Transformada de Fourier e Transformada Z

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05/05/2025, 09:19 E-book PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS TRANSFORMADA DE FOURIER E TRANSFORMADA Z Autora: Rafaela Parecerista: Jaime Gross Garcia Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 26 minutos. 1/3405/05/2025, 09:19 E-book Introdução Caro(a) aluno(a), neste material, vamos aprofundar o nosso estudo relativo à transformada de Fourier. Assim, será abordado como é realizada essa operação matemática em tempo discreto, ou seja, amostrando partes do sinal em tempos definidos. Além disso, vamos entender a diferença entre a transformada de Fourier em tempo discreto e a transformada discreta de Fourier, abordando as suas propriedades e a sua representação gráfica, bem como introduzindo o conceito de modulação utilizado pelas ondas AM (amplitude moderada). nosso estudo vai explorar a transformada Z (equação fundamental, representação gráfica e propriedades), além de mostrar quando é mais vantajoso representar um sinal por meio da transformada de Fourier ou da transformada Apesar da dificuldade matemática representada por essas transformadas, elas são as nossas maiores ferramentas no tratamento de sinais, assim, é preciso entender bem esse assunto e ser capaz de escrever as suas equações ou de representá-las e utilizá-las na programação dos softwares para o refino e a melhoria de um sinal, ou para a retirada de ruídos indesejados. Como o estudo é um pouco complexo, temos, ao final, um material complementar, disponibilizado em PDF. Por meio dele, você terá acesso a mais informações sobre cada um dos tipos de transformada e poderá estudar um exemplo de simulação através de softwares como o MatLab, o Octave e o SciLab. Transformada de Fourier em 2/3405/05/2025, 09:19 E-book Tempo Discreto (DTFT) Você sabia que a transformada de Fourier é utilizada no processamento visando à resolução de problemas com os ruídos apresentados pelos sinais ? Isso ocorre porque é uma ferramenta que trabalha no domínio da frequência podendo ser escrita como uma somatória de funções senoidais e/ou exponenciais cuja resolução matemática nós conhecemos. Nalon (2013, p. 29) define essa operação da seguinte maneira: A transformada de Fourier é uma ferramenta de análise de sinais e sistemas através de suas representações no domínio da frequência, sendo especialmente útil no estudo de sinais ilimitados no tempo. Por ilimitado entende-se que sinal se estende por todo O domínio do tempo (de - até oo), mas não necessariamente com todas as amostras definidas. Por exemplo, podemos ter amostras somente para intervalo de A transformada de Fourier em tempo discreto é representada por uma equação fundamental e por várias propriedades A seguir, vamos conhecer a definição matemática de sua equação fundamental. Equação fundamental da DTFT A transformada de Fourier é definida matematicamente como: 1 dw Em que: Onde: A equação (3.1) é chamada de transformada de Fourier em tempo discreto (TFTD, em inglês, ou DTFT, em português) para que seja possível distingui-la da transformada de Fourier em tempo contínuo 3/3405/05/2025, 09:19 E-book Essa equação representa, de acordo com Oppenheim e Schafer uma "superposição de senoides complexas infinitesimalmente pequenas", na seguinte forma: X Determina a importância relativa de cada componente senoidal complexo. Para alguns sinais, a condição de convergência não é alcançada de maneira uniforme , no entanto, ainda é possível de ser obtida, por meio da seguinte fórmula: 8 Existe uma outra condição de convergência em que utilizamos a transformada de Fourier em tempo discreto. Maiores informações sobre o intervalo estão disponíveis no material complementar para que você possa aprofundar os seus conhecimentos sobre o assunto. Acesse o material clicando no botão a seguir: ACESSE AQUI A função degrau unitário u [n] não vai satisfazer nenhum dos dois critérios de convergência, dados pelas equações (1.5) (essa equação está no material complementar) e (3.4). Mesmo assim, ela pode ser escrita pela seguinte função de Fourier: 1 n = 8 Chamamos de delta de Dirac a função que é definida por Nalon (2013, p. 32) como "[...] um pulso retangular de largura infinitamente pequena". SAIBA MAIS 4/3405/05/2025, 09:19 E-book No vídeo indicado a seguir, o professor Renato Lopes mostra como é possível obter a transformada de Fourier em tempo discreto de uma amostra analógica que varia com o tempo e que possui valores para todo o espectro. Ele também detalha como é feita a decomposição da transformada de Fourier em termos da magnitude e do ângulo, já que esta é baseada em números complexos que possuem um raio e uma fase. Para assistir ao vídeo, acesse o seguinte link : ASSISTIR As propriedades da transformada de Fourier em tempo discreto são: linearidade, periodicidade, variância com o tempo, reversão no tempo, deslocamento em frequência, diferenciação em frequência, sequência conjugada, simetrias real e imaginária, simetrias par e teorema da convolução, teorema da modulação e teorema de Parseval. A seguir, vamos estudar as propriedades da transformada de Fourier em tempo discreto, que ainda não foram estudadas. Propriedades da DTFT A periodicidade da transformada de Fourier está implícita na sua própria definição, ou seja, pela equação (3.2), temos que essa função é "periódica no domínio da frequência, e o valor deste período é igual a (NALON, 2013, p. 32). Já a linearidade da transformada de Fourier é dada pela seguinte equação: Por meio dela, concluímos que a "transformada de um sinal composto será composta", conforme afirma Nalon (2013, p. 32). A transformada de Fourier também vai variar com o tempo , e "o deslocamento da sequência no tempo não causará um deslocamento no domínio da frequência" (NALON, 2013, p. 33). Matematicamente, temos que, se a função X [n] pode ser escrita como uma transformada de Fourier dada por X o seu deslocamento no tempo será dado por: Se considerarmos que provamos que o deslocamento da sequência no tempo não é correspondente ao deslocamento na frequência Ele corresponde a um deslocamento de fase na05/05/2025, 09:19 E-book transformada original Portanto, segundo Nalon (2013, p. 33), "[...] for o espectro de fase do sinal, então o espectro de fase de do sinal deslocado k amostras" será dado por: deslocamento na frequência da transformada de Fourier é dado por: Ressaltamos que, de acordo com Nalon (2013, p. 34), "o deslocamento em frequência causa a modulação do sinal de entrada por uma frequência determinada". A modulação ocorre quando multiplicamos um sinal por uma função periódica , e o produto resultante dessa multiplicação será uma função complexa Por isso, é muito importante calcular para a transformada de Fourier em tempo discreto o valor da amplitude e da fase (ângulo) do sinal amostrado Uma sequência que pode ser revertida no tempo também pode ser revertida no domínio da frequência ou seja: A transformada de Fourier também pode ser derivada em frequência , e essa propriedade pode ser matematicamente representada por: teorema da modulação é o produto entre duas sequências no domínio do tempo Um sinal de AM (amplitude moderada), segundo Nalon (2013, p. 37), pode ser escrito como "um produto do sinal de informação pelo sinal da portadora", propriedade denominada janelamento janelamento é definido por esse autor da seguinte maneira: [...] multiplicar um sinal de entrada por um sinal W [n] implica selecionar apenas as amostras de entrada para as quais W [n] 0, atenuando ou amplificando as amostras para as quais w [n] 1, como se uma janela fosse aplicada ao sinal original (NALON, 2013, 37). Matematicamente, podemos escrever o teorema da modulação por: W(w) Sendo W (w) a transformada de Fourier de W [n]. 6/3405/05/2025, 09:19 E-book símbolo * representa a integral da convolução circular entre duas funções contínuas e periódicas , ambas definidas no domínio dos números complexos. Matematicamente, essa operação pode ser escrita por: X A diferença entre essa convolução e a convolução de duas sequências discretas é que a operação dada pela equação (3.13) é feita no domínio contínuo, por meio de integrais. Finalmente, o teorema de Parseval ensina que a energia de um sinal discreto pode ser calculado por: 8 n 8 A análise em frequência nos fornece o mesmo resultado, e ela é dada pela fórmula: 8 E 2 dw : Essa propriedade, de acordo com Nalon (2013, p. 38), indica que a transformada de Fourier "é uma operação que conserva a energia do sinal, ou seja, o espectro contém toda a informação da sequência transformada, apenas em um domínio diferente". Como você pode perceber, o cálculo da transformada de Fourier em tempo discreto, muitas vezes, é bem difícil. Para facilitar esse equacionamento matemático, vamos estudar a representação gráfica dessa transformada. Representação gráfica da DTFT A função degrau unitário u [n] é dada por um degrau de valor 1, mantido constante no intervalo de WC até Ela está representada na Figura 3.1, a seguir, item a), pela linha mais fina. Logo, a transformada de Fourier dessa função será dada por meio de uma senoide e poderá ser escrita por: Sendo: HM é dado pela amplitude máxima da função degrau unitário. Essa senoide também está representada na Figura 3.1, a seguir, item a), só que pela linha mais escura. Se utilizarmos o teorema da modulação e fizermos com que M seja igual a 3, podemos 7/3405/05/2025, 09:19 E-book reconstruir a função impulso por meio da série de Fourier , o que está representado no item b) da Figura 3.1. Ao aumentarmos o valor de M, aumentamos a precisão dessa reconstrução matemática, conforme mostrado nos itens c), em que M é igual a 7, e d), com M igual a 19. Podemos representar até mesmo uma função não convergente , como a função degrau unitário , por exemplo, mediante uma série de Fourier, apesar da dificuldade matemática na transformação do sinal original X [n] em transformada de Fourier e vice-versa. 8/3405/05/2025, 09:19 E-book M=1 M C 0 0 (a) (b) M=7 HM (ejw), 0 0 (c) (d) Figura 3.1 - Sinal degrau: em a), temos a representação do sinal degrau (pela linha mais fina) e de sua transformada de Fourier (por meio da função exponencial, representada pela linha mais grossa); em b), temos a antitransformada de Fourier, com três modulações tentando recompor o sinal degrau; em c), essa modulação é igual a 7; e, em d), é igual a 19. Fonte: Oppenheim e Schafer (2012, p. 33). #PraCegoVer : loa figura apresenta uma função degrau amostrada durante os intervalos de até a função degrau está representada como se fosse realmente um degrau de uma escada. Essa função também está sobreposta pela sua transformada de Fourier, que equivale a uma onda do mar. No item b), é mostrada a soma de três modulações, ou seja, a tentativa de representar o degrau por meio de três ondas do mar, feitas na amplitude máxima do degrau. No item c), essas ondas sobem para 7 e, no item d), para 19, em que a representação da função degrau é quase atingida. A decomposição de uma sequência X [n] em uma série de Fourier é matemática e graficamente muito difícil de ser obtida. Para facilitar os nossos cálculos, consultamos tabelas que já fornecem a transformada de Fourier dos principais sinais utilizados em PDS. No material complementar , você também vai encontrar um quadro com várias funções tabeladas e sua respectiva transformada de Fourier. 9/3405/05/2025, 09:19 E-book Agora que você já estudou a transformada de Fourier em tempo discreto, vamos fixar esse conhecimento fazendo uma atividade. Conhecimento Teste seus Conhecimentos (Atividade não pontuada) Como uma sequência estável é, por definição, somável em valor absoluto, todas as sequências estáveis possuem transformadas de Fourier. Ainda, qualquer sistema estável, ou seja, que tenha uma resposta ao impulso somável em valor absoluto, terá uma resposta em frequência finita e contínua. OPPENHEIM, A. V; SCHAFER, R. W. Processamento em tempo discreto de sinais 3. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 31-32. Diante dessas informações, assinale a alternativa correta sobre a transformada de Fourier em tempo discreto: a) Um sistema analógico pode ser representado por uma transformada de Fourier em tempo discreto sem a perda de nenhuma informação, mesmo que o critério da convergência não seja obedecido. b) Um sistema analógico pode ser representado por uma transformada de Fourier em tempo discreto, mas sempre haverá a perda de informação, mesmo que o critério da convergência seja obedecido. c) Um sistema analógico pode ser representado por uma transformada de Fourier em tempo discreto sem a perda de nenhuma informação, mas apenas se critério da convergência for obedecido. d) Um sistema analógico pode ser representado por uma transformada de Fourier em tempo discreto por meio de um trem de impulsos sem a perda de informação. e) Um sistema analógico pode ser representado por uma transformada de Fourier em tempo discreto por meio de um trem de impulsos, mas sempre haverá a perda de informação. 10/3405/05/2025, 09:19 E-book No material complementar , você também vai encontrar um exemplo de simulação utilizando os softwares MatLab, Octave e SciLab. Assim, não deixe de consultar esse material e simular o circuito esquemático para ampliar os seus conhecimentos. Transformada discreta de Fourier (DFT) Vamos dar continuidade ao nosso estudo ressaltando que a transformada de Fourier é calculada e definida para um intervalo que varia de - 8 a 8, o que representa um impedimento para o cálculo de seus valores por meio de algoritmos computacionais Outro problema é que não amostramos um sinal por todo esse tempo. Os sinais que queremos processar são amostrados durante um intervalo que varia de 0 a - A transformada discreta de Fourier é calculada para esse tempo finito , ou seja, para um sinal amostrado durante um determinado período de tempo, e, por isso, ela pode ser representada computacionalmente , por meio de algoritmos de programação Equação fundamental da DFT A transformada discreta de Fourier é muito semelhante à transformada de Fourier. Já sabemos que uma amostra X [k] representa uma exponencial complexa obtida por meio de uma série de Fourier, amostrada para uma frequência W dada por: 11/3405/05/2025, 09:19 E-book Se adotarmos uma frequência contínua, o coeficiente da função exponencial poderá ser representado por uma função impulso (contínuo), com amostras tomadas na frequência de k w0, ou seja, (w - k Considerando que X [k] é uma sequência, podemos representar essa função por meio de um somatório de funções impulsos deslocados em função das frequências k w0, sendo possível, ainda, determinar a amplitude e a fase por meio de X [k]. Portanto, temos que: k Onde: é a normalização entre as amplitudes da série e da transformada. SAIBA MAIS No vídeo indicado a seguir, o professor Luiz Antônio de Oliveira Nunes mostra como é feita a análise de um sinal analógico qualquer por meio da transformada rápida de Fourier, utilizando a somatória de cinco sinais reais criados por geradores de sinais e visualizados por meio de um osciloscópio, que tem a função de decompor o sinal resultante por meio da transformada rápida de Fourier, fornecendo o espectro de frequências. Para assistir ao vídeo, acesse o seguinte link : ASSISTIR A transformada discreta de Fourier é uma das operações mais utilizadas em Processamento Digital de Sinais (PDS), pois ela é definida para N amostras Por sua vez, a transformada de Fourier é definida para todo o tempo (de 8 aoo). Nalon (2013, p. 112) afirma que: É fácil notar a semelhança entre a transformada de Fourier e a série de Fourier de uma sequência periódica, uma vez que ambas são definidas em termos de somatórios de exponenciais complexas. A diferença é que a série de Fourier está definida apenas para frequências harmônicas, múltiplas da frequência fundamental. 12/3405/05/2025, 09:19 E-book Essa transformação é inversível sendo possível obter a série de Fourier a partir da amostragem da transformada de Fourier, se as amostras forem coletadas com intervalos iguais a w0, ou seja: Podemos também realizar essa análise para o domínio do tempo for uma sequência finita com N amostras coletadas, atendendo ao seguinte critério: Conseguimos definir xp [n] como uma função periódica, a partir desta sequência finita escrita por: A equação (3.21) pode ser definida do mesmo modo, ou seja, por: Onde: [n mod N] é o resto da divisão inteira de in por N. As operações realizadas por meio das equações (3.21) e (3.22) são chamadas de extensão periódica da sequência X [n]. Do mesmo modo, podemos definir a operação inversa caso a função X [n] seja limitada entre 0 e N - 1, sendo "a restrição da sequência periódica xp [n] ao seu período principal dada por" (NALON, 2013, p. 112): EQUAÇÃO 3.23 A sequência xp [n] terá uma série de Fourier dada por Xp [k], obtida por meio da seguinte equação: Como existe uma relação direta entre xp [n] e X [n], é possível, então, definir uma decomposição finita e limitada para X [n], por meio da série de Fourier de xp [n], dada por: EQUAÇÃO 3.25 A equação (3.25) é chamada de transformada discreta de Fourier (representada pela sigla DFT), de uma sequência finita dada por X [n], e as suas equações de análise e síntese são dadas por: 13/3405/05/2025, 09:19 E-book k=0 Podemos definir a DFT da função impulso por meio de X [n], para um intervalo de N amostras, dadas por: n=0 n=0 A DFT de um impulso também é constante com a diferença de que essa função foi calculada para uma sequência limitada, ou seja, existe uma função impulso a cada N amostras. Algumas propriedades da transformada discreta de Fourier são muito utilizadas nos cálculos de Processamento Digital de Sinais (PDS) e, por isso, serão estudadas aqui. Como já estudamos as propriedades da transformada de Fourier em tempo discreto, as propriedades da transformada discreta de Fourier foram deslocadas para o material complementar , devido à semelhança existente entre uma propriedade e outra. Lá, você vai poder estudar detalhadamente cada uma das propriedades da DFT. A seguir, vamos estudar a representação matricial da DFT. Representação matricial da DFT Podemos representar a transformada discreta de Fourier (DFT) por meio de uma matriz Vamos considerar o vetor X como sendo: i=0 Agora, podemos definir a matriz F para representar o núcleo , também chamado de kernel da transformação, de modo que: A matriz ficará com o seguinte formato: EQUAÇÃO 3.32 Também podemos escrever a equação (3.31) na forma de notação de matriz, dada por: 14/3405/05/2025, 09:19 E-book Sendo: X o vetor formado pelas componentes discretas de Fourier de X. Obviamente, podemos obter a transformada inversa por meio de: Por sua vez, os elementos da matriz F-1 podem ser obtidos pela seguinte fórmula: j = Fonte: langstrup / 123RF A transformada discreta de Fourier permite que essas operações sejam implementadas em algoritmos computacionais , os quais, por sua vez, atualmente, podem ser obtidos com uma ótima rapidez, devido à capacidade de processamento de cálculos dos computadores pessoais, fazendo com que trabalhemos com processamentos de sinais de alto nível em máquinas comuns , como as que temos em nossas casas, por exemplo. Agora, vamos reforçar o nosso conhecimento, por meio de uma atividade. Em seguida, estudaremos uma forma um pouco mais fácil de analisar os sinais discretos, a transformada Conhecimento Teste seus Conhecimentos 15/3405/05/2025, 09:19 E-book (Atividade não pontuada) A transformada discreta de Fourier (DFT) é uma sequência, e não uma função variável contínua, e corresponde a amostras em frequência, igualmente espaçadas, da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) do sinal. Além de sua importância teórica como uma representação de Fourier de sequências, a DFT desempenha um papel relevante na implementação de uma variedade de algoritmos de Processamento Digital de Sinais (PDS). OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W. Processamento em tempo discreto de sinais . 3. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 368. Com base nessas informações, assinale a alternativa correta sobre a transformada discreta de Fourier (DFT): a) A transformada discreta de Fourier é uma transformada definida para um determinado período, em que são coletadas amostras pontuais. Ela é válida somente para funções analógicas. b) A transformada discreta de Fourier é uma transformada definida para um período indeterminado, em que são coletadas amostras pontuais. Ela é válida somente para funções analógicas. c) A transformada discreta de Fourier é uma transformada definida para um determinado período, em que são coletadas amostras pontuais. Ela é válida somente para funções digitais. d) A transformada discreta de Fourier é uma transformada definida para um período indeterminado, em que são coletadas amostras pontuais. Ela é válida somente para funções digitais. e) A transformada discreta de Fourier é uma transformada definida para um período determinado, em que são coletadas amostras pontuais de funções analógicas e digitais. 16/3405/05/2025, 09:19 E-book Transformada Z Você sabia que a transformada discreta de Fourier é de grande ajuda no cálculo do Processamento Digital de Sinais (PDS)? Contudo, a transformada Z também é utilizada como uma ferramenta de auxílio e é, por sua própria definição , utilizada para atrasar sinais amostrados. Nalon (2013, p. 47) afirma o seguinte: A transformada Z pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier de tempo discreto, permitindo encontrar ao mesmo tempo O poder da análise complexa e da teoria de séries e polinômios, simplificando a análise de um sistema. infográfico a seguir resume as três principais formas de realizar matematicamente o Processamento Digital de Sinais (PDS): Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT). Transformada discreta de Fourier (DFT). Transformada Z. Formas de se processar um sinal 1 2 3 4 17/3405/05/2025, 09:19 E-book Segnale analogico Segnale numerico 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 Sinais a serem processados em PDS 0 0 -0.5 -0.5 1.5 1.5 Todos os sinais podem ser processados em PDS. Para isso, 1 1 basta que amostremos sinal atendendo ao teorema da 0.5 0.5 0 0 amostragem. Se sinal for analógico, devemos utilizar, ainda, -0.5 -0.5 um processador analógico/digital para realizar essa 1.5 1.5 1 1 amostragem. Depois de amostrado, sinal deve ser 0.5 0.5 0 0 processado utilizando-se primeiramente método da -0.5 -0.5 2 2 transformada de Fourier no tempo discreto. Fonte: Giacomo Alessandroni / Wikimedia Commons. 18/3405/05/2025, 09:19 E-book #PraCegoVer : o infográfico apresenta o título: "Formas de se processar um sinal" e quatro tópicos em linha horizontal. Ao clicar no primeiro tópico, é apresentado o título "Sinais a serem processados em PDS" e, logo abaixo, há o texto: "Todos os sinais podem ser processados em PDS. Para isso, basta que amostremos o sinal atendendo ao teorema da amostragem. Se o sinal for analógico, devemos utilizar, ainda, um processador analógico/digital para realizar essa amostragem. Depois de amostrado, o sinal deve ser processado utilizando-se primeiramente o método da transformada de Fourier no tempo discreto". Ao lado, há a imagem ilustrativa que mostra vários sinais que serão tratados, sinais estes que são analógicos e variam de forma totalmente aleatória. São apresentados diversos sinais coletados, bem como o processo de amostragem, sendo que, nas figuras um e dois, o sinal tratado foi mostrado sem o ruído. Já nas figuras três e quatro foi destacado somente o ruído que foi retirado do sinal, e, nas figuras cinco e seis, há o sinal original, que foi coletado juntamente com o ruído representado para que o aluno possa compreender como é feito o processo de tratamento de um sinal. Ao clicar no segundo tópico, é apresentado o título "Transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT)" e, logo abaixo, há o texto: "A transformada de Fourier no tempo discreto deve ser nossa primeira tentativa matemática de realizar o processamento do sinal. Para que ela possa funcionar, o sinal deve ser discreto, e a sua somatória deve tender a um número real, e não ao infinito. Caso essa opção falhe, devemos tentar a próxima. Nessa figura, mostramos um sinal que passou pelo processo de obter a transformada de Fourier de tempo discreto, de forma que pudemos obter todos os valores de pico através de um trem de impulsos. Agora, podemos escolher se queremos retirar do sinal as altas ou as baixas frequências, dadas pelos valores maiores ou menores dos valores de pico amostrados". Ao lado, há a imagem ilustrativa que apresenta a tela de um osciloscópio captando um sinal AM em 40 Hz e vários ruídos de frequências múltiplas a partir de 640 Hz até 10240 Hz. Ao clicar no terceiro tópico, é apresentado o título "Transformada discreta de Fourier (DTF)" e, logo abaixo, há o texto: "A transformada discreta de Fourier deve ser o segundo método a ser tentado para a resolução do nosso PDS. Esse método é mais abrangente do que o primeiro, mas, mesmo assim, não resolve todas as equações. Em caso desse método também não convergir, devemos tentar a transformada Z. Como pode ser visualizado, podemos escrever a transformada discreta de Fourier de um sinal de forma a destacar os valores de pico do sinal e, assim, verificar qual frequência queremos retirar do sinal ou ressaltar. A transformada de Fourier pode ser escrita como um trem de impulsos, sendo dada pelas maiores amplitudes de um sinal". Ao lado, há a imagem ilustrativa que apresenta algumas amostragens feitas para uma função com três valores de pico positivo valendo 0,5, dois valores negativos valendo 0,1 e os demais valores próximos de zero. Ao clicar no quarto e último tópico, é apresentado o título "Transformada Z" e, logo abaixo, há o texto: "Este método é o mais abrangente de todos e vai resolver o nosso problema de processamento caso os dois métodos anteriores não tiverem apresentado resultado, pois a transformada Z é representada por suas raízes e por uma área de convergência, região para qual a transformada convergirá. A transformada Z permite que amostremos uma função complexa através de uma fórmula simples matemática, ou através do somatório de várias funções mais simples, como é o caso da figura original (primeira forma de onda), que pode ser escrita como as formas senoidais mostradas abaixo dela. Desse modo, podemos resolver facilmente a função matemática por meio da transformada Z de uma função seno e calcular a região de convergência dessas funções para determinar 19/3405/05/2025, 09:19 E-book o melhor método de processamento que utilizaremos". Ao lado, há a imagem ilustrativa que mostra várias transformadas Z sendo utilizadas para representar uma função de meia senoide. Por meio dessas funções, podemos representartodos os sinais analógicos processados através de um conversor A/D ou D/A.Quando analisarmos a função de uma forma e ela não convergir ou não forpossível melhorar o sinal, devemos analisar através da próxima formulação matemática,ou seja, começamos com o método da transformada de Fourier em tempo contínuo edepois passamos para o método da transformada discreta de Fourier. Se nem assima função convergir, devemos representá-la por meio de uma transformada Z. A transformada Z é uma generalização datransformada de Fourier, assim como Laplace fez com as transformadas de Fourierem tempo contínuo. Equação fundamental da transformada Z Dada uma sequência X [n], podemos definir a transformada de Fourier dessa sequência por: e n Já a transformada Z dessa mesma sequência será dada por: Oppenheim e Schafer (2012, p. 61) definem a transformada Z como sendo "uma série de potências infinitas, sendo Z considerada uma variável complexa", ou seja, como um operador que transforma uma sequência em uma função. Desse fato, vem a constatação que define o operador da transformada Z da seguinte maneira: n - Onde: Z {x [n]} transforma a sequência X [n] em uma função X (z), e Z é uma variável complexa contínua Essa transformada é chamada de transformada bilateral, pois ela varia de - 8 a Se o intervalo for limitado de 0 até , teremos a transformada unilateral, que é definida por: A partir disso, concluímos que, se X [n] = 0 para09:19 E-book A transformada Z pede que encontremos a região para a qual ela converge no plano complexo, o que faz com que os seus cálculos matemáticos sejam facilitados , assim como as informações sobre o sistema se tornem mais fáceis de serem obtidas , por exemplo, temos o procedimento para a verificação da estabilidade do sinal. Para que a transformada Z possa convergir, ela deverá atender a condição dada por: 8 n Z n - 8 Pela desigualdade triangular, temos que: 8 8 n05/05/2025, 09:19 E-book 1,0 0,5 0 -0,5 -1,0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Figura 3.2 - Sequência dada por X [n] = an u [n] Fonte: Nalon (2013, p. 49). #PraCegoVer : a figura apresenta 20 amostras da função impulso, sendo que os valores de -10 até 0 equivalem a 0, e os valores de 0 a 10 decaem exponencialmente, com o maior valor dado em 0, e o menor valor sendo, aproximadamente, 1/3 do maior valor dado em 10. A transformada Z dessa função será igual a: Z n Agora, vamos supor que 1, ou Z > o que resulta em uma expressão geométrica , cuja soma infinita é dada por Logo, a região de convergência dessa transformada Z é dada por Z > a Graficamente, essa região pode ser representada pela Figura 3.3 a seguir. Vejamos: 22/3405/05/2025, 09:19 E-book Im Re Figura 3.3 - Região de convergência da transformada Z da sequência dada por [n] Fonte: Nalon (2013, p. 49). #PraCegoVer : a figura apresenta um círculo dentro de um quadrado. A região de convergência é dada pela área do quadrado que não está em contato com a área do círculo, ou seja, é o que sobra da área ocupada pelo quadrado menos o círculo. Agora, vamos estudar uma outra função, dada por: Podemos representar graficamente essa função, conforme a figura a seguir. Vejamos: 23/3405/05/2025, 09:19 E-book 1,0 0,5 0 -0,5 -1,0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Figura 3.4 - Sequência Fonte: Nalon (2013, #PraCegoVer : a figura apresenta 20 amostras da função impulso, sendo que os valores de -10 a 0 aumentam exponencialmente, com o maior valor dado em 0, e o menor valor sendo, aproximadamente, 1/3 do maior valor dado em -10. Os valores de 0 até 10 equivalem a 0. A transformada Z dessa função será igual a: 8 -1 - - = = n n=0 Agora, vamos supor que05/05/2025, 09:19 E-book Im Re Figura 3.5 - Região de convergência da transformada Z da sequência dada por Fonte: Nalon (2013, p. 49). #PraCegoVer : a figura mostra um círculo como a região de convergência, a qual será delimitada por todo o círculo. eixo X foi chamado de real; o eixo y, por sua vez, foi chamado de imaginário. As figuras 3.3 e 3.5 mostram que apesar de as equações (3.41) e (3.44) possuírem a mesma transformada Z, elas têm regiões de convergência distintas, o que difere uma expressão da outra, como seria o resultado esperado. SAIBA MAIS No vídeo indicado a seguir, o professor Renato Lopes explora a importância de calcular e definir a região de convergência no cálculo da transformada Z, já que dois sinais podem ter a mesma 25/3405/05/2025, 09:19 E-book transformada Z. Ele explica também como não devemos nunca somente definir um sinal por sua transformada Z sem especificar a sua região de convergência. Para assistir ao vídeo, acesse o seguinte link : ASSISTIR Podemos representar sequências e sistemas lineares por meio de uma função racional em Z do tipo polinomial, dada por: Essa equação pode ser escrita por meio da notação produtório dada por: zN Sendo: ck são as raízes do polinômio P (z), chamadas de zeros da transformada Z, ou seja, nesse ponto, a transformada Z é nula; dk são as raízes do polinômio Q (z), chamadas de polos da transformada Z, ou seja, como o denominador é zero, a transformada Z não existe. REFLITA Apesar da dificuldade da resolução matemática apresentada pela transformada de Fourier, pela transformada discreta de Fourier e pela transformada Z, o avanço dos processadores computacionais tem permitido que essas ferramentas possam ser cada vez mais empregadas por profissionais de diversas áreas, inclusive da engenharia, que utilizam computadores pessoais. Será que no futuro essas técnicas estarão disponíveis também para celulares e 26/3405/05/2025, 09:19 E-book poderão ser utilizadas por meio de aplicativos que realizam o Processamento Digital de Sinais (PDS) em nuvem? Fonte: Shirado et al (2015). Representamos os zeros por círculos e os polos por cruzes no plano complexo. Desse modo, basta resolver o polinômio para encontrar os zeros e os polos da função de transferência e, assim, ser possível realizar o processamento do sinal desejado, seja removendo um ruído, seja melhorando o sinal existente. Propriedades da região de convergência da transformada Z As propriedades da transformada Z referem-se a regiões de convergência , seus polos e zeros e são dadas, de acordo com Nalon (2013, p. 50), por: Propriedade a região de convergência não contém nenhum polo e possui simetria circular em relação à origem do plano complexo. Propriedade 2: uma sequência finita tem como região de convergência todo plano complexo, com possíveis exceções de Z = 0 ou Z = Propriedade uma sequência lateral direita, ou seja, definida para n n0, terá como região de convergência complemento de um disco centrado na origem, com valores de Z tais que Z > r0. Propriedade 4: uma sequência lateral esquerda, ou seja, definida para n terá como região de convergência um disco centrado na origem, com valores de Z tais que Z Propriedade 5: uma sequência infinita, ou seja, definida para todo domínio de tempo discreto, terá como região de convergência um anel centrado na origem tal que r1 A transformada Z, geralmente, não é calculada, ela é obtida por meio da consulta a tabelas, como os ábacos, por exemplo, sendo representada pelo Quadro 3 do material complementar SAIBA MAIS No vídeo indicado a seguir, o professor Renato Lopes explora as propriedades da transformada Z, as quais facilitam o cálculo de 27/3405/05/2025, 09:19 E-book funções, empregando vários exemplos, com a prevalência da função impulso. Ele também calcula a região de convergência de todos os sinais dados como exemplo e aborda a importância do uso da transformada Z na purificação ou no melhoramento de sinais, objetivo do Processamento Digital de Sinais (PDS). Para assistir ao vídeo, acesse o seguinte link : ASSISTIR A transformada Z também pode ser escrita na forma de derivadas parciais, o que facilita bastante a sua resolução, pois será possível usar a função produtório, presente em todos os softwares de simulação utilizados no PDS. Decomposição em frações parciais da transformada Z A transformada Z pode ser representada por meio de frações parciais , dadas por: zN Onde: ck são os zeros da transformada Z; dk são os polos da transformada Agora que já estudamos a transformada Z, vamos praticar por meio de um exercício. praticar Vamos Praticar 28/3405/05/2025, 09:19 E-book Uma maior capacidade de análise da transformada Z vem acompanhada de uma certa complexidade. Além da expressão que define a transformada, é necessário encontrar a região de convergência no plano complexo, para a qual a transformada está definida. NALON, J.A. Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro: LTC, 2013. (Biblioteca Com base no conteúdo estudado, faça uma simulação no SciLab utilizando uma função degrau e a transformada Z dada por 1/ (1 + z). praticar Vamos Praticar A função impulse plota a resposta ao impulso unitário para cada par entrada-saída do sistema, assumindo que as condições iniciais são nulas. impulso unitário é também chamado de função delta de PALM, W. J. Introdução ao MATLAB® para engenheiros 3. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. p. 400. Com base nos seus conhecimentos e no conteúdo estudado, instale o SciLab no seu computador e faça um circuito de uma função impulso interligada a um osciloscópio. Lembre-se de que, no SciLab, é necessário interligar um contador (chamado de clock) a uma função Scope - (osciloscópio). 29/3405/05/2025, 09:19 E-book Material Complementar FILME Jogo da Imitação Ano: 2015 Comentário: o filme é baseado na vida do matemático Alan Turing e mostra o passo a passo do desafio mais extraordinário que os Aliados tiveram de vencer: decifrar a Enigma, uma máquina de encriptação de mensagens que codificava, de maneira aleatória, as mensagens trocadas pelo Eixo. episódio resultou na criação do computador, ou no protótipo dele. Esse matemático usou relés e três palavras conhecidas para criar um algoritmo que tentava desvendar as mais de um milhão de possibilidades de combinações do código nazista que eram trocadas todas as manhãs. Desse modo, você poderá entender a importância da correta análise de um sinal e da retirada dos ruídos indesejados para a seleção do exato sinal que queremos trabalhar. Para saber mais sobre o filme, acesse o trailer Disponível em: TRAILER 30/3405/05/2025, 09:19 E-book LIVRO Introdução ao processamento digital de sinais José Alexandre Nalon Editora: LTC Ano: 2013 ISBN: 978-85-216-1646-7 Comentário: o Capítulo 3 desse livro aborda a transformada Z de uma forma muito didática, com vários exemplos resolvidos de funções, inclusive elaborando um paralelo dessa transformada com a transformada discreta de Fourier, além de fornecer recomendações sobre onde devemos utilizar uma ou outra operação matemática. 31/3405/05/2025, 09:19 E-book 32/3405/05/2025, 09:19 E-book Conclusão Caro(a) aluno(a), finalizamos o nosso estudo! Durante a leitura do material, vimos as principais operações matemáticas utilizadas no Processamento Digital de Sinais (PDS), como a transformada de Fourier em tempo discreto ou seja, a coleta de um sinal por meio de amostras pontuais. Além disso, abordamos a transformada discreta de Fourier , de modo a conhecer as suas propriedades e principais funções utilizadas no PDS. Finalizamos com o estudo da transformada Z, uma forma mais abrangente de escrever a transformada discreta de Fourier e que possui uma região de convergência. Cabe relembrar que foi elaborado especialmente para você, caro(a) aluno(a), um material complementar para que seja possível aprofundar os seus conhecimentos sobre o conteúdo. Até a próxima! Referências NALON, J.A. Introdução ao Processamento Digital de Sinais Rio de Janeiro: LTC, 2013. (Biblioteca JOGO da trailer oficial legendado (2015) - Benedict Cumberbatch HD. S. n. ], 2014. 1 vídeo (3 min 14 s). Publicado pelo canal FilmlsNow Movie Trailers International. Disponível em: https://www.youtube.com/watch? Acesso em: 9 jun. 2021. OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W. Processamento em tempo discreto de sinais 3. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. PALM, W. J. Introdução ao MATLAB® para engenheiros 3. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. p. 400. SCILAB 6.1.0. fev. 2020. Disponível em: Acesso em: 11 jun. 2021. 33/3405/05/2025, 09:19 E-book SHIRADO, W. H. et al . Estudo comparativo entre algoritmos das transformadas discretas de Fourier e Wavelet. Revista Brasileira de Computação Passo Fundo, V. 7, n. 3, p. 97-107, out. 2015. Disponível em:http://seer.upf.br/index.php/rbca/article/view/4880/3505 Acesso em: 9 jun. 2021. TRANSFORMADA DE Fourier. [ S. S. n. ], 2019. 1 vídeo (11 min 5 s). Publicado pelo canal oficiencia. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=c0LeeinaNC4. Acesso em: 9 jun. 2021. TRANSFORMADA DE Fourier tempo discreto #13. [S. S. n. ], 2016. 1 vídeo (6 min 54 s). Publicado pelo canal Análise e Desenvolvimento de Sistemas. Disponível em: https://www.youtube.com/watch? v=63BQc8792jc Acesso em: 9 jun. 2021. TRANSFORMADA Z e região de convergência. [ S. S. n. ], 2014. 1 vídeo (13 min 42 s). Publicado pelo canal Renato Lopes. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=QaSfxuMPrWc Acesso em: 9 jun. 2021. VISÃO intuitiva de propriedades da transformada Z. [S. S. n. ], 2013. 1 vídeo (12 min 53 s). Publicado pelo canal Renato Lopes. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=eJ_c_XP-BI4. Acesso em: 9 jun. 2021. 34/34