Teorema Fundamental del Cálculo e Integrales
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Teorema Fundamental del Cálculo e Integrales


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El Teorema Fundamental del Cálculo 
 
Indice 
 
1. Introducción 
2. Algunas Fórmulas generales para encontrar áreas e integrales. 
3. La Integral como función del extremo superior 
4. El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC). 
5. Cálculo de integrales definidas mediante el TFC. 
6. Corolario al Teorema Fundamental del Cálculo 
7. La Integral Indefinida. 
8. Tabla básica de Integrales 
9. Ejercicios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introducción. 
 
El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado 
que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. En este capítulo se estudiarán 
las bases que permiten diseñar técnicas para el cálculo de integrales. 
 
 
 
 
 
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fgh f fgh
 
 
 
2. Algunas Fórmulas generales para encontrar áreas e integrales. 
 
El mismo procedimiento que utilizamos para encontrar las integrales definidas en intervalos 
[a, b] del capitulo anterior puede aplicarse en forma más general. Por ejemplo es posible 
deducir ciertas fórmulas para predecir las áreas, por medio de las cuales se puede 
determinar del área de cualquier región bajo una curva fácil y rápidamente. 
 
 
Ejemplo 1. Utilizando sumas superiores encuentre \u222b
x
dtt
0
2 , para x > 0 
Solución. Dividamos el intervalo [0, x] en n partes iguales, cada una de longitud x/n. 
Sobre cada uno de los subintervalos determinado por esta partición, tomamos como altura 
la imagen del extremo derecho, por ser creciente la función. 
 
 
La suma superior Sn nos queda como: 
2222 )(...)3()2()(
n
nx
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
xSn ++++= 
 
)12)(1(
66
)12)(1()...321(
3
3
3
2222
3
3
n
n
n
nxnnn
n
xn
n
xSn
++
=
++
=++++= 
 
y el valor de la integral será: 
 
3
)2)(1(
6
)12)(1(
6
lim
333
0
2 xx
n
n
n
nxdtt
n
x
==
++
=
\u221e\u2192\u222b 
 0, x/n 2x/n 3x/n . . . nx/n = x 
fgh f fgh
 
 
 
 
es decir 
3
3
0
2 xdtt
x
=\u222b 
 
Observación. Esta fórmula general nos permite encontrar rápidamente que: 
 
9
3
0
2
=\u222b dtt , 3
1255
0
2
=\u222b dtt , y en particular 3
11
0
2
=\u222b dtt , 
 
esta última calculada con sumas superiores e inferiores en el capítulo anterior. 
 
 
Ejemplo 2. Utilizando sumas superiores encuentre que 
4
4
0
3 xdtt
x
=\u222b , para x >0 
Solución. Se deja como ejercicio 
 
 
Ejemplo 3. Utilizando sumas inferiores, encuentre \u222b \u2212
x
dtt
0
2 )4( 
Solución. Por ser decreciente la función, las alturas serán las imágenes de los extremos 
derechos de los intervalos. En la gráfica se muestra la función para un valor de x > 2 
 
 
quedando la suma inferior como: 
 
0, x/n 2x/n ... 
nx/n = x
 
 
)4(...)34()24()4( 2
22
2
22
2
22
2
2
n
xn
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
xSn \u2212++\u2212+\u2212+\u2212= 
 
)12)(1(
6
4
6
)12)(1(4)...321()4(
3
3
3
2222
3
3
n
n
n
nxxnnn
n
xxn
n
xn
n
xSn
++
\u2212=
++
\u2212=++++\u2212= 
y el valor de la integral será: 
 
 
3
4)2)(1(
6
4)12)(1(
6
4lim)4(
333
0
2 xxxx
n
n
n
nxxdtt
n
x
\u2212=\u2212=
++
\u2212=\u2212
\u221e\u2192\u222b 
 
es decir 
3
4)4(
3
0
2 xxdtt
x
\u2212=\u2212\u222b 
 
Observación. De nuevo con esta fórmula general podemos encontrar integrales como: 
 
3
11)4(
1
0
2
=\u2212\u222b dtt , 3
16)4(
2
0
2
=\u2212\u222b dtt , 3)4(
3
0
2
=\u2212\u222b dtt , 3
16)4(
4
0
2
\u2212=\u2212\u222b dtt 
 
las dos primeras representando el área bajo la curva, por ser la función positiva en los 
correspondientes intervalos de integración, no sucediendo lo mismo en las otras dos, en 
cuyos intervalos la función toma valores positivos y negativos. 
 
 
Ejemplo 4. Utilizando sumas superiores, encuentre \u222b
x
dtsent
0
, para x \u2208 [0, \u3c0/2] 
Solución. Por ser creciente la función, las alturas serán las imágenes de los extremos 
derechos de los intervalos, como se observa en la siguiente gráfica. 
 
0, x/n 2x/n 3x/n . . . nx/n = x 
 
 
 
 
Calculemos la suma superior correspondiente: 
 
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
++++= )(...)3()2()(
n
nxsen
n
xsen
n
xsen
n
xsen
n
xSn 
 
multiplicamos y dividimos el lado derecho por )
2
(2
n
xsen , tenemos que: 
 
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
+++= )
n2
xsen()
n
nxsen(2...)
n2
xsen()
n
x2sen(2)
n2
xsen()
n
xsen(2
)n2/xsen(2
n/xSn 
 
 
 
utilizando la identidad trigonométrica 2senU senV = cos(U-V) - cos(U+V), obtenemos: 
 
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee +
\u2212
\u2212
++\u2212+\u2212= )
2
)12(cos()
2
)12(cos(...)
2
5cos()
2
3cos()
2
3cos()
2
cos(
)2/(2
/
n
xn
n
xn
n
x
n
x
n
x
n
x
nxsen
nxSn
 
cancelando: 
 
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee +
\u2212= )
2
)12(cos()
2
cos(
)2/(
2/
n
xn
n
x
nxsen
nxSn 
 
utilizando el hecho de que 1lim
0
=
\u2192 senh
h
h
 
 
 
)cos1(1)
2
)12(cos()
2
cos(
)2/(
2/lim
0
x
n
xn
n
x
nxsen
nxdtsent
n
x
\u2212=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee +
\u2212=
\u221e\u2192\u222b 
 
 
es decir 
xdtsent
x
cos1
0
\u2212=\u222b 
 
 
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3. La Integral como función del extremo superior 
 
Cada una de las fórmulas generales obtenidas puede considerarse como una función de la 
variable x y por lo tanto es susceptible de analizarse con las herramientas del Cálculo 
Diferencial, como la continuidad, límites, derivación, etc. 
 
3
3
0
2 xdtt
x
=\u222b , 4
4
0
3 xdtt
x
=\u222b , xdtsent
x
cos1
0
\u2212=\u222b 
 
Algo en común que puede observarse en cada una de estas funciones es que son continuas, 
derivables y además la derivada de cada una, es la función que se está integrando, es decir, 
 
2
0
2 xdtt
dx
d x
=\u222b , 30
3 xdtt
dx
d x
=\u222b , senxdtsentdx
d x
=\u222b0 , 
 
Si le llamamos G(x) a la integral y f(t) al integrando, para estas integrales se cumple: 
 
)()(')()(
0
xfxGdttfxG
x
=\u21d2= \u222b 
o bien 
)()(
0
xfdttf
dx
d x
=\u222b 
 
Un poco más adelante demostraremos que salvo ciertas precisiones, lo anteriormente dicho 
es válido para f continua y lo estableceremos como uno de los teoremas más importantes 
del Cálculo, el que establece la relación entre los conceptos fundamentales de Derivada e 
Integral. 
 
Sea f:[a, b]\u2192 R una función monótona y por lo tanto integrable. 
 
 
fgh f fgh
 
 
 
 
Definimos G:[a, b]\u2192 R como: 
\u222b=
x
a
dttfxG )()( 
 
Si la función es positiva G(x) representa el área desde a hasta x. 
 
La primera propiedad interesante de la integral como función es que si la función f es 
integrable, entonces la función G es continua, pues intuitivamente podemos ver que si 
variamos "un poco" la x, el valor de G(x) no cambia sensiblemente, aún cuando el 
integrando no sea una función continua. Esto lo podemos apreciar en el siguiente caso 
particular y posteriormente lo demostraremos en general. 
 
Sea f:[0, 6]\u2192 R la función cuya gráfica es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 6 
4 
3 
y = f(t)
 
 
a) Si 40 \u2264\u2264 t , el valor de la integral de esta función es: 
2
)()(
2
0
xdttfxG
x
== \u222b 
b) Si 64 \u2264< t , el valor de la integral es: 43)4(38)()(
0
\u2212=\u2212+== \u222b xxdttfxG
x
 
 
Así pues G:[0, 6] \u2192 R estará dada por la siguiente función continua. 
 
 
 
 
 
 
En el siguiente Teorema, probaremos la relación antes mencionada entre la derivada y la 
integral, que nos permitirá calcular integrales con la herramienta del Cálculo Diferencial sin 
recurrir a la definición de integral como límite de sumas. 
 
 
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