Teorema Fundamental del Cálculo e Integrales

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El Teorema Fundamental del Cálculo 
 
Indice 
 
1. Introducción 
2. Algunas Fórmulas generales para encontrar áreas e integrales. 
3. La Integral como función del extremo superior 
4. El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC). 
5. Cálculo de integrales definidas mediante el TFC. 
6. Corolario al Teorema Fundamental del Cálculo 
7. La Integral Indefinida. 
8. Tabla básica de Integrales 
9. Ejercicios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introducción. 
 
El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado 
que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. En este capítulo se estudiarán 
las bases que permiten diseñar técnicas para el cálculo de integrales. 
 
 
 
 
 
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fgh f fgh
 
 
 
2. Algunas Fórmulas generales para encontrar áreas e integrales. 
 
El mismo procedimiento que utilizamos para encontrar las integrales definidas en intervalos 
[a, b] del capitulo anterior puede aplicarse en forma más general. Por ejemplo es posible 
deducir ciertas fórmulas para predecir las áreas, por medio de las cuales se puede 
determinar del área de cualquier región bajo una curva fácil y rápidamente. 
 
 
Ejemplo 1. Utilizando sumas superiores encuentre ∫
x
dtt
0
2 , para x > 0 
Solución. Dividamos el intervalo [0, x] en n partes iguales, cada una de longitud x/n. 
Sobre cada uno de los subintervalos determinado por esta partición, tomamos como altura 
la imagen del extremo derecho, por ser creciente la función. 
 
 
La suma superior Sn nos queda como: 
2222 )(...)3()2()(
n
nx
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
xSn ++++= 
 
)12)(1(
66
)12)(1()...321(
3
3
3
2222
3
3
n
n
n
nxnnn
n
xn
n
xSn
++
=
++
=++++= 
 
y el valor de la integral será: 
 
3
)2)(1(
6
)12)(1(
6
lim
333
0
2 xx
n
n
n
nxdtt
n
x
==
++
=
∞→∫ 
 0, x/n 2x/n 3x/n . . . nx/n = x 
fgh f fgh
 
 
 
 
es decir 
3
3
0
2 xdtt
x
=∫ 
 
Observación. Esta fórmula general nos permite encontrar rápidamente que: 
 
9
3
0
2
=∫ dtt , 3
1255
0
2
=∫ dtt , y en particular 3
11
0
2
=∫ dtt , 
 
esta última calculada con sumas superiores e inferiores en el capítulo anterior. 
 
 
Ejemplo 2. Utilizando sumas superiores encuentre que 
4
4
0
3 xdtt
x
=∫ , para x >0 
Solución. Se deja como ejercicio 
 
 
Ejemplo 3. Utilizando sumas inferiores, encuentre ∫ −
x
dtt
0
2 )4( 
Solución. Por ser decreciente la función, las alturas serán las imágenes de los extremos 
derechos de los intervalos. En la gráfica se muestra la función para un valor de x > 2 
 
 
quedando la suma inferior como: 
 
0, x/n 2x/n ... 
nx/n = x
 
 
)4(...)34()24()4( 2
22
2
22
2
22
2
2
n
xn
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
xSn −++−+−+−= 
 
)12)(1(
6
4
6
)12)(1(4)...321()4(
3
3
3
2222
3
3
n
n
n
nxxnnn
n
xxn
n
xn
n
xSn
++
−=
++
−=++++−= 
y el valor de la integral será: 
 
 
3
4)2)(1(
6
4)12)(1(
6
4lim)4(
333
0
2 xxxx
n
n
n
nxxdtt
n
x
−=−=
++
−=−
∞→∫ 
 
es decir 
3
4)4(
3
0
2 xxdtt
x
−=−∫ 
 
Observación. De nuevo con esta fórmula general podemos encontrar integrales como: 
 
3
11)4(
1
0
2
=−∫ dtt , 3
16)4(
2
0
2
=−∫ dtt , 3)4(
3
0
2
=−∫ dtt , 3
16)4(
4
0
2
−=−∫ dtt 
 
las dos primeras representando el área bajo la curva, por ser la función positiva en los 
correspondientes intervalos de integración, no sucediendo lo mismo en las otras dos, en 
cuyos intervalos la función toma valores positivos y negativos. 
 
 
Ejemplo 4. Utilizando sumas superiores, encuentre ∫
x
dtsent
0
, para x ∈ [0, π/2] 
Solución. Por ser creciente la función, las alturas serán las imágenes de los extremos 
derechos de los intervalos, como se observa en la siguiente gráfica. 
 
0, x/n 2x/n 3x/n . . . nx/n = x 
 
 
 
 
Calculemos la suma superior correspondiente: 
 




++++= )(...)3()2()(
n
nxsen
n
xsen
n
xsen
n
xsen
n
xSn 
 
multiplicamos y dividimos el lado derecho por )
2
(2
n
xsen , tenemos que: 
 




+++= )
n2
xsen()
n
nxsen(2...)
n2
xsen()
n
x2sen(2)
n2
xsen()
n
xsen(2
)n2/xsen(2
n/xSn 
 
 
 
utilizando la identidad trigonométrica 2senU senV = cos(U-V) - cos(U+V), obtenemos: 
 



 +
−
−
++−+−= )
2
)12(cos()
2
)12(cos(...)
2
5cos()
2
3cos()
2
3cos()
2
cos(
)2/(2
/
n
xn
n
xn
n
x
n
x
n
x
n
x
nxsen
nxSn
 
cancelando: 
 



 +
−= )
2
)12(cos()
2
cos(
)2/(
2/
n
xn
n
x
nxsen
nxSn 
 
utilizando el hecho de que 1lim
0
=
→ senh
h
h
 
 
 
)cos1(1)
2
)12(cos()
2
cos(
)2/(
2/lim
0
x
n
xn
n
x
nxsen
nxdtsent
n
x
−=


 +
−=
∞→∫ 
 
 
es decir 
xdtsent
x
cos1
0
−=∫ 
 
 
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3. La Integral como función del extremo superior 
 
Cada una de las fórmulas generales obtenidas puede considerarse como una función de la 
variable x y por lo tanto es susceptible de analizarse con las herramientas del Cálculo 
Diferencial, como la continuidad, límites, derivación, etc. 
 
3
3
0
2 xdtt
x
=∫ , 4
4
0
3 xdtt
x
=∫ , xdtsent
x
cos1
0
−=∫ 
 
Algo en común que puede observarse en cada una de estas funciones es que son continuas, 
derivables y además la derivada de cada una, es la función que se está integrando, es decir, 
 
2
0
2 xdtt
dx
d x
=∫ , 30
3 xdtt
dx
d x
=∫ , senxdtsentdx
d x
=∫0 , 
 
Si le llamamos G(x) a la integral y f(t) al integrando, para estas integrales se cumple: 
 
)()(')()(
0
xfxGdttfxG
x
=⇒= ∫ 
o bien 
)()(
0
xfdttf
dx
d x
=∫ 
 
Un poco más adelante demostraremos que salvo ciertas precisiones, lo anteriormente dicho 
es válido para f continua y lo estableceremos como uno de los teoremas más importantes 
del Cálculo, el que establece la relación entre los conceptos fundamentales de Derivada e 
Integral. 
 
Sea f:[a, b]→ R una función monótona y por lo tanto integrable. 
 
 
fgh f fgh
 
 
 
 
Definimos G:[a, b]→ R como: 
∫=
x
a
dttfxG )()( 
 
Si la función es positiva G(x) representa el área desde a hasta x. 
 
La primera propiedad interesante de la integral como función es que si la función f es 
integrable, entonces la función G es continua, pues intuitivamente podemos ver que si 
variamos "un poco" la x, el valor de G(x) no cambia sensiblemente, aún cuando el 
integrando no sea una función continua. Esto lo podemos apreciar en el siguiente caso 
particular y posteriormente lo demostraremos en general. 
 
Sea f:[0, 6]→ R la función cuya gráfica es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 6 
4 
3 
y = f(t)
 
 
a) Si 40 ≤≤ t , el valor de la integral de esta función es: 
2
)()(
2
0
xdttfxG
x
== ∫ 
b) Si 64 ≤< t , el valor de la integral es: 43)4(38)()(
0
−=−+== ∫ xxdttfxG
x
 
 
Así pues G:[0, 6] → R estará dada por la siguiente función continua. 
 
 
 
 
 
 
En el siguiente Teorema, probaremos la relación antes mencionada entre la derivada y la 
integral, que nos permitirá calcular integrales con la herramienta del Cálculo Diferencial sin 
recurrir a la definición de integral como límite de sumas. 
 
 
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y = G(x) 
 
 
 
4. El Teorema Fundamental del Cálculo. 
 
Si f:[a, b] → R integrable es continua en xo ∈ [a, b], entonces 
∫=
x
a
dttfxG )()( 
es derivable en xo y G '(xo) = f(xo). 
 
En notación de Leibnitz podemos expresar el resultado de este teorema como 
ff
dx
dbienóxfdttf
dx
d x
a
== ∫∫ )()( 
que de una manera más clara muestra la relación, entre la Derivada y la Integral, como 
operaciones inversas 
 
Demostración. 
 Primer caso: Sea h > 0: 
 
 
 
∫∫∫
++
=−=−+
hx
x
x
a
hx
a
oo dttfdttfdttfxGhxG
0
0
00
)()()()()( 
 
por el teorema del valor medio para integrales en el intervalo [xo, xo+h], tenemos que 
 
hxfdttf h
hx
x
•=∫
+
)()(
0
0
 
para algún valor xh entre xo y xo+h y en consecuencia 
 
hxfxGhxG hoo •=−+ )()()( 
 
 
fgh f fgh
 
 
Para calcular la derivada de G en xo , calculamos el siguiente límite: 
 
)()(lim
)()(
lim)('
00 ohh
oo
ho
xfxf
h
xGhxGxG ==−+=
→→
 
 
pero cuando h se aproxima a cero el punto xh se aproxima a xo y en consecuencia 
 
)()(' oo xfxG = 
 
que es lo que deseábamos demostrar. 
 
Segundo caso: Sea h < 0: 
 
 
∫∫∫ +
+
=−=+−
0
0
00
)()()()()(
x
hx
hx
a
x
a
oo dttfdttfdttfhxGxG 
 
por el teorema del valor medio para integrales en el intervalo [xo+h, xo], de longitud (-h), 
tenemos que 
 
)()()(
0
0
hxfdttf h
x
hx
−•=∫ + 
 
para algún valor xh entre xo+h y xo y en consecuencia 
 
)()()()( hxfhxGxG hoo −•=+− 
 
0, bien multiplicando por -1 en ambos lados: 
 
)()()()( hxfxGhxG hoo •=−+ 
 
 
 
y como en el caso anterior para calcular la derivada de G en xo, calculamos el siguiente 
límite: 
 
)()(lim
)()(
lim)('
00 ohh
oo
ho
xfxf
h
xGhxGxG ==−+=
→→
 
 
obteniendo lo que deseábamos demostrar. 
 
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5. Cálculo de integrales definidas mediante el Teorema Fundamental del Cálculo. 
Ejemplo1. Utilizando el T.F.C., encuentre dtt∫
3
2
3 . 
Solución: En el cálculo de integrales por este método, realizaremos los siguientes cuatro 
pasos: 
 Paso 1: Consideramos a la integral como función del extremo superior. 
dttxG
x
∫= 2
3)( . 
y posteriormente tratar de encontrar una expresión "más operativa" para G(x), pues la 
integral buscada es G(3). 
 
 Paso 2: Utilizamos el T.F.C. 
Por el T.F.C., 3)(' oo xxG = , para todo xo ∈ [2, 3], lo cual lo escribiremos genéricamente 
como 3)(' xxG = , es decir este Teorema nos da información sobre la derivada de la 
función buscada, en este caso sabemos que 
4
4x es una función cuya derivada es x3, pero en 
general la derivada no se altera si le sumamos una constante arbitraria, lo cual nos lleva a 
que kxxG +=
4
)(
4
. En general de manera esquemática diremos: 
kxxGxxG +=⇒=
4
)()('
4
3 
lo cual salvo la constante por determinar, nos da una expresión "más operativa" para G(x). 
 
Paso 3: Determinamos la constante k. 
Nótese que tenemos dos expresiones para G(x): 
kxxG +=
4
)(
4
 y dttxG
x
∫= 2
3)( . 
 
Para determinar la constante k, debemos conocer a la integral en algún valor del intervalo, 
que en este caso es x = 2, es decir 
0)2(
2
2
3
== ∫ dttG . 
Y por la otra expresión G(2) = 4 + k. 
 
Igualando ambas expresiones obtenemos 
4 + k = 0 
obteniendo el valor de k = -4 
 
 
fgh f fgh
 
 
 Paso 4: Evaluamos G(3) para obtener la integral. 
Una vez determinada la constante de integración k, queda completamente determinada la 
expresión para G: 
4
4
)(
4
−=
xxG 
y en consecuencia: 
 
4
654
4
3)3(
43
2
3
=−==∫ Gdtt . 
Es decir 
4
653
2
3
=∫ dtt 
 
 
Ejemplo2. Utilizando el TFC, encuentre dtsent∫
π
0
. 
Solución: Cada una de las siguiente tres expresiones corresponden a los primeros tres pasos 
del ejercicio anterior: 
dtsentxG
x
∫= 0)( ⇒ senxxG =)(' ⇒ kxxG +−= cos)( . 
 
Para determinar la constante, evaluamos en 0 
0)0(
0
0
== ∫ dtsentG . 
Y por la otra expresión G(0) = -1 + k. 
 
Igualando ambas expresiones obtenemos 
-1 + k = 0 
obteniendo el valor de k = 1, y en consecuencia 
21cos)(
0
=+−==∫ ππ
π
Gdtsent 
es decir 
2
0
=∫ dtsent
π
 
 
Observación. Como se habrá notado en el cálculo de las integrales anteriores usando el 
TFC, la parte medular del procedimiento es encontrar una función que al derivarse nos da la 
función f que queremos integrar, a la que llamaremos ANTIDERIVADA de f . El valor de 
la constante es la antiderivada evaluada en el extremo izquierdo del intervalo de integración 
y finalmente el valor de la integral es la antiderivada evaluada en el extremo derecho menos 
la antiderivada evaluada en el extremo izquierdo, como se asienta en el siguiente: 
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6. Corolario al Teorema Fundamental del Cálculo 
 
Si f:[a,b]→R integrable es continua en el intervalo [a, b] y g:[a,b]→R, es una antiderivada 
de f, es decir satisface g'(x) = f(x) , entonces 
 
)()()( agbgdttf
b
a
−=∫ 
 
Demostración. La prueba de este resultado consiste en dar los mismos pasos que en los 
casos particulares 
dttfxG
x
a∫= )()( ⇒ )()(' xfxG = ⇒ kxgxG += )()( . 
Para determinar la constante evaluamos en x = a en las dos expresiones para G(x) 
 
0)()( == ∫ dttfaG
a
a
 y kagaG += )()( ⇒ g(a) + k =0 ⇒ k = -g(a) y por lo tanto 
)()()( agxgxG −= . 
Y el valor de la integral 
)()()()( agbgbGdttf
b
a
−==∫ 
que es lo que deseábamos demostrar. 
 
 
A continuación resolveremos la integral del ejemplo 2 utilizando este corolario. 
Ejemplo 3. Utilizando el corolario al TFC, encuentre dxx∫
3
2
3 . 
Solución. Sólo hay que encontrar una función g que satisfaga g'(x) = x3 y una de tales 
funciones es: 
4
)(
4xxg = 
y en consecuencia: 
4
65
4
1681
4
2
4
3)2()3(
443
2
3
=
−
=−=−=∫ ggdxx . 
 
fgh f fgh
 
 
Observación. Dada una función f, en este caso f(x) = x3, existen una infinidad de 
antiderivadas, todas ellas de la forma Kxxg +=
4
)(
4
 Si tomamos cualquiera de ellas 
como por ejemplo 
8
4
)(
4
+=
xxg 
obtenemos el mismo resultado 
4
65
4
1681)8
4
2()8
4
3()2()3(
443
2
3
=
−
=+−+=−=∫ ggdxx . 
 
 
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7. La Integral Indefinida. 
 
La parte medular para encontrar integrales definidas, es encontrando una función que al 
derivarla nos dé el integrando. 
 
Si g es una función tal que g'(x) = f(x), diremos que es una PRIMITIVA para f y a la 
expresión f(x) + k le llamaremos LA INTEGRAL INDEFINIDA DE f, y la denotaremos 
por 
 
∫ += kxgdxxf )()( 
 
Observación. Nótese que al escribir la integral indefinida escribimos la variable x 
tanto en el integrando como en la primitiva, en virtud de no existir confusión, debido a 
que no se escriben los límites de integración. 
 
Tomando en cuenta que la derivada y la integral son operaciones inversas, de cualquier 
fórmula de derivación, podemos extraer una fórmula de integración, simplemente 
invirtiéndola, por ejemplo: 
 
∫ +=⇔= ksenxdxxxsenxdx
d coscos 
 
0ln11ln >+=⇔= ∫ xparakxdxxxxdx
d 
 
En este último ejemplo, debemos hacer unas precisiones. La función f(x) =1/x está definida 
para todo x ≠ 0, sin embargo la función g(x) = lnx sólo está definida para los positivos. 
¿Cómo obtener por ejemplo la integral de g en el intervalo[-3, -1] si el logaritmo natural no 
está definido para los números negativos?. 
 
Primeramente calcularemos la integral en el intervalo [1,3] y por la simetría de f(x) =1/x, la 
integral en el intervalo [-3, -1] será el negativo de ésta, como se aprecia en la siguiente 
ilustración. 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) 
fgh f fgh
 
 
 
 
 
 
 
[ ] )3ln()1ln()1ln()3ln(11 3
1
1
3
−=−−=−= ∫∫
−
−
dx
x
dx
x
 
 
lo cual nos sugiere considerar 
 
0)ln(1 <+−=∫ xparakxdxx 
 
en general podemos expresar a la integral indefinida de esta función como: 
 
∫ += kxdxx ||ln
1 
 
fórmula válida también para números negativos, pues derivando para x < 0 
 
xx
x
dx
dx
dx
d 1)1(1)ln(||ln =−
−
=−= 
 
Observación. Al utilizar el corolario al T.F.C. debe tenerse cuidado de verificar las 
condiciones bajo las cuales se cumple dicho teorema, por ejemplo, es fácil caer en el 
siguiente error si no se tiene este cuidado: 
 
)3ln()2ln(1
2
3
−=∫
−
dx
x
 
Esta expresión no tiene sentido ya que la función no es acotada en el intervalo de 
integración y por lo tanto no tendría sentido el cálculo de las sumas superiores o inferiores 
en un intervalo de la partición que contenga al cero. La función en cuestión no es integrable 
en [-3,2]. 
 
Con esta observación podemos construir nuestra primera tabla de integrales, a partir de la 
cual y mediante algunos métodos de integración, podremos encontrar integrales de 
funciones más complicadas. 
 
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8 Tabla Básica de Integrales. 
 
1
1
.1
1
−≠+
+
=
+
∫ αα
α
α sikxdxx kxdx
x
+=∫ ||ln
1.2 
 
 
ksenxdxx +=∫ cos.3 kxdxsenx +−=∫ cos.4 
 
kxdxx +=∫ tansec.5 2 kdx +−=∫ cotcsc.6 2 
 
kx
x
dx
+=
+∫ arctan1.7 2 karcsenxx
dx
+=
−
∫ 21
.8 
 
kedxe xx +=∫.9 ka
adxa
x
x +=∫ ln10 
 
 
 
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fgh f fgh
 
 
 
 
 
 
Ejercicios 
 
I. Dada la función f(x) como en la siguiente gráfica, encuentre la función 
G(x) = ∫
x
dttf
1
)( , grafíquela y verifique que G es continua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Dada la función f(x) como en la siguiente gráfica, encuentre la función 
G(x) = ∫
x
dttf
0
)( , grafíquela y verifique que cumple con el Teorema 
Fundamental dl Cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Dada la función f(x) como en la siguiente gráfica, encuentre la función 
G(x) = ∫
x
dttf
0
)( , grafíquela y verifique que cumple con el Teorema 
Fundamental del Cálculo. 
 
 
 
 
 
1 3 6
1
4
5
y = x2
1 2 5
5 
1 3 6
1
4
5
fgh f fgh
 
 
 
 
 
 
IV. Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, encuentre el valor de las 
siguientes integrales. 
 
1) dtt )75(
1
0
3∫ − 2) dtt
b
a∫
3 
 
3) dtt∫
2
1
5 4) dt
t 4
3
2
1
∫ 
 
5) ∫
2
4
cos
π
π
dtt 6) dtt∫
9
4
 
 
7) dxet∫
1
0
 8) dtt∫
−
1
1
2sec 
 
9) dt
t
ttt
∫
−+2
1
2
3
3
1
32
 10) dt
t
t−
∫
13
2
 
 
11) ∫
π2
0
dtsent 12) ∫
π
0
cos dtt 
 
13) ∫ 20
π
dtsent 14) ∫ 40 cos
π
dtt 
 
 
V. Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, encuentre en cada caso f ' (x). 
 
1) ∫=
2
3
)(
x
dtsentxf 2) ∫
−
=
45
3
3cos)(
x
dttxf 
 
 
 
3) ∫
+
=
3
32
5)(
x
x
dttxf 4) ∫=
x
t dtexf
2
3
2
)( 
 
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