenius). Apresentamos os primei-
ros:
P0 (x ) = 1 P1 (x ) = x P2 (x ) =
1
2
(3x 2−1) P3 (x ) = 12 (5x
3−3x ) P4 (x ) = 18 (35x
4−30x 2 +3).
Eles obedecem às seguintes relaçõe de recorrência, dentre outras:
(n +1)Pn+1 (x ) = (2n +1)x Pn (x )−nPn−1 (x ),
(2n +1)Pn (x ) = P
′
n+1(x )−P ′n−1(x ),
Função geratriz:
G (x ,t ) =
1p
1−2t x + t 2 =
∞∑
n=0
Pn (x ) t
n .
Fórmula de Rodrigues: Pn (x ) =
1
n ! 2n
d
d x n
�
x 2−1�n .
Propriedades: Pn (1) = 1, Pn (−x ) = (−1)n Pn (x ), P2n+1 (0) = 0, P2n (0) = (−1)n (2n −1)!!n ! 2n
Ortogonalidade no intervalo (−1,1):∫ 1
−1
Pn (x )P` (x )d x =
2
2n +1
δn`,
∫ pi
0
Pn (cosθ )P` (cosθ ) senθ dθ =
2
2n +1
δn`.
Outras relações úteis:
Pn (−1) = (−1)n ,
∫ 1
0
P2n (x )d x = 0, para n > 0,
∫ 1
0
P2n−1 (x )d x = (−1)n (2n −3)!!n ! 2n , para n > 1
6 Polinômios Associados de Legendre
São as soluções regulares, no intervalo (−1,1), da equação diferencial
(1− x 2)y ′′−2x y ′+
•
`(`+1)− m
1− x 2
˜
y = 0, `, m ∈N , m ≤ |`|.
Fórmula de Rodrigues: P m` (x ) =
(−1)m
`! 2`
�
1− x 2�m/2 d `+m
d x `+m
�
x 2−1�`.
Ortogonalidade:
∫ 1
−1
P mn (x )P
m
` (x )d x =
2
2`+1
(`+m )!
(`−m )!δn`
7 Harmônicos Esféricos
Definição: Y`m (θ ,ϕ) =
√√ (2`+1)(`−m )!
4pi(`+m )!
P m` (cosθ )e
i mϕ
Ortogonalidade:
∫ 2pi
0
∫ pi
0
Y`m Y
∗
`′m ′ (θ ,ϕ)senθ dθ dϕ =δ``′δmm ′
Expansão em Harmônicos Esféricos
f (θ ,ϕ) =
∞∑
`=0
∑`
m=−`
A`m Y`m (θ ,ϕ), com A`m =
∮
f (θ ,ϕ)Y ∗`m dΩ
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φ(r,θ ,ϕ) =
∞∑
`=0
∑`
m=−`

A`m r
`+
B`m
r `+1
‹
Y`m (θ ,ϕ)
Alguns Harmônicos Esféricos
Y00(θ ,ϕ) =
1p
4pi
, Y10(θ ,ϕ) =
√√ 3
4pi
cosθ , Y11(θ ,ϕ) =−
√√ 3
8pi
senθ e
.
ıϕ , Y1,−1(θ ,ϕ) =
√√ 3
8pi
senθ e−
.
ıϕ
Y20(θ ,ϕ) =
√√ 5
4pi

3
2
cos2θ − 1
2
‹
, Y21(θ ,ϕ) =−
√√ 5
24pi
3 senθ cosθ e
.
ıϕ , Y2,−1(θ ,ϕ) =
√√ 5
24pi
3 senθ cosθ e−
.
ıϕ ,
Y22(θ ,ϕ) =
√√ 5
96pi
3
2
senθ e
.
ı 2ϕ , Y2−2(θ ,ϕ) =
√√ 5
96pi
3
2
senθ e−
.
ı 2ϕ
Teorema da Adição: P`(rˆ·rˆ′) = 4pi2`+1
∑`
m=−`
Y`m (θ ,ϕ)Y
∗
`m (θ
′,ϕ′)
Conseqüentemente,
1
|r− r′| =
4pi
r>
∞∑
`=0
∑`
m=−`
1
2`+1
�
r<
r>
�`
Y`m (θ ,ϕ)Y
∗
`m (θ
′,ϕ′)
8 Equação de Bessel
Equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:
1
ρ
∂
∂ ρ
�
ρ
∂ ϕ
∂ ρ
�
+
1
ρ2
∂ 2φ
∂ ϕ2
+
∂ 2φ
∂ z 2
= 0
Pelo método de separação de variáveis escrevemosφ(ρ,ϕ, z ) = F
�
ρ
�
G
�
ϕ
�
H (z ), e obtemos
H ′′±λ2H = 0, λ ∈R (1)
G ′′+m 2G = 0 (2)
ρ2F ′′+ρF ′+ (∓λ2ρ2−m 2)F = 0 (3)
Para o sinal negativo de λ2 na primeira equação teremosH (z ) = A eλz + B e−λz
A substituição λρ = x , y (x ) = F (x/λ) na última conduz à equação de Bessel de ordem m
x 2 y ′′+ x y + (x 2−m 2)y = 0.
Por outro lado, a escolha dos sinais inversos conduz a
H (z ) = A cosλz + B senλz
e a mesma substituição com respeito a ρ leva à equação modificada de Bessel de ordem m
x 2 y ′′+ x y − (x 2 +m 2)y = 0.
Em qualquer caso a solução azimutal é
G
�
ϕ
�
= C cos mϕ+D sen mϕ.
Qual opção escolheremos dependerá fundamentalmente das condições de contorno, conforme
exemplicaremos adiante.
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8.1 Funções de Bessel de primeira espécie
Seja a equação de Bessel de ordem ν:
x 2 y ′′+ x y ′+ (x 2−ν2)y = 0.
Pelo método de Frobenius, tentamos
y (x ) =
∞∑
n=0
an x
p+n ,
que substituído na equação de Bessel nos leva a
p 2−ν2 = 0 =⇒ p =±ν.
Além disso, o coeficiente a1 e, consequentemente todos os coeficientes de ordem ímpar, resultam ser
nulos. Os pares podem ser obtidos recorrentemente em termos de a0 pela relação
an =− an−2(n +p )2−ν2 , n ≥ 2
A solução é uma série da forma
y = a0 x
νΓ (1+ν)
�
1
Γ (1+ν)
− 1
Γ (2+ν)
(x/2)2 + · · ·
�
= a02
ν(x/2)νΓ (1+ν)
�
1
Γ (1)Γ (1+ν)
− 1
Γ (2)Γ (2+ν)
(x/2)2 + · · ·
�
,
pois Γ (2) = Γ (1) e Γ (p +1) = pΓ (p ).
Definimos a função de Bessel de primeira espécie de ordem ν como
Jν(x ) =
∞∑
n=0
(−1)n
n !Γ (n +ν+1)

x
2
‹2n+ν
,
que é solução dessa equação (corresponde à escolha a0 = [2
νΓ (1+ν)]−1) e, pode-se mostrar, converge
para todo x .
Relações de recorrência e representação integral
Jn+1(x ) =
2n
x
Jn (x )− Jn−1(x ) = Jn−1(x )−2J ′n (x ) =−x n dd x [x
−n Jn (x )]
d
d x
�
x n Jn (x )
�
= x n Jn−1(x ) ou
∫
x n Jn−1(x )d x = x n Jn (x )
Jn (x ) =
1
pi
∫ pi
0
cos(nθ − x s e nθ )dθ
Segunda solução Para ν não inteiro, a segunda solução da equação de Bessel também pode ser ob-
tida pelo método de Frobenius. Obtemos
J−ν(x ) =
∞∑
n=0
(−1)n
n !Γ (n −ν+1)

x
2
‹2n−ν
,
que é linearmente independente de Jν(x ) Porém, para valores inteiros de ν Jν e J−ν são linearmente
dependentes. De um modo geral, podemos escrever a segunda solução de (8.1) em termos das
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8.2 Funções de Bessel de segunda espécie ou funções de Neumann
A função de Neumann é definida por
Nν =
Jν(x )cosνpi− J−ν(x )
senνpi
,
que embora seja indeterminada para ν inteiro, podemos em tal caso aplicar a regra de L’Hospital,
obtendo
Nn (x ) = lim
ν→n
1
pi
�
∂ Jν(x )
∂ ν
− (−1)n ∂ Jν(x )
∂ ν
�
ν=n
As funções de Neumann apresentam comportamento divergente quando x → 0.
8.3 Séries de Fourier-Bessel
Ortogonalidade Sendo λmn os zeros da função de Bessel de ordem m , Jm (λmn ) = 0, pode-se mostrar
que ∫ a
0
Jm (λmk x )Jm (λml x ) x d x =
a 2
2
[J ′m (λmk a )]2δml
A série Uma função arbitrária f (ρ) integrável no intervalo [0, a ] pode ser desenvolvida em série de
Bessel de ordem m
f (ρ) =
∞∑
n=1
βmn Jm
�
λmnρ
a
�
,
onde
βmn =
2
a 2[J ′m (λmn )]2
∫ a
0
f (ρ)Jm
�
λmnρ
a
�
ρdρ.
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