Capitulo 6 - Projeto de Fundações em Sapatas

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FACULDADE ASSIS GURGACZ 
Avenida das Torres, 500 - Loteamento FAG - Cascavel/PR 
 
FUNDAÇÕES E OBRAS DE TERRA 
2 BIMESTRE 
 
 
 
Prof. Me. Maycon André de Almeida 
 
 
 PROJETO DE FUNDAÇÕES EM SAPATAS 
 
 INTRODUÇÃO 
 
 
Quando o terreno é formado por uma espessa camada superficial, suficientemente compacta ou 
consistente, adota-se previamente uma fundação do tipo sapata, que é o primeiro tipo de fundação 
a ser considerada. Existe uma certa incompatibilidade entre alguns tipos de solos e o emprego de 
sapatas isoladas, pela incapacidade desses solos de suportar as ações das estruturas. 
ALONSO (1983) indica que, em princípio, o emprego de sapatas só é viável técnica e 
economicamente quando a área ocupada pela fundação abranger, no máximo, de 50% a 70% da 
área disponível. De uma maneira geral, esse tipo de fundação não deve ser usado nos seguintes 
casos: 
• Aterro não compactado; 
• Argila mole; 
• Areia fofa e muito fofa; 
• Solos colapsíveis; 
• Existência de água onde o rebaixamento do lençol freático não se justifica 
economicamente. 
A tensão admissível do solo pode ser determinada pelas expressões teóricas e empíricas discutidas 
no capítulo 4. A NB-51/1978 – Projeto e Execução de Fundações apresenta tensões admissíveis 
para vários tipos de solo, para o caso de se conhecer as propriedades do solo através da execução 
de sondagens confiáveis. 
As dimensões das sapatas serão referenciadas como “L”, para a dimensão maior, e “B”, para a 
dimensão menor e, sempre, de valores múltiplos de 5 cm. De maneira similar, as dimensões dos 
pilares serão referenciadas como “l” para a dimensão maior e “b” para a dimensão menor. 
Antes de escolher o tipo de elemento a ser usado na fundação, deve ser realizado o ensaio SPT no 
solo para determinar a resistência dele a cravação e apartir dos valores coletados, pode-se 
determinar a σadm do solo através do método empírico onde a tensão é dada pela formula ߪ௔ௗ௠ ൌ
ேೄು೅
ହ଴ (MPa) , sendo que 5 ≤ NSPT ≤ 20. 
Segundo MELLO (1971), o encaminhamento racional para o estudo de uma fundação, após o 
conhecimento das ações estruturais e características do solo, deve atender as indicações 
comentadas a seguir. 
Analisa-se inicialmente a possibilidade do emprego de fundações diretas. No caso da não 
ocorrência de recalques devidos a camadas compressíveis profundas, o problema passa a ser a 
determinação da cota de apoio das sapatas e da tensão admissível do terreno, nessa cota. No caso 
de haver ocorrência de recalques profundos, deverá ainda ser examinada a viabilidade da 
fundação direta em função dos recalques totais, diferenciais e diferenciais de desaprumo (isto é, 
quando a resultante das ações dos pilares não coincide com o centro geométrico da área de 
projeção do prédio, ou quando há heterogeneidade do solo). 
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Sendo viável a fundação direta pode-se então compará-la com qualquer tipo de fundação profunda 
para determinação do tipo mais econômico. 
Não sendo viável o emprego das fundações diretas passa-se então a analisar a solução em 
fundações profundas (estacas ou tubulões). 
 
 CLASSIFICAÇÃO DAS SAPATAS 
 Quanto à rigidez 
A NBR 6118:2003 classifica as sapatas quanto à rigidez de acordo com as seguintes expressões: 
 
Figura 1 - Dimensões típicas em sapatas 
 
Se ݄ ൑ ൫௔ି௔೛൯ଷ ⇒ Sapata flexível 
Se ݄ ൒ ൫௔ି௔೛൯ଷ ⇒ Sapata rígida 
 
Onde 
a é a dimensão da sapata na direção analisada; 
h é a altura da sapata; 
ap é a dimensão do pilar na direção em questão. 
 
Sapatas flexíveis: 
São de uso mais raro, sendo mais utilizadas em fundações sujeitas a pequenas cargas. Outro fator 
que determina a escolha por sapatas flexíveis é a resistência do solo. ANDRADE (1989) sugere a 
utilização de sapatas flexíveis para solos com pressão admissível abaixo de 150 kN/m² (0,15MPa). 
As sapatas flexíveis apresentam o comportamento estrutural de uma peça fletida, trabalhando à 
flexão nas duas direções ortogonais. Portanto, as sapatas são dimensionadas ao momento fletor e à 
força cortante, da mesma forma vista para as lajes maciças. 
A verificação da punção em sapatas flexíveis é necessária, pois são mais críticas a esse fenômeno 
quando comparadas às sapatas rígidas. 
 
Sapatas rígidas: 
São comumente adotadas como elementos de fundações em terrenos que possuem boa resistência 
em camadas próximas da superfície. Para o dimensionamento das armaduras longitudinais de 
flexão, utiliza-se o método geral de bielas e tirantes. Alternativamente, as sapatas rígidas podem 
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ser dimensionadas à flexão da mesma forma que as sapatas flexíveis, obtendo-se razoável 
precisão. 
As tensões de cisalhamento devem ser verificadas, em particular a ruptura por compressão 
diagonal do concreto na ligação laje (sapata) – pilar. 
A verificação da punção é desnecessária, pois a sapata rígida situa-se inteiramente dentro do 
cone hipotético de punção, não havendo possibilidade física de ocorrência de tal fenômeno. 
 
 Quanto à solicitação 
Sapatas sob carga centrada: 
Ocorre quando a carga vertical do pilar passa pelo centro de gravidade da sapata. Neste caso, 
admite-se uma distribuição uniforme e constante das tensões do solo na base da sapata, igual à 
razão entre a carga vertical e a área da sapata (em planta). 
 
Figura 2 - Sapata sob carga centrada 
 
Sapatas sob carga excêntrica: 
Em muitas situações práticas, as cargas verticais dos pilares são aplicadas excentricamente em 
relação ao centro de gravidade da sapata, gerando momentos nas fundações. Com a 
obrigatoriedade da consideração das ações do vento, normalmente os pilares transmitem 
momentos em uma ou nas duas direções principais, gerando na base da sapata solicitações de 
flexão normal composta ou de flexão oblíqua composta. 
 
Figura 3 - Sapata sob carga excêntrica 
 
O valor da tensão máxima do diagrama é obtido a partir das expressões clássicas da Resistência 
dos Materiais para a flexão composta (ação excêntrica). A distribuição de tensões depende do 
ponto de aplicação da força vertical em relação à uma região específica da seção, denominada 
núcleo central. Para forças verticais localizadas em qualquer posição pertencente ao núcleo 
central, as tensões na sapata serão somente de compressão. 
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Figura 4 - Núcleo central em sapatas de base retangular 
 
Para forças verticais aplicadas dentro do núcleo central: ݁ ൌ ௔଺. 
Para excentricidade da força vertical em apenas uma direção, calculam-se o valor máximo e 
mínimo do diagrama de tensões na sapata a partir da expressão da Resistência dos Materiais 
referente à flexão normal composta: 
 
ߪ୫ୟ୶ 	ୀ 	ி஺ ൅	
ெ
ௐ e ߪ୫୧୬ 	ୀ 	
ி
஺ ൅	
ெ
ௐ 
 
Onde: 
F é a força vertical na sapata; 
A é a área da sapata em planta; 
M = F.e; 
e é a excentricidade da força vertical F em relação ao CG da sapata; 
W é o módulo de resistência elástico da base da sapata, igual a: ܹ ൌ ௕ൈ௔
మ
଺ ; 
a é a dimensão da sapata (em planta) na direção analisada; 
b é a dimensão (largura) na direção perpendicular à analisada; 
 
Para excentricidades de carga nas duas direções ortogonais, valem as expressões da flexão oblíqua 
composta, se a carga vertical situar-se no núcleo central. 
Quando a carga excêntrica estiver aplicada fora do núcleo central, apenas parte da sapata estará 
comprimida, não se admitindo tensõesde tração no contato sapata –solo. A área da sapata que é 
efetivamente comprimida deve ser calculada com as equações gerais de equilíbrio entre as ações 
verticais e as reações do solo sobre a sapata. 
O problema de dupla e grande excentricidade em sapatas pode ser resolvido com a utilização de 
ábacos, como os apresentados em MONTOYA et al. (1973). 
JOPPERT JÚNIOR (2007) lembra que a norma brasileira de fundações – a NBR 6122:1996 – 
limita a tensão mínima ao valor 0 (ou seja, não deve haver inversão das tensões de compressão). 
 
 
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 Quanto ao formato 
Considerando como (L) o maior lado da sapata e (B) o menor, os tipos mais comuns de sapatas 
são as quadradas (B = L), retangulares (B ≠ L) e corridas (L >> B). (Figura 5). 
 
 
Figura 5 - Formas de uma Sapata 
 
Existem basicamente 3 tipos de sapatas: Isolada, associada e de divisa que possuem considerações 
e processos de cálculos diferenciados. Tais tipos são apresentados na Figura 6 e seus processos de 
cálculos são apresentados a seguir. 
 
 
Figura 6 - Tipos de Sapata 
 
Quadrada (L=B) Retangular (L < 5B)
Corrida (L > 5B)
B
B
B
L L
L
CG
B
L
SAPATA ASSOCIADA
SAPATA DE DIVISA COM VIGA ALAVANCA
CG
D
IV
IS
A
Viga Alavanca
P2 = R2P1 R1
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As sapatas isoladas são aquelas que apresentam os seus centros de gravidade (CG) coincidentes 
com o centro de carga (CC) do pilar isolado. Essas sapatas são as mais comuns, mais econômicas 
e as mais simples de serem executadas. No caso de um pilar isolado retangular, a área da sapata 
(A) é calculada conforme a expressão abaixo: 
ܣ ൌ ܥ. ܲߪ஺஽ெ 
Onde: 
C é coeficiente de majoração da carga que leva em conta o peso próprio da sapata. C = 1,10 
para sapatas rígidas e C = 1,05 para sapatas flexíveis, conforme a NB-51/1978. 
P é carga de projeto transmitida do pilar. (com coeficiente de segurança 1,4). 
adm : tensão admissível do solo. 
 
Calculada a área as dimensões das sapatas devem ser determinadas através do dimensionamento 
econômico, no qual os balanços em relação às faces do pilar são iguais, resultando em taxas iguais 
de armaduras nos dois sentidos. Na Figura 7 observam-se as relações: 
No caso de um pilar quadrado, as dimensões das sapatas quadradas serão obviamente iguais L = B 
e, portanto a área A = L² ou A = B². 
Com as dimensões (L e B) da sapata isolada determinadas, antes de desenhá-las na planta dos 
pilares, na escala definida no projeto, deve verificar se as seguintes dimensões mínimas foram 
respeitadas: 
 0,50 m para pequenas construções; 
 0,80 a 1,0 m para edifícios. 
ܤ ൌ ܾ ൅ 2ݔ 
ܮ ൌ ݈ ൅ 2ݔ 
ܮ െ ܤ ൌ ݈ െ ܾ 
 
Resumindo: 
ܣ ൌ ܤ	ݔ	ܮ 
ܤ െ ܾ ൌ ܮ െ ݈ 
Figura 7 - Sapata Isolada 
 
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Geralmente, a sapata é projetada centrada em cada pilar, denominada de sapata isolada, porem, há 
casos nos quais os pilares se encontram próximos entre si, impossibilitando assim sua execução 
isoladamente, sendo necessário recorrer às sapatas associadas, ou seja, uma única sapata servindo 
de fundação para dois ou mais pilares, sendo necessário neste caso uma viga de rigidez para 
interligar os pilares. O centro de carga para os dois pilares deve ser coincidente com o centro de 
gravidade da sapata, como apresentado na Figura 8. 
 
Figura 8 - Sapata Associada 
ܻீ ீ ൌ ଶܲሺ ଵܲ ൅ ଶܲሻ ൈ ݏ 
 
ܣ ൌ ܥ. ሺ ଵܲ ൅ ଶܲሻߪ௔ௗ௠ 
 
As dimensões da sapata associada devem ser escolhidas de modo a se obter um equilíbrio entre as 
proporções da viga de rigidez e os balanços da laje. 
Para evitar torção na viga de rigidez, o lado L da sapata deve ser paralelo ao eixo da viga e o lado 
B perpendicular. 
Já em pilares encostados de divisas, a execução não é possível centrada no pilar, pois não se pode 
executar obra alguma nos terrenos vizinhos, sendo necessário à criação de uma viga de equilíbrio, 
ou também chamada de viga alavanca, que ligará o pilar da divisa a outro pilar, de modo a 
absorver o momento existente. Essa viga causa um alivio de carga no pilar que esta alavancando, 
corrigindo a excentricidade existente. Caso as áreas se sobrepuserem, faz-se uma sapata 
associada. (Figura 9). 
Primeiramente, a reação da sapata de divisa do pilar P1 é dada por: 
ܴଵ ൌ ଵܲ ൈ ݏݏ െ ݁ 
 
onde e é a excentricidade que se encontra em função do lado B1, conforme a expressão: 
݁ ൌ ܤଵ2 െ
ܾଵ
2 െ ݂ 
onde f é a folga para acomodar a fôrma do pilar, em geral, da ordem 2,5 cm. 
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Figura 9 - Sapata de divisa 
 
A solução do problema é dada por tentativas, adotando-se um valor para R1 maior que P1, 
recomendado em torno de 20 % e a relação L/B igual a 2,0. Deste modo, tem-se para a primeira 
tentativa: 
ܴଵᇱ ൌ 1,2. ଵܲ, em seguida ܣଵᇱ ൌ ஼.ோభ
ᇲ
ఙೌ೏೘, e como L/B=2, ܤଵ
ᇱ ൌ ට஺భᇲଶ , assim a excentricidade para a 
primeira tentativa é: ݁ଵ ൌ ஻భᇲଶ െ
௕భᇲ
ଶ െ ݂, e finalmente para o pilar 1, temos: ܴଵᇱᇱ ൌ ଵܲ ൈ
௦
௦ି௘ᇲ. 
Se for estabelecida a relação entre ܴଵᇱᇱ ൌ ܴଵᇱ േ 10%.ܴଵᇱ a sequencia de calculo pode ser 
considerada encerrada. E A área e o lado L1 da sapata ficam determinados como: 
ܣଵ ൌ ܥ. ܴଵߪ௔ௗ௠ 																					݁															ܮଵ ൌ
ܣଵ
ܤଵ 
 
Já o pilar central que recebeu a viga alavanca sobre um alivio em sua carga P2 dada por: 
∆ܲ ൌ ܴଵ െ ଵܲ 
 
Por questões de segurança, considera-se apenas metade desse alivio no calculo: 
ܴଶ ൌ ଶܲ െ ∆ܲ2 
 
As dimensões da sapata projetada para o pilar 2 deverão ser determinadas pelo procedimento para 
sapatas isoladas. Deste modo a área da sapata é dada a seguir e as dimensões L2 e B2 pelo critério 
econômico por balanços iguais. 
ܣଶ ൌ ܥ. ܴଶଵߪ஺஽ெ 
 
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O centro de gravidade da sapata de divisa deve se localizar sobre o eixo da viga alavanca, e esse, 
sempre que possível, deve ser normal à divisa do terreno. Caso a última condição não for possível, 
as faces laterais, no sentido da menor dimensão da sapata da divisa, devem ser paralelas ao eixo 
da viga alavanca, a fim de não provocar torção na viga. As cotas devem ser tomadas como 
projeções na direção normal á divisa. 
No caso de um pilar central receber mais de uma viga alavanca, o dimensionamento de cada uma 
das sapatas de divisa é feito independentemente, porém no dimensionamento da sapata do pilar 
central, deve-se considerar a metade da soma dos dois alívios provocados. 
 
No dimensionamento das sapatas associadas na divisa deve primeiramente verificar as cargas do 
pilar da divisa e do pilar central. 
a) se a carga do pilar da divisa for menor, deve-se considerar o valor de L igual ao dobro da 
distância x do centro de carga (CC) à divisa, de modo a coincidir o CG da sapata associada com o 
CC. (Figura 10). As expressões são dadas por: 
ܣ ൌ ܤ. ܮ ൌ ܥ. ሺ ଵܲ ൅ ଶܲሻߪ஺஽ெ 
 
b) se a carga do pilar da divisa for maior, a coincidência de CG da sapata associada com CC será 
estabelecida considerando a forma trapezoidal (Figura 10). A distância da face do pilar à face da 
sapata deve ser tomada como 2,5 cm. As expressões abaixo são válidas para o intervalo 
 ௅ଷ ൏ ݔ ൏
௅
ଶ.ܤଶ ൌ 2ܣܮ . ൬
3ݔ
ܮ െ 1൰ 													݁															ܤଵ ൌ
2ܣ
ܮ . ܤଶ 
 
 
Figura 10 - Sapatas associadas na divisa 
 
Por ultimo, em pilares próximos do alinhamento da calçada, pode-se avançar ate 1 metro junto ao 
alinhamento. Essa medida pode contribuir na economia da sapata, pois ao invés de fazer uma 
sapata associada ou alavancando-a, gastando muito material, faz-se uma sapata isolada (Figura 
11). 
Os pilares especiais são aqueles que apresentam a forma diferente da retangular. No 
dimensionamento da sapata para um pilar especial, deve-se considerar um pilar retangular 
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equivalente, de modo que tenha o mesmo centro de gravidade e que fique inscrito dentro do 
retângulo fictício (Figura 11). Estabelecidos esses critérios, a sapata deve se dimensionada como 
isolada, segundo o cálculo econômico (balanços iguais). 
 
Figura 11 - a) Sapatas no alinhamento; b) Sapatas com pilares especiais 
 
Pode-se notar que as dimensões da base às vezes, ficam muito grande, isso acontece porque a 
sapata tem sua distribuição de suas forcas por meio de tensões (chamado também de meio direto 
de distribuição de tensões), ao contrario das estacas que possuem resistência de ponta e lateral. 
Outro motivo é pelo fato da sapata ter que resistir a flexão. 
 
 
 CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO DAS SAPATAS 
 Determinação das dimensões em planta 
As dimensões em planta das sapatas são definidas basicamente em função da tensão admissível do 
solo, embora também dependam de outros fatores, como a interferência com as fundações mais 
próximas. 
Na grande maioria dos casos as sapatas estão submetidas a cargas excêntricas, especialmente em 
virtude das ações do vento. Logo, as dimensões em planta devem ser tais que as tensões de 
compressão máximas no solo - calculadas com as expressões da flexão composta reta ou oblíqua - 
não superem a tensão admissível do mesmo. 
 
 Sapatas Isoladas 
Quanto à locação em planta, dois requisitos devem ser atendidos: 
• O centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de gravidade do pilar central; 
• Deve-se fazer uma estimativa da área da base, supondo a sapata submetida à carga 
centrada (sem momentos): 
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ܣ ൌ	 ఈൈேೖఙೞ೚೗೚,ೌ೏೘ 
Onde 
N
k 
é a força normal nominal do pilar; 
σsolo,adm é a tensão admissível do solo; 
α é um coeficiente que leva em conta o peso próprio da sapata. Pode-se assumir para esse 
coeficiente um valor de 1,05 nas sapatas flexíveis e 1,10 nas sapatas rígidas. 
 
As dimensões a e b devem ser escolhidas, sempre que possível, de tal forma a resultar em um 
dimensionamento econômico. A condição econômica nesse caso ocorre quando os balanços livres 
(distância em planta da face do pilar à extremidade da sapata) forem iguais nas duas direções. Esta 
condição conduz a taxas de armadura de flexão da sapata aproximadamente iguais nas duas 
direções ortogonais (Figura 10). 
 
Figura 12 - Sapata isolada – dimensões em planta 
 
ܽ ൌ 	ܽ௣ ൅ 2ݔ e ܾ ൌ 	ܾ௣ ൅ 2ݔ		 ou seja, ܾ ൌ ܽ െ ሺܽ௣ െ ܾ௣ሻ 
ܽ ൌ 	 ௔೛ି	௕೛ଶ ൅	ට
൫௔೛ି	௕೛൯మା஺
ଶ e ܾ ൌ	 
஺
௔ 
 
Evidentemente, as dimensões a e b necessárias serão maiores que as calculadas pelas duas últimas 
equações, pois ainda existem as parcelas de tensões decorrentes dos momentos fletores. Assim, 
devem ser escolhidas dimensões a e b de tal modo que a tensão máxima (calculada com as 
expressões da flexão composta) não ultrapasse a tensão admissível do solo. 
Podem existir situações em que não seja possível aplicar o critério dos balanços iguais, como por 
exemplo, quando as dimensões obtidas a e b gerarem interferência com as fundações vizinhas. O 
que importa é escolher dimensões a e b da sapata de modo a respeitar a tensão admissível do solo. 
 
 Determinação da altura da sapata 
Essencialmente são três os condicionantes que definem a altura da sapata: 
 
a) Rigidez da sapata: Na maioria dos casos, as sapatas são projetadas como rígidas, a menos que 
uma baixa resistência do solo torne mais indicada uma sapata flexível. 
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Para sapatas flexíveis: ݄ ൑ ൫௔ି௔೛൯ଷ 
Para sapatas rígidas: ݄ ൒ ൫௔ି௔೛൯ଷ 
Onde a é a dimensão da base da sapata e ap é a dimensão da seção do pilar na direção analisada. 
 
b) Comprimento de ancoragem necessário às barras longitudinais do pilar: É necessário que 
a sapata tenha altura suficiente para que as forças nas armaduras do pilar sejam transferidas ao 
concreto da fundação (ancoragem), incluindo um cobrimento mínimo para a proteção das 
armaduras. 
݄ ൐ ܫ௕ ൅ ܿ 
 
Onde Ib é o comprimento de ancoragem das barras do pilar e c é o cobrimento. 
A Tabela 1 apresenta os comprimentos de ancoragem em função do diâmetro, para diferentes 
classes de concreto, aplicáveis a barras nervuradas, aço CA-50 e em zonas de boa aderência 
(ângulo das armaduras do pilar à 90 graus em relação à horizontal). Os valores da tabela 3.1 foram 
obtidos com as expressões apresentadas na NBR 6118:2003. 
 
Tabela 1 - Comprimento de ancoragem em função do diâmetro – NBR 6118:2003 
Concreto Sem gancho 
Com 
gancho 
C15 53φ 37φ 
C20 44φ 31φ 
C25 38φ 26φ 
C30 33φ 23φ 
C35 30φ 21φ 
C40 28φ 19φ 
C45 25φ 18φ 
C50 24φ 17φ 
 
c) Verificação do cisalhamento por força cortante. É usual e desejável evitar a colocação de 
armadura transversal para força cortante em sapatas, assim como em lajes em geral. Em muitas 
situações, no entanto, a altura adotada para a sapata baseada nos condicionantes 1 e 2 não é 
suficiente para se dispensar essa armadura. Dessa forma, em muitos casos, convém iniciar o 
dimensionamento estrutural com a verificação da dispensa de armadura transversal para força 
cortante, antes do cálculo das armaduras longitudinais para momento fletor. 
 
 Dimensionamento das armaduras longitudinais 
Para calcular as armaduras longitudinais da sapata, define-se, em cada direção ortogonal, uma 
seção de referência S1 entre as faces do pilar, conforme a Figura 13: 
 
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Figura 13 - Seções para o cálculo das armaduras longitudinais de flexão 
 
Direção X: 
La = Lx + 0,15.ap = 
൫௔ି௔೛൯
ଶ + 
0,15.ap 
ߩ	௔,௠௜௡ ൌ ߪ௦௢௟௢,௠௜௡ 	ൈ ܾ 
ߩ	௔,௠á௫ ൌ ߪ௦௢௟௢,௠á௫ 	ൈ ܾ 
 
Direção X: 
Lb = Ly + 0,15.ab = 
൫௕ି௕೛൯
ଶ + 
0,15.ab 
ߩ	௕,௠௜௡ ൌ ߪ௦௢௟௢,௠௜௡ 	ൈ ܽ 
ߩ	௕,௠á௫ ൌ ߪ௦௢௟௢,௠á௫ ൈ ܽ 
De acordo com a figura 13, o problema recai em determinar os momentos solicitantes em 
balanços de vãos iguais ao balanço livre acrescido de 0,15 vezes a dimensão do pilar na direção 
analisada. Ou seja, os momentos solicitantes nos engastes (MSda e MSdb) fornecem os momentos 
para o cálculo das armaduras da sapata. 
De posse dos momentos solicitantes, as armaduras longitudinais da sapata podem ser calculadas 
utilizando-se as tabelas clássicas da flexão simples ou ainda por expressões simplificadas, 
conforme a seguir: 
 
Direção x: ܣ௦௔ ൌ 	 ெೄ೏ೌ଴,଼	ൈௗൈ௙೤೏ e Direção y: ܣ௦௕ ൌ 	
ெೄ೏್
଴,଼	ൈௗൈ௙೤೏ 
 
Os valores calculados devem ser ainda comparados com os valores de armadura mínima 
recomendados para as lajes, conforme o item 19.3.3.2 da NBR 6118:2003. Apesar de a norma 
fazer distinção entre armaduras positivas e negativas, e de lajes armadas em uma ou duas 
direções,pode-se admitir, para todos esses casos, uma taxa de armadura mínima igual a 0,15% 
(em relação a área bruta), ou seja, Asa e Asb só poderão ser adotados se forem maior ou igual a: 
ܣ௦ ൌ 0,0015 ൈ ܾ௪ ൈ ݀ 
Onde 
d é a altura útil na direção analisada. 
bw é a dimensão perpendicular a analisada. 
 
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Avenida das Torres, 500 - Loteamento FAG - Cascavel/PR 
 
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A norma 6118/2003 permite o dimensionamento para o dobro de MSd, se a área de armadura 
obtida através deste for menor que a obtida pela expressão acima. 
As barras longitudinais não devem ter diâmetros superiores 1/8 da espessura da laje (sapata). O 
espaçamento máximo entre elas não deve ser superior a 20 cm nem 2.h, prevalecendo o menores 
desses dois valores. 
 
 Dimensionamento ao cisalhamento (sapatas rígidas) 
Verificação da ruptura por compressão diagonal 
A verificação da ruptura por compressão diagonal se faz na ligação sapata-pilar, na região 
correspondente ao perímetro do pilar (contorno C), onde a tensão solicitante τS (no contorno C) é 
dada por: 
߬ௌ ൌ ܨௌௗݑ ൈ ݀ 
 
Onde: 
FSd é a reação vertical de cálculo (aplicada pelo solo à sapata); 
u é o perímetro do contorno C, igual ao perímetro da seção do pilar; 
d é a altura útil média. 
τSd é a tensão solicitante (contorno C) 
 
A tensão resistente τRd é calculada por: 
߬ோௗ ൌ 0,27 ൈ ߙ௩ ൈ ௖݂ௗ 
 
Onde 
α
v 
é um adimensional determinado por ߙ௩ ൌ 1 െ ௙೎ೖଶହ଴	 com fck em MPa; 
τRd é a resistência à compressão diagonal da sapata (contorno C). 
 
Dispensa de armaduras transversais para força cortante 
Armaduras transversais para resistir à força cortante raramente são utilizadas nas sapatas, assim 
como no caso de lajes em geral. Portanto, as sapatas são dimensionadas de tal modo que os 
esforços cortantes sejam resistidos apenas pelo concreto, dispensando a armadura transversal. 
Usualmente, a verificação da força cortante é feita numa seção de referência S2, conforme ilustra a 
Figura 14: 
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Figura 14 - Seção para a verificação da força cortante 
 
Onde: 
d é a altura útil média da sapata (junto à face do pilar); 
dS2 é a altura útil média da sapata na seção S2 na direção analisada; 
bS2 é a largura da seção S2 na direção analisada; 
L2 é o vão do balanço onde atuam as cargas distribuídas associada às pressões do solo sobre a 
sapata. 
 
Para dispensar a armadura transversal, a força cortante solicitante de cálculo VSd na seção S2 não 
deve superar uma determinada força resistente ao cisalhamento VRd, conforme definido no item 
19.4 da NBR 6118:2003: 
ோܸௗ ൌ 	 ߬ோௗ ൈ ݇ ൈ ሺ1,2 ൈ 40 ൈ ߩଵሻ ൈ ܾௌଶ ൈ ݀ௌଶ 
 
Onde 
τRd = 0,0375 × fck2/3 com fck em MPa; 
݇ ൌ 	 |1,6 െ ݀ௌଶ| ൒ 1,0	com dS2 em metros; 
ߩଵ ൌ ஺ೞ௕ೄమൈௗೄమ ൑ 0,02; 
AS é a área de armadura longitudinal de flexão na direção analisada. 
 
 
 Verificação quanto a punção 
Segundo M. Caquot, para que se obtenha segurança ao punçonamento, deve-se garantir que 
(baseado em proposta empírica): 
݀ ൒ 1,44 ൈ ඨ ߛ௖ ൈ ܲ0,85 ൈ ௖݂ௗ 
 
Segundo a Norma NBR 6118/1978, para ter-se segurança quanto á punção e não ser necessário 
utilizar armadura para tal deve-se garantir que (item 5.3.1.2b): 
߬ௌௗ ൑ ߬ோௗ ൌ 	0,315 ൈ ඥ ௖݂௞ߛ௖ 
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Onde: 
fck em MPa; 
߬ௌௗ é a tensão de punção que ocorre na sapata; 
߬ோௗ é a tensão última de cisalhamento na punção; 
 
Na punção, admite-se que a carga P produz uma tensão τ distribuída em um plano inclinado à 45º. 
Por outro lado, a carga devida à pressão do solo (sentido oposto – P’), opõe-se ao punçonamento, 
tendendo a minimizar seu efeito. Assim, calculando a tensão de punçonamento obtemos: 
 
Figura 15 - Detalhe dos esforços de punção em sapatas 
 
Assim tempos: 
߬ௌௗ ൌ ߛ௖ ൈ
ሺܲ െ ܲ′ሻ
ߤ ൈ ݀ 
Onde: 
P = carga atuante na sapata; 
P’= (a + 2.d) × (b + 2.d) × ρs : pressão do solo que se opõe ao punçonamento, interna ao “bulbo” 
de 45º formado devido ao punçonamento; 
d = altura útil; 
m = 2×[(a + d) + (b + d)]: perímetro plano médio da seção punçonada. 
 
Caso ሺ஻ି௕ሻଶ ൑ ݀ → ܲ ൌ ܲ
ᇱ → ߬ௌௗ ൌ 0, ou seja, caso o ângulo β de inclinação da sapata seja maior do 
que 45º, a carga P’ equilibrará a carga aplicada P, fazendo com que não ocorram tensões de 
punção, dispensando-se, portanto, esta verificação.